Geometria Descritiva (3)

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<p>GEOMETRIA</p><p>DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA</p><p>Prof. Thiago Roda</p><p>GEOMETRIA</p><p>DESCRITIVA</p><p>Marília/SP</p><p>2023</p><p>“A Faculdade Católica Paulista tem por missão exercer uma</p><p>ação integrada de suas atividades educacionais, visando à</p><p>geração, sistematização e disseminação do conhecimento,</p><p>para formar profissionais empreendedores que promovam</p><p>a transformação e o desenvolvimento social, econômico e</p><p>cultural da comunidade em que está inserida.</p><p>Missão da Faculdade Católica Paulista</p><p>Av. Cristo Rei, 305 - Banzato, CEP 17515-200 Marília - São Paulo.</p><p>www.uca.edu.br</p><p>Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma</p><p>sem autorização. Todos os gráficos, tabelas e elementos são creditados à autoria,</p><p>salvo quando indicada a referência, sendo de inteira responsabilidade da autoria a</p><p>emissão de conceitos.</p><p>Diretor Geral | Valdir Carrenho Junior</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 5</p><p>SUMÁRIO</p><p>CAPÍTULO 01</p><p>CAPÍTULO 02</p><p>CAPÍTULO 03</p><p>CAPÍTULO 04</p><p>CAPÍTULO 05</p><p>CAPÍTULO 06</p><p>CAPÍTULO 07</p><p>CAPÍTULO 08</p><p>CAPÍTULO 09</p><p>CAPÍTULO 10</p><p>CAPÍTULO 11</p><p>CAPÍTULO 12</p><p>CAPÍTULO 13</p><p>CAPÍTULO 14</p><p>CAPÍTULO 15</p><p>08</p><p>17</p><p>29</p><p>38</p><p>52</p><p>61</p><p>71</p><p>84</p><p>93</p><p>105</p><p>115</p><p>127</p><p>140</p><p>149</p><p>155</p><p>CONCEITUAÇÃO</p><p>RETA</p><p>PLANO</p><p>PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO</p><p>REBATIMENTOS</p><p>ROTAÇÃO</p><p>PARALELISMO</p><p>PERPENDICULARIDADE</p><p>INTERSECÇÕES I</p><p>INTERSECÇÕES II</p><p>FIGURAS PLANAS I</p><p>FIGURAS PLANAS II</p><p>SÓLIDOS I</p><p>SÓLIDO II</p><p>DISTÂNCIAS</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 6</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>A Geometria Descritiva é um ramo da matemática que estuda as relações espaciais</p><p>entre pontos, retas, planos e objetos tridimensionais. Essa disciplina oferece um método</p><p>sistemático para representar e analisar objetos geométricos no espaço tridimensional</p><p>por meio de projeções em um plano bidimensional. Através de conceitos fundamentais,</p><p>como ponto, reta e plano, a Geometria Descritiva proporciona uma linguagem visual</p><p>poderosa para a comunicação e compreensão de formas geométricas complexas.</p><p>O ponto é a entidade mais básica da Geometria Descritiva e é representado por</p><p>uma localização única no espaço. As retas são conjuntos infinitos de pontos alinhados</p><p>que se estendem em ambas as direções. Os planos, por sua vez, são superfícies</p><p>bidimensionais que se estendem indefinidamente e contêm infinitas retas. A interação</p><p>entre pontos, retas e planos é fundamental para a compreensão da geometria espacial.</p><p>A pertinência de uma reta a um plano é um conceito importante na Geometria</p><p>Descritiva. Uma reta é considerada pertencente a um plano quando todos os seus</p><p>pontos estão contidos nesse plano. Isso significa que a reta está totalmente contida</p><p>no plano, sem se estender além dele.</p><p>Os rebatimentos e rotações são técnicas utilizadas para representar objetos</p><p>tridimensionais em um plano bidimensional. Os rebatimentos permitem refletir um</p><p>objeto em relação a um plano, enquanto as rotações permitem girar o objeto em</p><p>torno de um eixo. Essas operações são úteis para visualizar diferentes perspectivas</p><p>e facilitar a representação geométrica.</p><p>Também lida com conceitos de paralelismo e perpendicularidade. Duas retas são</p><p>paralelas quando não possuem pontos em comum e nunca se encontram.</p><p>As intersecções entre retas, planos e objetos geométricos são fundamentais para a</p><p>análise e construção de figuras no espaço. É possível determinar pontos de intersecção</p><p>entre retas e planos, identificar interseções entre objetos tridimensionais e analisar</p><p>as propriedades geométricas resultantes dessas interações.</p><p>Além disso, a Geometria Descritiva abrange o estudo das figuras planas e dos</p><p>sólidos geométricos. As figuras planas são formas bidimensionais, como quadrados,</p><p>triângulos e círculos, enquanto os sólidos geométricos são objetos tridimensionais,</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 7</p><p>como cubos, esferas e pirâmides. Através de técnicas de projeção e construção, é</p><p>possível representar e analisar essas figuras e sólidos no plano.</p><p>Por fim, a Geometria Descritiva permite determinar distâncias entre pontos, retas e</p><p>planos. Essas medidas são importantes para a análise de propriedades geométricas,</p><p>como comprimentos, áreas, volumes e ângulos.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 8</p><p>CAPÍTULO 1</p><p>CONCEITUAÇÃO</p><p>A geometria descritiva é uma disciplina matemática que se concentra na</p><p>representação de objetos tridimensionais em duas dimensões, usando técnicas</p><p>geométricas e projeções. Ela é usada principalmente em desenho técnico, arquitetura</p><p>e engenharia para visualizar e representar objetos tridimensionais de forma precisa e</p><p>clara em superfícies planas, como papéis e telas de computador.</p><p>A geometria descritiva fornece um conjunto de ferramentas matemáticas para</p><p>descrever e analisar a forma e a posição dos objetos tridimensionais em relação a um</p><p>observador. Através do uso de projeções ortogonais, planos de projeção e pontos de</p><p>vista, os desenhos em geometria descritiva são capazes de representar com precisão</p><p>a posição, a forma, o tamanho e a orientação de objetos tridimensionais em uma</p><p>superfície plana.</p><p>Ela é considerada uma habilidade fundamental para estudantes e profissionais de</p><p>engenharia e arquitetura, já que ela permite a comunicação clara e precisa de ideias e</p><p>projetos em desenhos técnicos e diagramas. Ela também é usada em muitas outras</p><p>áreas, incluindo artes visuais, design gráfico, modelagem 3D e animação.</p><p>Segundo o matemático francês Henri Poincaré, a geometria descritiva é a ciência das</p><p>relações entre os objetos e suas imagens, e fornece um conjunto de ferramentas para</p><p>analisar e representar a forma e a posição dos objetos em relação a um observador. Em</p><p>seu livro ‘Ciência e Hipótese’, Poincaré destaca a importância da geometria descritiva</p><p>para a compreensão dos princípios fundamentais da geometria e da física, e sua</p><p>aplicação em áreas como arquitetura, engenharia e desenho técnico. Ele enfatiza</p><p>que a geometria descritiva não é apenas uma técnica de desenho, mas também uma</p><p>disciplina matemática rigorosa, que oferece uma base sólida para a visualização e</p><p>representação de objetos tridimensionais em duas dimensões.</p><p>De acordo com o livro “Geometria Descritiva - Fundamentos Teóricos e Aplicações”,</p><p>de Elysio de Moura Teixeira, a geometria descritiva é uma disciplina matemática que</p><p>permite a representação gráfica de objetos tridimensionais em duas dimensões,</p><p>usando técnicas de projeção ortogonal. O autor enfatiza a importância da geometria</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 9</p><p>descritiva como uma ferramenta essencial para a comunicação técnica em diversas</p><p>áreas, como engenharia, arquitetura e design, onde é necessário transmitir ideias e</p><p>projetos de forma clara e precisa através de desenhos e diagramas. Teixeira também</p><p>destaca que a geometria descritiva é uma disciplina rica em conceitos matemáticos,</p><p>como vetores, planos e interseções, que são fundamentais para a compreensão de</p><p>muitos outros conceitos em matemática e física.</p><p>A Geometria Descritiva não foi criada por uma única pessoa, mas é o resultado</p><p>da evolução histórica do estudo da geometria. No entanto, a sistematização dos</p><p>conceitos da Geometria Descritiva e sua aplicação à representação gráfica de objetos</p><p>tridimensionais é atribuída ao matemático francês Gaspard Monge, que publicou em</p><p>1795 o livro “Application de l’analyse à la géométrie”, no qual apresentou as bases</p><p>teóricas da Geometria Descritiva.</p><p>1.1 Método de Monge</p><p>O Método de Monge é um método de representação gráfica em geometria descritiva</p><p>que permite determinar a projeção ortogonal de um objeto a partir de suas projeções</p><p>em dois planos de projeção. Esse método é usado para representar objetos em três</p><p>dimensões em um plano bidimensional.</p><p>O método de Monge utiliza duas projeções ortogonais, geralmente chamadas de</p><p>projeção horizontal e projeção vertical, para determinar as coordenadas</p><p>anteriormente sobre o paralelismo das retas oblíquas</p><p>não se aplica à reta de perfil. No caso das retas de perfil, para determinar se são</p><p>paralelas entre si ou confirmar seu paralelismo, é necessário analisar suas projeções</p><p>laterais. O exemplo apresentado ilustra o uso dos traços para definir as retas, mas</p><p>é importante ressaltar que esse processo também é válido para retas definidas por</p><p>outros pontos. O paralelismo das retas de perfil é estabelecido por meio da análise</p><p>das projeções laterais e não pelas projeções nas vistas horizontal, frontal e vertical.</p><p>7.5.1 Paralelismo entre retas de perfil com diferentes abcissas</p><p>Duas retas de perfil são consideradas paralelas quando suas projeções laterais são</p><p>paralelas ou, em alguns casos, coincidentes, especialmente quando os comprimentos</p><p>de seus traços são iguais. Essa é uma propriedade importante das retas de perfil,</p><p>em que o paralelismo é determinado pela análise das projeções laterais, levando em</p><p>consideração as medidas dos traços correspondentes. Portanto, se as projeções</p><p>laterais das retas de perfil forem paralelas ou coincidentes, isso indica que as retas</p><p>são paralelas entre si.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 74</p><p>7.5.2 Paralelismo entre retas de perfil com a mesma abcissa</p><p>Quando duas retas de perfil possuem o mesmo valor de abcissa, ou seja, suas</p><p>projeções coincidem, ainda é possível utilizar as projeções laterais para confirmar se</p><p>as retas são paralelas ou não. Nesse caso, é necessário observar a inclinação das</p><p>projeções laterais em relação aos eixos coordenados. Se as inclinações forem iguais,</p><p>as retas são paralelas. Caso contrário, se as inclinações forem diferentes, as retas</p><p>não são paralelas. Portanto, as projeções laterais fornecem uma forma adicional de</p><p>determinar o paralelismo das retas de perfil, mesmo quando suas projeções coincidem.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 75</p><p>7.5.3 Confirmação do paralelismo entre retas de perfil recorrendo aos traços dos</p><p>planos</p><p>Para que duas retas sejam paralelas, é necessário que elas sejam complanares, ou</p><p>seja, pertençam ao mesmo plano. Neste caso, para provar o paralelismo das retas de</p><p>perfil, é comum representar os traços dos planos aos quais pertencem. À esquerda,</p><p>temos a representação de um plano de rampa, e à direita, um plano oblíquo.</p><p>No caso do plano de rampa, é possível confirmar o paralelismo das retas de perfil</p><p>sem recorrer explicitamente ao plano de rampa. Isso pode ser feito verificando se</p><p>os traços das retas possuem as mesmas medidas. Se os traços das retas tiverem</p><p>medidas iguais, podemos concluir que as retas são paralelas.</p><p>Essa abordagem é útil porque nos permite determinar o paralelismo das retas de</p><p>perfil sem a necessidade de construir o plano de rampa explicitamente. No entanto,</p><p>é importante lembrar que, para ter uma prova completa do paralelismo, é necessário</p><p>verificar se as retas estão complanares, ou seja, se pertencem ao mesmo plano de</p><p>rampa.</p><p>7.5.4 Confirmação do paralelismo entre retas de perfil recorrendo a retas auxiliares</p><p>Quando as retas de perfil são definidas por pontos que não estão nos traços, é</p><p>possível utilizar um processo simples para determinar se elas são paralelas entre si</p><p>ou não.</p><p>O processo consiste em traçar duas retas adicionais que passem pelos mesmos</p><p>pontos dados. Se essas retas adicionais forem paralelas ou concorrentes (ou seja,</p><p>pertencerem ao mesmo plano), isso indica que as retas de perfil são paralelas. Por</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 76</p><p>outro lado, se as retas adicionais forem inclinadas ou enviesadas, isso indica que as</p><p>retas de perfil também serão inclinadas ou enviesadas.</p><p>Essa abordagem é bastante útil, pois permite verificar o paralelismo das retas de</p><p>perfil usando um método simples e sem a necessidade de construir explicitamente</p><p>os planos aos quais as retas pertencem.</p><p>7.6 Paralelismos de resolução direta entre planos</p><p>Dois planos paralelos possuem os traços homólogos paralelos. É importante</p><p>destacar que essa relação de paralelismo é válida apenas para planos do mesmo</p><p>tipo. Por exemplo, dois planos horizontais, frontais ou de perfil são sempre paralelos</p><p>entre si, sendo essa uma situação que não será abordada aqui.</p><p>7.6.1 Paralelismo entre planos de topo e entre planos verticais</p><p>Para que dois planos de topo sejam paralelos, é necessário que seus traços frontais</p><p>sejam paralelos, uma vez que os traços horizontais dos planos de topo são sempre</p><p>paralelos. Da mesma forma, para que dois planos verticais sejam paralelos, é necessário</p><p>que seus traços horizontais sejam paralelos, pois os traços frontais dos planos verticais</p><p>são sempre paralelos.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 77</p><p>7.6.2 Paralelismo entre planos oblíquos</p><p>Para que dois planos oblíquos sejam paralelos, é necessário que seus traços</p><p>homónimos (traços frontais ou traços horizontais) sejam paralelos. Isso pode ser</p><p>observado em duas situações apresentadas aqui.</p><p>7.7 Paralelismos entre planos de rampa</p><p>A natureza peculiar dos planos de rampa impede que a simples coincidência dos</p><p>seus traços, que são sempre paralelos ao eixo x, garanta o paralelismo entre eles. Neste</p><p>exemplo, demonstra-se como resolver esse problema utilizando os traços laterais.</p><p>Existem outros métodos que podem ser utilizados para confirmar ou determinar</p><p>o paralelismo entre planos de rampa, tais como rebatimentos, rotações e mudanças</p><p>de planos.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 78</p><p>Para que dois planos de rampa sejam paralelos, é necessário que os seus traços</p><p>laterais também sejam paralelos. Isso significa que as retas representadas pelos</p><p>traços laterais devem ter a mesma direção.</p><p>Na segunda figura, um dos planos é um plano passante, o qual é definido pelo ponto</p><p>P. Isso significa que o plano passa por esse ponto, enquanto o outro plano pode ter</p><p>qualquer posição relativa em relação a ele.</p><p>7.8 Paralelismos de resolução direta entre retas e planos</p><p>Aqui, são apresentadas as situações mais simples de paralelismo entre retas e</p><p>planos. No entanto, não são abordados os casos em que o paralelismo é automático,</p><p>como:</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 79</p><p>• Plano horizontal com retas horizontais, fronto-horizontais e de topo.</p><p>• Plano frontal com retas frontais, fronto-horizontais e verticais.</p><p>• Plano de perfil com retas de perfil, de topo e verticais.</p><p>• Plano de rampa com reta fronto-horizontal.</p><p>• Plano de topo com reta de topo.</p><p>• Plano vertical com reta vertical.</p><p>Essas situações são mais simples de identificar, uma vez que as retas e os planos</p><p>possuem a mesma direção ou estão dispostos de forma complementar.</p><p>7.8.1 Paralelismo entre retas e os planos de topo e vertical</p><p>Quando a projeção frontal de uma reta é paralela ao traço frontal do plano de topo,</p><p>conclui-se que essa reta é paralela ao plano de topo. Da mesma forma, se a projeção</p><p>horizontal de uma reta é paralela ao traço horizontal do plano vertical, podemos afirmar</p><p>que a reta é paralela ao plano vertical. É importante destacar que as posições das</p><p>outras projeções não afetam o paralelismo entre a reta e o plano.</p><p>7.8.2 Paralelismo entre o plano oblíquo e as retas horizontal e frontal</p><p>Com exceção das situações de pertença, uma reta frontal é paralela a um plano</p><p>oblíquo quando sua projeção frontal é paralela ao traço frontal do plano. Da mesma</p><p>forma, uma reta horizontal é paralela a um plano oblíquo quando sua projeção horizontal</p><p>é paralela ao traço horizontal do plano. Isso implica que as retas e o plano têm a</p><p>mesma direção ou são complanares.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 80</p><p>7.8.3 Reta oblíqua paralela a plano oblíquo</p><p>Existem duas maneiras de traçar retas oblíquas paralelas a um plano oblíquo. No</p><p>primeiro caso, podemos desenhar uma reta que pertence ao próprio plano. Nesse</p><p>caso, qualquer outra reta, como</p><p>a reta r, que seja paralela à reta pertencente ao plano,</p><p>também será paralela ao plano oblíquo.</p><p>No segundo caso, podemos desenhar um plano paralelo ao plano dado. Dentro desse</p><p>plano, podemos traçar uma reta, como a reta s, que será paralela ao plano oblíquo.</p><p>Isso ocorre porque os planos paralelos possuem retas paralelas entre si.</p><p>Esses dois métodos nos permitem traçar retas oblíquas paralelas ao plano oblíquo</p><p>de maneiras diferentes.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 81</p><p>7.8.4 Reta de perfil paralela a plano oblíquo</p><p>No primeiro caso, podemos representar uma reta paralela a uma das retas do</p><p>plano de perfil. Essa reta paralela, juntamente com a reta de perfil, formará um plano</p><p>paralelo ao plano dado. No segundo caso, podemos representar a reta de perfil em</p><p>um plano paralelo ao plano dado.</p><p>Ao observarmos as linhas paralelas ao eixo x que passam pelos traços da reta de</p><p>perfil na primeira situação, podemos verificar que essas medidas são iguais. Essa</p><p>igualdade de medidas indica que as retas são paralelas e estão no mesmo plano</p><p>paralelo ao plano de perfil.</p><p>Dessa forma, podemos utilizar os mesmos métodos de traçado e verificação de</p><p>paralelismo para a reta de perfil, observando as medidas e a relação com retas paralelas</p><p>ou planos paralelos.</p><p>7.8.5 Reta oblíqua paralela a plano de rampa</p><p>Podemos traçar retas oblíquas paralelas ao plano de rampa de duas maneiras.