Matematica (52)

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Média aritmética ponderada
Um escritório de advocacia possui 8 funcionários, cujos salários estão descritos 
na tabela abaixo.
Funcionário Salário
Abelardo Tavares R$ 1.800,00
Alberto dos Santos R$ 2.400,00
Antônio Rodrigues Pimentel R$ 1.800,00
Beatriz Soares Lima R$ 2.400,00
Bernardo Silva R$ 2.400,00
Cláudia de Carvalho R$ 1.600,00
José Carlos Batochio R$ 2.400,00
Luíza Piqueira R$ 1.800,00
O salário médio desses funcionários é:
x 5 1.800 1 2.400 1 1.800 1 2.400 1 2.400 1 1.600 1 2.400 1 1.800 ______________________________________________________________ 
8
 
ou seja
x 5 
1.800 3 3 1 2.400 3 4 1 1.600 ____________________________ 
8
 5 2.075
Assim, concluímos que a média salarial desses funcionários é R$ 2.075,00.
Observe que no cálculo dessa média aritmética:
• o valor 1.800 apareceu 3 vezes;
• o valor 2.400 apareceu 4 vezes;
• o valor 1.600 apareceu 1 vez.
Por isso, dizemos que essa é a média aritmética ponderada entre os valores 
1.800, 2.400 e 1.600 com pesos, respectivamente, iguais a 3, 4 e 1.
Generalizando, dizemos que a média aritmética ponderada entre dois ou mais 
números, aos quais são atribuídos pesos, é a razão cujo antecedente é a soma dos 
produtos desses números pelos respectivos pesos, e o consequente é a soma 
dos pesos. Em símbolos, temos:
A média aritmética ponderada entre os n números x1, x2, x3, ..., xn, com pesos p1, p2, 
p3, ..., pn, respectivamente, é o número x determinado por: 
x 5 
x1 p1 1 x2 p2 1 x3 p3 1 ... 1 xn pn ___________________________ 
p1 1 p2 1 p3 1 ... 1 pn
 
Exercício resolvido
7 Segundo os critérios da escola onde Leonor estuda, a média final, 
em cada matéria, é a média aritmética ponderada entre as notas 
dos bimestres 1o, 2o, 3o e 4o com pesos 1, 2, 2 e 3, respectivamente. O 
aluno que consegue média final maior ou igual a 6 está automatica-
mente aprovado. O boletim abaixo apresenta as notas bimestrais de 
Leonor em Matemática. Leonor está aprovada automaticamente em 
Matemática?
Aluno: Leonor Rodrigues de Moraes, no 28
1a série A, sala 12
1o bimestre
(peso 1)
2o bimestre
(peso 2)
3o bimestre
(peso 2)
4o bimestre
(peso 3)
Média final
Matemática 4,0 5,0 6,5 7,0
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Resolução
A média final de Leonor, em Matemática, é a 
média aritmética ponderada x entre as notas 
4,0; 5,0; 6,5 e 7,0 com pesos 1, 2, 2 e 3, respecti-
vamente, isto é:
x 5 
4,0 3 1 1 5,0 3 2 1 6,5 3 2 1 7,0 3 3
 ________________________________ 
1 1 2 1 2 1 3
 , ou seja,
x 5 
48,0
 _____ 
8
 5 6,0
Logo, Leonor está aprovada automaticamente 
em Matemática.
Exercícios propostos
63 Calcule a média aritmética entre os números.
a) 2; 3; 5; 8 e 6
b) 3,5; 4,0; 2,8 e 4,2
c) 1; 0; 6; 0; 3; 1; 1 e 2
d) 8,21; 3,04; 2,75 e 6,00
65 Os 258 operários de uma empresa recebem jun-
tos R$ 312.825,00. Qual é o salário médio de cada 
operário dessa empresa?
66 (UEPB) Em uma eleição para prefeito de uma 
cidade do interior, os primeiros 5 eleitores de-
moraram a votar, respectivamente: 1 min 28 s, 
2 min 04 s, 1 min 50 s, 1 min 16 s e 1 min 22 s. 
