Dimensionamento de lajes maciças à flexão

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CONCRETO 
ARMADO: VIGAS E 
LAJES
Diego da Luz Adorna
Dimensionamento de 
lajes maciças à flexão
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Reconhecer flexão composta normal.
 � Comparar restrições às flechas nas lajes.
 � Relacionar, por meio de exemplo, lajes maciças à flexão.
Introdução
As lajes são elementos estruturais submetidos, principalmente, a es-
forços solicitantes internos de flexão. A flexão se manifesta na forma 
de momentos fletores e provoca o aparecimento de forças internas de 
tração e compressão ao longo da seção transversal da laje. Além disso, 
a flexão provoca o surgimento de deslocamentos transversais na laje, 
os quais são chamados de deflexões. O dimensionamento das lajes 
maciças frente aos esforços de flexão busca garantir a estabilidade da 
estrutura, de modo a impedir a ruína destas quando forem submeti-
das à ação das cargas. O dimensionamento das lajes varia de acordo 
com a forma como as armaduras se distribuem no elemento estrutural: 
em apenas uma direção ou armadas em cruz.
Neste capítulo, você vai aprender como se desenvolvem os esforços 
internos de flexão e quais são as maneiras de restringir as deflexões e 
os procedimentos de dimensionamento de lajes maciças armadas em 
apenas uma direção e armadas em cruz.
1 Flexão em lajes de concreto armado
Definição de lajes
As lajes de concreto armado são elementos estruturais planos, em forma de 
placa, que têm uma espessura significativamente menor que as outras dimen-
sões, ou seja, comprimento e largura. Em função disso, as lajes se comportam 
como elementos flexíveis, apresentando deformações que variam de acordo 
com o comprimento do vão e a posição dos apoios nas bordas. Quando a laje é 
apoiada em bordas opostas (armadas em uma direção), a deformação se mani-
festa na forma de uma curvatura única, como pode ser visto na Figura 1a. Por 
outro, quando a laje é apoiada em todas as bordas (armadas em duas direções), 
a deformação se manifesta na forma de uma curvatura dupla (Figura 1b), 
de acordo com Leet, Uang e Gilbert (2009). Dependendo do tipo de vínculo 
(laje × viga) nessas bordas, a deformação e a flecha, oriundas da flexão, também 
variam (Figura 2).
Figura 1. Deformação em laje (a) apoiada em duas bordas e (b) apoiada em todas as bordas.
Fonte: Adaptada de Leet, Uang e Gilbert (2009).
Figura 2. Deformação em laje devido ao tipo de vínculos em seus bordos.
Fonte: Adaptada de Botelho e Marchetti (1996).
Dimensionamento de lajes maciças à flexão2
Em estruturas usuais, as lajes são empregadas como pisos de pavimentos 
e ficam responsáveis por receber e transmitir cargas verticais para as vigas 
(PORTO; FERNANDES, 2015). Nesses casos, os esforços atuantes no conjunto 
laje × viga demonstram que qualquer movimentação em um desses elementos 
tem uma consequência no outro (Figura 3). Em alguns casos, porém, a estrutura 
pode ser concebida de modo que as lajes sejam apoiadas diretamente sobre 
os pilares, dando origem, portanto, aos sistemas construtivos denominados 
como lajes cogumelos e lajes lisas.
Figura 3. Cadeia de fenômenos envolvendo o conjunto 
laje × viga.
Flecha laje
Flecha
viga
Rigidez à torção
da viga
Rigidez à
�exão da laje
Cargas atuantes em lajes
Ao longo da sua vida útil, as edificações são submetidas a um conjunto de 
cargas responsáveis por gerar tensões internas e deformações nas estruturas. 
Essas cargas são produzidas pela incidência de ações sobre a edificação, 
classificadas, de acordo com a NBR 6.118 (ABNT, 2014), em permanentes, 
variáveis e excepcionais. Ações permanentes são aquelas cujos valores prati-
camente não variam ao longo da vida útil da edificação, como, por exemplo, 
3Dimensionamento de lajes maciças à flexão
o peso próprio da estrutura, dos revestimentos e das alvenarias ou, ainda, 
os empuxos de terra. Ações variáveis, por sua vez, são aquelas cujos valores 
são inconstantes ao longo da vida útil (p. ex., as sobrecargas de utilização — 
como transformar uma sala de estar em biblioteca — e a ação dos ventos). 
As ações excepcionais, por fim, são aquelas que raramente ocorrem ao longo 
da vida útil da edificação (e têm um curtíssimo prazo/tempo de aplicação), 
como sismos, impactos de veículos, entre outras. As ações podem ser verticais 
ou horizontais (Figura 4).
