AlgebraLinear2021

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<p>1</p><p>ÁLGEBRA</p><p>LINEAR</p><p>Prof. Aziz Kalaf Filho</p><p>Edição 2021</p><p>2</p><p>MATRIZES</p><p>1. Definição:</p><p>Sejam 1m  e 1n  onde m,n são números inteiros positivos, uma matriz real</p><p>mxn é uma dupla seqüência de nºs reais, distribuídos em “m” linhas e “n” colunas,</p><p>formando uma tabela.</p><p>2. Notação:</p><p>mxnijaA )( : sendo ija os elementos que compõem a matriz, com</p><p>mi1  e nj1 </p><p>i : descreve a linha que contém o elemento</p><p>j : descreve a coluna que contém o elemento</p><p>m : é a quantidade de linhas</p><p>n : é a quantidade de colunas</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>mnmmm</p><p>n</p><p>n</p><p>n</p><p>mxn</p><p>aaaa</p><p>aaaa</p><p>aaaa</p><p>aaaa</p><p>A</p><p>........</p><p>........................</p><p>........</p><p>........</p><p>........</p><p>321</p><p>3333231</p><p>2232221</p><p>1131211</p><p>)( é uma matriz (mxn)</p><p>3. Tipos de Matrizes:</p><p>1. Matriz Retangular : ( nm  )</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>12</p><p>53</p><p>61</p><p>)( 23xijaA</p><p>(Nº de linhas diferente de Nº de colunas)</p><p>2. Matriz Quadrada : ( nm  )</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>311</p><p>480</p><p>652</p><p>)( 33xijaA</p><p>(Nº de linhas igual de Nº de colunas)</p><p>Podemos indicar por: mnmijnij AAaAaA ou ou )(ou )(</p><p>Diagonal principal: formada pelos elementos  nnaaaaa ,......,,,, 44332211</p><p>3</p><p>3. Matriz Linha : ( 1m  )  1.......56)( 1 xnijaA</p><p>Só tem uma linha, também chamada de vetor linha e pode ser indicada por</p><p>apenas um índice.</p><p> nni aaaaA .......)( 21</p><p>4. Matriz Coluna : ( 1n  )</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>.</p><p>5</p><p>9</p><p>)( 1mxijaA</p><p>Só tem uma coluna, também chamada de vetor coluna e pode ser indicada</p><p>por apenas um índice.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>m</p><p>mi</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>aA</p><p>.</p><p>)(</p><p>2</p><p>1</p><p>5. Matriz Diagonal : é uma matriz quadrada , tal que 0ija para ji </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>44</p><p>33</p><p>22</p><p>11</p><p>4</p><p>000</p><p>000</p><p>000</p><p>000</p><p>)(</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>aA ij</p><p>Obs: Det(A) = nnaaaaa ....44332211</p><p>6. Matriz Unitária ou Identidade: é uma matriz diagonal, tal que 1iia</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1000</p><p>0100</p><p>0010</p><p>0001</p><p>)( 4ijaI</p><p>Obs: Det(I) = 1</p><p>4</p><p>7. Matriz Triangular Superior: é uma matriz quadrada, tal que aij=0 para i>j</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>44</p><p>3433</p><p>242322</p><p>14131211</p><p>4</p><p>000</p><p>00</p><p>0</p><p>)(</p><p>a</p><p>aa</p><p>aaa</p><p>aaaa</p><p>aA ij</p><p>Obs: Det(A) = nnaaaaa ....44332211</p><p>8. Matriz Triangular Inferior: é uma matriz quadrada, tal que aij=0 para i<j</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>44434241</p><p>333231</p><p>2221</p><p>11</p><p>4</p><p>0</p><p>00</p><p>000</p><p>)(</p><p>aaaa</p><p>aaa</p><p>aa</p><p>a</p><p>aA ij</p><p>Obs: Det(A) = nnaaaaa ....44332211</p><p>9. Matriz nula: todos os aij = 0</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>0000</p><p>0000</p><p>0000</p><p>0000</p><p>)( 4ijaA</p><p>Obs: Det(A) = 0</p><p>10. Matriz com um elemento:</p><p> 11)( aaA ij </p><p>Obs: Det(A) = a11</p><p>11. Matriz Transposta:</p><p>Dada uma matriz mxnijaA )( , a matriz nxmjibB )( tal que os bji=aij para todo i e</p><p>todo j é a matriz transposta de A e indicada AT ( na prática é suficiente trocar</p><p>linhas por colunas )</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>12</p><p>53</p><p>61</p><p>)( 23xijaA e </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>156</p><p>231</p><p>)( 32xji</p><p>T bBA</p><p>5</p><p>12. Matriz Oposta:</p><p>Dada uma matriz mxnijaA )( , a matriz mxnijbB )( tal que os ijij ab  para todo i e</p><p>todo j é a matriz oposta de A e indicada (-A)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>12</p><p>53</p><p>61</p><p>)( 23xijaA e</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>12</p><p>53</p><p>61</p><p>)( A é a oposta de A</p><p>13. Matriz Simétrica:</p><p>Uma matriz é simétrica se for quadrada e A = AT</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>741</p><p>459</p><p>192</p><p>)( 3ijaA e</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>741</p><p>459</p><p>192</p><p>TA com A = AT</p><p>14. Matriz Anti – Simétrica:</p><p>Uma matriz é anti - simétrica se for quadrada e A = -AT</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>041</p><p>409</p><p>190</p><p>)( 3ijaA e</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>041</p><p>409</p><p>190</p><p>TA com A = -AT</p><p>15. Matriz dos cofatores (dos complementos algébricos)</p><p>Dada uma matriz quadrada An, podemos formar uma nova matriz também</p><p>quadrada A n tal que, cada elemento</p><p>ij</p><p>a da matriz A n é obtido calculando-se</p><p>o determinante da matriz A , quando se elimina a linha i e a coluna j</p><p>correspondente do elemento aij . Este valor calculado deve ser multiplicado por</p><p>ji)1(  ( isto corresponde trocar o sinal do valor calculado se (i+j) for um nº</p><p>impar e manter o sinal calculado se (i+j) for um nº par</p><p>6</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>421</p><p>210</p><p>312</p><p>)( 3ijaA e</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>245</p><p>5112</p><p>128</p><p>)(</p><p>333231</p><p>232221</p><p>131211</p><p>3</p><p>aaa</p><p>aaa</p><p>aaa</p><p>aA ij</p><p>8</p><p>42</p><p>21</p><p>11 </p><p></p><p>a ; 2</p><p>41</p><p>20</p><p>)1(12 </p><p></p><p>a ; 1</p><p>21</p><p>10</p><p>13 </p><p></p><p>a</p><p>2</p><p>42</p><p>31</p><p>)1(21 </p><p></p><p></p><p>a ; 11</p><p>41</p><p>32</p><p>22 </p><p></p><p>a ; 5</p><p>21</p><p>12</p><p>)1(23 </p><p></p><p></p><p>a</p><p>5</p><p>21</p><p>31</p><p>31 </p><p></p><p>a ; 4</p><p>20</p><p>32</p><p>)1(32 a ; 2</p><p>10</p><p>12</p><p>33 </p><p></p><p>a</p><p>16. Matriz Adjunta:</p><p>Dada uma matriz quadrada An , a matriz adjunta de A , indicada por Adj(A) é</p><p>tal que: Adj(A) =</p><p>T</p><p>A ( é a matriz transposta da matriz dos cofatores )</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>421</p><p>210</p><p>312</p><p>)( 3ijaA e</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>245</p><p>5112</p><p>128</p><p>)(</p><p>333231</p><p>232221</p><p>131211</p><p>3</p><p>aaa</p><p>aaa</p><p>aaa</p><p>aA ij</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>251</p><p>4112</p><p>528</p><p>)(</p><p>T</p><p>AAAdj</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Montar as matrizes</p><p>a) A(aij)2x2 tal que: aij = 3i-2j</p><p>b) B(bij)3x4 tal que: bij= i+2j se ji  e bij= 2i-j se ji </p><p>c) C(cij)2x3 tal que: cij= i3-j2+2</p><p>2. Considerando a matriz A(aij)2x2 com aij=(3+i-j)2, calcular os valores de x, y,z e t</p><p>para que se tenha:</p><p>   </p><p>    </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>tzt3z2</p><p>yx4y2x3</p><p>A</p><p>7</p><p>3. A matriz “A” é simétrica e:</p><p> </p><p>  </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>x1z2</p><p>3yx3</p><p>y21</p><p>A determinar x , y , z</p><p>4. A matriz “B” é anti-simétrica e:</p><p> </p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>4z2zy</p><p>c)1y(x</p><p>bax2</p><p>B determinar a , b , c , x , y , z</p><p>5. Determine a matriz adjunta, nos casos:</p><p>a) </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p>41</p><p>52</p><p>A b)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>102</p><p>012</p><p>121</p><p>B c)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1241</p><p>0013</p><p>0221</p><p>1101</p><p>C</p><p>4. Operações com Matrizes</p><p>4.1 Adição (Subtração) de Matrizes</p><p>Definição:</p><p>Dadas duas matrizes A(aij) e B(bij) do mesmo tipo mxn , chamamos de soma da</p><p>matriz A com a matriz B , que se indica por A+B , a matriz C(cij) também do tipo</p><p>mxn tal que : cij = aij + bij</p><p>, para todo i e para todo j .