MATEMATICA ebook_bc8b8f88-4b5c-4587-9539-86e0bbd34933

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<p>Resumos do aprovado</p><p>p o r Y a g o N u n e s</p><p>2 0 2 3</p><p>Licensed to MARLETE - marlete.lopes.cunha@gmail.com - 51886014353</p><p>Meu nome é Yago Nunes, atualmente tenho 23 anos e sou estudante do</p><p>quinto ano de medicina, na Universidade Federal de São João Del Rei.</p><p>Estudei toda minha vida em escola pública, enfrentando todos os</p><p>desafios que são conhecidos por todos.</p><p>Diferente de muitos, nem sempre quis medicina, sempre fui de exatas e</p><p>pretendia cursar alguma das engenharias.</p><p>Quando formei no ensino médio, fui aprovado em Engenharia Civil pela</p><p>Universidade do Estado de Minas Gerais, mas desisti da vaga, após</p><p>pensar muito.</p><p>A medicina veio até mim em conversas com familiares, amigos e</p><p>pesquisando sobre o assunto, e ainda bem que foi ela! Não me vejo</p><p>fazendo outra coisa hoje.</p><p>Fiz um ano de cursinho, e durante esse ano, fiz resumos de todas as</p><p>matérias e, com certeza, isso foi um ponto crucial para minha aprovação.</p><p>Agora você tem todos os meus resumos, de forma organizada e</p><p>revisada, para servir como base para seus estudos.</p><p>Quem sou eu?</p><p>Licensed to MARLETE - marlete.lopes.cunha@gmail.com - 51886014353</p><p>• DIVISÃO</p><p>- O divisor tem que ser diferente de zero</p><p>- O resto precisa ser menor do que o</p><p>divisor</p><p>DIVISÃO EXATA:</p><p>Dividendo= divisor X quociente + resto</p><p>• NÚMEROS PRIMOS</p><p>- Tem apenas dois divisores: O 1 e ele</p><p>mesmo</p><p>*Números primos entre si, o maior divisor</p><p>comum é 1</p><p>• CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE</p><p>- Por 2: é par</p><p>- Por 3: quando a soma dos algarismos é</p><p>divisível por 3</p><p>- Por 5: quando termina em zero ou cinco</p><p>- Por 6: quando é divisível por 2 e 3</p><p>*Palíndromo: lido de trás pra frente ou de</p><p>frente pra trás é o mesmo número.</p><p>• DIVISORES</p><p>O 72 tem 12 divisores naturais e 24</p><p>divisores.</p><p>Para encontrar quantos sem saber quais:</p><p>1° - fatore em fatores primos</p><p>2° Pegue cada expoente e some 1</p><p>3° multiplique os resultados do 2° item</p><p>• MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)</p><p>- Todos os divisores do MDC também são</p><p>divisores comuns</p><p>O MDC é 24</p><p>• MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM</p><p>(MMC)</p><p>- MMC tem que ser diferente de zero</p><p>- Todos os múltiplos do MMC também são</p><p>múltiplos comuns</p><p>*Existem duas formas de fazer o resto dar</p><p>zero: subtrair o resto do dividendo e</p><p>divisor menos resto, o resultado somado</p><p>ao dividendo.</p><p>Divisibilidade</p><p>48, 72</p><p>4, 6</p><p>2, 3</p><p>12</p><p>2</p><p>6,8</p><p>3,4</p><p>1,4</p><p>1,1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>189</p><p>Licensed to MARLETE - marlete.lopes.cunha@gmail.com - 51886014353</p><p>• Quadrado da soma / diferença</p><p>• Produto da soma pela diferença</p><p>• Cubo da soma / diferença</p><p>Produtos Notáveis</p><p>190</p><p>Licensed to MARLETE - marlete.lopes.cunha@gmail.com - 51886014353</p><p>- Razão é uma divisão</p><p>- Proporção é uma igualdade de razões</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>= 𝑟𝑎𝑧ã𝑜</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>=</p><p>𝑐</p><p>𝑑</p><p>=</p><p>𝑒</p><p>𝑓</p><p>= 𝐾</p><p>• GRANDEZAS DIRETAMENTE</p><p>PROPORCIONAIS</p><p>- Se uma aumenta a outra também</p><p>aumenta, se uma diminui a outra também</p><p>diminui, na mesma proporção, ou seja, a</p><p>razão entre elas é constante.