Figura 4. Ações verticais e horizontais atuantes em uma estrutura usual.
Fonte: Adaptada de Kimura (2007).
As lajes são elementos submetidos a cargas perpendiculares ao seu plano. 
Essas cargas provêm, principalmente, do peso próprio da estrutura, dos reves-
timentos e das paredes de alvenaria e das sobrecargas de utilização, que variam 
de acordo com o tipo de uso da edificação, como pode ser visto na Figura 5.
Dimensionamento de lajes maciças à flexão4
Figura 5. Cargas atuantes em lajes.
Cargas verticais
h/2
x
h/2
h
90º
y
z
H
h
bw
Cargas horizontais
CARGAS:
1) peso próprio;
3) ações acidentais.
2) carga alvenarias
+ revestimentos;
ly
lx
O peso próprio da estrutura é determinado por meio das características geométricas 
do elemento analisado e do peso específico dos respectivos materiais componen-
tes. As sobrecargas de utilização são determinadas em função do uso da edificação 
(residencial, comercial, entre outros), ao passo que as cargas atuantes na estrutura 
são determinadas por meio da ABNT NBR 6120: ações para o cálculo de estruturas de 
edificações, da Associação Brasileira de Normas Técnicas.
As cargas atuantes em lajes tendem a se distribuir uniformemente ao longo 
do plano, ou seja, elas são determinadas em função da área do elemento. 
Em alguns casos, no entanto, pode ser observada a atuação de cargas concen-
tradas na laje, como, por exemplo, em fundações do tipo radier, nas quais os 
pilares nascem diretamente a partir do plano da laje. A atuação dessas cargas 
sobre a laje acarreta o desenvolvimento de esforços internos e, em consequência, 
deformações. De modo geral, os esforços internos de flexão são preponderan-
5Dimensionamento de lajes maciças à flexão
tes em lajes de concreto armado, tanto do ponto de vista de ruptura quanto 
de utilização. Em lajes de vãos muito curtos ou com cargas muito elevadas, 
no entanto, o cisalhamento pode vir a se tornar mais significativo que a flexão.
Tipos de flexão
A flexão consiste em um mecanismo estrutural decorrente da aplicação de 
cargas transversais que provoca a curvatura da laje e o aparecimento de tensões 
internas de compressão e tração em diferentes fibras de um mesmo elemento, 
segundo Silva e Souto (2015). Esse comportamento está representado na 
Figura 6, na qual as setas convergentes indicam tração e as setas divergentes 
indicam compressão.
Figura 6. Flexão em um elemento estrutural. Quando duas ou mais dessas 
solicitações atuam em conjunto, podemos chamar de composta.
Fonte: Adaptada de Garrison (2018).
F
Compressão
Tração
O grau de flexão de uma laje de concreto armado depende das carac-
terísticas da seção transversal, do vão e da carga aplicada (GARRISON, 
2018). Lajes de maior espessura, por exemplo, apresentam maior rigidez e, 
portanto, maior capacidade de resistir às deformações de flexão. Lajes com 
vãos muito amplos ou com carregamentos elevados, por sua vez, apresentam 
maior tendência à flexão.
Dimensionamento de lajes maciças à flexão6
A flexão pode se manifestar de diversas maneiras em um elemento estrutu-
ral, devendo, desse modo, ser identificado o tipo de esforço atuante, de modo a 
determinar os procedimentos de dimensionamento necessários. Botelho (2017) 
distingue os tipos de flexão como flexão normal e flexão oblíqua:
 � Flexão normal: também conhecida como flexão reta, ela ocorre quando 
os momentos fletores atuam em planos perpendiculares aos eixos de 
simetria da seção transversal. No caso de seções transversais não simé-
tricas, são considerados os eixos principais de inércia, ou seja, aqueles 
que passam pelo centro de gravidade da seção;
 � Flexão oblíqua: também conhecida como flexãodesviada, esse tipo 
ocorre quando os momentos fletores atuam em planos oblíquos (não 
perpendiculares) aos eixos de simetria ou eixos principais de inércia 
da seção transversal.
Tanto a flexão normal quanto a flexão oblíqua podem ser subclassificadas 
em simples e composta. A flexão simples atua em seções transversais sub-
metidas apenas ao momento fletor (M) e ao esforço cortante (Q) (Figura 7a). 
A flexão composta, por sua vez, atua em seções transversais submetidas ao 
momento fletor (M) e ao esforço normal (N), podendo, ou não, haver a inci-
dência de esforço cortante (Q) (Figura 7b) (SILVA; SOUTO, 2015).
