ime_ita_apostila_matematica_vol_6 pdf

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<p>Conjuntos</p><p>MATEMÁTICA I ASSUNTO</p><p>1</p><p>5ITA – Vol. 6</p><p>ExErcícios</p><p>01 No conjunto U = {101, 1.001, 10.001,..., 1.000.000.000.001}, cada</p><p>elemento é um número formado pelo algarismo 1 nas extremidades e por</p><p>algarismos 0 entre eles. A quantidade de números compostos em U:</p><p>(A) é igual a 11.</p><p>(B) é igual a 4.</p><p>(C) é menor do que 3.</p><p>(D) é maior do que 4 e menor do que 11.</p><p>(E) é igual a 3.</p><p>02 	Considere	as	seguintes	afirmações	sobre	o	conjunto	X = {x ∈  –</p><p>|x2 ≤	2}:</p><p>I. ∈2 .X</p><p>II. {x ∈ |x2	≤	0}	∩ X é enumerável.</p><p>II. Todo número da forma n n, com 3≥n , pertence a X.</p><p>Está(ão)	correta(s)	apenas	a(s)	seguinte(s)	afirmativa(s):</p><p>(A) I.</p><p>(B) I e II.</p><p>(C) I e III.</p><p>(D) II.</p><p>(E) II e III.</p><p>03 	Analise	as	afirmativas	abaixo	sobre	conjuntos:</p><p>I. A ⊂ B ∪ C ⇒ A ⊂ B ou A ⊂ C.</p><p>II. Se A, B ⊂ X, então (X \ A) \ (X \ B)= B \ A.</p><p>III.	 O	sistema	composto	das	equações	A ∪ X = A ∪ B e A ∩ X = ∅</p><p>possui	mais	de	uma	solução	para	x.</p><p>Está(ão)	correta(s)	apenas	a(s)	seguinte(s)	afirmativa(s):</p><p>(A) I.</p><p>(B) I e II.</p><p>(C) I e III.</p><p>(D) II.</p><p>(E) II e III.</p><p>04 	Para	cada	subconjunto	A de {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, seja p(A) o</p><p>produto de seus elementos. Por exemplo, { }( ) =  1, 2, 4, 5    40p e p(A) = 10!.</p><p>Por	convenção,	adote	 ( ) 1∅ =p . A soma de todos os 210 produtos dos</p><p>elementos	dos	subconjuntos	de	A é igual a:</p><p>(A) 211.</p><p>(B) 11!.</p><p>(C) 1111.</p><p>(D) 211!.</p><p>(E) 112!.</p><p>05 Sejam A e B conjuntos disjuntos tais que n(A) = 5 e n(B) = 7. Quantos</p><p>subconjuntos	não	vazios	C ⊂ A ∪ B são tais que n(A ∩ C) = n(B ∩ C )?</p><p>(A) 790.</p><p>(B) 791.</p><p>(C) 792.</p><p>(D) 793.</p><p>(E) 794.</p><p>06 Seja S	um	conjunto	não	vazio	que	satisfaz	as	condições:</p><p>I. 2 ∉ S;</p><p>II. Se a ∈ S, então ∈</p><p>−</p><p>1</p><p>2</p><p>S</p><p>a</p><p>.</p><p>Prove que, para todo n natural maior ou igual a 3, ∉</p><p>−1</p><p>n</p><p>S</p><p>n</p><p>.</p><p>07 	Dados	 os	 conjuntos	 não	 vazios	A, B e C, tais que A ⊂ B ⊂ C,</p><p>n(A) + n(B) + n(C) = 27 e n(A) ≠ n(B) ≠ n(C), determine o maior número</p><p>possível de elementos de A:</p><p>(A) 7.</p><p>(B) 8.</p><p>(C) 9.</p><p>(D) 10.</p><p>(E) 11.</p><p>08 Sejam:</p><p>A = {n ∈  | n é a soma de 7 inteiros consecutivos};</p><p>B = {n ∈  | n é a soma de 8 inteiros consecutivos};</p><p>C = {n ∈  | n é a soma de 9 inteiros consecutivos}.</p><p>Determine o conjunto A ∩ B ∩ C.</p><p>09 Seja X um conjunto com 8 elementos inteiros positivos e consecutivos.</p><p>Esse conjunto foi particionado em dois outros conjuntos A e B disjuntos</p><p>com as mesmas quantidades de elementos. Se a soma dos quadrados dos</p><p>elementos de A é igual à soma dos quadrados dos elementos de B, então</p><p>mostre que a soma dos elementos de A é igual à soma dos elementos de B.</p><p>10 	Determine	todos	os	conjuntos	finitos	de	elementos	naturais	não	nulos</p><p>S tais que, se i e j pertencem a S, então</p><p>( )</p><p>+</p><p>,</p><p>i j</p><p>i j</p><p>também	pertence	a	S.</p><p>Notação:	(	i, j ) representa o maior divisor comum entre i e j.</p><p>11 Seja S = {1, 2, 3,..., 1.982}. Determine o número máximo de</p><p>elementos de um conjunto A tal que:</p><p>• A ⊂ S;</p><p>• não existem três números x, y,	z	∈ A tais que xy = z.</p><p>12 	Existe	um	conjunto	infinito	de	pontos	não	colineares	no	plano	tais	que</p><p>a distância entre quaisquer dois pontos seja um número racional?</p><p>13 Considere Xk como um conjunto de números complexos z que</p><p>satisfazem	 z k – 1 = 0, com m ∈ , m	≥	1. Determine o conjunto</p><p>Xm ∩ Xn, para números m, n ∈ .</p><p>14 Seja Hn o conjunto de todos os números da forma 2 2 2± ±…± ,</p><p>em	que	o	sinal	de	 raiz	quadrada	aparece	n	vezes.	Prove	que	 todos	os</p><p>elementos de Hn são reais e calcule o produto de todos os elementos de Hn .</p><p>15 Seja 2 o conjunto de todos os pontos de coordenadas inteiras do plano</p><p>cartesiano. Nesse conjunto, cada ponto foi pintado de uma cor dentre três</p><p>disponíveis,	e	sabe-se	que	todas	as	três	cores	foram	utilizadas.	Mostre</p><p>que	sempre	existe	um	subconjunto	de	pontos	{P1P2P3} ⊂ 2 tal que o</p><p>ângulo </p><p>1 2 3P P P é reto.</p><p>Funções</p><p>MATEMÁTICA I ASSUNTO</p><p>2</p><p>6 ITA – Vol. 6</p><p>ExErcícios</p><p>01 	Considere	as	afirmativas	abaixo	sobre	funções	f e g	reais	de	variável</p><p>real:</p><p>I.	 Se	uma	função	f é	crescente	em	todo	o	domínio,	então	ela	é	sobrejetora.</p><p>II. Se f e g	são	injetoras,	então	f + g	é	injetora.</p><p>III. Se f	é	uma	função	crescente	em	todo	o	domínio	e	g	é	uma	função	par,</p><p>então	pode-se	afirmar	que	f  g	é	par	e	f–1	é	decrescente.</p><p>Então,	está(ão)	correta(s)	a(s)	afirmativa(s):</p><p>(A)	 I	e	II.</p><p>(B)	 I	e	III.</p><p>(C)	 II	e	III.</p><p>(D)	Todas	as	afirmativas	estão	corretas.</p><p>(E)	 n.r.a.</p><p>02 	Dadas	as	afirmativas:</p><p>I.	 A	função	f(x)	=	|x	–	1|+|x	–	4|	possui	um	número	nulo	ou	finito</p><p>de	interseções	com	qualquer	reta	da	forma	y	=	c,	c ∈ .</p><p>II.	 A	 função	g(x)	=	|x	–	2.015|+|x	 	–	2.016|+|x	–	2.017|possui</p><p>um	número	nulo	ou	finito	de	interseções	com	qualquer	reta	da	forma</p><p>y	=	c,	c ∈ .</p><p>III.	 Qualquer	função	da	forma	 f(x)	=	|x – a|+|x – b|+|x – c|,	para</p><p>{a,	b,	c} ⊂ 	distintos	dois	a	dois,	é	simétrica	em	relação	ao	eixo</p><p>x	=	b.</p><p>Então,	está(ão)	correta(s)	apenas	a(s)	afirmativa(s):</p><p>(A)	 I.</p><p>(B)	 II.</p><p>(C)	 III.</p><p>(D)	 I	e	II.</p><p>(E)	 II	e	III.</p><p>03 	Determine	 o	 número	 de	 asserções	 verdadeiras	 dentre	 as	 que	 se</p><p>seguem,	sobre	a	função	f(x)	=	xx:</p><p>I.	 A	função	f	admite	inversa	quando	definida	de	*</p><p>+	em	.</p><p>II. Para x	>	0,	f admite	mínimo	no	intervalo</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>1 1</p><p>,</p><p>5 2</p><p>.</p><p>III.	 Sabe-se	que	quando	x	se	aproxima	de	0,	f(x)	se	aproxima	de	1	e,	por</p><p>isso,	a	definição	formal	do	valor	de	00 é 1.</p><p>IV. Sendo A	=	[1,+∞),	a	função	f	definida	de	A	em	A	é	bijetora.</p><p>(A)	 1.</p><p>(B)	 2.</p><p>(C)	 3.</p><p>(D) 4.</p><p>(E)	 0.</p><p>04 	Sejam	 f,	g e h	 funções	 reais	de	variável	 real	definidas	no	domínio</p><p>[0,	 1]	 por	 −= +</p><p>2 2</p><p>( ) x xf x e e ,	 −= +</p><p>2 2</p><p>( ) x xg x xe e e −= +</p><p>2 22( ) x xh x x e e .</p><p>Se a,	b e c	são	os	valores	máximos	absolutos	de	 f, g e h	no	domínio</p><p>dado,	então:</p><p>(A)	 a	=	b e c	≠	b.</p><p>(B)	 a > c e a	≠	b.</p><p>(C)	a	≠	b e a > c.</p><p>(D)	a < b < c.</p><p>(E)	 a	=	b	=	c.</p><p>05 	Seja	a	função	f(x)	=	1	+	2x	+	3x2 + 4x3.	Seja	S	a	soma	das	raízes</p><p>reais de f(x).	Então,	S	pertence	ao	intervalo:</p><p>(A)	  − </p><p> </p><p>1</p><p>, 0</p><p>4</p><p>.</p><p>(B)	  − </p><p> </p><p>3</p><p>11,</p><p>4</p><p>.</p><p>(C)	  − − </p><p> </p><p>3 1</p><p>,</p><p>4 2</p><p>.</p><p>(D)	  </p><p> </p><p> </p><p>1</p><p>0,</p><p>4</p><p>.</p><p>(E)	  </p><p> </p><p> </p><p>1</p><p>, 1</p><p>4</p><p>.</p><p>06 	Seja	f:	 →  definida	por	f(x)=	|x2 –	1||x|.	O	número	total	de	pontos</p><p>em	que	f	atinge	um	máximo	local	ou	um	mínimo	local	é:</p><p>(A)	 1.</p><p>(B)	 2.</p><p>(C)	 3.</p><p>(D)	4.</p><p>(E)	 5.</p><p>07 	Seja	f:	 →  	uma	função	que	satisfaz	as	seguintes	condições:</p><p>I. ( ) = +0, 1f x x</p><p>II. ( ) ( )+ =1, 0 , 1f x f x</p><p>III. ( ) ( )( )+ + = +1, 1 , 1,f x y f x f x y</p><p>O	valor	de	f	(3,	1.997)	é:</p><p>(A)	 21.997	–	3.</p><p>(B)	 22.000	–	3.</p><p>(C)	 31.997.</p><p>(D)	1.</p><p>(E)	 21.999	–	3.</p><p>MATEMÁTICA I</p><p>Assunto 2</p><p>Funções</p><p>7ITA – Vol. 6</p><p>08 	Dado	que	 : → f 	é	uma	função	injetiva	tal	que,	para	todos	x e y</p><p>reais,	f(x + f	(y))	=	2.012	+	f	(x + y),	calcule	f(2.013).</p><p>(A)	 1.</p><p>(B)	 2.013.</p><p>(C)	 2.016.</p><p>(D)	4.025.</p><p>(E)	 4.026.</p><p>09 	Seja	 *:f →  	uma	função	que	satisfaz	 =</p><p>( )</p><p>( )</p><p>f x</p><p>f xy</p><p>y</p><p>,	para	todos</p><p>x e y reais	no	domínio.	Sabendo-se	que	f(2.012)	=	1,	determine	o	valor</p><p>de f(2.016).</p><p>(A)	 4.</p><p>(B)	 2.016.</p><p>(C)</p><p>504</p><p>503</p><p>.</p><p>(D)</p><p>503</p><p>504</p><p>.</p><p>(E)</p><p>503</p><p>508</p><p>.</p><p>10 	Uma	função	f:	 →  é	definida	de	modo	que	f(x)	·	f(y)	=	f(x + y)</p><p>para	todos	os	reais	x e y,	e	f(1)	=	2.	Dado	a ∈ ,	sabe-se	que:</p><p>=</p><p>+ = −∑</p><p>1</p><p>( ) 16(2 1)</p><p>n</p><p>n</p><p>k</p><p>f a k</p><p>Então,	o	valor	de	a	é:</p><p>(A)	 1.</p><p>(B)	 2.</p><p>(C)	 3.</p><p>(D)	4.</p><p>(E)	 5.</p><p>11 	Seja	uma	função	f:	 →  que	satisfaz	f(f(x))	=	2x – 1	para	todo	x</p><p>real.	O	valor	de	f(0)	+	f(1)	é:</p><p>(A)	 1.</p><p>(B)	 2.</p><p>(C)	 3.</p><p>(D)	7.</p><p>(E)	 15.</p><p>12 	Seja	uma	função	não	constante	f:	 → 	tal	que</p><p>+</p><p>+ =</p><p>+</p><p>( ) ( )</p><p>( )</p><p>1 ( ) ( )</p><p>f x f y</p><p>f x y</p><p>f x f y</p><p>,</p><p>para	quaisquer	reais	x e y.	Sobre	as	afirmativas:</p><p>I. =( ) tanf x x	é	uma	possível	função.</p><p>II. − < <1 ( ) 1f x .</p><p>III. f é	uma	função	ímpar.</p><p>Esta(ão)	correta(s)	apenas	a(s)	afirmativa(s):</p><p>(A)	 I.</p><p>(B)	 I	e	II.</p><p>(C)	 I	e	III.</p><p>(D)	 II.</p><p>(E)	 II	e	III.</p><p>13 	Sobre	a	função	f(x)=|x	–	1|+|x	–	3|+|x	–	5|+|x	–	7|,	podemos</p><p>afirmar:</p><p>I.	 O	domínio	mais	amplo	de f é .</p><p>II. f	é	decrescente	no	intervalo	( )−∞, 3 .</p><p>III. f é	injetora.</p><p>Esta(ão)	correta(s)	apenas	a(s)	afirmativa(s):</p><p>(A)	 I.</p><p>(B)	 I	e	II.</p><p>(C)	 I	e	III.</p><p>(D)	 II.</p><p>(E)	 II	e	III.</p><p>14 	Seja	f	uma	função	de		em	 tal	que</p><p>(x – y)(x + y)	–	(x + y)	f(x – y)	=	(6x2y + 2y3)(x2 – y2).</p><p>de	120°;	e	a	3a,	em	4	quadrantes	circulares.</p><p>Sendo	V1,	V2	e	V3	os	volumes	somados	dos	cones	obtidos	a	partir	das</p><p>1a,	2a e 3a	chapas	circulares,	nessa	ordem,	podemos	afirmar	que:</p><p>(A)	 V1	<	V2	<	V3.</p><p>(B)	 V1	=	V2	=	V3.</p><p>(C)	V1	>	V2	>	V3.</p><p>(D)	V1	=	V2	>	V3.</p><p>(E)	 V1	<	V2	=	V3.</p><p>19 	Qual	é	a	razão	entre	as	áreas	das	superfícies	de	um	cone	circular	reto</p><p>e	de	um	cilindro	circular	reto,	ambos	inscritos	em	um	cubo?</p><p>20 	Quatro	esferas	idênticas	de	raio	R	se	tangenciam	mutuamente.	Calcule</p><p>a	razão	entre	os	raios	das	esferas	menor	e	maior	possíveis	que	tangenciam</p><p>as	quatro	simultaneamente.</p><p>21 	Considere	uma	esfera	de	raio	6	cm,	e	um	ponto	P	externo	a	ela.	Calcule</p><p>o	volume	do	sólido	obtido	entre	a	superfície	esférica	e	a	superfície	gerada</p><p>pelos	segmentos	tangentes	à	esfera	a	partir	de	P.</p><p>22 	Duas	esferas	de	raios	iguais	a	10	cm	e	17	cm	são	secantes,	já	que</p><p>seus	centros	distam	21	cm.	Calcule	a	área	da	menor	calota	contida	em</p><p>uma	das	esferas,	determinada	pela	interseção	delas.</p><p>23 	Uma	calota	esférica	possui	área	igual	à	área	da	superfície	total	de	uma</p><p>cunha	de	diedro	30°,	obtida	na	mesma	esfera	que	a	calota.	Determine	a</p><p>razão	entre	o	raio	da	base	da	calota	e	a	sua	altura.</p><p>(A)	 1	:	1.</p><p>(B)	 1	:	2.</p><p>(C)	 1	:	3.</p><p>(D)	1	:	 2.</p><p>(E)	 1	:	2 2.</p><p>24 ABCD	é	um	quadrado	 inscrito	em	um	círculo	de	centro	O	e	 raio	 r.</p><p>Prolonga-se	o	lado	BC	até	intersectar	em	P	a	tangente	em	A	ao	círculo.</p><p>Calcule	o	volume	do	sólido	obtido	pela	rotação	da	figura	formada	pelos</p><p>segmentos	AP e PB	e	o	arco	menor	AB	em	torno	do	diâmetro	AC.</p><p>25 	Inscreve-se	um	cubo	em	um	cone	de	revolução,	cujo	raio	da	base</p><p>mede	 2 2 cm	e	cuja	altura	mede	6	cm.	Determine	a	distância	entre	o</p><p>vértice	do	cone	e	o	centro	do	cubo.</p><p>(A)	 4,8	cm.</p><p>(B)	 4,4	cm.</p><p>(C)	 4,2	cm.