</p><p>- O gráfico de grandezas diretamente</p><p>proporcional sempre passa pela origem e é</p><p>do primeiro grau.</p><p>𝑦</p><p>𝑥</p><p>= 𝐾 = 𝑦 = 𝐾. 𝑥</p><p>• GRANDEZAS INVERSAMENTE</p><p>PROPORCIONAIS</p><p>- Se uma aumenta a outra diminui, se uma</p><p>diminui a outra aumenta, na mesma</p><p>proporção, ou seja, o produto entre elas é</p><p>constante.</p><p>- O gráfico de grandezas inversamente</p><p>proporcionais sempre será uma hipérbole.</p><p>𝑥. 𝑦 = 𝐾 = 𝑦 =</p><p>𝐾</p><p>𝑥</p><p>• REGRA DE TRÊS SIMPLES</p><p>- Sempre analisar se é diretamente ou</p><p>inversamente proporcional.</p><p>- Tem apenas suas grandezas.</p><p>Para resolver questões de regra de três, é</p><p>fundamental que exista a</p><p>proporcionalidade, além disso, é de grande</p><p>importância a identificação da relação</p><p>entre as grandezas.</p><p>Os problemas que envolvem regra de três</p><p>simples podem ser separados em dois</p><p>casos, quando as grandezas são</p><p>diretamente proporcionais ou</p><p>inversamente proporcionais. Ao deparar-se</p><p>com qualquer questão que possa ser</p><p>revolvida com regra de três, seguimos os</p><p>seguintes passos.</p><p>1°- Identificar as grandezas, quais os</p><p>elementos envolvidos no problema.</p><p>2°- Analisar se as grandezas são</p><p>diretamente ou inversamente</p><p>proporcionais</p><p>3°- Agora monte a proporção.</p><p>Ex: Se com 10 maçãs eu faço 1 torta, com</p><p>quantas maçãs são necessárias para fazer</p><p>50 tortas?</p><p>- Descobrindo grandezas:</p><p>Maças e tortas</p><p>- Analisando se são diretamente ou</p><p>inversamente proporcionais:</p><p>Ao analisar o exemplo, percebe-se que</p><p>quanto MAIS MAÇÃS eu tiver, MAIS</p><p>TORTAS poderei fazer. Portanto, se um</p><p>aumenta o outro também aumenta, sendo</p><p>assim são diretamente proporcionais.</p><p>- Montando a proporção</p><p>10</p><p>𝑋</p><p>=</p><p>1</p><p>50</p><p>Razão e Proporção</p><p>Constante de</p><p>proporcionalidade</p><p>191</p><p>Licensed to MARLETE - marlete.lopes.cunha@gmail.com - 51886014353</p><p>• REGRA DE TRÊS COMPOSTA</p><p>- Mais de duas grandezas</p><p>Ex: se para alimentar uma família com 9</p><p>pessoas por 25 dias são necessários 5Kg de</p><p>arroz, quantos Kg seriam necessários para</p><p>alimentar 15 pessoas por 45 dias?</p><p>-Identificando grandezas:</p><p>Pessoas, dias, arroz</p><p>- Analisando se não diretamente ou</p><p>inversamente proporcionais</p><p>Pessoas Dias Arroz</p><p>9 25 5</p><p>15 45 x</p><p>Quanto MAIS ARROZ, MAIS PESSOAS serão</p><p>alimentadas</p><p>Quanto MAIS ARROZ, MAIS DIAS durará</p><p>- Então:</p><p>5</p><p>𝑋</p><p>=</p><p>9</p><p>15</p><p>.</p><p>25</p><p>45</p><p>• MATEMÁTICA COMERCIAL</p><p>- Porcentagem: é uma divisão de um</p><p>número por 100.</p><p>23% de 11 =</p><p>23</p><p>100</p><p>. 11</p><p>- Juros é em relação ao preço a vista</p><p>- Juros simples: está relacionado com</p><p>progressão aritmética. Em cada mês</p><p>aumenta a mesma quantidade.</p><p>𝐽 = 𝐶. 𝑖. 𝑡</p><p>M= J + C</p><p>J= juros</p><p>C= capital</p><p>i= taxa</p><p>t= tempo</p><p>- Juros compostos: juros sobre juros, está</p><p>relacionado com progressão geométrica.</p><p>𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑡</p><p>M= montante</p><p>C= capital</p><p>i= taxa</p><p>t= tempo</p><p>*No primeiro período juros simples é mais</p><p>vantajoso que juros compostos.