Figura 7. Flexão normal (a) simples e (b) composta.
Fonte: Silva e Souto (2015, p. 89–90).
(a) (b)
7Dimensionamento de lajes maciças à flexão
A flexão pode ser subclassificada, ainda, em flexão pura. A seção 
transversal está submetida à flexão pura quando nela atuar somente o mo-
mento fletor (M), conforme destacam Silva e Souto (2015). As lajes de con-
creto armado têm comportamento frente à flexão semelhante ao das vigas. 
Na Figura 8a, é representada a seção transversal de um elemento estrutural. 
O eixo neutro, também chamado de linha neutra, representa a interface entre 
a zona comprimida e tracionada, conforme Figura 8b, na qual as tensões 
atuantes na seção são nulas (GARRISON, 2018).
Para o dimensionamento das seções transversais frente à flexão, devem 
ser estabelecidas, inicialmente, algumas hipóteses, segundo Garrison (2018). 
O material, por exemplo, deve ser considerado linearmente elástico, con-
forme representado na Figura 8c, ou seja, a distribuição de tensões varia de 
modo linear ao longo da seção transversal. Além disso, o material deve ser 
considerado homogêneo, ao passo que o módulo de elasticidade (E) precisa 
ser considerado o mesmo na tração e na compressão.
Figura 8. (a) Seção transversal de um elemento estrutural submetido à flexão, (b) diagrama 
de força e (c) diagrama de tensão.
Fonte: Garrison (2018, p. 186).
Dimensionamento de lajes maciças à flexão8
A Norma Técnica ABNT NBR 6118, da Associação Brasileira de Normas Técnicas, que 
estabelece os procedimentos de projeto de estruturas de concreto armado, enumera, 
no item 17.2.2, uma série de hipóteses básicas que devem ser consideradas no dimen-
sionamento de vigas (e, por analogia, de lajes) e de pilares.
2 Deflexões em lajes maciças
Definição de deflexão
Lajes e vigas são elementos estruturais com comportamento semelhante: 
as duas estão submetidas a carregamentos perpendiculares ao seu eixo 
(ou plano) principal e, desse modo, ambas sofrem deslocamentos transversais, 
denominados deflexões ou flechas. A deflexão consiste no deslocamento 
vertical, medido em milímetros, que a laje ou a viga sofre após a aplicação 
de um carregamento, como pode ser visto na Figura 9 (GARRISON, 2018).
Figura 9. Deflexão em uma laje ou viga.
Fonte: Garrison (2018, p. 311).
A deflexão depende do tipo de apoio, do comprimento do vão, da geome-
tria da seção transversal, das propriedades dos materiais empregados e dos 
carregamentos atuantes no elemento estrutural (BOTELHO, 2017). O módulo 
de elasticidade do material e o momento de inércia da seção transversal são 
dois parâmetros determinantes na deflexão de lajes:
9Dimensionamento de lajes maciças à flexão
 � Módulo de elasticidade (E): também denominado Módulo de Young, 
consiste na relação entre a tensão aplicada (σ) em um material e a 
deformação (ε) sofrida por este, conforme equação a seguir. Quanto 
maior o módulo de elasticidade de um material, maior a capacidade 
que este tem de resistir às deformações.
 � Momento de inércia (I): consiste em um parâmetro obtido em função 
da geometria da seção transversal, relacionado à rigidez desta. Quanto 
maior o momento de inércia em uma determinada direção, maior a 
capacidade de a seção transversal resistir às deformações na referida 
direção.
As deflexões podem ser imediatas ou diferidas ao longo do tempo. 
As deflexões imediatas são aquelas decorrentes da aplicação do carregamento 
na estrutura, como, por exemplo, as cargas provenientes do peso próprio 
que descarregam na estrutura quando as escoras são retiradas. As deflexões 
diferidas no tempo são aquelas decorrentes da atuação do carregamento ao 
longo da vida útil da estrutura e das propriedades do material, como, por 
exemplo, a fluência do concreto.
Deflexões excessivas podem ocasionar danos em elementos estruturais e 
não estruturais, como esforços excessivos de segunda ordem, fissuras com 
abertura superior ao limitado por norma, perda de funcionalidade de janelas, 
desplacamento de pisos e formação de trincas em alvenarias. Garrison (2018) 
destaca que o estudo das deflexões no projeto estrutural para minimizá-las 
é um quesito crucial.
