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<p>ESTRUTURAS</p><p>Teoria Avançada das</p><p>UNIDADE 2</p><p>Tensão e Deformação</p><p>Prezado estudante,</p><p>Estamos começando uma unidade desta disciplina. Os textos que a compõem foram organizados com</p><p>cuidado e atenção, para que você tenha contato com um conteúdo completo e atualizado tanto quanto</p><p>possível. Leia com dedicação, realize as atividades e tire suas dúvidas com os tutores. Dessa forma, você,</p><p>com certeza, alcançará os objetivos propostos para essa disciplina.</p><p>Objetivo Geral</p><p>Determinar o deslocamento em elementos estruturais pelo princípio do trabalho virtual e utilização do método</p><p>de transformação de tensão.</p><p>unidade</p><p>2</p><p>Parte 1</p><p>Aplicação dos Teoremas de</p><p>Energia de Deformação</p><p>O conteúdo deste livro</p><p>é disponibilizado</p><p>por SAGAH.</p><p>unidade</p><p>2</p><p>80 TEORIA AVANÇADA DAS ESTRUTURAS</p><p>Aplicação dos teoremas</p><p>de energia de deformação</p><p>Objetivos de aprendizagem</p><p>Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:</p><p>� Analisar o comportamento de elementos estruturais por meio do</p><p>conceito de trabalho externo e energia de deformação.</p><p>� Determinar o deslocamento e rotação de elementos estruturais</p><p>utilizando princípio do trabalho virtual.</p><p>� Aplicar o método das forças virtuais para a solução de vigas e pór-</p><p>ticos.</p><p>Introdução</p><p>A análise estrutural aplicada em diversos métodos para determinar o</p><p>comportamento de elementos estruturais, além das reações de apoio</p><p>e dos esforços solicitantes, conhecer os deslocamentos e as rotações</p><p>provocadas pela aplicação de cargas nesses elementos estruturais</p><p>também devem ser objeto de nossa análise.</p><p>Neste texto, você vai estudar sobre a conservação de energia e verá</p><p>também a aplicação do método dos Princípios Virtuais para determi-</p><p>nar o deslocamento e a rotação em qualquer ponto de um elemento</p><p>estrutural.</p><p>Métodos de energia de deformação</p><p>Você sabia que os métodos de energia de deformação utilizam o conceito</p><p>de que a energia de deformação de um elemento estrutural está diretamente</p><p>ligada a uma deformação? Com isso podemos definir que a energia de defor-</p><p>mação é o trabalho realizado por uma força quando aplicada a um elemento</p><p>estrutural, provocando o aumento no seu comprimento, ou seja, provocando</p><p>um deslocamento.</p><p>Tensão e Deformação | UNIDADE 2</p><p>Aplicação dos Teoremas de Energia de Deformação | PARTE 1 81</p><p>Trabalho de deformação de uma força</p><p>Saiba que uma força realiza trabalho quando provoca um deslocamento</p><p>na mesma direção da força. Veja na Figura 1 uma barra de comprimento L</p><p>e engastada em uma das extremidades, quando submetida a uma força axial</p><p>P, se você aumentar a intensidade da força P gradualmente poderá traçar um</p><p>gráfico de força x deslocamento e obter o gráfico com uma curva de força x</p><p>deformação, conforme está na Figura 2. Confira!</p><p>Figura 1.</p><p>Figura 2.</p><p>A medida que você aumentar a intensidade da força axial P na barra, o</p><p>trabalho dU realizado pela força P sofre deformação no mesmo sentido da</p><p>Resistência dos materiais aplicada78</p><p>82 TEORIA AVANÇADA DAS ESTRUTURAS</p><p>força de um valor dx enquanto a barra está sendo alongada, ou seja, o trabalho</p><p>realizado pela força P é igual ao produto da intensidade de P pelo valor do</p><p>deslocamento dx e podemos expressar da seguinte maneira,</p><p>Essa expressão corresponde a um elemento de área de largura dx, desta-</p><p>cado no diagrama força-deformação, como mostra a Figura 3, significa dizer</p><p>que o trabalho que a força axial P realiza enquanto a barra está sendo defor-</p><p>mada em uma distância x1 pode ser definida como,</p><p>Figura 3.</p><p>Se o material tiver comportamento elástico linear a deformação será pro-</p><p>porcional a força aplicada e o diagrama de força-deformação será uma linha</p><p>reta. A equação que representa o diagrama será P = kx, Figura 4.</p><p>Figura 4.</p><p>79Aplicação dos teoremas de energia de deformação</p><p>Tensão e Deformação | UNIDADE 2</p><p>Aplicação dos Teoremas de Energia de Deformação | PARTE 1 83</p><p>, substituindo o valor de P na equação de trabalho de deformação,</p><p>temos.</p><p>Integrando a expressão, temos.</p><p>Chamando o deslocamento x1 de ∆, a expressão ficará,</p><p>Trabalho de deformação de um momento</p><p>Um momento realiza trabalho quando provoca um deslocamento rota-</p><p>cional dθ em um elemento estrutural ao longo da linha ação desse momento e</p><p>o trabalho pode ser definido como,</p><p>Da mesma forma como você viu no caso de uma força, quando um mo-</p><p>mento for aplicado a um elemento estrutural composto de material de com-</p><p>portamento elástico linear, na proporção que aumentamos a sua intensidade</p><p>de zero quando θ = 0 até atingir M = θ, podemos dizer que o trabalho reali-</p><p>zado pelo momento será,</p><p>Densidade da energia de deformação</p><p>Sempre que você aplicar um carregamento a um elemento estrutural ou</p><p>a um corpo qualquer, essas cargas ou forças, sempre vão provocar a defor-</p><p>mação do material. Considerando que toda a energia seja contida no corpo,</p><p>Resistência dos materiais aplicada80</p><p>84 TEORIA AVANÇADA DAS ESTRUTURAS</p><p>ou seja, não sejam perdidas através da geração de calor, todo trabalho externo</p><p>provocado pelas cargas externas será transformado em trabalho interno, que</p><p>chamamos de energia de deformação. Lembre-se que a retenção dessa energia</p><p>provocada pelas tensões atuantes no corpo será sempre positiva.</p><p>Considere a energia de deformação por unidade de volume. Dividindo a</p><p>equação do trabalho de deformação pelo volume V = A. L., temos.</p><p>Como força dividida pela área P/A corresponde a tensão normal σx atu-</p><p>ando em um corpo, da mesma forma a relação do deslocamento dividido pelo</p><p>comprimento x/L, podemos expressar como a deformação específica εx a ex-</p><p>pressão ficará da seguinte forma,</p><p>O limite superior da integral representa o valor da deformação provocada</p><p>pela aplicação da força axial, correspondendo a deformação específica do ma-</p><p>terial e está diretamente relacionada ao deslocamento x1 da barra alongada.