</p><p>FATOR DE AUMENTO</p><p>- Multiplicação</p><p>- Fator = 100% + aumento</p><p>EX: aumento de 10% = multiplicar por 1,1</p><p>aumento de 20% = multiplicar por 1,2</p><p>aumento de 200%= multiplicar por 3</p><p>FATOR DE DESCONTO</p><p>- Fator = 100% - desconto</p><p>EX: desconto 10%= multiplica por 0,9</p><p>Desconto de 20% = multiplica por 0,8</p><p>192</p><p>Licensed to MARLETE - marlete.lopes.cunha@gmail.com - 51886014353</p><p>MÉDIA</p><p>1- ARITMÉTICA</p><p>𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠</p><p>𝑄𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠</p><p>OBS: desvio de um número é a diferença</p><p>entre o número e a média aritmética.</p><p>A soma dos desvios é sempre zero.</p><p>2- PONDERADA</p><p>1° multiplica o termo pelo seu respectivo</p><p>peso</p><p>2° Soma os resultados</p><p>3° divide pela quantidade de termos.</p><p>3- GEOMÉTRICA</p><p>√𝑎. 𝑏. 𝑐</p><p>3</p><p>*Para dois números é chamada de média</p><p>proporcional</p><p>4- ARMÔNICA</p><p>1</p><p>𝑀𝐻</p><p>=</p><p>1</p><p>𝑎 +</p><p>1</p><p>𝑏</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑐</p><p>3</p><p>*Média dos inversos</p><p>MEDIANA</p><p>É o valor que está no meio do</p><p>conjunto quando o conjunto estiver</p><p>ordenado.</p><p>𝑄𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 + 1</p><p>2</p><p>*Quando a quantidade de números</p><p>for par, deve-se pegar os dois do</p><p>meio, quando a sequência estiver</p><p>em ordem, soma-los e dividir por 2.</p><p>MODA</p><p>É o valor que mais se repete</p><p>Tabela de frequências</p><p>valor Frequência Frequência</p><p>Acumulada</p><p>Frequência</p><p>relativa</p><p>0 8 8 40%</p><p>1 4 12 20%</p><p>2 3 15 15%</p><p>3 5 20 25%</p><p>1,6 ˫ 1,7 (1,6 entra e 1,7 não entra)</p><p>Altura frequência Frequência</p><p>relativa</p><p>1,6 ˫ 1,7 4 20%</p><p>1,7 ˫ 1,8 8 40%</p><p>1,8 ˫ 1,9 8 40%</p><p>VARIÂNCIA</p><p>É a média aritmética dos quadrados</p><p>dos desvios</p><p>Ex: 1,1,4,6</p><p>Média 3</p><p>Variância: (1-3)2+(1-3)2+(4-3)2+(6-3)2</p><p>=</p><p>18</p><p>4</p><p>DESVIO PADRÃO</p><p>Raiz quadrada da variância</p><p>𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 = √𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎</p><p>2</p><p>*Quanto mais regular, mais</p><p>homogêneo, menor é o desvio</p><p>padrão</p><p>Estatística</p><p>193</p><p>Licensed to MARLETE - marlete.lopes.cunha@gmail.com - 51886014353</p><p>DEFINIÇÕES</p><p>- Experimento aleatório: pode ser</p><p>definido como uma ocorrência ou</p><p>experiência que pode ter diferentes</p><p>resultados, tendo em vista que sua</p><p>ocorrência se dá ao acaso.</p><p>- Ponto amostral: qualquer</p><p>resultado possível de um</p><p>experimento aleatório é</p><p>denominado um ponto amostral.</p><p>- Espaço amostral: é o conjunto de</p><p>todos os resultados possíveis de um</p><p>experimento aleatório, ou sejam</p><p>dos pontos amostrais.</p><p>- Eventos: todos os resultados</p><p>possíveis</p><p>- Espaços equiprováveis: quando</p><p>determinados espaços têm a</p><p>mesma chance de ocorrer.</p><p>CÁLCULO DE PROBABILIDADE</p><p>Probabilidade =</p><p>𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑣𝑒𝑖𝑠</p><p>𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠</p><p>- Probabilidade condicional: dá uma</p><p>condição certa, diminuindo o total</p><p>de eventos.</p><p>EX: Sem reposição</p><p>Com reposição</p><p>Simultaneamente (faz igual sem</p><p>reposição)</p><p>Probabilidade</p><p>194</p><p>Licensed to MARLETE - marlete.lopes.cunha@gmail.com - 51886014353</p><p>- É toda relação entre elementos de</p><p>conjuntos distintos e que satisfazem</p><p>as seguintes condições.