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<p>MATEMÁTICA FINANCEIRA</p><p>AULA 4</p><p>Prof. Nelson Pereira Castanheira</p><p>2</p><p>CONVERSA INICIAL</p><p>Agora, você já tem uma visão geral sobre o juro simples e sobre a</p><p>capitalização simples. Entretanto, a maioria das operações financeiras no dia a</p><p>dia de um país que tem economia inflacionada, como é o caso do Brasil, é feita</p><p>com juros compostos. Consequentemente, a capitalização utilizada é a</p><p>composta. Nesse caso, para que serve a capitalização simples?</p><p>Fizemos, então, as seguintes perguntas: você consegue diferenciar a</p><p>capitalização simples da composta? Além disso, as taxas de juros se</p><p>classificam, ainda, em taxa nominal, taxa efetiva, taxa real e taxa aparente.</p><p>Você consegue diferenciar uma da outra e saber onde cada uma se aplica?</p><p>É sobre esses temas que trabalharemos nesta aula de matemática</p><p>financeira.</p><p>TOP – INTRODUÇÃO</p><p>Na aula passada, dividimos os juros em simples e compostos.</p><p>Estudamos a taxa de juros simples e agora estudaremos a taxa de juros</p><p>compostos. Mas ao estudarmos a taxa de juros compostos, veremos que ainda</p><p>precisamos conhecer e aplicar a taxa de juros nominal, a taxa de juros efetiva,</p><p>a taxa de juros real e a taxa de juros aparente.</p><p>Iremos identificar em que situações a taxa de juros simples é utilizada na</p><p>economia com relevante importância.</p><p>Importante sabermos que, ao assumirmos uma dívida na qual nos</p><p>cobrarão juros simples, ela tem um crescimento linear, enquanto que, ao</p><p>assumirmos uma dívida na qual nos cobrarão juros compostos, ela tem um</p><p>crescimento exponencial. Ou seja, nos juros compostos, a dívida cresce mais</p><p>rapidamente ao longo do tempo do que nos juros simples.</p><p>O juro composto é conhecido, popularmente, como juro sobre juro. Isso</p><p>porque o juro produzido em um período é somado ao capital que o produziu e,</p><p>no período seguinte, o juro é calculado sobre os dois. Ou seja, o juro, no</p><p>segundo período, é calculado sobre o montante do final do primeiro período, no</p><p>qual já tinha juro inserido.</p><p>É interessante observar que, quando alguém paga uma dívida que já</p><p>está vencida há algum tempo, será cobrado um juro que denominamos de juro</p><p>3</p><p>de mora. Esse juro de mora composto é fornecido ao mês. Por exemplo, juro</p><p>de mora igual a 2% ao mês.</p><p>Assim, se alguém pagar a dívida com exatos 3 meses de atraso, será</p><p>cobrado juro no primeiro mês, juro sobre juro no segundo mês e juro sobre juro,</p><p>sobre juro, no terceiro mês. Entretanto, pode ser que a pessoa pague a dívida</p><p>3 meses e 15 dias após o vencimento. Vem, então, a pergunta: e nesses 15</p><p>dias, que tipo de juro é cobrado: simples ou composto?</p><p>Vamos iniciar nossa aula e descobrir as respostas a todos esses</p><p>questionamentos.</p><p>ROLÊ 1 – CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA: DEDUÇÃO DA FÓRMULA</p><p>Quando utilizamos a taxa de juros compostos, a capitalização é denominada de</p><p>capitalização composta. Lembre-se que capitalizar é somar juros ao capital que</p><p>produziu esses juros.</p><p>Verificamos, as estudar os juros simples, que M = C . (1 + i . n).