</p><p>O trabalho de deformação específico μ, é a relação entre o trabalho de</p><p>deformação pelo volume</p><p>Na Figura 5, veja o diagrama tensão-deformação σ x ε, onde o trabalho</p><p>de deformação específica é a área do diagrama abaixo da curva de tensão-</p><p>-deformação, compreendida entre o intervalo de ε0 ≤ εx ≤ εx1. As tensões de</p><p>deformações específicas surgem à medida que a intensidade da carga aplicada</p><p>aumenta e da mesma forma, se você diminuir a intensidade da carga até ser</p><p>totalmente descarregada as tensões irão cair à zero; porém, as deformações</p><p>não serão totalmente eliminadas, permanecendo uma deformação residual e</p><p>permanente que é representada na Figura 5 como εp. E como pode ser ob-</p><p>servado na Figura 5, a recuperação da deformação não será total e ocorrerá</p><p>somente na região entre o intervalo de ε0 ≤ εx ≤ εx1, sabe o que isso significa?</p><p>Que o restante da energia que foi necessária para provocar a deformação nesse</p><p>corpo se perderá em forma de calor.</p><p>81Aplicação dos teoremas de energia de deformação</p><p>Tensão e Deformação | UNIDADE 2</p><p>Aplicação dos Teoremas de Energia de Deformação | PARTE 1 85</p><p>Figura 5.</p><p>Por outro lado, ao manter as tensões dentro do limite de proporcionalidade</p><p>da Lei de Hooke, o material responderá no regime elástico e as deformações</p><p>não serão permanentes e podemos escrever a expressão,</p><p>Substituindo o valor de</p><p>Integrando a equação,</p><p>Expressando a deformação</p><p>A Figura 6, apresenta o diagrama tensão-deformação de uma material.</p><p>Observe o final do limite de proporcionalidade do regime elástico quando a</p><p>tensão atinge o escoamento σ1 = σe. O valor do trabalho de deformação espe-</p><p>cífico</p><p>Resistência dos materiais aplicada82</p><p>86 TEORIA AVANÇADA DAS ESTRUTURAS</p><p>Figura 6.</p><p>Com isso podemos escrever a expressão do trabalho de deformação espe-</p><p>cífico da forma adiante,</p><p>Agora, observe novamente o diagrama de tensão-deformação de um ma-</p><p>terial, como na Figura 7, se você considerar o valor da deformação específica</p><p>igual a deformação específica de ruptura</p><p>Figura 7.</p><p>83Aplicação dos teoremas de energia de deformação</p><p>Tensão e Deformação | UNIDADE 2</p><p>Aplicação dos Teoremas de Energia de Deformação | PARTE 1 87</p><p>Conservação</p><p>de energia de deformação</p><p>A conservação de energia está relacionada a um equilíbrio de energia e</p><p>esta é a base do conceito dos métodos de energia que utilizamos. Quando você</p><p>aplica uma carga e aumenta a sua intensidade lentamente sobre um elemento</p><p>estrutural e podendo desprezar a energia cinética, as cargas externas apli-</p><p>cadas sobre o elemento provocarão deformações fisicamente neste elemento,</p><p>de modo que essas cargas estarão realizando trabalho externo</p><p>Se o limite de elasticidade do material não for ultrapassado pelas tensões</p><p>provocadas pelas cargas, a medida que as cargas são retiradas a energia de de-</p><p>formação restitui o elemento estrutural a sua posição inicial não deformada,</p><p>com isso você escreve a energia de deformação como,</p><p>Princípio do trabalho virtual</p><p>Esse método de análise se baseia no conceito de conservação de energia</p><p>e foi desenvolvido por John Bernoulli em 1717. Agora, você vai analisar o</p><p>comportamento de elementos estruturais através da aplicação do princípio do</p><p>trabalho virtual e embora possa ser utilizado para diversas aplicações, nesse</p><p>capítulo vamos analisar apenas os deslocamentos e as rotações que esses ele-</p><p>mentos sofrerão devida a ação de forças externas.</p><p>Entenda que para que um elemento estrutural esteja impedido de se mover,</p><p>as forças que atuam nesse elemento devem satisfazer as condições de equilí-</p><p>brio para garantir a estabilidade estável da estrutura, assim como as condições</p><p>de deslocamentos e de compatibilidade. Saiba que as condições de equilíbrio</p><p>exigem que as cargas externas sejam relacionadas apenas às cargas internas e</p><p>as condições de compatibilidade exigem, por sua vez, que os deslocamentos</p><p>externos também estejam relacionados somente às deformações internas.</p><p>Como o elemento estrutural é deformável, as forças externas P provocarão</p><p>deslocamentos externos ∆ e as forças internas u provocarão deslocamentos</p><p>internos δ.</p><p>Resistência dos materiais aplicada84</p><p>88 TEORIA AVANÇADA DAS ESTRUTURAS</p><p>Você deve saber que as cargas estão relacionadas pelas condições de equi-</p><p>líbrio e os deslocamentos estão relacionados pelas condições de continuidade.</p><p>Você sabia que o material que compõem o elemento estrutural não pre-</p><p>cisa se comportar de forma elástico linear e por isso os deslocamentos podem</p><p>não estar relacionados diretamente às cargas? Como o corpo é continuo, se</p><p>você conhecer os deslocamentos externos pode determinar os deslocamentos</p><p>internos. A conservação de energia afirma que a somatória do produto das</p><p>forças externas P pelos deslocamentos externos ∆ é igual a somatória do pro-</p><p>duto das forças internas u pelos deslocamentos internos δ, ou seja, o trabalho</p><p>externo é igual ao trabalho interno.</p><p>Entenda que pela condição de equilíbrio as cargas externas não podem</p><p>mover os apoios, mas podem causar deformação no corpo e podem deformar</p><p>o material além do limite de proporcionalidade do regime elástico.</p><p>Equação do trabalho virtual</p><p>Com base no conceito da conservação de energia você pode desenvolver o</p><p>princípio do trabalho virtual para determinar o deslocamento e a rotação em</p><p>qualquer ponto de um elemento estrutural.</p><p>Para que você possa determinar os deslocamentos ou as rotações de um</p><p>elemento estrutural deve aplicar os princípios da conservação de energia, mas</p><p>para encontrar esses valores é necessário que uma força esteja atuando exata-</p><p>mente no ponto onde se deseja conhecer os deslocamentos e as rotação, como</p><p>essa condição nem sempre poderá ser atendida e isso impõem uma limitação</p><p>na resolução desse problema.</p><p>Através do princípio do trabalho virtual você poderá contornar essa limi-</p><p>tação aplicando uma carga imaginária ou “virtual” P’ sobre o elemento es-</p><p>trutural no ponto onde se deseja conhecer o deslocamento ou a rotação. Saiba</p><p>que a carga virtual deve ser aplicada na mesma direção do deslocamento ∆</p><p>que deseja conhecer e aplicar o conceito de conservação de energia nas cargas</p><p>virtuais, o resultado é que a cargas P’ e a carga virtual agem simultaneamente</p><p>provocando os deslocamentos ∆ e δ.</p><p>85Aplicação dos teoremas de energia de deformação</p><p>Tensão e Deformação | UNIDADE 2</p><p>Aplicação dos Teoremas de Energia de Deformação | PARTE 1 89</p><p>Essas premissas permite escrever a equação do trabalho virtual.