</p><p>1- Não pode sobrar elementos no</p><p>domínio</p><p>2- Os elementos do domínio só</p><p>podem ter uma imagem</p><p>- Função injetora: cada elemento</p><p>do domínio tem uma imagem</p><p>diferente.</p><p>- Função sobrejetora: o</p><p>contradomínio é igual a imagem</p><p>- Função bijetora: É injetora e</p><p>sobrejetora ao mesmo tempo.</p><p>FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU</p><p>F(X)= ax + b</p><p>a≠0</p><p>- Gráficos</p><p>a=</p><p>∆𝑦</p><p>∆𝑥</p><p>a=𝑡𝑔𝛼</p><p>a= coeficiente angular (inclinação)</p><p>b= coeficiente linear (onde a reta</p><p>corta o eixo Y)</p><p>- Raízes da função: onde a reta</p><p>corta o eixo x</p><p>FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU</p><p>F(X)= ax2+ bx + c</p><p>a≠0</p><p>-Gráficos:</p><p>-O gráfico é sempre uma parábola</p><p>- a = concavidade</p><p>Se for positivo: concavidade para</p><p>cima</p><p>Se for negativo: concavidade para</p><p>baixo</p><p>- b = como corta o eixo</p><p>= crescente, b positivo</p><p>= decrescente, b negativo</p><p>- c= onde corta o eixo Y</p><p>- ∆ = Raízes</p><p>Se o ∆ for positivo = 2 raízes</p><p>Se o ∆ for negativo = não tem raízes</p><p>Se o ∆ for zero = uma única raiz</p><p>(duas raízes iguais)</p><p>Função</p><p>195</p><p>Licensed to MARLETE - marlete.lopes.cunha@gmail.com - 51886014353</p><p>• Vértice (máximo ou mínimo)</p><p>𝑌𝑣 =</p><p>−∆</p><p>2𝑎</p><p>𝑋𝑣 =</p><p>−𝑏</p><p>2𝑎</p><p>OBS: Xv é a medida aritmética das raízes.</p><p>Para achar Yv é só substituir.</p><p>• Achar a parábola – fórmula fatorada</p><p>𝑌 = 𝑎 (𝑋 − 𝑋𝐼)(𝑋 − 𝑋𝐼𝐼)</p><p>EXPONENCIAL</p><p>- Propriedades</p><p>- Função exponencial</p><p>F(X)= ax a>0 e a≠1</p><p>-Gráficos</p><p>LOGARITMO</p><p>𝐿𝑜𝑔𝑏𝑎</p><p>a= logaritmando</p><p>b=base</p><p>- Condição de existência:</p><p>O Logaritmando tem que ser positivo;</p><p>A base tem que ser positiva e diferente de 1</p><p>𝐿𝑜𝑔𝑏𝑎 = X</p><p>Bx=a</p><p>*Quando não mostrar a base, a base é 10</p><p>-Propriedades</p><p>*Quando tem igualdade de logaritmos e a</p><p>base é a mesma, iguala os logaritmandos</p><p>-Gráficos</p><p>196</p><p>Licensed to MARLETE - marlete.lopes.cunha@gmail.com - 51886014353</p><p>*Quando tiver log dos dois lados e as bases</p><p>forem iguais, deve-se igualar os</p><p>logaritmandos.</p><p>Ex: Log (x.2) = Log (3.7) =</p><p>x.2 = 3.7</p><p>2x=21</p><p>X=</p><p>21</p><p>2</p><p>FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA</p><p>- Função Seno</p><p>F: IR IR</p><p>*Imagem: sombra do gráfico no eixo y</p><p>*Máx: 1</p><p>*Mín: -1</p><p>Im: [-1,1]</p><p>P=2∏</p><p>- Função cosseno</p><p>F: IR IR</p><p>• Função do tipo seno/cosseno</p><p>𝑓(𝑥) = 𝑎 + 𝑏. cos(𝑐𝑥 + 𝑑)</p><p>-1 ≤ cos ≤ 1</p><p>b= amplitude</p><p>a= ponto de equilíbrio</p><p>c=alterna o período (não é o período)</p><p>d= translação horizontal</p><p>Valor mínimo: a-b</p><p>Valor máximo: a+b</p><p>- Período:</p><p>P=</p><p>2𝜋</p><p>𝐶</p><p>*Para saber onde o gráfico começa</p><p>substitui x por zero, para saber onde</p><p>ficará o Y.</p><p>OBS: Período é o tempo de um ciclo</p><p>completo.</p><p>plemento é a quantidade que falta para</p><p>chegar em 9</p><p>D</p><p>D</p><p>C</p><p>C</p><p>Variação Sinal</p><p>Determina se a curva</p><p>começa pra cima ou para</p><p>baixo</p><p>D</p><p>C +</p><p>+ -</p><p>-</p><p>197</p><p>Licensed to MARLETE - marlete.lopes.cunha@gmail.com - 51886014353</p><p>Ângulos são as reuniões de duas</p><p>semirretas que possuem uma origem</p><p>em comum, chamada de vértice do</p><p>ângulo.</p><p>- Ângulo raso: (180°) (∏ radianos)</p><p>- Suplemento é a quantidade que falta para</p><p>chegar em 180°.</p><p>- Complemento é a quantidade que falta</p><p>para chegar em 90°.</p><p>- O replemento é o que falta para chegar</p><p>em 360°.</p><p>- Ângulo reto (90°) (</p><p>∏</p><p>2</p><p>radianos)</p><p>- Ângulo agudo: menor que 90°</p><p>- Ângulo obtuso: entre 90° e 180°.</p><p>- Bissetriz: divide o ângulo ao meio</p><p>- Ângulos opostos pelo vértice: são sempre</p><p>iguais, congruentes.</p><p>RETAS PARALELAS</p><p>- Alternos internos e alternos externos</p><p>são iguais.</p><p>- Colaterais internos e colaterais</p><p>externos tem soma igual a 180°.</p><p>Ângulos</p><p>198</p><p>Licensed to MARLETE - marlete.lopes.cunha@gmail.com - 51886014353</p><p>Um polígono é uma figura geométrica</p><p>plana, fechada, formada por</p><p>segmentos de reta, chamados de lados.</p><p>- Componentes de um polígono:</p><p>1-Vértice: ponto de encontro dos</p><p>segmentos.</p><p>2-Lado: cada segmento de reta que</p><p>une os vértices consecutivos.</p><p>3-Ângulo: pode ser interno ou</p><p>externos.</p><p>• ÂNGULOS INTERNOS: ângulos</p><p>formados por dois lados consecutivos.</p><p>- SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS:</p><p>• ÂNGULOS EXTERNOS: Ângulos</p><p>formados por um lado e pelo</p><p>prolongamento do lado sucessivo a ele.</p><p>- SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS:</p><p>4-Diagonal: segmento de reta que liga</p><p>dois vértices não consecutivos, ou seja,</p><p>um segmento de reta que passa pelo</p><p>interior da figura.</p><p>*A diagonal do quadrado é L√2</p><p>2</p><p>- Polígono convexo: quando todas as</p><p>retas traçadas ficarem dentro da área</p><p>do polígono.</p><p>- Polígono côncavo: quando alguma</p><p>das retas traçadas entre duas partes</p><p>internas a ele fique fora de suas</p><p>delimitações.</p><p>Polígonos</p><p>199</p><p>Licensed to MARLETE - marlete.lopes.cunha@gmail.com - 51886014353</p><p>TRIÂNGULO</p><p>Composto por 3 lados.</p><p>- Condição de existência:</p><p>Qualquer lado tem que estar entre a</p><p>diferença (em módulo) e a soma dos</p><p>outros dois.</p><p>- Classificações:</p><p>QUANTO AOS ÂNGULOS</p><p>• Acutângulo: só ângulos agudos (>90°)</p><p>• Retângulo: tem um ângulo reto</p><p>• Obtusângulo: tem um ângulo obtuso</p><p>(<90°)</p><p>QUANTO AOS LADOS</p><p>• Escaleno: todos os lados diferentes</p><p>• Isósceles: dois lados iguais</p><p>• Equilátero: todos os lados iguais</p><p>OBS: Em um triângulo o maior lado se</p><p>opõe ao maior ângulo.</p><p>- A soma dos ângulos internos é 180.</p><p>PONTOS NOTÁVEIS</p><p>1- INCENTRO: ponto de encontro</p><p>das bissetrizes.</p><p>OBS: a bissetriz divide o ângulo ao</p><p>meio.</p><p>- O incentro é o centro da</p><p>circunferência inscrita.</p><p>A∆= P∆ . R</p><p>- A= Área do triângulo</p><p>- P= Semiperíodo</p><p>- R= Raio</p><p>2- CIRCUNCENTRO: é o ponto de</p><p>encontro das mediatrizes.</p><p>OBS: A mediatriz passa pelo ponto</p><p>médio formando 90°.</p><p>- O circuncentro pode cair fora do</p><p>triângulo.</p><p>- O circuncentro é o centro da</p><p>circunferência circunscrita ao triangulo.</p><p>a</p><p>b</p><p>d</p><p>Triângulos</p><p>200</p><p>Licensed to MARLETE - marlete.lopes.cunha@gmail.com - 51886014353</p><p>3- ORTOCENTRO: é o ponto de</p><p>encontro das alturas.</p><p>OBS: A altura sai do vértice e acerta o</p><p>lado oposto, ou prolongamento,</p><p>formando 90°.</p><p>- Pode cair fora do triangulo</p><p>- Em um triângulo</p><p>isósceles, ao traçar</p><p>a altura, ele é dividido em duas partes</p><p>iguais.