</p><p>No primeiro caso, ao traçarmos uma reta que pertence ao plano de rampa, podemos</p><p>observar que outra reta que contém um ponto P e é paralela a essa primeira reta</p><p>também será paralela ao plano de rampa.</p><p>No segundo caso, podemos verificar o paralelismo entre uma reta oblíqua e o plano</p><p>de rampa ao observar que a projeção lateral da reta é paralela ao traço lateral do plano.</p><p>Esse paralelismo é evidenciado pela coincidência dos traços laterais da reta e do plano.</p><p>Ambos os métodos nos permitem determinar o paralelismo entre retas oblíquas e</p><p>o plano de rampa, fornecendo diferentes abordagens para essa verificação.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 82</p><p>7.8.6 Reta de perfil paralela a plano de rampa</p><p>Ao utilizar a reta de perfil, podemos adotar uma abordagem semelhante à observada</p><p>para as retas oblíquas. No primeiro caso, podemos representar uma reta paralela a uma</p><p>reta do plano de rampa, observando que os traços da reta de perfil são proporcionais</p><p>aos traços da reta original.</p><p>No segundo caso, ao verificar que a projeção lateral da reta de perfil é paralela ao</p><p>traço lateral do plano de rampa, podemos inferir o paralelismo entre ambos. Nessa</p><p>situação, consideramos que o traço frontal do plano é paralelo à reta de perfil.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 83</p><p>ISTO ESTÁ NA REDE</p><p>SketchUp Online</p><p>Embora o SketchUp Online não seja uma ferramenta especificamente voltada para a</p><p>geometria descritiva, ele ainda pode ser útil na criação de modelos e representações</p><p>tridimensionais para esse campo.</p><p>A geometria descritiva é uma disciplina que se concentra na representação gráfica</p><p>de objetos tridimensionais em um espaço bidimensional, usando projeções</p><p>ortogonais e técnicas de visualização. Embora o SketchUp Online seja um software</p><p>de modelagem 3D, ele pode ser utilizado para criar representações tridimensionais</p><p>de objetos geométricos, que podem então ser projetadas ou desenhadas em</p><p>conformidade com os princípios da geometria descritiva.</p><p>Acesse: https://www.sketchup.com/pt-BR/plans-and-pricing/sketchup-free</p><p>https://www.sketchup.com/pt-BR/plans-and-pricing/sketchup-free</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 84</p><p>CAPÍTULO 8</p><p>PERPENDICULARIDADE</p><p>Nesta página, são apresentadas as situações de perpendicularidade no espaço</p><p>entre: uma reta e um plano, dois planos e duas retas. É fácil compreender e verificar</p><p>essas situações de perpendicularidade no espaço tridimensional. No entanto, nas</p><p>projeções, nem sempre essas situações são tão óbvias ou de resolução imediata.</p><p>8.1 Perpendicularidade entre uma reta e um plano</p><p>Nesta ilustração, apresenta-se um exemplo de um plano horizontal e uma reta</p><p>vertical. É evidente que, independentemente da posição em que se encontram, uma</p><p>reta e um plano são perpendiculares quando formam um ângulo reto entre si.</p><p>8.2 Perpendicularidade entre dois planos</p><p>Nesta representação, apresenta-se um plano em uma posição horizontal e outro em</p><p>uma posição vertical. No entanto, é importante destacar que qualquer par de planos</p><p>é perpendicular quando formam um ângulo reto entre si. A perpendicularidade entre</p><p>planos não está limitada apenas às posições horizontais e verticais.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 85</p><p>8.3 Perpendicularidade entre duas retas</p><p>É correto afirmar que duas retas podem ser perpendiculares mesmo quando são</p><p>concorrentes ou enviesadas. Em ambos os casos, elas formam um ângulo reto entre</p><p>si. Na situação em que as retas são enviesadas (como ilustrado na situação de baixo),</p><p>podemos comprovar que elas são perpendiculares ao cruzá-las com uma terceira reta</p><p>paralela à outra. Se essas duas retas cruzarem a terceira reta formando ângulos retos,</p><p>isso indica que as retas enviesadas são perpendiculares entre si.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 86</p><p>8.4 Perpendicularidades de resolução direta entre retas e planos</p><p>A perpendicularidade entre retas e planos pode levar a situações diversas, algumas</p><p>simples e óbvias, outras mais complexas. Nesta página, são apresentadas as situações</p><p>mais simples. Em todos os casos, as retas perpendiculares aos planos possuem</p><p>projeções que são perpendiculares aos traços correspondentes dos planos.</p><p>No entanto, não são mostrados os casos em que a perpendicularidade entre retas</p><p>e planos é imediata, como o plano horizontal com a reta vertical, o plano frontal</p><p>com a reta de topo e o plano de perfil com a reta fronto-horizontal. Esses casos são</p><p>considerados casos óbvios de perpendicularidade e não são apresentados aqui.</p><p>8.4.1 Retas perpendiculares aos planos de topo e vertical</p><p>Apenas as retas frontais podem ser perpendiculares aos planos de topo, sendo</p><p>necessário que sua projeção frontal seja perpendicular ao traço frontal do plano. No</p><p>caso do plano vertical, apenas as retas horizontais podem ser perpendiculares, desde</p><p>que sua projeção horizontal seja perpendicular ao traço horizontal do plano.</p><p>8.4.2 Reta perpendicular ao plano oblíquo</p><p>As retas perpendiculares ao plano oblíquo são retas oblíquas cujas projeções são</p><p>perpendiculares aos traços homônimos do plano. São apresentadas aqui duas situações</p><p>ilustrativas.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 87</p><p>8.4.3 Reta perpendicular ao plano de rampa</p><p>Para que a reta de perfil e o plano de rampa sejam perpendiculares entre si, é</p><p>necessário que a projeção lateral da reta seja perpendicular ao traço lateral do plano.</p><p>No segundo exemplo, é mostrado um plano passante que também é perpendicular</p><p>à reta de perfil.</p><p>8.5 Perpendicularidades de resolução direta entre retas</p><p>Aqui, são apresentados exemplos de casos em que é possível traçar diretamente</p><p>duas retas perpendiculares entre si, sem a necessidade de utilizar qualquer processo</p><p>auxiliar.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 88</p><p>No entanto, existem certos tipos de retas que são sempre perpendiculares, e esses</p><p>casos não estão representados aqui. Por exemplo, a reta fronto-horizontal é sempre</p><p>perpendicular às retas de perfil, de topo e vertical. Da mesma forma, a reta vertical é</p><p>sempre perpendicular às retas horizontal, de topo e fronto-horizontal. A reta de topo</p><p>é sempre perpendicular às retas vertical, frontal e fronto-horizontal. A reta de perfil é</p><p>sempre perpendicular à reta fronto-horizontal. A reta frontal é sempre perpendicular</p><p>à reta de topo. A reta horizontal é sempre perpendicular à reta vertical.</p><p>8.5.1 Perpendicularidades entre retas horizontais</p><p>e entre retas frontais</p><p>Duas retas horizontais são perpendiculares quando suas projeções horizontais</p><p>também são perpendiculares. Da mesma forma, duas retas frontais são perpendiculares</p><p>quando suas projeções frontais são perpendiculares. No caso das retas horizontais,</p><p>elas podem estar inclinadas em relação ao plano horizontal, enquanto no caso das</p><p>retas frontais, elas podem ser concorrentes, ou seja, se encontrarem em um ponto</p><p>de interseção.</p><p>8.5.2 Reta oblíqua perpendicular às retas horizontal e frontal</p><p>Para que duas retas oblíquas sejam perpendiculares entre si, é suficiente que suas</p><p>projeções horizontais sejam perpendiculares. Da mesma forma, no caso de duas</p><p>retas oblíquas e frontais, basta que suas projeções frontais sejam perpendiculares.</p><p>A posição relativa das outras projeções não interfere nessa perpendicularidade. É</p><p>importante observar que, nesses casos, as retas podem estar inclinadas em relação</p><p>aos planos correspondentes, e podem ser tanto enviesadas no primeiro caso quanto</p><p>concorrentes no segundo.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 89</p><p>8.5.3 Perpendicularidade entre retas oblíquas enviesadas</p><p>A reta r é perpendicular à reta a porque está contida no plano α, que é perpendicular</p><p>à reta a. Além disso, a reta r passa pelo ponto P, o que significa que é perpendicular</p><p>à reta a e também contém o ponto P.</p><p>8.5.4 Perpendicularidade entre retas oblíquas concorrentes</p><p>Nesta situação, a reta s é perpendicular ao plano α, que contém a reta a. Além disso,</p><p>a reta s é concorrente com a reta a no ponto A. Isso significa que a reta s intersecta a</p><p>reta a no ponto A e forma um ângulo reto com a reta a. Portanto, podemos dizer que a</p><p>reta s é perpendicular à reta a e que o ponto A pertence tanto à reta s quanto à reta a.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 90</p><p>8.6 Perpendicularidades de resolução direta entre planos</p><p>Neste momento, são apresentadas diversas situações de perpendicularidade entre</p><p>planos, sem a necessidade de utilizar processos auxiliares. No entanto, algumas</p><p>situações de perpendicularidade entre planos são imediatas e não são mostrados os</p><p>traçados correspondentes a essas situações. Por exemplo, a perpendicularidade entre</p><p>um plano horizontal e os planos de perfil, vertical e frontal; entre um plano frontal e os</p><p>planos de perfil, horizontal e de topo; entre um plano de perfil e os planos horizontal,</p><p>frontal e de rampa; entre um plano de rampa e um plano de perfil; entre um plano de</p><p>topo e um plano frontal; entre um plano vertical e um plano horizontal.</p><p>8.6.1 Perpendicularidade entre planos de topo e entre planos verticais</p><p>Dois planos de topo são perpendiculares quando os seus traços frontais são</p><p>perpendiculares entre si. No caso dos planos verticais, é necessário que haja</p><p>perpendicularidade entre os traços horizontais desses planos.</p><p>8.6.2 Perpendicularidade entre o plano oblíquo e os planos de topo e vertical</p><p>Um plano oblíquo é perpendicular a um plano de topo quando os seus traços frontais</p><p>são perpendiculares entre si. Da mesma forma, um plano oblíquo é perpendicular a</p><p>um plano vertical quando os seus traços horizontais são perpendiculares entre si.</p><p>O ângulo formado pelos outros traços dos planos é irrelevante para determinar a</p><p>perpendicularidade entre eles.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 91</p><p>8.6.3 Dois planos de rampa perpendiculares</p><p>Para que dois planos de rampa sejam perpendiculares, é necessário que os seus</p><p>traços laterais seja perpendiculares entre si. Na situação abaixo, um dos planos é</p><p>passante e contém o ponto R.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 92</p><p>ISTO ACONTECE NA PRÁTICA</p><p>SolidWorks</p><p>Embora o SolidWorks não seja especificamente projetado para a geometria</p><p>descritiva, é possível utilizar algumas de suas ferramentas e recursos para criar</p><p>representações geométricas que são relevantes para a geometria descritiva. Aqui</p><p>estão algumas maneiras de aplicar o SolidWorks na geometria descritiva:</p><p>• Modelagem de sólidos: O SolidWorks permite criar sólidos tridimensionais,</p><p>como cubos, esferas, cilindros, cones e poliedros. Esses sólidos podem ser</p><p>usados para representar objetos geométricos em modelos 3D, que podem ser</p><p>visualizados e analisados em diferentes projeções.</p><p>• Criação de planos e seções: O SolidWorks oferece ferramentas para criar planos</p><p>de trabalho em diferentes orientações e posições. Isso permite criar seções dos</p><p>sólidos ou definir planos de referência para a geometria descritiva.</p><p>• Operações de corte e interseção: Com as ferramentas de corte do SolidWorks,</p><p>você pode criar seções ou cortes em sólidos, representando as interseções</p><p>entre planos e objetos tridimensionais. Essas operações são úteis para visualizar</p><p>e analisar as relações entre diferentes elementos geométricos.</p><p>Acesse: https://www.tecmes.com.br/solucoes-plm/design-e-estilo/solidworks-</p><p>3dcad-2/</p><p>https://www.tecmes.com.br/solucoes-plm/design-e-estilo/solidworks-3dcad-2/</p><p>https://www.tecmes.com.br/solucoes-plm/design-e-estilo/solidworks-3dcad-2/</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 93</p><p>CAPÍTULO 9</p><p>INTERSECÇÕES I</p><p>Neste capítulo vamos estudar sobre intersecções, iremos tratar sobre intersecções</p><p>de planos com planos e de retas com planos.</p><p>9.1 Intersecção de planos projetantes do mesmo género</p><p>Aqui é apresentada a intersecção entre dois planos projetantes horizontais, assim</p><p>como a intersecção entre dois planos projetantes frontais. Essas intersecções resultam</p><p>em uma reta projetante do mesmo tipo (horizontal ou frontal).</p><p>9.1.1 Intersecção entre planos projetantes horizontais</p><p>Quando dois planos projetantes horizontais se intersectam, resulta uma reta</p><p>projetante horizontal, ou seja, uma reta vertical. Isso também se aplica à interseção</p><p>entre o plano de perfil e o plano frontal, embora esses planos não sejam representados</p><p>no desenho.</p><p>9.1.2 Intersecção entre planos projetantes frontais</p><p>Quando dois planos projetantes frontais se intersectam, o resultado é uma reta</p><p>projetante frontal, que é equivalente a uma reta de topo. Neste contexto, também é</p><p>incluída a interseção entre o plano de perfil e o plano horizontal, embora esses planos</p><p>não sejam representados no desenho.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 94</p><p>9.2 Intersecção de planos projetantes de género contrário</p><p>Vamos mostrar agora a interseção entre planos de gênero oposto, ou seja, de um</p><p>plano projetante horizontal com outro plano projetante frontal.</p><p>9.2.1 Intersecção entre planos projetantes de género contrário</p><p>Quando dois planos projetantes de gêneros opostos se intersectam, as projeções da</p><p>reta de intersecção coincidem com os traços sobre os quais os planos são projetantes.</p><p>Neste caso, apresentam-se os traços das retas, mas é possível dispensá-los na</p><p>representação.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 95</p><p>9.3 Intersecção do plano oblíquo com planos projetantes</p><p>Vamos abordar agora o plano oblíquo com os planos projetantes.</p><p>9.3.1 Intersecção do plano oblíquo com os planos frontal, horizontal e de perfil</p><p>Exatamente, quando um plano oblíquo se intersecta com um plano frontal, resulta</p><p>uma reta frontal que é paralela ao traço frontal do plano oblíquo. Da mesma forma,</p><p>quando o plano oblíquo se intersecta com um plano horizontal, resulta uma reta</p><p>horizontal paralela ao traço horizontal do plano oblíquo. Por fim, a intersecção do</p><p>plano oblíquo com o plano de perfil resulta em uma reta de perfil.</p><p>9.3.2 Intersecção do plano oblíquo com o plano de topo</p><p>Quando ocorre a interseção entre esses dois planos, podem surgir duas situações</p><p>distintas. Se os traços frontal e horizontal dos planos se cruzarem, o resultado será</p><p>uma reta oblíqua. Por outro lado, se os traços frontais dos planos forem paralelos</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 96</p><p>entre si, o resultado será uma reta frontal. Essas diferentes</p><p>configurações dependem</p><p>da posição relativa dos planos e de seus traços.</p><p>9.3.3 Intersecção do plano oblíquo com o plano vertical</p><p>A interseção entre esses dois planos pode resultar em duas situações distintas.</p><p>Quando os traços frontal e vertical dos planos se cruzam, o resultado é uma reta</p><p>oblíqua. Por outro lado, se os traços horizontais dos planos forem paralelos entre</p><p>si, o resultado é uma reta horizontal. Essas diferentes configurações dependem da</p><p>posição relativa dos planos e de seus traços.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 97</p><p>9.4 Intersecção do plano oblíquo com o plano de rampa</p><p>Vamos mostrar a intersecção de um plano oblíquo com um de rampa, dando origem</p><p>a dois tipos de retas.</p><p>9.4.1 Intersecção do plano oblíquo com o plano de rampa, resultando uma reta</p><p>oblíqua</p><p>Quando os traços da reta de intersecção têm diferentes abcissas, a reta será oblíqua.</p><p>Apresentam-se aqui dois exemplos dessa situação.</p><p>9.4.2 Intersecção do plano oblíquo com o plano de rampa, resultando uma reta</p><p>de perfil</p><p>Quando os traços da reta de intersecção têm a mesma abcissa, a reta será de</p><p>perfil. Apresentam-se aqui dois exemplos dessa situação.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 98</p><p>9.5 Intersecção entre planos oblíquos</p><p>A intersecção entre dois planos oblíquos pode resultar em quatro possibilidades,</p><p>cada uma correspondendo a um tipo de reta que o plano pode conter. Vamos descrever</p><p>essas quatro situações:</p><p>1. Quando os traços da reta de intersecção têm diferentes abcissas e diferentes</p><p>cotas, a reta será oblíqua.</p><p>2. Quando os traços da reta de intersecção têm a mesma abcissa e diferentes</p><p>cotas, a reta será frontal.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 99</p><p>3. Quando os traços da reta de intersecção têm diferentes abcissas e a mesma</p><p>cota, a reta será horizontal.</p><p>4. Quando os traços da reta de intersecção têm a mesma abcissa e a mesma</p><p>cota, a reta será de perfil.</p><p>Estas quatro situações abrangem todas as possibilidades de intersecção entre</p><p>planos oblíquos.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 100</p><p>9.6 Intersecção do plano de rampa com planos projetantes</p><p>Apresentamos aqui as intersecções entre um plano de rampa e cada um dos planos</p><p>projetantes:</p><p>1. Intersecção com um plano projetante horizontal: Quando um plano de rampa</p><p>intersecta um plano projetante horizontal, a intersecção resulta em uma reta</p><p>horizontal. Essa reta estará contida no plano de rampa e será paralela ao traço</p><p>horizontal do plano projetante.</p><p>2. Intersecção com um plano projetante frontal: Quando um plano de rampa</p><p>intersecta um plano projetante frontal, a intersecção resulta em uma reta frontal.</p><p>Essa reta estará contida no plano de rampa e será paralela ao traço frontal do</p><p>plano projetante.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 101</p><p>3. Intersecção com um plano projetante de topo: Quando um plano de rampa</p><p>intersecta um plano projetante de topo, a intersecção resulta em uma reta de</p><p>topo. Essa reta estará contida no plano de rampa e será paralela ao traço de</p><p>topo do plano projetante.</p><p>4. Intersecção com um plano vertical: Quando um plano de rampa intersecta um plano</p><p>vertical, a intersecção resulta em uma reta oblíqua. Essa reta estará contida no</p><p>plano de rampa e terá um ângulo diferente em relação aos traços do plano vertical.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 102</p><p>5. Intersecção com um plano de perfil: Quando um plano de rampa intersecta um</p><p>plano de perfil, a intersecção resulta em uma reta de perfil. Essa reta estará</p><p>contida no plano de rampa e será paralela ao traço de perfil do plano de perfil.</p><p>9.7 Intersecções entre planos de rampa</p><p>Da intersecção entre dois planos de rampa resulta uma reta fronto-horizontal. No</p><p>entanto, devido à natureza paralela dos traços do plano de rampa, não é possível</p><p>determinar diretamente a reta de intersecção. No entanto, falaremos duas maneiras</p><p>comuns de resolver essa situação:</p><p>1. Método das projeções: Utiliza-se o método das projeções ortogonais para</p><p>determinar a reta de intersecção. Projetam-se os traços dos planos de rampa</p><p>em um plano frontal ou horizontal, e a intersecção dessas projeções resultará</p><p>na reta fronto-horizontal de intersecção.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 103</p><p>2. Método da projeção auxiliar: Utiliza-se um plano auxiliar que intersecta ambos</p><p>os planos de rampa. Projetam-se os traços dos planos de rampa nesse plano</p><p>auxiliar e determina-se a reta de intersecção dentro desse plano. Em seguida,</p><p>projeta-se essa reta de volta nos planos de rampa para obter a reta fronto-</p><p>horizontal de intersecção.</p><p>Explicaremos o exemplo abaixo:</p><p>Ao utilizar um plano auxiliar, como um plano vertical e um plano de perfil, cujos</p><p>traços se cruzam com os traços dos planos de rampa, é possível obter a reta de</p><p>intersecção entre eles. O procedimento consiste em encontrar as retas de intersecção</p><p>do plano auxiliar com os planos de rampa (representadas pelas retas a e b na primeira</p><p>situação e pelas retas p e p’ na segunda situação). O ponto de interseção dessas retas</p><p>é denotado como ponto I, pelo qual passa a reta de intersecção i. É importante ressaltar</p><p>que, na segunda situação, o plano de perfil foi inclinado para determinar esse ponto.</p><p>ISTO ACONTECE NA PRÁTICA</p><p>Autocad</p><p>AutoCAD é um software amplamente utilizado na geometria descritiva. Ele oferece</p><p>uma variedade de recursos e ferramentas que podem ser aplicados no desenho e</p><p>na representação de objetos geométricos em duas e três dimensões. Aqui estão</p><p>algumas maneiras de utilizar o AutoCAD na geometria descritiva:</p><p>• Desenho de linhas e retas: O AutoCAD permite criar linhas e retas precisas</p><p>por meio de comandos de desenho, como “Line” (Linha) e “Polyline” (Polilinha).</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 104</p><p>Essas ferramentas são úteis para representar segmentos de retas, ângulos e</p><p>distâncias de acordo com os princípios da geometria descritiva.</p><p>• Criação de planos e seções: O AutoCAD oferece recursos para criar e posicionar</p><p>planos de trabalho em diferentes orientações e posições. Isso permite a criação</p><p>de seções transversais e planos de referência para a geometria descritiva.</p><p>• Utilização de cotas e anotações: O AutoCAD oferece ferramentas para adicionar</p><p>dimensões e anotações aos desenhos, permitindo identificar pontos, linhas,</p><p>ângulos e distâncias relevantes de acordo com as convenções da geometria</p><p>descritiva.</p><p>• Construção de sólidos: O AutoCAD permite criar e manipular sólidos</p><p>tridimensionais, como cubos, esferas, cilindros e cones. Esses sólidos podem</p><p>ser utilizados para representar objetos geométricos em modelos 3D, permitindo</p><p>a visualização e análise de diferentes projeções.</p><p>• Corte e seção de sólidos: O AutoCAD oferece recursos para cortar e seccionar</p><p>sólidos tridimensionais, permitindo visualizar as interseções entre planos</p><p>e objetos. Essas operações são úteis para analisar e representar relações</p><p>geométricas complexas de acordo com os princípios da geometria descritiva.</p><p>Acesse: https://www.autodesk.com.br/products/autocad/overview?term=1-YEAR&tab=subscription</p><p>https://www.autodesk.com.br/products/autocad/overview?term=1-YEAR&tab=subscription</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 105</p><p>CAPÍTULO 10</p><p>INTERSECÇÕES II</p><p>Neste capítulo continuaremos a falar sobre intersecções.</p><p>10.1 Intersecção de planos cujo traços se cruzam apenas num ponto</p><p>Nessas situações, inicialmente, apenas um ponto da reta de intersecção é conhecido.</p><p>Para determinar outro ponto, é recomendado utilizar planos auxiliares horizontais</p><p>ou frontais. Esses planos adicionais são úteis para encontrar pontos adicionais de</p><p>intersecção e, assim, definir a reta de intersecção completa.</p><p>10.1.1 Intersecção de dois planos cujos traços se cruzam no mesmo ponto do</p><p>eixo x</p><p>Na figura à esquerda, temos dois</p><p>planos oblíquos. Foi utilizado um plano auxiliar</p><p>horizontal, que intersectou os planos dados em duas retas horizontais. Na figura à</p><p>direita, temos um plano oblíquo e um plano de topo. Utilizou-se um plano auxiliar</p><p>frontal, que intersectou os planos dados em retas frontais. O ponto de intersecção</p><p>dessas retas é o ponto I, que pertence à reta de intersecção i.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 106</p><p>10.1.2 Intersecção de dois planos com um dos traços a cruzarem-se fora dos</p><p>limites do papel</p><p>Se considerarmos que os traços frontais ou horizontais não se cruzam nos limites</p><p>do papel, só teremos acesso a um dos traços da reta de intersecção. Nesses casos,</p><p>utiliza-se também um plano auxiliar frontal ou horizontal. Esse plano irá intersectar</p><p>os planos dados em duas retas que se cruzam no ponto I, pertencente à reta de</p><p>intersecção i.</p><p>10.1.3 Planos cujos traços se cruzam fora dos limites do papel</p><p>Abaixo, no primeiro desenho, temos a intersecção de dois planos oblíquos resolvida</p><p>utilizando planos auxiliares horizontais.</p><p>No segundo, temos a intersecção de um plano oblíquo com um plano de topo</p><p>resolvida com a ajuda de dois planos frontais.</p><p>E por fim, o terceiro, temos a intersecção entre dois planos oblíquos resolvida com</p><p>o auxílio de planos auxiliares de rampa. Esse método é utilizado quando os traços dos</p><p>planos dados têm grandes aberturas ou cruzam o eixo x em pontos distantes. Dado o</p><p>extenso traçado envolvido, aqui é mostrado apenas o processo para determinar uma</p><p>das projeções da reta de intersecção; para determinar a outra projeção, são utilizados</p><p>mais dois planos de rampa, posicionados de forma inversa.</p><p>Em todos os três casos, os planos auxiliares permitem determinar os pontos I e I’,</p><p>que pertencem à reta de intersecção i.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 107</p><p>10.2 Intersecção entre três planos</p><p>A interseção de três planos pode levar a diferentes possibilidades, e aqui estão</p><p>representadas três delas utilizando planos oblíquos definidos pelos seus traços.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 108</p><p>10.2.1 Intersecção entre três planos oblíquos, resultando uma reta</p><p>Se os três traços horizontais dos planos se encontrarem em um mesmo ponto,</p><p>assim como os três traços verticais, então a intersecção desses três planos resultará</p><p>em uma reta. Isso significa que as três retas formadas pelas interseções dos pares</p><p>de planos são coincidentes e pertencem à mesma reta de interseção.</p><p>Essa configuração ocorre quando os três planos estão alinhados de forma a convergir</p><p>para um ponto comum. Essa reta de interseção é formada pelos pontos em que os</p><p>planos se cruzam, sendo uma reta comum aos três planos.</p><p>10.2.2 Intersecção entre três planos oblíquos, resultando duas retas paralelas</p><p>Na configuração apresentada à direita, temos três planos distintos. Dois desses</p><p>planos são concorrentes, ou seja, eles se intersectam em uma reta. Os outros dois</p><p>planos são paralelos entre si, o que significa que não possuem intersecção.</p><p>A reta resultante da intersecção dos planos concorrentes é representada pela linha</p><p>tracejada. Essa reta é comum aos dois planos e possui a mesma direção e sentido.</p><p>Em relação ao item anterior, houve uma substituição do plano β pelo plano θ. Nessa</p><p>nova configuração, o plano θ é paralelo ao plano α. Isso significa que os dois planos</p><p>não possuem intersecção e suas retas traço frontal são paralelas entre si.</p><p>Dessa forma, temos duas retas paralelas entre si: uma resultante da intersecção</p><p>dos planos α e β, e outra resultante da intersecção dos planos α e θ.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 109</p><p>10.2.3 Intersecção entre três planos oblíquos, resultando três retas paralelas</p><p>Na situação apresentada, temos uma configuração similar à anterior, onde dois</p><p>planos são concorrentes e dois planos são paralelos. No entanto, desta vez, o plano α</p><p>é utilizado como um plano auxiliar para garantir a existência de duas retas paralelas.</p><p>O plano α é representado pelas retas tracejadas e intersecta os planos β e θ. A</p><p>intersecção do plano α com o plano β resulta em uma reta (linha tracejada), que</p><p>é paralela à reta de intersecção dos planos β e γ. Por sua vez, o plano α também</p><p>intersecta o plano θ, gerando uma terceira reta (linha tracejada) que é paralela às</p><p>outras duas retas.</p><p>Portanto, temos três retas paralelas entre si: a reta de intersecção dos planos β e</p><p>γ, a reta resultante da intersecção do plano α com o plano β, e a reta resultante da</p><p>intersecção do plano α com o plano θ.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 110</p><p>10.3 Intersecção entre retas e planos projetantes</p><p>A intersecção entre retas e planos projetantes pode ser determinada diretamente,</p><p>exceto no caso específico da reta de perfil. Nas demais situações, é possível encontrar</p><p>o ponto de intersecção entre a reta e o plano através da coincidência dos traços</p><p>correspondentes.</p><p>10.3.1 Intersecção entre retas e os planos horizontal, frontal e de perfil</p><p>No caso de um plano horizontal, que é projetante frontal, a projeção frontal do ponto</p><p>de interseção (ponto I) é determinada pelo cruzamento do traço horizontal do plano</p><p>com a projeção frontal da reta.</p><p>No caso de um plano frontal, que é projetante horizontal, a projeção horizontal do</p><p>ponto I é determinada em primeiro lugar. Ela é encontrada no cruzamento do traço</p><p>frontal do plano com a projeção horizontal da reta.</p><p>No caso de um plano de perfil, que é duplamente projetante, é necessário considerar</p><p>as projeções do ponto I nos cruzamentos das projeções da reta com os traços do</p><p>plano. Isso permite determinar tanto a projeção frontal quanto a projeção horizontal</p><p>do ponto I.</p><p>Portanto, a determinação das interseções entre retas e planos projetantes envolve</p><p>considerar as projeções correspondentes, dependendo do tipo de plano envolvido.</p><p>10.3.2 Intersecção entre retas e os planos de topo e vertical</p><p>No caso do plano de topo, que é projetante frontal, a projeção frontal do ponto I é</p><p>determinada pelo cruzamento do traço frontal do plano com a projeção frontal da reta.</p><p>No caso do plano vertical, que é projetante horizontal, a projeção horizontal é</p><p>determinada em primeiro lugar. Ela é encontrada no cruzamento do traço horizontal</p><p>do plano com a projeção horizontal da reta.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 111</p><p>Portanto, ao realizar a interseção entre um plano projetante e uma reta, é necessário</p><p>considerar as projeções correspondentes de acordo com o tipo de plano envolvido. A</p><p>projeção frontal é determinada para planos de topo, enquanto a projeção horizontal é</p><p>determinada para planos verticais.</p><p>10.3.3 Intersecção entre diferentes retas e o plano oblíquo</p><p>No primeiro caso, onde a reta é oblíqua, utilizou-se um plano auxiliar de topo para</p><p>resolver a interseção. No segundo caso, com uma reta horizontal, utilizou-se um plano</p><p>horizontal como auxiliar. No último caso, onde a reta é vertical, utilizou-se um plano frontal.</p><p>O plano auxiliar intersecta o plano dado na reta de interseção i. Essa reta, por sua</p><p>vez, cruza a reta dada no ponto I. Essa abordagem é válida em todas as situações,</p><p>independentemente do tipo de reta ou plano envolvido.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 112</p><p>10.3.4 Intersecção de retas com o plano de rampa</p><p>No primeiro caso, temos uma reta oblíqua e utilizamos um plano auxiliar vertical.</p><p>No segundo caso, temos uma reta de topo e utilizamos um plano auxiliar de topo.</p><p>A reta i é o resultado da interseção entre o plano auxiliar e o plano dado. O ponto</p><p>I é o resultado da interseção entre a reta auxiliar e a reta dada. Essa abordagem nos</p><p>permite determinar a reta de interseção e o ponto de interseção nos casos em questão.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 113</p><p>10.3.5 Intersecção de uma reta com o plano passante</p><p>Na figura à esquerda, temos uma</p><p>reta frontal e um plano passante definido pelo</p><p>ponto P. Para determinar a interseção entre eles, utilizamos um plano auxiliar de topo.</p><p>Nesse plano auxiliar, deslocamos o ponto P para um novo ponto P’, que é idêntico a P.</p><p>A reta i é uma reta passante que contém o ponto P’. Ela cruza a reta dada no ponto</p><p>I, proporcionando a interseção entre a reta frontal e o plano passante.</p><p>É importante observar que o plano de topo utilizado está representado apenas</p><p>pelo seu traço frontal, indicado entre parêntesis, uma vez que o traço horizontal é</p><p>desnecessário para determinar a interseção desejada.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 114</p><p>ANOTE ISSO</p><p>Gaspard Monge, o criador da geometria descritiva, fez importantes contribuições</p><p>sobre o tema das intersecções entre elementos geométricos. Em seu trabalho</p><p>seminal “Géométrie Descriptive” (Geometria Descritiva), publicado em 1799, Monge</p><p>discute o método para determinar as intersecções entre retas e planos usando</p><p>projeções ortogonais.</p><p>Monge desenvolveu um sistema de representação gráfica que permitia representar</p><p>objetos tridimensionais em um plano bidimensional usando projeções ortogonais.</p><p>Esse sistema de projeção consiste em projetar os elementos geométricos em</p><p>três planos de projeção (horizontal, vertical e perfil) por meio de linhas de projeção</p><p>perpendiculares.</p><p>Para determinar a interseção entre duas retas ou entre uma reta e um plano, Monge</p><p>empregou um método baseado em projeções ortogonais. Ele introduziu a noção</p><p>de linhas de interseção, que são linhas formadas pela intersecção dos planos de</p><p>projeção com os elementos geométricos.</p><p>Ao identificar as linhas de interseção nas projeções ortogonais, Monge permitiu</p><p>a visualização e a determinação precisa dos pontos de interseção entre retas e</p><p>planos. Esse método gráfico forneceu uma maneira intuitiva e prática de resolver</p><p>problemas de intersecção na geometria descritiva.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 115</p><p>CAPÍTULO 11</p><p>FIGURAS PLANAS I</p><p>Na geometria plana, existem alguns aspectos fundamentais que são essenciais</p><p>para resolver exercícios envolvendo polígonos e sólidos. Um desses aspectos é a</p><p>construção de um polígono a partir de um lado e uma diagonal, o que é útil quando o</p><p>enunciado fornece apenas dois vértices consecutivos ou opostos do polígono.</p><p>Nos exercícios que serão apresentados a seguir, não serão mostrados os processos</p><p>de construção dos polígonos para evitar sobrecarregar o desenho. No entanto, na</p><p>prática, esses processos devem ser realizados, utilizando os métodos apropriados</p><p>de acordo com os dados fornecidos no enunciado do problema.</p><p>11.1 Construção do triângulo equilátero, do quadrado e do hexágono a partir de</p><p>um lado</p><p>Cada um dos polígonos representados aqui foi construído a partir de um lado [AB]</p><p>específico.</p><p>Triângulo: Utilizou-se o compasso aberto de A para B, e vice-versa, para determinar</p><p>o vértice C do triângulo.</p><p>Quadrado: Traçaram-se duas retas perpendiculares ao lado [AB], uma a partir de</p><p>cada extremo. Sobre essas perpendiculares, marcou-se a medida do lado utilizando</p><p>o compasso. Se a medida não fosse um valor inteiro, utilizou-se a régua para marcar</p><p>diretamente nas perpendiculares.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 116</p><p>Hexágono: Para construir o hexágono, utilizou-se o ponto O como centro da</p><p>circunferência, que foi determinado utilizando o mesmo processo utilizado para</p><p>encontrar o vértice C do triângulo. Com o compasso em O, traçou-se a circunferência.</p><p>Os vértices C e F foram determinados utilizando os mesmos arcos utilizados para</p><p>encontrar o ponto O. Os vértices D e E foram determinados traçando-se retas (ou</p><p>diâmetros) a partir de A e B, respectivamente.</p><p>11.2 Construção do quadrado, do retângulo e do hexágono a partir de uma diagonal</p><p>No caso do quadrado e do retângulo, foram construídos a partir da diagonal [AC].</p><p>Para o quadrado:</p><p>• Determinou-se a mediatriz da diagonal [AC], colocando o compasso nos pontos</p><p>A e C com uma abertura superior a metade do comprimento da diagonal.</p><p>• Com o compasso no ponto O (interseção da mediatriz com a diagonal), traçou-</p><p>se uma circunferência passando pelos vértices A e C.</p><p>• Os vértices B e D do quadrado surgem onde essa circunferência cruza a mediatriz.</p><p>Para o retângulo:</p><p>• Determinou-se a mediatriz da diagonal [AC] e traçou-se uma circunferência com</p><p>centro em O da mesma forma que no quadrado.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 117</p><p>• A determinação dos vértices B e D do retângulo é feita com base no comprimento</p><p>de um dos lados, que precisa ser fornecido.</p><p>No caso do hexágono, foi construído a partir da diagonal [AD]:</p><p>• Determinou-se a mediatriz da diagonal [AD] e traçou-se uma circunferência com</p><p>centro em O utilizando o mesmo método dos casos anteriores.</p><p>• Para determinar os vértices restantes, traçaram-se arcos com o compasso nos</p><p>vértices A e D, passando por O.</p><p>11.3 Construção do triângulo do hexágono e do quadrado inscritos na circunferência</p><p>No caso do triângulo, foi traçada uma linha vertical passando pelo centro da</p><p>circunferência, resultando no vértice A e em um ponto oposto. No ponto oposto,</p><p>colocou-se o compasso e traçou-se um arco passando por O, determinando assim</p><p>os vértices A e B.