Cálculo 2 Lista - regra da cadeia

Prévia do material em texto

Lista de exercícios 17 - MAT039 Cálculo II
Regra da cadeia e derivação implícita
Questão 1 Use a Regra da Cadeia para determinar dz/dt ou dw/dt.
(a) z = x2y + xy2, x = 2 + t4, y = 1− t3
(b) z = sen x cos y, x = πt, y =
√
t
(c) w = x ey/z, x = t2, y = 1− t, z = 1 + 2t.
Questão 2 Considere z = xy2 + e2x, com x = ln t e y = 1 + t2.
(a) Explicite z em termos de t
(b) Obtenha dz/dt derivando a expressão obtida.
(c) Use a Regra da Cadeia para determinar dz/dt e compare com o resultado do item anterior.
Questão 3 Use a Regra da Cadeia para determinar ∂z/∂s e ∂z/∂t.
z = er cos θ, r = st, θ =
√
s2 + t2.
Questão 4 Utilize um diagrama em árvore para escrever ∂w/∂x e ∂w/∂y fornecidos pela Regra da
Cadeia no caso em que w = f(r, s, t), com r = r(x, y), s = s(x, y) e t = t(x, y).
Questão 5 Utilize a Regra da Cadeia para determinar ∂z/∂u, ∂z/∂v e ∂z/∂w quando u = 2, v = 1
e w = 0 no caso em que
z = x2 + xy3, x = uv2 + w3, y = u+ v ew.
Questão 6 Usando derivação implícita, determine dy/dx quando √
xy = 1 + x2y.
Questão 7 Usando derivação implícita, determine ∂z/∂x e ∂z/∂y quando x2 + y2 + z2 = 3xyz.
Questão 8 Se z = f(x− y), mostre que ∂z
∂x
+
∂z
∂y
= 0.
Questão 9 Se z = f(x, y), onde x = r cos θ e y = r sen θ.
(a) Determine ∂z/∂r e ∂z/∂θ.
(b) Mostre que
(
∂z
∂x
)2
+
(
∂z
∂y
)2
=
(
∂z
∂r
)2
+
1
r2
(
∂z
∂θ
)2
.