Aula3_ ModelagemConfiabilidade

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<p>Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais</p><p>Curso de Engenharia de Produção</p><p>Confiabilidade de Produtos</p><p>e Processos</p><p>Profa. : Alessandra Lopes Carvalho, Dra</p><p>Aula 3</p><p>Modelagem de Confiabilidade</p><p>PUC Minas- Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra</p><p>Técnicas não paramétricas</p><p>Não é necessário especificar nenhuma distribuição de probabilidade</p><p>Estimação da Função Confiabilidade na Ausência de Censura</p><p>Estimação da Função Confiabilidade na Presença de Censura</p><p>Estimador da tabela de vida</p><p>Estimador de Kaplan-Meier</p><p>Técnicas Paramétricas</p><p>Modelagem segundo uma distribuição de probabilidade</p><p>-Os modelos estimam a probabilidade de falha (ou sobrevivência)</p><p>ao longo do tempo.</p><p>-Esta representação é dada por uma função que permite interpolações</p><p>(e algumas extrapolações).</p><p>PUC Minas- Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra</p><p>Considerações a partir dos dados coletados</p><p>PUC Minas- Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra</p><p>Testes durante o desenvolvimento</p><p>Testes de qualificação</p><p>Testes de vida</p><p>Testes acelerados de vida</p><p>Testes de Crescimento da Confiabilidade</p><p>Ensaios de bancada realizados pelo fabricante</p><p>PUC Minas- Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra</p><p>“Call centers”</p><p>Assistências técnicas</p><p>Dados de garantia</p><p>Ordens de serviço</p><p>Amostras gerenciadas</p><p>Reflete, de maneira clara, as atuais condições de uso (e abuso).</p><p>Podem ser viciados.</p><p>Requer um sistema de coleta e análise dos dados.</p><p>Dados de Campo</p><p>PUC Minas- Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra</p><p>Obtenção dos dados</p><p>Qualificação dos dados</p><p>Entrada correta</p><p>Representatividade</p><p>Removendo dados viciados</p><p>Tabulação correta dos dados</p><p>Preparação dos dados</p><p>Fonte: ReliaSoft</p><p>PUC Minas- Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra</p><p>Testes em bancada de prova concluíram que os compressores dos</p><p>refrigeradores eram extremamente confiáveis.Entretanto, as taxa de falha em</p><p>campo destes compressores era muito alta.</p><p>O reembolso do serviço prestado pelos técnicos de manutenção dos</p><p>refrigeradores estava atrelado ao valor das partes trocadas.</p><p>O compressor era o mais caro deles.</p><p>A política de reembolso foi modificada e posteriormente foi</p><p>confirmado o baixo número de falhas.</p><p>Exemplo dados viciados</p><p>Fonte: ReliaSoft</p><p>PUC Minas- Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra</p><p>Dados Censurados</p><p>- Testes são terminados antes que todos os itens falhem</p><p>- Presença de dados incompletos e/ ou parciais</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>unidade</p><p>tempo</p><p>Dados completos</p><p>Convenção utilizada:</p><p>x falha</p><p>o censura</p><p>PUC Minas- Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra</p><p>Censura por tempo ou Tipo I</p><p>O teste será terminado após um</p><p>período pré estabelecido de tempo</p><p>x</p><p>x</p><p>o</p><p>o</p><p>unidade</p><p>tempo to</p><p>Tipos de censura</p><p>PUC Minas- Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra</p><p>x</p><p>x</p><p>o</p><p>x</p><p>unidade</p><p>tempo</p><p>Censura por falha ou Tipo II</p><p>O teste será terminado após ter ocorrido</p><p>a falha em um número pré estabelecido</p><p>de itens sob teste</p><p>Vantagem: garante um no mínimo de falhas</p><p>PUC Minas- Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra</p><p>Censura do tipo aleatório</p><p>Um item é retirado do teste sem que seja</p><p>atingida a falha</p><p>Exemplo: o item falha por uma razão</p><p>diferente da estudada</p><p>o</p><p>x</p><p>x</p><p>unidade</p><p>tempo</p><p>o</p><p>PUC Minas- Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra</p><p>Estimação na ausência de censura</p><p>Fonte: (Freitas e Colosimo, 1997)</p><p>Técnicas não-paramétricas para modelagem de confiabilidade</p><p>0 10 20 30 40 50 60 70 80</p><p>9</p><p>2</p><p>1</p><p>4</p><p>5</p><p>10</p><p>16</p><p>7</p><p>tempo (x 10 horas)</p><p>am</p><p>p</p><p>li</p><p>tu</p><p>d</p><p>e</p><p>Exemplo:</p><p>Histograma da distribuição</p><p>aproximada do tempo</p><p>de falha para 54 produtos</p><p>em teste (todos falharam).</p><p>PUC Minas- Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra</p><p>Exemplo: Estimativa de confiabilidade no período entre 400 e 500 horas</p><p>54 produtos em operação – 33 produtos que falharam até t=400 = 21</p><p>0 10 20 30 40 50 60 70 80</p><p>9</p><p>2</p><p>1</p><p>4</p><p>5</p><p>10</p><p>16</p><p>7</p><p>tempo (x 10 horas)</p><p>am</p><p>p</p><p>li</p><p>tu</p><p>d</p><p>e</p><p>R (400) = no de produtos em operação até t=400 = 21 = 0,389</p><p>no de produtos sob teste 54</p><p>^</p><p>PUC Minas- Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra</p><p>Usando o mesmo cálculo para</p><p>os outros intervalos de tempo:</p><p>Intervalo</p><p>(x 100)</p><p>R(t)</p><p>(%)</p><p>0-1 96,3</p><p>1-2 87,0</p><p>2-3 68,5</p><p>3-4 38,9</p><p>4-5 22,2</p><p>5-6 09,3</p><p>6-7 01,9</p><p>7-8 0</p><p>PUC Minas- Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra</p><p>Tabela de Vida (método atuarial)</p><p>A construção de uma tabela de vida consiste em dividir</p><p>o eixo do tempo em um número arbitrário de intervalos</p><p>Supondo K+1 intervalos definidos pelos pontos de corte</p><p>t1, t2,..., tk e t0 =0. Para cada intervalo é possível definir:</p><p>Estimação na presença de censura</p><p>)/),[( 111   iii tTttTPq</p><p>Onde qi é a probabilidade de um item falhar no intervalo</p><p>sabendo-se que ele não falhou até t i-1</p><p>),[ 1 ii tt </p><p>PUC Minas- Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra</p><p>Exemplo:</p><p>10 20 30 40 50</p><p>100</p><p>80</p><p>60</p><p>40</p><p>20</p><p>R (t) %</p><p>^</p><p>tempo</p><p>- O número e a amplitude dos intervalos são escolhidos arbitrariamente</p><p>- O uso de poucos intervalos levará a uma aproximação grosseira</p><p>PUC Minas- Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra</p><p>Estimador de Kaplan-Meier (limite-produto)</p><p>Estimação na presença de censura</p><p>R (400) =[(n1-d1)/n1] [(n2-d2)/n2]... [(nto-dto)/nto]</p><p>^</p><p>onde di = número de falhas no tempo ti</p><p>ni = número de itens sob risco (não falhou e não foi censurado)</p><p>em ti inclusive</p><p>to = maior tempo de falha menor que t</p><p>- Considera tantos intervalos de tempo quanto for o número de falhas distintas</p><p>- Os limites de intervalo de tempo são os tempos de falha da amostra</p><p>Definição Matemática:</p><p>PUC Minas- Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra</p><p>Exemplo:</p><p>Os dados apresentados abaixo representam o tempo até a ruptura de um</p><p>tipo de isolante térmico sujeito a uma tensão de estresse de 35kV.</p><p>Originalmente o teste consistiu em colocar 25 destes isolantes em</p><p>funcionamento até que 15 deles falhassem. Entretanto, após uma análise</p><p>de falha conduzida constatou-se que, para dois deles a falha havia sido</p><p>provocada por problemas no equipamento de teste (indicados por *).