</p><p>Onde:</p><p>1 = P’ = carga virtual externa aplicada na direção de ∆</p><p>μ = carga virtual interna que atua sobre o elemento</p><p>∆ = deslocamento externo provocado pelas cargas externas reais</p><p>dL = deslocamento interno do elemento na direção de μ, provocado pelas</p><p>cargas reais</p><p>Da mesma forma, você pode determinar os deslocamentos rotacionais o</p><p>a inclinação da tangente em um ponto qualquer sobre o elemento estrutural,</p><p>para isso aplica-se um momento virtual M’ de intensidade unitária no ponto</p><p>onde se deseja conhecer a rotação.</p><p>O momento virtual provoca o surgimento de uma carga uθ em um elemento</p><p>interno ao material e se você considerar que as cargas reais provocam um des-</p><p>locamento dL, a rotação θ também poderá ser determinada pela equação do</p><p>trabalho virtual.</p><p>Onde:</p><p>1 = M’ = momento virtual externo aplicada na direção de θ</p><p>uθ = carga virtual interna que atua sobre o elemento</p><p>θ = deslocamento rotacional em radianos provocado pelas cargas externas</p><p>reais</p><p>dL = deslocamento interno do elemento na direção de uθ, provocado pelas</p><p>cargas reais</p><p>Resistência dos materiais aplicada86</p><p>90 TEORIA AVANÇADA DAS ESTRUTURAS</p><p>Deformação</p><p>provocado pelos</p><p>esforços</p><p>Energia de</p><p>deformação</p><p>Trabalho virtual</p><p>interno</p><p>Carga axial N</p><p>Cisalhamento V</p><p>Momento fletor M</p><p>Momento de torção T</p><p>Quadro 1.</p><p>Esforços internos</p><p>Você precisa analisar os esforços internos e adotar uma convenção de si-</p><p>nais para poder aplicar o método do trabalho virtual e para isso considere o</p><p>triedro que segue na Figura 8.</p><p>Figura 8.</p><p>87Aplicação dos teoremas de energia de deformação</p><p>Tensão e Deformação | UNIDADE 2</p><p>Aplicação dos Teoremas de Energia de Deformação | PARTE 1 91</p><p>Veja que as direções adotadas no triedro representam os sentidos positivos</p><p>dos esforços solicitantes.</p><p>Agora, imagine uma viga prismática qualquer e retire dessa viga um ele-</p><p>mento infinitesimal de espessura dx e veja as forças internas em equilíbrio</p><p>neste elemento (Fig. 9).</p><p>Figura 9.</p><p>Você percebe que como o elemento em análise possui espessura infinite-</p><p>simal, os esforços positivos e negativos se anulam e mantém o elemento em</p><p>equilíbrio estável?</p><p>Considere a estrutura da Figura 10 para analisar qual a relação entre os</p><p>esforços e o carregamento.</p><p>Figura 10.</p><p>Resistência dos materiais aplicada88</p><p>92 TEORIA AVANÇADA DAS ESTRUTURAS</p><p>Aplique as condições de equilíbrio para as forças verticais que atuam no</p><p>elemento dx considerado, e tem.</p><p>No limite,</p><p>� As cargas sempre devem satisfazer as condições de equilíbrio e as condições de</p><p>compatibilidade e os deslocamentos.</p><p>� As cargas externas e os deslocamentos externo estão relacionadas as cargas in-</p><p>ternas e aos deslocamentos internos.</p><p>� As condições de compatibilidade exigem que os deslocamentos externos este-</p><p>jam relacionados apenas as deformações internas.</p><p>� Para determinar o deslocamento em um ponto qualquer em um elemento es-</p><p>trutural pelo princípio do trabalho virtual você deve utilizar uma carga virtual de</p><p>valor unitário P’=1.</p><p>� E para determinar a rotação de um ponto qualquer em um elemento estrutural</p><p>aplicando o princípio do trabalho virtual adote um momento virtual de valor</p><p>unitário M’-1.</p><p>89Aplicação dos teoremas de energia de deformação</p><p>Tensão e Deformação | UNIDADE 2</p><p>Aplicação dos Teoremas de Energia de Deformação | PARTE 1 93</p><p>PROBLEMA RESOLVIDO 1</p><p>Dada a viga, determine o deslocamento no ponto C. Considere a viga em aço,</p><p>Ix=250.10-6 mm4 e E=200GPa.</p><p>Solução:</p><p>DCL (Diagrama de corpo livre)</p><p>Através do DCL determinamos as seções que serão necessárias para a análise estru-</p><p>tural. As seções devem abranger toda a viga em cada condição de apoio ou carrega-</p><p>mento.</p><p>1. Momentos Virtuais: m</p><p>Para determinar os momentos provocados pela carga virtual, é adicionado no ponto</p><p>C onde se deseja</p><p>determinar o deslocamento devido as cargas aplicadas.</p><p>É redesenhado o DCL somente com a carga virtual unitária.</p><p>Exemplo</p><p>Resistência dos materiais aplicada90</p><p>94 TEORIA AVANÇADA DAS ESTRUTURAS</p><p>Observe que as seções escolhidas no DCL original da viga devem ser as mesmas para</p><p>a análise da carga virtual.</p><p>Em seguida determine as reações de apoio provocadas pela carga virtual:</p><p>Aplicando o método das seções analisa-se os momentos em cada uma das seções</p><p>definidas no DCL original e determina-se as equações dos momentos fletores: DCLx1 ,</p><p>DCLx2, DCLx3, DCLx4 e DCLx5 .</p><p>DCLx1</p><p>91Aplicação dos teoremas de energia de deformação</p><p>Tensão e Deformação | UNIDADE 2</p><p>Aplicação dos Teoremas de Energia de Deformação | PARTE 1 95</p><p>DCLx2</p><p>DCLx3</p><p>DCLx4</p><p>Resistência dos materiais aplicada92</p><p>96 TEORIA AVANÇADA DAS ESTRUTURAS</p><p>DCLx5</p><p>2. Momentos Reais: M</p><p>Ao seguir com a análise; porém, agora, ao considerar as cargas reais na análise dos</p><p>momentos reais. Pelo DCL original determina-seo valor das reações de apoio provo-</p><p>cadas pelas cargas reais.</p><p>93Aplicação dos teoremas de energia de deformação</p><p>Tensão e Deformação | UNIDADE 2</p><p>Aplicação dos Teoremas de Energia de Deformação | PARTE 1 97</p><p>Pelo método das seções os momentos são analisados em cada uma das seções defi-</p><p>nidas no DCL original e determina-se as equações dos momentos fletores provocados</p><p>pelas cargas reais: DCLx1 , DCLx2, DCLx3, DCLx4 e DCLx5</p><p>DCLx1</p><p>DCLx2</p><p>Resistência dos materiais aplicada94</p><p>98 TEORIA AVANÇADA DAS ESTRUTURAS</p><p>DCLx3</p><p>DCLx4</p><p>DCLx5</p><p>95Aplicação dos teoremas de energia de deformação</p><p>Tensão e Deformação | UNIDADE 2</p><p>Aplicação dos Teoremas de Energia de Deformação | PARTE 1 99</p><p>Trabalho virtual: Deslocamento</p><p>Aplica-se a equação do trabalho virtual para os momentos fletores virtuais e reais:</p><p>Como m1 e m5 são iguais a zero,</p><p>Para, , temos:</p><p>Resistência dos materiais aplicada96</p><p>ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO</p><p>PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.</p><p>PREZADO ESTUDANTE</p><p>Parte 2</p><p>Análise dos Estados Planos</p><p>de Tensão e Deformação</p><p>O conteúdo deste livro</p><p>é disponibilizado</p><p>por SAGAH.</p><p>unidade</p><p>2</p><p>102 TEORIA AVANÇADA DAS ESTRUTURAS</p><p>Análise dos estados planos</p><p>de tensão</p><p>Objetivos de aprendizagem</p><p>Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:</p><p>� Analisar o estado plano de tensões em um corpo.</p><p>� Aplicar as equações de transformação de tensões no estado</p><p>plano de tensões.</p><p>� Resolver as transformações de tensões com a aplicação da abor-</p><p>dagem alternativa do círculo de Mohr.</p><p>Introdução</p><p>O estudo do estado plano de tensões em um corpo auxiliará no en-</p><p>tendimento da análise do comportamento dos elementos estruturais</p><p>e da distribuição de tensões para cada tipo de carregamento. As for-</p><p>ças quando aplicadas a um corpo provocam tensões que solicitam o</p><p>material de diversas maneiras que afetam o equilíbrio e a estabilidade</p><p>de um elemento estrutural.</p><p>Neste capítulo, você vai estudar o estado plano de tensões em um</p><p>corpo, aplicar as equações de transformação de tensões e resolvê-las</p><p>com a aplicação do círculo de Mohr.</p><p>Estado plano de tensão</p><p>Você deve saber que ao analisar um elemento cúbico de um corpo, o estado de</p><p>tensões em um ponto Q qualquer pode ser representado de maneira mais geral</p><p>através de seis componentes. Que são eles: três componentes de tensão normal</p><p>que atuam nas faces do elemento no ponto Q, σx, σy e σz outras três componentes</p><p>de tensão de cisalhamento no mesmo elemento, τxy, τyz e τzx. Ao tomar os eixos</p><p>coordenados e provocar uma rotação em relação a posição inicial, esse mesmo</p><p>estado de tensões será representado por um novo conjunto de componentes de</p><p>tensão normal e de tensão de cisalhamento, veja na Figura 1.</p><p>Tensão e Deformação | UNIDADE 2</p><p>Análise dos Estados Planos de Tensão e Deformação | PARTE 2 103</p><p>Figura 1. A e B.</p><p>Veja na Figura 2 a análise do estado plano de tensões que trata da transfor-</p><p>mação de tensão, no qual duas faces de um elemento de volume estão livres</p><p>de qualquer tensão atuar sobre elas. E ao considerar o eixo z como perpendi-</p><p>cular a essas duas faces pode-se dizer que σz = τzy = τzx = 0, restando apenas</p><p>as componentes σx, σy e τxy,</p><p>Figura 2.</p><p>101Análise dos estados planos de tensão</p><p>104 TEORIA AVANÇADA DAS ESTRUTURAS</p><p>Figura 3.</p><p>Saiba que essa configuração de tensões ocorre quando uma placa muito</p><p>fina é submetida a cargas atuantes no plano médio da espessura, que você vai</p><p>encontrar também na superfície livre de elemento estruturais e componentes</p><p>de máquinas, ou seja, qualquer ponto da superfície livre de um elemento</p><p>quando submetidos a forças externas.</p><p>Figura 4.</p><p>Figura 5.</p><p>Lembre-se que as tensões de cisalhamento são iguais quando atuam no</p><p>mesmo plano cartesiano:</p><p>Resistência dos materiais aplicada102</p><p>Tensão e Deformação | UNIDADE 2</p><p>Análise dos Estados Planos de Tensão e Deformação | PARTE 2 105</p><p>Veja na Figura 6 ao analisar o ponto Q para um estado plano de tensão e</p><p>considerando σz = τzx = τxy = 0, e também sendo definido pelas componentes</p><p>de tensão normal e de cisalhamento σx, σy e τxy,</p><p>Figura 6.</p><p>Quando você rotaciona o elemento em um ângulo θ em torno do eixo z,</p><p>surgem componentes normal e de cisalhamento σx’, σy’ e τx’y’ que você vai de-</p><p>terminar e expressar cada um em termos de σx, σy e τxy.</p><p>Figura 7.</p><p>103Análise dos estados planos de tensão</p><p>106 TEORIA AVANÇADA DAS ESTRUTURAS</p><p>Voce deve saber que a tensão normal σx e a tensão de cisalhamento τxy</p><p>atuam na face perpendicular ao eixo x’ e para determinar o valor dessas ten-</p><p>sões, considere um elemento prismático com faces perpendiculares aos eixos</p><p>x, y e x’.</p><p>Observe na Figura 8, que a área da face inclinada corresponde a ∆A, por-</p><p>tanto a área da face vertical será ∆A . cosθ e a área da face horizontal será</p><p>igual a ∆A . senθ. Como σ = , você pode concluir que as forças que atuam</p><p>nas faces inclinada, vertical e horizontal são as que estão demonstradas na</p><p>Figura 9. Nas faces triangulas não serão consideradas forças devido às pre-</p><p>missas do estado plano de tensão.</p><p>Figura 8.</p><p>Figura 9.</p><p>Ao aplicar as equações fundamentais de equilíbrio nas componentes ao</p><p>longo dos eixos x’ e y’, você tem:</p><p>Ao resolver a primeira equação para σx’:</p><p>Resistência dos materiais aplicada104</p><p>Tensão e Deformação | UNIDADE 2</p><p>Análise dos Estados Planos de Tensão e Deformação | PARTE 2 107</p><p>Ao resolver a segunda equação para τx’y’:</p><p>Ao aplicar as identidades trigonométricas você pode simplificar as equa-</p><p>ções:</p><p>Ao reescrever a equação de σx’:</p><p>Ao reescrever também a equação de τx’y’:</p><p>E para obter a equação da tensão normal σy’ você deve substituir na</p><p>equação de σx’ o valor do ângulo θ por θ + 90º, que é o ângulo formado pelos</p><p>eixos x e y’.</p><p>Ao considerar que cos (2θ + 180°) = – cos 2θ e sen (2θ + 180°) = – sen 2θ:</p><p>Ao somar os mebros das equações de τx’y’ e σy’ ,</p><p>Lembre-se que σz = σz’ = 0, verifica-se que a somatória das tensões nor-</p><p>mais que atuam em um elemento sujeito a um estado plano de tensões não</p><p>depende da orientação do elemento analisado.</p><p>105Análise dos estados planos de tensão</p><p>108 TEORIA AVANÇADA DAS ESTRUTURAS</p><p>Tensão máxima de cisalhamento e tensões</p><p>principais</p><p>Você deve saber que as equações desenvolvidas anteriormente são equa-</p><p>ções paramétricas de uma circunferência, ou seja, são formas de representar</p><p>uma circunferência através de um parâmetro, significa que uma variável irá</p><p>fazer a ligação de duas equações que pertencem a um mesma circunferência.</p><p>Se você adotar as equações da tensão normal σx e de cisalhamento τx’y’</p><p>e construirum sistema de eixos ortogonais, atribuir ao eixo das abscissas a</p><p>tensão normal σx e para o eixo das ordenadas atribuir as tensões de cisalha-</p><p>mento τx’y’, considerando ainda o ângulo θ como o parâmetro que fará a liga-</p><p>ções entre as duas equações significa que todos os pontos obtidos pertencerão</p><p>a uma circunferência.</p><p>Veja que ao eliminar θ das duas equações poderá demonstrar essa pro-</p><p>priedade, em seguida transpor</p><p>o termo para o primeiro membro</p><p>da equação e elevar ao quadrado os dois membros da equação da tensão de</p><p>cisalhamento τx’y’ e por fim somar termo a termo das duas equações, confira!</p><p>A tensão média e o raio da circunferânica são dados pelas equações,</p><p>Você pode reescrever a equação da circunferência como,</p><p>Veja a equação que representa uma circunferência de raio R com centro no</p><p>ponto C, cuja abscissa é a tensão média σméd e a ordenada 0. Devido a simetria</p><p>da circunferência em relação ao eixo de horizontal pode-se marcar um ponto</p><p>de abscissas σx’ e ordenada –τx’y’.</p><p>Resistência dos materiais aplicada106</p><p>Tensão e Deformação | UNIDADE 2</p><p>Análise dos Estados Planos de Tensão e Deformação | PARTE 2 109</p><p>Figura 10.</p><p>Figura 11.</p><p>Como os pontos A e B onde a circunferência cruza com o eixo das abs-</p><p>cissas representam grande importância, o ponto A se refere ao valor máximo</p><p>da tensão normal σx’ eo ponto B se refere ao valor mínimo da tensão normal</p><p>σx’ e como ambos os pontos estão sobre o eixo horizontal a tensão de cisalha-</p><p>mento τx’y’ correspondente é nulo. Saiba que dessa forma, os valores de θp do</p><p>parâmetro θ que corresponde aos pontos A e B podem ser obtidos igualando</p><p>o valor da tensão de cisalhamento a zero τx’y’ = 0.</p><p>Outro fator importante é que através dessa equação você pode determinar</p><p>dois valores de 2θp com intervalo de 180º ou ainda obter dois valores de θp</p><p>com intervalo de 90º. E ainda que a orientação dos cubo elementar poderá ser</p><p>determinada por qualquer um desses valores correspondentes a esse cubo.</p><p>Dessa maneira as faces do cubo elementar definem os pontos principais do</p><p>ponto Q e as tensões normais σmáx e σmín que atuam nesses planos são cha-</p><p>madas de tensões principais no ponto Q.</p><p>107Análise dos estados planos de tensão</p><p>110 TEORIA AVANÇADA DAS ESTRUTURAS</p><p>Figura 12.</p><p>Ao analisar a Figura 9 pode-se definir que,</p><p>E</p><p>Com os valores obtidos na equações da tensão média σméd e do raio R,</p><p>pode-se escrever:</p><p>Você sabia que se substituir o valor de θp na equação de σx’ poderá deter-</p><p>minar qual dos dois plano está sendo submetido a maior tensão normal?</p><p>Confira na Figura 9, os pontos D e E do círculo localizados na circunfe-</p><p>rência no eixo de simetria vertical, se referem ao maior valor da tensão de</p><p>cisalhamento τx’y’, esses dois pontos têm a mesma abscissa σméd e os valores</p><p>de θc do parâmetro θ correspondentes a esses dois pontos poderão ser obtidos</p><p>atribuindo o valor de e substituindo esse valor na equção de σx’,</p><p>você pode escrever a equação da seguinte forma:</p><p>Que poderá ser reescrita como,</p><p>Resistência dos materiais aplicada108</p><p>Tensão e Deformação | UNIDADE 2</p><p>Análise dos Estados Planos de Tensão e Deformação | PARTE 2 111</p><p>Então, você viu que através dessa equação poderá determinar dois valores</p><p>de 2θc com intervalo de 180º ou ainda obter dois valores de θc com intervalo de</p><p>90º. E também que a tensão de cisalhamento máxima poderá ser determinada</p><p>por qualquer um desses valores correspondentes do elemento. Pela figura 13,</p><p>podemos observar que o valor máximo da tensão de cisalhamento é igual ao</p><p>raio R da circunferância, então podemos escrever,</p><p>Figura 13.</p><p>� As tensões normais máximas e mínimas são representadas pelas tensões princi-</p><p>pais no ponto.</p><p>� Quando as tensões principais representarem o estado plano de tensões, a tensão</p><p>de cisalhamento no elemento será nula.</p><p>� A tensão de cisalhamento máxima no plano também pode representar o estado</p><p>plano de tensões, entretanto nesse caso, também estará atuando sobre o ele-</p><p>mento uma tensão normal média.</p><p>109Análise dos estados planos de tensão</p><p>112 TEORIA AVANÇADA DAS ESTRUTURAS</p><p>PROBLEMA RESOLVIDO 1</p><p>Para o estado de tensão dado, determine:</p><p>a) Orientação dos planos principais;</p><p>b) As tensões principais;</p><p>c) Orientação dos planos de máxima tensão de cisalhamento no plano das tensões;</p><p>d) A tensão de cisalhamento máxima;</p><p>e) A tensão normal correspondente.</p><p>a) Orientação dos planos principais:</p><p>b) Tensão máxima e tensão mínima:</p><p>Exemplo</p><p>Resistência dos materiais aplicada110</p><p>Tensão e Deformação | UNIDADE 2</p><p>Análise dos Estados Planos de Tensão e Deformação | PARTE 2 113</p><p>c) Orientação dos planos de máxima tensão de cisalhamento no plano das tensões:</p><p>d) A tensão de cisalhamento máxima;</p><p>e) A tensão normal correspondente.</p><p>Círculo de Mohr</p><p>Aqui você vai aprender que o círculo de Mohr para o estado plano de tensões</p><p>oferece um método alternativo para a solução de diversos problemas de estado</p><p>plano de tensões e das tensões principais e da tensão máxima de cisalhamento.</p><p>Você sabia que o método utiliza considerações geométricas simples e não re-</p><p>quer equações sofisticadas? Outro fato importante é que ele foi desenvolvido</p><p>pelo engenheiro alemão Otto Mohr (1835-1918), primeiro, para ser uma solução</p><p>gráfica; porém, o método se mostrou muito prático no uso de cálculos.</p><p>Saiba que as componentes de tensão σx, σy, τxy, atuam em um cubo ele-</p><p>mentar de uma material qualquer e exercem um plano de tensões sobre o cubo.</p><p>Também que em um sistema de eixos ortogonais onde as ordenadas são</p><p>representadas pela tensão de cisalhamento τ e as abscissas são representadas</p><p>pela tensão normal σ, pode-se marcar dois pontos, um ponto X com coorde-</p><p>nadas σx e –τxy e um outro ponto Y com coordenadas σy e + τxy, o que pode ser</p><p>observado no gráfico com os pontos plotados na Figura 14. Confira!</p><p>111Análise dos estados planos de tensão</p><p>114 TEORIA AVANÇADA DAS ESTRUTURAS</p><p>Figura 14.</p><p>�máx</p><p>�mín</p><p>�</p><p>�</p><p>x �y</p><p>O</p><p>B A</p><p>Y ,</p><p>C</p><p>�( )</p><p>�y �xy�(</p><p>2�p</p><p>)</p><p>X ,�x �xy</p><p>�</p><p>�</p><p>xy</p><p>�( )</p><p>1</p><p>2</p><p>Veja que ao unir os pontos X e Y através de uma reta, o ponto que cruza</p><p>o eixo horizontal, a distância XY é o diâmetro do círculo, e a intersecção da</p><p>reta XY com o eixo horizontal é o centro da circunferência, e com base nessas</p><p>informações traçamos a circunferência de centro C e diâmetro XY onde a</p><p>abscissa do ponto C é igual a tensão média σe e o raio é igual a R. Assim você</p><p>tem o círculo de Mohr para o estado plano de tensões desenhado. Os pontos</p><p>A e B onde o círculo cruza com o eixo da tensão normal σ, representam as</p><p>tensões principais, sendo o ponto A a tensão máxima σmáx e o ponto B a tensão</p><p>mínima σmín para o ponto Q.</p><p>Veja na Figura 15, o ângulo formado pelo pontos XCA corresponde a um</p><p>dos ângulos 2θp, considerando que,</p><p>O ângulo θp que define na orientação do plano principal de tensão que</p><p>corresponde ao ponto A pode ser determinado ao dividir o ângulo XCA por 2.