A previsão do tempo que será gasto por 400 elei-
tores, considerando a média aritmética dos cin-
co votos iniciais é:
a) 9 h 10 min d) 12 h
b) 8 h 20 min e) 7 h 50 min
c) 10 h 40 min
67 As notas obtidas pelos 21 alunos em uma prova 
foram diferentes entre si. O professor escreveu 
essas notas em ordem decrescente e separou-as 
em dois grupos: o grupo A com as 11 notas mais 
altas e o grupo B com as demais notas. A seguir 
calculou a nota média (média aritmética) de 
cada grupo. Depois, no entanto, decidiu passar a 
menor nota do grupo A para o grupo B. Com essa 
mudança:
a) a média do grupo A aumentou e a de B di-
minuiu.
b) a média do grupo A diminuiu e a de B au-
mentou.
c) as médias de ambos os grupos aumentaram.
d) as médias de ambos os grupos diminuíram.
e) as médias dos grupos podem ter aumentado ou 
diminuído, dependendo das notas dos alunos.
64 Luís, Carlos e Beto 
compraram um pe-
queno veleiro em so-
ciedade. Luís contri-
buiu com R$ 2.700,00, 
Carlos com R$ 2.900,00 
e Beto com R$ 3.100,00. 
Qual foi a média de 
contribuição de cada 
um? K
O
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A
N
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 S
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A
G
IN
/S
H
U
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ST
O
C
K
 
68 (Puccamp-SP) Sabe-se que os números x e y fa-
zem parte de um conjunto de 100 números, cuja 
média aritmética é 9,83. Retirando-se x e y desse 
conjunto, a média aritmética dos números res-
tantes será 8,5. Se 3x 2 2y 5 125, então:
a) x 5 75 d) y 5 56
b) y 5 55 e) x 5 95
c) x 5 85
69 (Fuvest-SP) Sabe-se que a média aritmética de 5 
números inteiros distintos, estritamente positi-
vos, é 16. O maior valor que um desses inteiros 
pode assumir é: 
a) 16 d) 70
b) 20 e) 100
c) 50
70 (Enem) Brasil e França têm relações comerciais 
há mais de 200 anos. Enquanto a França é a 5a 
nação mais rica do planeta, o Brasil é a 10a, e 
ambas se destacam na economia mundial. No 
entanto, devido a uma série de restrições, o co-
mércio entre esses dois países ainda não é ade-
quadamente explorado, como mostra a tabela 
seguinte, referente ao período 2003-2007.
Investimentos bilaterais 
(em milhões de dólares)
Ano Brasil na França França no Brasil
2003 367 825
2004 357 485
2005 354 1.458
2006 539 744
2007 280 1.214
Os dados da tabela mostram que, no período con-
siderado, os valores médios dos investimentos da 
França no Brasil foram maiores que os investi-
mentos do Brasil na França em um valor:
a) inferior a 300 milhões de dólares.
b) superior a 300 milhões de dólares, mas infe-
rior a 400 milhões de dólares.
c) superior a 400 milhões de dólares, mas infe-
rior a 500 milhões de dólares.
d) superior a 500 milhões de dólares, mas infe-
rior a 600 milhões de dólares.
e) superior a 600 milhões de dólares.
71 Calcule a média aritmética ponderada entre os 
números:
a) 2; 3; 8 e 15, com pesos 4; 1; 3 e 2, respectiva-
mente.
b) 3,2; 4,1; 6; 3,5 e 2, com pesos 3; 2; 1; 1 e 6, res-
pectivamente.
c) 1; 2 e 9, com pesos 6; 3 e 4, respectivamente.
d) 4,25; 2; 3,4 e 6,8, com pesos 4; 3; 5 e 1, respec-
tivamente.
e) 5,2; 3,0 e 2,4, com pesos 1,4; 1,6 e 5, respectiva-
mente.
Disponível em: www.cartacapital.com.br
Acesso em: 7 de jul. 2009.
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72 Para avaliar o preço médio da cesta básica de ali-
mentos em uma cidade, foi feita uma pesquisa em 
uma amostra de 60 estabelecimentos. Nessa amos-
tra, constatou-se que o preço da cesta básica:
• em 10 estabelecimentos era R$ 189,00;
• em 18 estabelecimentos era R$ 195,00;
• em 32 estabelecimentos era R$ 204,00.
Qual foi o preço médio da cesta básica apurado 
nessa pesquisa? 
73 Para conhecer a estatura média das mulheres em 
certa região, foi escolhida uma amostra de 200 
mulheres, constatando-se que, dessas mulheres:
• 50 têm estatura 1,68 m;
• 120 têm estatura 1,60 m;
• 30 têm estatura 1,70 m.
De acordo com essa amostra, qual é a estatura 
média das mulheres dessa região?