</p><p>Vamos, então, analisar como cresce uma dívida, ao longo do tempo,</p><p>aplicando essa fórmula. Entretanto, vamos fazer o cálculo passo a passo. Ou</p><p>seja, se assumirmos uma dívida para pagá-la daqui a três meses, com a</p><p>utilização de juros compostos, vamos analisar como a dívida crescerá mês a</p><p>mês.</p><p>Por exemplo, imagine uma dívida de R$ 8.000,00 que será paga em</p><p>parcela única daqui a três meses com uma taxa de juros compostos de 3% ao</p><p>mês. A capitalização será, portanto, mensal. Ao final do primeiro mês, teremos</p><p>o seguinte montante:</p><p>M1 = C . (1 + i . n)</p><p>M1 = 8000 . (1 + 0,03 . 1) = 8000 . 1,03 = 8.240,00</p><p>Observe que fizemos n = 1 mês, pois estamos fazendo o cálculo mês a</p><p>mês.</p><p>Agora, para o cálculo do montante ao final do segundo mês (n = 1</p><p>novamente), vamos calcular os juros sobre o valor da dívida ao final do</p><p>primeiro mês. Ou seja, utilizaremos o cálculo dos juros sobre M1 e obteremos o</p><p>valor M2.</p><p>M2 = M1 . (1 + i . n)</p><p>M2 = C . (1 + 1 . n) . (1 + i . n)</p><p>4</p><p>M2 = 8000 . (1 + 0,03 . 1) . (1 + 0,03 . 1) = 8.487,20</p><p>Vamos, agora, calcular o montante ao final do terceiro mês, aplicando a</p><p>taxa de 3% ao mês sobre o valor da dívida ao final do segundo mês. Ou seja,</p><p>utilizaremos o cálculo dos juros sobre M2 e obteremos o valor M3.</p><p>M3 = M2 . (1 + i . n)</p><p>M3 = C . (1 + 1 . n) . (1 + i . n) . (1 + i . n)</p><p>M3 = 8.741,82</p><p>Lembre-se que montante é dinheiro, e a nossa moeda só tem centavos.</p><p>Ou seja, duas casas após a vírgula.</p><p>O que observamos no desenvolvimento anterior? Observamos que,</p><p>como a taxa de juros é mensal e a dívida será paga daqui a três meses, temos</p><p>três momentos de capitalização: juros ao final do primeiro mês, juros ao final do</p><p>segundo mês e juros ao final do terceiro mês. Observe também que o cálculo</p><p>dos juros ao final do segundo mês foi efetuado sobre o valor da dívida ao final</p><p>do primeiro mês, na qual já tinha juros incluídos. Por esse motivo, os juros</p><p>compostos são popularmente conhecidos como juros sobre juros.</p><p>Agora, vamos deduzir a fórmula geral da capitalização composta. Na</p><p>primeira capitalização, ao final do primeiro mês, você multiplicou o valor da</p><p>dívida que era de R$ 8.000,00 por (1 + i).</p><p>Ao final do segundo mês, multiplicou esse valor da dívida por (1 + i) . (1 + i), e</p><p>ao final do terceiro mês, multiplicou esse valor da dívida por (1 + i . (1 + i) . (1 +</p><p>i).</p><p>Ou seja, multiplicaremos o valor inicial da dívida por (1 + i) “n” vezes,</p><p>onde “n” é o número de capitalizações a realizar. Em outras palavras, o número</p><p>de vezes que se cobrará juros. Como no nosso exemplo foram três meses,</p><p>calculamos juros e o somamos ao capital três vezes.</p><p>Então, a fórmula da capitalização composta é:</p><p>M = C . (1 + i)n</p><p>É essencial lembrar que se o “n” é expoente dos parênteses,</p><p>multiplicaremos os parênteses por ele mesmo “n” vezes.</p><p>Podemos, então, chegar ao resultado anterior fazendo a conta uma</p><p>única vez.</p><p>M = 8000 . (1 + 0,03)3</p><p>5</p><p>M = 8000 . 1,092727</p><p>M = 8.741,82</p><p>Vamos analisar dois exemplos.