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 118</p><p>No hexágono, a linha vertical traçada pelo centro da circunferência permitiu</p><p>determinar os vértices A e D. Colocou-se o compasso nesses pontos e traçaram-se</p><p>arcos passando por O, determinando assim os restantes vértices.</p><p>No caso do quadrado, foram traçadas duas linhas perpendiculares entre si, cruzando-</p><p>se no centro da circunferência. Essas linhas dividem a circunferência em quatro partes</p><p>iguais, o que resulta nos vértices de um quadrado. Nesse caso específico, foram</p><p>traçadas uma linha horizontal e uma linha vertical.</p><p>11.4 Construção do pentágono inscrito na circunferência</p><p>Para construir o pentágono, começa-se traçando duas linhas retas perpendiculares</p><p>entre si, que passem pelo centro da circunferência. A partir dessa interseção, define-se</p><p>o ponto A como um vértice da figura.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 119</p><p>Em seguida, com o compasso no ponto 1, traça-se um arco passando pelo ponto</p><p>O e cruzando a circunferência em dois pontos. Esses pontos são unidos por uma</p><p>linha reta.</p><p>Coloca-se o compasso no ponto 2, abre-se até o ponto A e traça-se um arco até</p><p>a linha horizontal. Em seguida, com o compasso no ponto A (ponto 3), abre-se até o</p><p>ponto recém-determinado, fazendo um pequeno arco para a esquerda e outro para a</p><p>direita. Esses arcos determinam os vértices E e B.</p><p>Por fim, com o compasso nos pontos 4 e 5 (vértices E e B), mantendo a mesma</p><p>abertura, determinam-se os vértices D e C.</p><p>Essa sequência de construção permite obter os vértices da figura, utilizando</p><p>compasso e linhas retas, seguindo as relações geométricas adequadas para criar a</p><p>forma desejada.</p><p>11.5 Retas tangentes a circunferências</p><p>Para representar retas tangentes a circunferências, é necessário determinar os</p><p>pontos de tangência. Na figura à esquerda, são mostradas duas retas paralelas que</p><p>possuem pontos de tangência T e T’. Esses pontos podem ser determinados usando</p><p>um diâmetro da circunferência, pois as tangentes são perpendiculares a ele.</p><p>Na figura à direita, são mostradas duas retas que se intersectam em P, e queremos</p><p>determinar os pontos de tangência. O processo é o seguinte:</p><p>1. Traça-se o segmento de reta [OP], onde O é o centro da circunferência.</p><p>2. Com o compasso nos pontos O e P, cruzam-se arcos com uma abertura superior</p><p>a metade do segmento OP. Esses arcos irão intersectar-se em um ponto médio,</p><p>que chamaremos de M.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 120</p><p>3. Com o compasso em M, traça-se um arco que passa pelo ponto O. Esse arco</p><p>determinará os pontos de tangência T e T’ nas retas dadas.</p><p>Dessa forma,</p><p>seguindo esses passos, é possível determinar os pontos de tangência</p><p>entre as retas e a circunferência.</p><p>11.6 Representação direta de polígonos</p><p>Neste momento, estão representados polígonos em projeção horizontal e frontal. Para</p><p>evitar sobrecarregar os traçados, não são mostradas as construções auxiliares utilizadas</p><p>para determinar as figuras. É importante destacar que o estudo desses polígonos é</p><p>essencialmente realizado no primeiro diedro, que é o sistema de representação mais</p><p>comum para a geometria descritiva.</p><p>O estudo dos polígonos é relevante não apenas como um tópico em si, mas também</p><p>como uma introdução ao estudo dos sólidos. Os polígonos são a base dos sólidos</p><p>geométricos, e compreender suas propriedades e características é fundamental para</p><p>o estudo mais avançado da geometria e dos objetos tridimensionais.</p><p>Portanto, ao analisar os polígonos representados nesta página, é possível adquirir</p><p>conhecimentos essenciais para a compreensão da geometria plana e dos sólidos</p><p>geométricos.</p><p>11.6.1 Representação de triângulo, quadrado e hexágono horizontais</p><p>Nos polígonos horizontais, as projeções frontais são segmentos de reta paralelos</p><p>ao eixo x ou situados nele, no caso das figuras terem uma cota nula. É possível indicar</p><p>o plano que contém a figura, como exemplificado no primeiro exemplo.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 121</p><p>11.6.2 Representação de pentágono, retângulo e losango frontais</p><p>Nos polígonos frontais, as projeções horizontais são segmentos de reta paralelos</p><p>ao eixo x ou situados nele, no caso das figuras terem um afastamento nulo. É possível</p><p>indicar o plano que contém a figura, como exemplificado no segundo exemplo.</p><p>11.6.3 Representação de triângulos de topo, vertical e de perfil</p><p>Existem triângulos em planos projetantes com os mesmos nomes. No segundo</p><p>caso, está representado o plano que contém a figura. Os triângulos de topo e verticais</p><p>possuem projeções frontal e horizontal reduzidas a um segmento de reta oblíquo ao</p><p>eixo x. Já o triângulo de perfil tem ambas as projeções reduzidas a um segmento de</p><p>reta perpendicular ao eixo x.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 122</p><p>11.6.4 Representação de triângulos oblíquo e de rampa</p><p>Para verificar a posição oblíqua e de rampa desses triângulos, foi traçada uma reta</p><p>horizontal (ou frontal, dependendo do caso) em cruzamento com eles no primeiro caso,</p><p>e uma reta fronto-horizontal no segundo caso. Essas retas pertencem aos planos oblíquo</p><p>e de rampa, respectivamente, e servem como evidência da posição desses triângulos.</p><p>11.7 Verdadeira grandeza de polígonos recorrendo a rebatimentos</p><p>Aqui, é apresentado o método dos rebatimentos para determinar a verdadeira grandeza</p><p>de triângulos localizados em planos projetantes, independentemente da sua posição.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 123</p><p>11.7.1 Verdadeira grandeza de polígonos situados em planos projetantes</p><p>No primeiro caso, o triângulo [ABC] está localizado no plano de topo δ, representado</p><p>apenas pelo seu traço frontal. Esse plano foi rebatido para a posição horizontal,</p><p>alinhando-se com a cota do ponto A. Essa opção de rebatimento é escolhida para</p><p>evitar a expansão do traçado.</p><p>No segundo caso, o triângulo [DEF] está situado no plano vertical β e foi rebatido</p><p>para o Plano Horizontal de Projeção (PHP).</p><p>No exemplo ao lado, temos um quadrilátero irregular localizado no plano de perfil.</p><p>Optou-se por rebater esse plano para o Plano Frontal de Projeção (PFP).</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 124</p><p>11.7.2 Verdadeira grandeza de polígonos situados em planos não projetantes</p><p>Abaixo, temos um quadrilátero situado em um plano de rampa, representado com a ajuda</p><p>de duas retas oblíquas. Essas retas foram rebatidas para o Plano Horizontal de Projeção</p><p>(PHP) para determinar a verdadeira grandeza do polígono. O vértice D não necessita de</p><p>uma reta de apoio, uma vez que os lados do quadrilátero são paralelos dois a dois.</p><p>No segundo exemplo, temos um triângulo em um plano oblíquo, com um vértice no</p><p>traço frontal, outro no traço horizontal do plano e outro na reta horizontal n. O plano</p><p>e a reta foram rebatidos para o Plano Frontal de Projeção (PFP).</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 125</p><p>11.7.3 Verdadeira grandeza de um triângulo oblíquo</p><p>Para determinar a posição do ponto D, fez-se passar a reta s pelo lado [AB], de</p><p>modo que o plano horizontal α, que passa por C, tenha um ponto de interseção com</p><p>essa reta, neste caso, o ponto D. A charneira n é traçada passando por esses pontos</p><p>e em torno dela faz-se o rebatimento do ponto B, que é comum à reta e ao lado [BC].</p><p>Os pontos C e D são fixos nesse processo. Para rebater o ponto A, basta deslocá-lo</p><p>ao longo da perpendicular à charneira, na projeção horizontal.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 126</p><p>ANOTE ISSO</p><p>Uma curiosidade interessante sobre figuras planas na geometria descritiva é que</p><p>qualquer figura plana pode ser representada por um único plano de projeção.</p><p>Na geometria descritiva, um plano de projeção é utilizado para representar objetos</p><p>tridimensionais em um plano bidimensional por meio de projeções ortogonais. No</p><p>entanto, é possível representar figuras planas, como quadrados, triângulos, círculos,</p><p>etc., usando apenas um único plano de projeção.</p><p>Isso ocorre porque figuras planas não possuem uma terceira dimensão, então elas</p><p>podem ser projetadas diretamente no plano de projeção sem a necessidade de</p><p>considerar a profundidade. Dessa forma, todas as informações necessárias para</p><p>representar uma figura plana podem ser contidas em um único plano de projeção.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 127</p><p>CAPÍTULO 12</p><p>FIGURAS PLANAS II</p><p>Vamos continuar nosso estudo sobre figuras planas nesse capítulo.</p><p>12.1 Circunferências</p><p>Aqui estudaremos sobre circunferências.</p><p>12.1.1 Circunferências horizontal e frontal</p><p>No lado esquerdo, podemos observar uma circunferência de perfil com uma distância</p><p>em relação ao eixo horizontal. No lado direito, temos uma circunferência horizontal</p><p>que está alinhada com o eixo x. Em ambos os casos, os pontos A e B delimitam a</p><p>circunferência nos pontos de maior e menor coordenada x. O ponto O representa o</p><p>centro da circunferência.</p><p>12.1.2 Circunferências de perfil</p><p>A circunferência à esquerda foi desenhada diretamente, destacando os pontos de</p><p>maior e menor afastamento (A e B) e de maior e menor cota (C e D). A circunferência</p><p>à direita é dividida em oito partes iguais, com oito pontos marcados ao redor dela.</p><p>Quando desejamos representar um ponto em uma circunferência de perfil que não</p><p>esteja entre os quatro pontos já mencionados, o método mais recomendado é realizar</p><p>um rebatimento do plano que a contém.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 128</p><p>12.1.3 Circunferência em plano de topo</p><p>A circunferência na posição de topo é projetada como um segmento de reta na</p><p>projeção frontal e transformada em uma elipse na projeção horizontal. Para representá-la,</p><p>o método mais eficiente, em termos de desenho, é o rebatimento. Geralmente, dividimos</p><p>a circunferência em oito partes iguais e utilizamos os pontos resultantes desse processo.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 129</p><p>12.1.4 Circunferência em plano vertical</p><p>Neste caso, ocorre a situação inversa em relação à anterior. A projeção horizontal é</p><p>um segmento de reta localizado no traço correspondente do plano, enquanto a projeção</p><p>frontal é uma elipse. Para representar essa elipse, também utilizamos oito pontos da</p><p>circunferência, obtidos ao dividir a circunferência rebatida em oito partes iguais.</p><p>12.1.5 Circunferência em plano oblíquo</p><p>No processo de rebatimento do plano, utilizamos o traço da reta “n” que passa</p><p>pelo centro da circunferência. Ao representar as projeções de uma circunferência</p><p>oblíqua em</p><p>um plano oblíquo, ambas as projeções assumem uma forma elíptica. Para</p><p>determinar essas elipses, dividimos a circunferência rebatida em oito partes iguais e</p><p>realizamos o contra rebatimento dos pontos resultantes. Nesse caso, utilizamos retas</p><p>horizontais auxiliares. A fim de evitar sobrecarregar o desenho, não são fornecidos os</p><p>nomes de mais retas horizontais, pois esse processo é repetitivo e não acrescentaria</p><p>informações relevantes.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 130</p><p>12.1.6 Circunferência em plano de rampa</p><p>No plano de rampa, as projeções de uma circunferência também se transformam</p><p>em elipses, e para determiná-las utilizamos oito pontos. Nesse caso, utilizamos o</p><p>segmento de reta que serviu como base para o rebatimento do plano para realizar</p><p>o contra rebatimento dos pontos. Dessa forma, conseguimos representar as elipses</p><p>correspondentes às projeções da circunferência no plano de rampa.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 131</p><p>12.1.7 Circunferência em plano passante</p><p>Podemos observar que o procedimento é realizado o contra rebatimento dos oito</p><p>pontos necessários para construir as elipses. Assim como no exemplo anterior, a</p><p>divisão da circunferência em oito partes iguais através de linhas a 45º resulta em</p><p>alguns pontos alinhados dois a dois, o que possibilita reduzir o traçado necessário.</p><p>Esse método de divisão simplifica o processo de representação da circunferência no</p><p>plano de rampa, tornando o desenho mais eficiente.</p><p>12.2 Alterar as posições de triângulos utilizando rotações</p><p>Vamos aqui estudar sobre a alteração das posições de triângulos utilizando rotações</p><p>12.2.1 Passar um triângulo oblíquo para de topo</p><p>Para resolver essa situação, é utilizado um eixo vertical e uma reta auxiliar horizontal.</p><p>Ao girar a reta para a posição de topo, o triângulo passa a estar na posição de topo.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 132</p><p>O primeiro ponto a ser girado é o ponto D, que pertence tanto à reta horizontal quanto</p><p>ao triângulo. Em seguida, o ponto A é girado com a mesma amplitude. A nova posição</p><p>do ponto C é obtida alinhando os pontos A e D.</p><p>Para transformar esse triângulo em vertical, é utilizado um eixo de topo e uma reta</p><p>auxiliar frontal, que é girada até a posição vertical.</p><p>12.2.2 Passar um triângulo oblíquo para de rampa</p><p>Em relação ao caso anterior, neste caso a reta horizontal é girada até a posição</p><p>frontal-horizontal, garantindo que o triângulo fique na posição de rampa. Aqui, optou-</p><p>se por girar no sentido oposto.</p><p>Este caso também pode ser resolvido utilizando uma reta auxiliar frontal e um eixo</p><p>de topo.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 133</p><p>12.2.3 Passar um triângulo oblíquo para de perfil</p><p>O primeiro passo deste exercício é posicionar o polígono na posição de topo, como</p><p>foi demonstrado nos exemplos acima. Em seguida, utilizando um eixo de topo que</p><p>passa pelo ponto Cr, a figura é girada para a posição de perfil. Nessa segunda rotação,</p><p>a reta auxiliar n e o ponto D são desprezados.</p><p>A posição de perfil também pode ser obtida se, na primeira rotação, o triângulo</p><p>for posicionado verticalmente utilizando um eixo de topo. Em seguida, na segunda</p><p>rotação, é aplicado um eixo vertical.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 134</p><p>12.2.4 Passar um triângulo oblíquo para horizontal</p><p>Neste caso, em relação ao caso anterior, a nova projeção frontal do triângulo é girada</p><p>mais 90º até chegar à posição horizontal. Na segunda rotação, a reta auxiliar n e o</p><p>ponto D são desprezados. É importante notar que a projeção horizontal da posição</p><p>final do triângulo está em VG (vista geral).</p><p>Para posicionar o triângulo oblíquo na posição frontal, o procedimento é inverso</p><p>a este: primeiro coloca-se a figura na posição vertical, utilizando um eixo de topo e</p><p>uma reta auxiliar frontal; em seguida, posiciona-se na posição desejada utilizando um</p><p>eixo vertical.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 135</p><p>12.3 Alterar as posições de triângulos utilizando mudanças de planos</p><p>Aqui vamos alterar as posições de triângulos usando mudanças de planos</p><p>12.3.1 Passar um triângulo oblíquo para vertical</p><p>Para determinar a direção do novo eixo x, traça-se uma reta frontal que indica a</p><p>orientação desejada. Ao deslocar os afastamentos dos vértices do triângulo, obtemos</p><p>uma nova projeção frontal que será reduzida a um segmento de reta.</p><p>Para transformar o triângulo em uma projeção de topo, utiliza-se uma reta auxiliar</p><p>horizontal e traça-se o eixo x perpendicular à sua projeção horizontal. Isso garante a</p><p>posição correta do triângulo na projeção de topo.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 136</p><p>12.3.2 Passar um triângulo oblíquo para de rampa</p><p>Neste caso, o novo eixo x é colocado de forma paralela à projeção frontal da reta</p><p>auxiliar. Isso resulta na reta auxiliar ficando em uma posição fronto-horizontal, o que</p><p>comprova que o triângulo fica em uma posição de rampa. As medidas dos afastamentos</p><p>são deslocadas para se adequar à nova posição.</p><p>Essa situação também poderia ser resolvida utilizando uma reta auxiliar horizontal,</p><p>onde o novo eixo x seria colocado paralelo à sua projeção horizontal. Isso resultaria</p><p>no mesmo efeito de posicionar o triângulo em uma posição de rampa.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 137</p><p>12.3.3 Passar um triângulo oblíquo para frontal</p><p>O primeiro passo deste exemplo envolve posicionar o polígono na posição vertical,</p><p>como mostrado anteriormente. Utilizando um segundo eixo x paralelo à nova projeção</p><p>frontal, é possível obter a posição desejada, deslocando as cotas do triângulo vertical.</p><p>Na segunda mudança de plano, a reta auxiliar f e o ponto D são desprezados.</p><p>Embora não seja indicado, o triângulo resultante na posição final está na projeção</p><p>frontal.</p><p>Para posicionar a mesma figura na posição horizontal, começa-se por colocá-la</p><p>na posição de topo, utilizando uma reta auxiliar horizontal. Com o segundo eixo x, é</p><p>possível obter a posição desejada.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 138</p><p>12.3.4 Passar um triângulo oblíquo para frontal</p><p>No exemplo atual, assim como no anterior, o primeiro passo é posicionar o polígono</p><p>na posição vertical. Em seguida, com um segundo eixo x perpendicular à nova projeção</p><p>frontal, é possível obter a posição desejada, deslocando as cotas do triângulo vertical.</p><p>Na segunda mudança de plano, a reta auxiliar f e o ponto D são desprezados.</p><p>É importante notar que este caso também poderia ser resolvido utilizando uma</p><p>primeira posição de topo, como mencionado.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 139</p><p>ISTO ACONTECE NA PRÁTICA</p><p>Vamos resolver um exercício?</p><p>Segundo os desenhos abaixo, faça um croqui da épura dos prismas retos de bases</p><p>retangulares paralelas a (π).</p><p>Resolução:</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 140</p><p>CAPÍTULO 13</p><p>SÓLIDOS I</p><p>Neste capítulo iniciaremos o estudo sobre sólidos, porém, antes, retomaremos</p><p>algumas nomenclaturas que será de grande ajuda no estudo que está por vir.