74 O corpo docente de uma escola é formado por 30 
professores, entre os quais:
• 18 professores recebem por 100 aulas men-
sais, cada um;
• 8 professores recebem por 120 aulas mensais, 
cada um;
• 4 professores recebem por 180 aulas mensais, 
cada um.
Sabendo que o preço-aula dessa escola é 
R$ 45,00, qual é o salário médio mensal desses 
professores?
75 (Vunesp) Suponha que o país A receba de volta 
uma parte de seu território T, que por certo tem-
po esteve sob a administração do país B, devido 
a um tratado entre A e B. Estimemos a popula-
ção de A, antes de receber T, em 1,2 bilhão de ha-
bitantes, e a de T em 6 milhões de habitantes. Se 
as médias de idade das populações A e T, antes 
de se reunirem, eram, respectivamente, 30 anos 
e 25 anos, mostre que a média de idade após a 
reunião é superior a 29,9 anos. 
Notas:
1. Dizer que a velocidade média doautomóvel foi 80 km/h nesse trecho da estrada não 
significa que o veículo manteve essa velocidade durante todo o percurso; significa 
que, se fosse mantida uma mesma velocidade para percorrer 320 km em 4 h, essa 
velocidade deveria ser 80 km/h.
2. Se o veículo mantivesse a mesma velocidade para percorrer esse trecho da estrada, 
diríamos que a velocidade do automóvel nesse percurso foi constante.
Velocidade média
Um automóvel percorreu um trecho de 320 km de uma estrada em 4 h. A razão 
da distância percorrida para o tempo correspondente, isto é, 320 km ________ 
4 h
 5 80 km/h, é 
o que chamamos de velocidade média do veículo nesse trecho da estrada.
Generalizando, definimos:
Se um móvel percorre uma distância d em um tempo t, dizemos que a velocidade 
média v do móvel nesse trajeto é dada por:
v 5 d __ 
t
 , com t % 0
76 (Fuvest-SP) Numa classe com vinte alunos, as no-
tas do exame final podiam variar de 0 a 100 e a nota 
mínima para aprovação era 70. Realizado o exame, 
verificou-se que 8 alunos foram reprovados. A mé-
dia aritmética das notas desses oito alunos foi 65, 
enquanto que a média dos aprovados foi 77. Após 
a divulgação dos resultados, o professor verificou 
que uma questão havia sido mal formulada e de-
cidiu atribuir 5 pontos a mais para todos os alunos. 
Com essa decisão, a média dos aprovados passou 
a ser 80 e a dos reprovados 68,8.
a) Calcule a média aritmética das notas da clas-
se toda antes da atribuição dos cinco pontos 
extras.
b) Com a atribuição dos cinco pontos extras, 
quantos alunos, inicialmente reprovados, 
atingiram nota para a aprovação?
77 (UFRN) Uma prova foi aplicada em duas turmas 
distintas. Na primeira, com 30 alunos, a média 
aritmética das notas foi 6,40. Na segunda, com 
50 alunos, foi 5,20.
A média aritmética das notas dos 80 alunos foi:
a) 5,65
b) 5,70
c) 5,75
d) 5,80
78 (Unicamp-SP) A média aritmética das idades 
de um grupo de 120 pessoas é de 40 anos. Se 
a média aritmética das idades das mulheres 
é de 35 anos e a dos homens é de 50 anos, 
qual o número de pessoas de cada sexo, no 
grupo?
79 (UFMS) A média aritmética do salário de um 
grupo de 100 pessoas é de 422 reais. Se a média 
aritmética do salário das mulheres é de 380 reais 
e a dos homens é de 520 reais, quantas são as 
mulheres do grupo?
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Resolução
Como 1 hora equivale a 60 minutos, podemos dizer que a velocidade 
média v do foguete no período considerado pode ser representada por 
 39.000 km ___________ 
60 min
 . Devemos obter a distância x km tal que a razão x km ______ 
3 min
 
também represente a velocidade v, isto é:
 x __ 
3
 5 39.000 _______ 
60
 ] x 5 1.950
Assim, concluímos que o foguete percorreu 1.950 km em 3 min.
Exercício resolvido
Densidade demográfica
Segundo dados do Censo 2010, divulgados pelo IBGE em 29 de novembro de 
2010, a população brasileira era 190.732.694 habitantes. Como a área oficial do 
território brasileiro é 8.514.876,599 km2, dizemos que a densidade demográfica do 
Brasil era, naquela data, dada por:
 190.732.694 hab. __________________ 
8.514.876,599 km2
 * 2,4 hab./km2
Generalizando, definimos:
Densidade de uma amostra de matéria
Uma esfera maciça de ferro cuja massa é 23,58 g possui volume igual a 3 cm3. 
