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229
07 - Vibração Forçada
 Harmonicamente 
sem Amortecimento
Introdução
Modelo Matemático
Resposta no tempo
Resposta em freqüência
Ressonância
Ref.: LT 3.1 a 3.3
Problemas: 3.1 a 3.20
230
Vibração forçada
Existe uma fonte externa adicionando energia ao 
sistema:
Força F(t)
Torque T(t)
Deslocamento externo y(t)
Aceleração externa d2y/dt2
INTRODUÇÃO
231
Excitação & Resposta
F(t) harmônica x(t) harmônica 
monofreqüência
F(t) Periódica 
não harmônica
x(t) harmônica multifreqüência
F(t) aperiódica
de curta duração
x(t) transiente
F(t) aleatória 
(ou Randômica)
x(t) aleatória
232
Excitação Harmônica
 F(t) = F0e
it = F0 (cost + i sent) ou
 F(t) = F0 cost ou
F(t) = F0 sent
F0 = amplitude da excitação
 = freqüência da excitação
233
SISTEMAF(t) harmônica x(t) harmônica
 = n RESSONÂNCIA
x(t) muito grande, podendo
 ocasionar a falha do sistema
IMPORTÂNCIA DO ESTUDO DA EXCITAÇÃO 
HARMÔNICA
234
Exemplos de Excitação Harmônica
Máquina rotativa desbalanceada
Automóvel deslocando-se sobre estrada de perfil 
senoidal 
Chaminé alta submetida a vórtices, etc
235
Equação do Movimento
DCL
...
x xmxckx)t(Fxm)t(F
..
=−−=
→→
)t(Fkxxcxm
...
=++ (3.1)
236
)t(Fkxxcxm
...
=++
Solução
EDOL de 2a ordem, coeficientes constantes, 
não homogênea
Solução Geral: x(t) = xh(t) + xp(t)
Solução Homogênea Solução Particular
Solução Homogênea xh: é a solução da equação
0kxxcxm
...
=++ (3.2)
já estudada, tende a desaparecer quando há amortecimento; representa a 
resposta transiente
Solução Particular xp: representa a resposta permanente
237
Fim da resposta transiente e 
início da resposta permanente
238
Resposta de Sistema sem Amortecimento à 
Excitação Harmônica
)t(Fkxxcxm
...
=++ tcosFkxxm 0
..
=+ (3.3)
Solução Homogênea: tsenCtcosC)t(x n2n1h += (3.4)
Solução Particular: tcosX)t(xp = (3.5)
tXsen)t(xp
.
−= tcosX)t(x 2
p
..
−=Derivando:
Levando na eq. (3.3): tcosFtcoskXtcosXm 0
2 =+−
2
0
mk
F
X
−
=Amplitude da resposta permanente: (3.6)
239
Solução Geral: )t(x)t(x)t(x ph +=
tcos
mk
F
tsenCtcosC)t(x
2
0
n2n1 
−
++= (3.7)
Aplicando as C.I. :x)0(x e x)0(x 0
..
0 ==
n
0
.
22
0
01
x
C e 
mk
F
xC

=
−
−= (3.8)
tcos
mk
F
tsen
x
tcos)
mk
F
x()t(x
2
0
n
n
0
.
n2
0
0 
−
+

+
−
−= (3.9)
240
Levando em conta a eq. (3.6):
Fator de Amplificação
st
2
0
mk
F
FA

−=
st
X
FA

=
2
nn mk
m
k
==
2
n
1
1
FA










−
= (3.10)
k
m
1
1
mk
k
22 
−
=
−
=
k
F
mk
F
FA
0
2
0
−=
241
Relação de Freqüências:
n
r


=
2
n
st
1
1X
FA










−
=

=
2r1
1
FA
−
=
Resposta em 
Freqüência:
242
Análise da Resposta em Freqüência
Caso 1: 0 1  1 - r2 é (-)  X é (-)
2
st r1
1X
FA
−
=

=
Resposta permanente:
tcosX)t(xp −= (3.11)
km
F
X
2
0
−
= (3.12)
r →   X → 0
xp(t) em oposição de fase com F(t)
onde a amplitude X é redefinida como:
244
Caso 3: r = 1  X →  
1r
1X
FA
2
st −
=

=
Resposta na Ressonância: o modelo 
matemático passa a ser
ARESSONÂNCI n =
)t(Fkxxcxm
...
=++
tcos
m
F
x
m
k
x n
0
..
=+
2
n
2
0
_
2
n
2
s
s
m
F
)s(x)s(
+
=+
tcos
m
F
xx n
02
n
..
=+
( )22
n
2
0
_
s
s
m
F
)s(x
+
=
c=0
Aplicando 
Laplace:
245
Transformada inversa:
n
n0
2
ttsen
m
F
)t(x


=
ttsen
k2
F
)t(x n
n0 

= (3.15)ttsen
2
)t(x n
nst 

=
246
O Fenômeno do Batimento
Batimento = fenômeno que ocorre quando a excitação 
harmônica tem uma freqüência muito próxima (mas não 
exatamente igual) à freqüência natural do sistema
Consideremos a solução geral
tcos
mk
F
tsen
x
tcos)
mk
F
x()t(x
2
0
n
n
0
.
n2
0
0 
−
+

+
−
−= (3.9)
Sejam ambas as C. I. nulas (sistema inicialmente em repouso):
tcos
mk
F
tcos)
mk
F
()t(x
2
0
n2
0 
−
+
−
−=
247
)tcost(cos
m/F
)tcost(cos
mk
F
)t(x n22
n
0
n2
0 −
−
=−
−
=
)t
2
tsen
2
sen2(
m/F
)t(x nn
22
n
0 −+
−
= (3.18)
Consideremos  um pouquinho menor do que n:
=− 2n (3.19)
onde  é uma quantidade positiva muito pequena
+ 2n
Por outro lado, se n  , então
(3.20)
Multiplicando as eqs. (3.19) e (3.20):
248
=− 422
n (3.21)
Substituindo as eqs. (3.19), (3.20) e (3.21) na eq. (3.18):
tsen)tsen
2
m/F
()t(x 0 

= (3.22)
Como 