As estruturas de concreto armado devem ser dimensionadas de modo que as suas 
deflexões atendam a determinados valores-limite pré-estabelecidos em Norma Técnica. 
Esses valores-limite estão definidos na Norma Técnica ABNT NBR 6118: projeto de estru-
turas de concreto: procedimento, da Associação Brasileira de Normas Técnicas, no item 
13.3, visualmente falando, limitados ao vão livre (em metros) divididos por 250 (l / 250).
Dimensionamento de lajes maciças à flexão10
Restrição das deflexões em lajes
As deflexões ocorrem naturalmente em lajes de concreto armado e a sua 
existência não implica, necessariamente, em risco de ruína ou má funciona-
lidade da edificação. Quando excessivas, no entanto, as deflexões devem ser 
remediadas, de modo a atender aos critérios do estado-limite último (ELU) 
e do estado-limite de serviço (ELS). As deflexões em lajes podem ser restrin-
gidas ou minimizadas por meio de modificações no projeto estrutural, pela 
alteração das características da seção geométrica e/ou dos materiais ou, ainda, 
pela execução de contraflechas. 
Modificações no projeto estrutural
As modificações no projeto estrutural são realizadas com o objetivo principal 
de redistribuir os esforços solicitantes na estrutura, de modo a reduzir a flexão 
em lajes, por exemplo, e, por consequência, mitigar as deflexões. As principais 
modificações empregadas no projeto estrutural são: redução da carga atuantes, 
alteração das condições de apoio e redução do comprimento dos vãos.
Os esforços internos de flexão decorrem da aplicação de cargas transversais 
na laje de concreto, desse modo, a redução de cargas atuantes tende a diminuir 
as deflexões no elemento. As cargas podem ser reduzidas, por exemplo, por 
meio do emprego de materiais mais leves, seções mais esbeltas ou cargas 
acidentais menores. Essas soluções, no entanto, nem sempre são viáveis do 
ponto de vista de projeto, execução e utilização da edificação.
A alteração da vinculação entre lajes e vigas ou lajes com lajes pode pro-
mover a redução de esforços positivos e negativos de flexão e, dessa forma, 
reduzir o valor da deflexão na laje. Na Figura 10, é apresentado um exemplo 
desse comportamento. O elemento biapoiado da Figura 10a, quando submetido 
a uma determinada carga distribuída, sofre uma deflexão. Ao substituir o apoio 
duplo em A por um engaste, conforme representado na Figura 10b, há uma 
alteração no perfil de deformação do elemento com a redução da deflexão 
ocasionada pelo momento positivo e o surgimento de uma deflexão devido 
ao momento negativo. Em algumas situações, pode ser realizada a supressão 
de um engaste por um apoio simples ou duplo ou a inserção de uma rótula 
no elemento.
11Dimensionamento de lajes maciças à flexão
A redução da deflexão na laje também pode ser atingida pela execução 
de novos pontos de apoio, como vigas e/ou pilares, reduzindo, desse modo, 
o comprimento do vão. Apesar de ser uma medida eficiente, ela está atrelada 
ao aumento de custos no projeto e a possíveis incompatibilidades com o 
projeto arquitetônico.
Figura 10. Deflexão em um elemento (a) biapoiado e (b) engastado apoiado.
Fonte: Adaptada de Beer et al. (2015).
(a) (b)
Alterações das características geométricas 
da seção transversalA geometria da seção transversal de um elemento qualquer influencia a capa-
cidade deste em resistir a deformações. Essa propriedade é chamada de rigidez 
e pode ser indiretamente analisada por meio do momento de inércia da seção.
Na Figura 11, são apresentadas seções transversais de mesma área referentes 
a elementos estruturais carregados perpendicularmente, como lajes e vigas. 
Além disso, também são apresentadas as respectivas equações de momento 
de inércia de cada seção. A seção transversal A apresenta maior momento de 
inércia e, portanto, maior rigidez que a seção transversal B. Conforme afir-
mam Silva e Souto (2015), quanto maior a altura da seção transversal, maior o 
braço de alavanca e, portanto, maior a resistência à flexão (por consequência, 
menores as deformações sofridas pelo elemento estrutural).
Dimensionamento de lajes maciças à flexão12
Figura 11. Seções transversais A e B.
O acréscimo de inércia em seções transversais consiste, desse modo, em 
uma das soluções para aumentar a rigidez da laje e, portanto, na sua capacidade 
de resistir a deformações. O aumento da rigidez em lajes é realizado por meio 
do aumento da altura da seção transversal. O acréscimo de altura, no entanto, 
pode provocar sobrecargas excessivas na laje e aumentar significativamente os 
custos envolvidos no projeto, devendo ser, portanto, uma solução empregada 
com moderação.
