Capítulo 3

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Capítulo 3: Probabilidade
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Objetivos de aprendizagem
Como identificar o espaço amostral de um experimento probabilístico e como identificar eventos simples.
Como usar o princípio fundamental da contagem para encontrar o número de maneiras em que dois ou mais eventos podem ocorrer.
Como distinguir entre probabilidade clássica, probabilidade empírica e probabilidade subjetiva.
Como encontrar a probabilidade do complemento de um evento.
Como usar um diagrama de árvore e o princípio fundamental da contagem para calcular probabilidades.
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Objetivos de aprendizagem
Como calcular a probabilidade de um evento, dado que outro evento tenha ocorrido.
Como distinguir entre eventos independentes e dependentes.
Como usar a regra da multiplicação para encontrar a probabilidade de dois ou mais eventos ocorrendo em sequência, e encontrar probabilidades condicionais.
Como determinar se dois eventos são mutuamente exclusivos.
Como usar a regra da adição para encontrar a probabilidade de dois eventos.
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Objetivos de aprendizagem
Como encontrar o número de maneiras nas quais um grupo de objetos pode ser ordenado.
Como encontrar o número de maneiras para selecionarmos diversos objetos de um grupo sem nos preocuparmos com a ordem.
Como usar os princípios de contagem para encontrar probabilidades.
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Probabilidade
Um experimento probabilístico é uma ação, ou tentativa sujeita à lei do acaso, pela qual resultados específicos são obtidos.
O produto de uma única tentativa em um experimento probabilístico é um resultado. 
O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento probabilístico é o espaço amostral.
Um evento é um subconjunto do espaço amostral. Ele pode consistir em um ou mais resultados.
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Probabilidade
O princípio fundamental da contagem: Se um evento pode ocorrer de m maneiras e um segundo evento pode ocorrer de n maneiras, o número de maneiras que os dois eventos podem ocorrer em sequência é m × n. Essa regra pode ser estendida para qualquer número de eventos ocorrendo em sequência.
O método que se utilizará para calcular uma probabilidade depende do tipo de probabilidade. Há três tipos: probabilidade clássica, probabilidade empírica e probabilidade subjetiva. A probabilidade de ocorrência de um evento E é escrita como P(E) e lê-se “probabilidade do evento E”.
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Probabilidade
Probabilidade clássica (ou teórica) é usada quando cada resultado em um espaço amostral é igualmente possível de ocorrer. A probabilidade clássica para um evento E é dada por:
Probabilidade empírica (ou estatística) é baseada em observações obtidas de experimentos probabilísticos. A probabilidade empírica de um evento E é a frequência relativa do evento E.
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Probabilidade
Conforme aumenta o número de vezes que um experimento probabilístico é repetido, a probabilidade empírica (frequência relativa) de um evento aproxima-se de sua probabilidade teórica. Isso é conhecido como lei dos grandes números.
Lei dos grandes números: Conforme um experimento é repetido um grande numero de vezes, a probabilidade empírica de um evento tende a se aproximar de sua probabilidade teórica (real).
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Probabilidade
O terceiro tipo de probabilidade é a probabilidade subjetiva, que resulta de conjeturas e de estimativas por intuição.
Dada a saúde de um paciente e a extensão dos ferimentos, por exemplo, um médico pode sentir que o paciente tem 90% de chance de recuperação total. Um analista de negócios pode prever que a chance de os funcionários de certa empresa entrarem em greve é de 0,25.
Uma probabilidade não pode ser negativa ou maior que 1, conforme estabelecido na regra da amplitude das probabilidades: a probabilidade de um evento E está entre 0 e 1, inclusive. Ou seja, 0 ≤ P (E ) ≤ 1.
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Probabilidade
Quando a probabilidade de um evento é 1, é certa a ocorrência do evento. Quando a probabilidade de um evento é 0, o evento é impossível. A probabilidade de 0,5 indica uma chance igual de ocorrer ou não ocorrer.
Um evento que ocorra com probabilidade de 0,05 ou menos é tipicamente considerado incomum. Eventos incomuns são altamente improváveis de ocorrer.
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Probabilidade
A soma das probabilidades de todos os resultados em um espaço amostral é 1 ou 100%. Quando sabemos a probabilidade de um evento E, podemos encontrar a probabilidade do complemento do evento E.
O complemento do evento E é o conjunto de todos os resultados em um espaço amostral que não estão incluídos no evento E. O complemento do evento E é denotado por E′ e é lido como “E linha”.
