Lista de Exercicios Fisica Básica (146)

Prévia do material em texto

SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 291
Como, de acordo com o enunciado, ∆Et = 0, a diferença Ki – Kf é igual à energia Um armazena-
da na mola:
U mv
m v
m M
mv
m
m M
mm i
i
i= −
+( ) = −
+



 =1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
2 2
2 vv
M
m M
i
2
+
.
Assim, a fração da energia cinética inicial que fica armazenada na mola é
U
K
M
m M
m
i
=
+
=
+
=240
60 240
0 80, .
58. Podemos pensar nesse processo como sendo composto por duas partes: a primeira é a co-
lisão em si, na qual os blocos se unem tão depressa que o bloco de 1,0 kg não tem tempo de se 
deslocar de uma distância significativa, e a segunda é o movimento subsequente do sistema de 
3,0 kg que comprime a mola até que atinja o comprimento mínimo xm. Aplicando a lei de con-
servação do momento à primeira parte (com o eixo x apontando para a direita), temos:
m1v1 = (m1+m2)v ⇒ ( , ( , ,2 0 3 0kg)(4,0 m s) kg)= 
v
o que nos dá v = 2,7 m/s. Aplicando a lei de conservação da energia mecânica à segunda parte, 
temos:
1
2
3 0
1
2
( , kg) (2,7 m s) (200 N m)2
m
2= x
o que nos dá xm = 0,33 m.
59. De acordo com o enunciado, a velocidade v do sistema como um todo, quando a mola atinge 
a máxima compressão xm, satisfaz a equação 
m1v1i + m2v2i = (m1 + m2)v.
A variação de energia cinética do sistema é, portanto,
∆K m m v m v m v
m v m v
i i
i= + − − = +1
2
1
2
1
21 2
2
1 1
2
2 2
2 1 1 2( )
( 22
2
1 2
1 1
2
2 2
2
2
1
2
1
2
i
i i
m m
m v m v
)
( )+
− −
o que nos dá ∆K = –35 J. (Embora não seja necessário para resolver o problema, vale a pena 
notar que a expressão acima também nos dá
∆K
m m
m m
v=
+




1
2
1 2
1 2
rel
2
sendo vrel = v1 – v2. 
De acordo com a lei de conservação da energia, temos:
1
2
2 2 35
1120
0 252kx K x
K
k
m m
J
N/m
m= − ⇒ = − = − − =∆ ∆ ( )
, .
60. (a) Seja mA a massa do bloco da esquerda, seja vAi a velocidade inicial desse bloco e seja vAf 
a velocidade final desse bloco. Seja mB a massa do bloco da direita, seja vBi a velocidade inicial 
desse bloco e seja vBf a velocidade final desse bloco. Como o momento do sistema de dois blo-
cos é conservado, 
mAvAi + mBvBi = mAvAf + mBvBf
e
v
m v m v m v
m
Af
A Ai B Bi B Bf
A
=
+ −
=
+( , )( , ) ( ,1 6 5 5 2kg m/s 44 2 5 2 4 4 9
1 6
1 9
kg m/s kg m/s
kg
m/s.
)( , ) ( , )( , )
,
,
−
=
292 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS
(b) O bloco continua a se mover para a direita após a colisão.
(c) Para verificar se a colisão é elástica, comparamos a energia cinética total antes da colisão 
com a energia cinética total após a colisão. A energia cinética total antes da colisão é
K m v m vi i i= + = +1
2
1
2
1
2
1 6 5 5
1
2
2 41 1
2
2 2
2 2( , )( , ) ( , )(22 5 31 72, ) ,= J.
A energia cinética total após a colisão é
K m v m vf f f= + = +1
2
1
2
1
2
1 6 1 9
1
2
2 41 1
2
2 2
2 2( , )( , ) ( , )(44 9 31 72, ) ,= J.
Como Ki = Kf, a colisão é elástica.
61. Seja m1 a massa do carrinho que está inicialmente em movimento, seja v1i a velocidade desse 
carrinho antes da colisão e seja v1f a velocidade desse carrinho após a colisão. Seja m2 a massa 
do carrinho que está inicialmente em repouso e seja v2f a velocidade desse carrinho após a coli-
são. De acordo com a lei de conservação do momento linear,
m v m v m vi f f1 1 1 1 2 2= + .
De acordo com a lei de conservação da energia, 
1
2
1
2
1
21 1
2
1 1
2
2 2
2m v m v m vi f f= + .
Resolvendo o sistema de equações acima, obtemos
v
m m
m m
v v
m
m m
vf i f i1
1 2
1 2
1 2
1
1 2
2
2= −
+
=
+
,
A velocidade do centro de massa é v
m v m v
m m
i i
CM .= +
+
1 1 2 2
1 2
(a) Para m1 = 0,34 kg, v1i = 1,2 m/s e v1f = 0,66 m/s, temos:
m
v v
v v
mi f
i f
2
1 1
1 1
1
1 2 0 66
1 2 0
=
−
+
= −
+
, ,
, ,
m/s m/s
m/s 666
0 34 0 0987 0 099
m/s
kg kg kg




= ≈( , ) , , .
(b) A velocidade do segundo carrinho é
v
m
m m
vf i2
1
1 2
1
2 2 0 34
0 34 0 099
=
+
=
+


( , )
, ,
kg
kg kg
=( , ) , .1 2 1 9m/s m/s
(c) De acordo com os resultados anteriores, a velocidade do centro de massa é
v
m v m v
m m
i i
CM
kg m/s= +
+
= +1 1 2 2
1 2
0 34 1 2 0
0 34
( , )( , )
, kkg kg
m/s
+
=
0 099
0 93
,
, .
Nota: Para calcular vCM, usamos os valores das velocidades iniciais dos dois carrinhos. Como 
se trata de um sistema que não está sujeito a forças externas, vCM é a mesma após a colisão e 
teríamos obtido o mesmo resultado se tivéssemos usado as velocidades finais:
v
m v m v
m m
CM
f f=
+
+
= +1 1 2 2
1 2
0 34 0 66 0 0( , )( , ) ( ,kg m/s 999 1 9
0 34 0 099
0 93
kg m/s
kg kg
m/s
)( , )
, ,
, .
+
=
 62. (a) Seja m1 a massa de uma das esferas, seja v1i a velocidade dessa esfera antes da colisão 
e seja v1f a velocidade dessa esfera depois da colisão. Seja m2 a massa da outra esfera, seja v2i a 
velocidade dessa esfera antes da colisão e seja v2f a velocidade dessa esfera depois da colisão. 
Nesse caso, de acordo com a Eq. 9-75,
v
m m
m m
v
m
m m
vf i i1
1 2
1 2
1
2
1 2
2
2= −
+
+
+ .