</p><p>Observações:</p><p>a) Só podemos somar matrizes do mesmo tipo e a soma se obtém</p><p>somando os elementos correspondentes;</p><p>b) A diferença de duas matrizes pode ser calculada fazendo:</p><p>A - B = A + (-B) , que é a soma da matriz A com a oposta de B</p><p>8</p><p>Propriedades da adição:</p><p>1ª - A + B = B + A : ( comutativa )</p><p>2ª - ( A + B ) + C = A + ( B+C) : ( associativa )</p><p>3ª - A + 0 = A : ( existência do elemento neutro – matriz nula )</p><p>4ª - A + (-A) = 0 : ( exist��ncia do elemento oposto – matriz oposta )</p><p>4.2 Multiplicação de um número Real (um escalar) por uma Matriz</p><p>Definição:</p><p>Dada a matriz A(aij)mxn e um número real  , chama-se produto do número real </p><p>pala matriz A , a matriz B(bij)mxn , tal que : bij =  aij , para todo i e para todo j .</p><p>Escrevemos B =  A</p><p>Observação:</p><p>No produto de um número real  por uma matriz A, devemos multiplicar todos os</p><p>elementos da matriz A pelo número real  , e o resultado é uma matriz do</p><p>mesmo tipo.</p><p>Propriedades:</p><p>1ª - A )()A (  </p><p>2ª -  ( A+B ) =  A +  B</p><p>3ª - A A A) (  </p><p>Exemplo:</p><p>Com as operações de soma, subtração e multiplicação por um número real.</p><p>Das as matrizes A , B e C , calcular a matriz D tal que : D = 2A + 4B –3C</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>12</p><p>23</p><p>31</p><p>A ,</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>41</p><p>12</p><p>12</p><p>B ,</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>23</p><p>21</p><p>10</p><p>C e D = 2A + 4B + (–3C)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>)]2)(3()4(4)1(2[()]3)(3()1(4)2(2[(</p><p>)]2)(3()1(4)2(2[()]1)(3()2(4)3(2[(</p><p>)]1)(3()1(4)3(2[()]0)(3()2(4)1(2[(</p><p>D =</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>241</p><p>25</p><p>1310</p><p>9</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Dadas as matrizes A e B calcular:</p><p>a) (A + B) e (A – B)</p><p>b) )B</p><p>3</p><p>1</p><p>A</p><p>2</p><p>1</p><p>(  e )B</p><p>3</p><p>1</p><p>A</p><p>2</p><p>1</p><p>( </p><p>c) (3A - 4B) e (4A + 3B)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>4210</p><p>862</p><p>604</p><p>A</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>960</p><p>639</p><p>01215</p><p>B</p><p>2. Considere as matrizes A e B</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p>30</p><p>12</p><p>A e </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>25</p><p>43</p><p>B</p><p>a) Resolver a equação, na matriz incógnita X : 3X – 2A = B + 5X</p><p>b) Resolver os sistemas de equações matriciais, nas matrizes incógnitas X e Y:</p><p>b1 ) 2X –3Y = A b2 ) X + Y = 2A - B</p><p>5X – 6Y = B X - Y = A + 2B</p><p>4.3 Multiplicação de Matrizes</p><p>Sejam A =(a1k)1xn uma matriz linha com n elementos e B = (bk1)nx1 uma matriz</p><p>coluna com n elementos:</p><p> </p><p>n1131211</p><p>a..aaaA  e</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1n</p><p>31</p><p>21</p><p>11</p><p>b</p><p>.</p><p>.</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>B</p><p>O produto da matriz A pela matriz B, nesta ordem, é uma matriz C = (c11)1x1 com</p><p>um único elemento, indicada por C = A.B , tal que:</p><p></p><p></p><p>n</p><p>1k</p><p>1kk11nn131132112111111</p><p>ba ba........bababac</p><p>10</p><p>“ O único elemento da matriz C, o c11 é igual a soma dos produtos dos elementos</p><p>da linha da matriz A pelos elementos da coluna da matriz B.”</p><p>Exemplo:</p><p> 721351A  e</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3</p><p>6</p><p>2</p><p>5</p><p>1</p><p>2</p><p>B</p><p>então</p><p>c11=(-1).2 + 5.(-1) + 3.(-5) + 1.2 + (-2)6 + 7.3 = - 2 - 5 -15 + 2 -12 +21 = -11</p><p>logo  11C </p><p>Definição:</p><p>Dadas as matrizes A(aik) do tipo (mxn) e B(bkj) do tipo (nxp), o produto AB é uma</p><p>matriz C(cij)mxp do tipo m linhas e p colunas (mxp), isto é , com o mesmo número</p><p>de linhas da matriz A e com o mesmo número de colunas da matriz B.</p><p>Os elementos cij da matriz C são obtidos por: </p><p></p><p>n</p><p>1k</p><p>kjikij</p><p>b.ac</p><p>“O elemento da linha “i” e coluna “j” da matriz C, é a soma dos produtos dos</p><p>elementos da linha “i” da matriz A pelos elementos da coluna “j” da matriz B.”</p><p>Ex: C23 = a21b13 + a22b23 + a23b33 + a24b43 + ...... + a2kbk3 + ...... + a2nbn3</p><p>Observações</p><p>1. O produto “A.B” só poderá ser realizado se o número de colunas da matriz A</p><p>for igual ao número de linhas da matriz B ;</p><p>2. A matriz C terá o mesmo número de linhas da matriz A e o mesmo número</p><p>de colunas da matriz B;</p><p>Exemplos:</p><p>a) (2x3).(3x5)=(2x5) ; (4x5).(5x8)=(4x8) ; (3x4).(5x7)= não pode ser realizada</p><p>b) (7x7).(7x7)=(7x7) ; (nxn).(nxn)=(nxn)</p><p>c) (nxm).(mxn)=(nxn)=quadrada de ordem n  (2x4).(4x2)=(2x2)</p><p>d) (mxn).(nxm)=(mxm)=quadrada de ordem m  (4x2).(2x4)=(4x4)</p><p>11</p><p>3. Pelos exemplos acima podemos verificar que se um produto A.B puder ser</p><p>realizado, nem sempre o produto B.A poderá ser , e se puder, A.B B.A (em</p><p>geral)</p><p>4. Mesmo no caso de as matriz serem quadradas de mesma ordem,</p><p>(nxn).(nxn)=(nxn) , em geral A.B B.A</p><p>Propriedades</p><p>1ª (AB)C = A(BC) Associativa</p><p>2ª (A+B)C = AC+BC ; C(A+B) = CA+CB Distributiva</p><p>Processo Prático</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1024</p><p>1133</p><p>5231</p><p>A</p><p>4x3 4x3</p><p>34333231</p><p>24232221</p><p>14131211</p><p>C</p><p>cccc</p><p>cccc</p><p>cccc</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>4123</p><p>1005</p><p>2332</p><p>2011</p><p>B</p><p>4x4</p><p>1 3 -2 5</p><p>A = 3 3 1 -1  c23 = C</p><p>4 2 0 -1  c32</p><p> </p><p>1 -1 0 2</p><p>B = 2 3 3 -2</p><p>5 0 0 1</p><p>3 2 1 4</p><p>c23 = 3*0+3*3+1*0+(-1)*1 = 8</p><p>c32 = 4*(-1)+2*3+0*0+(-1)*2 = 0</p><p>12</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Dadas as matrizes, determinar:</p><p>a) A . B ; b) (A . B)T ; c) B . A ; d) (B . A)T ; e) AT. BT ; f) BT. AT</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>65</p><p>53</p><p>02</p><p>A ; </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p>256</p><p>123</p><p>B</p><p>2. Calcule, se existir, os produtos AB e BA, sendo dadas as matrizes, nos</p><p>seguintes casos:</p><p>a) </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>13</p><p>31</p><p>A ; </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>4</p><p>2</p><p>B</p><p>b) </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>13</p><p>20</p><p>A ; </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>14</p><p>41</p><p>B</p><p>c) </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>13</p><p>20</p><p>A ; </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>23</p><p>21</p><p>B</p><p>d) </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>b0</p><p>a0</p><p>A ; </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>00</p><p>dc</p><p>B</p><p>3. Sendo </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>24</p><p>42</p><p>A e </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>1</p><p>B encontrar a matriz X tal que AX = B</p><p>4. Determinar a matriz X na equação matricial AX = B</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>211</p><p>012</p><p>101</p><p>A e</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>13</p><p>4</p><p>6</p><p>B</p><p>5. Resolver a equação, e determinar a matriz X , sabendo que : AX = I2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>52</p><p>42</p><p>A</p><p>6. Dadas as matriz, calcular A2 e B3</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p>24</p><p>12</p><p>A e </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>02</p><p>20</p><p>B</p><p>7. Calcule “a” e “b” , sabendo que : X2 –2X = [0] , onde </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>b0</p><p>0a</p><p>X</p><p>13</p><p>6. Matriz Inversa</p><p>Consideremos o seguinte problema:</p><p>Dada a matriz </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>25</p><p>13</p><p>A , determinar uma matriz B tal que A.B = B.A = I2</p><p>Vamos admitir </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>by</p><p>ax</p><p>B e determinar os valores de x , y , a , b</p><p>Temos:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>25</p><p>13</p><p>A</p><p>2</p><p>I</p><p>10</p><p>01</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>então </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>10</p><p>01</p><p>)25()25(</p><p>)3()3(</p><p>bayx</p><p>bayx</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>by</p><p>ax</p><p>B</p><p>do conceito de igualdade de matrizes , resultam as equações:</p><p>( I )</p><p>025</p><p>13</p><p></p><p></p><p>yx</p><p>yx</p><p>e ( II )</p><p>125</p><p>03</p><p></p><p></p><p>ba</p><p>ba</p><p>É um conjunto de dois sistemas de duas equações com duas incógnitas</p><p>Resolvendo os sistemas ( I ) e ( II ) separadamente , temos como solução:</p><p>x = 2 e y = -5 do sistema ( I ) portanto </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>35</p><p>12</p><p>B</p><p>a = -1 e b = 3 do sistema ( II )</p><p>Fazendo as multiplicações, podemos verificar que:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>10</p><p>01</p><p>35</p><p>13</p><p>35</p><p>12</p><p>35</p><p>12</p><p>25</p><p>13</p><p>= A.B = B.A = I2</p><p>A B B A I2</p><p>Portanto, temos AB = BA =I2 ,ou seja, existe uma matriz que se for multiplicada</p><p>por A , em qualquer ordem, vai resultar na matriz Unidade ou Unitária, Sempre</p><p>que isto ocorrer para uma matriz quadrada A , dizemos que ela é inversível.