</p><p>Exemplo 1: uma pessoa tomou R$ 12.500,00 emprestados a uma taxa de juros</p><p>simples de 2% ao mês. Como essa dívida será paga em uma parcela única</p><p>daqui a 6 meses, qual será o valor do montante?</p><p>Solução:</p><p>M = C . (1 + i)n</p><p>M = 12500 . (1 + 0,02)6</p><p>M = 12500 . 1,12616242</p><p>M = 14.077,03</p><p>Exemplo 2: Que capital, aplicado durante 10 meses a uma taxa de juros</p><p>compostos de 1,5% ao mês, resultou num montante de R$ 8.588,00?</p><p>Solução:</p><p>M = C . (1 + i)n</p><p>8588 = C . (1 + 0,015)10</p><p>8588 = C . 1,16054083</p><p>C =</p><p>8588</p><p>1,16054083</p><p>C = 7.400,00</p><p>Importante: não faça arredondamentos ao longo da resolução do exercício.</p><p>Trabalhe como maior número possível de casas após a vírgula. Deixe para</p><p>fazer o arredondamento somente na resposta. Entretanto, quando a variável</p><p>que você estiver calculando for a taxa de juros ( i ), não faça arredondamento</p><p>nem na resposta.</p><p>ROLÊ 2 – JUROS COMPOSTOS E TAXAS EQUIVALENTES</p><p>Você já sabe que:</p><p>M = C + J</p><p>Agora, na capitalização composta, aprendeu que a fórmula geral é:</p><p>M = C . (1 + i)n</p><p>Então,</p><p>C + J = C . (1 + i)n</p><p>6</p><p>Isolando o J, temos:</p><p>J = C . (i + i)n – C</p><p>Colocando C em evidência, teremos a fórmula dos juros compostos:</p><p>J = C . [(1 + i)n – 1]</p><p>Vejamos um exemplo de aplicação dessa fórmula.</p><p>Qual foi o juro produzido pela aplicação do capital de R$ 38.400,00</p><p>durante um ano a uma taxa de 1% de juros compostos ao mês, com</p><p>capitalização mensal?</p><p>Solução: primeiramente, lembre-se que a taxa e o tempo devem estar</p><p>na mesma base de tempo. Como a capitalização é mensal, essas duas</p><p>grandezas deverão estar relacionadas a mês.</p><p>Temos que i = 1% a.m. = 0,01 a.m.</p><p>Temos que n = 1 a. = 12 m.</p><p>Então:</p><p>J = C . [(1 + i)n – 1]</p><p>J = 38400 . [(1 + 0,01)12 – 1]</p><p>J = 38400 . [1,12682503 – 1]</p><p>J = 38.400 . 0,12682503</p><p>J = 4.870,08</p><p>Nesse último exemplo, transformamos o tempo de um ano</p><p>para 12</p><p>meses. Mas para manter as duas grandezas na mesma base de tempo,</p><p>poderíamos ter mantido o tempo igual a um ano e utilizado a taxa de juros ao</p><p>ano. Para isso, precisamos aprender a calcular a taxa equivalente em</p><p>capitalização composta. Para esse cálculo, deveremos utilizar a fórmula:</p><p>iq = (1 + it)</p><p>q/t – 1</p><p>onde:</p><p>iq = taxa que eu quero</p><p>it = taxa que eu tenho</p><p>q = tempo da taxa que eu quero</p><p>t = tempo da taxa que eu tenho</p><p>Vamos, então, utilizar o exemplo anterior, no qual eu tenho a taxa</p><p>mensal (i = 1% ao mês) e quero transformar essa taxa para anual.</p><p>7</p><p>iq = (1 + it)</p><p>q/t – 1</p><p>iq = (1 + 0,01)12/1 – 1</p><p>Por que o expoente dos parênteses é 12 dividido por 1? Isso acontece</p><p>porque eu tenho a taxa de um mês (t = 1) e quero a taxa de doze meses (q =</p><p>12). Ou seja, quero a taxa de um ano e, como não posso misturar mês com</p><p>ano, quero a taxa de 12 meses. Temos então:</p><p>iq = 1,12682503 – 1</p><p>iq = 0,12682503 ao ano</p><p>ou seja:</p><p>iq = 12,682503% a.a.