Exercicios Teoria Elementar dos Numeros 47

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Solução: Se 7, 11 e 13 são os restos, a divisão de 160 – 7 = 153, 198 – 11 = 
187 e 370 – 13 = 357 pelo inteiro positivo é exata. Como esse inteiro é o maior 
inteiro positivo, esse número é o mdc(153, 187, 357). 
Mdc(357, 187) 
357 = 187x1 + 170 
187 = 170x1 + 17 
170 = 17x 10 + 0  mdc (357, 187) = 17. 
 
Mdc(153, 17) 
153 = 17x9  mdc(153, 17) = 17. Portanto, o número é 17. Resposta: 17. 
 
16 – Determinar os inteiros positivos a e b, sabendo-se que: 
 
(a) a + b = 64 e mdc(a, b) = 9 
Solução:- Se mdc(a, b) = 9, então a e b são múltiplos de 9. 
Portanto, 9x + 9b = 63  x + y = 7.  x = 1, y = 6; x = 2, y = 5; x = 3, y = 4. 
Os demais valores inteiros de x resultarão em iguais valores para o para (a, b). 
Para x = 1, a = 9.1 = 9 e b = 9.6 = 54; para x = 2, a = 9.2 = 18 e b = 9.5 = 45; 
a = 9.3 = 27 e b = 9.4 = 36. 
Resposta, 9 e 54; 18 e 45 ou 27 e 36. 
(b) ab = 756 e mdc(a, b) = 6. 
Solução: Como acima, 6r.6s = 36rs = 756  rs = 21  r = 7 e s = 3 ou r = 3 e s 
= 7. 
Portanto, os números são 6.3 = 18 e 6.7 = 42. 
Resposta:42. 
 
17 – Os restos das divisões dos inteiros 4933 e 4435 por um inteiro positivo n são 
respectivamente 37 e 19. Achar o inteiro n. 
Solução: Como os restos são 37 e 19, 4933 – 37 = 4896 e 4435 – 19 = 4416 são 
múltiplos comuns de n. 
Portanto, n é divisor comum de 4896 e 4416  n é divisor do mdc(4869, 4416). 
Mdc(4869, 4416) 
4896 = 4416x1 + 480 
4416 = 480x 9 + 96 
480 = 96x5 + 0  mdc(4896, 4416) = 96. 
N é um divisor de 96, maior que 37 que é o resto da divisão de 4933 por n. 
Portanto, n = 96 ou n = 48. 
Resposta: 96 e 48. 
CAPÍTULO 5 - Questões 18 a 32 
18 – Demonstrar que se n = abc + 1, então o mdc(n, a) = mdc(n, b) = mdc(n, c) 
= 1. 
Solução: n = abc + 1  n – abc = 1  n(1) + a(-bc) = 1. Como (1) e (-bc) são 
inteiros, conclui-se que mdc(n,a) = 1. 
De forma semelhante: