Metodos Numericos

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<p>Quiz #01</p><p>2) a) f(x) = exp(x) em tomo deS</p><p>Resolução : Série de Taylor pr Kuros (adotei xi = 1)</p><p>Ho</p><p>f(xi) = f(x) + (xi - x)f(x) + (i - x0)2. f(x) + (xi-x)f"(2 !</p><p>& f(x) e f(xi) = f(x) - f(q) = c= 1-</p><p>② f(x) e f(xi) = f(x) + (xi - x) . f' (x) -f(x) = 1 + (n -0) . 1 = 2I I</p><p>③ f(x) e f(xi) = f(x)) + (xi- x) . f'(0) +(*) f(x) =>f(x) =m + (n - 07</p><p>.</p><p>2 =</p><p>& f"(xo) e f(xi) = f(x) +(i - x0)</p><p>.f'(0)+(i - xo)- "(x) + (i - x)" .f "(x) =D</p><p>2 ! 3!</p><p>f(3)</p><p>(40) · 1+ +(-01 =:2667</p><p>3.2</p><p>.</p><p>A</p><p>5/2</p><p>⑥ f(x) e f(xi) = f(xr) + (i -X0) ·f(x) + (xi - x0)2 y"(0) + (i -x0)3</p><p>.-"(o) + Gi-10)f)</p><p>2 ! 3! 4 !</p><p>+ (i -xo) . f(x) A5 !</p><p>f(q) = 2</p><p>,</p><p>667 + (4 - 0)"</p><p>.</p><p>a + (a-0)" a = 2</p><p>, 7967</p><p>4</p><p>.</p><p>3</p><p>. 2 .</p><p>A 5.4</p><p>.</p><p>3</p><p>.</p><p>2</p><p>.</p><p>A</p><p>ERR = 2</p><p>,</p><p>718 - 2, 667 = 1</p><p>, 9 % ERR = 2</p><p>,</p><p>718- 2</p><p>, 7167 =0</p><p>,04%</p><p>4Termos 2</p><p>,</p><p>715</p><p>Stemor 2, 715</p><p>https://goodnotes.com/</p><p>b) f(x) = cos(2x) em torno deSo</p><p>Redução : série de taylor para 4 e 6 termos (adotei xi=2)</p><p>/</p><p>f(x) = f(x) + (xi - x0)</p><p>.f'(x) + (i - x0)2 f"(x) + (i - x0) .-"() + (iv)")+2 !</p><p>-</p><p>temostemos</p><p>X .</p><p>= 0</p><p>① f(xd) cos(0) -(xi) = f(x) = f(%) = cos (0) => A</p><p>O</p><p>-</p><p>② f(x) -2um(0) f(i) = 1 + (12 - 07 .</p><p>- 2 sen 10) -- A</p><p>③ f"(xo) - Us 10) f(x) = 1 + 0 + (ie-0) 14200 (0))= - 3</p><p>,</p><p>935</p><p>2. A</p><p>& f"(x .) Seen 10) f(x) = - 3</p><p>,</p><p>935 + (5-0)? 90) = - 3</p><p>,935</p><p>3.2 . 1</p><p>③ f(x) - 32 sem 10) f(x) = 0</p><p>.</p><p>1237 + (iz - 03</p><p>.</p><p>- 325en10 = 0</p><p>,</p><p>12397</p><p>120</p><p>Dorivando a partir da Regra da Cadeia :</p><p>1) cos (2x) = u = 2x = 2 y = cosl</p><p>Ay =</p><p>-sen (u)</p><p>di</p><p>=</p><p>Il</p><p>=</p><p>- sen (n). 2 = - 2sem(2x)</p><p>f(e) = -3</p><p>,</p><p>935+(</p><p>"</p><p>16 cs (8) = 0</p><p>,</p><p>1237</p><p>https://goodnotes.com/</p><p>2) f(x) = In(x +n)S xit</p><p>f(x) en (2) f(xi) = f(x) = f(1) = en(2) = 0</p><p>,</p><p>693</p><p>f(x) & f(xi) = 0, 693 + (1 - 0)</p><p>.4</p><p>= 1</p><p>,</p><p>193</p><p>f"(xo) - f(xi) = 1</p><p>,</p><p>193 + 190() = 1</p><p>0 0</p><p>f"(x) A g(xi) = 1</p><p>, 068 + (a -0) ) = n</p><p>, 109</p><p>3</p><p>.</p><p>2 .</p><p>1</p><p>f""(x) -</p><p>3 f(xi) = 1</p><p>,</p><p>909 + (90) = 10</p><p>G</p><p>fs (x)- f(xi) = 1</p><p>,</p><p>093 + (90)()</p><p>= 109</p><p>https://goodnotes.com/</p><p>Questão 2)</p><p>(-x2)</p><p>a) f(x, y)= e un(y)</p><p>Série de Taylor p/3 termos :</p><p>↓</p><p>5 (i) = f(x) + (xi - x) . f' (x0) + (xic-</p><p>x0)"</p><p>. f"(x)</p><p>to = D</p><p>f(xo) e"sen (3) esen(3) e sen 3</p><p>I</p><p>f(xi)</p><p>f(x) Exe</p><p>*</p><p>seny -Lésen (3) ="sem3-ze"sen</p><p>f(x) Cle* (xe*) san3 2le-2e) sen3 e-sen3-Zesm3 + (ze-Ge) sen3</p><p>Yo = 3 f(yi)</p><p>f(y) etsenig e "sen3 e sen3</p><p>flyo) excos y écoss e"sen3 + coss</p><p>f"(yp) e</p><p>*</p><p>sen(y) e zen3 e sens + é coss-esens</p><p>f(x ,y) = sen 3 - (x - 1) Ce sen3 + (y - 3) e cos3 + (x-1) (2e Get) sen3-</p><p>e</p><p>(y3 esen3 + R</p><p>https://goodnotes.com/</p><p>Questão 3)</p><p>espaçados igualmenteha Pontos : xi -1 -> f(xi - 1) --</p><p>Ixinf(xi)</p><p>xi - A Xi xit a</p><p>xi + 1 > f(xi + 1)</p><p>Xa + 1 - xi = h</p><p>xi - 1 - xi =</p><p>- R</p><p>f (xi + 1) = f(xi) + ( xi + 1 - xi)</p><p>. f' (xi) + (xi + 1 - xi) f"(xi) + Ra</p><p>2 !</p><p>f(xi -1) = f(xi) + (xi - 1 - xi) . f(xi) + (xi - a - xi) f"(xi) + Re</p><p>2 !</p><p>substituindo por he (-h) e somando as equações</p><p>f(xi + a) = f(xi) + h .f (xi) + 42f"(xi) + Ra</p><p>2 ⑦</p><p>f(xi - 1) = f(xi) + ( h)</p><p>. f'(xi) + ( h) f"(xi) + Ra</p><p>S</p><p>f(xi +1) + f(xi -1) = zf(xi) +22f"(xi) isolando a 28 derivada.</p><p>-"(xi) = f(xi + 1) + f(xi -2) - 2f(xi)</p><p>- n -</p><p>h</p><p>h2 T</p><p>-</p><p>b) Pontos : xi -> f(xi) I I S</p><p>Xi - 2 Xixi - 1 -> f(xi - a) Xi-n</p><p>Xi - 2 - > f(xi - 2) (i - a - xi) = - h</p><p>(xi - 2 - xi) =</p><p>- 24</p><p>f (xi - 1) = f(xi) + (xi - A - xi)</p><p>. f'(xi) + (xi - 1 -xi)? f"(xi) +Ra</p><p>2 !</p><p>- (xi - 2) = f(xi) + (xi -2 - xi) . f(xi) + (xi - 2 - xi)2y"(xi) +Ru</p><p>2 !</p><p>Substituindo porthe (-2h)</p><p>f (xi</p><p>- 1) = f(xi) + ( h) . f' (xi) + ( h)</p><p>2</p><p>f"(xi) + Rnxz2)</p><p>2 !</p><p>& (xi -2) = f(xi) + ( - 2h) . f'(xi) + ( 2h) 2. f"(xi) + Re</p><p>!</p><p>~</p><p>- In</p><p>https://goodnotes.com/</p><p>- Cf(xi - n) = - Cf(xi) + 2h-f(xi) + 42f"(xi) + Ra</p><p>&</p><p>-</p><p>(xi - 2) = f(xi) - 24 . f(xi) - 2h2 - f"(xi) + Re</p><p>f (xi - 2) - 2f(xi - 1) = - f(xi) - 42f"(xi) +Rs Isolando</p><p>f</p><p>"</p><p>(xi) = - f(xi) - f(xi -2) + 2f(xi - 1) + R</p><p>42 2</p><p>2) Pontos : xinsf(xi) I h</p><p>mu</p><p>( xi + 1)- f(xi + 1) & 1</p><p>xi +2) f(xi + 2) Xi xirh xith</p><p>(xi + a -</p><p>xi) = h</p><p>↑ xi + 2 - xi) = 2h</p><p>fixi + 1) = f(xi) + (xi + a -xi)</p><p>. f'(xi) + (xi + 1 - xi)? f"(xi) + Ra</p><p>2 !</p><p>f(xi +2) = f(xi) + ( xi + 2 - xi)</p><p>. f' (xi) + (xi + 2 - xi)</p><p>- f"(xi) +Rz</p><p>2 !</p><p>substituindo heCh</p><p>f(xi + 1) = f(xi) + h f(xi) + h2f"(xi) + Rex(z)</p><p>2 !</p><p>2</p><p>~</p><p>= f(xi) + 2hf'(xi) + 2hf"(xi) + Ri</p><p>- 2f(xi + 1) = -2f(xi) - 2hf' (xi) - 42f(xi) +Ra</p><p>2</p><p>f(xi + 2) = f(x) + 2hf'(xi) + Chof"(xi) + Rz</p><p>f (xi +z) - 2f(xi + a) =</p><p>- f(xi) + 42f"(xi) +Ry Isolando</p><p>f"(xi) = f(xi +2) - 2f(xi + 1) + f(xi)</p><p>42 2</p><p>https://goodnotes.com/</p>