</p><p>Definição:</p><p>Uma matriz quadrada A, de ordem n, é inversível se, e somente se, existir uma</p><p>matriz B , tal que AB = BA = In . A matriz B quando existe, é chamada de matriz</p><p>inversa de A e será representada por B = A-1</p><p>Então temos: A.A-1 = A-1.A = In</p><p>Convém observar que nem toda matriz quadrada é invisível</p><p>14</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Determinar, se existir, a matriz inversa A-1, de cada matriz abaixo:</p><p>a) </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>21</p><p>23</p><p>A b) </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>11</p><p>23</p><p>A c) </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>14</p><p>43</p><p>A</p><p>d)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>100</p><p>210</p><p>321</p><p>A e)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>113</p><p>121</p><p>211</p><p>A</p><p>2. Repetir os exercícios anteriores a), b), c), d), e), usando a Adjunta da matriz A</p><p>Determinação de matriz inversa A-1 através da matriz adjunta.</p><p>)A(Det</p><p>)A(Adj</p><p>A 1 </p><p>lembrando que :</p><p>T</p><p>AAAdj )( e A é a matriz dos cofatores de A</p><p>3. Usando as matrizes A-1 encontradas nos exercícios 1. e 2., determinar as</p><p>matrizes X, tais que AX = B</p><p>Demonstrar inicialmente que: Se A é uma matriz inversível, e se AX = B, então</p><p>X = A-1B</p><p>Considerar:</p><p>a) </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>2</p><p>B b) </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>2</p><p>B c) </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>1</p><p>B</p><p>d)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>B e)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>2</p><p>7</p><p>B</p><p>7. Operações elementares com as linhas</p><p>Dada uma matriz A, entendemos por operações elementares com as linhas de A,</p><p>uma qualquer das seguintes alternativas:</p><p>15</p><p>a) Permutar (trocar) duas linhas de A;</p><p>b) Multiplicar uma linha de A por um número real, diferente de zero;</p><p>c) Somar a uma linha de A, uma outra linha de A multiplicada por um</p><p>número real.</p><p>Se uma matriz B puder ser obtida de A, através de um número finito dessas</p><p>operações, diz-se que B é equivalente a A</p><p>Demonstra-se que uma matriz A é invisível se, e somente se, In é</p><p>equivalente a A. Neste caso, a mesma sucessão de operações elementares que</p><p>transforma A em In , transforma In em A-1.</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Determinar, se existir, a matriz A-1 usando operações elementares, em</p><p>cada caso.</p><p> IA ~~~  1AI</p><p>a)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>342</p><p>412</p><p>321</p><p>A resolvido</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>100342</p><p>010412</p><p>001321</p><p>~</p><p>13</p><p>12</p><p>11</p><p>2</p><p>2</p><p>LL</p><p>LL</p><p>LL</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>102300</p><p>012230</p><p>001321</p><p>~</p><p>23</p><p>1 L</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>102300</p><p>0</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>210</p><p>001321</p><p>~</p><p>33</p><p>21 2</p><p>LL</p><p>LL</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>102300</p><p>0</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>210</p><p>0</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>501</p><p>~</p><p>~</p><p>33</p><p>1 L </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3</p><p>10</p><p>3</p><p>2100</p><p>0</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>210</p><p>0</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>501</p><p>~ 32</p><p>31</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>5</p><p>LL</p><p>LL</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3</p><p>10</p><p>3</p><p>2100</p><p>9</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>9</p><p>2010</p><p>9</p><p>5</p><p>3</p><p>2</p><p>9</p><p>13001</p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>306</p><p>232</p><p>5613</p><p>9</p><p>1</p><p>3</p><p>10</p><p>3</p><p>2</p><p>9</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>9</p><p>2</p><p>9</p><p>5</p><p>3</p><p>2</p><p>9</p><p>13</p><p>1A</p><p>16</p><p>b)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>121</p><p>210</p><p>122</p><p>A c)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>113</p><p>112</p><p>111</p><p>A d)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>013</p><p>312</p><p>201</p><p>A</p><p>e)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1101</p><p>1110</p><p>1112</p><p>1101</p><p>A</p><p>f)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1000</p><p>1101</p><p>1010</p><p>0002</p><p>A</p><p>8. Sistemas Lineares</p><p>8.1 Equações lineares</p><p>Uma equação linear é uma expressão do tipo:</p><p>bxaxaxaxa nn  ......332211 , onde IRaaaa n ,....,, 321 (números</p><p>reais) e IRxxxx n ,....,, 321 são as variáveis (incógnitas).</p><p>Os escalares ia são chamados coeficientes e b é chamado de termo</p><p>independente.</p><p>Exemplos</p><p>632  zyx (equação linear)</p><p>0242  wtzyx (equação linear)</p><p>54  tzxy (não é equação linear)</p><p>332  tzyx (não é equação linear)</p><p>Uma solução para a equação será uma sequência ordenada de números reais</p><p>para as variáveis ix de modo que, substituídas na equação a tornem verdadeira.</p><p>Dada a equação linear 232  zyx temos que: 21 a , 32 a ,</p><p>13 a de coeficientes e 2b de termo independente; sendo zyx , , as</p><p>incógnitas (variáveis) da equação.</p><p>Quando 1x , 1y e 1z temos: 2(-1) + 3(1) - (-1) = 2 e 2 = 2 (verdadeira)</p><p>Quando 1x , 2y e 1z temos: 2(1) + 3(2) - (1) = 7 e 7  2 (falsa)</p><p>17</p><p>Representamos uma solução da equação dada por:</p><p>),.....,,,(),.....,,,( 43214321 nx cccccxxxxx  , no caso do exemplo temos:</p><p>)1,1 ,1(),,( zyx</p><p>Observemos que não podemos afirmar que esta solução é única.</p><p>8.2 Sistemas lineares</p><p>Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações lineares. Assim um</p><p>sistema com m equações lineares com n variáveis (incógnitas) pode ser</p><p>representado por:</p><p>S =(mxn)</p><p>mnmnmmm</p><p>nn</p><p>nn</p><p>nn</p><p>bxaxaxaxa</p><p>bxaxaxaxa</p><p>bxaxaxaxa</p><p>bxaxaxaxa</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>..........</p><p>............................................</p><p>..........</p><p>..........</p><p>..........</p><p>332211</p><p>33333232131</p><p>22323222121</p><p>11313212111</p><p>Sendo:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>mnmmm</p><p>n</p><p>n</p><p>n</p><p>mxn</p><p>aaaa</p><p>aaaa</p><p>aaaa</p><p>aaaa</p><p>A</p><p>........</p><p>........................</p><p>........</p><p>........</p><p>........</p><p>321</p><p>3333231</p><p>2232221</p><p>1131211</p><p>)( a matriz dos coeficientes (mxn)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>n</p><p>n</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>X</p><p>..</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>matriz das variáveis e ;</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>m</p><p>n</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>B</p><p>..</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>matriz dos termos independentes</p><p>se 0........4321  mbbbbb , dizemos que o sistema S=(mxn) é um sistema</p><p>homogêneo</p><p>e matricialmente indicamos: BAX </p><p>Dizemos que uma solução do sistema linear é uma seqüência ordenada de</p><p>números reais, ),.....,,,(),.....,,,( 43214321 nn cccccxxxxx  , que é a solução simultânea</p><p>de cada uma das equações do sistema, isto é, substituindo em cada uma das</p><p>equações do sistema verificamos que são verdadeiras.