</p><p>Figura 15.</p><p>�p</p><p>�y �máx �máx</p><p>�mín</p><p>�mín�x</p><p>�xy</p><p>O x</p><p>a</p><p>b</p><p>y</p><p>Resistência dos materiais aplicada112</p><p>Tensão e Deformação | UNIDADE 2</p><p>Análise dos Estados Planos de Tensão e Deformação | PARTE 2 115</p><p>Se você considerar separadamente cada uma das faces de um elemento</p><p>utilizado na definição dos componentes de tensão, a construção do círculo de</p><p>Mohr poderá ser simplificada. Observe nas Figuras 16 e 17 que a tensão de</p><p>cisalhamento em uma certa face tende a rotacionar o elemento no sentido ho-</p><p>rário, e o ponto que corresponde a essa face no círculo de Mohr ficará acima</p><p>do eixo da tensão normal σ. Entenda também que da mesma forma quando a</p><p>tensão de cisalhamento em uma face tende a rotacionar o elemento no sen-</p><p>tido anti-horário, o ponto correspondente a essa face no círculo de Mohr fi-</p><p>cará abaixo do eixo da tensão normal σ. Veja que para as tensões normais</p><p>será mantida a convenção de sinal usual, onde tração é considerada positiva</p><p>e marcada para a direita, e quando a compressão é considerada negativa será</p><p>marcada para a esquerda.</p><p>Figura 16.</p><p>Figura 17.</p><p>113Análise dos estados planos de tensão</p><p>116 TEORIA AVANÇADA DAS ESTRUTURAS</p><p>PROBLEMA RESOLVIDO 2</p><p>Resolva o problema 1 usando o círculo de Mohr:</p><p>a) Orientação dos planos principais;</p><p>b) As tensões principais;</p><p>c) Orientação dos planos de máxima tensão de cisalhamento no plano das tensões;</p><p>d) A tensão de cisalhamento máxima;</p><p>e) A tensão normal correspondente.</p><p>Pontos:</p><p>X =</p><p>Y =</p><p>C =</p><p>Com a definição dos pontos, plotamos no gráfico tensão de cisalhamento – tensão</p><p>normal</p><p>e desenhamos o círculo de Mohr:</p><p>Exemplo</p><p>Resistência dos materiais aplicada114</p><p>Tensão e Deformação | UNIDADE 2</p><p>Análise dos Estados Planos de Tensão e Deformação | PARTE 2 117</p><p>a) Orientação dos planos principais:</p><p>b) Tensão máxima e tensão mínima:</p><p>c) Orientação dos planos de máxima tensão de cisalhamento no plano das tensões:</p><p>d) A tensão de cisalhamento máxima:</p><p>115Análise dos estados planos de tensão</p><p>118 TEORIA AVANÇADA DAS ESTRUTURAS</p><p>BEER, F. P.; DEWOLF, J. T.; JOHNSTON Jr., E. R.; MAZUREK, D. F. Estática e mecânica dos</p><p>materiais. Porto Alegre: AMGH, 2013.</p><p>BEER, F. P.; JOHNSTON Jr., E. R.; DEWOLF, J. T.; MAZUREK, D. F. Mecânica dos materiais. 7. ed.</p><p>Porto Alegre: AMGH, 2015.</p><p>Leituras recomendadas</p><p>HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.</p><p>TIMOSHENKO, S. P.; GERE, J. E. Mecânica dos sólidos. Rio de Janeiro: LTC, 1983. v. 1.</p><p>Resistência dos materiais aplicada118</p><p>ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO</p><p>PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.</p><p>PREZADO ESTUDANTE</p><p>Parte 3</p><p>Flexão Oblíqua e Composta</p><p>O conteúdo deste livro</p><p>é disponibilizado</p><p>por SAGAH.</p><p>unidade</p><p>2</p><p>120 TEORIA AVANÇADA DAS ESTRUTURAS</p><p>Flexão oblíqua e composta</p><p>Objetivos de aprendizagem</p><p>Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:</p><p>� Analisar elementos submetidos a um carregamento axial excên-</p><p>trico fora dos planos de simetria da seção transversal.</p><p>� Identificar o comportamento de elementos estruturais subme-</p><p>tidos à flexão fora dos planos de simetria da seção transversal.</p><p>� Resolver questões com elementos estruturais submetidos a</p><p>cargas excêntricas.</p><p>Introdução</p><p>A análise de vigas submetidas à flexão pura prevê que a seção trans-</p><p>versal seja simétrica e as cargas sejam aplicadas no centro geométrico</p><p>da seção transversal. Na prática, essa condição é bem difícil de ser</p><p>executada devido às imperfeições nos sistemas construtivos. A análi-</p><p>se de elementos submetidos a cargas excêntricas revela uma condi-</p><p>ção mais realista das aplicações práticas que convivemos no dia a dia</p><p>da engenharia.</p><p>Neste capítulo, você vai estudar comportamento de elementos es-</p><p>truturais submetidos à flexão simples oblíqua e à flexão composta</p><p>oblíqua.</p><p>Flexão oblíqua e composta</p><p>Você deve saber que a análise de elementos estruturais submetidos à flexão</p><p>pura, isto é, a flexão ocorre no plano de simetria da seção e, portanto, po-</p><p>demos concluir que permanecem simétricas quando flexionadas, isso por</p><p>causa da simetria da seção e das cargas aplicadas. Observe nas Figuras 1</p><p>e 2, dois elementos estruturais, o primeiro, na Figura 1, possui dois planos</p><p>de simetria e o segundo elemento, na Figura 2, possui apenas um plano de</p><p>simetria, veja que os dois estão submetidos a um momento fletor M, que irá</p><p>provocar uma flexão perpendicular ao plano de simetria que este momento</p><p>Tensão e Deformação | UNIDADE 2</p><p>Flexão Oblíqua e Composta | PARTE 3 121</p><p>está atuando. Observe também que a posição da Linha Neutra L.N., está loca-</p><p>lizada no plano de simetria onde ocorre a flexão. Lembre-se que ao longo da</p><p>linha neutra as tensões são nulas.</p><p>Figura 1.</p><p>Figura 2.</p><p>Entenda que se você pegar esses mesmos elementos das Figuras 1 e 2, e</p><p>aplicar os momentos fletores fora dos planos de simetria da seção transversal</p><p>desses elementos, as barras serão flexionadas fora do plano dos momentos</p><p>fletores, como você pode ver na Figura 3.</p><p>Figura 3.</p><p>Agora, ao analisar os elementos estruturais da Figura 3, você pode en-</p><p>tender a mudança de comportamento da barra devido a ação de um momento</p><p>fletor fora dos planos de simetria da seção transversal.</p><p>Confira na Figura 4a, temos uma barra com seção transversal formada</p><p>por dois planos de simetria e sujeita a um momento fletor atuando fora desses</p><p>planos de simetria. Você lembra a situação anterior? Quando o momento</p><p>fletor atuava no plano de simetria? Você observou que a linha neutra se posi-</p><p>Resistência dos materiais aplicada120</p><p>122 TEORIA AVANÇADA DAS ESTRUTURAS</p><p>cionava no mesmo plano dos momentos, no caso, devido a ação do momento</p><p>fletor fora dos planos de simetria. Então, a linha neutra assume uma posição</p><p>diferente do plano dos momentos e também dos planos de simetria da seção</p><p>transversal. Observe na mesma figura que o momento fletor atua no sentido</p><p>horário, de maneira que tende a tracionar a parte abaixo da linha neutra e</p><p>comprimir sua parte superior, também fica evidente que a distribuição de</p><p>tensões devido à flexão oblíqua ao longo da seção não será uniforme.