</p><p>(D)	4	cm.</p><p>(E)	 3,6	cm.</p><p>26 	Em	um	cone	de	 revolução,	 inscreve-se	uma	esfera	de	 raio	 igual	a</p><p>10	cm.	Toma-se	outra	esfera,	 tangente	à	primeira	e	à	superfície	 lateral</p><p>do	cone,	de	volume	igual	a	um	oitavo	da	primeira.	Quanto	mede	a	altura</p><p>desse	cone?</p><p>(A)	 30	cm.</p><p>(B)	 35	cm.</p><p>(C)	 40	cm.</p><p>(D)	45	cm.</p><p>(E)	 50	cm.</p><p>27 	Uma	pirâmide	regular	de	9	faces	é	tal	que	suas	arestas	laterais	medem</p><p>5	cm	e	sua	aresta	básica	mede	 −4 2 2 cm.	Determine	o	volume	da</p><p>pirâmide,	em	cm³.</p><p>28 	Toma-se	uma	esfera	de	raio	R,	e	um	cubo	cujas	arestas	são	todas</p><p>tangentes	à	esfera.	As	faces	do	cubo	determinam	na	esfera	calotas	de</p><p>altura h.	Calcule:</p><p>a. h	em	função	de	R;</p><p>b.	 o	volume	da	porção	externa	ao	cubo	e	interna	à	esfera.</p><p>MATEMÁTICA IV</p><p>Assunto 2</p><p>Geometria espacial</p><p>37ITA – Vol. 6</p><p>MATEMÁTICA IV</p><p>Assunto 2</p><p>38 ITA – Vol. 6</p><p>Suponha	que	f(1)	=	–999.	Determine	o	valor	de	f(11).</p><p>(A)	 17.391.</p><p>(B)	 13.791.</p><p>(C)	 28.380.</p><p>(D)	19.231.</p><p>(E)	 18.827.</p><p>15 	Sobre	a	função	 =</p><p>−</p><p>1</p><p>( )</p><p>1</p><p>f x</p><p>x</p><p>,	no	domínio	real	mais	amplo	possível,	e</p><p>sendo fn(x)	=	f(fn–1(x)),	com	f1(x)	=	f(x),	são	feitas	as	afirmativas:</p><p>I. f(x)e	f(f(x))	são	injetivas.</p><p>II.	 A	função	g(x)	=	f3k+1(x)+	f3k+2(x)	não	possui	raízes	reais,	para	k e t</p><p>naturais.</p><p>III. −</p><p>+ +=1</p><p>3 1 3 2)( ( )n nf x f x ,	para	todo	n	natural.</p><p>Está(ão)	correta(s):</p><p>(A)	 as	afirmativas	I	e	II.</p><p>(B)	 as	afirmativas	I	e	III.</p><p>(C)	 as	afirmativas	II	e	III.</p><p>(D)	apenas	a	afirmativa	II.</p><p>(E)	 todas	as	afirmativas.</p><p>16 	Encontre	a	imagem	da	função	f:	 → 	definida	por</p><p>+ +</p><p>=</p><p>+ +</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>( )</p><p>1</p><p>x x</p><p>f x</p><p>x x</p><p>.</p><p>(A)	 ( )1,∞ .</p><p>(B)</p><p>11</p><p>1,</p><p>7</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>.</p><p>(C)	 7</p><p>1,</p><p>3</p><p> </p><p>  </p><p>.</p><p>(D)</p><p>7</p><p>1,</p><p>5</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>.</p><p>(E)	 n.r.a.</p><p>MATEMÁTICA I</p><p>Assunto 2</p><p>8 ITA – Vol. 6</p><p>17 	Determine	o	domínio	da	função	 − π</p><p>= +1( ) sen (2 )</p><p>6</p><p>f x x 	para	valores</p><p>reais de x.</p><p>(A)	  −  </p><p>1 1</p><p>,</p><p>4 2</p><p>.</p><p>(B)</p><p> −  </p><p>1 1</p><p>,</p><p>2 2</p><p>.</p><p>(C)	  −  </p><p>1 1</p><p>,</p><p>4 4</p><p>.</p><p>(D)</p><p> − </p><p> </p><p>1 1</p><p>,</p><p>2 9</p><p>.</p><p>(E)</p><p> − </p><p> </p><p>1</p><p>, 1</p><p>2</p><p>.</p><p>18 	Considerando-se	 a	 função	 clássica	 f(x)	=	arcsen	 x	 e	 sua	 inversa</p><p>g(x)=	f–1(x),	pode-se	afirmar	que	os	gráficos	de	f  g e g  f	são:</p><p>(A)	 iguais.</p><p>(B)	 diferentes,	mas	o	de	f  g está	contido	no	de	g  f.</p><p>(C)	 diferentes,	mas	o	de	g  f	está	contido	no	de	f  g.</p><p>(D)	diferentes	e	de	interseção	com	um	número	finito	de	pontos.</p><p>(E)	 diferentes	e	de	interseção	vazia.</p><p>19 	À	medida	que	x	varia	no	intervalo	(0,+∞),	a	função</p><p>( ) 2 29 173 900 9 77 900= + + − + +f x x x x x</p><p>varia	no	intervalo	(0,	m).	Portanto,	m	vale:</p><p>(A)	 9.</p><p>(B)	 16.</p><p>(C)	 17.</p><p>(D)	77.</p><p>(E)	 n.r.a.</p><p>20 	Dada	a	função	 =</p><p>+</p><p>( )</p><p>3</p><p>x</p><p>x</p><p>a</p><p>f x</p><p>a</p><p>,	determine	o	valor	de</p><p>=</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>∑</p><p>2.000</p><p>1 2.001i</p><p>i</p><p>f</p><p>(A)	 1.</p><p>(B)	 1.000.</p><p>(C)	 2.000.</p><p>(D)</p><p>1</p><p>2.001</p><p>.</p><p>(E)	 2.001.</p><p>21 	Dentre	 as	 opções	 abaixo,	 pode-se	 classificar	 como	 verdadeira</p><p>a	afirmação:</p><p>(A)	 A	função	f :	2 × 2 → 	definida	por	f(P,	Q)	=	x1x2 + x2y2,	com</p><p>P	=	(x1x1)	∈  e Q = (x2y2)	∈ ,	é	injetora.</p><p>(B)	 A	função	g :	2</p><p>→ 	definida	por	g(x,	y) =	x + y	é	bijetora.</p><p>(C)	A	função	h :	 → 	definida	por	 ( ) 2</p><p>= xh x xe 	tem	gráfico	no	plano</p><p>cartesiano	sempre	acima	do	gráfico	da	função	real	f(x)	=	x3.</p><p>(D)	Para	 todo	 ponto	P	 do	 gráfico	 da	 função	s :  → 	 definida	 por</p><p>s(x)	=	sen|x|,	com	exceção	de	um,	a	equação	da	reta	tangente	à	s</p><p>em	P	pode	ser	escrita	como	y	=	ax + b,	com	{a,	b} ⊂ .</p><p>(E)		n.r.a.</p><p>22 	Seja	n	um	número	inteiro	positivo	ímpar	e	sejam	x1, x2, ..., xn reais</p><p>distintos.	O	número	de	funções	injetivas	f :	{x1, x2, ..., xn}→{x1, x2, ..., xn}</p><p>que	satisfazem	|f(x1)	–	x1|=|f(x2)	–	x2|=...=|f(xn)	–	xn|	é:</p><p>(A)	 0.</p><p>(B)	 1.</p><p>(C)	 2.</p><p>(D)	4.</p><p>(E)	 infinito.</p><p>23 	Decida	a	veracidade	das	seguintes	afirmativas:</p><p>I.	 Para	cada	função	f :	 → 	definida	por	fm (x)	=	mx + 1,	com	m ∈ ,</p><p>seja	Im	o	conjunto	de	pontos(x,	y)	∈ 2	que	pertencem	ao	gráfico	da</p><p>função	fm.	Então:</p><p>2</p><p>∈</p><p>=</p><p></p><p>k</p><p>k</p><p>I</p><p></p><p></p><p>II.	 A	 função	 =</p><p>+ 2( )</p><p>1</p><p>x</p><p>f x</p><p>x</p><p>definida	 em		 no	 contradomínio	 (–1,	 1)	 é</p><p>sobrejetora.</p><p>III.	 A	 imagem	da	 função</p><p>+</p><p>=</p><p>−</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>( )</p><p>1</p><p>x</p><p>f x</p><p>x</p><p>,	 definida	em	seu	domínio	mais</p><p>amplo,	é	o	conjunto	(–∞,	–1)∪(1,	+∞).</p><p>O	número	de	afirmações	verdadeiras	é:</p><p>(A)	 0.</p><p>(B)	 1.</p><p>(C)	 2.</p><p>(D)	3.</p><p>(E)	 4.</p><p>24 	Sobre	a	função	de	variável	real	 =</p><p>+</p><p>( )</p><p>1</p><p>x</p><p>f x</p><p>x</p><p>,	é	correto	afirmar	que:</p><p>(A)	 É	par	e	sobrejetora	no	contradomínio	.</p><p>(B)	 É	ímpar	e	injetora	e	não	sobrejetora.</p><p>(C)	 É	sobrejetora	no	contradomínio	(–2,	2),	mas	não	é	injetora.</p><p>(D)	É	par	e	injetora.</p><p>(E)	 É	sobrejetora	no	contradomínio	(–1,	1)	e	injetora.</p><p>25 	Sobre	a	função	f(x)	=	sen	x,	analise	as	afirmações:</p><p>I. Para</p><p>π ∈ </p><p> </p><p>0,</p><p>2</p><p>x ,	π sen > f (x).</p><p>II.</p><p>2 3</p><p>2 2 2</p><p>7 7 7</p><p>π π π     + + ≤     </p><p>     </p><p>f f f .</p><p>III. Para x ∈ (0,	π),	então	 ( )</p><p>2</p><p>4</p><p>    − >    π π     </p><p>x x</p><p>f x .</p><p>O	número	de	afirmações	verdadeiras	é	igual	a:</p><p>(A)	 0.</p><p>(B)	 1.</p><p>(C)	 2.</p><p>(D)	3.</p><p>MATEMÁTICA I</p><p>Assunto 2</p><p>Funções</p><p>9ITA – Vol. 6</p><p>26 	Sejam	 as	 funções	 f : 2 → 2 e g : 2 →  definidas	 por</p><p>f(x, y)	=(ex cos y, ex sen y)	e	g(x,	y)	=	x2 + y2.	Então,	sendo	f  g	a	função</p><p>composta	de	f	com	g,	e	lm(f)	a	imagem	da	função	f,	podemos	afirmar	que:</p><p>(A)	 f	é	injetora.</p><p>(B)	g é	sobrejetora.</p><p>(C)	 f  g	é	bijetora.</p><p>(D)	 Im(g  f)	⊂ Im (g).</p><p>(E)	 n.r.a.</p><p>27 	O	valor	máximo	da	função	 = +</p><p>+ − +</p><p>1 1</p><p>( )</p><p>1 4 1</p><p>f x</p><p>x x</p><p>é	igual	a:</p><p>(A)	 1.</p><p>(B)	 6/5.</p><p>(C)	 4/5.</p><p>(D)	3/4.</p><p>(E)	 f não	possui	máximo.</p><p>28 	Determine	todas	as	funções	exponenciais	f(x)	=	ax, 0< a ≠ 1	que</p><p>satisfazem</p><p>6f(x + 5)	+	f(x + 4) – 43f(x + 3)	–	43f(x	+	2)	+	f(x + 1)	+	6f(x)	=	0.</p><p>29 	Para	que	valores	de	x	a	função	 ( )</p><p>1</p><p>24ln · lnxf x x x= 	assume	o	valor</p><p>4 e?</p><p>30 	Seja	f	uma	função	definida	no	conjunto	dos	números	inteiros,	tal	que:</p><p>( )( )</p><p>− ≥=  + <</p><p>3,   1.000</p><p>( ) .</p><p>5 ,   1.000</p><p>n n</p><p>f n</p><p>f f n n</p><p>O	valor	do	f(84)	é:</p><p>(A)	 981.</p><p>(B)	 984.</p><p>(C)	 989.</p><p>(D)	997.</p><p>(E)	 998.</p><p>31 	Seja	f(x)	=	a2x2	–	(b2 – 2ac)	x + c2,	com	a,	b e c ∈ *</p><p>+.	Prove	que	se</p><p>existe	n ∈ 	tal	que	f(n)	=	0,	então	n	é	um	quadrado	perfeito.</p><p>32 	A	função	de		em	 definida	por	f(x)	=	x3	+ px + q	possui	três	raízes</p><p>reais	distintas.	Mostre	que	p<0.</p><p>33 	Mostre	que	não	existem	funções	f,	g:	 → 		tais	que	f(g(x))	=	x2 e</p><p>g(f(x))	=	x3	para	todo	x ∈ .</p><p>34 	Seja	f(x)	=	x2 + 2.007x	+	1.	Prove	que	para	todo	inteiro	positivo	n,	a</p><p>equação	f(f(...f(x)...))	=	0,	em	que	f	está	sendo	composta	n	vezes,	possui</p><p>pelo	menos	uma	solução	real.</p><p>35 	Suponha	que	f:(0,	+∞)	→ 	satisfaz:</p><p>I. x < y ⇒ f(x)	<	f(y).</p><p>II.   +</p><p>≥ + </p><p>2 ( ) ( )</p><p>2</p><p>xy f x f y</p><p>f</p><p>x y</p><p>,	para	todo	x,	y ∈ (0,	+∞).</p><p>Prove	que	existe	x0 ∈	(0,	+∞)	tal	que	f(x0)<0.</p><p>Equações irracionais</p><p>MATEMÁTICA I ASSUNTO</p><p>3</p><p>10 ITA – Vol. 6</p><p>01 Pa r a a e b r e a i s d i s t i n t os , a so l ução da equação</p><p>x b x a a b2 2 2 2� � � �� é:</p><p>(A) a + b.</p><p>(B) a – b.</p><p>(C) a2 + b2.</p><p>(D) a2 – b2.</p><p>02 A média aritmética das raízes da equação a x a a x+ = + − , na</p><p>incógnita x, a ∈ *</p><p>+, é um número:</p><p>(A) irracional positivo.</p><p>(B) primo ímpar.</p><p>(C) múltiplo de 12.</p><p>(D) divisor par de 30.</p><p>03 Se a ∈ *</p><p>+ é raiz da equação na incógnita y, 4 21 1y y y− − = − ,</p><p>então:</p><p>(A) 0 < a < 1</p><p>(B)</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>a< < .</p><p>(C) 3</p><p>2</p><p>2</p><p>a< < .</p><p>(D) 5</p><p>2</p><p>2</p><p>a< < .</p><p>04 A quantidade de soluções reais e dist intas da equação</p><p>3 33 33 97 5x x− + = é:</p><p>(A) 1.</p><p>(B) 2.</p><p>(C) 3.</p><p>(D) 5.</p><p>(E) 6.</p><p>05 A solução de 32 2 34 4 1 1 6 12 8x x x x x− + = − + − + no campo</p><p>dos reais é:</p><p>(A) o conjunto vazio.</p><p>(B) {1/2}.</p><p>(C) {–1/2,1/2}.</p><p>(D) [1/2,+∞[.</p><p>(E) ]–∞,+∞[.</p><p>06 Os números reais positivos a e b satisfazem a igualdade</p><p>+ = −2 2 2 2( 2 ) (9 )a a b b a b .</p><p>Um valor possível para</p><p>a</p><p>b</p><p>é:</p><p>(A)</p><p>5 2 5</p><p>2</p><p>+</p><p>.</p><p>(B) 5 3</p><p>2</p><p>+ .</p><p>(C)</p><p>3 2 3</p><p>2</p><p>+</p><p>.</p><p>(D)</p><p>3 3</p><p>2</p><p>+</p><p>.</p><p>(E)</p><p>3 5</p><p>2</p><p>+</p><p>.</p><p>07 A equação 4 3 313 217 13x x x⋅ = + − ⋅ tem uma solução inteira</p><p>positiva x1. O número de divisores inteiros positivos de x1 é:</p><p>(A) 10.</p><p>(B) 11.</p><p>(C) 12.</p><p>(D) 13.</p><p>(E) 14.</p><p>08 O quociente entre a maior e a menor raiz da equação x</p><p>x</p><p>x</p><p>9</p><p>89 17</p><p>4</p><p>� � é:</p><p>(A) 227.</p><p>(B) 232.</p><p>(C) 236.</p><p>(D) 245.</p><p>(E) 254.</p><p>09 (x ) (x )(x ) .� � � � �32 1 33 15 4</p><p>Então a diferença entre a menor e menor raiz da equação é igual a:</p><p>(A) 257 .</p><p>(B) − 257 .</p><p>(C) 34.</p><p>(D) 257.</p><p>(E) −2 257 .</p><p>10 Seja α a maior raiz real da equação 3 324 5 1.x x+ − + =</p><p>O valor de α2 + α + 1 é igual a:</p><p>(A) 83.</p><p>(B) 85.</p><p>(C) 91.</p><p>(D) 90.</p><p>(E) 95.</p><p>11 Resolva a equação − + + = −2 22 1 1 3 1nn nx x x .</p><p>MATEMÁTICA I</p><p>Assunto 3</p><p>Equações irracionais</p><p>11ITA – Vol. 6</p><p>12 Seja S o conjunto solução da equação 4 21 1x x x− − = − .</p><p>Podemos afirmar que:</p><p>(A) S possui 2 elementos.</p><p>(B) S ∩  ≠ ∅.</p><p>(C) S ∩  = ∅.</p><p>(D) S = ∅.</p><p>(E) S ⊂ *</p><p>+.</p><p>13 (OBM-2007) O conjunto dos valores de c para os quais a equação</p><p>x x c= + possui solução real está contido em:</p><p>(A) [–1, ∞[</p><p>(B) ]–∞, 1].</p><p>(C) [–3, 2].</p><p>(D) [–2, 3].</p><p>(E) .</p><p>14 Quantas raízes reais possui a equação 4 4272 6x x− + = ?</p><p>(A) 0.</p><p>(B) 1.</p><p>(C) 2.</p><p>(D) 3.</p><p>(E) 4.</p><p>15 O número de soluções reais da equação irracional</p><p>5 4 7 2</p><p>2 3 2 3</p><p>x x x</p><p>x x x x</p><p>− − +</p><p>+ =</p><p>+ + + +</p><p>é:</p><p>(A) 0.</p><p>(B) 1.</p><p>(C) 2.</p><p>(D) 3.</p><p>(E) 4.</p><p>16 Determine os valores do parâmetro real a para os quais a equação</p><p>4 16 2 2 4x a x a x− + = − + − possui raízes reais e resolva a</p><p>equação para estes valores.