</p><p>Pirâmide</p><p>V - Vértice da pirâmide</p><p>A, B e C - Vértices da base</p><p>[ABC] - Base</p><p>[AB] - Aresta da base</p><p>[ABV] - Face (lateral)</p><p>[AV] - Aresta lateral</p><p>[PV] - Geratriz</p><p>Prisma</p><p>[DEFG] e [D’E’F’G’] - Bases inferior e</p><p>superior</p><p>D, E, F, G e D’, E’, F’, G’ - Vértices das</p><p>bases inferior e superior</p><p>[DEE’D’] - Face (lateral)</p><p>[DE] e [D’E’] - Arestas das bases</p><p>[DD’] - Aresta lateral</p><p>[PP’] - Geratriz</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 141</p><p>Cone</p><p>V - Vértice</p><p>[b] - Base</p><p>O - Centro da base</p><p>[VO] - Eixo</p><p>[VA] - Geratriz</p><p>[VB] - Geratriz de contorno</p><p>Cilindro</p><p>[b] - Base inferior</p><p>[b’] - Base superior</p><p>O e O’ - Centros das bases</p><p>[OO’] - Eixo</p><p>[AA’] - Geratriz</p><p>[BB’] - Geratriz de contorno</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF.</p><p>THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 142</p><p>Esfera</p><p>O - Centro</p><p>[c] e [c’] - Círculos máximos</p><p>[a] e [a’] - Círculos menores</p><p>13.1 Pirâmides e prisma com bases horizontais</p><p>Nesta ilustração, podemos observar duas pirâmides: uma pirâmide quadrangular</p><p>regular e uma pirâmide triangular oblíqua, juntamente com um prisma pentagonal</p><p>regular. As arestas que não são visíveis em cada projeção estão representadas com</p><p>traços interrompidos, indicando que estão ocultas na vista escolhida.</p><p>13.2 Prismas e pirâmide com bases frontais</p><p>Nesta representação, podemos observar dois prismas: um prisma oblíquo e um</p><p>prisma reto, juntamente com uma pirâmide hexagonal oblíqua. As arestas que não</p><p>são visíveis em cada projeção estão representadas com traços interrompidos. No caso</p><p>de sobreposição entre arestas visíveis e invisíveis, dá-se prioridade às arestas visíveis</p><p>em termos de traçado. Isso significa que as arestas visíveis são desenhadas de forma</p><p>contínua, enquanto as arestas invisíveis são desenhadas de forma interrompida.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 143</p><p>13.3 Prisma reto com bases de topo</p><p>Nesse caso, considerando que as bases do prisma são triângulos irregulares, elas</p><p>podem ser traçadas diretamente. Portanto, temos uma base localizada no plano θ e</p><p>outra base ao lado desta, obtida por uma linha perpendicular a esse plano. Isso ocorre</p><p>porque se trata de um sólido reto, no qual as bases são paralelas entre si.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 144</p><p>13.4 Pirâmide oblíqua com base vertical</p><p>Para representar uma base pentagonal regular nas projeções, é necessário realizar</p><p>o rebatimento do plano que a contém. Assumindo que o vértice principal é conhecido,</p><p>basta conectar esse vértice aos vértices da base para obter a forma tridimensional</p><p>completa do sólido.</p><p>13.5 Prisma oblíquo com bases de perfil</p><p>Neste caso, assume-se que os vértices da base do lado esquerdo foram fornecidos</p><p>diretamente, eliminando assim a necessidade de realizar um rebatimento. Além disso,</p><p>os ângulos das projeções das arestas laterais e a altura do sólido também foram dados.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 145</p><p>13.6 Pirâmide regular com base de perfil</p><p>A base desta pirâmide é um quadrado que foi construído utilizando o método de</p><p>rebatimento. Como se trata de um sólido reto, foi determinado o centro da base,</p><p>chamado ponto M, a partir do qual foi traçado o eixo fronto-horizontal para determinar</p><p>o vértice da pirâmide.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 146</p><p>13.7 Representação de pirâmides e de prismas com bases não projetantes</p><p>13.7.1 Prisma regular com bases oblíquas</p><p>Após representar o triângulo equilátero no plano de rebatimento, foram traçadas</p><p>as arestas laterais na perpendicular a esse plano, determinando assim a outra base</p><p>da pirâmide. Neste caso, não foi atribuída uma altura específica ao sólido, apenas foi</p><p>estabelecida a geometria das bases e das arestas laterais.</p><p>13.7.2 Cubo com uma face num plano passante</p><p>Partindo do pressuposto de que o ponto A é dado, constrói-se o quadrado rebatido</p><p>[ABCD] no plano de referência. Em seguida, coloca-se esse quadrado nas projeções</p><p>utilizando o rebatimento auxiliar do plano e da reta de perfil que contém o ponto A.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 147</p><p>A partir do ponto ER’, marcado na perpendicular a pR’, procede-se à marcação das</p><p>restantes arestas do cubo, sendo que o segmento tem a medida do lado do quadrado.</p><p>13.7.3 Pirâmide regular com base de rampa</p><p>Após representar o triângulo equilátero da base por meio do rebatimento do plano,</p><p>determinou-se o centro do triângulo, ponto M, também no rebatimento. Com a altura</p><p>da pirâmide fornecida, traçou-se o traço lateral do plano para marcar a medida [M3V3],</p><p>correspondente a essa altura.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 148</p><p>ANOTE ISSO</p><p>Uma curiosidade interessante sobre sólidos na geometria descritiva é que a</p><p>representação de um sólido por meio de suas projeções ortogonais pode revelar</p><p>informações importantes sobre sua forma e propriedades geométricas.</p><p>Ao representar um sólido por meio de projeções ortogonais em diferentes planos de</p><p>projeção (horizontal, vertical e perfil), é possível visualizar diferentes faces, arestas e</p><p>vértices do sólido. Essas projeções fornecem uma representação bidimensional do</p><p>sólido, permitindo uma análise mais detalhada de sua estrutura.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 149</p><p>CAPÍTULO 14</p><p>SÓLIDO II</p><p>Aqui daremos continuidade ao estudo dos sólidos.</p><p>14.1 Representação de cones e de cilindros com bases projetantes</p><p>14.1.1 Cones e cilindro com bases horizontais</p><p>Estão representados nesta figura dois cones, um reto e outro oblíquo, juntamente</p><p>com um cilindro reto. A parte invisível da circunferência da base do segundo cone</p><p>está indicada com traço interrompido.</p><p>14.1.2 Cone e cilindros com bases frontais</p><p>Aqui estão representados um cone oblíquo e dois cilindros, sendo um deles reto e</p><p>o outro oblíquo. A parte invisível da circunferência da base do segundo cilindro está</p><p>indicada com traço interrompido.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 150</p><p>14.1.3 Cilindro oblíquo com bases de perfil</p><p>Para representar um cilindro em perfil, basta unir as projeções das suas bases, que</p><p>são segmentos de reta perpendiculares ao eixo x. No entanto, em algumas situações,</p><p>pode ser necessário rebater uma das bases para obter uma representação mais</p><p>completa do sólido.</p><p>No caso de um cilindro de revolução, as suas projeções seriam retangulares.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 151</p><p>14.1.4 Cilindro de revolução com bases de topo</p><p>Após a representação da circunferência da base que está no plano, utilizando o método</p><p>de dividir a circunferência em oito partes iguais, prosseguiu-se com a representação da</p><p>outra base. Para isso, marcou-se a altura do sólido na perpendicular ao traço frontal</p><p>do plano, assim como as linhas geratrizes que passam pelos oito pontos.</p><p>14.1.5 Cone oblíquo com base de perfil</p><p>Um cone com bases de perfil é sempre representado por projeções triangulares.</p><p>Para desenhar o cone, basta unir as projeções do vértice às projeções da base, que</p><p>são segmentos de reta perpendiculares ao eixo x. No entanto, em alguns casos, é</p><p>necessário rebater uma das bases para representar o sólido de forma mais completa.</p><p>No caso de um cone de revolução, as projeções das bases são triângulos isósceles.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 152</p><p>14.1.6 Cone de revolução com base vertical</p><p>Na projeção frontal de um cone, é importante determinar com precisão os pontos</p><p>de tangência, T e T’, entre as linhas de contorno e a elipse. Esses pontos podem ser</p><p>encontrados através do rebatimento, utilizando o ponto I, que é a interseção da linha</p><p>de topo t (que contém o vértice e é projetada frontalmente) com o plano da base. Os</p><p>pontos de tangência são aqueles em que a elipse passa de uma parte visível para</p><p>uma parte invisível.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 153</p><p>14.2 As secções piramidais e prismáticas no espaço</p><p>Uma secção é a figura resultante do corte em um sólido feito por um plano chamado</p><p>plano secante. As secções assumem formas diferentes dependendo da posição do</p><p>plano em relação ao sólido. Em pirâmides e prismas, as secções são sempre polígonos.</p><p>14.2.1 Secções da pirâmide</p><p>As secções piramidais podem variar. À esquerda, temos um plano secante que</p><p>intersecta todas as arestas laterais. No centro, temos um plano que intersecta duas</p><p>arestas laterais e duas arestas da base. À direita, o plano contém o vértice e intersecta</p><p>a base em duas arestas, resultando em uma secção triangular.</p><p>14.2.2 Secções do prisma</p><p>As secções prismáticas também têm poucas variantes. À esquerda,</p><p>temos um plano</p><p>que intersecta todas as arestas laterais (esse plano é paralelo às bases, resultando</p><p>em uma secção com o mesmo formato). No centro, o plano secante intersecta uma</p><p>aresta lateral e duas arestas da base, resultando em um triângulo. À direita, o plano</p><p>intersecta as duas bases, resultando em um quadrilátero.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 154</p><p>ANOTE ISSO</p><p>Uma outra curiosidade interessante sobre sólidos na geometria descritiva é que</p><p>a representação das arestas de um sólido por meio de linhas de interseção nos</p><p>planos de projeção pode revelar informações sobre a sua orientação espacial.</p><p>Quando um sólido é projetado nas projeções ortogonais, as arestas do sólido</p><p>aparecem como linhas nas projeções. Através da análise dessas linhas de</p><p>interseção, é possível determinar a orientação do sólido no espaço tridimensional.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 155</p><p>CAPÍTULO 15</p><p>DISTÂNCIAS</p><p>Neste capítulo, são citadas as distâncias entre diferentes elementos no espaço,</p><p>tais como:</p><p>• Distância entre dois pontos;</p><p>• Distância entre um ponto e um plano;</p><p>15.1 Distância entre dois pontos</p><p>A distância entre dois pontos no espaço é dada pelo comprimento do segmento</p><p>de reta que liga esses pontos. Essa distância pode ser calculada utilizando a fórmula</p><p>da distância euclidiana, que é baseada no teorema de Pitágoras.</p><p>15.2 Distância entre um ponto e um plano</p><p>A distância entre um ponto e um plano pode ser calculada considerando a reta</p><p>perpendicular ao plano que passa pelo ponto dado. Essa reta irá intersectar o plano</p><p>em um ponto específico. A distância entre o ponto dado e o ponto de interseção é a</p><p>medida desejada, representando a distância mais curta entre o ponto e o plano.</p><p>Esse processo envolve encontrar o ponto de interseção entre a reta perpendicular e</p><p>o plano. Para isso, podemos utilizar as equações paramétricas da reta e a equação do</p><p>plano. Substituindo as coordenadas da reta na equação do plano, podemos determinar</p><p>o ponto de interseção.</p><p>Uma vez que o ponto de interseção tenha sido encontrado, a distância entre o ponto</p><p>dado e o ponto de interseção pode ser calculada utilizando a fórmula da distância</p><p>entre dois pontos no espaço tridimensional.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 156</p><p>15.3 Distância entre dois planos</p><p>A distância entre dois planos pode ser calculada considerando a reta que é</p><p>perpendicular a ambos os planos. Essa reta irá intersectar cada plano em um ponto</p><p>específico. A distância entre os dois planos é então definida como o comprimento do</p><p>segmento de reta que conecta esses pontos de interseção.</p><p>Para determinar a reta perpendicular aos planos, podemos utilizar as equações</p><p>paramétricas dos planos. A direção da reta será perpendicular às normais dos planos.</p><p>Portanto, podemos obter o vetor diretor da reta calculando o produto vetorial das</p><p>normais dos dois planos.</p><p>Uma vez que tenhamos a equação paramétrica da reta, podemos substitui-la nas</p><p>equações dos planos para encontrar os pontos de interseção. Com esses pontos em</p><p>mãos, podemos calcular a distância entre eles usando a fórmula da distância entre</p><p>dois pontos no espaço tridimensional.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 157</p><p>15.4 Distância entre uma reta e um plano</p><p>A distância entre uma reta e um plano pode ser determinada encontrando um</p><p>segmento de reta perpendicular a ambas as figuras, com os seus extremos localizados</p><p>em cada uma delas. Esse segmento é obtido pela interseção de uma reta que é</p><p>perpendicular tanto à reta quanto ao plano.</p><p>Para encontrar a reta perpendicular à reta e ao plano, é necessário levar em</p><p>consideração as direções relativas das duas figuras. A direção da reta perpendicular</p><p>será perpendicular à direção da reta e também perpendicular à normal do plano.</p><p>15.5 Distância entre um ponto e uma reta</p><p>A distância entre uma reta e um ponto pode ser determinada encontrando um</p><p>segmento de reta perpendicular à reta, com os seus extremos localizados no ponto</p><p>dado e no ponto mais próximo da reta.</p><p>Para obter esse segmento, podemos traçar uma reta que seja perpendicular e</p><p>concorrente à reta dada, passando pelo ponto dado. A interseção dessa reta com a</p><p>reta original nos dará o ponto mais próximo. Em seguida, podemos medir a distância</p><p>entre o ponto dado e o ponto de interseção para obter a distância desejada.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 158</p><p>15.6 Distância entre duas retas paralelas</p><p>A distância entre duas retas paralelas pode ser determinada encontrando um</p><p>segmento de reta perpendicular a ambas as retas, com um extremo em cada uma delas.</p><p>Para obter esse segmento, podemos traçar uma reta que seja perpendicular e</p><p>concorrente às duas retas dadas. Essa reta perpendicular deve cruzar ambas as retas</p><p>paralelas, criando pontos de interseção. Em seguida, podemos medir a distância entre</p><p>esses pontos de interseção para obter a distância desejada.</p><p>15.7 Distância entre duas retas enviesadas</p><p>A distância entre duas retas não paralelas pode ser determinada encontrando uma</p><p>reta perpendicular e concorrente a ambas. Ao traçar essa reta perpendicular, ela irá</p><p>se interceptar com as duas retas originais em pontos específicos.</p><p>A distância mais curta entre as duas retas é então obtida medindo o comprimento</p><p>do segmento que conecta esses pontos de interseção.</p><p>15.8 Distâncias entre pontos com uma coordenada igual</p><p>Aqui, será explicado como determinar a verdadeira grandeza (VG) da distância entre</p><p>dois pontos que compartilham a medida de, pelo menos, uma das coordenadas. A fim</p><p>de facilitar a visualização, os pontos serão unidos e transformados em um segmento</p><p>de reta.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 159</p><p>15.8.1 Verdadeira grandeza de segmentos de reta paralelos aos planos de projeção</p><p>Nos segmentos que são paralelos aos planos de projeção, a verdadeira grandeza</p><p>(VG) pode ser determinada diretamente. Um segmento que é projetado em um plano</p><p>ao qual é paralelo mantém seu tamanho real nessa projeção. No caso de um segmento</p><p>fronto-horizontal, que é paralelo a ambos os planos de projeção, a VG é mantida em</p><p>ambas as projeções, portanto, é suficiente indicar a VG em apenas uma delas.</p><p>15.8.2 Verdadeira grandeza de um segmento de reta de perfil</p><p>O segmento de reta em perfil é paralelo ao plano lateral de projeção, o que significa</p><p>que a sua projeção nesse plano aparece em verdadeira grandeza (VG). Esse exercício</p><p>também pode ser resolvido usando qualquer um dos métodos mostrados na próxima</p><p>página, aplicados ao segmento de reta oblíquo.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 160</p><p>15.9 Distâncias entre pontos sem coordenadas iguais</p><p>Quando nenhuma das coordenadas dos pontos é igual, temos um segmento de</p><p>reta oblíquo. Para determinar a sua verdadeira grandeza, são utilizados processos</p><p>geométricos auxiliares, como rebatimentos, rotações ou mudanças de planos. Esses</p><p>processos também podem ser aplicados ao segmento de reta em perfil.</p><p>15.9.1 Verdadeira grandeza de um segmento de reta oblíquo, utilizando</p><p>rebatimentos</p><p>Aqui são apresentadas duas maneiras de realizar o rebatimento do segmento de</p><p>reta. No primeiro caso, o plano de topo que contém o segmento é rebatido para o</p><p>Plano Horizontal de Projeção (PHP). No segundo caso, é realizado um rebatimento</p><p>lateral simplificado para o Plano Horizontal de Projeção que contém um dos pontos,</p><p>sem indicação do plano de rebatimento nem do eixo de charneira.</p><p>15.9.2 Verdadeira grandeza de um segmento de reta oblíquo, com rotações e</p><p>mudanças de planos</p><p>No primeiro caso, foi aplicada uma rotação para posicionar o segmento horizontal</p><p>com um eixo de topo. No segundo caso, realizou-se uma mudança do Plano de Frontal</p><p>de Projeção (PFP), transformando o segmento de reta em uma projeção frontal.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 161</p><p>15.10 Distância</p><p>de cada ponto</p><p>do objeto em três dimensões. Essas projeções são feitas em dois planos perpendiculares</p><p>entre si, de modo que cada plano representa uma vista do objeto.</p><p>A partir dessas projeções, é possível determinar as coordenadas do objeto em</p><p>três dimensões usando técnicas de geometria descritiva, como o traçado de retas</p><p>perpendiculares e paralelas. Com isso, é possível representar o objeto em um plano</p><p>bidimensional usando suas projeções ortogonais.</p><p>1.2 Nomenclaturas</p><p>1.2.1 Diedros</p><p>Os quatro diedros são as quatro regiões do espaço delimitadas por dois planos</p><p>perpendiculares entre si, que se interceptam em uma linha denominada linha de terra.</p><p>Cada diedro é identificado por dois planos de projeção, que podem ser o plano vertical</p><p>e o plano horizontal, ou o plano horizontal e o plano frontal.