</p><p>Calculando então o valor do juro produzido pela aplicação do capital de</p><p>R$ 38.400,00 durante um ano, a uma taxa de 12,682503% ao ano, temos:</p><p>J = C . [(1 + i)n – 1]</p><p>J = 38400 . (1+ 0,12682503)1 – 1</p><p>J = 38400 . 0,12682503</p><p>J = 4.870,08</p><p>TRILHA 1 – PERÍODO FRACIONÁRIO: CONVENÇÕES LINEAR E</p><p>EXPONENCIAL</p><p>Quando utilizamos uma taxa de juros de 1% ao mês, estamos nos</p><p>referindo a um percentual para um mês inteiro. Logo, se você tiver uma dívida</p><p>que pagará com 10 dias de atraso, não é justo que pague 1% da dívida em</p><p>juros porque não ficou devendo um mês inteiro, mas só uma fração do mês.</p><p>Assim sendo, conforme Castanheira e Macedo (2020, p. 79), podemos</p><p>ter um número de períodos de capitalização que não são inteiros. É aí que</p><p>surge o conceito de período fracionário.</p><p>Suponhamos, então, que uma dívida será paga após o vencimento e</p><p>que está prevista uma multa pelo atraso. Essa multa é chamada de juro de</p><p>mora. Vamos supor que a taxa de juro para calcular o juro de mora seja de 2%</p><p>ao mês, mas a dívida foi paga com três meses e 15 dias de atraso. No dia do</p><p>vencimento, a dívida era de R$ 1.000,00.</p><p>Nos três meses inteiros, serão cobrados juros compostos. Mas e nos 15</p><p>dias restantes, que juros serão cobrados: simples ou compostos?</p><p>8</p><p>A resposta é: poderão ser juros simples ou compostos. Então vamos</p><p>aprender qual é a diferença entre eles.</p><p>4.1 Convenção Exponencial</p><p>Como os juros compostos crescem exponencialmente, caso queiramos</p><p>aplicar juros compostos também na parte fracionária do tempo, utilizaremos a</p><p>denominada convenção exponencial.</p><p>Vamos então dividir o tempo de atraso em duas partes:</p><p>n = 3 meses inteiros</p><p>n1 = 15 dias =</p><p>15</p><p>30</p><p>mês = 0,5 mês</p><p>Transformamos os 15 dias em mês porque não poderemos misturar, em</p><p>uma mesma equação, dias e meses. Lembra-se disso? Como a taxa foi</p><p>fornecida ao mês, o tempo deverá ser totalmente em meses (tanto a parte</p><p>inteira quanto a parte fracionária).</p><p>Para o cálculo do montante, ou seja, o quanto o dono da dívida deverá</p><p>pagar, aplicaremos juros compostos tanto na parte inteira quanto na parte</p><p>fracionária do tempo. Temos então:</p><p>M = C . (1 + i)n . (1 + i)n1</p><p>M = 1000 . (1 + 0,02)3 . (1 + 0,02)0,5</p><p>M = 1000 . 1,061208 . 1,009950494</p><p>M = 1.071,77</p><p>4.2 Convenção linear</p><p>Como os juros simples crescem linearmente, caso queiramos aplicar</p><p>juros simples na parte fracionária do tempo, utilizaremos a denominada</p><p>convenção linear. Lembre-se que, na parte inteira do tempo, os juros serão</p><p>sempre compostos. Vamos então dividir o tempo de atraso em duas partes:</p><p>n = 3 meses inteiros (sobre esse tempo aplicaremos juros compostos)</p><p>n1 = 15 dias = 0,5 mês (sobre esse tempo aplicaremos juros simples)</p><p>Utilizaremos, então, a seguinte fórmula:</p><p>M = C . (1 + i)n . (1 + i . n1)</p><p>M = 1000 . (1 + 0,02)3 . (1 + 0,02 . 0,5)</p><p>M = 1000 . 1,061208 . 