</p><p>18</p><p>Observamos que um sistema pode ou não ter solução e, tendo solução,</p><p>pode ter mais do que uma solução.</p><p>- Se um sistema não tem solução dizemos que é um sistema impossível (SI)</p><p>- Se um sistema tem solução dizemos que é um sistema possível (SP)</p><p>- Se for um sistema possível e tem uma única solução, será um sistema possível</p><p>e determinado (SPD)</p><p>- Se for um sistema possível e tem infinitas soluções, será um sistema possível e</p><p>indeterminado (SPI)</p><p>No sistema homogêneo, (0,0,0,....,0) é sempre uma solução, chamada de solução</p><p>TRIVIAL, assim todo sistema homogêneo é sempre possível, o que se pretende é</p><p>determinar outras soluções além da trivial.</p><p>Exemplos:</p><p>a) O sistema AX = B</p><p>0</p><p>12</p><p></p><p></p><p>yx</p><p>yx</p><p>Transformado matricialmente em: </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>11</p><p>21</p><p>A , </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>y</p><p>x</p><p>X e </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>0</p><p>1</p><p>B</p><p>resolvendo por eliminação:</p><p>3</p><p>1</p><p>x ,</p><p>3</p><p>1</p><p>y e</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>X</p><p>é um sistema possível (SPD)</p><p>b) O sistema AX = B</p><p>142</p><p>02</p><p></p><p></p><p>yx</p><p>yx</p><p>Transformado matricialmente em </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>42</p><p>21</p><p>A , </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>y</p><p>x</p><p>X e </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>0</p><p>B</p><p>resolvendo por eliminação:</p><p>142</p><p>042</p><p></p><p></p><p>yx</p><p>yx</p><p>Concluímos que: 0 = 1 (Falso) e, portanto é um sistema impossível (SI)</p><p>c) O sistema AX = B</p><p>12</p><p>242</p><p></p><p></p><p>yx</p><p>yx</p><p>19</p><p>Transformado matricialmente em: </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>21</p><p>42</p><p>A , </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>y</p><p>x</p><p>X e </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>2</p><p>B</p><p>resolvendo por eliminação:</p><p>242</p><p>2 42</p><p></p><p></p><p>yx</p><p>yx</p><p>Concluímos que: 0 = 0 (verdadeiro) e, portanto, é um sistema possível e</p><p>indeterminado (SPI) com infinitas soluções, e verificamos que as equações são</p><p>equivalentes, pois a Equação 1 é igual a duas vezes a equação 2 assim temos</p><p>somente uma única equação com duas incógnitas.</p><p>Para encontrar as infinitas soluções, escolhemos uma das incógnitas como</p><p>“livre”, por exemplo, o “x” e escolhemos uma das equações, por exemplo, a 2ª e</p><p>isolamos o outra incógnita em função da incógnita escolhida como “livre”, assim:</p><p>xy</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p> e, para encontrar as infinitas soluções, atribuímos valores arbitrários</p><p>para a incógnita “x” (livre) e calculamos o y correspondente.</p><p> .3,2,1,0,1x e teremos </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> .,.........1,</p><p>2</p><p>1</p><p>,0,</p><p>2</p><p>1</p><p>,1y</p><p>portanto as soluções do sistema são da forma:  </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> xyIRyx</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>, 2</p><p>ou de um modo mais simples</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> xyx</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>,</p><p>RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES</p><p>a) Por substituição</p><p>b) Por eliminação (adição)</p><p>c) Por escalonamento</p><p>d) Pelo método de Cramer</p><p>Observação:</p><p>Iremos estudar apenas pelos métodos por escalonamento e de cramer, visto que</p><p>os dois primeiros métodos já devam ser conhecidos.</p><p>20</p><p>POR ESCALONAMENTO</p><p>Considerando o sistema “S” de equações lineares (mxn)</p><p>S (mxn) =</p><p>mnmnmmm</p><p>nn</p><p>nn</p><p>nn</p><p>bxaxaxaxa</p><p>bxaxaxaxa</p><p>bxaxaxaxa</p><p>bxaxaxaxa</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>..........</p><p>............................................</p><p>..........</p><p>..........</p><p>..........</p><p>332211</p><p>33333232131</p><p>22323222121</p><p>11313212111</p><p>Sendo:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>mnmmm</p><p>n</p><p>n</p><p>n</p><p>mxn</p><p>aaaa</p><p>aaaa</p><p>aaaa</p><p>aaaa</p><p>A</p><p>........</p><p>........................</p><p>........</p><p>........</p><p>........</p><p>321</p><p>3333231</p><p>2232221</p><p>1131211</p><p>)( a matriz dos coeficientes (mxn)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>n</p><p>n</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>X</p><p>..</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>matriz das variáveis e ;</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>m</p><p>n</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>B</p><p>..</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>matriz dos termos independentes</p><p>Dizemos que dois sistemas S e S’ são equivalentes se toda solução de S é</p><p>solução de S’</p><p>Solução(S) = solução(S’)</p><p>Como sistemas equivalentes têm o mesmo conjunto solução, podemos através de</p><p>operações elementares transformar o sistema dado S em um sistema equivalente</p><p>S’, mas dito escalonado.</p><p>Na transformação, o sistema S, será transformado num dos sistemas dos tipos:</p><p>S’ (mxn) =</p><p>mn</p><p>nn</p><p>nn</p><p>nn</p><p>bxxxx</p><p>bxaxxx</p><p>bxaxaxx</p><p>bxaxaxax</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1..........000</p><p>............................................</p><p>..........100</p><p>..........10</p><p>..........1</p><p>321</p><p>33321</p><p>2232321</p><p>113132121</p><p>21</p><p>E a matriz dos coeficientes na forma de Matriz triangular superior, com diagonal</p><p>unitária:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1........000</p><p>........................</p><p>........100</p><p>........10</p><p>........1</p><p>3</p><p>223</p><p>11312</p><p>)( n</p><p>n</p><p>n</p><p>mxn a</p><p>aa</p><p>aaa</p><p>A</p><p>ou na forma</p><p>S’ (mxn) =</p><p>mnmmm</p><p>n</p><p>n</p><p>n</p><p>bxxaxaxa</p><p>bxxxaxa</p><p>bxxxxa</p><p>bxxxx</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1..........</p><p>............................................</p><p>0..........1</p><p>0..........01</p><p>0..........001</p><p>332211</p><p>33232131</p><p>232121</p><p>1321</p><p>E a matriz dos coeficientes na forma de Matriz triangular inferior, com diagonal</p><p>unitária:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1........</p><p>........................</p><p>0........1</p><p>0........01</p><p>0........001</p><p>321</p><p>3231</p><p>21</p><p>)(</p><p>mmm</p><p>mxn</p><p>aaa</p><p>aa</p><p>a</p><p>A</p><p>Matriz completa:</p><p>Adicionamos à matriz dos coeficientes, a matriz dos termos independentes;</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>mmnmmm</p><p>n</p><p>n</p><p>n</p><p>baaaa</p><p>baaaa</p><p>baaaa</p><p>baaaa</p><p>completa</p><p>........</p><p>............................</p><p>........</p><p>........</p><p>........</p><p>321</p><p>33333231</p><p>22232221</p><p>11131211</p><p>e, as mesmas operações elementares utilizadas na matriz dos coeficientes para</p><p>transformar numa matriz triangular superior ou inferior, também transformam os</p><p>termos independentes</p><p>22</p><p>Assim para resolver por escalonamento um sistema podemos utilizar a notação</p><p>matricial e após o escalonamento, retornamos a notação de sistemas e</p><p>determinamos a sua solução.</p><p>Exemplo:</p><p>Resolver o sistema de equações lineares;</p><p>03</p><p>22</p><p>12</p><p></p><p></p><p></p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>Matriz completa</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>0311</p><p>2112</p><p>1121</p><p>~</p><p>13</p><p>12</p><p>11</p><p>2</p><p>LL</p><p>LL</p><p>LL</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1430</p><p>0330</p><p>1121</p><p>~</p><p>23</p><p>2</p><p>11</p><p>3</p><p>3</p><p>LL</p><p>L</p><p>LL</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1100</p><p>0110</p><p>1121</p><p>Retornando no sistema:</p><p>1</p><p>0</p><p>12</p><p></p><p></p><p></p><p>z</p><p>zy</p><p>zyx</p><p>(poderia ter usado triangular inferior)</p><p>Portanto:</p><p>da 3ª equação : 1z</p><p>substituindo na 2ª , 1y solução: S =( 2 , -1 , -1)</p><p>substituindo na 1ª , 2x</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>Resolver os sistemas lineares por escalonamento</p><p>1.