Lista_4

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<p>Universidade Federal Rural de Pernambuco</p><p>Unidade Acadêmica do Cabo de Santo Agostinho</p><p>Cálculo Diferencial e Integral III</p><p>Professor: Serginei Liberato</p><p>Peŕıodo 2024.1</p><p>Lista 4: Integrais de Superf́ıcies sobre Campos Escalares, Divergente e Rotacional</p><p>1. Dada uma esfera de raio 2, centrada na origem, determine a equação do plano tangente a ela no ponto (1, 1,</p><p>√</p><p>2),</p><p>considerando a esfera como:</p><p>a) Uma superf́ıcie parametrizada por</p><p>φ(ϕ, θ) = (2 sinϕ cos θ, 2 sinϕ sin θ, 2 cosϕ), 0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ 2π.</p><p>b) O gráfico de g(x, y) =</p><p>√</p><p>4− x2 − y2.</p><p>2. Determine uma equação do plano tangente à superf́ıcie parametrizada por x = u + v, y = 3u2, z = u − v no ponto</p><p>(2, 3, 0).</p><p>3. Determine uma parametrização das seguintes superf́ıcies:</p><p>a) Do elipsóide</p><p>x2</p><p>a2</p><p>+</p><p>y2</p><p>b2</p><p>+</p><p>z2</p><p>c2</p><p>= 1 .</p><p>b) Do parabolóide z = x2 + y2.</p><p>c) Do cone z =</p><p>√</p><p>x2 + y2.</p><p>4. a) Determine uma parametrização para a superf́ıcie obtida girando-se o ćırculo (x− a)2 + z2 = r2, 0 0) em torno do eixo z.</p><p>2</p><p>b) O momento de inércia e o centro de massa da superf́ıcie homogênea, de massa M , de equação x2 + y2 = r2</p><p>(r > 0), com 0 ≤ z ≤ 1, em torno do eixo z. I = 2ρ0π</p><p>3 , xc = 0, yc = 0 e zc =</p><p>ρ0π</p><p>M onde f(x, y, z) = ρ0.</p><p>c) O momento de inércia de S, onde S é a parte da superf́ıcie cônica z2 = x2 + y2 compreendida entre os planos</p><p>z = 1 e z = 2.</p><p>RESPOSTAS</p><p>1. a) x+ y +</p><p>√</p><p>2z = 4</p><p>b) x+ y +</p><p>√</p><p>2z = 4</p><p>2. 3x− y + 3z = 3.</p><p>3. a) x = a sinϕ cos θ; y = b sinϕ sin θ; z = c cosϕ; 0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ 2π.</p><p>b) x = u; y = v; z = u2 + v2.</p><p>c) x = u; y = v; z =</p><p>√</p><p>u2 + v2.</p><p>4. a) φ(ϕ, θ) = ((a+ r sinϕ) cos θ, (a+ r sinϕ) sin θ, r cosϕ) 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ 2π</p><p>b) (a+ r sinϕ)(r sinϕ cos θ, r sinϕ sin θ, r cosϕ)</p><p>c) É regular em todos os pontos</p><p>5. a) 4</p><p>√</p><p>2πua</p><p>b) 8</p><p>√</p><p>2πua</p><p>c) 6πua</p><p>d)</p><p>√</p><p>6πua</p><p>e) π(2−</p><p>√</p><p>2)</p><p>f) 8</p><p>√</p><p>5π</p><p>g) 4</p><p>√</p><p>6π</p><p>6. -</p><p>7. a) rot f não tem significado, pois f é um campo escalar.</p><p>b) div F⃗ é um campo escalar.</p><p>c) grad F⃗ não tem sifnificado, pois F não é um campo escalar.</p><p>8. -</p><p>9. -</p><p>10. rot F⃗ = 0 e div F⃗ =</p><p>2√</p><p>x2 + y2 + z2</p><p>.</p><p>11. a) É conservativo com f(x, y, z) = xy2z3</p><p>b) É conservativo com g(x, y, z) = x2y + y2z.</p><p>c) Não é conservativo</p><p>12. a) a = 2; b = −1</p><p>b) φ(x, y, z) = z2 + xz2 − z cos y</p><p>13. Não</p><p>14. a)</p><p>π</p><p>2</p><p>(33 + 8</p><p>√</p><p>2</p><p>b)</p><p>√</p><p>3</p><p>120</p><p>c) 1</p><p>d) 8π</p><p>e)</p><p>√</p><p>2</p><p>f) 2π(16</p><p>√</p><p>2− 5</p><p>√</p><p>5)</p><p>g) 44π</p><p>h)</p><p>√</p><p>3</p><p>16</p><p>i)</p><p>125</p><p>4</p><p>(13</p><p>√</p><p>65−</p><p>√</p><p>5)</p><p>15. a) I = r6ρ0π</p><p>3</p><p>, xc = 0, yc = 0 e zc = 2r3ρ0π</p><p>3M</p><p>, onde f(x, y, z) = ρ0.</p><p>b) I = 2ρ0π</p><p>3</p><p>, xc = 0, yc = 0 e zc = ρ0π</p><p>M</p><p>, onde f(x, y, z) = ρ0.</p><p>c) I = 14ρ0π</p><p>3</p><p>, onde f(x, y, z) = ρ0</p><p>3</p>