Alterações das características dos materiais
Em lajes de concreto armado, o concreto é responsável por resistir aos esforços 
de compressão, enquanto o aço é responsável por resistir aos esforços de tração. 
Para aumentar a resistência do elemento estrutural frente às deformações, 
é possível utilizar concretos de maior resistência mecânica ou aumentar a área 
de aço na laje por meio do aumento do diâmetro das barras ou aumento do 
número de barras. A alteração das características dos materiais pode provocar 
o aumento de custos significativos na execução das lajes, sendo indicado, por 
essa razão, apenas quando alternativas não se mostrarem viáveis.
13Dimensionamento de lajes maciças à flexão
Contraflechas
A contraflecha é um deslocamento contrário ao sentido da gravidade que é 
aplicado em lajes e vigas com o objetivo de compensar a deflexão provocada 
pela aplicação das cargas permanentes. Na Figura 12, pode ser vista a aplicação 
de contraflecha em um elemento estrutural.
Figura 12. Contraflecha em um elemento estrutural.
Fonte: Leet, Uang e Gilbert (2009, p. 349).
A previsão de contraflechas em lajes permite a execução de estruturas com 
maior planicidade, sendo muito empregadas em edificações que demandem 
melhor desempenho, como laboratórios científicos, por exemplo. Além disso, 
quando a estrutura apresenta deflexões excessivas, estas podem ser parcial-
mente compensadas pela execução das contraflechas. A contraflecha é obtida 
por meio da aplicação de uma curvatura nas fôrmas da laje maciça. A NBR 
6.118, ABNT (2014) estabelece que, em pavimentos que devem permanecer 
planos, como pistas de boliche, por exemplo, a contraflecha não pode ser 
superior ao valor-limite de deflexão estabelecido na mesma norma.
A curvatura das fôrmas da laje maciça é mantida por meio do sistema de 
escoramento provisório, devendo este ser mantido até que o concreto atinja 
resistência mecânica suficiente para suportar os carregamentos. De modo 
geral, recomenda-se que o escoramento seja mantido pelo período de até 
28 dias, sendo retirado a partir do centro em direção às extremidades.
Dimensionamento de lajes maciças à flexão14
3 Lajes maciças à flexão e seu dimensionamento
Classificação das lajes quanto ao tipo de armadura
Quanto ao tipo de armadura, as lajes maciças podem ser classificadas em lajes 
armadas em apenas uma direção e lajes armadas em cruz. As lajes armadas 
em apenas uma direção, também denominadas como lajes unidirecionais, 
são aquelas que têm a armadura distribuída ao longo de apenas um dos vãos, 
normalmente o de menor comprimento. As lajes armadas em cruz, por sua 
vez, são as que têm armaduras distribuídas nas duas direções, formando uma 
malha metálica. As lajes armadas em cruz também são chamadas de lajes 
bidirecionais (PORTO; FERNANDES, 2015).
As lajes são armadas em apenas uma das direções quando a relação entre 
o maior e o menor vão for superior a 2. Quando essa relação é menor ou igual 
a 2, a lajes devem ser armadas em cruz. A relação entre o maior e menor vão 
é dada por meio da seguinte equação:
 � lmaior/lmenor > 2: laje armada em apenas uma direção;
 � lmaior/lmenor ≤ 2: laje armada em apenas uma direção.
As lajes armadas em apenas uma direção são dimensionadas como um 
conjunto de vigas, de largura unitária (1m), dispostas paralelamente. As lajes 
armadas em cruz podem ser dimensionadas por meio do emprego da Teoria 
das Placas, de processos aproximados, do método das linhas de ruptura ou 
dos métodos numéricos (PORTO; FERNANDES, 2015). A Teoria das Placas 
é o método não computacional mais empregado no dimensionamento de lajes 
maciças.
A Teoria das Placas consiste em um método de dimensionamento bastante com-
plexo. Em função disso, foram desenvolvidas tabelas com coeficientes e fórmulas 
pré-determinados que auxiliam na determinação dos valores de momentos e deflexões 
nas lajes. As tabelas mais empregadas são as de Marcus, de Bares e de Czerny, conforme 
citadas no livro Curso básico de concreto armado: conforme NBR 6118/2014, de Thiago 
Bomjardim Porto e Danielle Stefane Gualberto Fernandes.