</p><p>4- BARICENTRO: ponto de</p><p>encontro das medianas.</p><p>OBS: a mediana sai do vértice e acerta</p><p>o lado oposto no ponto médio.</p><p>- É o centro de gravidade de um</p><p>triângulo.</p><p>- Ao traçar as medianas as áreas dos 6</p><p>triângulos formados são iguais.</p><p>- o X do baricentro é a média aritmética dos</p><p>X dos lados e o Y do baricentro é a média</p><p>aritmética dos Y dos lados.</p><p>- Sempre, que dividir a hipotenusa ao meio,</p><p>em um triângulo retângulo, (com uma</p><p>mediana), a mediana é igual aos pedaços da</p><p>hipotenusa.</p><p>RELAÇÕES MÉTRICAS</p><p>RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS</p><p>MACETE: SOH CAH TOA</p><p>201</p><p>Licensed to MARLETE - marlete.lopes.cunha@gmail.com - 51886014353</p><p>Ângulos notáveis</p><p>LEI DOS SENOS</p><p>LEI DOS COSSENOS</p><p>202</p><p>Licensed to MARLETE - marlete.lopes.cunha@gmail.com - 51886014353</p><p>TRIÂNGULO</p><p>𝑩.𝒉</p><p>𝟐</p><p>Para qualquer triângulo</p><p>B= Base</p><p>H=altura</p><p>𝑳𝟐 √𝟑</p><p>𝟐</p><p>𝟒</p><p>Para triângulo equilátero</p><p>L=lado</p><p>𝒂.𝒃.𝒔𝒆𝒏𝜶</p><p>𝟐</p><p>* Senα é o seno do ângulo entre os lados a</p><p>e b.</p><p>√𝑷 (𝑷 − 𝒂). (𝑷 − 𝒃). (𝑷 − 𝒄)</p><p>*P= Semiperíodo</p><p>a, b, c = lados</p><p>Quadrilátero</p><p>A=B.h</p><p>A= área</p><p>B=base</p><p>h-altura</p><p>- QUADRADO</p><p>𝐿2</p><p>𝐷. 𝑑</p><p>2</p><p>L= lado</p><p>D= diagonal maior</p><p>d= diagonal menor</p><p>- TRAPÉZIO</p><p>(𝐵 + 𝑏). ℎ</p><p>2</p><p>CIRCUNFERÊNCIA</p><p>- Ângulo central - Ângulo inscrito</p><p>- Ângulo interior -Ângulo exterior</p><p>*Ângulos inscritos “enxergando” o mesmo arco</p><p>são iguais.</p><p>CÁLCULO DE RAIOS</p><p>- Triângulo equilátero: R=</p><p>1ℎ</p><p>3</p><p>Áreas</p><p>𝛼 =</p><p>130 − 32</p><p>2</p><p>203</p><p>Licensed to MARLETE - marlete.lopes.cunha@gmail.com - 51886014353</p><p>-Triângulo isósceles: semelhança de</p><p>triângulos</p><p>- Triângulo escaleno</p><p>A∆= 𝑝∆. 𝑟 (com círculo inscrito)</p><p>𝐴∆=</p><p>𝑎.𝑏.𝑐</p><p>4𝑅</p><p>(Círculo circunscrito)</p><p>COMPRIMENTO E ÁREA</p><p>C= 2𝜋𝑅</p><p>A=𝜋𝑅2</p><p>*Comprimento de um arco</p><p>C=α.R</p><p>O ângulo deve estar em radiano</p><p>*Área do setor (fatia de pizza)</p><p>A=</p><p>𝜋𝑅2𝛼</p><p>360°</p><p>POLIEDROS CONVEXOS</p><p>V+F= A+2</p><p>V= quantidade de vértice</p><p>F= quantidade de face</p><p>A= quantidade de aresta</p><p>nF=2A</p><p>n=número de arestas de cada face (é</p><p>usado quando o poliedro tem mais de</p><p>um tipo de face diferente)</p><p>*Diagonal do cubo= 𝐿√3</p><p>• VOLUME</p><p>Área da base . altura</p><p>- Se tiver bico divide por 3</p><p>- Quando não for paralelo, área das</p><p>bases vezes média das alturas.</p><p>- CILINDRO</p><p>á𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 2𝜋𝑅. ℎ</p><p>*Cilindro quadrado: altura é igual ao</p><p>diâmetro</p><p>- PIRÂMIDE:</p><p>𝑉 =</p><p>Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒. 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎</p><p>3</p><p>*No tetraedro regular todas as faces</p><p>são triangulares.</p><p>204</p><p>Licensed to MARLETE - marlete.lopes.cunha@gmail.com - 51886014353</p><p>𝑉 =</p><p>ℎ (𝐴 + 𝑎 + √𝐴𝑎</p><p>2</p><p>)</p><p>3</p><p>- CONE</p><p>*No cone equilátero a g=2R</p><p>𝑣 =</p><p>𝜋𝑅2. h</p><p>3</p><p>A= 𝜋𝑅𝐺</p><p>*O volume de um líquido que está na</p><p>metade pontuda de um cone ou uma</p><p>pirâmide é</p><p>1</p><p>8</p><p>do volume total.