</p><p>Os quatro diedros são:</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 10</p><p>1. Primeiro diedro: é aquele em que o plano vertical é à esquerda do observador e</p><p>o plano horizontal está acima dele. É muito utilizado na Europa.</p><p>2. Segundo diedro: é aquele em que o plano vertical está à direita do observador</p><p>e o plano horizontal está acima dele. É muito utilizado na América do Norte.</p><p>3. Terceiro diedro: é aquele em que o plano horizontal está abaixo do observador</p><p>e o plano vertical está à esquerda dele.</p><p>4. Quarto diedro: é aquele em que o plano horizontal está abaixo do observador e</p><p>o plano vertical está à direita dele.</p><p>Os quatro diedros são utilizados para a representação de objetos em perspectiva</p><p>e para a construção de desenhos técnicos em diversas áreas. A escolha do diedro a</p><p>ser utilizado depende da convenção adotada pela região geográfica ou pela norma</p><p>técnica aplicável.</p><p>Abaixo, descrevo como seria a representação de um ponto em cada um dos quatros</p><p>diedros:</p><p>Primeiro diedro:</p><p>Na projeção do primeiro diedro, o plano de projeção XZ fica entre o observador e o</p><p>objeto, enquanto o plano YZ fica atrás do objeto. Nessa vista, o eixo X fica apontando</p><p>para a esquerda, o eixo Y aponta para cima e o eixo Z aponta para fora do plano.</p><p>Para representar um ponto na projeção do primeiro diedro, é necessário projetar</p><p>as coordenadas do ponto no plano XZ e no plano YZ. O ponto projetado aparecerá</p><p>na intersecção dessas duas projeções, na posição correta em relação aos eixos de</p><p>referência.</p><p>Segundo diedro:</p><p>Na projeção do segundo diedro, o plano de projeção XY fica entre o observador e o</p><p>objeto, enquanto o plano ZX fica atrás do objeto. Nessa vista, o eixo X aponta para a</p><p>direita, o eixo Y aponta para cima e o eixo Z aponta para fora do plano. Para representar</p><p>um ponto na projeção do segundo diedro, é necessário projetar as coordenadas do</p><p>ponto no plano XY e no plano ZX. O ponto projetado aparecerá na intersecção dessas</p><p>duas projeções, na posição correta em relação aos eixos de referência.</p><p>Terceiro diedro:</p><p>Na projeção do terceiro diedro, o plano de projeção YZ fica entre o observador e o</p><p>objeto, enquanto o plano XZ fica atrás do objeto. Nessa vista, o eixo X aponta para a</p><p>direita, o eixo Y aponta para a frente e o eixo Z aponta para baixo. Para representar um</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 11</p><p>ponto na projeção do terceiro diedro, é necessário projetar as coordenadas do ponto</p><p>no plano YZ e no plano XZ. O ponto projetado aparecerá na intersecção dessas duas</p><p>projeções, na posição correta em relação aos eixos de referência.</p><p>Quarto diedro:</p><p>Na projeção do quarto diedro, o plano de projeção XY fica atrás do objeto, enquanto</p><p>o plano ZX fica entre o observador e o objeto. Nessa vista, o eixo X aponta para a</p><p>esquerda, o eixo Y aponta para a frente e o eixo Z aponta para cima. Para representar</p><p>um ponto na projeção do quarto diedro, é necessário projetar as coordenadas do ponto</p><p>no plano XY e no plano ZX. O ponto projetado aparecerá na intersecção dessas duas</p><p>projeções, na posição correta em relação aos eixos de referência.</p><p>Título: Diedro</p><p>1.2.2 Coordenadas de um ponto</p><p>Na geometria descritiva, as coordenadas de um ponto são utilizadas para descrever</p><p>sua posição em um plano ou espaço tridimensional. Existem diferentes sistemas</p><p>de coordenadas que podem ser utilizados, mas um dos mais comuns é o sistema</p><p>cartesiano.</p><p>• Abscissa</p><p>A abscissa é a coordenada que representa a posição do ponto ao longo do eixo</p><p>X, que é o eixo horizontal no sistema de coordenadas. Ela é medida em unidades</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 12</p><p>de comprimento e indica a distância do ponto em relação à origem do sistema de</p><p>coordenadas, que é o ponto (0, 0, 0). Por exemplo, se um ponto tem abscissa igual</p><p>a 5, ele está localizado a 5 unidades à direita da origem no eixo X. Se a abscissa é</p><p>negativa, o ponto está localizado à esquerda da origem no eixo X.</p><p>• Afastamento</p><p>O afastamento é a coordenada que representa a distância do ponto em relação</p><p>ao plano de projeção, que é um plano paralelo ao plano XY e perpendicular ao eixo Z.</p><p>Ele é medido em unidades de comprimento e indica a distância do ponto em relação</p><p>ao plano de projeção, que é geralmente escolhido como referência para a projeção</p><p>do ponto. Por exemplo, se um ponto tem afastamento igual a 3, ele está localizado a</p><p>3 unidades à frente do plano de projeção. Se o afastamento é negativo, o ponto está</p><p>localizado atrás do plano de projeção.</p><p>• Cota</p><p>A cota é a coordenada que representa a posição do ponto ao longo do eixo Z, que é</p><p>o eixo vertical no sistema de coordenadas. Ela é medida em unidades de comprimento</p><p>e indica a altura ou elevação do ponto em relação ao plano horizontal de referência,</p><p>que geralmente é o plano XY. Por exemplo, se um ponto tem cota igual a 4, ele está</p><p>localizado a 4 unidades acima do plano XY. Se a cota é negativa, o ponto está localizado</p><p>abaixo do plano XY.</p><p>Em resumo, a abscissa indica a posição do ponto ao longo do eixo X, o afastamento</p><p>indica a distância do ponto em relação ao plano de projeção e a cota indica a altura ou</p><p>elevação do ponto em relação ao plano horizontal de referência. Essas coordenadas</p><p>são usadas em Geometria Descritiva para descrever a posição precisa de um ponto</p><p>em um espaço tridimensional.</p><p>A representação de um objeto em Geometria Descritiva geralmente inclui várias</p><p>vistas, que mostram o objeto a partir de diferentes ângulos e perspectivas. As vistas</p><p>mais comuns são a vista frontal, vista superior e vista lateral, que representam o</p><p>objeto em relação aos planos XY, XZ e YZ, respectivamente.</p><p>Para representar um objeto em Geometria Descritiva, é necessário utilizar técnicas</p><p>de desenho como linhas de projeção, linhas de cota, pontos de referência, entre outras.</p><p>As linhas de projeção são utilizadas para projetar os pontos do objeto nos planos de</p><p>projeção. As linhas de cota são utilizadas para indicar as dimensões do objeto em</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 13</p><p>cada vista. Os pontos de referência são utilizados para determinar a posição dos</p><p>objetos em relação aos eixos de referência.</p><p>Além disso, a Geometria Descritiva também utiliza sistemas de coordenadas</p><p>tridimensionais para representar a posição dos pontos em um espaço tridimensional.</p><p>Esses sistemas de coordenadas incluem as coordenadas X, Y e Z, que representam</p><p>a posição de um ponto em relação aos eixos X, Y e Z, respectivamente.</p><p>1.2.3 Épura</p><p>A épura é uma das principais ferramentas utilizadas na Geometria Descritiva para</p><p>representar objetos em um espaço tridimensional em um plano bidimensional, através</p><p>de projeções ortogonais. Ela consiste em um esquema que representa os planos</p><p>e linhas que definem a forma do objeto em uma projeção, permitindo assim uma</p><p>visualização precisa das suas características e dimensões.</p><p>A mesma é composta por um conjunto de linhas, pontos e símbolos que representam</p><p>os elementos do objeto a ser projetado, incluindo seus planos, arestas e vértices. Esses</p><p>elementos são projetados em planos de projeção, que são perpendiculares entre si, e</p><p>representam os eixos</p><p>entre um ponto e um plano projetante</p><p>A verdadeira grandeza da distância entre um ponto e um plano pode ser determinada</p><p>diretamente quando o plano é projetante. Nesse caso, basta traçar um segmento de</p><p>reta perpendicular ao traço do plano sobre o qual ele é projetante.</p><p>15.10.1 Distância entre um ponto e os planos horizontal, frontal e de perfil</p><p>Se o plano for projetante frontal, a verdadeira grandeza (VG) da distância é encontrada</p><p>entre o traço frontal do plano e a projeção frontal do ponto. Se o plano for projetante</p><p>horizontal, a VG da distância está localizada entre o traço horizontal do plano e a</p><p>projeção horizontal do ponto. No caso do plano de perfil, que é duplamente projetante,</p><p>a VG pode ser marcada a partir de qualquer uma das projeções do ponto, uma vez</p><p>que as distâncias em relação aos traços do plano são iguais.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 162</p><p>15.10.2 Distância entre um ponto e os planos de topo e vertical</p><p>No plano de topo (que é projetante frontal), a verdadeira grandeza (VG) da distância</p><p>é marcada na perpendicular entre a projeção frontal do ponto e o traço frontal do</p><p>plano. No plano vertical (que é projetante horizontal), a VG é marcada entre a projeção</p><p>horizontal do ponto e o traço horizontal do plano. No primeiro caso, é também indicado</p><p>o ponto do plano que fica mais próximo do ponto dado.</p><p>15.10.3 Distância entre um ponto e um plano de rampa, utilizando o plano lateral</p><p>de projeção</p><p>Para determinar a verdadeira grandeza (VG) da distância entre um ponto e um plano</p><p>de rampa, utiliza-se aqui a projeção lateral do ponto e o traço lateral do plano, que é</p><p>marcado na perpendicular a esse traço do plano. Também é determinado o ponto do</p><p>plano que está mais próximo do ponto dado.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 163</p><p>15.10.4 Distância entre um ponto e um plano de rampa, utilizando um rebatimento</p><p>Ao passar um plano de perfil pelo ponto dado, ele intersecta o plano de rampa,</p><p>formando uma reta de perfil. Essa reta, juntamente com o ponto rebatido, permite</p><p>encontrar a verdadeira grandeza (VG) da distância entre o ponto e o plano de rampa.</p><p>ANOTE ISSO</p><p>Sobre distâncias na geometria descritiva é possível determinar a distância entre dois</p><p>pontos tridimensionais usando apenas as projeções ortogonais desses pontos.</p><p>Na geometria descritiva, as projeções ortogonais são usadas para representar</p><p>objetos tridimensionais em um plano bidimensional. Essas projeções fornecem</p><p>informações sobre a localização relativa dos pontos em relação aos eixos</p><p>coordenados dos sistemas de projeção.</p><p>Ao observar as projeções ortogonais de dois pontos tridimensionais, é possível</p><p>determinar a distância entre eles utilizando métodos geométricos simples. Por</p><p>exemplo, pode-se traçar uma linha auxiliar entre as projeções dos pontos e, em</p><p>seguida, medir a distância entre essas projeções</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 164</p><p>CONCLUSÃO</p><p>A Geometria Descritiva desempenha um papel fundamental na compreensão e</p><p>representação de formas geométricas no espaço tridimensional. Através de seus</p><p>conceitos e técnicas, como ponto, reta, plano, pertinência, rebatimentos, rotações,</p><p>paralelismo, perpendicularidade, intersecções, figuras planas, sólidos e distâncias,</p><p>essa disciplina proporciona uma linguagem visual poderosa para a comunicação e</p><p>análise de objetos geométricos complexos.</p><p>Ao estudar a Geometria Descritiva, desenvolvemos habilidades de visualização</p><p>espacial e raciocínio geométrico, permitindo-nos compreender a estrutura e as relações</p><p>entre diferentes elementos geométricos. Essas habilidades são valiosas em diversas</p><p>áreas, desde a arquitetura e a engenharia até o design industrial e a arte.</p><p>Através das projeções e construções geométricas, podemos representar e analisar</p><p>objetos tridimensionais em um plano bidimensional, tornando a geometria mais acessível</p><p>e aplicável em diversas situações. A Geometria Descritiva fornece as ferramentas</p><p>necessárias para representar formas complexas, estudar suas propriedades e visualizá-</p><p>las a partir de diferentes perspectivas.</p><p>Além disso, a Geometria Descritiva é uma base sólida para o estudo de disciplinas</p><p>relacionadas, como a Geometria Analítica e a Geometria Espacial. Ela nos permite</p><p>compreender conceitos fundamentais, como a interseção de retas e planos, o</p><p>paralelismo e a perpendicularidade, que são amplamente utilizados em outras áreas</p><p>da matemática e da física.</p><p>Em resumo, a Geometria Descritiva desempenha um papel crucial na nossa</p><p>compreensão do espaço tridimensional e na representação precisa e visualmente</p><p>expressiva de formas geométricas complexas. Seu estudo nos capacita a analisar,</p><p>projetar e comunicar efetivamente conceitos geométricos, promovendo uma</p><p>compreensão mais profunda do mundo ao nosso redor e suas estruturas geométricas</p><p>intrínsecas.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 165</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>ALMEIDA, C.P., Geometria Descritiva, G. Ermakoff Casa Editorial, Rio de Janeiro, 2020.</p><p>CRUZ, D.C.; AMARAL, L.G, Apostila de Geometria descritiva, Barreiras, 2012.</p><p>GALRINHO, A. – Manual de Geometria Descritiva, 2010.</p><p>RABELLO, P.S, Geometria Descritiva Básica, Rio de Janeiro, 2005.</p><p>ROTELLI, V.; SANTOS, S.A.; FRANÇA, E. F – Geometria descritiva aplicada à arquitetura</p><p>I, Londrina, Editora e Distribuidora Educacional S.A, 2017.</p><p>SOUZA, A.M; VARGAS, S., Geometria Descritiva, Indaial, Uniasselvi, 2008.</p><p>_heading=h.gjdgxs</p><p>_heading=h.3b845te2f9qy</p><p>_heading=h.28e1qxym88sp</p><p>_heading=h.3b845te2f9qy</p><p>_heading=h.3b845te2f9qy</p><p>_heading=h.3b845te2f9qy</p><p>_heading=h.x6o0pkvarivy</p><p>_heading=h.k3cuarqjy8st</p><p>_heading=h.30j0zll</p><p>_heading=h.r93jrc729zs4</p><p>_heading=h.ia3xlaa0jox9</p><p>_heading=h.n1frij62kmsu</p><p>_heading=h.9lyxmq6mjy01</p><p>_heading=h.3jqe85iv3mk2</p><p>_heading=h.rh7agv6dueq4</p><p>_gjdgxs</p><p>_30j0zll</p><p>_3znysh7</p><p>_30j0zll</p><p>_1fob9te</p><p>_2et92p0</p><p>_tyjcwt</p><p>_3dy6vkm</p><p>_1t3h5sf</p><p>_gjdgxs</p><p>_3znysh7</p><p>_2et92p0</p><p>_tyjcwt</p><p>_3dy6vkm</p><p>_1t3h5sf</p><p>_30j0zll</p><p>_1fob9te</p><p>_30j0zll</p><p>_1fob9te</p><p>_2et92p0</p><p>_tyjcwt</p><p>_3dy6vkm</p><p>_1t3h5sf</p><p>_30j0zll</p><p>_1fob9te</p><p>_3znysh7</p><p>_2et92p0</p><p>_gjdgxs</p><p>_30j0zll</p><p>_1fob9te</p><p>_3znysh7</p><p>_2et92p0</p><p>_30j0zll</p><p>_2et92p0</p><p>_gjdgxs</p><p>_30j0zll</p><p>_1fob9te</p><p>_2et92p0</p><p>_3dy6vkm</p><p>_1t3h5sf</p><p>_30j0zll</p><p>_1fob9te</p><p>_3znysh7</p><p>_2et92p0</p><p>_tyjcwt</p><p>_3dy6vkm</p><p>_1t3h5sf</p><p>_gjdgxs</p><p>_30j0zll</p><p>_1fob9te</p><p>_2et92p0</p><p>_30j0zll</p><p>_1fob9te</p><p>_2et92p0</p><p>_tyjcwt</p><p>_3dy6vkm</p><p>_1t3h5sf</p><p>_4d34og8</p><p>_gjdgxs</p><p>_30j0zll</p><p>_1fob9te</p><p>_3znysh7</p><p>_tyjcwt</p><p>_3dy6vkm</p><p>_1t3h5sf</p><p>_30j0zll</p><p>_1fob9te</p><p>_3znysh7</p><p>_tyjcwt</p><p>_3dy6vkm</p><p>_1t3h5sf</p><p>Conceituação</p><p>Reta</p><p>Plano</p><p>Pertinência de reta e plano</p><p>Rebatimentos</p><p>Rotação</p><p>Paralelismo</p><p>Perpendicularidade</p><p>Intersecções I</p><p>Intersecções II</p><p>Figuras Planas I</p><p>Figuras Planas II</p><p>Sólidos I</p><p>Sólido II</p><p>Distâncias</p><p>X, Y e Z de um sistema de coordenadas tridimensional.</p><p>Ela é construída a partir de uma vista ou perspectiva escolhida para a projeção do</p><p>objeto, que pode ser a vista frontal, vista superior ou vista lateral, por exemplo. Cada vista</p><p>é representada por um plano de projeção e os elementos do objeto são projetados a partir</p><p>desse plano, utilizando linhas de projeção, linhas de cota e pontos de referência.</p><p>As linhas de projeção são linhas traçadas a partir dos pontos do objeto até os</p><p>planos de projeção, representando a posição do ponto na projeção. As linhas de cota</p><p>são utilizadas para indicar as dimensões do objeto em cada vista, representando a</p><p>distância entre os elementos projetados. Os pontos de referência são utilizados para</p><p>determinar a posição dos objetos em relação aos eixos de referência.</p><p>A representação de um ponto em um espaço tridimensional pode ser feita por meio</p><p>de projeções ortogonais nos quatro diedros da Geometria Descritiva: primeiro diedro,</p><p>segundo diedro, terceiro diedro e quarto diedro. Cada um desses diedros representa</p><p>uma perspectiva diferente da posição do ponto em relação aos eixos de referência.</p><p>1.2.4 Convenções e traçados</p><p>Na Geometria Descritiva, as figuras geométricas são descritas utilizando nomes</p><p>específicos, de acordo com a seguinte convenção:</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 14</p><p>• Pontos</p><p>Na Geometria Descritiva, as letras maiúsculas do alfabeto latino são utilizadas para</p><p>representar pontos, e são acrescentados os índices 1, 2 ou 3, dependendo se se trata</p><p>da projeção horizontal, frontal ou lateral de um ponto, respectivamente. Por exemplo,</p><p>A1 representa a projeção horizontal do ponto A, A2 representa a projeção frontal e A3</p><p>representa a projeção lateral</p><p>• Retas</p><p>As letras minúsculas do alfabeto latino são utilizadas para representar retas, e são</p><p>acrescentados os índices 1, 2 e 3, nas projeções horizontal, frontal e lateral de uma</p><p>reta, respectivamente. Por exemplo, r1 representa a projeção horizontal da reta r, r2</p><p>representa a projeção frontal e r3 representa a projeção lateral.</p><p>• Segmentos de reta</p><p>Os segmentos de reta são indicados pelos nomes de seus extremos entre parênteses</p><p>retos. Por exemplo, o segmento de reta [AB] terá como projeções horizontal e frontal</p><p>os segmentos [A1B1] e [A2B2], respectivamente. No traçado das projeções, apenas os</p><p>extremos A1, B1, A2 e B2 são indicados, sem a necessidade de traçar a reta completa.</p><p>Essa notação simplificada ajuda a representar de forma clara e concisa os segmentos</p><p>de reta em suas projeções.</p><p>• Polígonos</p><p>Os polígonos, como triângulos e pentágonos, são indicados pelos nomes de seus</p><p>vértices entre parênteses retos. Por exemplo, o triângulo [PQR] e o pentágono [ABCDE].</p><p>Nas projeções, apenas os nomes dos vértices são indicados, como A1, B1, A2, B2, e</p><p>assim por diante. Essa convenção ajuda a representar de forma clara os polígonos e</p><p>suas projeções, indicando apenas os vértices relevantes para cada projeção específica.</p><p>• Circunferências</p><p>As bases, circunferências e diretrizes são indicadas por uma letra minúscula entre</p><p>parênteses retos. Por exemplo, a base é representada por [b], a circunferência por [c] e</p><p>a diretriz por [d]. Suas projeções horizontais e frontais serão indicadas como [c1] e [c2],</p><p>[b1] e [b2], [d1] e [d2], respectivamente. Essa convenção ajuda a identificar claramente</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 15</p><p>as diferentes partes das figuras geométricas e suas projeções nos diferentes planos</p><p>de projeção.