15Dimensionamento de lajes maciças à flexão
Cálculo dos momentos máximos atuantes
As lajes maciças de concreto armado são submetidas a momentos fletores po-
sitivos e/ou negativos, ou seja, momentos que tracionam, respectivamente, 
as zonas inferior e superior da seção transversal. Para o dimensionamento das 
lajes, devem ser determinados, portanto, os valores máximos dos momentos 
atuantes. Em lajes armadas em apenas uma direção, os momentos máximos 
atuantes são determinados por meio da analogia da laje com uma viga de largura 
unitária (1m ou 100cm). Os momentos são calculados por meio da determinação 
de apoio e aplicação das equações da estática. Em alguns casos, especialmente 
quando são analisadas as vigas hiperestáticas, podem ser aplicadas equações 
preestabelecidas que permitam a determinação direta dos valores de momentos.
Em lajes armadas em cruz, por sua vez, os momentos máximos atuantes 
são determinados por meio da aplicação de tabelas, como as de Marcus e 
Bares. Essas tabelas fornecem coeficientes e fórmulas empregadas na deter-
minação dos momentos atuantes a partir de parâmetros como a relação entre 
o comprimento dos vãos e o tipo de engastamento.
A Figura 13 apresenta parcialmente a tabela de Marcus para lajes engastadas-
-apoiadas com as suas respectivas equações. É importante destacar que os valores 
de lx e ly são definidos em função do tipo de engastamento e comprimento do 
vão. O valor ly será sempre o lado mais engastado e, no caso de lajes engastadas 
em ambas as direções, o de maior comprimento (REBELLO, 2005).
Figura 13. Representação parcial de uma Tabela de Marcus para lajes engastadas-apoiadas.
Fonte: Adaptada de Rebello (2005).
Dimensionamento de lajes maciças à flexão16
As equações preestabelecidas para a determinação direta dos valores de momentos, 
bem como as Tabelas de Marcus e Bares, são encontradas em várias obras, como, por 
exemplo, nos livros Estruturas de aço, concreto e madeira: atendimento da expectativa 
dimensional, de Yopanan Conrado Pereira Rebello; Resistência dos materiais: para aprender 
e gostar, de Manoel Henrique Campos Botelho; e Cálculo e detalhamento de estruturas 
usuais de concreto armado: segundo a NBR 6118:2003, de Roberto Chust Carvalho e 
Jasson Rodrigues de Figueiredo Filho. Essas equações e tabelas podem, também, ser 
facilmente encontradas em sites da Internet.
Conforme destaca Rebello (2005), os valores de momento negativo 
encontrados em ambos os lados de um engaste tendem a ser diferentes. 
De modo a adotarum valor único para o momento negativo máximo, para 
fins de dimensionamento, são calculados os valores apresentados a seguir:
1. 80% do valor do momento máximo negativo obtido para a borda en-
gastada analisada; 
2. a média aritmética entre os dois valores de momento negativo concor-
rentes na borda engastada.
O valor de momento negativo máximo adotado para uma borda engastada, 
entre duas lajes, é o maior valor obtido por meio das análises 1 e 2.
Verificação da altura útil mínima da laje
A altura útil da seção transversal na laje, representada pela letra d, consiste 
na distância entre o centro de gravidade da armadura longitudinal tracionada 
e a fibra mais comprimida de concreto, conforme definido por Carvalho e 
Figueiredo Filho (2007). A verificação da altura útil mínima da laje tem 
por objetivo garantir que as dimensões da seção transversal sejam compatí-
veis com os esforços solicitantes atuantes. A altura útil mínima da laje (dmín) 
é calculada pela seguinte equação:
17Dimensionamento de lajes maciças à flexão
onde:
 � Md: momento fletor solicitante de cálculo. Quando houver apenas uma 
carga acidental atuando na laje, o Md é obtido pela multiplicação do 
momento máximo atuante pelo coeficiente de majoração γf = 1,4. Quando 
houver mais cargas acidentais, o Md é determinado por meio da última 
combinação normal;
 � bw: largura da seção transversal. No caso das lajes, é considerada uma 
largura unitária de 1m;
 � fcd: resistência de cálculo do concreto obtida pela divisão do fck pelo 
coeficiente γf =1,4;
 � ξ34: consiste na relação entre a altura da linha neutra (x), medida em 
relação à fibra mais comprimida da seção, e a altura útil da seção 
(d). Como as seções devem, preferencialmente, ser dimensionadas 
entre os domínios de deformação 3 e 4, de modo a garantir o melhor 
aproveitamento dos materiais concreto e aço, o valor de ξ34 é obtido 
pela seguinte expressão, considerando que εyd consiste na deformação 
específica de escoamento do aço;
Por meio da altura útil mínima, é possível determinar a altura total mínima 
(hmín) da seção transversal. O cálculo da altura total mínima considera o 
cobrimento mínimo da laje e os diâmetros das armaduras que formam a malha.
