contas e mais contas 8KG

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<p>48. **Problema:** Calcule \(\int \frac{e^{-x}}{x^2} \, dx\).</p><p>**Resposta:** Não há uma forma elementar.</p><p>**Explicação:** Esta integral é não elementar.</p><p>49. **Problema:** Encontre \(\int \frac{1}{x \sqrt{x^2 + 1}} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\ln \left| x + \sqrt{x^2 + 1} \right| + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( x = \sinh(u) \).</p><p>50. **Problema:** Determine \(\int \frac{\ln(x)}{x^2 + 1} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{1}{2} \ln^2(x) - \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( u = x^2 + 1 \).</p><p>51. **Problema:** Calcule \(\int \frac{dx}{x \ln(x)}\).</p><p>**Resposta:** \(\ln |\ln(x)| + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( u = \ln(x) \).</p><p>52. **Problema:** Encontre \(\int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}}</p><p>\, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\sec^{-1}(x) + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( x = \sec(u) \).</p><p>53. **Problema:** Determine \(\int \frac{x}{(x^2 + 1)^{3/2}} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(-\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( u = x^2 + 1 \).</p><p>54. **Problema:** Calcule \(\int e^{-x^2} \, dx\).</p><p>**Resposta:** Não tem forma elementar; é expresso pela função erro \(\text{erf}(x)\).</p><p>**Explicação:** Integral não elementar.</p><p>55. **Problema:** Encontre \(\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\sqrt{x^2 + 4} + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( x = 2 \sinh(u) \).</p><p>56. **Problema:** Determine \(\int \frac{dx}{(x^2 + 1)^2}\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{x}{2 (x^2 + 1)} + \frac{1}{2} \arctan(x) + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( x = \tan(u) \).</p><p>57. **Problema:** Calcule \(\int \frac{x^2}{\sqrt{x^4 + 1}} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{1}{3} \sqrt{x^4 + 1} + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( u = x^2 \).</p><p>58. **Problema:** Encontre \(\int \frac{e^{x^2}}{x} \, dx\).</p><p>**Resposta:** Não tem forma elementar.</p><p>**Explicação:** Integral não elementar.</p><p>59. **Problema:** Determine \(\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 1}}\).</p><p>**Resposta:** \(-\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( u = x^2 + 1 \).</p><p>60. **Problema:** Calcule \(\int \frac{\ln(x)}{x} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{\ln^2(x)}{2} + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( u = \ln(x) \).</p><p>61. **Problema:** Encontre \(\int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 - 1}} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(-\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( x = \sec(u) \).</p><p>62. **Problema:** Determine \(\int \frac{x}{(x^2 + 4)^2} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(-\frac{x}{8(x^2 + 4)} - \frac{1}{16} \ln \left| x^2 + 4 \right| + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( u = x^2 + 4 \).</p><p>63. **Problema:** Calcule \(\int \frac{e^{2x}}{x} \, dx\).</p><p>**Resposta:** Não tem forma elementar.</p><p>**Explicação:** Integral não elementar.</p><p>64. **Problema:** Encontre \(\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 1}}\).</p><p>**Resposta:** \(-\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( u = x^2 + 1 \).</p><p>65. **Problema:** Determine \(\int \frac{x \sqrt{x^2 + 1}}{x^2 + 2} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{1}{2} \ln \left| x^2 + 2 \right| + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( u = x^2 + 2 \).</p><p>66. **Problema:** Calcule \(\int \frac{e^x \sin(x)}{x} \, dx\).</p><p>**Resposta:** Não tem forma elementar.</p><p>**Explicação:** Integral não elementar.</p><p>67. **Problema:** Encontre \(\int \frac{\ln(x)}{x^3} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(-\frac{\ln(x)}{2x^2} - \frac{1}{2x^2} + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( u = \ln(x) \).</p><p>68. **Problema:** Determine \(\int \frac{x}{(x^2 + 1)^{3/2}} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(-\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( u = x^2 + 1 \).</p><p>69. **Problema:** Calcule \(\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 - 1}}\).</p><p>**Resposta:** \(-\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( x = \sec(u) \).</p><p>70. **Problema:** Encontre \(\int \frac{\sqrt{x}}{(x^2 + 1)^2} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{1}{4} \ln \left| \sqrt{x^2 + 1} + x \right| + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( u = \sqrt{x^2 + 1} \).</p><p>71. **Problema:** Determine \(\int \frac{x \ln(x)}{(x^2 + 1)^2} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(-\frac{\ln(x)}{2(x^2 + 1)} + \frac{1}{2} \int \frac{dx}{(x^2 + 1)}\).</p><p>**Explicação:** Use a integração por partes.</p><p>72. **Problema:** Calcule \(\int \frac{\ln(x)}{x^2 + 1} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{1}{2} \ln^2(x) - \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( u = x^2 + 1 \).</p><p>73. **Problema:** Encontre \(\int \frac{dx}{(x^2 + 1)^{3/2}}\).</p><p>**Resposta:** \(\frac{x}{2(x^2 + 1)^{1/2}} + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( x = \tan(u) \).</p><p>74. **Problema:** Determine \(\int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(\sec^{-1}(x) + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( x = \sec(u) \).</p><p>75. **Problema:** Calcule \(\int \frac{e^{-x^2}}{x} \, dx\).</p><p>**Resposta:** Não tem forma elementar.</p><p>**Explicação:** Integral não elementar.</p><p>76. **Problema:** Encontre \(\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 1}}\).</p><p>**Resposta:** \(-\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( u = x^2 + 1 \).</p><p>77. **Problema:** Determine \(\int \frac{1}{x^3 \sqrt{x^2 - 1}} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(-\frac{1}{2x^2 \sqrt{x^2 - 1}} + C\).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( x = \sec(u) \).</p><p>78. **Problema:** Calcule \(\int \frac{x}{(x^2 + 2)^2} \, dx\).</p><p>**Resposta:** \(-\frac{x}{8(x^2 + 2)} - \frac{1}{16} \ln \left| x^2 + 2 \right| + C\).</p>