</p><p>17 Resolva a equação</p><p>2 8 7</p><p>7</p><p>1 1</p><p>x x</p><p>x</p><p>x x</p><p>+</p><p>+ + =</p><p>+ +</p><p>.</p><p>18 Resolva, no conjunto dos números reais, a equação</p><p>3 4 1 8 6 1 1x x x x+ − − + + − − = .</p><p>19 Resolvendo-se a equação + − = + + −26 8 1 5( 1 1 )x x x x no</p><p>intervalo</p><p>3</p><p>, 1</p><p>5</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>, encontra-se para x o valor:</p><p>(A) 0,64.</p><p>(B) 0,76.</p><p>(C) 0,88.</p><p>(D) 0,92.</p><p>(E) 0,96.</p><p>20 Determine a soma dos algarismos da solução inteira da equação</p><p>2.004 2.005 2.006 15 14 13</p><p>:</p><p>15 14 13 2.004 2.005 2.006</p><p>x x x x x x− − − − − −</p><p>+ + = + +</p><p>(A) 10.</p><p>(B) 8.</p><p>(C) 12.</p><p>(D) 16.</p><p>(E) 6.</p><p>01 Quantos são os números inteiros com os quais é possível, no</p><p>conjunto dos reais, calcular o valor numérico da expressão algébrica</p><p>2103 – –300x x ?</p><p>(A) 100.</p><p>(B) 99.</p><p>(C) 98.</p><p>(D) 97.</p><p>(E) 96.</p><p>02 A inequação paramétrica 1 1a x + < para a > 0 possui solução:</p><p>(A) − + ∞  1, .</p><p>(B)</p><p> </p><p>+ </p><p> 2</p><p>1</p><p>1, 1</p><p>a</p><p>.</p><p>(C)</p><p> </p><p>− − </p><p> 2</p><p>1</p><p>1, 1</p><p>a</p><p>.</p><p>(D)</p><p> </p><p>− − − </p><p> 2</p><p>1</p><p>1 , 1</p><p>a</p><p>.</p><p>(E)</p><p> </p><p>− + </p><p> 2</p><p>1</p><p>1, 1</p><p>a</p><p>.</p><p>03 A inequação 3 1x x x</p><p>x</p><p>− ⋅ ≤ possui conjunto solução igual a:</p><p>(A)  ∪    </p><p> </p><p>7</p><p>0, 1 , 3</p><p>3</p><p>.</p><p>(B) ∪      0, 2 1, 3 .</p><p>(C)  ∪    </p><p> </p><p>16</p><p>0, 5 , 7</p><p>3</p><p>.</p><p>(D) ∪      0, 4 5, 7 .</p><p>(E) ∅.</p><p>04 Resolva a inequação</p><p>2 1</p><p>2</p><p>4 3</p><p>42x x</p><p>� � � :</p><p>(A) �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>, .</p><p>(B) ∅.</p><p>(C) 1</p><p>4 3</p><p>3</p><p>,</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>.</p><p>(D) 2</p><p>4 3</p><p>3</p><p>,</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>.</p><p>(E)</p><p>3</p><p>3</p><p>1,</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>.</p><p>MATEMÁTICA I</p><p>Assunto 3</p><p>12 ITA – Vol. 6</p><p>05 A inequação 2 2| | 1 1y x x y− + − + − ≥ é satisfeita por pares</p><p>ordenados (x, y) ∈ 2 tal que:</p><p>(A) x + y > 1.</p><p>(B) |x|≤|y|.</p><p>(C) y = x + 1.</p><p>(D) (x – 1)2+ y2= 0.</p><p>(E) |x|+|y|> 1.</p><p>06 Se x é um número inteiro tal que 22 3 5 1x x x+ − ≤ + , o número</p><p>de elementos do conjunto solução dessa inequação é igual a:</p><p>(A) 0.</p><p>(B) 1.</p><p>(C) 2.</p><p>(D) 3.</p><p>(E) 4.</p><p>07 Resolva a inequação paramétrica 1 12� � � �x ax apara .</p><p>08 Encontre todos os valores de x tais que</p><p>( )</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1 1</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p><</p><p>+ +</p><p>.</p><p>(A) +.</p><p>(B) +</p><p>*.</p><p>(C) .</p><p>(D) –.</p><p>(E) –</p><p>*.</p><p>09 Determine para quais valores de a ∈  a inequação</p><p>22 2x x x a− ≥ − + − admite pelo menos uma solução real:</p><p>(A)  −∞ + , 2 3 .</p><p>(B)  − 2, 5 .</p><p>(C) + ∞  4, .</p><p>(D) ∀ ∈a .</p><p>(E) ∃ ∈a .</p><p>10 Para que valores de x é satisfeita a desigualdade</p><p>21 1 4</p><p>3</p><p>x</p><p>x</p><p>− −</p><p>< ?</p><p>ExErcícios</p><p>01 	O	menor	valor	inteiro	positivo	de	n	para	o	qual</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>n</p><p>i</p><p>i</p><p>+  = − </p><p>é:</p><p>(A)	 8.</p><p>(B)	 16.</p><p>(C)	 12.</p><p>(D)	20.</p><p>(E) n.r.a.</p><p>02 	Qual	é	o	lugar	geométrico,	no	plano	de	Argand-Gauss,	dos	complexos</p><p>z	tais	que	o	complexo</p><p>1 iz</p><p>z i</p><p>−</p><p>−</p><p>possui	módulo	1?</p><p>(A) Eixo	imaginário.</p><p>(B) Eixo	real.</p><p>(C) Círculo	unitário.</p><p>(D) Bissetriz	dos	quadrantes	ímpares.</p><p>(E) Eixo	real	positivo.</p><p>03 Se w	 é	 uma	 raiz	 cúbica	 de	 1,	 sendo	w ≠	 1,	 qual	 é	 o	 valor	 de</p><p>( )721 w w+ − ?</p><p>(A)	 128w.</p><p>(B)	 128w2.</p><p>(C)	 –128w.</p><p>(D)	–128w2.</p><p>(E)	 128.</p><p>04 Se z1,	z2	e	a	origem	determinam	um	triângulo	equilátero,	qual	é	o	valor</p><p>numérico	de	 1 2</p><p>2 1</p><p>?</p><p>z z</p><p>z z</p><p>+</p><p>(A)</p><p>1</p><p>.</p><p>2</p><p>−</p><p>(B)</p><p>1</p><p>.</p><p>2</p><p>(C)	 0.</p><p>(D)	–1.</p><p>(E)	 1.</p><p>05 Sejam z1	e z2	raízes	n-ésimas	da	unidade	que	determina	um	ângulo</p><p>reto	com	vértice	na	origem.	Então,	n	deve	ser	da	forma:</p><p>(A)	 4k	+	1.</p><p>(B)	 4k + 2.</p><p>(C)	 4k + 3.</p><p>(D)	4k.</p><p>(E) n.r.a.</p><p>06 	Qual	é	o	comprimento	do	lugar	geométrico	dos	afixos	dos	complexos</p><p>z	tais	que	 z i z z i z− = + e 20z ≤ ?</p><p>(A)	 20.</p><p>(B)	 40.</p><p>(C)	 20π.</p><p>(D)	40π.</p><p>(E) Não	há	comprimento,	mas	há	área.</p><p>07 Seja z x yi= + 	um	número	complexo,	sendo	x e y	números	inteiros.</p><p>Qual	é	a	área	do	retângulo	que	possui	vértices	nas	raízes	 3 3 350?zz zz+ =</p><p>(A)	 48.</p><p>(B) 32.</p><p>(C)	 40.</p><p>(D)	80.</p><p>(E)	 60.</p><p>08 	As	raízes	da	equação	z8	=	8	determinam	um	polígono	regular	no	plano</p><p>de	Argand-Gauss.	Qual	é	o	comprimento	do	lado	desse	polígono?	Escreva</p><p>sua	resposta	na	forma	 44 a b− ,	com	a e b	inteiros.</p><p>09 	Qual	o	valor	de	n em 2 32 3 ... 48 49ni i i ni i+ + + + = + ?</p><p>(A)	 24.</p><p>(B)	 48.</p><p>(C)	 49.</p><p>(D) 97.</p><p>(E)	 98.</p><p>10 Seja</p><p>6 2 6 2</p><p>.</p><p>4 4</p><p>w i</p><p>   − +</p><p>= −      </p><p>   </p><p>Qual	é	o	valor	de	lm(w6)	+	lm(w8)?</p><p>(A)</p><p>2</p><p>.</p><p>3 1</p><p>2</p><p> −</p><p>  </p><p> </p><p>(B)</p><p>2</p><p>.</p><p>3 1</p><p>2</p><p>i</p><p> −</p><p>  </p><p> </p><p>(C)</p><p>2</p><p>.</p><p>3 1</p><p>2</p><p>i</p><p> +</p><p>  </p><p> </p><p>(D)</p><p> +</p><p>  </p><p> </p><p>2</p><p>3 1</p><p>2</p><p>.</p><p>(E) n.r.a.</p><p>Complexos</p><p>MATEMÁTICA II ASSUNTO</p><p>1</p><p>13ITA – Vol. 6</p><p>11 Sejam z1	e z2	dois	complexos	distintos	e	seja	 ( ) 1 21z t z tz= − + ,	para</p><p>algum	número	real	t	tal	que	0	<	t	<	1.	Se	Arg(w)	denota	o	argumento</p><p>principal	de	um	complexo	não	nulo	w,	então	qual	das	afirmativas	abaixo</p><p>é falsa?</p><p>(A) 1 2 1 2 .z z z z z z− + − = −</p><p>(B) ( ) ( )1 2Arg Arg .z z z z− = −</p><p>(C)</p><p>− −</p><p>=</p><p>− −</p><p>1 1</p><p>2 1 12</p><p>0.</p><p>z z z z</p><p>z z z z</p><p>(D) ( ) ( )1 2 1Arg Arg .z z z z− = −</p><p>(E) Todas	acima	são	verdadeiras.</p><p>12 Seja</p><p>π π</p><p>= + ⋅</p><p>2 2</p><p>cos sen</p><p>3 3</p><p>w i .	 Qual	 é	 a	 quantidade	 de	 complexos</p><p>distintos z	tais	que</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1 0</p><p>1</p><p>z w w</p><p>w z w</p><p>w z w</p><p>+</p><p>+ =</p><p>+</p><p>?</p><p>(A)	 0.</p><p>(B)	 1.</p><p>(C) 2.</p><p>(D) 3.</p><p>(E)	 4.</p><p>13 Seja z	um	complexo	tal	que	|z|	=	2.014.	Seja	P	o	polígono	no	plano</p><p>complexo	com	vértices	em	z	e	em	todos	os	w	tais	que</p><p>1 1 1</p><p>.</p><p>z w z w</p><p>= +</p><p>+</p><p>Então,	a	área	do	polígono	P	pode	ser	escrita	na	forma 3n ⋅ ,	sendo	n</p><p>inteiro.	Quanto	vale	o	resto	de	n	na	divisão	por	1.000?</p><p>(A)	 147.</p><p>(B)	 150.</p><p>(C)	 155.</p><p>(D)	159.</p><p>(E)	 161.</p><p>14 	Os	complexos	α e b	são	tais	que	 1</p><p>2</p><p>α +β</p><p>α = β = = .	Qual	é	o	valor</p><p>de	α² + b²?</p><p>(A)	 –2.</p><p>(B)	 –1.</p><p>(C)	 0.</p><p>(D)	1.</p><p>(E) 2.</p><p>15 	De te rm ine 	 todos 	 os 	 números 	 comp lexos 	 z 	 t a i s 	 que</p><p>2 22 5 3 0z z i+ − + = .</p><p>16 	Prove	que,	se	 3 2 0iz z z i+ − + = ,	então	 1.z =</p><p>17 	Para	todos	os	complexos	z1	e z2	tais	que	 1 12z = e 2 3 4 5,z i− − =</p><p>qual	é	o	menor	valor	possível	para	 1 2 ?z z−</p><p>(A)	 17.</p><p>(B) 7.</p><p>(C) 2.</p><p>(D)	1.</p><p>(E)	 0.</p><p>18 	Considere-se	w ≠	1	uma	raiz	cúbica	da	unidade.	Um	dado	honesto	é</p><p>lançado	três	vezes.	Se	r1,	r2 e r3	são	os	resultados	obtidos	no	dado,	qual</p><p>é	a	probabilidade	de	 1 2 3 0?r r rw w w+ + =</p><p>(A)</p><p>1</p><p>.</p><p>18</p><p>(B)</p><p>1</p><p>.</p><p>9</p><p>(C)</p><p>1</p><p>.</p><p>36</p><p>(D)</p><p>4</p><p>.</p><p>9</p><p>(E)</p><p>2</p><p>.</p><p>9</p><p>19 Seja</p><p>1 3</p><p>2</p><p>i</p><p>w</p><p>+</p><p>= .	Qual	é	o	valor	da	soma</p><p>73 89 92 102 124 135 ?w w w w w w+ + + + +</p><p>20 	Se	1,	a1,	a2,	 ...	an	–	1	são	as	raízes	n-ésimas	da	unidade,	prove	que</p><p>(1	–	a1)	·	(1	–	a2)	·	...	·	(1	–	an	–	1) = n.</p><p>21 Sejam a,	b,	c	inteiros	não	todos	iguais	e	w ≠	1	uma	raiz	cúbica	da</p><p>unidade.	Qual	é	o	menor	valor	possível	para	a	expressão	|a + bw + cw²|?</p><p>(A)</p><p>2</p><p>.</p><p>2</p><p>(B)</p><p>1</p><p>.</p><p>2</p><p>(C)</p><p>3</p><p>.</p><p>2</p><p>(D)	1.</p><p>(E)	 0.</p><p>22 	Os	complexos	z	tais	que	|z	+	4|	+	|z	–	4|	=	10</p><p>determinam	uma</p><p>cônica	no	plano	de	Argand-Gauss.	Qual	é	o	valor	da	excentricidade</p><p>dessa	cônica?</p><p>(A)</p><p>5</p><p>.</p><p>4</p><p>(B)</p><p>3</p><p>.</p><p>4</p><p>(C)</p><p>4</p><p>.</p><p>3</p><p>(D)</p><p>2</p><p>.</p><p>3</p><p>(E)</p><p>4</p><p>.</p><p>5</p><p>MATEMÁTICA II</p><p>Assunto 1</p><p>14 ITA – Vol. 6</p><p>23 Sejam w e z	números	complexos	tais	que	|w|=1	e	|z|=10.	Seja</p><p>arg</p><p>w z</p><p>z</p><p>− θ =  </p><p> </p><p>.	Qual	é	o	maior	valor	possível	para	tan²θ?</p><p>(A)</p><p>1</p><p>.</p><p>102</p><p>(B)</p><p>1</p><p>.</p><p>101</p><p>(C)</p><p>1</p><p>.</p><p>100</p><p>(D)</p><p>1</p><p>.</p><p>99</p><p>(E)</p><p>1</p><p>.</p><p>98</p><p>24 Sejam z1,	z2,	z3	complexos	com	afixos	A,	B, C	no	plano	de	Argand-</p><p>-Gauss,	respectivamente,	vértices	de	um	triângulo	retângulo	isósceles	com</p><p>vértice	em	C.	Qual	é	o	valor	numérico	de</p><p>( )</p><p>( )( )</p><p>2</p><p>1 2</p><p>1 3 2 3</p><p>?</p><p>z z</p><p>z z z z</p><p>−</p><p>− −</p><p>(A)	 1.</p><p>(B)	 –1.</p><p>(C) 2.</p><p>(D)	–2.</p><p>(E) 1.</p><p>2</p><p>25 Se |z|=1	e	z ≠	1,	qual	é	o	lugar	geométrico	do	complexo</p><p>21</p><p>z</p><p>w</p><p>z</p><p>=</p><p>−</p><p>?</p><p>(A) Uma	reta	que	não	passa	pela	origem.</p><p>(B) Circunferência	de	centro	na	origem	e	raio	 2.</p><p>(C) Eixo	y.</p><p>(D) Eixo	x.</p><p>(E) n.r.a.</p><p>26 	A	região	S	no	plano	complexo	é	definida	por</p><p>{ }= + − ≤ ≤ − ≤ ≤  : 1 1,  1 1S x yi x y .</p><p>Um	complexo	 z x yi= + 	 é	 escolhido	 uniforme	 e	 aleatoriamente	 em	S.</p><p>Qual	é	a	probabilidade	de</p><p>3 3</p><p>4 4</p><p>i z + </p><p> </p><p>também	estar	em	S?</p><p>(A)</p><p>1</p><p>.</p><p>2</p><p>(B)</p><p>2</p><p>.</p><p>3</p><p>(C)</p><p>3</p><p>.</p><p>4</p><p>(D)</p><p>7</p><p>.</p><p>9</p><p>(E)</p><p>7</p><p>.</p><p>8</p><p>27 	A	equação	z³	=	2	+	11i	possui	raízes	z1,	z2,	z3.</p><p>a.	 Calcule	 ( ) ( ) ( )1 2 3Re Re Re .z z z+ +</p><p>b.	 Calcule	 ( ) ( ) ( )1 2 3Re Re Re .z z z⋅ ⋅</p><p>28 	Em	 função	de	 r = |z|,	calcule	a</p><p>área	do	 triângulo	 formado	pelos</p><p>complexos	z,	iz e z + iz	no	plano	de	Argand-Gauss.</p><p>29 Sejam z e w	complexos	tais	que	 ( )Im 8zw = .	Determine	a	área	do</p><p>triângulo	determinado	por	z,	w	e	a	origem	no	plano	de	Argand-Gauss.</p><p>30 Seja z	=	cos	θ + i · sen θ.	Então,	o	valor	de	 −</p><p>=</p><p>∑</p><p>15</p><p>2 1</p><p>1</p><p>Im( )m</p><p>m</p><p>z 	para	θ = 2°</p><p>é:</p><p>(A) 1</p><p>2sen�</p><p>.</p><p>°</p><p>(B)</p><p>°</p><p>1</p><p>.</p><p>3 sen 2</p><p>(C)</p><p>°</p><p>1</p><p>.</p><p>2 sen  2</p><p>(D)</p><p>°</p><p>1</p><p>.</p><p>4 sen  2</p><p>(E)</p><p>°</p><p>1</p><p>.</p><p>5 sen  2</p><p>31 	Determine	o	menor	valor	possível	para	a	expressão</p><p>( )</p><p>( )</p><p>5</p><p>5</p><p>Im</p><p>,</p><p>Im</p><p>z</p><p>z</p><p>para	z</p><p>não	real.</p><p>32 Para n ≥	3	inteiro,	calcule	o	valor	da	soma	 ( )</p><p>−</p><p>=</p><p>π</p><p>− ⋅∑</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>cos .</p><p>n</p><p>k</p><p>k</p><p>n k</p><p>n</p><p>33 Sejam z1,	 z2,	 z3	 os	 vértices	 de	 um	 triângulo	 equilátero	 no	 plano</p><p>complexo.	Se	z0 ≠	0	é	o	centro	do	triângulo,	determine	o	valor	do	quociente</p><p>2 2 2</p><p>1 2 3</p><p>2</p><p>0</p><p>.</p><p>z z z</p><p>z</p><p>+ +</p><p>34 	As	soluções	da	equação	 4 3 24 6 4 0z z i z zi i+ − − − = 	são	vértices</p><p>de	um	polígono	no	plano	complexo.	Qual	é	a	área	desse	polígono?</p><p>(A) 5/82 .</p><p>(B) 3/42 .</p><p>(C) 2.</p><p>(D) 5/42 .</p><p>(E) 3/22 .</p><p>35 Seja = + + + +4 3 2( )f x x ax bx cx d	um	polinômio	com	raízes	reais.</p><p>Sabendo	que	|f(i)|	=	1,	prove	que	a = b = c = d = 0.</p><p>MATEMÁTICA II</p><p>Assunto 1</p><p>Complexos</p><p>15ITA – Vol. 6</p><p>36 	Considere	as	afirmativas	abaixo:</p><p>I. Se r	é	raiz	n-ésima	complexa	da	unidade,	então</p><p>−+ + +…+ =2 11 0.nr r r</p><p>II.	 A	quantidade	de	pares	ordenados	(a,	b)	de	números	reais	tais	que</p><p>(a + bi)2.016 = a	–	bi	é	igual	a	2.017.</p><p>III.	 Dados	 números	 naturais	m e n,	 as	 raízes	 comuns	 das	 equações</p><p>zm	 –	 1	=	0	 e	 zn	 –	 1	=	0	 são	 as	 raízes	 de	 zp	 –	 1	=	0,	 em	que</p><p>p	=	m.d.c.(m,	n).</p><p>Podemos	afirmar	que:</p><p>(A)	 apenas	uma	é	verdadeira.</p><p>(B)	 apenas	I	e	II	são	verdadeiras.</p><p>(C)	 apenas	II	e	III	são	verdadeiras.</p><p>(D)	apenas	I	e	III	são	verdadeiras.</p><p>(E)	 todas	são	verdadeiras.</p><p>MATEMÁTICA II</p><p>Assunto 1</p><p>16 ITA – Vol. 6</p><p>ExErcícios</p><p>01 Sejam a,	b,	c	as	raízes	da	equação	 3 2 3 0.x x x+ − + =</p><p>a.	 Determine	o	valor	da	expressão</p><p>1 1 1</p><p>.</p><p>1 1 1a b c</p><p>+ +</p><p>+ + +</p><p>b.	 Determine	o	valor	da	expressão	 + + +2 2 2(1 (1 )(1 )) .a b c</p><p>02 	Considere	a	equação	 4 3 26 74 168 0.x x kx x+ + − + = Sabendo	que	a</p><p>soma	dos	quadrados	de	suas	raízes	é	igual	a	78,	qual	é	o	valor	da	soma</p><p>dos	cubos	dessas	raízes?</p><p>(A)	 –371.</p><p>(B)	 –372.</p><p>(C)	 –373.</p><p>(D)	–374.</p><p>(E)	 –375.</p><p>03 Seja = + + +3 2( ) ,p x x ax bx c 	em	que	a,	b,	c	são	números	complexos.</p><p>Sabe-se	que	 + π = = =(2.016 6.102 ) (2.016) (6.102) 0.p i p p</p><p>Qua l 	 é 	 a 	 quan t idade 	 de 	 ra í zes 	 não 	 rea is 	 do 	 po l i nômio</p><p>= + + +12 8 4( ) ?p x x ax bx c</p><p>(A)	 4.</p><p>(B)	 6.</p><p>(C)	 8.</p><p>(D)	10.</p><p>(E)	 12.</p><p>04 	Considere	 o	 polinômio	 = + + + + +99 98 97( ) ... 1.P x x x x x 	 Sendo</p><p>Q(x) = P(x	+	1),	qual	é	o	algarismo	das	unidades	da	soma	dos	coeficientes</p><p>do	polinômio	Q?</p><p>(A)	 1.</p><p>(B) 3.</p><p>(C)	 5.</p><p>(D) 7.</p><p>(E) 9.</p><p>05 	Considerando	a	equação</p><p>7 6 5 4 3 24 2 7 7 2 4 1 0,x x x x x x x+ + − − + + + = 	 analise	 as	 afirmativas</p><p>abaixo:</p><p>I. Há	duas	raízes	duplas	distintas.</p><p>II. A	soma	das	raízes	irracionais	é	igual	a	–3.</p><p>III. Há	apenas	uma	raiz	x0	tal	que	|x0|	<	1.</p><p>Então:</p><p>(A)	 apenas	uma	afirmativa	é	verdadeira.</p><p>(B)	 apenas	I	e	III	são	verdadeiras.</p><p>(C)	 apenas	I	e	II	são	verdadeiras.</p><p>(D)	apenas	II	e	III	são	verdadeiras.</p><p>(E)	 todas	são	verdadeiras.</p><p>06 	O	gráfico	do	polinômio	 = + + + + +5 4 3 2( )P x x ax bx cx dx e	intersecta</p><p>o	eixo	x	em	cinco	pontos	distintos,	sendo	um	deles	a	origem.	Qual	dos</p><p>coeficientes	abaixo	não	pode	ser	zero?</p><p>(A) a.</p><p>(B) b.</p><p>(C) c.</p><p>(D) d.</p><p>(E) e.</p><p>07 	O 	 p o l i n ôm i o 	 = + +…+ +2.016 2.015</p><p>2.016 2.015 1 0( )P x c x c x c x c t e m</p><p>coeficientes	 reais	 com	 c2.004 ≠	 0	 e	 possui	 2.016	 raízes	 distintas</p><p>,k k kz a b i= +</p><p>≤ ≤1 2.016,k 	sendo	ak e bk	reais	e	a1 = b1	=	0.	Sabendo</p><p>que</p><p>= =</p><p>=∑ ∑</p><p>2.016 2.016</p><p>1 1</p><p>k k</p><p>k k</p><p>a b ,	qual	dos	números	abaixo	pode	ser	não nulo?</p><p>(A) c0.</p><p>(B) c2.015.</p><p>(C) b2b3 ... b2.016.</p><p>(D)</p><p>=</p><p>∑</p><p>2.016</p><p>1</p><p>.k</p><p>k</p><p>a</p><p>(E)</p><p>=</p><p>∑</p><p>2.016</p><p>1</p><p>.k</p><p>k</p><p>c</p><p>08 Seja = + + +3 2( ) ,P z z az bz c</p><p>com	a,	b,	c	reais.	Existe	um	complexo</p><p>w	tal	que	as	3	raízes	de	P(z)	são	w + 3i,	w + 9i,	2w	–	4,	em	que	i²	=	–1.</p><p>Determine	o	valor	numérico	de	|a + b + c|.</p><p>09 	Determine	o	resto	do	polinômio	(x² + x	+	1)6	por	x²	–	x	+	1.</p><p>10 	Considere	a	equação	 − + − − + + =3 2(1 4 ) (7 4 ) (3 4 ) 0.z i z i z i</p><p>I. A	soma	dos	quadrados	das	raízes	é	igual	a	–1.</p><p>II. O	produto	das	raízes	é	igual	a	(2	+	i)2.</p><p>III. A	equação	possui	alguma	raiz	de	módulo	1.</p><p>Podemos	afirmar	que:</p><p>(A)	 apenas	I	é	verdadeira.</p><p>(B)	 apenas	II	e	III	são	verdadeiras.</p><p>(C)	 apenas	I	e	III	são	verdadeiras.</p><p>(D)	apenas	I	e	II	são	verdadeiras.</p><p>(E)	 todas	são	verdadeiras.</p><p>11 Sejam a,	b,	c	as	raízes	da	equação	x³	+	4x²	–	x	+	1	=	0.	Qual	é	o</p><p>valor	numérico	da	expressão</p><p>5 5 5 5 5 5</p><p>?</p><p>a b b c c a</p><p>a b b c c a</p><p>− − −</p><p>+ +</p><p>− − −</p><p>Polinômios</p><p>MATEMÁTICA II ASSUNTO</p><p>2</p><p>17ITA – Vol. 6</p><p>12 Seja P(x)	 um	 polinômio	 não	 identicamente	 nulo	 tal	 que</p><p>− + = +( 1) ( 1) ( 2) ( )x P x x P x 	para	todo	x.</p><p>Se =2( (2)) (3)P P e</p><p>7</p><p>,</p><p>2</p><p>m</p><p>P</p><p>n</p><p>  = </p><p> </p><p>em	que	m e n	são	inteiros	positivos	primos</p><p>entre	si,	qual	é	o	valor	de	m + n?</p><p>(A)	 106.</p><p>(B)	 107.</p><p>(C)	 108.</p><p>(D)	109.</p><p>(E)	 110.</p><p>13 	Responda:</p><p>a.	 Para	 que	 valores	 reais	 de	 a	 a	 equação	 4 3 22 2 1 0x x ax x+ + + + =</p><p>pode	possuir	alguma	raiz	real?</p><p>b.	 E	para	que	valores	reais	de	a	todas	as	raízes	são	reais?</p><p>14 Sejam = + + +( )  ( 1) 1m mP x x x e = + +2( ) 1.Q x x x 	Determine	todos</p><p>os	inteiros	positivos	m	para	os	quais:</p><p>a. P(x)	é	divisível	por	Q(x).</p><p>b.	 P(x)	é	divisível	por	(Q(x))².</p><p>15 	Denote	as	três	raízes	reais	da	equação	cúbica	 ³ 3 1 0x x− − = 	por	x1,</p><p>x2,	x3	de	forma	que	x1	<	x2	<	x3.	Prove	que	 − = −3 2 3 1.² ²x x x x</p><p>16 	Responda	ao	que	se	pede:</p><p>a.	 Obtenha	uma	equação	polinomial	do	6o	grau	e	coeficientes	inteiros</p><p>que	possua	tan	10°	como	raiz.</p><p>b.	 Conclua	que	tan	10°	é	um	número	irracional.</p><p>MATEMÁTICA II</p><p>Assunto 2</p><p>18 ITA – Vol. 6</p><p>ExErcícios</p><p>01 	Simplifique	a	expressão</p><p>π</p><p>= + +</p><p>1 1 1 1</p><p>cos</p><p>2 2 2 2 50</p><p>Q :</p><p>(A)</p><p>π</p><p>−sen .</p><p>100</p><p>(B)</p><p>π</p><p>sen .</p><p>400</p><p>(C)</p><p>π</p><p>sen .</p><p>100</p><p>(D)</p><p>π</p><p>−cos .</p><p>200</p><p>(E)</p><p>π</p><p>cos .</p><p>200</p><p>02 	Calcule	a	área	da	região	definida	pelo	domínio	da	função	abaixo:</p><p>= − −4( , ) arcsen| | |arcsen (1 | |)|f x y x y</p><p>(A) 2.</p><p>(B) 3.</p><p>(C)	 4.</p><p>(D)	5.</p><p>(E)	 6.</p><p>03 	Um	ponto	P	localizado	no	interior	do	triângulo	ABC	é	tal	que	os	ângulos</p><p>PAB ,	PBC e PCA 	são	congruentes.	As	medidas	dos	lados	do	triângulo	são</p><p>13,	14	e	15.	Determine	o	valor	da	tangente	do	ângulo	PAB :</p><p>(A)</p><p>168</p><p>.</p><p>295</p><p>(B)</p><p>158</p><p>.</p><p>295</p><p>(C)</p><p>148</p><p>.</p><p>295</p><p>(D)</p><p>138</p><p>.</p><p>295</p><p>(E)</p><p>128</p><p>.</p><p>295</p><p>04 	Dado	 0</p><p>4</p><p>π</p><p>< θ < ,	quem	é	maior:	x = (tan θ)tan θ,	y = (tan θ)cot	θ,</p><p>z	=	(cot	θ)tan θ	ou	w	=	(cot	θ)cot	θ?</p><p>05 	Simplificando	a	expressão</p><p>sen sen 2 sen 4 sen sen 7 sen 2</p><p>,</p><p>sen cos 2 sen 2 cos 5 sen cos 8</p><p>a a a a a a</p><p>a a a a a a</p><p>⋅ + ⋅ + ⋅</p><p>⋅ + ⋅ + ⋅</p><p>tem-se:</p><p>(A) tan a.</p><p>(B)	 cot	2a.</p><p>(C)	 tan	5a.</p><p>(D) sen 3a.</p><p>(E)	 cos	4a.</p><p>06 Para θ	pertencente	ao	domínio	da	função</p><p>θ</p><p>θ = θ +</p><p>θ</p><p>cos (3 )</p><p>( ) cos</p><p>cos</p><p>f ,</p><p>o	valor	mínimo	de	f(θ)	é	igual	a:</p><p>(A)	 –2.</p><p>(B)	 –3.</p><p>(C)</p><p>49</p><p>.</p><p>16</p><p>−</p><p>(D)</p><p>28</p><p>.</p><p>9</p><p>−</p><p>(E)	 –4.</p><p>07 	Sabendo	que	0 < θ < π,	calcule	o	valor	máximo	de	 θ</p><p>⋅ + θsen (1 cos ) :</p><p>2</p><p>(A)</p><p>3</p><p>5 .</p><p>9</p><p>(B)</p><p>3</p><p>4 .</p><p>9</p><p>(C)</p><p>3</p><p>2 .</p><p>9</p><p>(D)</p><p>3</p><p>2 .</p><p>3</p><p>(E)</p><p>3</p><p>3 .</p><p>5</p><p>08 	O	valor	de	sen	 + </p><p> </p><p>1 1</p><p>arccos   	arcsen</p><p>2 3</p><p>é:</p><p>(A)</p><p>2 2 1</p><p>.</p><p>2</p><p>−</p><p>(B)</p><p>2 6 1</p><p>.</p><p>6</p><p>+</p><p>(C)</p><p>2 3 1</p><p>.</p><p>3</p><p>−</p><p>(D)</p><p>2 6 1</p><p>.</p><p>6</p><p>− +</p><p>(E)</p><p>2 7 1</p><p>.</p><p>6</p><p>− +</p><p>Trigonometria</p><p>MATEMÁTICA II ASSUNTO</p><p>3</p><p>19ITA – Vol. 6</p><p>09 Em	um	 triângulo	ABC, sabemos	 que	 3	 sen	 a	+	 4	 cos	b	=	 6	 e</p><p>4	sen	b	+	3	cos	a	=	1.	Qual	o	valor	do	ângulo	C?</p><p>(A)	 30°.</p><p>(B)	 45°.</p><p>(C)	 60°.</p><p>(D)	120°.</p><p>(E)	 72°.</p><p>10 	No	triângulo	ABC,	A – B	=	120° e R	=	8r.	Quanto	vale	o	cos	c?</p><p>Dados: (R	=	raio	da	circunferência	circunscrita	ao	triângulo;	r	=	raio	da</p><p>circunferência	inscrita	no	triângulo).</p><p>(A)</p><p>1</p><p>.</p><p>2</p><p>(B)	 1.</p><p>(C)</p><p>1</p><p>.</p><p>2</p><p>−</p><p>(D)</p><p>7</p><p>.</p><p>8</p><p>(E)	 –1.</p><p>11 	Em	um	triângulo	ABC,	 2 3</p><p>a</p><p>b</p><p>= + e C	=	60°.	Quantos	graus	valem</p><p>os ângulos	A e B,	respectivamente?</p><p>(A)	 105°	e	15°.</p><p>(B)	 15°	e	105°.</p><p>(C)	 115°	e	5°.</p><p>(D)	20°	e	100°.</p><p>(E)	 45°	e	75°.</p><p>12</p><p>Os	 catetos	 de	 um	 triângulo	 retângulo	 são	 = + ⋅ °2 sec 60a t t e</p><p>2 csc 30 ,b t t= − ⋅ ° 	 e	 sabemos	 que	 2 24 tan 45 4t d d= ⋅ ⋅ ° − .	 Ache	 a</p><p>tangente	do	menor	ângulo	agudo	em	função	de	d:</p><p>(A)</p><p>( )( )</p><p>2</p><p>2 1 1</p><p>1.</p><p>1</p><p>d d</p><p>d d</p><p>− −</p><p>−</p><p>− −</p><p>(B)</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>.</p><p>2</p><p>d</p><p>d</p><p>−</p><p>+</p><p>(C)</p><p>( )( )</p><p>2</p><p>2 1 1</p><p>1.</p><p>1</p><p>d d</p><p>d d</p><p>− −</p><p>+</p><p>− −</p><p>(D)</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>.</p><p>1</p><p>d</p><p>d</p><p>−</p><p>+</p><p>(E)</p><p>2</p><p>2</p><p>.</p><p>d d</p><p>d d</p><p>−</p><p>+</p><p>13 	Dado	o	 triângulo	 retângulo	ABC	 (retângulo	em	C),	 sabemos	que	a</p><p>relação	sen	 A + sen B	+	cos	 A	+	cos	B	=	3	é	 válida.	Quanto	vale</p><p>tan A+ tan B?</p><p>(A)	 1,25.</p><p>(B)	 1,2.</p><p>(C)	 1,35.</p><p>(D)	1,5.</p><p>(E)	 1,6.</p><p>14 Se</p><p>2 3 4 6</p><p>2arc sen ... arc cos ... ,</p><p>2 4 2 4 2</p><p>x x x x</p><p>x x</p><p>    π</p><p>− + − + − + − =   </p><p>   </p><p>para	0	<	|x|	<	 2,	então	x	é	igual	a:</p><p>(A)</p><p>1</p><p>.</p><p>2</p><p>(B)</p><p>1</p><p>.</p><p>2</p><p>−</p><p>(C)	 1.</p><p>(D)	–1.</p><p>(E) 2.</p><p>15 Se</p><p>sen 7</p><p>1</p><p>sen 5</p><p>n</p><p>α</p><p>= −</p><p>α</p><p>,	calcule	tan 6 cot :α ⋅ α</p><p>(A) .</p><p>1</p><p>n</p><p>n −</p><p>(B) .</p><p>2</p><p>n</p><p>n −</p><p>(C) .</p><p>3</p><p>n</p><p>n −</p><p>(D) .</p><p>4</p><p>n</p><p>n −</p><p>(E) .</p><p>1</p><p>n</p><p>n +</p><p>16 α + α + α</p><p>=</p><p>α + α − α</p><p>cos 2 cos 5 cos</p><p>2,</p><p>sen 2 sen 5 sen</p><p>tan 4 ?α =</p><p>(A)</p><p>4</p><p>3</p><p>.</p><p>(B)</p><p>3</p><p>4</p><p>.</p><p>(C)</p><p>2</p><p>3</p><p>.</p><p>(D)</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>(E)	 1.</p><p>MATEMÁTICA II</p><p>Assunto 3</p><p>20 ITA – Vol. 6</p><p>17 	Um	triângulo	ABC	de	lados	a,	b e c	satisfaz</p><p>  cos cos cos</p><p>.</p><p>A B C c</p><p>a b c ab</p><p>+ + =</p><p>Determine	o	ângulo	C:</p><p>(A)	 45°.</p><p>(B)	 37°.</p><p>(C)	 53°.</p><p>(D)	60°.</p><p>(E)	 90°.</p><p>18 	Em	um	quadrilátero	inscrítivel	ABCD	de	lados	a,	b,	c e d,	determine	o</p><p>valor	de</p><p>+</p><p>:</p><p>( ) sen</p><p>abcd</p><p>ab bc A</p><p>(A) 1</p><p>2</p><p>.</p><p>(B) 2.</p><p>(C)	 1.</p><p>(D) 1</p><p>4</p><p>.</p><p>(E)	 4.</p><p>19 	Calcule	arctan	(cot	7°	–	2	cot	14°):</p><p>(A)	 6°.