</p><p>Dados obtidos para os 15 itens incluindo os dois censurados (em minutos)</p><p>0,19 0,78 0,96* 1,31 2,78 3,16 4,67 4,85 6,50 7,35 8,27 12,07</p><p>32,52* 33,19 36,71</p><p>PUC Minas- Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra</p><p>0,19 25 1 0,9600</p><p>0,78 24 1 0,9200</p><p>1,31 22 1 0,8782</p><p>2,78 21 1 0,8364</p><p>3,16 20 1 0,7946</p><p>4,67 19 1 0,7528</p><p>4,85 18 1 0,7110</p><p>6,50 17 1 0,6692</p><p>7,35 16 1 0,6274</p><p>8,27 15 1 0,5856</p><p>12,07 14 1 0,5438</p><p>33,91 12 1 0,4985</p><p>36,71 11 1 0,4532</p><p>^ R(ti) ti di ni</p><p>Consideração</p><p>da ocorrência</p><p>de censura</p><p>x1=[(n1-d1)/n1] =24/25</p><p>x2=[(n2-d2)/n2] * x1</p><p>x2=23/24 * 0,9600</p><p>PUC Minas- Disciplina Confiabilidade</p><p>de Produtos e Processos - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra</p><p>0,19 25 1 0,9600</p><p>0,78 24 1 0,9200</p><p>1,31 22 1 0,8782</p><p>2,78 21 1 0,8364</p><p>3,16 20 1 0,7946</p><p>4,67 19 1 0,7528</p><p>4,85 18 1 0,7110</p><p>6,50 17 1 0,6692</p><p>7,35 16 1 0,6274</p><p>8,27 15 1 0,5856</p><p>12,07 14 1 0,5438</p><p>33,91 12 1 0,4985</p><p>36,71 11 1 0,4532</p><p>^ R(ti) ti di ni</p><p>Consideração</p><p>da ocorrência</p><p>de censura</p><p>x1=[(n1-d1)/n1] =24/25</p><p>x2=[(n2-d2)/n2] * x1</p><p>x2=23/24 * 0,9600</p><p>PUC Minas- Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra</p><p>1,000</p><p>0,9600</p><p>0,9200</p><p>0,8782</p><p>0,8364</p><p>0,7946</p><p>0,7528</p><p>0,7110</p><p>0,6692</p><p>0,6292</p><p>0,5856</p><p>0,5438</p><p>0,4985</p><p>0,4532</p><p>R (t) %</p><p>^</p><p>tempo</p><p>0 0,19 0,78 1,31 2,78 3,16 4,67 4,85 6,5 7,35 8,27 12,07 33,91 36,71</p><p>PUC Minas- Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra</p><p>Universo amostral = lançamento de dois dados</p><p>número 2 P (2) = 1/ 36</p><p>número 3 P (3) = 2/ 36</p><p>Se um variável x pode assumir um conjunto de valores x1, x2, ...xk</p><p>com probabilidades p1, p2, ...pk sendo p1 + p2, ...+pk =1 define-se</p><p>uma distribuição de probabilidade discreta de x</p><p>Técnicas paramétricas</p><p>Modelos de Distribuição de Variável Discreta</p><p>Exemplo:</p><p>PUC Minas- Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra</p><p>Função Densidade de Probabilidade (fdp)</p><p>f(x)</p><p>6/36</p><p>1/36</p><p>1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x</p><p>x</p><p>1</p><p>2</p><p>3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13</p><p>f (x)</p><p>0</p><p>1/36</p><p>2/36</p><p>3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 0</p><p>Cálculo da probabilidade para cada elemento do universo amostral</p><p>PUC Minas- Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra</p><p>Distribuição Binomial [Lafraia, 2001]</p><p>Descreve a situação em que só há dois resultados possíveis,</p><p>como falha ou não falha, e a probabilidade se mantém a</p><p>mesma para todas as tentativas. A fdp é dada por:</p><p>)(</p><p>)!(!</p><p>!</p><p>)( xnxqp</p><p>xnx</p><p>n</p><p>xf </p><p></p><p></p><p>onde n= quantidade de itens da amostra</p><p>x= itens bons</p><p>n-x =itens defeituosos</p><p>p= probabilidade de se obter um item bom</p><p>q= probabilidade de se obter um item defeituoso</p><p>PUC Minas- Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra</p><p>Distribuição de Poisson [Lafraia, 2001]</p><p>Eventos ocorrem a taxa média constante com somente dois resultados</p><p>Possíveis. Pode ser considerada uma variação da distribuição de binomial</p><p>quando n tende a infinito</p><p>)exp(</p><p>!