</p><p>• Planos</p><p>As letras minúsculas do alfabeto grego são utilizadas para representar os planos de</p><p>projeção. Os traços horizontal e frontal desses planos são indicados pela letra grega</p><p>precedida por “h” e “f”, respectivamente. Por exemplo, hα representa o traço horizontal</p><p>do plano α, enquanto fα representa o traço frontal do plano α. Essa notação ajuda a</p><p>diferenciar os traços dos planos e facilita a descrição das projeções nos diferentes</p><p>planos de projeção.</p><p>• Ângulos</p><p>As letras minúsculas do alfabeto grego são frequentemente usadas para representar</p><p>ângulos. As indicações αº e βº são usadas para designar o ângulo α e o ângulo β,</p><p>respectivamente. Além disso, é comum utilizar as letras “ae” e “ad” para indicar se os</p><p>ângulos têm abertura para a esquerda ou para a direita. Por exemplo, aeα indica um</p><p>ângulo α com abertura para a esquerda, enquanto adβ indica um ângulo β com abertura</p><p>para a direita. Essa convenção ajuda a descrever os ângulos e suas características</p><p>direcionais em um enunciado.</p><p>• Sólidos</p><p>Letras maiúsculas do alfabeto grego.</p><p>• Letras gregas (mais utilizadas)</p><p>Minúsculas: α, β, δ, π, θ, ω, ν, φ, ρ, σ, ψ... (alfa, beta, delta, pi, teta, ómega, niu, fi, ró,</p><p>sigma, psi…)</p><p>Maiúsculas: Δ, Ω, Σ, Θ, Π... (delta, ômega, sigma, teta, pi, ...)</p><p>São utilizados diferentes tipos de linhas e símbolos para representar elementos e</p><p>características específicas. Ao realizar os traçados, é importante ter cuidado e utilizar</p><p>os materiais adequados, conforme indicado a seguir:</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 16</p><p>• Linhas</p><p>Linhas finas: são utilizadas linhas finas para representar linhas de chamada</p><p>e traçados auxiliares. Essas linhas têm a finalidade de auxiliar na descrição</p><p>e construção das figuras geométricas, mas não são elementos principais da</p><p>representação.</p><p>Linhas médias: as linhas médias são utilizadas para representar os elementos</p><p>dados em um enunciado. Essas linhas são de espessura média e têm a finalidade</p><p>de destacar os elementos específicos mencionados no problema ou na descrição.</p><p>Linhas grossas: as linhas grossas são utilizadas para representar a solução de</p><p>um exercício. Essas linhas têm uma espessura maior em comparação às linhas</p><p>médias e finas, proporcionando destaque e ênfase à solução encontrada.</p><p>Linhas a traços interrompidos: as linhas a traço interrompido são utilizadas para</p><p>representar invisibilidades, principalmente em sombras e sólidos. Essas linhas</p><p>são desenhadas com um padrão de traço interrompido, indicando que o elemento</p><p>representado está oculto ou não visível na vista atual.</p><p>• Símbolos</p><p>Coincidente: é utilizado para indicar que duas figuras são exatamente iguais e ocupam o</p><p>mesmo lugar no espaço.</p><p>Paralelo: é utilizado para indicar que duas figuras estão em posição paralela entre si</p><p>Perpendicular: é utilizado para indicar que duas figuras são perpendiculares entre si;</p><p>Oblíquo: utilizado para indicar que duas figuras são oblíquas entre si;</p><p>Pertence: utilizado para indicar que uma figura pertence a outra</p><p>Perpendicular: coloca-se na intersecção de duas retas para salientar que são perpendiculares;</p><p>Igual: é utilizado para indicar que duas medidas, sejam elas distâncias ou ângulos, são</p><p>exatamente as mesmas.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 17</p><p>CAPÍTULO 2</p><p>RETA</p><p>O teorema da reta na geometria descritiva é uma importante ferramenta para</p><p>determinar a posição de uma reta em relação a um plano em perspectiva. Ele estabelece</p><p>que uma reta é determinada por dois pontos e pode ser representada por meio de</p><p>suas projeções ortogonais nas três vistas principais: vista frontal, vista lateral e vista</p><p>superior.</p><p>De acordo com o teorema da reta, a posição da reta em relação a um plano em</p><p>perspectiva pode ser determinada pela interseção das suas projeções ortogonais nas</p><p>três vistas principais. Isso significa que a reta é representada por três pontos, um em</p><p>cada vista, que estão alinhados na mesma ordem em cada vista.</p><p>O teorema da reta é muito útil em aplicações práticas, como a representação de objetos</p><p>em desenhos técnicos, arquitetônicos e de engenharia. Ele permite a determinação da</p><p>posição exata de retas em relação a planos em perspectiva, facilitando a realização</p><p>de cálculos e a execução de projetos complexos.</p><p>Em resumo, o teorema da reta na geometria descritiva estabelece que uma reta</p><p>é determinada por dois pontos e pode ser representada por meio de suas projeções</p><p>ortogonais</p><p>nas três vistas principais. Ele é uma importante ferramenta para a</p><p>determinação da posição de retas em relação a planos em perspectiva e é amplamente</p><p>utilizado em aplicações práticas.</p><p>2.1 Traços de uma reta</p><p>Os traços de uma reta são as suas projeções sobre os planos de projeção. Essas</p><p>projeções podem ser horizontais, verticais ou oblíquas, dependendo da posição e da</p><p>direção da reta em relação aos planos de projeção.</p><p>As projeções horizontais e verticais de uma reta são obtidas pela sua interseção</p><p>com os planos de projeção correspondentes. Essas projeções são chamadas de traço</p><p>horizontal e traço vertical, respectivamente. O traço horizontal é obtido pela interseção</p><p>da reta com o plano de projeção horizontal, enquanto o traço vertical é obtido pela</p><p>interseção da reta com o plano de projeção vertical.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 18</p><p>Já a projeção oblíqua de uma reta é obtida pela sua interseção com um plano</p><p>de projeção inclinado em relação aos planos de projeção horizontal e vertical. Essa</p><p>projeção é chamada de traço oblíquo e pode ser obtida a partir do traço horizontal e</p><p>do traço vertical.</p><p>Os traços de uma reta são importantes porque permitem determinar a sua posição e</p><p>direção em relação aos planos de projeção e, consequentemente, em relação a outros</p><p>objetos que estejam sendo representados no plano bidimensional.</p><p>2.2 Verdadeira grandeza</p><p>Verdadeira grandeza se refere à representação de um objeto ou figura em suas</p><p>dimensões reais, sem qualquer tipo de distorção.</p><p>Podemos dizer que, a verdadeira grandeza é a representação em tamanho real do</p><p>objeto ou figura em um plano bidimensional. Para isso, são utilizadas as projeções</p><p>ortogonais, que permitem representar as diferentes faces do objeto ou figura em</p><p>posições e orientações adequadas, de forma que suas dimensões sejam preservadas.</p><p>A verdadeira grandeza é importante porque permite ao observador visualizar com</p><p>precisão as dimensões e formas dos objetos em relação a outros objetos no plano</p><p>de projeção.</p><p>É importante destacar que, na representação em verdadeira grandeza, os ângulos</p><p>entre as faces do objeto são mantidos em suas medidas reais, o que permite a realização</p><p>de cálculos e análises precisas para a construção e manutenção desses objetos na</p><p>prática.</p><p>2.3 Classificação das retas</p><p>Quanto às posições que ocupam, em relação aos planos de projeção e à linha de</p><p>terra, as retas classificam-se assim:</p><p>• Reta horizontal.</p><p>• Reta frontal.</p><p>• Reta fronto-horizontal, ou paralela à linha de terra.</p><p>• Reta vertical.</p><p>• Reta de topo.</p><p>• Reta de perfil.</p><p>• Reta qualquer.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 19</p><p>2.3.1 Reta de topo</p><p>A reta de topo é utilizada para representar a interseção entre um plano e o plano</p><p>de projeção vertical.</p><p>Essa reta é obtida a partir da projeção ortogonal do plano sobre o plano de projeção</p><p>vertical e é representada no desenho através do seu traço horizontal, que é a projeção</p><p>ortogonal da reta de topo no plano horizontal.</p><p>Ela tem sua importância porque permite a representação de objetos que estejam</p><p>apoiados sobre um plano horizontal ou que possuam uma face horizontal em sua</p><p>construção. Por exemplo, uma mesa, um prédio, uma ponte, entre outros.</p><p>Além disso, a reta de topo é utilizada para a determinação da altura de um objeto em</p><p>relação ao plano de projeção, permitindo a realização de cálculos e análises precisas</p><p>para a construção e representação desses objetos no desenho.</p><p>Título: Reta de Topo</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 20</p><p>Título: Épura Reta de Topo</p><p>2.3.2 Reta frontal</p><p>A reta frontal é utilizada para representar a projeção ortogonal da reta perpendicular</p><p>ao plano frontal e que passa pelo observador.</p><p>Na representação gráfica, a reta frontal é mostrada através do seu traço vertical,</p><p>que é a projeção ortogonal da reta frontal no plano horizontal.</p><p>A reta frontal é importante porque permite a representação de objetos que estejam</p><p>localizados em frente ao observador ou que possuam uma face frontal em sua</p><p>construção. Por exemplo, uma parede, uma porta, uma janela, entre outros.</p><p>Além disso, a reta frontal é utilizada para a determinação da profundidade de um</p><p>objeto em relação ao plano de projeção, permitindo a realização de cálculos e análises</p><p>precisas para a construção e representação desses objetos no desenho.</p><p>Título: Reta Frontal</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 21</p><p>Título: Épura Reta Frontal</p><p>2.3.3 Reta vertical</p><p>A reta vertical é aquela que é perpendicular ao plano horizontal de projeção. Como</p><p>o nome sugere, a reta vertical é sempre orientada na direção vertical, em relação ao</p><p>plano de projeção.</p><p>Uma característica importante das retas verticais é que elas não têm projeção</p><p>horizontal, pois estão sempre perpendicularmente dispostas em relação ao plano</p><p>horizontal de projeção. Portanto, a projeção de uma reta vertical consiste apenas em</p><p>um ponto na vista frontal, correspondente à interseção da reta com o plano de projeção.</p><p>Na prática, as retas verticais são úteis na representação de objetos e estruturas que</p><p>se estendem verticalmente, como torres, edifícios, postes de energia, entre outros. A</p><p>partir da projeção da reta vertical, é possível determinar a altura desses objetos e a</p><p>distância entre diferentes pontos ao longo da reta vertical.</p><p>Além disso, é importante lembrar que as retas verticais podem ser representadas</p><p>por meio de suas projeções em diferentes planos de projeção, como o plano vertical</p><p>de perfil, por exemplo. Dessa forma, é possível obter diferentes vistas e perspectivas</p><p>de uma mesma reta vertical.</p><p>Título: Reta Vertical</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 22</p><p>Título: Épura Reta Vertical</p><p>2.3.4 Reta horizontal</p><p>A reta horizontal é aquela que é paralela ao plano horizontal de projeção. Isso</p><p>significa que a reta está sempre disposta horizontalmente em relação ao plano de</p><p>projeção, sem se afastar verticalmente dele.</p><p>Assim como no caso das retas verticais, a projeção de uma reta horizontal é obtida</p><p>por meio de sua interseção com o plano de projeção correspondente. No caso da vista</p><p>frontal, por exemplo, a projeção da reta horizontal será uma reta horizontal na vista,</p><p>localizada na altura em que a reta intersecta o plano de projeção.</p><p>As retas horizontais são bastante para representar objetos e estruturas que se</p><p>estendem horizontalmente, como pontes, estradas, muros, entre outros. A partir das</p><p>projeções dessas retas, é possível determinar a largura e a distância entre diferentes</p><p>pontos ao longo da reta horizontal.</p><p>Assim como no caso das retas verticais, as retas horizontais também podem ser</p><p>representadas por meio de suas projeções em diferentes planos de projeção. Dessa</p><p>forma, é possível obter diferentes vistas e perspectivas da mesma reta horizontal,</p><p>permitindo uma representação mais completa e detalhada do objeto ou estrutura</p><p>em questão.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 23</p><p>Título: Reta Horizontal</p><p>Título: Épura Reta Horizontal</p><p>2.3.5 Reta frontal-horizontal</p><p>A reta frontal-horizontal é aquela que é perpendicular tanto ao plano horizontal</p><p>quanto ao plano vertical de projeção. Essa reta está sempre disposta em um ângulo</p><p>de 45 graus em relação a esses dois planos, formando assim um plano de 45 graus.</p><p>A projeção de uma reta frontal-horizontal é obtida por meio de sua interseção com</p><p>os planos de projeção correspondentes. Na vista frontal, por exemplo, a projeção da</p><p>reta frontal-horizontal será uma reta que se estende ao longo do plano horizontal de</p><p>projeção e faz um ângulo de 45 graus com as retas horizontais e verticais.</p><p>As retas frontais-horizontais são utilizadas para representar objetos e estruturas</p><p>que possuem inclinação em relação aos planos de projeção. Por exemplo, uma rampa</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 24</p><p>em um edifício pode ser representada por uma</p><p>reta frontal-horizontal, permitindo</p><p>determinar a inclinação da rampa e sua posição em relação ao edifício.</p><p>É importante notar que as retas frontais-horizontais não possuem uma projeção</p><p>isolada em nenhum dos planos de projeção. Elas são projetadas em ambos os planos,</p><p>horizontal e vertical, e a partir dessas projeções é possível determinar sua posição e</p><p>inclinação em relação ao objeto representado.</p><p>Título: Reta Fronto-Horizontal</p><p>Título: Épura Reta Fronto-Horizontal</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 25</p><p>2.3.6 Reta de perfil</p><p>A reta de perfil é aquela que é perpendicular ao plano vertical de projeção. Isso</p><p>significa que a reta está sempre disposta verticalmente em relação ao plano de projeção,</p><p>sem se afastar horizontalmente dele.</p><p>A projeção de uma reta de perfil é obtida por meio de sua interseção com o plano</p><p>de projeção vertical. Na vista de perfil, por exemplo, a projeção da reta de perfil será</p><p>uma reta que se estende ao longo do plano vertical de projeção, sem se afastar dele.</p><p>As retas de perfil são muito utilizadas para representar objetos e estruturas que se</p><p>estendem em profundidade, ou seja, que possuem dimensões tanto em altura quanto</p><p>em largura. A partir das projeções dessas retas, é possível determinar a profundidade</p><p>e a distância entre diferentes pontos ao longo da reta de perfil.</p><p>Além disso, as retas de perfil são importantes na construção de perspectivas</p><p>em Geometria Descritiva, permitindo uma visualização tridimensional dos objetos</p><p>representados. Combinando as projeções de retas de perfil com as projeções em</p><p>outros planos de projeção, é possível criar representações mais completas e precisas</p><p>de objetos e estruturas.</p><p>É importante notar que as retas de perfil também podem ser representadas por</p><p>meio de suas projeções em outros planos de projeção, como o plano horizontal, por</p><p>exemplo. Dessa forma, é possível obter diferentes vistas e perspectivas da mesma</p><p>reta de perfil, permitindo uma representação mais completa e detalhada do objeto ou</p><p>estrutura em questão.</p><p>Título: Reta de Perfil</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 26</p><p>Título: Épura Reta de Perfil</p><p>2.4 Posição relativa entre duas retas</p><p>A posição relativa de duas retas é definida pela relação entre as suas projeções</p><p>ortogonais. Existem três posições relativas possíveis entre duas retas:</p><p>2.4.1 Retas concorrentes</p><p>Duas retas são concorrentes se suas projeções ortogonais se interceptam em um</p><p>ponto. Neste caso, as retas se cruzam em um único ponto, chamado ponto de interseção.</p><p>Título: Retas concorrentes</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 27</p><p>2.4.2 Retas paralelas</p><p>Duas retas são paralelas se suas projeções ortogonais são paralelas entre si. Neste</p><p>caso, as retas nunca se cruzam, e a distância entre elas é constante. é óbvio que</p><p>sempre são paralelas duas retas verticais, duas de topo e duas fronto-horizontais.</p><p>Já duas retas horizontais, ou duas frontais, serão paralelas se suas projeções de</p><p>mesmo nome forem paralelas entre si, ou um par delas coincidentes e o outro paralelo,</p><p>pois assim não poderão ter ponto próprio comum.</p><p>Título: Retas paralelas</p><p>ISTO ACONTECE NA PRÁTICA</p><p>Vamos Praticar!!</p><p>Apresento aqui uma resolução a mão de uma reta horizontal de coordenadas G (-3,</p><p>5, 3) e I (2, 3, 3).</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 28</p><p>CAPÍTULO 3</p><p>PLANO</p><p>Um plano em Geometria Descritiva é uma superfície plana que pode ser definida</p><p>por três pontos não colineares ou por uma linha e um ponto que não está sobre essa</p><p>linha. Existem alguns conceitos e traços importantes que podem ser utilizados para</p><p>descrever um plano em Geometria Descritiva:</p><p>• Traço Horizontal (TH): É a projeção ortogonal do plano sobre um plano horizontal.</p><p>O traço horizontal é uma linha reta que representa a interseção do plano com</p><p>o plano horizontal.</p><p>• Traço Vertical (TV): É a projeção ortogonal do plano sobre um plano vertical.</p><p>O traço vertical é uma linha reta que representa a interseção do plano com o</p><p>plano vertical.</p><p>• Traço de Projeção (TP): É a projeção ortogonal do plano sobre o plano de projeção.</p><p>O traço de projeção é uma linha reta que representa a interseção do plano com</p><p>o plano de projeção.</p><p>• Verdadeira Grandeza (VG): É a representação em tamanho real de uma figura</p><p>geométrica sobre um plano de projeção. A verdadeira grandeza do plano é</p><p>representada por um segmento de reta perpendicular ao plano de projeção.</p><p>• Inclinação do Plano: É o ângulo formado entre o plano e o plano horizontal. A</p><p>inclinação do plano é medida a partir do traço horizontal e é representada por</p><p>um segmento de reta inclinado em relação a esse traço.</p><p>• Altura do Plano: É a distância perpendicular entre o plano e o plano horizontal.</p><p>A altura do plano é medida a partir do traço horizontal e é representada por um</p><p>segmento de reta perpendicular a esse traço.