</p><p>37</p><p>032</p><p>12</p><p></p><p></p><p></p><p>yx</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>Resp. = SPI</p><p>23</p><p>2.</p><p>643</p><p>11118105</p><p>54342</p><p>3322</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>wzyx</p><p>wzyx</p><p>wzyx</p><p>wzyx</p><p>Resp.= SI</p><p>3.</p><p>455</p><p>023</p><p>4</p><p></p><p></p><p></p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>Resp. = SPI</p><p>4.</p><p>722</p><p>63</p><p>222</p><p>132</p><p>4321</p><p>4321</p><p>4321</p><p>4321</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>xxxx</p><p>xxxx</p><p>xxxx</p><p>xxxx</p><p>Resp.S=  4321 ,,,</p><p>5.</p><p>02</p><p>42</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>Resp.S=  113 ,,</p><p>6.</p><p>2222</p><p>42</p><p>023</p><p>532</p><p>4321</p><p>4321</p><p>4321</p><p>4321</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>xxxx</p><p>xxxx</p><p>xxxx</p><p>xxxx</p><p>Resp.S=  2211 ,,, </p><p>7.</p><p>6432</p><p>723</p><p>4322</p><p>32</p><p>4321</p><p>4321</p><p>4321</p><p>4321</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>xxxx</p><p>xxxx</p><p>xxxx</p><p>xxxx</p><p>Resp.S=  1212  ,,,</p><p>8.</p><p>63</p><p>622</p><p>834</p><p></p><p></p><p></p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>Resp. S=  123 ,,</p><p>24</p><p>9.</p><p>435</p><p>2843</p><p>30354</p><p></p><p></p><p></p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>Resp.S=  642 ,,</p><p>REGRA DE CRAMER</p><p>(Aconselhável para aplicação em sistemas 2x2xou 3x3)</p><p>Considerando o sistema “S” de equações lineares (mxn)</p><p>S (mxn) =</p><p>mnmnmmm</p><p>nn</p><p>nn</p><p>nn</p><p>bxaxaxaxa</p><p>bxaxaxaxa</p><p>bxaxaxaxa</p><p>bxaxaxaxa</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>..........</p><p>............................................</p><p>..........</p><p>..........</p><p>..........</p><p>332211</p><p>33333232131</p><p>22323222121</p><p>11313212111</p><p>Sendo:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>mnmmm</p><p>n</p><p>n</p><p>n</p><p>mxn</p><p>aaaa</p><p>aaaa</p><p>aaaa</p><p>aaaa</p><p>A</p><p>........</p><p>........................</p><p>........</p><p>........</p><p>........</p><p>321</p><p>3333231</p><p>2232221</p><p>1131211</p><p>)(</p><p>a matriz dos coeficientes (mxn)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>n</p><p>n</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>X</p><p>..</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>matriz das variáveis e ;</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>m</p><p>n</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>B</p><p>..</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>matriz dos termos independentes</p><p>Consideremos:</p><p>D = Determinante da matriz A , matriz dos coeficientes</p><p>Di =Determinante das matrizes obtida de A , substituindo-se sua i-ésima coluna de</p><p>A , pela coluna da matriz B (matriz dos termos independentes).</p><p>D1 = substituir 1ª coluna de A pela matriz B</p><p>D2 = substituir 2ª coluna de A pela matriz B</p><p>D3 = substituir 3ª coluna de A pela matriz B</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>Dn = substituir nª coluna de A pela matriz B</p><p>25</p><p>Assim:</p><p>D</p><p>D</p><p>x 1</p><p>1  ;</p><p>D</p><p>D</p><p>x 2</p><p>2</p><p> ;</p><p>D</p><p>D</p><p>x 3</p><p>3  ; .........</p><p>D</p><p>D</p><p>x n</p><p>n </p><p>Retomemos o exercício resolvido por escalonamento</p><p>03</p><p>22</p><p>12</p><p></p><p></p><p></p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>311</p><p>112</p><p>121</p><p>A D = Det(A) = -3</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>310</p><p>112</p><p>121</p><p>B D1 = Det(B) = -6 x = D1/D = -6/-3 = 2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p>301</p><p>122</p><p>111</p><p>C D2 = Det(C) = 3 y = D2/D = 3/-3 = -1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>011</p><p>212</p><p>121</p><p>D D3 = Det(D) = 3 z = D3/D = 3/-3 = -1</p><p>Solução: S = ( 2 , -1 , -1 )</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>Repetir todos os exercícios que foram propostos por escalonamento</p><p>26</p><p>TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS</p><p>Conhecendo as coordenadas de um ponto ou a equação de uma curva em</p><p>relação a um certo sistema de referência, podemos obter novas coordenadas de</p><p>um ponto ou a nova equação de uma curva em relação a um novo sistema de</p><p>referência.</p><p>Podemos obter esse novo sistema através de uma translação ou rotação</p><p>de eixos.</p><p>Translação de eixos</p><p>No plano cartesiano xOy considere um ponto O’= (xo, yo). Introduza um</p><p>novo sistema x’O’y’ tal que O’ seja a nova origem e o eixo O’x’ tenha a mesma</p><p>direção e sentido de Ox e O’y’ tenha a mesma direção e sentido de Oy.</p><p>Y’</p><p>Y</p><p>Y P</p><p>y’</p><p>X’</p><p>Yo O’</p><p>x’</p><p>O Xo x X</p><p>Um ponto P do plano tem coordenadas:</p><p>* x e y em relação ao sistema xOy</p><p>*x’ e y’ em relação ao sistema x’O’y’.</p><p>Obtemos facilmente da figura as fórmulas de translação:</p><p>x = xo + x’</p><p>y = yo + y’</p><p>Exemplos</p><p>1) Dados os pontos A(2,1), B(-1,3) e C (-2,5), encontrar suas coordenadas no</p><p>novo sistema, se a</p><p>origem das coordenadas foi transladada para o ponto A</p><p>(xo, yo)</p><p>Nova origem (xo, yo)= (2,1)</p><p>Novas coordenadas do ponto A</p><p>x = xo + x’ => x’= x - xo => x’= 2-2= 0</p><p>y = yo + y’ => y’= y - yo => y’= 1-1= 0 (x’, y’)=(0,0)</p><p>Novas coordenadas do ponto B</p><p>x = xo + x’ => x’= x - xo => x’= -1-2= -3</p><p>y = yo + y’ => y’= y - yo => y’= 3-1= 2 (x’, y’)=(-3,2)</p><p>27</p><p>Novas coordenadas do ponto C</p><p>x = xo + x’ => x’= x - xo => x’= -2-2= -4</p><p>y = yo + y’ => y’= y - yo => y’= 5-1= 4 (x’, y’)=(-4,4)</p><p>2) Considere a reta de equação y=2x-4 em relação ao sistema xOy. Faça uma</p><p>translação de eixo tal que a nova origem seja o ponto em que esta reta</p><p>corta o eixo x. Obtenha a equação da reta em relação ao novo sistema</p><p>x’O’y’.</p><p>Nova origem (xo, yo)= (2,0)</p><p>Relação das coordenadas no sistema xOy com as coordenadas no sistema</p><p>x’O’y’</p><p>x = xo + x’ => x = 2 + x’</p><p>y = yo + y’ => y = 0 + y’=> y = y’</p><p>Equação da reta no sistema x’O’y’</p><p>y=2x-4 => y’=2(2 + x’)-4 => y’=2 x’</p><p>3) Considere a parábola y=x²-4x+2 em relação ao sistema xOy. Faça uma</p><p>translação de eixo tal que a nova origem seja o ponto em que está situado</p><p>o vértice da parábola. Obtenha a equação da parábola em relação ao novo</p><p>sistema x’O’y’.</p><p>Vértices de uma parabola:</p><p>Nova origem (xo, yo)= (2,-2)</p><p>Relação das coordenadas no sistema xOy com as coordenadas no sistema</p><p>x’O’y’</p><p>x = xo + x’ => x = 2 + x’</p><p>y = yo + y’ => y = -2 + y’=> y = y’</p><p>Equação da parábola no sistema x’O’y’</p><p>(y’-2) = (x’+2) ² -4 (x’+ 2) + 2</p><p>y’= x’²+2.2.x’+4-4x’ -8+2+2</p><p>y’= x’²</p><p>Exercícios</p><p>1) Considere a reta de equação y=3x+6 em relação ao sistema xOy. Faça</p><p>uma translação de eixo tal que a nova origem seja o ponto em que esta</p><p>reta corta o eixo y. Obtenha a equação da reta em relação ao novo sistema</p><p>x’O’y’. Faça o gráfico.</p><p>28</p><p>2) Considere a parábola y=3x²-6x+2 em relação ao sistema xOy. Faça uma</p><p>translação de eixo tal que a nova origem seja o ponto (-2,2). Obtenha a</p><p>equação da parábola em relação ao novo sistema x’O’y’. Faça o gráfico.</p><p>Rotação de eixos</p><p>Consideremos um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy.</p><p>Mantendo fixa a origem O, faz-se uma rotação nos eixos Ox e Oy de um mesmo</p><p>ângulo, no sentido anti-horário. Obtemos assim um novo sistema x'O'y' por uma</p><p>rotação de xOy.</p><p>Fórmulas de rotação</p><p>Um ponto P que tem coordenadas (x,y) em relação ao sistema xOy, após uma</p><p>rotação de eixos assume coordenadas (x', y') em relação ao novo sistema x'O'y'.</p><p>As fórmulas de rotação são deduzidas vetorialmente como:</p><p>Exemplos</p><p>4) Dados os pontos e calcular suas coordenadas no novo</p><p>sistema se os eixos rotacionaram em 45°.