</p><p>(B)	 7°.</p><p>(C)	 14°.</p><p>(D)	21°.</p><p>(E)	 28°.</p><p>20 	Qual	 é	 o	menor	 ângulo	 positivo	 que	 satisfaz	 simultaneamente	 às</p><p>equações?</p><p>1 cos cos 2 cos 3 cos 4 0</p><p>sen sen 2 sen 3 sen 4 0</p><p>x x x x</p><p>x x x x</p><p>+ + + + =</p><p> + + + =</p><p>(A)	 37°.</p><p>(B)	 48°.</p><p>(C)	 53°.</p><p>(D)	72°.</p><p>(E)	 120°.</p><p>21 	Qual	 a	 soma	 das	 duas	 menores	 soluções	 posit ivas	 que</p><p>satisfaz,simultaneamente	às	equações 2 2 2cos cos 2 cos 3 1x x x+ + = ?</p><p>(A)	 7,5°.</p><p>(B)	 45°.</p><p>(C)	 60°.</p><p>(D)	75°.</p><p>(E)	 18°.</p><p>MATEMÁTICA II</p><p>Assunto 3</p><p>Trigonometria</p><p>21ITA – Vol. 6</p><p>MATEMÁTICA II</p><p>Assunto 3</p><p>22 ITA – Vol. 6</p><p>06 Em um espaço amostral, a probabilidade de ocorrer pelo menos um</p><p>dos eventos A e B é igual a 0,6. Se a probabilidade de A e B ocorrerem</p><p>simultaneamente é igual a 0,2, qual é o valor de ( ) ( )P A P B+ ?</p><p>(A) 0,4.</p><p>(B) 0,8.</p><p>(C) 1.</p><p>(D) 1,2.</p><p>(E) 1,4.</p><p>07 Cem moedas idênticas, cada uma com probabilidade p de dar resultado</p><p>“cara”, são lançadas. Se 0 < p < 1 e a probabilidade de obter 50 caras</p><p>é igual à probabilidade obter 51 caras, qual é o valor de p?</p><p>(A)</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>(B)</p><p>49</p><p>101</p><p>.</p><p>(C)</p><p>50</p><p>101</p><p>.</p><p>(D)</p><p>51</p><p>101</p><p>.</p><p>(E) essa situação é impossível.</p><p>08 Uma matriz é escolhida aleatoriamente no conjunto das matrizes</p><p>2 × 2 com elementos 0 e 1. Qual é a probabilidade de seu determinante</p><p>ser positivo?</p><p>09 Um homem dá um passo à frente com probabilidade 0,4 e um passo</p><p>para trás com probabilidade 0,6. Qual é a probabilidade de, após 11 passos,</p><p>ele estar a um passo de distância do ponto inicial?</p><p>10 2.016 caixas estão alinhadas, e cada uma contém uma única pedra</p><p>vermelha. Além disso, para 1 ≤ k ≤ 2.016, a caixa na posição k contém</p><p>k pedras brancas. Isabella começa na 1a caixa e, sucessivamente,</p><p>retira uma pedra aleatoriamente de cada caixa. Ela para quando retira</p><p>uma pedra vermelha. Seja P(n) a probabilidade de Isabella parar após</p><p>retirar exatamente n pedras. Qual é o menor valor de n para o qual</p><p>P(n) < 1/2.010?</p><p>(A) 45.</p><p>(B) 63.</p><p>(C) 64.</p><p>(D) 201.</p><p>(E) 1.005.</p><p>11 A probabilidade de um determinado evento A ocorrer em uma única</p><p>tentativa é igual a 0,4. Três tentativas independentes são feitas. Qual é a</p><p>probabilidade de o evento A ocorrer pelo menos uma vez?</p><p>(A) 0,936.</p><p>(B) 0,784.</p><p>(C) 0,904.</p><p>(D) 0,888.</p><p>(E) nenhuma das anteriores.</p><p>ExErcícios</p><p>01 Sejam A, B, C eventos em um espaço amostral tais que ( ) 3</p><p>4</p><p>P B = ,</p><p>( ) 1</p><p>3</p><p>P A B C∩ ∩ = e ( ) 1</p><p>3</p><p>P A B C∩ ∩ = . Então ( )P B C∩ vale:</p><p>(A)</p><p>1</p><p>12</p><p>.</p><p>(B)</p><p>1</p><p>6</p><p>.</p><p>(C)</p><p>1</p><p>15</p><p>.</p><p>(D)</p><p>1</p><p>9</p><p>.</p><p>(E)</p><p>1</p><p>8</p><p>.</p><p>02 	Uma	 comissão	 de	 9	 delegados	 da	ONU	 é	 formada	 por	 2	 oficiais</p><p>do México, 3 do Canadá e 4 dos Estados Unidos. Durante a sessão de</p><p>abertura, três dos delegados pegaram no sono. Assumindo que os três</p><p>delegados que dormiram foram determinados de forma aleatória, indique</p><p>a probabilidade de exatamente dois deles serem do mesmo país.</p><p>03 Dois dados de 6 faces, aparentemente normais, na verdade são tais</p><p>que a probabilidade de cair a face k é diretamente proporcional a k. Qual</p><p>é a probabilidade de obter soma 7 ao lançar os dois dados?</p><p>04 Dois números são escolhidos aleatoriamente do conjunto {1, 2, 3, 4,</p><p>5, 6}, sucessivamente e sem reposição. Qual é a probabilidade do mínimo</p><p>entre os números ser menor que 4?</p><p>(A)</p><p>1</p><p>15</p><p>.</p><p>(B)</p><p>14</p><p>15</p><p>.</p><p>(C)</p><p>1</p><p>5</p><p>.</p><p>(D)</p><p>4</p><p>5</p><p>.</p><p>(E) n.r.a.</p><p>05 Três dos seis vér tices de um hexágono regular são escolhidos</p><p>aleatoriamente. Qual é a probabilidade de o triângulo formado ser</p><p>equilátero?</p><p>(A)</p><p>1</p><p>5</p><p>. (D)</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>(B)</p><p>1</p><p>4</p><p>. (E)</p><p>1</p><p>10</p><p>.</p><p>(C)</p><p>1</p><p>20</p><p>.</p><p>Probabilidades</p><p>MATEMÁTICA III ASSUNTO</p><p>1</p><p>23ITA – Vol. 6</p><p>12 Uma moeda é alterada de forma que a probabilidade de sair cara é</p><p>menor que</p><p>1</p><p>2</p><p>e, quando a moeda é lançada quatro vezes, a probabilidade</p><p>de a quantidade de caras ser igual à quantidade de coroas é igual a</p><p>1</p><p>6</p><p>.</p><p>Qual é a probabilidade de a moeda dar cara se lançada uma vez?</p><p>(A)</p><p>15 3</p><p>6</p><p>−</p><p>.</p><p>(B)</p><p>6 6 6 2</p><p>12</p><p>− +</p><p>.</p><p>(C)</p><p>2 1</p><p>2</p><p>−</p><p>.</p><p>(D)</p><p>3 3</p><p>6</p><p>−</p><p>.</p><p>(E)</p><p>3 1</p><p>2</p><p>−</p><p>.</p><p>13 Uma pequena fábrica possui quatro máquinas, e sabe-se que duas</p><p>delas estão quebradas. Elas são testadas, uma a uma, aleatoriamente, até</p><p>que	as	máquinas	quebradas	sejam	identificadas.	Qual	é	a	probabilidade</p><p>de que sejam necessários apenas dois testes?</p><p>(A)</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>(B)</p><p>1</p><p>3</p><p>.</p><p>(C)</p><p>1</p><p>4</p><p>.</p><p>(D)</p><p>1</p><p>5</p><p>.</p><p>(E)</p><p>1</p><p>6</p><p>.</p><p>14 Prove que, se E e F são eventos independentes em um espaço amostral</p><p>Ω, Ec e Fc também são.</p><p>15 Um anagrama da palavra assassino é escolhido aleatoriamente. Qual</p><p>é a probabilidade de, nesse anagrama, não haver dois S adjacentes?</p><p>16 	Sete	bolas	brancas	e	três	pretas	são	colocadas	aleatoriamente	em	fila.</p><p>Qual é a probabilidade de não haver bolas pretas em posições adjacentes?</p><p>(A)</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>(B)</p><p>7</p><p>15</p><p>.</p><p>(C)</p><p>2</p><p>15</p><p>.</p><p>(D)</p><p>1</p><p>3</p><p>.</p><p>(E)</p><p>2</p><p>3</p><p>.</p><p>17 Se p e q são escolhidos aleatoriamente e com reposição no conjunto</p><p>{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, determine, em porcentagem, a probabilidade</p><p>de as raízes da equação x2 + px + q = 0 serem reais.</p><p>18 Um dado honesto possui os números 1, 1, 2, 3, 4, 5 em suas faces.</p><p>Ao lançá-lo 3 vezes, qual é a probabilidade de a soma dos resultados ser</p><p>igual a 6?</p><p>19 Se um número é selecionado aleatoriamente do conjunto dos</p><p>números de 5 dígitos que possuem soma dos dígitos igual a 43, qual é a</p><p>probabilidade de esse número ser divisível por 11?</p><p>(A)</p><p>2</p><p>5</p><p>.</p><p>(B)</p><p>1</p><p>5</p><p>.</p><p>(C)</p><p>1</p><p>6</p><p>.</p><p>(D)</p><p>1</p><p>11</p><p>.</p><p>(E)</p><p>1</p><p>15</p><p>.</p><p>20 Um dado honesto é lançado sucessivamente. Qual é a probabilidade</p><p>de o primeiro 1 cair em um lançamento par?</p><p>(A)</p><p>1</p><p>6</p><p>.</p><p>(B)</p><p>31</p><p>36</p><p>.</p><p>(C)</p><p>5</p><p>36</p><p>.</p><p>(D)</p><p>6</p><p>11</p><p>.</p><p>(E)</p><p>5</p><p>11</p><p>.</p><p>21 Dois números distintos são escolhidos ao acaso no conjunto</p><p>{1, 2, 3, ..., 101}. Qual é a probabilidade de o produto deles ser par?</p><p>22 Seja w uma raiz cúbica da unidade, 1w ≠ . Um dado honesto é lançado</p><p>três vezes. Se r1, r2,r3 são os números obtidos nos lançamentos, qual é a</p><p>probabilidade de ocorrer 1 2 3 0r r rw w w+ + = ?</p><p>(A) 1/18.</p><p>(B) 1/9.</p><p>(C) 2/9.</p><p>(D) 1/3.</p><p>(E) 1/36.</p><p>23 João e Felipe têm duas moedas equilibradas e uma terceira moeda</p><p>em que cara sai com</p><p>4</p><p>7</p><p>de probabilidade. João lança as três moedas,</p><p>daí Felipe também lança as três moedas. Qual é a probabilidade de João</p><p>e Felipe obterem a mesma quantidade de caras nesses lançamentos?</p><p>MATEMÁTICA III</p><p>Assunto 1</p><p>24 ITA – Vol. 6</p><p>24 Seja A um conjunto de n elementos. São escolhidos, aleatoriamente,</p><p>dois subconjuntos de A. Qual é a probabilidade de esses conjuntos serem</p><p>disjuntos?</p><p>25 Um indiano e quatro americanos devem se sentar à mesa, cada um</p><p>com sua respectiva esposa. Então, qual é a probabilidade condicional</p><p>de</p><p>o indiano estar ao lado de sua esposa, dado que cada americano está ao</p><p>lado de sua esposa?</p><p>(A)</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>(B)</p><p>1</p><p>3</p><p>.</p><p>(C)</p><p>2</p><p>3</p><p>.</p><p>(D)</p><p>2</p><p>5</p><p>.</p><p>(E)</p><p>1</p><p>5</p><p>.</p><p>26 Um dado honesto é lançado seguidamente até o número 6 ser obtido</p><p>como resultado. Seja x o número de resultados necessários para que isso</p><p>aconteça.</p><p>a. Qual é a probabilidade de x = 3?</p><p>b. Qual é a probabilidade de 3x ≥ ?</p><p>c. Qual é a probabilidade condicional de 6x ≥ , dado que x > 3?</p><p>27 Sejam E, F, G eventos dois a dois independentes com P(G) > 0 e</p><p>( ) 0P E F G∩ ∩ = . Então, ( )|c cP E F G∩ é igual a:</p><p>(A) P(Ec) + P(Fc).</p><p>(B) P(Ec) – P(Fc).</p><p>(C) P(E) – P(F).</p><p>(D) P(E) – P(Fc).</p><p>(E) P(Ec) – P(F).</p><p>28 Três atiradores A, B, C estão posicionados em uma região. A está</p><p>mirando em B, enquanto B e C estão mirando em A. As probabilidades de</p><p>A, B e C acertarem seus alvos são iguais a</p><p>2</p><p>3</p><p>,</p><p>1</p><p>2</p><p>e</p><p>1</p><p>3</p><p>, respectivamente.</p><p>Se A acerta o alvo, encontre a probabilidade de B acertar seu alvo e C não</p><p>acertar.</p><p>29 Para um estudante ser aprovado para um mestrado, ele faz três</p><p>provas e precisa passar em pelo menos duas. A probabilidade de ele</p><p>passar na primeira prova é p. Se ele não passar em alguma das provas,</p><p>a probabilidade de passar na prova seguinte cai para</p><p>2</p><p>p</p><p>(caso contrário,</p><p>continua a mesma probabilidade p). Qual é a probabilidade de ele ser</p><p>aprovado no mestrado?</p><p>30 Uma caixa contém n moedas, das quais apenas m são honestas.</p><p>A probabilidade de obter cara em uma moeda honesta é</p><p>1</p><p>2</p><p>e em uma não</p><p>honesta da caixa é</p><p>2</p><p>3</p><p>. Uma moeda é escolhida aleatoriamente e é lançada</p><p>duas vezes. Se o 1o resultado é cara e o 2o é coroa, qual é a probabilidade</p><p>de a moeda escolhida ser honesta?</p><p>31 Uma pessoa vai ao trabalho de carro, moto, ônibus ou trem com</p><p>probabilidades iguais a</p><p>1</p><p>7</p><p>,</p><p>3</p><p>7</p><p>,</p><p>2</p><p>7</p><p>e</p><p>1</p><p>7</p><p>, respectivamente. As probabilidades</p><p>de ele se atrasar indo de carro, moto, ônibus ou trem são de</p><p>2</p><p>9</p><p>,</p><p>1</p><p>9</p><p>,</p><p>4</p><p>9</p><p>e</p><p>1</p><p>9</p><p>, respectivamente. Dado que ele chegou a tempo ao trabalho, qual é a</p><p>probabilidade de ele ter ido de carro?</p><p>32 Um sinal, que pode ser verde ou vermelho, com probabilidades de</p><p>4</p><p>5</p><p>e</p><p>1</p><p>5</p><p>, respectivamente, é recebido pela estação A e então transmitido à</p><p>estação B. A probabilidade de cada estação receber o sinal corretamente é</p><p>igual a</p><p>3</p><p>4</p><p>. Se o sinal recebido na estação B é verde, qual é a probabilidade</p><p>de o sinal original ser verde?</p><p>(A)</p><p>3</p><p>5</p><p>.</p><p>(B)</p><p>6</p><p>7</p><p>.</p><p>(C)</p><p>20</p><p>23</p><p>.</p><p>(D)</p><p>9</p><p>20</p><p>.</p><p>(E)</p><p>11</p><p>20</p><p>.