Quando os valores da altura útil (d) e da altura total (h) pré-definidos forem inferiores 
aos valores mínimos calculados, o projeto deverá ser revisto. Normalmente, a solução 
mais viável a ser adotada é aumentar a altura total da laje, devendo, desse modo, ser 
recalculadas as cargas atuantes na laje e os momentos fletores.
Dimensionamento de lajes maciças à flexão18
Cálculo da armadura necessária
Após a definição da altura total (h) da laje, é realizado o cálculo da armadura 
necessária por meio da equação a seguir. Essa equação considera o valor do 
momento solicitante de cálculo (Md), o comprimento do braço de alavanca 
(z) entre os pontos de aplicação das forças de compressão e tração na seção 
transversal e a tensão de escoamento do aço ( fyd).
onde:
z = d – 0,4 · x
De maneira geral, busca-se padronizar a área de aço para a flexão positiva 
em ambas as direções, no caso de lajes armadas em cruz, de modo a prevenir 
falhas na montagem e fazer a disposição das malhas metálicas. O espaçamento 
(s) das barras de armadura é obtido por meio da relação entre a área de cada 
barra (Aφ) e a área de aço necessária (As), conforme apresentado na seguinte 
equação. As armaduras longitudinais devem respeitar valores mínimos e 
máximos de espaçamentos (Quadro 1).
Fonte: Adaptado de NBR 6.118 (ABNT, 2014).
Espaçamento 
mínimo
Maior 
valor entre
20mm
Diâmetro (φL) da barra de aço longitudinal
1,2 × diâmetro característico máximo do 
agregado graúdo
Espaçamento 
máximo
Menor 
valor entre
2 × altura da laje (h)
20cm
Quadro 1. Espaçamentos máximos e mínimos em armaduras de lajes maciças
19Dimensionamento de lajes maciças à flexão
A Norma Técnica ABNT NBR 6118: projeto de estruturas de concreto: procedimento, 
da Associação Brasileira de Normas Técnicas, item 20, apresenta uma série de exigências 
referente ao detalhamento de lajes.
Exemplo
Dimensionar as armaduras de flexão das lajes maciças representadas na 
Figura 14 com dimensões fornecidas em centímetros. São considerados os 
seguintes valores:
 � carga permanente (g) = 4,35kN/m2/m de laje;
 � carga acidental (q) = 2,00kN/m2/m de laje;
 � altura (h) = 12cm;
 � cobrimento nominal = 2,5cm;
 � fck = 20MPa;
 � fyd = 43,48kN/cm2 (Aço CA-50).
Figura 14. Lajes maciças — exemplo.
Dimensionamento de lajes maciças à flexão20
Resolução
O primeiro passo para o dimensionamento de lajes maciças é a discretização 
do esquema estrutural (Figura 15). Em seguida, a laje deve ser classificada 
em unidirecional ou bidirecional, por meio da relação entre o comprimento 
dos vãos, conforme segue:
Figura 15. Discretização das lajes.
A laje 1 apresenta relação entre o maior e o menor vão superior a 2, sendo, 
desse modo, classificada como laje unidirecional, ou seja, armada em apenas 
uma das direções. A laje 2, por sua vez, apresenta relação entre o maior e o 
menor vão menor que 2, sendo, portanto, classificada como laje bidirecional, 
ou seja, armada em cruz. O próximo passo consiste na determinação dos mo-
mentos atuantes em cada laje. A laje 1 é uma laje unidirecional e, desse modo, 
as armaduras são distribuídas em apenas uma das direções, normalmente a de 
menor vão. Os momentos atuantes, desse modo, são determinados de maneira 
análoga a uma viga engastada apoiada (Figura 16).
21Dimensionamento de lajes maciças à flexão
Figura 16. Momentos atuantes na laje unidirecional — analogia com 
viga engastada-apoiada.
A laje 2, armada em cruz, tem armaduras distribuídas em ambos os senti-
dos, sendo dimensionada, neste Exemplo, com o uso das Tabelas de Marcus. 
Na Figura 17, são apresentados os momentos atuantes na laje considerada, as 
equações e os coeficientes extraídos das Tabelas de Marcus.
Figura 17. Momentos atuantes na laje bidirecional — valores obtidos pelas Tabelas de Marcus.