</p><p>Ponto M</p><p>29</p><p>Ponto N</p><p>5) A equação representa uma elipse no sistema xOy.</p><p>Obter a equação da mesma elipse uma vez efetuada a rotação de eixos de</p><p>amplitude θ=45°.</p><p>RESOLUÇÃO:</p><p>Fórmulas de rotação:</p><p>Substituindo x e y por seus valores na equação :</p><p>Desenvolvendo e simplificando, a equação acima reduz-se a:</p><p>30</p><p>Gráfico:</p><p>A equação foi transformada na equação</p><p>mediante uma rotação de θ = 45°. Veremos que a equação</p><p>transformada é de longe, muito mais fácil de se representar graficamente.</p><p>Exercícios</p><p>3) Os eixos de coordenadas foram rotacionados de um ângulo α=60°. As</p><p>coordenadas dos pontos , e foram</p><p>determinados no novo sistema. Calcule as coordenadas desses pontos no</p><p>sistema primitivo.</p><p>4) Obter a nova equação da reta quando se efetua uma</p><p>rotação de eixos de amplitude θ, sabendo-se que e θ pertence</p><p>ao primeiro quadrante. (DICA: lembre-se que )</p><p>5) Para as equações abaixo, transformá-las por meio de uma translação para</p><p>eliminar os termos de 1º grau das equações:</p><p>a.</p><p>b.</p><p>c.</p><p>6) Para as equações abaixo, transformá-las por meio de uma rotação para</p><p>eliminar o termo misto das equações:</p><p>a.</p><p>b.</p><p>c.</p><p>31</p><p>Cônicas- Circunferência, Elipse, Hipérbole e Parábola</p><p>Cônicas Degeneradas</p><p>Dependendo do corte, podemos obter um par de retas, uma reta e até um</p><p>ponto. Estas são chamadas de cônicas degeneradas. Ocorrem quando o plano</p><p>cortante contém o eixo de simetria do cone, sua geratriz ou seu vértice.</p><p>Equação geral das curvas de 2º grau de duas variáveis (cônicas)</p><p>Podemos classificá-las da seguinte forma:</p><p>Se trata-se de uma cônica com centro</p><p>Sendo uma elipse e</p><p>Sendo uma hipérbole</p><p>Se trata-se de uma cônica sem centro, no caso uma parábola.</p><p>32</p><p>Formas reduzidas das cônicas</p><p>a) Elipse:</p><p>b) Hipérbole:</p><p>Caso I</p><p>33</p><p>Caso II</p><p>c) Parábola:</p><p>Caso I</p><p>Caso II</p><p>Nosso objetivo com translação e rotação dos eixos do sistema é</p><p>transformar a equação geral das cônicas nas equações reduzidas equivalentes.</p><p>34</p><p>1º Passo: Verificar se é uma cônica com centro ou sem.</p><p>No caso de ser uma cônica com centro ( ), verificar se é uma</p><p>elipse ou uma hipérbole.</p><p>2º Passo: Em qualquer das duas hipóteses ( )</p><p>a) Fazer uma translação dos eixos, determinando o centro (x0,y0) da</p><p>cônica para onde deve ser transladado o sistema com o objetivo de</p><p>eliminar os dois termos de 1º grau.</p><p>A equação então fica reduzida para:</p><p>O novo termo F’ pode ser calculado com o auxílio de (x0,y0) conhecidos.</p><p>b) Fazer uma rotação dos eixos transladados de um ângulo , a ser</p><p>calculado com o objetivo de eliminar o termo misto da equação.</p><p>A equação então fica reduzida para:</p><p>É uma questão de manusear esta expressão para compará-la à equação</p><p>reduzida correspondente.</p><p>Exercícios</p><p>7) Reduzir à forma canônica (forma reduzida) cada uma das equações</p><p>seguintes. Determinar seu tipo. Definir as curvas que elas definem. Em</p><p>cada caso, traçar os eixos do antigo sistema de coordenadas, os eixos</p><p>dos sistemas auxiliares (na translação e rotação) e construir as curvas</p><p>que elas definem.</p><p>a.</p><p>b.</p><p>c.</p><p>d. (Hipérbole degenerada por um par</p><p>de retas concorrentes, as assíntotas)</p><p>e. (Elipse degenerada por um ponto, o</p><p>seu centro)</p><p>f.</p><p>g.</p><p>35</p><p>No caso de trata-se de uma parábola (cônica sem centro).</p><p>Neste caso, a curva que ela define não tem centro. Será preferível reduzir a</p><p>equação do tipo parabólico efetuando-se primeiramente uma rotação dos eixos</p><p>das coordenadas, com o objetivo de eliminar o termo misto.</p><p>Este ângulo calculado para esse fim, trará consigo um dos termos de</p><p>segundo grau A=0 ou C=0, e o termo independente não se altera.</p><p>I) ou</p><p>II)</p><p>A translação que deve ser feita em seguida será de forma conveniente</p><p>mostrada nos exercícios.</p><p>Exercícios</p><p>8) Verificar que cada uma das equações abaixo é do tipo parabólico. Reduzi-</p><p>las à forma canônica e determinar as curvas que elas definem. Em cada</p><p>caso, traçar os eixos antigos do sistema de coordenadas, os eixos</p><p>auxiliares introduzidos durante a resolução (rotação e translação) e</p><p>construir as curvas.</p><p>a)</p><p>b)</p><p>36</p><p>NÚMEROS COMPLEXOS</p><p>I. Introdução</p><p>1. Números Reais</p><p>O conjunto dos números Reais, denotado de por R, é constituído pelos seguintes</p><p>subconjuntos:</p><p>a) Conjunto dos números inteiros Naturais, denotado por N;</p><p> ,.......5,4,3,2,1N ;</p><p>b) Conjunto dos números Inteiros (correspondem todos os inteiros positivos e</p><p>negativos, juntamente com 0), denotado por Z;</p><p> ,.......5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5..... Z</p><p>c) Conjunto dos Números Racionais, denotado por Q;</p><p>São os números expressos na forma de frações, como um quociente</p><p>b</p><p>a ,</p><p>onde a e b são números inteiros e 0b .</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ,......</p><p>3</p><p>2</p><p>,</p><p>4</p><p>5</p><p>,</p><p>7</p><p>15</p><p>,</p><p>1</p><p>6</p><p>,</p><p>8</p><p>7</p><p>,</p><p>4</p><p>3</p><p>.......Q</p><p>Observe que:</p><p>25,1</p><p>4</p><p>5</p><p> ; ....6666,0</p><p>3</p><p>2</p><p> ; ....571428571428,2</p><p>7</p><p>15</p><p></p><p>Portanto são números decimais,</p><p>definidos ou indefinidos, periódicos</p><p>(apresentando repetições sistemáticas).</p><p>d) Conjunto dos Números Irracionais, denotado por I;</p><p>Os números irracionais também são suscetíveis de representação decimal, a qual,</p><p>todavia além de infinita, não apresenta repetições sistemáticas (periódicas).</p><p> ,....10,,2.... I</p><p>Observe que equações como 042 x , não tem solução no conjunto dos</p><p>números reais R ; criou-se então conjunto dos números Complexos, denotado</p><p>por C , onde ela tem solução.</p><p>No conjunto dos números complexos C, toda equação desse tipo tem solução,</p><p>e é esse conjunto que iremos estudar.</p><p>Iremos considerar o conjunto dos números reais R, como um subconjunto dos</p><p>números complexos.</p><p>37</p><p>2. Números Complexos</p><p>Definição:</p><p>Um número complexo é um par ordenado de números reais; ),( baZ </p><p>Sendo:</p><p>a é chamada de parte Real do número complexo: )(Za </p><p>b é chamada de parte Imaginária do número complexo: )(ZIb </p><p>Portanto: ) )( , )( ( ZIZZ </p><p>Ex.: ) 3 , 2 (1 Z ; ) 2 , 5- (2 Z ; ) 0 , 3 (3 Z ; ) )º30( , (4 senZ </p><p>II. Operações com os números complexos</p><p>As operações que se seguem, serão colocadas por definição.</p><p>Vamos considerar dois números complexos: ) , (1 baZ  e ) , (2 dcZ </p><p>1) Igualdade: Se 21 ZZ  então ) , ( ba ) , ( dc , logo ca  e db </p><p>“Igualdade das partes reais e das partes imaginárias”</p><p>2) Adição:  21 ZZZ ) , ( ba  ) , ( dc ) , ( dbca </p><p>“Somam-se as partes reais e somam-se as partes imaginárias"</p><p>3) Subtração:  21 ZZZ ) , ( ba - ) , ( dc ) , ( dbca </p><p>38</p><p>“Subtraem-se as partes reais e subtraem-se as partes imaginárias"</p><p>4) Produto de um número real k , por um nº complexo: k.Z = k ),( ba =</p><p>),( kbka</p><p>“ multiplicam-se as partes reais e imaginárias pelo nº real K”</p><p>5) Produto:  21.ZZZ ) , ( ba . ) , () , ( yxdc </p><p>Sendo: bdacx  e bcady </p><p>6) Inverso: Sendo 0) , (  baZ o inverso de Z, indicado por ) , (1 yxZ  é tal</p><p>que:</p><p>Z</p><p>Z</p><p>11  onde ) 0 , 1 (. 1 ZZ</p><p>Sendo:</p><p>22 ba</p><p>a</p><p>x</p><p></p><p> e</p><p>22 ba</p><p>b</p><p>y</p><p></p><p></p><p></p><p>g) Divisão: ) , (</p><p>) , (</p><p>) , (</p><p>2</p><p>1 yx</p><p>dc</p><p>ba</p><p>Z</p><p>Z</p><p>Z </p><p>Sendo:</p><p>22 dc</p><p>bdac</p><p>x</p><p></p><p></p><p> e</p><p>22 dc</p><p>adbc</p><p>y</p><p></p><p></p><p></p><p>39</p><p>EXERCÍCIOS:</p><p>Considere os números complexos:</p><p>) 2 , 3(1 Z ; ) 4 , 2 (2 Z ; ) 4 , 5 (3 Z</p><p>1. Calcular:</p><p>a) 321 2</p><p>2</p><p>1</p><p>3 ZZZZ </p><p>b) 21.ZZZ </p><p>c)</p><p>2</p><p>1</p><p>Z</p><p>Z</p><p>Z </p><p>d)</p><p>1</p><p>1</p><p></p><p> ZZ</p><p>2. Calcular:</p><p>a) 321 2</p><p>2</p><p>3</p><p>2 ZZZZ </p><p>b) 321</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>ZZZZ </p><p>c)</p><p>32.ZZZ </p><p>d)</p><p>31.ZZZ </p><p>e)</p><p>3</p><p>2</p><p>Z</p><p>Z</p><p>Z </p><p>f)</p><p>1</p><p>3</p><p>Z</p><p>Z</p><p>Z </p><p>g) 1</p><p>2</p><p> ZZ</p><p>h) 1</p><p>3</p><p> ZZ</p><p>III. Identificação de um número Real como sendo um subconjunto dos</p><p>Complexos</p><p>Seja C’ um subconjunto dos números complexos C, formado por todos</p><p>os números complexos com parte imaginária nula:   0 , a ,   0 , b ,   0 , c ,</p><p>  0,d ,.... etc.