1,01</p><p>9</p><p>M = 1.071,82</p><p>Compare agora os dois valores. Ao pagarmos a dívida com juros</p><p>compostos o tempo todo, ela será de R$ 1.071,77. Mas se pagarmos a dívida</p><p>com juros simples na parte fracionária do tempo (os 15 dias), ela será de R$</p><p>1.071,82, ou seja, quando os juros simples são aplicados na parte fracionária</p><p>do tempo, eles são maiores que se utilizássemos os juros compostos. E é</p><p>assim que o mercado funciona: cobra juros compostos nos períodos inteiros e</p><p>juros simples nos períodos fracionários do tempo. Por isso, é importante</p><p>conhecermos também os juros simples.</p><p>TRILHA 2 – TAXAS NOMINAL, EFETIVA, REAL, APARENTE</p><p>Agora que você já domina os conhecimentos sobre juros compostos, os</p><p>chamados juros sobre juros, vamos nos aprofundar na análise desses juros.</p><p>Inicialmente, vamos analisar o que se entende por juros nominais e por juros</p><p>efetivos.</p><p>Quando nos dirigimos a um agente financeiro para pedir um empréstimo,</p><p>é comum que nos informem a taxa anual de juros que está sendo utilizada</p><p>naquele momento. Por exemplo, 24% ao ano. Mas como o valor do empréstimo</p><p>será devolvido com capitalização mensal, o que nos interessa conhecer é a</p><p>taxa mensal. Então, mentalmente, fazemos uma divisão dos 24% ao ano por</p><p>12 e verificamos que a taxa a ser utilizada será de 2% ao mês. Caso achemos</p><p>a taxa interessante, faremos o empréstimo.</p><p>Como a capitalização é mensal, pagaremos 2% sobre 2% durante todo o</p><p>tempo em que estivermos devendo esse empréstimo. Ao fazermos a conta,</p><p>veremos que, ao final de um ano, o percentual de juros pagos será bem maior</p><p>que os 24% que nos informaram antes de fazer o empréstimo. Ou seja, há uma</p><p>taxa que nos informaram que pagaríamos, que é a chamada taxa nominal, e há</p><p>uma taxa que efetivamente pagaremos, que é a chamada taxa efetiva.</p><p>Vejamos um exemplo.</p><p>Pegamos um empréstimo de R$ 5.000,00 a uma taxa de juros</p><p>compostos de 24% ao ano para pagamento daqui a um ano, com capitalização</p><p>mensal. Qual é a taxa efetiva dessa operação?</p><p>Solução:</p><p>Temos 24% a.a. = 2% a.m.</p><p>10</p><p>Então o montante após 12 meses será de:</p><p>M = C . (1 + i)n</p><p>M = 5000 . (1 + 0,02)12</p><p>M = 5000 . 1,26824179</p><p>M = 6.341,21</p><p>Observe que esse valor foi arredondado para duas casas após a vírgula,</p><p>pois nossa moeda só tem centavos. Entretanto, o valor encontrado foi de</p><p>6.341,2089728.</p><p>Agora, observe que 24% de cinco mil reais seria R$ 1.200,00. Logo, a</p><p>dívida deveria ser de R$ 6.200,00, e no entanto, foi de R$ 6.341,21.</p><p>Qual foi então a taxa que efetivamente foi paga?</p><p>Façamos o problema ao contrário.</p><p>M = C . (1 + i)n</p><p>6341,2089728 = 5000 . (1 + i)1</p><p>Fizemos n = 1 pois queremos saber qual foi a taxa efetiva em 1 (um)</p><p>ano.</p><p>6341,2089728</p><p>5000</p><p>= (1 + i)</p><p>1,2682418 = 1 + i</p><p>i = 0,2682418 ao ano</p><p>Ou seja:</p><p>i = 26,82418% ao ano, bem maior que os 24% informados.</p><p>Vamos então comparar, agora, a taxa real com a taxa aparente.</p><p>Para você entender com mais facilidade, imagine que você trabalha e</p><p>que tem aumento salarial uma vez por ano, na chamada data base da</p><p>categoria a qual você pertence. Imaginemos agora que, nessa data base, você</p><p>teve um aumento salarial de 10%.</p><p>Acontece que, durante um ano, o seu salário ficou o mesmo, e durante</p><p>esse tempo, houve uma inflação. Lembre-se que inflação significa a perda do</p><p>poder de compra do seu dinheiro.