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5. Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \), \( y(0) = 1 \): 
a) \( y = e^{-2x}(\frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{5}{3}) \) 
b) \( y = e^{-2x}(\frac{1}{3}x^2 - 1) \) 
c) \( y = e^{-2x}(C + \frac{1}{3}x^2) \) 
d) \( y = \frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{2}x + C \) 
**Resposta:** a) \( y = e^{-2x}(\frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{5}{3}) \) 
**Explicação:** A equação é de primeira ordem e linear. Usamos um fator integrante: 
\[ \mu(x) = e^{\int 2 \, dx} = e^{2x}. \] 
Multiplicando toda a equação por \( e^{2x} \) e resolvendo, obtemos: 
\[ e^{2x}\frac{dy}{dx} + 2e^{2x}y = x^2e^{2x} \] 
Integrando ambos os lados e aplicando a condição inicial, encontramos: 
\( y \) como expresso na resposta. 
 
 
6. A função \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \) tem uma derivada \( f'(x) \) dada por qual das seguintes 
expressões? 
a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
b) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
c) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) 
d) \( \frac{2x^2}{x^2 + 1} \) 
**Resposta:** a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: 
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \ln(g(x)) = \frac{g'(x)}{g(x)} \] 
onde \( g(x) = x^2 + 1 \) e \( g'(x) = 2x \). Portanto: 
\[ f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}. \] 
 
 
7. Encontre a segunda derivada de \( f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 \). 
a) \( 12x^2 - 24x + 12 \) 
b) \( 12x^2 - 24x \) 
c) \( 24x^2 - 24 \) 
d) \( 12x - 12 \) 
**Resposta:** a) \( 12x^2 - 24x + 12 \) 
**Explicação:** Calculamos a primeira derivada: 
\[ f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4 \] 
Agora, a segunda derivada: 
\[ f''(x) = 12x^2 - 24x + 12. \] 
 
 
8. Calcule o determinante da matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \). 
a) -2 
b) 2 
c) 4 
d) 0 
**Resposta:** a) -2 
**Explicação:** O determinante de uma matriz \( 2x2 \) é calculado como: 
\[ \text{det}(A) = ad - bc \] 
Assim, temos: 
\[ \text{det}(A) = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2. \] 
 
 
9. Qual é o valor de \( \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx \)? 
a) \( \frac{\pi}{2} \) 
b) \( \frac{\pi}{4} \) 
c) \( \frac{3\pi}{4} \) 
d) \( \frac{1}{2} \) 
**Resposta:** b) \( \frac{\pi}{4} \) 
**Explicação:** Usando a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \), temos: 
\[ \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx = \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \left[ x - 
\frac{1}{2} \sin(2x) \right]_{0}^{\pi} \] 
\[ = \frac{1}{2} \left[ \pi - 0 \right] = \frac{\pi}{4}. \] 
 
 
10. Qual é a solução da equação \( e^{2x} + 3e^{x} - 4 = 0 \)? 
a) \( x = \ln(1) \) 
b) \( x = -\ln(2) \) 
c) \( x = 0 \) 
d) \( x = \ln(2) \) 
**Resposta:** b) \( x = -\ln(2) \) 
**Explicação:** Definindo \( u = e^x \), a equação se torna \( u^2 + 3u - 4 = 0 \). Usando 
Bhaskara: 
\[ u = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 + 4 \cdot 4}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2} \] 
Temos \( u = 1 \) ou \( u = -4 \). A única solução válida é \( u = 1 \rightarrow e^x = 1 
\rightarrow x = 0 \). 
 
 
11. Encontre a raiz da equação \( x^2 - 5x + 6 = 0 \). 
a) \( 2 \) e \( 3 \) 
b) \( 4 \) e \( 1 \) 
c) \( 6 \) e \( -1 \) 
d) \( 0 \) e \( -6 \) 
**Resposta:** a) \( 2 \) e \( 3 \) 
**Explicação:** Usando Bhaskara: 
\[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)} = \frac{5 \pm 1}{2} \] 
As raízes são \( x = 3 \) e \( x = 2 \). 
 
 
12. Qual é o valor da integral indefinida \( \int (4x^3 - 2x^2 + 3x - 1) \, dx \)? 
a) \( x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - x + C \) 
b) \( x^4 - 2x^3 + \frac{3}{2}x^2 + C \) 
c) \( x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x + C \) 
d) \( x^4 - 2x^3 + 3x + C \)