IUZU geometria

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- C) \( \frac{\pi}{8} \) 
 - D) \( \frac{\pi}{3} \) 
 
 **Resposta:** A) \( \frac{\pi}{4} \) 
 **Explicação:** Usamos a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \): 
 \[ 
 \int_0^{\pi/2} \sin^2(x) \, dx = \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \left[ x - 
\frac{1}{2}\sin(2x) \right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi/2}{2} = \frac{\pi}{4} 
 \] 
 
12. **Qual é a equação da reta tangente à curva \( y = x^3 - 3x + 2 \) no ponto \( (1, 0) \)?** 
 - A) \( y = 3x - 3 \) 
 - B) \( y = 3x - 2 \) 
 - C) \( y = 2x - 2 \) 
 - D) \( y = 3x + 1 \) 
 
 **Resposta:** A) \( y = 3x - 3 \) 
 **Explicação:** Primeiro, encontramos a derivada: 
 \[ 
 y' = 3x^2 - 3 
 \] 
 Avaliando em \( x = 1 \): 
 \[ 
 y'(1) = 3(1)^2 - 3 = 0 
 \] 
 A equação da reta tangente é \( y - 0 = 0(x - 1) \), que é \( y = 0 \). 
 
13. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \)?** 
 - A) \( 1 \) 
 - B) \( 2 \) 
 - C) \( 3 \) 
 - D) \( 4 \) 
 
 **Resposta:** B) \( 2 \) 
 **Explicação:** A antiderivada é: 
 \[ 
 \int (x^2 + 2x + 1) \, dx = \frac{1}{3}x^3 + x^2 + x + C 
 \] 
 Avaliando de 0 a 1: 
 \[ 
 \left[ \frac{1}{3}(1)^3 + (1)^2 + (1) \right] - \left[ 0 \right] = \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{7}{3} 
 \] 
 
14. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \)?** 
 - A) \( 0 \) 
 - B) \( 1 \) 
 - C) \( 2 \) 
 - D) \( \infty \) 
 
 **Resposta:** C) \( 2 \) 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental, que nos dá: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = k \implies \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = 2 
 \] 
 
15. **Qual é a integral \( \int (6x^5 - 4x^3 + 2x) \, dx \)?** 
 - A) \( x^6 - x^4 + x^2 + C \) 
 - B) \( x^6 - \frac{4}{4}x^4 + x^2 + C \) 
 - C) \( \frac{6}{6}x^6 - \frac{4}{4}x^4 + x^2 + C \) 
 - D) \( \frac{6}{6}x^6 - \frac{4}{4}x^4 + 2x^2 + C \) 
 
 **Resposta:** A) \( x^6 - x^4 + x^2 + C \) 
 **Explicação:** A integral é calculada como: 
 \[ 
 \int (6x^5 - 4x^3 + 2x) \, dx = x^6 - x^4 + x^2 + C 
 \] 
 
16. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (3x^2 + 2x) \, dx \)?** 
 - A) \( 1 \) 
 - B) \( 2 \) 
 - C) \( 3 \) 
 - D) \( 4 \) 
 
 **Resposta:** A) \( 1 \) 
 **Explicação:** A antiderivada é: 
 \[ 
 \int (3x^2 + 2x) \, dx = x^3 + x^2 + C 
 \] 
 Avaliando de 0 a 1: 
 \[ 
 \left[ (1)^3 + (1)^2 \right] - \left[ 0 \right] = 1 + 1 = 2 
 \] 
 
17. **Qual é a derivada de \( f(x) = \cos(2x) \)?** 
 - A) \( -2\sin(2x) \) 
 - B) \( 2\sin(2x) \) 
 - C) \( -\sin(2x) \) 
 - D) \( \sin(2x) \) 
 
 **Resposta:** A) \( -2\sin(2x) \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: 
 \[ 
 f'(x) = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x)