</p><p>Aplicando as regras das operações elementares, verificamos que:</p><p>40</p><p>  0 , a    0 , a = )0 , ( ba  , também pertence a C’</p><p>  0 , a .   0 , b =   0 , . ba , também pertence a C’</p><p>  0 , a    0 , b = </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>0 ,</p><p>b</p><p>a</p><p>, também pertence a C’</p><p>  1</p><p>0 ,</p><p></p><p>a = </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>0 ,</p><p>1</p><p>a</p><p>, também pertence a C’</p><p>Portanto, podemos identificar todos os números reais, do tipo   0 , a</p><p>como sendo um número real "" a , e escrevendo   0 , aa  . Dizemos então</p><p>que os números reais " "a são um subconjunto dos números complexos, com</p><p>parte imaginária nula.</p><p>Em particular tem-se que: sendo   , baZ </p><p>Se 1a e 0b , então ) 0 , 1 (1 é denominado de unidade real</p><p>Se 0a e 1b , então ) 1 , 0 (i é denominado de imaginário puro, identificado</p><p>pela letra i</p><p>Podemos então escrever  0 , 1 aa  e  1 , 0 bib </p><p>Consequentemente, usando as operações do produto:</p><p>       10 , 10.11.0 , 1.11.0 1,0.1,0.2  iii</p><p>logo 12 i e portanto 1i que é a propriedade básica da unidade</p><p>Imaginária.</p><p>Colocando</p><p>10 i ; ii 1</p><p>; 12 i ; ii 3</p><p>14 i ; ii 5</p><p>; 16 i ; ii 7</p><p>...................................................................................</p><p>observando esses resultados, chega-se a conclusão de que as potências</p><p>sucessivas de i se reproduzem periodicamente de quatro em quatro,</p><p>assumindo os valores ii  ,1,,1</p><p>41</p><p>IV. O número complexo   , baZ  escrito na forma Algébrica biaZ </p><p>Sendo       ibabababaZ 1 , 0 0 , 1 ) , 0 () 0 , ( , </p><p>Esta maneira de escrever os números complexos biaZ  chamada de</p><p>Forma Algébrica, é a mais prática que a Forma de Par Ordenado, uma vez que</p><p>facilita as operações. Desta maneira, as definições de igualdade, adição e</p><p>multiplicação, ficam:</p><p>a) Igualdade: dicbia  então ca  e db </p><p>b) Adição:        idbcadicbia </p><p>c) Multiplicação:    2. bdicbiadiacdicbia  (lembrar que 12 i )</p><p>e portanto,    icbadbdac </p><p>Número Complexo Conjugado Z</p><p>Dado o número complexo, o seu conjugado é um número complexo com a</p><p>mesma parte real, e com a parte imaginária com o sinal trocado:</p><p>biaZ  biaZ </p><p>d) Inverso: No cálculo do inverso</p><p>Z</p><p>Z</p><p>11  , multiplica-se numerador e</p><p>denominador pelo conjugado de Z :</p><p>22222</p><p>1</p><p>))((.</p><p>.11</p><p>ba</p><p>bia</p><p>ibbaiabia</p><p>bia</p><p>biabia</p><p>bia</p><p>ZZ</p><p>Z</p><p>Z</p><p>Z</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>)(</p><p>1</p><p>22</p><p>1 bia</p><p>ba</p><p>Z </p><p></p><p></p><p>e) Divisão: Na divisão de dois complexos, multiplica-se numerador e</p><p>denominador pelo conjugado do denominador:</p><p>42</p><p>dic</p><p>bia</p><p>Z</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>22</p><p>][][</p><p>)).((</p><p>)).((</p><p>bc</p><p>iadbcbdac</p><p>dicdic</p><p>dicbia</p><p>dic</p><p>bia</p><p>Z</p><p>iadbcbdac</p><p>dc</p><p>Z )()[(</p><p>1</p><p>22</p><p></p><p></p><p></p><p>EXERCÍCIOS</p><p>3. Considere os números complexos:</p><p>iZ 321  ; iZ 612  ; iZ  23</p><p>, Calcular:</p><p>a)</p><p>321 32 ZZZZ </p><p>b)</p><p>321 43 ZZZZ </p><p>c)</p><p>321 43 ZZZZ </p><p>4. Calcular os seguintes números complexos:</p><p>a) )32()54()32()21( iiiiZ </p><p>b) )3)(3()2)(2( iiiiZ </p><p>c) 33 )2()2( iiZ </p><p>d) 22 )2)(1()2()1( iiiiZ </p><p>e) iiiiz )31)(21)(1( </p><p>5. Calcule o conjugado dos seguintes números complexos:</p><p>a) iZ 31</p><p>b) )5(2 iiZ </p><p>c) iiiiZ )1)(1()23( </p><p>6. Efetue as divisões:</p><p>a)</p><p>i</p><p>i</p><p>Z</p><p>32</p><p>2</p><p></p><p></p><p> b)</p><p>i</p><p>i</p><p>Z</p><p></p><p></p><p>3</p><p>c)</p><p>i</p><p>i</p><p>Z</p><p></p><p></p><p></p><p>3</p><p>52</p><p>d)</p><p>i</p><p>i</p><p>Z</p><p>43</p><p>55</p><p></p><p></p><p> e)</p><p>i</p><p>Z</p><p></p><p></p><p>2</p><p>8</p><p>43</p><p>7. Calcular 1Z</p><p>a) iZ 35</p><p>b) iZ 32</p><p>c) iZ 1</p><p>8. Mostre que:</p><p>a) iZiZ 33 </p><p>b) ZiZi .. </p><p>c) 1</p><p>43</p><p>)2( 2</p><p></p><p></p><p></p><p>i</p><p>i</p><p>9. Determinar os números reais x e y , tais que:</p><p>a) iixyi 57)2()3( </p><p>b) 02)32(  yiyx</p><p>c) iiyix 81)32)(( </p><p>d) iyixi 31)53()21( </p><p>e) iyix 2)( 2 </p><p>10. Calcular:</p><p>a)</p><p>10i b) 57i c)</p><p>31</p><p>1</p><p>i</p><p>11. Se iZ  2 , calcule: 843 23  ZZZ</p><p>12. Calcular o número complexo biaZ  , tal que:</p><p>i</p><p>i</p><p>Z</p><p>i</p><p>Z</p><p>65</p><p>32</p><p>1</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>13. Calcular o determinante:</p><p>)43()3(</p><p>)2()32(</p><p>ii</p><p>ii</p><p></p><p></p><p>14. Resolver a equação do 2º grau: 0522  xx</p><p>44</p><p>V. Representação Geométrica dos números complexos: Plano de Argand-</p><p>Gauss</p><p>Da definição dos números complexos, resulta que se pode interpretá-los</p><p>como sendo pontos de um plano. Considerar um número complexo</p><p>) , ( babiaZ  é dar um ponto P de um plano cartesiano R2 , de</p><p>coordenadas ) , ( baP  , ilustrado na figura 01.</p><p>Im (eixo Imaginário)</p><p>P(a,b)</p><p>b</p><p>R (eixo Real)</p><p>a</p><p>figura 01</p><p>Este plano cartesiano, no qual estão representados os números</p><p>complexos, denomina-se Plano Complexo (também chamado de Plano de</p><p>Argand-Gauss) ; o eixo Ox é o eixo real (valores de a) e o eixo Oy é o eixo</p><p>imaginário (valores de b).</p><p>Por outro lado, o número complexo pode ser concebido como um vetor</p><p>OP , de origem na origem do sistema e extremidade no ponto P.</p><p>Assim as Somas e Diferenças de números complexos, são feitas com os</p><p>mesmos procedimentos que se fazem com vetores, isto é, somam-se ou</p><p>subtraem-se as coordenadas correspondentes. No caso de números</p><p>complexos, somam-se ou subtraem-se as partes correspondentes.</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>15. Represente graficamente os números complexos:</p><p>a) iZ 2 b) iW  3 c) WZR </p><p>45</p><p>MÓDULO ou Valor absoluto de um número complexo</p><p>Denomina-se Módulo ou valor absoluto de um número complexo biaZ  ao</p><p>número real, 22 baZ  que é o comprimento do vetor OP</p><p>(fig. 01 ).</p><p>Consequências: Dado biaZ  , tem-se que:</p><p>1. ZZbaZ .2222 </p><p>2.</p><p>22</p><p>1 1</p><p></p><p>z</p><p>Z</p><p>Z</p><p>Z</p><p>Z </p><p>VI. Forma Polar e Forma Trigonométrica de um número Complexo</p><p>Já vimos que no plano de Argand-Gauss,o número complexo pode ser</p><p>identificado como se fosse uma vetor, de origem na origem do sistema e</p><p>extremidade no ponto de coordenadas ) , ( baZ  .</p><p>Im</p><p>b  ),( baZ </p><p>a R</p><p></p><p>-b </p><p>),( baZ  (conjugado)</p><p>Na forma Polar O número real</p><p>22 ba  mede o comprimento do</p><p>número complexo (Módulo de Z) e  é a medida do ângulo (chamado de</p><p>Argumento) entre a direção positiva do eixo real e o número complexo,</p><p>indicado pelo vetor.</p><p>46</p><p>FORMAS E RELAÇÕES:</p><p>Sendo: As formas Par Ordenado, Algébrica, Trigonométrica e Polar,</p><p>respectivamente.</p><p>   cos),(  isenbiabaZ</p><p>Onde:</p><p>22 ba  (Módulo)</p><p>a</p><p>b</p><p>arctg (argumento)</p><p>)cos(a (parte real)</p><p>)(senb  (parte imaginária)</p><p>Para o conjugado:</p><p>Nas formas de: Par ordenado e algébrica</p><p>.</p><p>  biabaZ  ,</p><p>Nas formas de: Trigonométrica e Polar</p><p>      cos)()cos( isenisenZ</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>16. Escrever sob as formas Polar e Trigonométrica os números complexos, e</p><p>representá-los geometricamente:</p><p>a) iZ 1 b) iZ  2 c) iZ 32 d) iZ 23 e) iZ 5</p><p>f) iZ 2 g) 4Z h) 6Z</p><p>47</p><p>17. a) Completar o quadro</p><p>Z</p><p>Par</p><p>Ordenado</p><p>Algébrica Polar Trigonométrica</p><p>Z1  4,3</p><p>Z2 i43</p><p>Z3</p><p>4</p><p>3 5 </p><p>Z4  )</p><p>6</p><p>11()</p><p>6</p><p>11cos(8  isen</p><p>Z5 i 344</p><p>Z6  2,2 </p><p>b) Completar com os Conjugados</p><p>Z</p><p>Par</p><p>Ordenado</p><p>Algébrica Polar Trigonométrica</p><p>Z1</p><p>Z2</p><p>Z3</p><p>Z4</p><p>Z5</p><p>Z6</p><p>c) Calcular</p><p>3</p><p>21.