</p><p>)( </p><p></p><p></p><p>x</p><p>xf</p><p>x</p><p>)exp(</p><p>!</p><p>)( np</p><p>x</p><p>np</p><p>xf</p><p>x</p><p></p><p>onde x= itens bons</p><p>= taxa de ocorrência</p><p>PUC Minas- Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra</p><p>Modelos de Distribuição de Variável Contínua</p><p>0 10 20 30 40 50 60 70 80</p><p>9</p><p>2</p><p>4</p><p>5</p><p>10</p><p>16</p><p>7</p><p>tempo (x 10 horas)</p><p>am</p><p>p</p><p>li</p><p>tu</p><p>d</p><p>e</p><p>0 10 20 30 40 50 60 70 80</p><p>9</p><p>2 2</p><p>3 4</p><p>11</p><p>15</p><p>8</p><p>tempo (x 10 horas)</p><p>am</p><p>p</p><p>li</p><p>tu</p><p>d</p><p>e</p><p>1</p><p>-Um único diagrama mostrando</p><p>a combinação de várias amostras</p><p>- Diminuindo o intervalo de medição</p><p>...amostra aleatórias dão origem a histogramas diferentes</p><p>Distribuição de Variável Contínua</p><p>PUC Minas- Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra</p><p>Sabe-se que existem comportamentos diferenciados para representar a</p><p>duração de vida de componentes ou sistemas distintos</p><p>Necessidade de considerar modelos estatísticos diferentes, funções</p><p>de probabilidade distintas para analisar a confiabilidade em cada caso particular.</p><p>Importância da escolha da distribuição de probabilidade que melhor descreve</p><p>o comportamento do tempo de falha do produto sob teste</p><p>Um modelo inadequado levará a erros grosseiros</p><p>Modelos Probabilísticos para o Tempo de Falha</p><p>PUC Minas- Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra</p><p>Distribuição Exponencial</p><p>- É uma das mais simples em termos matemáticos</p><p>-Caracteriza- se por ter uma taxa de falhas constante; situações em que</p><p>as falhas ocorrem de forma aleatória com uma taxa fixa e sem um</p><p>mecanismo de desgaste ou degradação expressivo (propriedade de falta</p><p>de memória)</p><p>Exemplo de aplicação: descreve adequadamente o tempo de</p><p>vida de óleos isolantes, dielétricos, dentre outros.</p><p>PUC Minas- Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra</p><p>Distribuição Weibull</p><p>-Proposta por W. Weibull em 1954 em estudos relacionados</p><p>ao tempo de fadiga de metais</p><p>-Apresenta grande variedade de formas</p><p>-Utilizada para descrever o tempo de vida de produtos industriais,</p><p>produtos ou sistemas formados por várias partes (elementos) cuja falha</p><p>ocorre quando a primeira parte falhar</p><p>-Propriedade básica: função de taxa monótona</p><p>(crescente, decrescente ou constante)</p><p>Exemplo de aplicação: descreve adequadamente</p><p>o tempo de vida de mancais, componentes eletrônicos,</p><p>cerâmicas, capacitores e dielétricos</p><p>PUC Minas- Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra</p><p>Distribuição Log-Normal</p><p>- Descreve tempos de vida de componentes semicondutores</p><p>cujos mecanismos de falha envolvem interações químicas</p><p>(processos de corrosão, acúmulo superficial de cargas elétricas,</p><p>degradação de contatos, etc)</p><p>- Descreve mecanismos de falha por fadiga em materiais</p><p>PUC Minas- Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra</p><p>Como escolher o modelo adequado?</p><p>-Evidências provenientes de testes realizados no passado</p><p>(conhecimento a priori )</p><p>-Solução basicamente empírica: ajustar um modelo e comparar os</p><p>valores estimados e observados buscando o que melhor reproduz</p><p>(“explica”) os dados amostrais.</p><p>PUC Minas- Disciplina Confiabilidade de Produtos e Processos - Profa: Alessandra Lopes Carvalho, Dra</p>