relatório 10

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Relatório 10:Circuito RLC: frequência
de ressonância
Data:21/11/2022 Turma: CD
Professor:Lindolff Thadeu Carneiro
Grupo
Camila dos Santos Ferreira Costa - 119056007
Douglas Sintelmo Pacheco - 121038035
Jéssica Emidio Macedo - 119056057
João Lucas Baracho - 120038023
Mariana Silva Dantas dos Anjos - 119056056
Objetivo
Através de um circuito RLC ligado a um osciloscópio e um gerador de função
iremos analisar a diferença de fase entre a fonte (t) e a tensão r(t) no resistor e logoε 𝑉
após,a sua frequência angular de ressonância.
Introdução
Nesta experiência será analisado o circuito formado por um resistor R, um
capacitor C e um indutor L ligados em séries e conectados a um gerador de funções
que fornece uma tensão senoidal,como mostra a ilustração abaixo:
Utilizando a lei das malhas no circuito, temos :
(1)𝐿( 𝑑𝑞²
𝑑𝑡² ) + 𝑅( 𝑑𝑞
𝑑𝑡 ) + 𝑞
𝐶 = ε(𝑡)
com ,onde εm é a amplitude da diferença de potencial aplicada (ddp) e oε(𝑡) = ε𝑚 𝑠𝑒𝑛 (ω𝑡)
ω é frequência angular.
A relação entre a corrente i(t) que atravessa o circuito e a carga q(t) do capacitor é
(2)𝑖(𝑡) = 𝑑𝑞(𝑡)
𝑑𝑡
A solução da equação (1) tem uma parte transiente que vai a zero num intervalo de tempo
,e uma solução estacionária oscilante de frequência angular igual à da fonte de𝑡 >> 2𝐿
𝑅
tensão externa ( ).Sendo a equação diferencial (1) na homogênea,sua solução𝑤 = 2π𝑓
geral corresponde à soma da solução geral da equação homogênea a ela associada e uma
solução particular da equação não homogênea (parte estacionária).Para obter a
segunda,podemos substituir uma solução tentativa na equação𝑞(𝑡) =− 𝑞
𝑚
𝑐𝑜𝑠(ω𝑡 − ϕ)
,determinando os valores da amplitude e da fase e tais que a equação seja𝑞
𝑚
φ
satisfeita.E solucionando a equação de lei das malhas obtém-se os seguinte valor da
corrente :𝑖(𝑡)
(3)𝑖(𝑡) = 𝑖𝑚 𝑠𝑒𝑛 (ω𝑡 − ϕ)
(4)ϕ = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛 (𝑋𝑙−𝑋𝑐)
𝑅⎡⎣ ⎤⎦
no qual é uma medida da defasagem de tempo em que e são máximos.ϕ 𝑖(𝑡) ε(𝑡)
na qual im é a amplitude desta corrente,dada por
(5)𝑖
𝑚
=
ε
𝑚
𝑍
(6) .Estes são chamados de Z e a𝑖
𝑚
=
ε
𝑚
𝑅²+𝑋𝑙−𝑋𝑐)²
impedância do circuito.
Onde e .Estes são chamados de reatância capacitiva e𝑋𝑐 + 1
(𝑤𝐶) 𝑋𝑙 = ω𝐿
reatância indutiva, respectivamente.
As ddps nos terminais do resistor, capacitor e indutor serão, respectivamente:
(7)𝑉
𝑟
(𝑡) = 𝑅𝑖 𝑚 𝑠𝑒𝑛(ω𝑡 − ϕ)
(8)𝑉
𝑐
(𝑡) = 𝑋𝑐 𝑖𝑚 𝑠𝑒𝑛 (ω𝑡 − ϕ − π
2 )
(9)𝑉
𝑙
(𝑡) = 𝑋𝑙 𝑖𝑚 𝑠𝑒𝑛(ω𝑡 − ϕ + π
2 )
De (7) e (8), percebe-se que a amplitude da corrente terá máxima quando o
valor da impedância Z for mínimo , quando:
(9) 𝑋𝑙 − 𝑋𝑐 = 0
Com os valores de R, L e C fixos,a diferença entre reatância as só será nula
quando a frequência ω do gerador de funções tiver uma valor específico. De (9),
é possível encontrar tal valor:
ω𝑟 = 1
𝐿𝑐
(10)𝑓𝑟 = 1
2π 𝐿𝑐
Nesta frequência,chamada de frequência de ressonância,além da amplitude da corrente
ser máxima , este também fica em fase com a tensão gerada pela fonte,pois,pela equação
(4), o valor de Ф será nulo.
Ainda, de acordo com uma expressão (7), a defasagem entre Vc(t) e ε(t) também será nula
na frequência de ressonância.neste instante,quando ω for igual a ωr, as funções Vc(t) e ε(t)
terão máximos e mínimos absolutos em t iguais.Se utilizarmos um osciloscópio para medir
as tensões da fonte e do resistor e for visto a condição anterior,então será possível obter a
frequência de ressonância através da mediação do período T,o qual é justamente o𝑓𝑟 
inverso da frequência.Também é importante ressaltar que o valor da defasagem entre Vr e
Vc é fixo e igual a ,o que é mostrado pelas equações anteriores como a (7) e (6).π
2
A partir desse experimento,queremos verificar a diferença de fase e a tensão Vr(t) noε(𝑡)
resistor.
Para isso,montamos o circuito RLC com o osciloscópio de tal forma nele fossem gerados os
gráficos Vr x t e x t. Verificamos que entre ε e Vr havia uma defasagem de t=0,63 ms.
Obtemos o valor experimental através dos seguintes cálculos:Φ 
| |=2Φ π. ( 𝑡
𝑇 )
| |=2Φ π. ( 0,63
2 )
| |=2 =112°Φ π. ( 0,63
2 )
Com valor obtido experimental com o teórico,iremos necessitar dos seguintes dados:
R=5±400Ω
L=25 mH
C=0,22µ𝐹
F=10 Hz
Φ = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛 𝑋𝑙−𝑋𝑐
𝑅( )⎡⎣ ⎤⎦
Φ = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛 1,57−0,0723
400( )⎡⎣ ⎤⎦
Onde:
Xl=1,57Ω
Xc=0,0723 Ω
O valor teórico de é:Φ
Φ = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛 (3, 74)
Φ = 75°
Como Xc