</p><p>Z</p><p>ZZ</p><p>Z  d) Calcular</p><p>)(</p><p>)).((</p><p>65</p><p>4321</p><p>ZZ</p><p>ZZZZ</p><p>Z</p><p></p><p></p><p></p><p>48</p><p>VII. Produto nas formas Polar e Trigonométrica</p><p>Considerem-se os números complexos dados na forma trigonométrica:</p><p> 1111 cos  isenZ  e  2222 cos  isenZ </p><p>Então:</p><p>     22211121 cos.cos.  isenisenZZZ </p><p>  22112121 cos.cos..  isenisenZZZ </p><p>Desenvolvendo:</p><p> 21</p><p>2</p><p>12212121 coscoscoscos.  senseniseniseniZ </p><p>  )]cos(coscoscos[. 1221212121  sensenisensenZ </p><p>)]()[cos(.. 21212121   isenZZZ</p><p>Na forma Polar:</p><p>)( .. 212121   ZZZ</p><p>Logo, o módulo do produto de dois números complexos 2.ZZZ  é igual</p><p>ao PRODUTO de seus módulos e o argumento é a SOMA dos argumentos dos</p><p>fatores.</p><p>Esta propriedade tanto vale para os números complexos escritos na</p><p>forma Polar como na forma Trigonométrica.</p><p>49</p><p>VIII. Divisão nas formas Polar e Trigonométrica</p><p>Considerem-se os números complexos dados na forma trigonométrica:</p><p> 1111 cos  isenZ  e  2222 cos  isenZ </p><p>Então:</p><p> </p><p> 222</p><p>111</p><p>2</p><p>1</p><p>cos</p><p>cos</p><p></p><p></p><p>isen</p><p>isen</p><p>Z</p><p>Z</p><p>Z</p><p></p><p></p><p> e</p><p>22</p><p>11</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>cos</p><p>cos</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>isen</p><p>isen</p><p>Z</p><p>Z</p><p>Z</p><p></p><p></p><p></p><p>Multiplicando o numerador e denominador pelo conjugado do denominador,</p><p>temos:</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> 22</p><p>22</p><p>22</p><p>11</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>cos</p><p>cos</p><p>.</p><p>cos</p><p>cos</p><p>.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>isen</p><p>isen</p><p>isen</p><p>isen</p><p>Z</p><p>Z</p><p>Z</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>Desenvolvendo:</p><p>22</p><p>2</p><p>222222</p><p>21</p><p>2</p><p>212121</p><p>2</p><p>1</p><p>coscoscoscos</p><p>coscoscoscos</p><p>.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>senseniisenseni</p><p>senseniisenseni</p><p>Z</p><p></p><p></p><p></p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>21212121</p><p>2</p><p>1</p><p>)()(cos</p><p>)coscos()cos(cos</p><p>.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>sen</p><p>sensenisensen</p><p>Z</p><p></p><p></p><p></p><p>)coscos()cos.(cos 21212121</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1 </p><p></p><p></p><p>sensenisensen</p><p>Z</p><p>Z</p><p>Z </p><p>)]()[cos( 2121</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1 </p><p></p><p></p><p> isen</p><p>Z</p><p>Z</p><p>Z</p><p>Na forma Polar:</p><p>)( 21</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1 </p><p></p><p></p><p></p><p>Z</p><p>Z</p><p>Z</p><p>50</p><p>Logo, o módulo do quociente de dois números complexos 2.ZZZ  é</p><p>igual ao QUOCIENTE de seus módulos e o argumento é a DIFERENÇA dos</p><p>argumentos dos fatores.</p><p>Geometricamente, o comprimento  do número complexo Z é igual ao</p><p>quociente dos comprimentos 1</p><p></p><p>por 2</p><p></p><p>. O ângulo de inclinação  do</p><p>complexo Z é a diferença dos ângulos 1 e 2</p><p>Esta propriedade tanto vale para os números complexos escritos na</p><p>forma Polar como na forma Trigonométrica.</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>18. Para os números complexos dados, calcular:</p><p>][cos21  isenZ  , ]</p><p>22</p><p>[cos32</p><p></p><p>isenZ </p><p>4</p><p>3 63</p><p>Z ,</p><p>3</p><p>84</p><p>Z</p><p>a)</p><p>2</p><p>1</p><p>Z</p><p>Z</p><p>Z  .</p><p>4</p><p>3</p><p>Z</p><p>Z</p><p>b)</p><p>31 .ZZZ  c)</p><p>4</p><p>321.</p><p>Z</p><p>ZZZ</p><p>Z  d)</p><p>32</p><p>41.</p><p>ZZ</p><p>ZZ</p><p>Z </p><p>IX. Potência de um número complexo</p><p>a) Potência com expoente inteiro positivo</p><p>Seja   isenZ  cos e n um número inteiro positivo, tem-se:</p><p> )...()...cos(...............   isenZZZZZ n</p><p>  isennnZ nn  cos</p><p>51</p><p>b). Potência com expoente inteiro negativo</p><p>Se   isenZ  cos e n um número inteiro negativo, tem-se:</p><p>]</p><p>][cos</p><p>]º0º0[cos</p><p>[</p><p>1</p><p>]</p><p>cos</p><p>1</p><p>[</p><p>11</p><p>)( 1</p><p> isennn</p><p>isen</p><p>isennnZ</p><p>ZZ</p><p>nnn</p><p>nn</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p>)]º0()º0[cos(</p><p>1</p><p>]</p><p>cos</p><p>1</p><p>[</p><p>11</p><p></p><p></p><p>nisenn</p><p>isennnZ</p><p>Z</p><p>nnn</p><p>n </p><p></p><p></p><p>)]()[cos(</p><p>11</p><p></p><p></p><p>nisenn</p><p>Z</p><p>Z</p><p>nn</p><p>n </p><p>][cos</p><p>11</p><p></p><p></p><p>isennn</p><p>Z</p><p>Z</p><p>nn</p><p>n </p><p>EXERCÍCIO</p><p>19. Calcular as potencias e deixar os resultados na forma Algébrica:</p><p>a) 5)1( iZ  b) 6)3( iZ  c) 4)31(  iZ</p><p>d) 7)21(  iZ e) 4)344( iZ  f) 3883</p><p>1</p><p>iZ </p><p></p><p>20. Calcular e deixar a resposta na forma Algébrica:</p><p>a)</p><p>3</p><p>4</p><p>)33(</p><p>)22).(344(</p><p>i</p><p>ii</p><p>Z</p><p></p><p></p><p></p><p>b)</p><p>2</p><p>54</p><p>)2(</p><p>)3.()1(</p><p>i</p><p>ii</p><p>Z</p><p></p><p></p><p></p><p>c)</p><p>2</p><p>43</p><p>) 115(</p><p>).() 122(</p><p>i</p><p>ii</p><p>Z</p><p></p><p></p><p></p><p>52</p><p>X. Raízes de um número complexo</p><p>Seja   isenZ  cos e 2n um número inteiro positivo; quer se</p><p>determinar o número complexo 0</p><p>Z</p><p>tal que:</p><p>ZZ n 0</p><p>, isto é , 0ZZn </p><p>Logo, determinar</p><p>0Z significa determinar a raiz enésima de Z :</p><p> 0000 cos  isenZ </p><p>Para tanto deve-se determinar 00 Z e o argumento de</p><p>00 Z .</p><p>Se o número complexo</p><p>0Z é tal que ZZ n 0 , então:</p><p>    isennisen n  cos)cos( 000 ou seja,</p><p>    isennnisennn  cos)()cos( 000</p><p>Logo:</p><p> n</p><p>0 e portanto n  0</p><p> kn 20  e portanto</p><p>n</p><p>k</p><p></p><p>2</p><p>0</p><p></p><p> com k inteiro positivo</p><p>Então:</p><p>)1,....(3,2,1,0 )</p><p>2</p><p>()</p><p>2</p><p>cos( </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p> nkpara</p><p>n</p><p>k</p><p>isen</p><p>n</p><p>k</p><p>Z nn </p><p></p><p>Assim, para cada valor de )1(,...,3,2,1,0  nk , soma-se ao</p><p>n</p><p>arco</p><p></p><p>um</p><p>ângulo</p><p>n</p><p>k2</p><p>, isto é, a enésima parte de k2 . Como k varia de )1( 0 na , divide-</p><p>se o ciclo trigonométrico em n partes iguais. Logo, as n raízes que se obtêm</p><p>situam-se sobre uma circunferência com centro na origem do plano complexo, de</p><p>raio n  0 , dividindo-a em n partes iguais, ou seja, as n raízes estão</p><p>situadas nos vértices de um polígono regular de n lados inscritos nessa</p><p>circunferência.</p><p>53</p><p>EXERCÍCIO</p><p>21. Encontrar todas as raízes seguintes e representá-las graficamente:</p><p>a) 3 iZ  b) 4 256Z c) 4 31 iZ  d) 5 3)44( iZ </p><p>e) 3886 iZ  f) 4</p><p>5</p><p>)1( iZ  g) 2</p><p>3</p><p>)31( iZ </p><p>22. Encontrar as raízes quadradas de:</p><p>a) 31 iZ  b) iZ 815 c) iiZ 33</p><p>XI. Forma Exponencial de um número complexo</p><p>Além das formas de apresentação: Par Ordenado, Algébrica, Polar e</p><p>Trigonométrica, existe outra forma de apresentação chamada de Forma</p><p>Exponencial, que utilizando a Série de Taylor para o desenvolvimento das</p><p>funções: trigonométricas )(xCos , )(xSen e a exponencial</p><p>xe , pode-se</p><p>demonstrar que:</p><p>)()( xiSenxCoseix </p><p>Então se tivermos</p><p>)( biae </p><p>e, utilizando propriedades de exponenciais,</p><p>podemos escrever:</p><p>biabia eee .)( </p><p>Logo, teremos:  iSenbCosbeeee abiabia  ..)(</p><p>A forma Exponencial de um número complexo</p><p> iSenbCosbeeeeZ abiabia   ..)(</p><p>( b medido em radianos)</p><p>EXERCÍCIO</p><p>23. Calcular:</p><p>a) ieZ 2</p><p>b)</p><p>i</p><p>eZ 4</p><p></p><p></p><p>c)</p><p>)</p><p>3</p><p>1( i</p><p>eZ</p><p></p><p></p><p></p><p>54</p><p>24. Calcular:</p><p>a) ieZ 42</p><p>b) ieZ 31</p><p>c) )1( ieZ </p><p>XII. Cálculo de Logaritmos</p><p>Seja   ieiSenCosbiabaZ   ),( um número complexo.</p><p>Então: )()()()()()( eiLmLmeLmLmeLmbiaLm ii   </p><p>Portanto: iLmbiaLm   )()( ( em radianos)</p><p>EXERCÍCIO</p><p>25. Calcular:</p><p>a) ) 333( iLnZ </p><p>b) )44( iLnZ </p><p>c) )31( iLnZ </p><p>d) )612( iLnZ </p>