</p><p>Suponhamos, então, que a inflação que ocorreu durante esse um ano</p><p>em que o seu salário não variou foi de 6%. Logo, o aumento real de salário que</p><p>você teve não foi de 10%, porque parte desse aumento foi apenas para a</p><p>reposição do poder de compra do dinheiro, ou seja, foi para compensar a</p><p>inflação do período. Esses 10% são o que chamamos de taxa aparente. Como</p><p>11</p><p>as aparências enganam, o seu aumento real de salário foi menor que 10%.</p><p>Mas qual foi esse aumento real? Não basta fazer uma conta de subtração, pois</p><p>trata-se de juro sobre juro. Precisaremos, então, utilizar a fórmula:</p><p>i =</p><p>1 + 𝑖𝑎</p><p>1 + 𝐼</p><p>– 1</p><p>onde:</p><p>i = taxa real</p><p>ia = taxa aparente</p><p>I = inflação do período a que a taxa aparente se refere</p><p>Nesse exemplo anterior, qual foi a taxa real de aumento salarial você</p><p>teve?</p><p>i =</p><p>1 + 0,10</p><p>1 + 0,06</p><p>– 1</p><p>i = 1,03773585 – 1</p><p>i = 0,03773585 no período</p><p>ou seja:</p><p>i = 3,773585% no período</p><p>Verifique que não basta fazer a conta 10% menos 4%, como poderia</p><p>parecer.</p><p>ELO</p><p>Exercícios</p><p>1. Uma aplicação de R$ 2.000,00 durante cinco meses, a uma taxa de</p><p>juros compostos de 2% ao mês, resultará em qual montante?</p><p>2. Que capital aplicado durante um ano, a uma taxa de juros compostos de</p><p>1,8% ao mês, resultou num montante de R$ 4.335,22?</p><p>3. Qual é a taxa de juros compostos anual equivalente à taxa de juros</p><p>compostos de 3% ao mês? Dê a resposta com quatro casas decimais.</p><p>4. Temos a taxa de juros compostos de 18% ao ano e desejamos saber</p><p>qual é a taxa equivalente ao mês. Dê a resposta com seis casas</p><p>decimais.</p><p>5. Uma dívida de R$ 3.850,00 foi paga com 4 meses e 18 dias de atraso.</p><p>Como estava prevista uma taxa de mora de 2% ao mês, por quanto a</p><p>dívida foi quitada, supondo:</p><p>a) a convenção exponencial?</p><p>12</p><p>b) a convenção linear?</p><p>6. Um trabalhador teve um aumento salarial de 12% correspondente a um</p><p>período em que a inflação foi de 10%. Qual foi o aumento real de salário</p><p>desse trabalhador? Dê a resposta com seis casas decimais.</p><p>7. Em um período em que a inflação foi de 6,25%, um trabalhador teve um</p><p>aumento real de salário igual a 2%. Qual foi a taxa de juros aparente, de</p><p>aumento salarial, comunicada a esse trabalhador? Dê a resposta com</p><p>três casas decimais.</p><p>Resposta:</p><p>1. M = 2.208,16</p><p>2. C = 3.500,00</p><p>3. i = 42,5761% a.a.</p><p>4. i = 1,388843% a.m.</p><p>5. a) M = 4.217,17</p><p>b) M = 4.217,37</p><p>6. i = 1,818182% no período</p><p>7. i = 8,375% no período</p><p>13</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>CASTANHEIRA, N. P. Noções Básicas de Matemática Comercial e</p><p>Financeira. 2. ed. Curitiba: Editora Ibpex, 2008.</p><p>CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. R. D. de.; Matemática Financeira</p><p>Aplicada. 2. ed. Curitiba: Intersaberes, 2020.</p><p>CASTANHEIRA, N. P.; SERENATO, V. S. Matemática Financeira & Análise</p><p>Financeira para Todos os Níveis. 3. ed. Curitiba: Editora Juruá, 2014.</p>