Dimensionamento de lajes maciças à flexão22
O engastamento entre as duas lajes deve ter um valor único de momento 
fletor. Desse modo, deverá ser adotado o maior valor entre: 
a) 80% do maior momento negativo encontrado;
b) média aritmética entre os valores de momento negativo encontrados, 
conforme segue:
O valor máximo de momento negativo adotado para a borda engastada é, 
portanto, 7,35KN·m. Definidos os momentos positivos e negativos, é então 
realizada a verificação da altura mínima da laje. A verificação se dá por meio 
dos procedimentos apresentados a seguir, considerando o valor de momento 
máximo 7,35kN·m.
23Dimensionamento de lajes maciças à flexão
A partir disso, a altura mínima total (hmín) da laje é calculada em função 
do valor da altura útil mínima (dmín), do cobrimento nominal (cnom) e do diâ-
metro das armaduras longitudinais que compõem a malha. Como não foram 
especificadas as armaduras empregadas, consideram-se duas barras de 10mm 
de diâmetro.
O valor da altura total (h = 12cm) é maior que o valor da altura mínima total 
(hmín = 8,74cm), ou seja, a altura da seção transversal da laje está de acordo. 
Além disso, o valor de 12cm respeita as limitações impostas pela NBR 6.118 
(ABNT, 2014), no item 13.2.4.1, que estabelece as espessuras mínimas das 
lajes maciças. O valor da altura útil total (d) é calculada a partir da altura total 
(h), conforme representado a seguir.
d = 12cm – 2,5cm – 1,0cm – 0,5cm = 8,00cm
Por fim, é realizado o cálculo da área de aço para cada uma das lajes, sendo 
considerados os parâmetros que podem ser vistos a seguir. As áreas de arma-
dura calculada e seu respectivos espaçamentos são apresentados no Quadro 2.
Dimensionamento de lajes maciças à flexão24
Laje
Momento
(kN·cm)
As
(cm²/m)
φbarra
(mm)
Aφ
(cm²)
s
(m)
s final
(cm)
Momento 
positivo máximo 
— laje 1
203 1,09 6,3 0,785 0,72 20
Momento 
negativo no 
engaste
735 3,96 6,3 0,785 0,20 20
Momento 
positivo máximo 
na direção 
x — Laje 2340 1,83 6,3 0,785 0,43 20
Momento 
positivo máximo 
na direção 
y — Laje 2
705 3,80 6,3 0,785 0,21 20
Quadro 2. Cálculo da área necessária e espaçamentos da armadura
Considerando todos os passos da resolução do problema do exemplo, 
para resistir ao momento máximo positivo e negativo, em ambas as lajes 
serão empregadas barras de 6,3mm de diâmetro, na direção do menor vão, 
espaçadas a cada 20cm.
ABNT. ABNT NBR 6118: projeto de estruturas de concreto: procedimento. Rio de Janeiro: 
ABNT, 2014.
BEER, F. P. et al. Mecânica dos materiais. 7. ed. Porto Alegre: AMGH Ed., 2015.
BOTELHO, M. H. C. Resistência dos materiais: para entender e gostar. 4. ed. São Paulo: 
Blücher, 2017.
BOTELHO, M. H. C.; MARCHETTI, O. Concreto armado eu te amo: volume 1. 2. ed. São 
Paulo: Blücher, 1996.
25Dimensionamento de lajes maciças à flexão
CARVALHO, R. C; FIGUEIREDO FILHO, J. R. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de 
concreto armado: segundo a NBR 6118:2003. 3. ed. São Carlos: EdUFSCar, 2007.
GARRISON, P. Fundamentos de estruturas. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2018.
KIMURA, A. Informática aplicada em estruturas de concreto armado: cálculos de edifícios 
com o uso de sistemas computacionais. São Paulo: Pini, 2007.
LEET, K.; UANG, C.; GILBERT, A. M. Fundamentos da análise estrutural. 3. ed. São Paulo: 
McGraw-Hill, 2009.
PORTO, T. B.; FERNANDES, D. S. G. Curso básico de concreto armado: conforme NBR 
6118/2014. São Paulo: Oficina de Textos, 2015.
REBELLO, Y. C. P. Estruturas de aço, concreto e madeira: atendimento da expectativa 
dimensional. São Paulo: Zigurate, 2005.
SILVA, D. M; SOUTO, A. K. Estruturas: uma abordagem arquitetônica. 5. ed. Porto Alegre: 
Ed. UniRitter, 2015.
Leitura recomendada
ABNT. ABNT NBR 6120: ações para o cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro: 
ABNT, 2019.
Dimensionamento de lajes maciças à flexão26