</p><p>𝑉𝑡 =</p><p>𝜋ℎ</p><p>3</p><p>[𝑅2 + 𝑅𝑟 + 𝑟2]</p><p>𝐴𝑙𝑡 = 𝜋𝑔(𝑅 + 𝑟)</p><p>𝐴𝑡 = 𝜋𝑟2+𝜋𝑅2𝜋𝑔(𝑅 + 𝑟)</p><p>ESFERA</p><p>- Gomo de mexerica= cunha esférica</p><p>- Casca do gomo= fuso</p><p>*Se tiver um cubo dentro da esfera, o</p><p>diâmetro da esfera é a diagonal do</p><p>cubo.</p><p>*Se tiver uma esfera dentro de um</p><p>cilindro a altura do cilindro é o</p><p>diâmetro da esfera.</p><p>𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒:</p><p>4</p><p>3</p><p>𝜋𝑅2</p><p>Á𝑟𝑒𝑎: 4𝜋𝑅2 205</p><p>Licensed to MARLETE - marlete.lopes.cunha@gmail.com - 51886014353</p><p>- Plano cartesiano</p><p>- Par ordenado:</p><p>(X.Y)</p><p>- Simetria:</p><p>Espelhar</p><p>- Ponto médio:</p><p>Divide o segmento ao meio</p><p>Xm =</p><p>𝑋𝑎+𝑋𝑏</p><p>2</p><p>Ym =</p><p>𝑌𝑎+𝑌𝑏</p><p>2</p><p>*Média aritmética dos pontos</p><p>- Distância entre dois pontos</p><p>𝑑2 = (𝑌𝑏 − 𝑌𝑎)2 + (𝑋𝑎 − 𝑋𝑏)2</p><p>- Área de polígonos conhecidos</p><p>os vértices</p><p>A=</p><p>1</p><p>2</p><p>*Multiplica na diagonal descendo e soma</p><p>*Multiplica na diagonal subindo e soma</p><p>*Subtrai os dois</p><p>*Multiplica por meio</p><p>- Baricentro:</p><p>Média aritmética dos vértices do triângulo</p><p>-Equação da reta:</p><p>Y= ax+b (equação reduzida)</p><p>COMO DETERMINAR A?</p><p>1- Quando der o ângulo é a tg do</p><p>ângulo.</p><p>2- Dados dois pontos</p><p>A (Xa, Ya) e B(Xb, Yb)</p><p>𝑎 =</p><p>∆𝑦</p><p>∆𝑥</p><p>𝑎 =</p><p>𝑌𝑏 − 𝑌𝑎</p><p>𝑋𝑏 − 𝑌𝑎</p><p>3- R//S (retas paralelas)</p><p>ar=as</p><p>4- RꓕS</p><p>ar= -</p><p>1</p><p>𝑎𝑠</p><p>- Equação geral: iguala a zero e passa o Y</p><p>pro outro lado</p><p>- Distância entre pontos e retas</p><p>A reta tem que estar igual a zero</p><p>Sempre perpendicular</p><p>𝑑 =</p><p>𝐴𝑥𝑝 + 𝐵𝑦𝑝 + 𝐶</p><p>√𝐴2 + 𝐵2</p><p>A- O que acompanha o X</p><p>B- O que acompanha o y</p><p>Geometria Analítica</p><p>I II</p><p>III IV</p><p>Xa Ya</p><p>Xb Yb</p><p>Xc Yc</p><p>Xd Yd</p><p>Xa Ya</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>206</p><p>Licensed to MARLETE - marlete.lopes.cunha@gmail.com - 51886014353</p><p>- Distancia entre paralelas</p><p>Distância constante</p><p>Faz distância do ponto à reta</p><p>- Equação da circunferência</p><p>𝑅 = √(𝑥 − 𝑥𝑐)2 + (𝑌 − 𝑌𝑐)2</p><p>207</p><p>Licensed to MARLETE - marlete.lopes.cunha@gmail.com - 51886014353</p><p>PFC – Princípio fundamental da contagem</p><p>- É um método utilizado para determinar o</p><p>número total de possibilidades.</p><p>- Ele consiste em multiplicar o número de</p><p>possibilidades de cada etapa do</p><p>experimento.</p><p>OU= soma</p><p>E=multiplica</p><p>*Quando for para formar um número não</p><p>pode começar com zero</p><p>*Quando forem senhas e placas pode</p><p>começar com zero.</p><p>EX: uma lanchonete vende sanduiches</p><p>(especial, vegetariano e cachorro quente),</p><p>bebida (suco de maça ou guaraná) e</p><p>sobremesa (chocolate, bolo de cereja, bolo</p><p>de baunilha, bolo de morango).</p><p>Considerando que eu quero escolher uma</p><p>opção de cada. De quantas maneiras eu</p><p>posso escolher meu lanche?</p><p>Sanduiche: 3</p><p>Bebida:2</p><p>Sobremesa: 4</p><p>3*2*4= 24</p><p>FATORIAL:</p><p>n! = n. (n-1).(n-2).....1</p><p>Ex: 5!= 5.4.3.2.1</p><p>*1!=1</p><p>*0!=1</p><p>PERMUTAÇÃO:</p><p>- São agrupamentos ordenados, onde o</p><p>número de elementos do agrupamento é</p><p>igual ao número de elementos disponíveis.</p><p>- Troca de lugar</p><p>- Na permutação com repetição divide pela</p><p>repetição.</p><p>𝑃𝑛 = 𝑛!</p><p>EX: de quantas maneiras diferentes 6</p><p>pessoas podem se sentar em um banco de</p><p>6 lugares?