</p><p>Veja a barra da Figura 4b, de seção transversal retangular e submetida</p><p>à ação de um momento fletor atuando a um ângulo de 30º em relação ao</p><p>eixo de simetria vertical da seção. Neste caso, a posição da linha neutra L.N.,</p><p>deverá se posicionar a um ângulo Ø = 72º, Confira! Agora, na Figura 4c, ob-</p><p>serve a distribuição de tensões na seção transversal da barra, a região tracio-</p><p>nada abaixo da L.N. e a região comprimida acima da L.N. Você deve chamar</p><p>este comportamento da barra de flexão oblíqua simples, que é quando atuam</p><p>apenas momento fletor ou força cortante.</p><p>Figura 4.</p><p>Tome nota! Um dos seus objetivos será determinar condições para as quais</p><p>a L.N. da seção transversal de qualquer elemento se posicione no eixo dos</p><p>momentos M, onde os esforços que atuam na seção são representados, veja</p><p>na Figura 5.</p><p>121Flexão oblíqua e composta</p><p>Tensão e Deformação | UNIDADE 2</p><p>Flexão Oblíqua e Composta | PARTE 3 123</p><p>Figura 5.</p><p>O sistema formado pelos esforços internos elementares é equivalente ao</p><p>Momento M, expressado da seguinte forma.</p><p>Agora, observe a equação de equilíbrio da somatória das forças horizon-</p><p>tais! O que ela leva a concluir? Que o eixo neutro coincide com o eixo do cen-</p><p>troide da seção transversal. O que é importante considerar? Essa afirmação</p><p>somente será válida se as tensões estiverem abaixo do limite de proporciona-</p><p>lidade, ou seja, no regime elástico. Portanto, a equação da somatória dos mo-</p><p>mentos fletores em relação ao eixo z, leva a uma outra relação fundamental,</p><p>em que.</p><p>Veja na equação de equilíbrio da somatória dos momentos fletores em</p><p>relação ao eixo y, considere que , porém, essa consideração só será</p><p>aceita quando as tensões atuantes estejam abaixo do limite de proporcionali-</p><p>dade e devido a distribuição linear das tensões.</p><p>Resistência dos materiais aplicada122</p><p>124 TEORIA AVANÇADA DAS ESTRUTURAS</p><p>Ou também,</p><p>Se você aplicar o princípio da superposição para o caso mais geral de</p><p>flexão dos planos de simetria, poderá determinar a distribuição de tensões na</p><p>seção transversal. Veja!</p><p>Figura 6.</p><p>Agora, na Figura 7, analise uma barra prismática que possui apenas o</p><p>plano vertical com um eixo de simetria na seção transversal e aplique os mo-</p><p>mentos fletores M e M’, em um plano inclinado em relação ao eixo de simetria</p><p>formando um ângulo θ, o vetor do momento fletor M onde os esforços atuam,</p><p>isso formará o mesmo ângulo θ com o eixo horizontal z,</p><p>Figura 7.</p><p>123Flexão oblíqua e composta</p><p>Tensão e Deformação | UNIDADE 2</p><p>Flexão Oblíqua e Composta | PARTE 3 125</p><p>A partir disso, decompondo o vetor M em duas componentes nas direções dos</p><p>eixos z e y, você pode definir as expressões para os momentos Mz e My, onde.</p><p>Você pode determinar as tensões provocadas pela aplicação de qualquer</p><p>momento fletor, representado pelos momentos Mz e My, uma vez que os eixos</p><p>z e y são os eixos principais de inércia dessa seção transversal. Então, como</p><p>o momento Mz atua no plano vertical, irá provocar flexão na barra nesse</p><p>mesmo plano. Confira na Figura 8 as tensões resultantes!</p><p>Onde Iz é o momento de inércia em relação ao eixo z.</p><p>Figura 8.</p><p>Quando você analisar a atuação do momento Mz, poderá concluir que as</p><p>tensões acima do eixo horizontal são de compressão na posição, onde y > 0,</p><p>portanto, vai obter tração na região abaixo do eixo horizonta y, onde y</p><p>na Figura</p><p>9, através da expressão,</p><p>Onde Iy é o momento de inércia da seção em relação ao eixo y.</p><p>Resistência dos materiais aplicada124</p><p>126 TEORIA AVANÇADA DAS ESTRUTURAS</p><p>Figura 9.</p><p>Agora, ao analisar a atuação do momento My, você pode concluir que as</p><p>tensões à esquerda do plano de simetria vertical são de tração na posição,</p><p>onde z 0.</p><p>Ao aplicar a superposição das distribuições de tensão definidas anterior-</p><p>mente, você pode determinar a distribuição de tensões provocadas pelo mo-</p><p>mento fletor M.</p><p>Tome nota! Essa expressão também poderá ser utilizada para determinar a</p><p>distribuição das tensões em uma barra de seção transversal assimétrica como</p><p>a da Figura 10, a partir da condição de que os eixos principais do centroide da</p><p>seção transversal sejam conhecidos.</p><p>Figura 10.</p><p>Lembre-se! Essa equação somente será válida no caso da combinação das</p><p>tensões ficarem abaixo do limite de proporcionalidade, e as deformações pro-</p><p>vocadas pelas componentes do momento fletor não afetarem a distribuição</p><p>das tensões.</p><p>125Flexão oblíqua e composta</p><p>Tensão e Deformação | UNIDADE 2</p><p>Flexão Oblíqua e Composta | PARTE 3 127</p><p>Agora, considere que a distribuição de tensões causadas pela flexão fora</p><p>dos planos de simetria da seção transversal é linear, a linha neutra L.N. da</p><p>seção transversal coincide de modo geral com o eixo do momento fletor, e</p><p>como as tensões ao longo da linha neutra L.N. são nulas, você pode definir</p><p>a equação da linha neutra considerando σx = 0, e a equação da tensão, será,</p><p>Ao substituir os momentos fletores Mz e de My pelos valores das compo-</p><p>nentes do momento Fletor M, pode determinar a equação para y.</p><p>Essa equação representa uma reta com declividade .</p><p>Pode-se então definir o ângulo Ø formado pela linha neutra em relação</p><p>ao eixo z.</p><p>Figura 11.</p><p>Resistência dos materiais aplicada126</p><p>128 TEORIA AVANÇADA DAS ESTRUTURAS</p><p>Onde θ é o ângulo formado entre o vetor do momento fletor M e o eixo z</p><p>e como os momentos de inércia da seção transversal Iz e Iy são positivos os</p><p>ângulos Ø e θ também serão positivos. Pode-se observar que o ângulo Ø será</p><p>maior que o ângulo θ, Ø > θ, sempre que Iz > Iy e o ângulo Ø será menor que</p><p>o ângulo θ, Ø</p><p>dos materiais aplicada132</p><p>134 TEORIA AVANÇADA DAS ESTRUTURAS</p><p>Tensões cíclicas</p><p>Aqui você vai aprender que as tensões aplicadas a um elemento estrutural</p><p>podem variar muito entre a aplicação real e os ensaios realizados. E também</p><p>que os ensaios buscam abranger o maior número de possibilidades com o in-</p><p>tuito de representar a situação do material mais próxima da realidade.</p><p>Figura 2. O gráfico apresenta um ciclo de</p><p>tensão completamente reverso.</p><p>Figura 3. Veja que o gráfico apresenta um</p><p>ciclo repetitivo com valores iguais para as</p><p>tensões máximas e tensões mínimas, tam-</p><p>bém chamada de tensão flutuante.