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Probabilidade
Uma probabilidade condicional é a probabilidade de um evento ocorrer, dado que outro evento já tenha ocorrido. A probabilidade condicional de o evento B ocorrer, dado que o evento A tenha ocorrido, é denotada por P (B | A) e lê-se “probabilidade de B, dado A”.
Dois eventos são independentes quando a ocorrência de um deles não afeta a probabilidade de ocorrência do outro. Dois eventos A e B são independentes quando: P (B | A) = P (B) ou quando P (A | B) = P (A). Eventos que não são independentes são dependentes.
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Probabilidade
Para encontrar a probabilidade de dois eventos ocorrendo em sequência, podemos usar a regra da multiplicação.
A regra da multiplicação para a probabilidade de A e B: A probabilidade de que dois eventos A e B ocorram em sequência é: P (A e B) = P (A) × P (B | A). Se os eventos A e B forem independentes, então a regra pode ser simplificada para P (A e B) = P (A) × P (B). Essa regra simplificada pode ser estendida para qualquer número de eventos independentes.
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Probabilidade
Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos quando A e B não puderem ocorrer ao mesmo tempo.
Os diagramas de Venn nas figuras mostram a relação entre eventos que são mutuamente exclusivos e eventos que não o são. Note que, quando eventos A e B são mutuamente exclusivos, eles não possuem resultados em comum, então P(A e B) = 0.
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Probabilidade
A regra da adição para a probabilidade de A ou B: A probabilidade de que os eventos A ou B ocorram, P (A ou B), é dada por: P (A ou B) = P (A) + P (B) – P (A e B). Se os eventos A e B forem mutuamente exclusivos, então a regra pode ser simplificada para P (A ou B) = P (A) + P (B). Esta regra simplificada pode ser estendida para qualquer número de eventos mutuamente exclusivos.
Conforme mostrado no diagrama de Venn da figura, subtrair P(A e B) compensa a dupla contagem da probabilidade dos resultados que ocorrem em A e B.
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Probabilidade: um resumo
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Tópicos adicionais sobre
probabilidade e contagem
O princípio fundamental da contagem é usado para encontrar o número de maneiras nas quais dois ou mais eventos podem ocorrer em sequência. Uma aplicação importante do princípio fundamental da contagem é determinar o número de maneiras nas quais n objetos podem ser organizados em ordem. Uma ordenação de n objetos é chamada de permutação.
Uma permutação é um arranjo ordenado de objetos. O número de diferentes permutações de n objetos distintos é n! . A expressão n! é lida como n fatorial.
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Tópicos adicionais sobre
probabilidade e contagem
Ao escolher alguns objetos (r dos n) em um grupoe colocá-los em ordem, tal ordenação é chamada de arranjo de n objetos tomados r a r.
Arranjo de n objetos tomados r a r: O número de arranjos de n objetos distintos tomados r a r é:
A permutação de n objetos, vista anteriormente, é denominação usual para um arranjo de n objetos tomados de n em n.
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Tópicos adicionais sobre
probabilidade e contagem
Você pode querer ordenar um grupo de n objetos mesmo que alguns deles sejam os mesmos. Considere o grupo de letras AAAABBC. Esse grupo tem quatro As, dois Bs e um C. De quantas maneiras você pode ordenar tal grupo? 
Usando a fórmula , você pode concluir que há ordens possíveis. Entretanto, como alguns objetos são os mesmos, nem todos esses arranjos são distinguíveis. Quantas permutações distinguíveis são possíveis? A resposta pode ser encontrada usando a fórmula da permutação com elementos repetidos.
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Tópicos adicionais sobre
probabilidade e contagem
Permutação com elementos repetidos: O número de permutações com elementos repetidos de n objetos, em que são de um tipo, de outro tipo, e assim por diante, é:
em que + + + ... + = .
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Tópicos adicionais sobre
probabilidade e contagem
Um parque estadual administra cinco praias identificadas como A, B, C, D e E. Devido às restrições orçamentárias, novas instalações sanitárias serão construídas somente em três praias. Há 10 maneiras de as três praias serem selecionadas:
ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE
Em cada seleção, a ordem não importa (ABC é o mesmo que BAC). O número de maneiras de selecionar r dos n objetos sem levar em consideração a ordem é chamada de combinação de n objetos tomados r a r.
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Tópicos adicionais sobre
probabilidade e contagem
Combinação de n objetos tomados r a r: o número de combinações de r objetos selecionados de um grupo de n objetos sem considerar a ordem é:
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Aplicações dos princípios
de contagem
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