</p><p>𝑃6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720</p><p>ARRANJO:</p><p>- Quando a ordem importa:</p><p>n=total</p><p>p=agrupamento</p><p>Ex: precisa-se escolher um presidente e um</p><p>vice presidente em uma turma de 20</p><p>alunos. Sendo que o mais votado será</p><p>presidente e o segundo mais votado será</p><p>vice presidente. De quantas maneiras</p><p>distintas a escolha pode ser feita?</p><p>(neste caso a ordem importa, porque se for</p><p>mais votado será presidente, ou seja, terá</p><p>cargo diferente)</p><p>𝐴20,2 =</p><p>20!</p><p>(20 − 2)!</p><p>=</p><p>20.19.18!</p><p>18!</p><p>= 380</p><p>Análise Combinatória</p><p>208</p><p>Licensed to MARLETE - marlete.lopes.cunha@gmail.com - 51886014353</p><p>A escolha pode ser feita de 380 maneiras</p><p>diferentes</p><p>- Arranjo com repetição:</p><p>𝐴𝑅𝑛</p><p>𝑝</p><p>= 𝑛𝑝</p><p>COMBINAÇÃO:</p><p>- São subconjuntos em que a ordem dos</p><p>elementos não é importante.</p><p>- Quando a ordem não importa</p><p>( 𝑛</p><p>𝑝</p><p>) = 𝐶𝑛</p><p>𝑝</p><p>EX: De quantas maneiras distintas é</p><p>possível escolher 3 membros para formar</p><p>uma comissão organizadora de um evento,</p><p>dentre as 10 pessoas que se candidataram.</p><p>(neste caso a ordem não importa, as 3</p><p>pessoas escolhidas irão fazer parte da</p><p>comissão sem nenhuma diferença)</p><p>𝐶10,3 =</p><p>10!</p><p>3! (10 − 3)!</p><p>=</p><p>10.9.8.7!</p><p>3! .7!</p><p>=</p><p>10.9.8</p><p>3.2.1</p><p>= 120</p><p>- Combinação com repetição</p><p>𝐶𝑅𝑛</p><p>𝑝</p><p>= 𝐶𝑛</p><p>𝑝</p><p>+ 𝑝 − 1</p><p>209</p><p>Licensed to MARLETE - marlete.lopes.cunha@gmail.com - 51886014353</p><p>- Progressões aritméticas (PA)</p><p>Sequência de números, a cada termo vai se</p><p>somando números fixos.</p><p>EX: 2,5,8,11,14 (a cada número somou-se</p><p>3, ou seja, a razão neste caso é 3)</p><p>*Fibonacci: 1,1,2,3,5,8,13</p><p>- Termo geral:</p><p>A1= primeiro termo</p><p>An= termo qualquer</p><p>an=a1+(n-1). r</p><p>• Soma dos termos de uma PA</p><p>𝑆𝑛 =</p><p>(𝑎1 + 𝑎𝑛)𝑛</p><p>2</p><p>*Quando a PA é de números naturais</p><p>seguidos, o último número é igual a</p><p>quantidade de termos.</p><p>- PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS</p><p>- A cada termo vai-se multiplicando</p><p>valores fixos.</p><p>Ex:2,6,18,54 (neste caso, foi-se</p><p>multiplicando 3 a cada termo. A razão foi</p><p>3).</p><p>- Termo geral:</p><p>a1=primeiro termo</p><p>an=termo qualquer</p><p>an=a1.𝑞𝑛−1</p><p>• Soma dos termos de uma PG finita</p><p>𝑆𝑛 = 𝑎1 (</p><p>𝑞−1−1</p><p>𝑞−1</p><p>)</p><p>• Soma dos termos de uma PG infinita, se o</p><p>modelo da razão<1</p><p>𝑆 =</p><p>𝑎1</p><p>1 − 𝑞</p><p>*Quando a razão é</p><p>1</p><p>2</p><p>, a soma é o</p><p>dobro do primeiro termo.</p><p>Sequências</p><p>210</p><p>Licensed to MARLETE - marlete.lopes.cunha@gmail.com - 51886014353</p><p>Matriz é uma tabela com linhas e colunas.</p><p>*Quando o número de linhas e</p><p>colunas são iguais a matriz é</p><p>quadrada.</p><p>SOMA E SUBTRAÇÃO</p><p>- Soma ou subtrai os elementos</p><p>correspondentes.</p><p>- Só da pra somas ou subtrair matrizes do</p><p>mesmo tamanho.</p><p>MULTIPLICAÇÃO</p><p>• Multiplicação por um número</p><p>Multiplica-se todos os elementos por esse</p><p>número.</p><p>• Multiplicação de matrizes</p><p>- O número de colunas da primeira precisa</p><p>ser, obrigatoriamente, igual ao número de</p><p>linhas da segunda.</p><p>OBS: 𝐴2 = 𝐴. 𝐴</p><p>MATRIZ TRANSPOSTA</p><p>Linha vira coluna, e vice versa.</p><p>Matrizes</p><p>211</p><p>Licensed to MARLETE - marlete.lopes.cunha@gmail.com - 51886014353</p><p>Resumos do aprovado</p>