</p><p>33 Charles possui dois dados de 6 faces. Um dos dados é honesto, mas</p><p>o outro está calibrado para que o 6 saia com</p><p>2</p><p>3</p><p>de probabilidade e cada</p><p>uma das outras faces saia com probabilidade</p><p>1</p><p>15</p><p>. Charles escolhe um</p><p>dos dados aleatoriamente e o lança três vezes. Visto que os dois primeiros</p><p>lançamentos tiveram resultado igual a 6, qual é a probabilidade de no</p><p>terceiro lançamento sair 6 novamente?</p><p>34 Sejam v e w complexos distintos, escolhidos aleatoriamente</p><p>entre as raízes da equação z1.997 – 1 = 0. Qual é a probabilidade de</p><p>2 3v w+ ≥ + ?</p><p>35 Se dois números m e n são escolhidos no conjunto {1, 2, 3, ..., 100},</p><p>qual é a probabilidade de a soma 7m + 7n ser um múltiplo de 5?</p><p>(A)</p><p>1</p><p>4</p><p>.</p><p>(B)</p><p>1</p><p>5</p><p>.</p><p>(C)</p><p>1</p><p>7</p><p>.</p><p>(D)</p><p>1</p><p>8</p><p>.</p><p>(E)</p><p>1</p><p>49</p><p>.</p><p>MATEMÁTICA III</p><p>Assunto 1</p><p>Probabilidades</p><p>25ITA – Vol. 6</p><p>Podemos afirmar que:</p><p>(A) se 1 2≠ ±k k , 1 3≠ ±k k e 2 3≠ ±k k , então o sistema só admite a solução</p><p>trivial.</p><p>(B) se 2 2 2</p><p>1 2 3 0+ + ≠k k k , então o sistema só admite a solução trivial.</p><p>(C) o sistema admite solução trivial se e somente se 2 2 2</p><p>1 2 3 0+ + =k k k .</p><p>(D) se 1 0≠k , 2 0≠k e 3 0≠k , então o sistema só admite a solução trivial.</p><p>(E) n.d.a.</p><p>05 Dado o sistema</p><p>= +</p><p> = +</p><p> = +</p><p>x cy bz</p><p>y az cx</p><p>z bx ay</p><p>sendo x, y e z não nulos, determine o valor numérico de a2 + b2 + c2 + 2abc.</p><p>06 Seja a uma número real tal que</p><p>2</p><p>π</p><p>≠ + πa k , em que k ∈ .</p><p>Se (x0, y0) é solução do sistema</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>2sec 3 tan 2cos</p><p>,</p><p>2 tan 3sec 0</p><p>a x a y a</p><p>a x a y</p><p> + =</p><p> + =</p><p>então podemos afirmar que:</p><p>(A) 0 0 3 2 sen  x y a+ = − .</p><p>(B)</p><p>2</p><p>2 2</p><p>0 0</p><p>2 4</p><p>cos 2</p><p>3 9</p><p>x y a  − = + </p><p> </p><p>.</p><p>(C) x0 – y0 = 0.</p><p>(D) x0 + y0 = 0.</p><p>(E)</p><p>2</p><p>2 2</p><p>0 0</p><p>2 4</p><p>cos</p><p>3 9</p><p>x y a  − = </p><p> </p><p>.</p><p>07 Considere o sistema linear:</p><p>3 4 3</p><p>2 3 2</p><p>6 5 3</p><p>x y z</p><p>x y z</p><p>x y z</p><p>− + =</p><p> + − = −</p><p> + + λ = −</p><p>a. Para que valores de k o sistema possui pelo menos uma solução?</p><p>b. Resolva o sistema no caso em que ele possui mais de uma solução.</p><p>08 É possível que o sistema</p><p>2 3 1</p><p>2 6 1</p><p>3 2 1</p><p>x y z</p><p>ax ay z b</p><p>x y az b</p><p>+ + =</p><p> + + = −</p><p> − + = +</p><p>possua infinitas</p><p>soluções? Se sim, determine o valor de b.</p><p>ExErcícios</p><p>01 Qual é a quantidade de matrizes A 3 × 3 com elementos iguais a</p><p>0 ou 1 tais que o sistema</p><p>1</p><p>0</p><p>0</p><p>x</p><p>A y</p><p>z</p><p>   </p><p>   =   </p><p>      </p><p>possui exatamente duas soluções</p><p>distintas?</p><p>(A) 0.</p><p>(B) 29 – 1.</p><p>(C) 168.</p><p>(D) 2.</p><p>(E) 256.</p><p>02 Qual é a relação que a, b e c devem satisfazer para que o sistema</p><p>abaixo tenha pelo menos uma solução?</p><p>x y z a</p><p>x y z b</p><p>x y z c</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>2 3</p><p>2 6 11</p><p>2 7</p><p>(A) 5a = 2b – c.</p><p>(B) 5a = 2b + c.</p><p>(C) 5a ≠ 2b + c.</p><p>(D) não existe relação entre a, b e c.</p><p>(E) nenhuma das respostas anteriores.</p><p>03 Quais os valores de α fazem o sistema abaixo admitir soluções não</p><p>triviais?</p><p>( ) ( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>sen  1 2 sen  0</p><p>3 sen  4 0</p><p>3 7 sen 6 0</p><p>x y z</p><p>y z</p><p>x y z</p><p> α − + − α =</p><p> α + =</p><p> + α + =</p><p>(A) α = nπ, n inteiro.</p><p>(B) ,</p><p>3</p><p>π</p><p>α = π +n n inteiro.</p><p>(C)</p><p>2</p><p>π</p><p>α = π +n , n inteiro.</p><p>(D) não há valores de α.</p><p>(E) nenhuma das respostas anteriores.</p><p>04 Considere o sistema homogêneo abaixo nas variáveis reais x, y, z:</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>( ) ( ) ( )</p><p>1 2 2 3 1 3</p><p>2 1 2 3 3 1</p><p>1 2 3 2 3 1</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p> + + − + − =</p><p> − + + + − =</p><p> − + − + + =</p><p>k k x k k y k k z</p><p>k k x k k y k k z</p><p>k k x k k y k k z</p><p>Sistemas lineares</p><p>MATEMÁTICA III ASSUNTO</p><p>2</p><p>26 ITA – Vol. 6</p><p>09 Sejam λ e α números reais. Determine o conjunto dos valores de λ</p><p>para os quais o sistema de equações</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>sen  cos 0</p><p>cos sen  0</p><p>sen  cos 0</p><p>λ + α + α =</p><p> + α + α =</p><p>− + α − α =</p><p>x y z</p><p>x y z</p><p>x y z</p><p>possui solução não trivial.</p><p>Em seguida, para λ = 1, determine todos os valores de α.</p><p>10 Considere a matriz</p><p>1 1</p><p>2 1</p><p>3 4</p><p> </p><p> =  </p><p> </p><p> </p><p>x</p><p>C y</p><p>z</p><p>. Determine os valores de x, y e z</p><p>para que os elementos da diagonal principal de C–1 sejam todos iguais a 1.</p><p>11 Considere o sistema de equações abaixo:</p><p>( )</p><p>( ) ( )</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>2 2 2</p><p>2 2 3</p><p>2 2 1 1 2 5</p><p>2 2</p><p>k x y z k</p><p>x ky z k</p><p>k k</p><p>kx k y k z k</p><p> − + − = +</p><p></p><p> + + = +</p><p></p><p> + + + + = − − +</p><p></p><p></p><p>Discuta a solução do sistema para k ∈ .</p><p>12 O agente Ed Ota inventou o seguinte código secreto para a transmissão</p><p>de datas de certos fatos importantes: o código transforma uma data d – m – a,</p><p>em que d é o dia, m é o mês e a representa os dois últimos algarismos do</p><p>ano, em uma nova tripla d' – m' – a', de acordo com a regra:</p><p>2 3 1 '</p><p>1 2 1 '</p><p>2 3 1 '</p><p>d d</p><p>m m</p><p>a a</p><p>−    </p><p>    − =    </p><p>    −    </p><p>O código revelou-se um desastre. De fato, várias datas originais distintas</p><p>(d, m, a) correspondem a um mesmo código transmitido (d', m', a'). Por</p><p>exemplo, as datas 1/1/97 e 2/2/96 correspondem ao mesmo código</p><p>98-98-98:</p><p>2 3 1 1 2 3 1 2 98</p><p>1 2 1 1 1 2 1 2 98</p><p>2 3 1 97 2 3 1 96 98</p><p>− −       </p><p>       − = − =       </p><p>       − −       </p><p>Ed Ota pensou, então, em alterar o coeficiente central da matriz, a22, igual</p><p>a 2, para um outro valor k.</p><p>Determine, se possível, os valores de k que fazem o código funcionar bem.</p><p>MATEMÁTICA III</p><p>Assunto 2</p><p>Sistemas lineares</p><p>27ITA – Vol. 6</p><p>06 Prove que toda matriz simétrica real de ordem 2 possui autovalores</p><p>reais.</p><p>07 Qual é o valor não nulo de λ para o qual ( )det 0− λ =A I , se A é a</p><p>matriz quadrada de ordem 3 que possui todos seus elementos iguais a 1?</p><p>08 	Considere	as	afirmativas	abaixo	sobre	uma	matriz	A quadrada de ordem</p><p>n e elementos reais:</p><p>I. Se n	=	3,	então	existe	k real tal que ( )det 0.− =A kI</p><p>II. Se A3 = 0, então</p><p>( ) .det + = nA xI x</p><p>III. Se</p><p>3 1 0</p><p>0 3 1 ,</p><p>1 0 3</p><p> </p><p> =  </p><p>  </p><p>A a soma das par tes reais das raízes de</p><p>det(A – xl) = 0 é igual a 9.</p><p>Podemos	afirmar	que:</p><p>(A) apenas uma é verdadeira.</p><p>(B) apenas I e II são verdadeiras.</p><p>(C) apenas II e III são verdadeiras.</p><p>(D) apenas I e III são verdadeiras.</p><p>(E) todas são verdadeiras.</p><p>09 É possível que uma matriz A quadrada de ordem 2.015 e elementos</p><p>reais satisfaça A2 – A + l = 0?</p><p>10 Seja A uma matriz de elementos reais e ordem n tal que 2 5 6 0.A A I− + =</p><p>Quantos são os possíveis valores para o determinante de A?</p><p>Para uma matriz A quadrada de ordem n, a equação AX = B, em que</p><p>X(n × 1) é a matriz incógnita e B(n × 1) é a matriz independente, representa</p><p>um sistema linear com n equações e n incógnitas.</p><p>No caso em que o sistema AX = λX possui solução não trivial</p><p>X ≠	0,	 dizemos	 que	λ é autovalor da matriz A. Nessa situação, X é</p><p>autovetor relativo a λ.</p><p>Agora, veja que AX = λX equivale a (A – λI)X = 0. Para que esse</p><p>sistema homogêneo possua solução não trivial X	≠	 0,	 deve-se	 ter</p><p>det(A – λI) = 0λ.</p><p>Assim,	define-se	o	chamado	polinômio	característico	da	matriz	A, dado</p><p>por p(λ) = det(A – λI),	que	é	um	polinômio	de	grau	n em λ. As raízes</p><p>desse	polinômio	são	os	autovalores	da	matriz	A.</p><p>ExErcícios</p><p>01 Prove que uma matriz quadrada possui inversa, se e somente se 0</p><p>não for um autovalor.</p><p>02 Prove que o determinante de uma matriz é igual ao produto dos seus</p><p>autovalores.</p><p>03 Prove que o traço de uma matriz é a soma dos seus autovalores.</p><p>04 Quais são os possíveis autovalores de uma matriz P tal que P3 = P?</p><p>05 Quais são os possíveis módulos dos autovalores da matriz</p><p>cos sen</p><p>sen  cos</p><p>θ − θ </p><p> θ θ </p><p>?</p><p>Matrizes e determinantes (autovalores)</p><p>MATEMÁTICA III ASSUNTO</p><p>3</p><p>28 ITA – Vol. 6</p><p>05 Sejam r e R, respectivamente, os raios das circunferências inscrita e</p><p>circunscrita a um polígono regular de 2.011 lados. Então a razão r : R vale:</p><p>(A)</p><p>2</p><p>sen .</p><p>2.011</p><p>π</p><p>(B) tan .</p><p>2.011</p><p>π</p><p>(C) cos .</p><p>2.011</p><p>π</p><p>(D) sen .</p><p>2.011</p><p>π</p><p>(E)</p><p>2</p><p>cos .</p><p>2.011</p><p>π</p><p>06 Um relógio circular foi construído de modo que os números que</p><p>indicam as horas estão nos vértices de um polígono regular. Nesse</p><p>relógio, o ponteiro das horas é 5 cm menor que o ponteiro dos minutos,</p><p>cujo comprimento é igual ao raio da circunferência no qual o polígono em</p><p>questão, de lado medindo 15 2 3cm,− se encontra inscrito. Os dois</p><p>ponteiros estão presos no centro do círculo. Assim, o comprimento do</p><p>ponteiro menor do relógio, em centímetros, é igual a:</p><p>(A) 30.</p><p>(B) 24.</p><p>(C) 20.</p><p>(D) 15.</p><p>(E) 10.</p><p>07 Em um triângulo de lados AB = 24 cm, BC = 7 cm e AC = 25 cm</p><p>inscreve-se um círculo de raio R. Inscreve-se, também, um círculo menor, de</p><p>raio r, que tangencia o outro círculo e os lados BC e AC. Indique o valor de r:</p><p>(A) 0,6 cm.</p><p>(B) 0,75 cm.</p><p>(C) 1 cm.</p><p>(D) 1,2 cm.</p><p>(E) 1,5 cm.</p><p>08 No triângulo ABC, C =120°. Toma-se D sobre o lado AB, de maneira</p><p>que o ângulo ACD seja reto. Sabendo que AC = BD, calcule a razão</p><p>AD : AC.</p><p>(A) 2.</p><p>(B) 2.</p><p>(C) 3 2.</p><p>(D) 3.</p><p>(E) 5.</p><p>ExErcícios</p><p>01 Cirilo sabe que, no relógio da cozinha, os ponteiros das horas e dos</p><p>minutos medem 5 cm e 8 cm. Em um determinado momento do dia, Cirilo</p><p>observou que a distância entre as pontas dos ponteiros era de exatamente</p><p>7 cm. Passou-se pouco tempo, e, ao olhar que horas eram, Cirilo observou</p><p>que, novamente, a distância entre as pontas dos ponteiros era de 7 cm.</p><p>Sabendo-se que o tempo que se passou foi o mínimo possível para ocorrer</p><p>o evento, aproximadamente quantos minutos se passaram?</p><p>(A) 18 min.</p><p>(B) 21 min.</p><p>(C) 24 min.</p><p>(D) 27 min.</p><p>(E) 30 min.</p><p>02 As retas r, s e t são paralelas entre si e distam 1 cm, 4 cm e 5 cm</p><p>entre si. Sobre cada uma delas tomam-se pontos A, B e C de maneira</p><p>que o triângulo ABC seja equilátero. Quanto vale a área do triângulo ABC</p><p>assim obtido?</p><p>03 ABCD é um trapézio retângulo, de bases AB e CD iguais a 7 e 25, e</p><p>altura AD igual a 24. Marca-se sobre AD um ponto P, de maneira que o</p><p>perímetro de PBC seja o mínimo possível. Quanto vale o perímetro de PBC?</p><p>(A) 56.</p><p>(B) 63.</p><p>(C) 70.</p><p>(D) 77.</p><p>(E) 84.</p><p>04 Um hexágono regular e um quadrado estão inscritos no mesmo círculo</p><p>de raio R e o hexágono possui um lado paralelo a um lado do quadrado. A</p><p>alternativa que apresenta uma das distâncias possíveis entre esses lados</p><p>paralelos será:</p><p>(A)</p><p>3 2</p><p>.