Propriedades dos Logaritmos

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Centro de E= ~ ~ "- Universidade t& ESTADO~ÁS 
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Curso: Programa de Ensino e Aprendizagem em Rede - PEAR 
Professor: João Alves Bento 
Nome ,da disciplina: Fundamentos da Matemática 
.Discente: Amanda Cristina 
Pesquisa-=: Envio d,e tarefa -(2~9)· 
Deduzir o passo a passo das quatro propriedades operatórias dos logaritmos. 
1) Logaritmo de um produto 
2) Logaritmo de um quociente 
3) Logaritmo de uma potência 
4) Mudança de base de um logaritmo 
. ,. . -- """ 
Resposta 
- " 1 --
1) Logaritmo de um produto 
A propriedade do logaritmo de um produto é: 
logb(x • y) = logb(x) + logb(Y) 
Demonstração: 
Considere logb(x) =me logb(Y) = n_ Isso significa 
que: 
bm = x e b" = y 
Multiplicando as duas equações: 
b"'. b" =X. y 
Pela propriedade das potências, temos: 
bm+n =X· y 
Tomando o logaritmo na base b de ambos os 
lados: 
logb(x • y) = m + n 
Substituindo os valores de me n: 
2) Logaritmo de um quociente 
A propriedade do logaritmo de um quociente é: 
logb (~) = logb(x) - logb(Y) 
Demonstração: 
Considere lo&(x) =me logb(Y) = n, então: 
b"' = x e b" = y 
Dividindo as duas equações: 
X b"' -=-= bm-n 
y b" 
Tomando o logaritmo na base b de ambos os 
lados: 
logb (:.) = m - n 
y 
Substituindo os valores de me n: 
3) Logaritmo de uma potência 
A propriedade do logaritmo de uma potência é: 
logb(xk) = k - logb(x) 
Demonstração: 
Considere lo&(x) = m, então: 
b"' = X 
Elevando ambos os lados da equação à potência 
k: 
Pela propriedade das potências: 
Tomando o logaritmo na base b de ambos os 
lados: 
logb(xk) = m. k 
Substituindo o valor de m: 
4) Mudança de base de um logaritmo 
A fórmula para a mudança de base é: 
lo (x) = logb(x) 
g,,, logb(a) 
Demonstração: 
Considere logª(x) = m, então: 
a"' =x 
Podemos escrever a em termos da base b: 
a = blog,,(a) 
Substituindo isso na equação a"' = x: 
(blog,,(a))m = X 
Pela propriedade das potências: 
bm·log,,(a) = X 
Tomando o logaritmo na base b de ambos os lados: 
m • logb(a) = logb(x) 
Isolando m: 
Como m = logª(x), temos: 
logb(x) 
log,,(x) = -
1 
-(-) 
ogb a 
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