</p><p>133Dimensionamento de peças sujeitas a carregamento alternado</p><p>Tensão e Deformação | UNIDADE 2</p><p>Dimensionamento de Peças Sujeitas a Carregamento Alternado | PARTE 4 135</p><p>Figura 4. Observe no gráfico: ele apresenta um ciclo repe-</p><p>titivo com valores iguais para as tensões máximas e tensões</p><p>mínimas, também chamada de tensão flutuante.</p><p>Para você caracterizar os ciclos de tensões oscilantes deve utilizar di-</p><p>versos parâmetros, saiba alguns dos mais importantes: a tensão média σméd,</p><p>o intervalo de tensões σr, a amplitude de tensão σa e a razão de variação de</p><p>tensões R. Confira!</p><p>Taxa de propagação da trinca</p><p>Veja na Figura 5, que apresenta o gráfico da variação do tamanho da trinca</p><p>pelo número de ciclos de tensão para dois níveis de tensão de um determinado</p><p>material. Observe que o comprimento da trinca varia conforme o número de</p><p>ciclos de tensão aplicado também aumenta. Ao analisar as curvas você pode</p><p>verificar que quando o comprimento da trinca é pequeno, a taxa de crescimento</p><p>da trinca também é relativamente pequena. Então, a medida que a trinca</p><p>aumenta de tamanho, a taxa de crescimento também aumenta! E se você</p><p>aumentar a tensão cíclica, a taxa de crescimento também vai aumentar!</p><p>Resistência dos materiais aplicada134</p><p>136 TEORIA AVANÇADA DAS ESTRUTURAS</p><p>Agora, confira na Figura 5 a relação da taxa de crescimento de trinca dos</p><p>materiais sujeitos a tensões cíclicas,</p><p>Figura 5.</p><p>Você consegue notar que a taxa de crescimento de trinca é uma função</p><p>da intensidade da tensão K? Que é a combinação de tensão e do tamanho da</p><p>trinca? Assim o diferencial pode ser relacionado ao intervalo do fator de</p><p>intensidade de tensão ∆K para uma tensão de fadiga com amplitude constante</p><p>na equação! Veja!</p><p>Onde:</p><p>= taxa de crescimento da trinca em fadiga, mm/ciclo</p><p>∆K = intervalo do fator intensidade de tensão (∆K = Kmáx – Kmín)</p><p>A, m = Constantes que variam conforma o material (ambiente, frequência,</p><p>temperatura e índice de tensões [razão]).</p><p>Importante! Observe a expressão adiante para você determinar a vida de</p><p>um elemento estrutural à fadiga, veja que ela fornece o número de ciclos que</p><p>serão necessários para ocorrer a fadiga para uma certa tensão cíclica.</p><p>135Dimensionamento de peças sujeitas a carregamento alternado</p><p>Tensão e Deformação | UNIDADE 2</p><p>Dimensionamento de Peças Sujeitas a Carregamento Alternado | PARTE 4 137</p><p>E o comprimento final da trinca é dado por,</p><p>� Quando um elemento estrutural está submetido a um carregamento alternado,</p><p>poderá sofrer falha por fadiga devido a repetição das tensões.</p><p>� A fadiga provoca trincas no material que aumentam na medida em que as ten-</p><p>sões cíclicas permanecem atuando no elemento estrutural.</p><p>� A taxa de propagação da trinca está diretamente ligada às tensões cíclicas atuan-</p><p>tes e à intensidade das tensões.</p><p>PROBLEMA RESOLVIDO 1</p><p>Em um perfil de aço W 530 x 66, a chapa da mesa superior está submetida à fadiga</p><p>cíclica com amplitude constante, com tensões de tração de intensidade de 120 MPa e</p><p>tensões de compressão com intensidade de 30 MPa. O limite de elasticidade E = 200</p><p>GPa e a tenacidade à fratura KJC é de 45 MPa.</p><p>A chapa da mesa superior possui uma trinca de aresta que atravessa toda a espes-</p><p>sura e tem comprimento de 1,00 mm.</p><p>Estime quantos ciclos de fadiga até que ocorra a fratura da chapa.</p><p>Considere Y = 1; A = 2,0.10—12 m²; m = 3; a0 = 1,00 mm</p><p>Solução:</p><p>Se ignorarmos as tensões de compressão, σr – (120 – 0) = 120 MPa</p><p>Determinando o comprimento final da trinca:</p><p>Resistência dos materiais aplicada136</p><p>138 TEORIA AVANÇADA DAS ESTRUTURAS</p><p>Calcular o número de ciclos em fadiga:</p><p>1. Um ensaio de fadiga é realizado com</p><p>uma tensão máxima de 172 MPa e</p><p>uma tensão mínima de - 27,6 MPa.</p><p>Calcule:</p><p>I. A amplitude da tensão.</p><p>II. A variação de tensão.</p><p>III. A tensão média.</p><p>IV. A relação de tensões.</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>2. Um ensaio de fadiga é realizado com</p><p>uma tensão média de 120 MPa e uma</p><p>amplitude de tensão de 165 MPa.</p><p>Calcule:</p><p>I. A tensão máxima.</p><p>II. A relação de tensões.</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>3. Uma placa da liga Ti-6AI-4V tem</p><p>uma trinca interna de 1,90 mm. Qual</p><p>é a maior tensão em MPa que esse</p><p>material pode suportar sem falha</p><p>catastrófica?</p><p>Considere:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>4. Uma placa grande e plana está</p><p>submetida a tensões uniaxiais cíclicas</p><p>de amplitude constante de tração</p><p>e compressão iguais a 120 MPa e</p><p>35 MPa, respectivamente. Antes do</p><p>ensaio a trinca de superfície é de 1,00</p><p>137Dimensionamento de peças sujeitas a carregamento alternado</p><p>SMITH, W. F.; HASHEMI, J. Fundamentos de engenharia e ciência dos materiais. 5. ed. Porto</p><p>Alegre: AMGH, 2012.</p><p>Leituras recomendadas</p><p>BEER, F. P.; DEWOLF, J. T.; JOHNSTON Jr., E. R.; MAZUREK, D. F. Estática e mecânica dos</p><p>materiais. Porto Alegre: AMGH, 2013.</p><p>BEER, F. P.; JOHNSTON Jr., E. R.; DEWOLF, J. T.; MAZUREK, D. F. Mecânica dos materiais. 7.</p><p>ed. Porto Alegre: AMGH, 2015.</p><p>HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.</p><p>TIMOSHENKO, S. P.; GERE, J. E. Mecânica dos sólidos. Rio de Janeiro: LTC, 1983. v. 1.</p><p>Referência</p><p>mm e a tenacidade à fratura KIC da</p><p>placa é de 35 MPa</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>5. Determine o comprimento crucial da</p><p>trinca (mm) de uma placa grossa de</p><p>liga 2024-T6 submetida a tensão unia-</p><p>xial. Para esta liga KIC = 23,5 MPa.m1/2 e</p><p>considere Y = π1/2. A tensão máxima é</p><p>de 300 MPa.</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>Resistência dos materiais aplicada138</p><p>ENCERRA AQUI O TRECHO DO LIVRO DISPONIBILIZADO</p><p>PELA SAGAH PARA ESTA PARTE DA UNIDADE.</p><p>PREZADO ESTUDANTE</p><p>Se você encontrar algum problema neste material, entre em</p><p>contato pelo email eadproducao@unilasalle.edu.br. Descreva o</p><p>que você encontrou e indique a página.</p><p>Lembre-se: a boa educação se faz com a contribuição de todos!</p><p>CONTRIBUA COM A QUALIDADE DO SEU CURSO</p><p>Av. Victor Barreto, 2288 | Canoas - RS</p><p>CEP: 92010-000 | 0800 541 8500</p><p>eadproducao@unilasalle.edu.br</p>