</p><p>2</p><p>R</p><p>−</p><p>(B)</p><p>2 1</p><p>.</p><p>2</p><p>R</p><p>+</p><p>(C)</p><p>3 1</p><p>.</p><p>2</p><p>R</p><p>+</p><p>(D)</p><p>2 3</p><p>.</p><p>2</p><p>R</p><p>−</p><p>(E)</p><p>3 2</p><p>.</p><p>3</p><p>R</p><p>−</p><p>Geometria plana: exercícios</p><p>MATEMÁTICA III ASSUNTO</p><p>4</p><p>29ITA – Vol. 6</p><p>09 Em um círculo de centro O, são traçadas as cordas congruentes</p><p>AB, CD e EF. Os segmentos AB e CD se intersectam em M, AB e EF se</p><p>intersectam em N e CD e EF se intersectam em P. No triângulo MNP, x é</p><p>a medida do ângulo externo em P e y a medida do ângulo MON . Quanto</p><p>vale a razão x : y?</p><p>(A) 1 : 1.</p><p>(B) 2 : 1.</p><p>(C) 1 : 2.</p><p>(D) 3 : 1.</p><p>(E) 3 : 2.</p><p>10 Em um trapézio ABCD, as bases são AB e CD, e os segmentos AD,</p><p>BD e CD são todos iguais. Sendo o ângulo interno em B igual a x, quanto</p><p>vale o ângulo formado pelas diagonais AC e BD?</p><p>(A) 3x/2.</p><p>(B) x.</p><p>(C) 2x – 180°.</p><p>(D) 90° + x.</p><p>(E) 3x – 270°.</p><p>11 (OBM) Na figura, a reta PQ toca em N o círculo que passa por L, M</p><p>e N. A reta LM corta a reta PQ em R. Se LM = LN e a medida do ângulo</p><p>PNL é α, α > 60°, quanto mede o ângulo LRP ?</p><p>M</p><p>L</p><p>N</p><p>α</p><p>P R Q</p><p>(A) 3α – 180°.</p><p>(B) 180° – 2α.</p><p>(C) 180° – α.</p><p>(D) 90° – α/2.</p><p>(E) α.</p><p>12 Sobre uma reta, marcam-se os pontos A, B e C nessa ordem.</p><p>Constroem-se os quadrados ABDE e BCFG, no mesmo semiplano gerado</p><p>pela reta AB. Os círculos circunscritos a esse quadrado se cortam em B</p><p>e P. Sabendo que AP = 12 cm e PC = 18 cm, calcule a razão dos lados</p><p>dos quadrados:</p><p>(A) 1 : 2.</p><p>(B) 2 : 3.</p><p>(C) 3 : 4.</p><p>(D) 4 : 9.</p><p>(E) faltam dados.</p><p>13 Duas circunferências C1 e C2 de centros O e P são secantes em A e</p><p>B. A reta OB corta novamente C2 em E, e a reta PB corta novamente C1</p><p>em D. O que o ponto notável B é em relação ao triângulo ADE?</p><p>(A) Encentro.</p><p>(B) Ortocentro.</p><p>(C) Circuncentro.</p><p>(D) Baricentro.</p><p>(E) Ponto de Brocard.</p><p>14 Em um triângulo ABC, de ortocentro H interno ao triângulo, tem-se</p><p>que AH = 10 cm e BC = 24 cm. Logo, o triângulo ABC está inscrito em</p><p>um círculo de raio igual, em centímetros, a:</p><p>(A) 11.</p><p>(B) 12.</p><p>(C) 13.</p><p>(D) 14.</p><p>(E) 15.</p><p>15 Em um triângulo ABC, o lado BC mede 13 cm. Seja M o ponto</p><p>médio de BC e I o pé da perpendicular de B ao segmento AM. Sabendo</p><p>que IB mede 3 cm, então a medida do ângulo CIM , em radianos, está</p><p>no intervalo:</p><p>(A) 0, .</p><p>6</p><p>π </p><p>  </p><p>(B) , .</p><p>6 5</p><p>π π </p><p>  </p><p>(C) , .</p><p>5 4</p><p>π π </p><p>  </p><p>(D) , .</p><p>4 3</p><p>π π </p><p>  </p><p>(E) nenhum dos anteriores.</p><p>16 ABCD é um quadrado de lado L e ABP é um triângulo equilátero interno</p><p>ao quadrado. A diagonal BD corta o lado AP no ponto X. Calcule a área de</p><p>BPX.</p><p>17 Em um triângulo ABC, AB = AC e o incírculo tem raio igual a 4 cm.</p><p>Inscreve-se mais um círculo, tangente ao incírculo e aos lados AB e AC,</p><p>de raio igual a 1 cm. Quanto mede a área do triângulo ABC?</p><p>18 ABCDEF é um hexágono regular de lado igual a 6 cm. Toma-se sobre a</p><p>diagonal BD um ponto P, de maneira que BP = 6 cm. A reta CP intersecta</p><p>a diagonal DF no ponto Q. Quanto mede DQ em centímetros?</p><p>19 Dentro de um círculo de raio 3R encontram-se 2 círculos de raio R,</p><p>tangentes entre si e ao círculo maior. Calcule a área da menor figura formada</p><p>por arcos das três circunferências.</p><p>20 Três pontos A, B e C são tais que B está entre A e C. Um Arbelos é</p><p>uma figura formada pelas semicircunferências de diâmetros AB, AC e BC</p><p>no mesmo semiplano relativo à reta AC. A porção da perpendicular a AC</p><p>traçada por B contida no Arbelos tem comprimento igual a 10 cm. Quanto</p><p>mede, em cm², a área do Arbelos?</p><p>(A) 25π.</p><p>(B) 50π.</p><p>(C) 25 2 .π</p><p>(D) 100π.</p><p>(E) depende da razão AB : AC.</p><p>MATEMÁTICA III</p><p>Assunto 4</p><p>30 ITA – Vol. 6</p><p>21 Seja ABCDEFGHIJKL um polígono regular. As diagonais AC e BF se</p><p>intersectam em X, e as diagonais BG e AD se intersectam em Y. Quanto</p><p>mede o ângulo AYX ?</p><p>(A) 45°.</p><p>(B) 60°.</p><p>(C) 75°.</p><p>(D) 90°.</p><p>(E) 105°.</p><p>22 Dois círculos de raios iguais a 6</p><p>cm e 4 cm são tangentes entre</p><p>si no ponto T. Seja P um ponto externo a ambos, e os segmentos PA,</p><p>PT e PB tangentes aos círculos. Calcule PA, sabendo que PA e PB são</p><p>perpendiculares entre si.</p><p>23 Em um trapézio isósceles, de bases 10 e 6, as diagonais são</p><p>perpendiculares aos lados oblíquos. Calcule a distância da interseção das</p><p>diagonais à base maior.</p><p>24 No interior de um triângulo equilátero ABC, marcou-se um ponto P,</p><p>cujas distâncias aos lados AB, AC e BC são, respectivamente, 3 cm,</p><p>4 cm e 5 cm. Calcule a área do triângulo ABC.</p><p>25 Seja ABCDEF um hexágono regular, e P um ponto qualquer no seu</p><p>interior. As distâncias de P com relação aos lados AB, CD e EF são,</p><p>respectivamente, 7 cm, 12 cm e 11 cm. Calcule a área do hexágono.</p><p>26 No paralelogramo ABCD, marca-se P sobre BC, e O é a interseção</p><p>de AP e BD. Sabendo que as áreas de BOP e AOD são iguais a 4 cm² e</p><p>25 cm², respectivamente, calcule a área do quadrilátero OPCD:</p><p>(A) 25 cm².</p><p>(B) 27 cm².</p><p>(C) 28 cm².</p><p>(D) 30 cm².</p><p>(E) 31 cm².</p><p>27 Calcule a área de um octógono inscritível de lados 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3</p><p>e 3, nessa ordem.</p><p>28 João cortou os quatro cantos de uma folha retangular e obteve</p><p>um octógono equiângulo ABCDEFGH, como mostra a figura abaixo.</p><p>Sabendo-se que 2 2,AB = 7,BC = 3 2,CD = 3,DE = 4 2EF = e</p><p>5 2,GH = determine a área desse octógono.</p><p>B</p><p>A</p><p>H</p><p>3</p><p>7</p><p>D</p><p>E</p><p>FG</p><p>C</p><p>5 2,GH = 4 2EF =</p><p>3 2,CD =2 2,AB =</p><p>29 Um triângulo equilátero, um quadrado e um hexágono regular são tais</p><p>que suas áreas compõem uma progressão aritmética. Sabendo-se que</p><p>os perímetros do hexágono e do triângulo são iguais, quanto vale a razão</p><p>entre o lado do quadrado e o lado do hexágono?</p><p>30 No interior de um triângulo escaleno ABC, cujo ângulo A = 60° e cujos</p><p>lados AB e AC são proporcionais a 5 e 8, marca-se um ponto I tal que os</p><p>ângulos AIB e AIC medem 120°. Sabe-se que AI = 10 cm. Quanto mede</p><p>a área do triângulo BIC?</p><p>MATEMÁTICA III</p><p>Assunto 4</p><p>Geometria plana: exercícios</p><p>31ITA – Vol. 6</p><p>MATEMÁTICA III</p><p>Assunto 4</p><p>32 ITA – Vol. 6</p><p>ExErcícios</p><p>01 	Se	o	vértice	de	um	triângulo	é	(1,	1)	e	os	pontos	médios	dos	lados	do</p><p>triângulo	contendo	esse	vértice	são	(–1,	2)	e	(3,	2),	então	o	baricentro	do</p><p>triângulo	é:</p><p>(A)</p><p>1 7</p><p>,</p><p>3 3</p><p> − </p><p> </p><p>.</p><p>(B)</p><p>7</p><p>1,</p><p>3</p><p> − </p><p> </p><p>.</p><p>(C)</p><p>1 7</p><p>,</p><p>3 3</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>.</p><p>(D) 7</p><p>1,</p><p>3</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>.</p><p>(E) 1 7</p><p>,</p><p>3 3</p><p> − − </p><p> </p><p>.</p><p>02 	A	imagem	da	reflexão	da	reta	 − =2 3 6x y na reta + = 0x y é:</p><p>(A) − =3 2 6x y .</p><p>(B) + =</p><p>6</p><p>3 2</p><p>5</p><p>x y .</p><p>(C) − = 3 2 0x y .</p><p>(D) + = −</p><p>6</p><p>2 3</p><p>5</p><p>x y .</p><p>(E) n.r.a.</p><p>03 	Todas	as	retas	da	forma	 ( ) ( )+ + + = +2 3a b x a b y a b 	passam	por</p><p>um	ponto	P.	Qual	a	soma	das	coordenadas	desse	ponto?</p><p>(A)	 0.</p><p>(B)	 1.</p><p>(C) 2.</p><p>(D) 3.</p><p>(E)	 4.</p><p>04 	Se	 a	 soma	 dos	 coeficientes	 angulares	 das	 retas	 definidas	 por</p><p>− − =2 22 7 0x cxy y 	é	quatro	vezes	o	seu	produto,	então	o	valor	de	c é:</p><p>(A) 2.</p><p>(B)	 –1.</p><p>(C)	 1.</p><p>(D)	–2.</p><p>(E)	 0.</p><p>05 	A	equação	 + + + =2 2 0ax by cx cy 	representa	um	par	de	retas	se:</p><p>(A) + = 0a b .</p><p>(B) + = 0a c .</p><p>(C) = 0c .</p><p>(D) ( )+ = 0c a b .</p><p>(E) + + = 0a b c .</p><p>06 Determine	t	para	que	a	equação	 + − + =2 4 6 0xy x y t 	represente	um</p><p>par	de	retas:</p><p>(A)	 12.</p><p>(B) 7.</p><p>(C)	 0.</p><p>(D)	–7.</p><p>(E)	 –12.</p><p>07 Dado	um	triângulo	de	vértices	A(2,	–5),	B(1,	–2)	e	C(4,	7),	determine</p><p>o	ponto	de	interseção	da	bissetriz	do	ângulo	interno	do	vértice	B	com	o</p><p>lado	AC:</p><p>(A)	 (1,	–1).</p><p>(B)	 (5,	–2).</p><p>(C)	 (5/2,	–1).</p><p>(D)	 (5,	–1).</p><p>(E)	 (5/2,	–2).</p><p>08 	Considere	 as	 seguintes	 afirmativas	 sobre	 um	 triângulo	ABC	 de</p><p>coordenadas	inteiras:</p><p>I.	 O	baricentro	do	triângulo	sempre	tem	coordenadas	inteiras.</p><p>II.	 O	circuncentro	do	triângulo	pode	ter	coordenadas	inteiras.</p><p>III.	 Um	dos	ângulos	do	triângulo	pode	ser	60	graus.</p><p>IV.	 A	área	do	triângulo	sempre	é	um	número	inteiro.</p><p>O	número	de	afirmativas	verdadeiras	é:</p><p>(A)	 0.</p><p>(B)	 1.</p><p>(C) 2.</p><p>(D) 3.</p><p>(E)	 4.</p><p>09 Seja ABC	 um	 triângulo	 de	 vér tices	A(1,	 4),	B(5,	 2)	 e	C(7,	 4).</p><p>O	circuncentro	desse	triângulo	tem	coordenadas:</p><p>(A)	 (5,	4).</p><p>(B)	 (3,	3).</p><p>(C)	 (2,	3).</p><p>(D)	 (3,	2).</p><p>(E)	 (4,	5).</p><p>10 Dados	dois	vértices	A(3,	–1)	e	B(5,	7)	de	um	triângulo	ABC	e	o	seu</p><p>ortocentro	H(4,	–1),	pode-se	afirmar	que	a	equação	de	um	dos	lados	do</p><p>triângulo	é:</p><p>(A) x = 3.</p><p>(B) x	+	8y	+	5	=	0.</p><p>(C)	 4x + y = 27.</p><p>(D) y	+	1	=	0.</p><p>(E) x	+	8y	=	61.</p><p>Geometria analítica</p><p>MATEMÁTICA IV ASSUNTO</p><p>1</p><p>33ITA – Vol. 6</p><p>11 Uma	reta	da	família	 ( ) ( )+ + + + − =5 2 4 9 25 0a x y b x y que	forma</p><p>um	triângulo	isósceles	com	as	retas	2x	–	3y	+	5	=	0	e	12x	+	8y	–	7	=	0	é:</p><p>(A) x	+	5y	=	13.</p><p>(B) x + 9y	=	25.</p><p>(C)	 6x	+	11y	=	21.</p><p>(D)	4x	–	7y	+	29	=	0.</p><p>(E) 3x + 2y	=	4.</p><p>12 	Pelo	 ponto	 P(1,	 8),	 traçam-se	 as	 tangentes	 à	 circunferência</p><p>+ − − − =2 2 6 4 11 0x y x y 	nos	pontos	A e B.	A	equação	do	circuncírculo</p><p>do	triângulo	PAB é:</p><p>(A) + + − + =2 2 4 6 19 0x y x y .</p><p>(B) + − − + =2 2 4 10 19 0x y x y .</p><p>(C) + − + − =2 2 2 6 29 0x y x y .</p><p>(D) + − − + =2 2 6 4 19 0x y x y .</p><p>(E) n.r.a.</p><p>13 	Se	 as	 circunferências	 x2 + y2 + 2ax + cy 	 +	 a	 =	 0	 e</p><p>x2 + y2	–	3ax + dy	–	1	=	0	intersectam-se	em	dois	pontos	distintos	P e</p><p>Q,	então	a	reta	5x + by	–	a	=	0	passa	pelos	pontos	P e Q para:</p><p>(A)	 nenhum	valor	de	a.</p><p>(B)	 exatamente	um	valor	de	a.</p><p>(C)	 exatamente	dois	valores	de	a.</p><p>(D)	exatamente	três	valores	de	a.</p><p>(E)	 infinitos	valores	de	a.</p><p>14 As retas ( )+ + + =2 22 0ax a b xy by 	são	suportes	de	diâmetros	de</p><p>um	círculo	e	o	dividem	em	quatro	setores,	de	forma	que	a	área	de	um</p><p>desses	setores	é	o	triplo	da	área	de	outro	desses	setores.	Pode-se	afirmar</p><p>que:</p><p>(A) − + =2 23 2 3 0a ab b .</p><p>(B) − + =2 23 10 3 0a ab b .</p><p>(C) + + =2 23 2 3 0a ab b .</p><p>(D) + + =2 23 10 3 0a ab b .</p><p>(E) + + =2 23 12 3 0a ab b .</p><p>15 	Se	o	ponto	( )2,a a 	encontra-se	dentro	da	região	delimitada	pelas	retas</p><p>, 0</p><p>2</p><p>x</p><p>y x= > e 3 ,   0y x x= > ,	então	a	pertence	ao	intervalo:</p><p>(A) 1</p><p>0,</p><p>2</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>.</p><p>(B) ( )3, ∞ .</p><p>(C) 1, 3</p><p>2</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>.</p><p>(D) 1</p><p>3,</p><p>2</p><p> − − </p><p> </p><p>.</p><p>(E) 1</p><p>0,</p><p>2</p><p> − </p><p> </p><p>.