Dividindo a massa pelo volume da esfera, obtemos:
 
23,58 g
 ________ 
3 cm3
 5 7,86 g/cm3
Essa razão é chamada de densidade dessa esfera. Generalizando, definimos:
A densidade demográfica de um território é a razão do número de habitantes pela 
área do território. 
A densidade de uma amostra de matéria é a razão da massa pelo volume dessa 
amostra. 
10 cm
220 cm Figura 1
Figura 2
120 cm
10 cm
10 cm
220 cm Figura 1
Figura 2
120 cm
10 cm
Exercício resolvido
8 Durante determinado período, um foguete viajou à velocidade média 
de 39.000 km/h. Que distância percorreu o foguete em 3 min desse 
período?
9 Se um corpo (amostra de matéria) tem 
densidade maior que a densidade de 
um líquido, esse corpo afunda no líqui-
do; se a densidade do corpo é menor 
que a do líquido, o corpo boia. Aplican-
do esse princípio, resolva o problema 
a seguir, sabendo que a densidade da 
água é 1 g/cm3. Considere uma placa de 
ferro com 102,18 kg obtida a partir 
de uma placa retangular com 220 cm de 
comprimento por 120 cm de largura e 
0,5 cm de espessura, da qual foi reti-
rado em cada vértice um quadrado de 
lado 10 cm, conforme mostra a figura 1. 
Dobrando a peça representada pela fi-
gura 1, obtemos uma caixa sem tampa, 
representada pela figura 2.
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Nota:
Esse exercício explica por que um navio boia sobre a água.
a) A placa da figura 1 boia ou afunda quando colocada dentro de um 
tanque com água?
b) A caixa da figura 2 boia ou afunda quando colocada com a cavidade 
voltada para cima e o fundo apoiado sobre a superfície da água de 
um tanque?
Resolução
a) O volume V1 da placa da figura 1 é dado por:
 V1 5 (120 3 220 3 0,5 2 4 3 102 3 0,5) cm3 5 13.000 cm3
 Logo, a densidade d1 dessa placa é dada por:
 d1 5 
102.180 g
 ___________ 
13.000 cm3
 5 7,86 g/cm3
 Como a densidade d1 é maior que a densidade da água, concluímos 
que a placa afunda na água.
b) O volume V2 da caixa da figura 2 é dado por:
 V2 5 (100 3 200 3 10) cm3 5 200.000 cm3
 Logo, a densidade d2 dessa caixa é dada por:
 d2 5 
102.180 g
 ____________ 
200.000 cm3
 5 0,5109 g/cm3
 Como a densidade d2 é menor que a densidade da água, concluímos 
que a caixa boia na água.
Escala
Ao desenhar o mapa de uma região, pretende-se que, com o desenho, se obtenha 
a exata noção da forma e do tamanho da região.
A
venida M
arechal Floriano Peixoto
A
venida das Torres
Avenida
M
anuel
Contorno
Ribas
BR-277
BR-277
BR
-1
16
BR
-1
16
Av. V
isc. 
de Guarapuava
R
u
a 
M
at
eu
s 
Le
m
e
Av. S
ete de Setembro
Av. Victor Ferreira do Amaral
Su
l
Escala 1 : 185.000
SANTA
FELICIDADE
PORTÃO
BOQUEIRÃO
TARUMÃ
BACACHERI
CENTRO
CIDADE
INDUSTRIAL
REBOUÇAS
Escala de um mapa é a razão entre o comprimento de uma linha do mapa e o 
comprimento real do trecho representado por essa linha, nessa ordem.
Quanto à forma, basta 
desenhar o mapa como 
se fosse uma fotografia 
reduzida ou ampliada da 
região. Para dar a noção 
de tamanho, menciona-se 
a escala com que o mapa 
foi desenhado. A escala é 
a razão cujo antecedente 
é o comprimento de uma 
linha qualquer no mapa, e 
o consequente é o compri-
mento real correspondente 
na região representada. 
Por exemplo, no mapa ao 
lado foi adotada a escala 
1 : 185.000. Isso significa 
que cada unidade de com-
primento 1 u no desenho 
corresponde ao compri-
mento 185.000 u na região 
representada. Assim, por 
exemplo, uma estrada re-
presentada no mapa por 
uma linha de 1 cm mede 
na realidade 185.000 cm, 
ou seja, 1,85 km.