</p><p>16 	Considere	 a	 circunferência	 + =2 2 9x y 	 e	 a	 parábola	 =2 8y x,	 que</p><p>se	intersectam	nos	pontos	P	(1o	quadrante)	e	Q	(4o	quadrante).	Sabe-se</p><p>que	as	tangentes	à	circunferência	em	P e Q	intersectam	o	eixo	x em R,</p><p>e	as	tangentes	à	parábola	em	P e Q	intersectam	o	eixo	x em S.	O	raio	do</p><p>circuncírculo	do	triângulo	PRS é:</p><p>(A)	 5.</p><p>(B) 3 3 .</p><p>(C) 3 2 .</p><p>(D) 2 3 .</p><p>(E) 2 2 .</p><p>17 A	curva	descrita	parametricamente	pelas	equações	 = + +2 1x t t e</p><p>= − +2 1y t t 	representa:</p><p>(A)	 uma	única	reta.</p><p>(B)	 um	par	de	retas.</p><p>(C)	 uma	elipse.</p><p>(D)	uma	parábola.</p><p>(E)	 uma	hipérbole.</p><p>18 	O	eixo	de	uma	parábola	está	na	reta	y = x,	a	distância	do	seu	vértice	até</p><p>a	origem	é	 2,	e	a	distância	do	vértice	até	o	foco,	2 2.	Sabendo-se	que	o</p><p>vértice	e	o	foco	estão	no	primeiro	quadrante,	a	equação	da	parábola	é:</p><p>(A) ( ) ( )+ = − −</p><p>2</p><p>2x y x y .</p><p>(B) ( ) ( )− = + −</p><p>2</p><p>2x y x y .</p><p>(C) ( ) ( )− = + −</p><p>2</p><p>4 2x y x y .</p><p>(D) ( ) ( )− = + −</p><p>2</p><p>8 2x y x y .</p><p>(E) ( ) ( )+ = + −</p><p>2</p><p>4 2x y x y .</p><p>19 O	centro	da	elipse</p><p>( ) ( )+ − −</p><p>+ =</p><p>2 2</p><p>2</p><p>1</p><p>9 16</p><p>x y x y</p><p>é:</p><p>(A)	 (0,	0).</p><p>(B)	 (1,	0).</p><p>(C)	 (0,	1).</p><p>(D)	 (1,	1).</p><p>(E)	 (–1,	–1).</p><p>20 Uma	elipse	tem	foco	na	origem,	excentricidade</p><p>1</p><p>2</p><p>e a reta x	=	4	como</p><p>diretriz.	Pode-se	afirmar	que	o	comprimento	do	eixo	maior	é:</p><p>(A)	 16/3.</p><p>(B)	 10/3.</p><p>(C)	 8/3.</p><p>(D)	2/3.</p><p>(E)	 1/3.</p><p>21 Para	a	hipérbole</p><p>2 2</p><p>2 2 1</p><p>cos sen</p><p>x y</p><p>a a</p><p>− = ,	qual	opção	abaixo	permanece</p><p>constante	quando	o	parâmetro	a	varia?</p><p>(A)	 Abscissa	dos	vértices.</p><p>(B)	 Abscissa	dos	focos.</p><p>(C)	 Excentricidade.</p><p>(D)	Diretriz.</p><p>(E) Latus rectum.</p><p>MATEMÁTICA IV</p><p>Assunto 1</p><p>34 ITA – Vol. 6</p><p>22 Seja M o	ponto	sobre	a	hipérbole	 − =</p><p>2 2</p><p>1</p><p>24 18</p><p>x y 	mais	próximo	da	reta</p><p>+ + =3 2 1 0x y .	Determine	a	distância	de	M a essa reta:</p><p>(A) 9 13</p><p>13</p><p>.</p><p>(B) 11 13</p><p>13</p><p>.</p><p>(C) 13 .</p><p>(D) 15 13</p><p>13</p><p>.</p><p>(E) 17 13</p><p>13</p><p>.</p><p>23 	Dois	planos	α e β	 formam	um	ângulo	de	30	graus.	Determine	os</p><p>comprimentos	dos	eixos	de	uma	elipse	obtida	pela	projeção	sobre	o	plano</p><p>β	de	um	círculo	de	raio	10	do	plano	α.</p><p>24 	Os	dois	lados	iguais	de	um	triângulo	isósceles	encontram-se	nas	retas</p><p>− + =7 3 0x y e + − =3 0x y ,	e	o	terceiro	lado	desse	triângulo</p><p>passa</p><p>pelo	ponto	D(1,	–10).	Determine	a	equação	do	terceiro	lado.</p><p>25 Seja R	 a	 região	consistindo	dos	pontos	 (x,	y)	do	plano	cartesiano</p><p>satisfazendo,	simultaneamente,	 − ≤ 1x y e ≤ 1y .	Faça	um	esboço</p><p>da	região	R	e	calcule	a	sua	área.</p><p>26 Encontre	as	equações	dos	lados	de	um	triângulo	ABC	sabendo	que	um</p><p>dos	vértices	é	B	=	(2,	–7),	que	uma	de	suas	alturas	é	AA’: 3x + y	+	11	=	0</p><p>e	que	uma	de	suas	medianas	é	CM: x + 2y	+	7	=	0.</p><p>27 	Considere	as	circunferências</p><p>( ) ( )− + − =</p><p>2 2 2</p><p>1 :  1 2 42C x y</p><p>( ) ( )− + − =</p><p>2 2 2</p><p>2 :  9 17 102C x y</p><p>a.	 Mostre	 que	 uma	 dessas	 circunferências	 está	 dentro	 da	 região</p><p>delimitada	pela	outra.</p><p>b.	 Mostre	 que	 o	 lugar	 geométrico	 dos	 centros	 das	 circunferências</p><p>que	são	simultaneamente	 tangentes	 internamente	a	C1	e	 tangentes</p><p>externamente	a	C2	é	uma	elipse.</p><p>c.	 Determine	o	valor	do	eixo	maior	e	do	eixo	menor	dessa	elipse.</p><p>28 Determine	os	valores	de	t para	os	quais	o	ponto	(t,	t2)	pertence	ao</p><p>interior	do	triângulo	formado	pelas	retas	 + − =2 3 1 0x y ,	 + − =2 3 0x y e</p><p>− − =5 6 1 0x y .</p><p>29 	Um	retângulo	HOMF	tem	lados	HO	=	11	e	OM	=	5.	Um	triângulo	ABC</p><p>tem	ortocentro	H	e	circuncentro	O.	Sabe-se	também	que	M é	o	ponto	médio</p><p>do	lado	BC e F	é	o	pé	da	perpendicular	da	altura	por	A.	Qual	o	comprimento</p><p>do	segmento	BC?</p><p>30 	Considere	os	pontos	 ( )cos , sen  A a b= α α e ( )cos , senB a b= β β</p><p>pertencentes	à	elipse	 + =</p><p>2 2</p><p>2 2 1</p><p>x y</p><p>a b</p><p>.	Determine,	em	função	de</p><p>α +β</p><p>=</p><p>2</p><p>u e</p><p>α −β</p><p>=</p><p>2</p><p>v ,	as	coordenadas	do	ponto	de	interseção	das	tangentes	à	elipse</p><p>nos	pontos	A e B.</p><p>31 	Duas	parábolas	têm	eixos	perpendiculares	e	intersectam-se	nos	pontos</p><p>A,	B,	C e D.	Mostre	que	esses	pontos	são	cocíclicos.</p><p>32 	Considere	 o	 ponto	 2( ,	2 )tP a at= 	 pertencente	 à	 parábola	 =2 4y ax.</p><p>Calcule	o	comprimento	de	uma	corda	focal	que	tenha	extremidade	em	P.</p><p>33 Sejam</p><p>1</p><p>,A a</p><p>a</p><p> =  </p><p> </p><p>e 1</p><p>,b</p><p>b</p><p> </p><p> </p><p> </p><p>pontos	 no	mesmo	 ramo	 da	 hipérbole</p><p>xy	=	1	tais	que	 ≤a b.	Determine	o	ponto</p><p>1</p><p>,P p</p><p>p</p><p> </p><p>=  </p><p> </p><p>,	 ≤ ≤a p b,	tal	que	a</p><p>área	do	triângulo	APB seja	a	maior	possível.</p><p>34 Encontre	 todos	os	 pares	 de	 números	 reais	 (p,	q)	 para	 os	 quais	 a</p><p>inequação</p><p>−</p><p>− − − ≤2 2 1</p><p>1</p><p>2</p><p>x px q 	é	satisfeita	para	todo	 [ ]∈ 0,1x .</p><p>35 Seja P	 um	 ponto	 na	 hipérbole	 xy =	4	 e	Q um	 ponto	 na	 elipse</p><p>+ =2 24 4x y .	Mostre	que	a	distância	PQ é	sempre	maior	que	1.</p><p>MATEMÁTICA IV</p><p>Assunto 1</p><p>Geometria analítica</p><p>35ITA – Vol. 6</p><p>ExErcícios</p><p>01 	No	cubo	ABCD-EFGH	de	aresta	6	cm,	quanto	medem	o	ângulo	e	a</p><p>distância	entre	as	diagonais	de	face	AF e BG,	respectivamente?</p><p>(A)	 45°	e	2	cm.</p><p>(B)	 45°	e	 2 2 cm.</p><p>(C)	60°	e	 2 2 cm.</p><p>(D)	60°	e	 3 2 cm.</p><p>(E)	 60°	e	 2 3 cm.</p><p>02 	Uma	 pirâmide	 quadrangular	 regular	V-ABCD	 tem	 aresta	 da	 base</p><p>medindo	10	e	altura	medindo	12.	Sejam	M e N	pontos	médios	de	VB e</p><p>VD,	respectivamente.	Calcule	a	distância	entre	as	retas	reversas	AM e CN.</p><p>03 		Em	uma	pirâmide	quadrangular	regular	V-ABCD	de	aresta	da	base	12	cm</p><p>e	altura	8	cm,	toma-se	o	plano	bissetor	do	diedro	formado	pelas	faces</p><p>ABCD e VAD.	Calcule	a	razão	em	que	fica	dividido	o	volume	da	pirâmide.</p><p>04 	Recorta-se	 uma	 folha	 no	 formato	 de	 um	 triângulo	ABC,	 retângulo</p><p>em A,	e	tal	que	AB = AC =	3	cm.	Tomam-se	D e E	pontos	sobre	BC,	de</p><p>maneira	que	os	ângulos	BAD ,	DAE e EAC 	sejam	iguais.	Dobra-se	a	folha</p><p>criando-se	vincos	em	AD e AE,	de	maneira	a	juntar	AB e AC,	formando-se</p><p>uma	pirâmide	de	vértice	B = C	e	base	ADE.	Calcule	o	volume	da	pirâmide</p><p>formada.</p><p>05 	Verifique	quantos	dos	ângulos	poliédricos	convexos	abaixo	existem:</p><p>I.	 Um	triedro	de	faces	30°,	60°	e	90°.</p><p>II.	 Um	ângulo	heptaédrico	de	faces	iguais	a	50°.</p><p>III.	 Um	ângulo	hexaédrico	de	faces	iguais	a	60°.</p><p>IV.	 Um	triedro	cujos	diedros	medem	60°,	80°	e	100°.</p><p>V.	 Um	triedro	cujos	diedros	medem	40°,	60°	e	80°.</p><p>Dentre	eles,	de	fato	existe(m):</p><p>(A)	 um.</p><p>(B)	 dois.</p><p>(C)	 três.</p><p>(D)	quatro.</p><p>(E)	 todos.</p><p>06 	Qual	dos	polígonos	regulares	a	seguir	não	pode	ser	replicado	para	que</p><p>forme	um	poliedro	convexo?</p><p>(A)	 Triângulo.</p><p>(B)	 Quadrado.</p><p>(C)	Pentágono.</p><p>(D)	Hexágono.</p><p>(E)	 Todos	formam.</p><p>07 	A	partir	de	um	 icosaedro	regular,	que	possui	20	 faces	 triangulares</p><p>regulares,	forma-se	o	icosaedro	truncado,	poliedro	arquimediano	usado</p><p>na	confecção	de	bolas	de	futebol.	Tal	poliedro	é	formado	dividindo-se	cada</p><p>aresta	do	icosaedro	original	em	3	partes	iguais,	e	retirando-se	pirâmides</p><p>pentagonais	de	cada	vértice	do	icosaedro.	Dessa	maneira,	seja	a	medida</p><p>da	aresta	de	um	icosaedro	original	igual	a	9	cm.	A	soma	dos	comprimentos</p><p>das	arestas	do	icosaedro	truncado	obtido	a	partir	dele,	em	cm,	mede:</p><p>(A)	 240.</p><p>(B)	 270.</p><p>(C)	 300.</p><p>(D)	360.</p><p>(E)	 480.</p><p>08 	Em	um	prisma	quadrangular	oblíquo	de	volume	90	m²,	a	altura	mede	h.</p><p>A	seção	reta	produzida	nesse	prisma	é	um	quadrado	de	lado	3	m.	Quanto</p><p>mede	a	área	da	superfície	definida	por	esse	prisma?</p><p>09 	Em	uma	pirâmide	triangular	regular	V-ABC,	a	aresta	lateral	mede	3,</p><p>e a altura	da	pirâmide	mede	 5.	Calcule	a	distância	do	vértice	A	à	face</p><p>VBC.</p><p>10 	Considere	uma	pirâmide	hexagonal	regular	de	altura	10	cm,	na	qual</p><p>está	inscrita	uma	esfera	de	raio	4	cm.	Qual	das	seguintes	representa	a</p><p>porcentagem	da	área	da	base	em	relação	à	área	da	superfície	da	pirâmide?</p><p>(A)	 16%.</p><p>(B)	 32%.</p><p>(C)	 40%.</p><p>(D)	50%.</p><p>(E)	 66,6%.</p><p>11 	Em	um	prisma	hexagonal	 regular	 está	 inscrita	 uma	 esfera	 de	 raio</p><p>3	cm.	Calcule	o	volume	do	prisma.</p><p>12 	Em	um	cone	circular	reto,	cujo	raio	da	base	mede	6	cm	e	cuja	altura</p><p>mede	8	cm,	está	inscrito	um	prisma	hexagonal	regular,	que	possui	uma</p><p>base	 apoiada	 na	 base	 do	 cone	 e	 a	 outra	 com	 seus	 vértices	 sobre	 a</p><p>superfície	lateral	do	cone.	Sabendo	que	a	área	lateral	do	prisma	é	máxima,</p><p>calcule	o	volume	do	prisma.</p><p>13 	Divide-se	um	tronco	de	pirâmide	em	dois	troncos,	de	maneira	que	a</p><p>razão	de	seus	volumes	é	1	:	8	e	a	razão	de	suas	alturas	é	1	:	2.	Sobre	os</p><p>troncos,	fazem-se	as	seguintes	assertivas:</p><p>I.	 suas	bases	são	semelhantes;</p><p>II.	 a	razão	de	suas	áreas	laterais	é	1	:	4;</p><p>III.	 os	perímetros	dos	três	polígonos	que	definem	as	bases	dos	troncos</p><p>formam	uma	progressão	geométrica;</p><p>IV.	 os	troncos	são	semelhantes.</p><p>Quantas	são	verdadeiras?</p><p>(A)	 0.</p><p>(B)	 1.</p><p>(C) 2.</p><p>(D) 3.</p><p>(E)	 4.</p><p>Geometria espacial</p><p>MATEMÁTICA IV ASSUNTO</p><p>2</p><p>36 ITA – Vol. 6</p><p>14 	Uma	lata	tem	formato	de	um	cilindro	circular	reto,	cujo	comprimento</p><p>da	base	mede x	cm,	e	cuja	altura	mede	2x	cm.	Duas	formiguinhas	estão</p><p>em	um	ponto	do	canto	da	base,	e	desejam	sair	da	lata	por	um	furinho</p><p>situado	 na	mesma	 vertical.	 Sabendo	que	 as	 duas	 percorrem	o	menor</p><p>caminho	possível,	a	primeira	dá	uma	volta	no	copo	no	sentido	horário	e	a</p><p>segunda	dá	quatro	voltas	no	copo	no	sentido	anti-horário,	qual	é	a	razão</p><p>dos	comprimentos	das	trajetórias	das	duas	formiguinhas?</p><p>(A)	 1	:	2.</p><p>(B)	 1	:	4.</p><p>(C)	 1	:	8.</p><p>(D)	1	: 2.</p><p>(E)	 1	: 2 2.</p><p>15 	Um	cone	circular	reto	é	tal	que	o	diâmetro	da	base	mede	4	cm	e	sua</p><p>altura	mede	6	cm.	Inscreve-se	nele	um	cilindro	circular	reto,	em	que	uma</p><p>das	bases	está	apoiada	sobre	a	base	do	cone,	e	a	outra	está	contida	na</p><p>superfície	lateral	do	cilindro.	Sabendo	que	a	área	da	superfície	do	cilindro</p><p>é	máxima,	qual	será	o	seu	volume,	em	cm³?</p><p>(A) 2π.</p><p>(B) 3π.</p><p>(C)	 4π.</p><p>(D)	4,5π.</p><p>(E)	 6π.</p><p>16 	Um	cone	e	um	cilindro	de	revolução	possuem	ambos	a	mesma	base</p><p>circular,	e	estão	situados	no	mesmo	semiespaço	 relativo	a	essa	base.</p><p>O	cilindro	secciona	o	cone,	de	tal	maneira	que	o	volume	da	região	interna</p><p>ao	cilindro	e	externa	ao	cone	é	igual	ao	volume	da	região	interna	ao	cone</p><p>e	externa	ao	cilindro.	Qual	é	a	razão	que	o	tronco	de	cone,	interseção	dos</p><p>dois	sólidos,	representa	em	relação	ao	cilindro?</p><p>(A)	 1	:	3.</p><p>(B) 2 : 3.</p><p>(C)	 4	:	9.</p><p>(D)	5	:	9.</p><p>(E)	 19	:	27.</p><p>17 	Um	cone	de	revolução	está	inscrito	em	um	círculo	de	raio	igual	a	6,25	cm.</p><p>Nesse	cone,	está	inscrita	uma	esfera	de	raio	3	cm.	Calcule	o	volume	do</p><p>cone,	em	cm³.</p><p>18 	Três	chapas	circulares	idênticas	foram	cortadas	em	setores	circulares</p><p>para	 a	 confecção	 de	 cones	 circulares	 retos.	 A	 1a	 foi	 dividida	 em	 2</p><p>semicírculos;	a	2a,	em	3	setores</p>