</p><p>• Classificação dos planos</p><p>• Os planos classificam-se quanto às posições que ocupam em relação a cada</p><p>um dos planos de projeções e à linha de terra, então, temos:</p><p>• Planos Projetantes</p><p>• Horizontal</p><p>• Fontal</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 29</p><p>• Vertical</p><p>• De topo</p><p>• De perfil</p><p>Planos não projetantes</p><p>• Rampa</p><p>• Oblíquo</p><p>3.1 Plano Horizontal</p><p>O plano horizontal é paralelo ao plano horizontal de projeção e perpendicular ao</p><p>plano frontal de projeção. Ele possui apenas um traço frontal. Esse plano é chamado</p><p>de plano projetante frontal, pois as figuras que ele contém são projetadas frontalmente</p><p>em seu traço.</p><p>Os traços são as retas formadas pelos cruzamentos dos planos com os planos</p><p>de projeção.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 30</p><p>3.2 Plano Frontal</p><p>O plano frontal é paralelo ao plano frontal de projeção e perpendicular ao plano</p><p>horizontal de projeção. Ele possui apenas um traço horizontal. Esse plano é chamado</p><p>de plano projetante horizontal, pois as figuras que ele contém são projetadas</p><p>horizontalmente em seu traço.</p><p>3.3 Plano Vertical</p><p>O plano vertical é oblíquo ao plano frontal de projeção e perpendicular ao plano</p><p>horizontal de projeção. Ele possui dois traços. Esse plano é chamado de plano projetante</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 31</p><p>vertical, e todas as figuras que ele contém são projetadas horizontalmente no seu</p><p>traço horizontal.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 32</p><p>3.4 Plano de Topo</p><p>O plano de topo é perpendicular ao plano frontal de projeção e oblíquo ao plano</p><p>horizontal de projeção. Ele possui dois traços. Esse plano é chamado de plano projetante</p><p>frontal, pois todas as figuras que estão nele são projetadas frontalmente no seu traço</p><p>frontal.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 33</p><p>3.5 Plano de Perfil</p><p>O plano de perfil é perpendicular aos dois planos de projeção. Ele possui dois traços.</p><p>Esse plano é chamado de plano duplamente projetante, o que significa que todas as</p><p>figuras que estão contidas nele são projetadas em ambos os seus traços.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 34</p><p>3.6 Plano Rampa</p><p>O plano de rampa é oblíquo aos dois planos de projeção e paralelo ao eixo x. Ele</p><p>possui dois traços. No entanto, é importante observar que esse plano não é considerado</p><p>projetante, uma vez que as figuras nele contidas não são projetadas diretamente nos</p><p>traços do plano de projeção.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 35</p><p>3.6.1 Plano que passa pela linha de Terra</p><p>É um caso particular do plano de Rampa, quando o plano é oblíquo aos dois planos</p><p>de projeção e contém a linha de terra. Nesse caso, os dois traços coincidem com essa</p><p>linha. Se a inclinação do plano que Passa pela Linha de Terra não for conhecida, ele</p><p>só ficará determinado se um outro elemento pertencente a ele (um ponto ou uma</p><p>reta) for conhecido.</p><p>3.7 Plano Oblíquo</p><p>O plano oblíquo</p><p>é oblíquo aos dois planos de projeção e oblíquo ao eixo x. Ele possui</p><p>dois traços. No entanto, é importante observar que esse plano não é considerado</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 36</p><p>projetante, uma vez que as figuras nele contidas não são projetadas diretamente nos</p><p>traços do plano de projeção.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 37</p><p>ANOTE ISSO</p><p>Uma curiosidade interessante sobre planos na geometria descritiva é que três</p><p>planos podem se encontrar em uma única linha reta. Esse fenômeno é conhecido</p><p>como ponto triplo de um sistema de planos.</p><p>Quando três planos distintos se intersectam, eles geralmente formam uma linha de</p><p>interseção que é comum aos três planos. Essa linha é chamada de ponto triplo. É</p><p>importante destacar que o ponto triplo não é um ponto no espaço tridimensional,</p><p>mas sim a interseção das três linhas de interseção dos planos.</p><p>O ponto triplo tem propriedades geométricas interessantes. Por exemplo, se</p><p>um objeto for colocado no ponto triplo e projetado nos três planos, ele será</p><p>representado como uma única linha reta nas projeções. Esse ponto triplo é</p><p>fundamental na geometria descritiva para a determinação precisa de interseções e</p><p>relações entre diferentes elementos geométricos representados em planos.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 38</p><p>CAPÍTULO 4</p><p>PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO</p><p>De maneira geral, uma reta é considerada como parte de um plano quando suas</p><p>projeções estão situadas nas mesmas projeções do plano correspondente. Ao seguir</p><p>essa regra, pode-se perceber que a reta (r) pertence ao plano (α), uma vez que sua</p><p>projeção horizontal (H) está sobre a projeção horizontal do plano (απ) e sua projeção</p><p>vertical (V) está sobre a projeção vertical do plano (απ’). Por outro lado, mesmo que</p><p>a projeção vertical (V) da reta (s) esteja situada na projeção vertical do plano (βπ’), a</p><p>reta não pertence ao plano (β) já que sua projeção horizontal (H) não está situada na</p><p>projeção horizontal do plano (βπ).</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 39</p><p>A norma mencionada anteriormente não é adequada para determinar se uma linha</p><p>pertence a um plano pertencente a Linha de Terra, pois mesmo que as projeções da</p><p>linha estejam localizadas nas projeções correspondentes do plano, a inclinação da</p><p>linha pode ser diferente da inclinação do plano.</p><p>4.1 Retas contidas nos planos</p><p>Cada plano possui uma limitação em relação aos tipos de retas que pode conter.</p><p>Em geral, cada tipo de plano é capaz de conter somente três tipos de retas, exceto o</p><p>plano genérico, que pode conter até quatro tipos de linhas. A seguir, são listados os</p><p>tipos de retas que pertencem a cada tipo de plano.</p><p>4.1.1 Retas de um plano qualquer</p><p>O plano qualquer pode conter apenas retas oblíquas em relação aos dois planos de</p><p>projeção ou, pelo menos, em relação a um dos planos de projeção: qualquer, horizontais,</p><p>frontais e de perfil. Quando uma reta qualquer pertence a um plano qualquer, suas</p><p>projeções estão situadas nas projeções correspondentes do plano.</p><p>Quando temos uma reta horizontal pertencente a um plano qualquer, seu traço</p><p>vertical está sobre o traço vertical do plano e sua projeção horizontal é paralela ao</p><p>traço horizontal do plano.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 40</p><p>Agora, quando, uma reta frontal pertence a um plano qualquer, sua projeção vertical</p><p>é paralela ao traço vertical do plano e seu traço horizontal está sobre o traço horizontal</p><p>do plano.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 41</p><p>Agora, uma reta de perfil pertencente a um plano qualquer, seus traços, vertical e</p><p>horizontal, estão sobre os traços correspondentes do plano. É necessário, para saber</p><p>se uma reta de perfil pertence ao plano, rebater-se a mesma sobre o plano vertical de</p><p>projeção para conseguir os seus traços.</p><p>4.1.2 Retas de um plano horizontal</p><p>O plano horizontal é capaz de incluir apenas retas paralelas ao plano horizontal de</p><p>projeção: Horizontal, de topo e fronto-horizontal.</p><p>Quando uma reta de topo ou uma reta horizontal estiver contida a um plano horizontal,</p><p>então, o traço da reta estará sobre o traço vertical do plano e sua projeção vertical</p><p>coincidirá com o traço vertical do plano.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 42</p><p>Agora, quando, uma reta fronto-horizontal estiver contida no plano, sua projeção</p><p>vertical coincidirá com o traço vertical do plano.</p><p>4.1.3 Retas de um plano frontal</p><p>O plano frontal é capaz de incluir somente retas paralelas ao plano vertical de</p><p>projeção, como, reta fontal, reta vertical e reta fronto-horizontal.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 43</p><p>Quando uma reta fontal ou uma reta vertical estiver contida em plano frontal, o traço</p><p>horizontal da reta estará sobre o traço horizontal do plano e sua projeção horizontal</p><p>coincidirá com traço horizontal do plano.</p><p>Agora, quando uma reta fonto-horizontal estiver contida em um plano frontal, sua</p><p>projeção horizontal coincidirá com o traço horizontal do plano.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 44</p><p>4.1.4 Retas de um plano de topo</p><p>O plano de topo pode conter retas em uma ou em outra situação descrita abaixo:</p><p>• Primeira, quando as retas são obliquas ao plano horizontal de projeção.</p><p>• Segunda, quando são perpendiculares ao plano vertical de projeção</p><p>Como exemplo, reta de topo, reta frontal e reta qualquer.</p><p>Quando uma reta de topo estiver contida no plano de topo, sua projeção vertical e</p><p>traço vertical estarão sobre o traço vertical do plano.</p><p>Agora, quando uma reta frontal estiver contida em um plano de topo, sua projeção</p><p>vertical coincidirá com o traço vertical do plano e traço horizontal da reta estará sobre</p><p>o traço horizontal do plano.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 45</p><p>Por fim, quando uma reta qualquer estiver contida em um plano de topo, a projeção</p><p>vertical da reta coincidirá com o traço vertical do plano, o traço vertical da reta estará</p><p>sobre o traço vertical do plano e seu traço horizontal estará sobre o traço horizontal</p><p>do plano.</p><p>4.1.5 Retas de um plano Vertical</p><p>Em um plano vertical, temos duas situações de retas contidas, quando as retas</p><p>são oblíquas ao plano vertical de projeção ou perpendiculares ao plano horizontal de</p><p>projeção, exemplos: reta vertical, horizontal ou reta qualquer.</p><p>Quando uma reta vertical está contida a um plano vertical, a projeção horizontal</p><p>da reta e seu traço horizontal estarão sobre o traço horizontal do plano.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 46</p><p>Agora, quando uma reta horizontal estiver contida a um plano vertical, a projeção</p><p>horizontal da reta coincidirá com o traço horizontal do plano e o seu traço vertical</p><p>estará sobre o traço vertical do plano.</p><p>Por fim, quando uma reta qualquer estiver contida em um plano Vertical, a projeção</p><p>horizontal da reta coincidirá com o traço horizontal do plano, o traço horizontal da</p><p>reta estará sobre o traço horizontal do plano e o seu traço vertical estará sobre o</p><p>traço vertical do plano.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 47</p><p>4.1.6 Retas de um plano de perfil</p><p>Serão contidas apenas retas ortogonais à linha de terra em um plano de perfil, que</p><p>são, reta de perfil, reta vertical e reta de topo.</p><p>Quando qualquer um desses tipos de retas, de perfil, vertical e de topo, pertencer</p><p>a um plano de perfil, a abscissa da reta será a mesma da reta de perfil.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 48</p><p>4.1.7 Retas de um plano de rampa</p><p>O plano de Rampa é capaz de incluir retas que sejam paralelas à linha de terra</p><p>ou oblíquas aos dois planos de projeção, como exemplo reta de Perfil, Qualquer e</p><p>Fronto-horizontal.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA</p><p>PAULISTA | 49</p><p>Quando uma reta de Perfil ou uma reta Qualquer pertence a um plano de Rampa,</p><p>seus traços estão sobre os traços de mesmo nome do plano. Da reta de Perfil, no</p><p>caso, para verificar a sua pertinência a um plano de Rampa é necessário rebatê-la</p><p>sobre o plano vertical de projeção, obtendo-se os seus traços.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 50</p><p>Para a verificação se uma reta Fronto-horizontal pertence a um dado plano de</p><p>Rampa, é necessário utilizar-se uma reta auxiliar, uma vez que a reta Fronto-horizontal</p><p>não tem traços sobre os planos de projeção. Na figura abaixo, tem-se uma reta Fronto-</p><p>horizontal (r) cuja pertinência a um dado plano de Rampa () foi provada utilizando-se a</p><p>reta auxiliar (a). Como a reta auxiliar (a) pertence ao plano de Rampa e é concorrente</p><p>com a reta Fronto-horizontal (r), esta última também pertence ao plano. Caso as duas</p><p>retas não fossem concorrentes, a reta (r) não pertenceria ao plano.</p><p>4.1.8 Retas de um plano que passa pela linha de terra</p><p>De igual modo ao plano de Rampa, o plano que Passa pela Linha de Terra só pode</p><p>conter retas paralelas à linha de terra ou oblíquas aos dois planos de projeção, como</p><p>exemplo, reta fronto-horizontal, reta qualquer e reta de perfil.</p><p>No caso do plano que passa pela linha de terra, a regra geral de pertinência entre</p><p>reta e plano não é suficiente para se afirmar que uma reta pertence a esse plano.</p><p>Mesmo que os traços da reta coincidam com os traços do plano, a reta pode não</p><p>estar contida no plano. Na figura abaixo, por exemplo, a reta (A)(B) tem seus traços</p><p>na linha de terra, sobre os traços do plano (), e pertence ao plano. Já a reta (A)(C), que</p><p>também tem seus traços na linha de terra, sobre os traços do plano (), não pertence</p><p>a esse plano.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 51</p><p>Para determinar se uma reta pertence a um plano que cruza a Linha de terra, é</p><p>necessário conhecer uma reta auxiliar do plano. Dessa forma, sempre que for necessário</p><p>verificar se uma reta dada pertence a um plano que cruza a Linha de terra, é preciso</p><p>traçar uma reta auxiliar que pertença ao plano e, em seguida, verificar se há interseção</p><p>entre a reta auxiliar e a reta dada. Se houver interseção, a reta dada pertence ao plano.</p><p>ANOTE ISSO</p><p>Uma curiosidade interessante sobre a pertinência de retas em planos na geometria</p><p>descritiva é que uma reta pode ser perpendicular a um plano sem ser perpendicular</p><p>a nenhuma das projeções ortogonais desse plano.</p><p>Quando uma reta é perpendicular a um plano, significa que ela forma um ângulo</p><p>reto com todas as retas contidas no plano. No entanto, nas projeções ortogonais</p><p>desse plano, a reta não aparecerá necessariamente perpendicular.</p><p>Isso ocorre porque as projeções ortogonais podem apresentar distorções nas</p><p>relações angulares, especialmente quando a reta não está alinhada com os planos</p><p>de projeção. Portanto, uma reta pode parecer inclinada ou oblíqua em relação às</p><p>projeções, mesmo quando é perpendicular ao plano real.</p><p>Essa curiosidade ressalta a importância de compreender as projeções</p><p>ortogonais e as relações angulares entre retas e planos na geometria</p><p>descritiva, já que a aparência nas projeções nem sempre reflete</p><p>corretamente a relação real entre os elementos geométricos.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 52</p><p>CAPÍTULO 5</p><p>REBATIMENTOS</p><p>Neste capítulo veremos procedimentos que possibilitam a modificação da localização</p><p>das formas geométricas. Neste contexto, é apresentada a maneira de utilizá-las em</p><p>relação a pontos, segmentos de reta, retas e planos. A aplicação desses métodos</p><p>é extremamente benéfica, especialmente no estudo de formas planas, paralelismo,</p><p>perpendicularidade, distâncias e ângulos. Além disso, por extensão, eles também podem</p><p>ser aplicados em sólidos e projeções de sombra.</p><p>5.1 Rebatimento de planos projetantes</p><p>Ao refletir um plano, ele irá se alinhar (ou ficar paralelo) a um plano de projeção,</p><p>de modo que as figuras contidas nele sejam representadas em verdadeira grandeza,</p><p>ou seja, com tamanho e forma real, sem as distorções causadas pelas projeções.</p><p>As figuras localizadas nos planos frontal e horizontal estão sempre em verdadeira</p><p>grandeza em uma das projeções, não exigindo que sejam refletidas.</p><p>5.1.1 Rebatimento do plano de topo</p><p>Na parte esquerda, ocorre a reflexão do plano em relação ao Plano Horizontal</p><p>de Projeção (PHP), onde o eixo do rebatimento (charneira) para a reflexão é o traço</p><p>horizontal. O traço frontal refletido coincide com o eixo x. Na parte direita, a reflexão</p><p>é feita em relação ao Plano Frontal de Projeção (PFP), com a charneira no traço</p><p>frontal. O traço horizontal refletido fica perpendicular ao frontal. Em ambos os casos,</p><p>é ilustrado como refletir um ponto e uma reta no plano.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 53</p><p>5.1.2 Rebatimento do plano vertical</p><p>Aqui também temos uma reflexão no (PPF) e outra (PHP). O traço fixo, ou charneira,</p><p>é sempre o do plano de projeção sobre o qual o plano será rebatido. Neste caso, um</p><p>ponto e uma reta do plano acompanham a reflexão.</p><p>5.1.3 Rebatimento do plano de perfil</p><p>Na parte esquerda, ocorre o rebatimento do plano em relação ao Plano Frontal de</p><p>Projeção (PFP), onde a charneira para a reflexão é o traço frontal. O traço horizontal</p><p>refletido coincide com o eixo x. Foi também refletido o ponto P e uma reta vertical</p><p>do plano.</p><p>Na parte direita, o rebatimento é feito em relação ao Plano Horizontal de Projeção</p><p>(PHP), com a charneira no traço horizontal. O traço frontal refletido coincide com o</p><p>eixo x. Foi refletida uma reta de perfil e o ponto P do plano.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 54</p><p>5.1.4 Rebatimentos para determinar a verdadeira grandeza de um segmento de</p><p>reta de perfil</p><p>Na parte esquerda, o plano de perfil que contém o segmento de reta [PQ] é rebatido</p><p>em relação ao Plano Frontal de Projeção (PFP), resultando em [PRQR] em verdadeira</p><p>grandeza (VG).</p><p>Na parte direita, ocorre um rebatimento sobre o plano frontal ρ, que contém o ponto</p><p>P. Nesse caso, o ponto P permanece fixo e apenas o ponto Q é refletido. A charneira</p><p>desse rebatimento é a reta vertical v.</p><p>5.1.5 Rebatimentos para determinar a verdadeira grandeza de segmentos de reta</p><p>oblíquos</p><p>Na parte esquerda, o plano e o segmento de reta são rebatidos no Plano Horizontal</p><p>de Projeção.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 55</p><p>Na parte direita, o plano é rebatido no plano horizontal σ, que contém o ponto B.</p><p>Nesse caso, o rebatimento é feito em torno da charneira de topo t, que passa pelo</p><p>ponto B e, portanto, permanece fixa.</p><p>5.1.6 Rebatimentos simplificados para determinar a verdadeira grandeza dos</p><p>segmentos de reta oblíquo e de perfil</p><p>Na figura da esquerda, o segmento de reta oblíquo é rebatido em torno da charneira</p><p>frontal f para o plano frontal δ. Para realizar esse rebatimento, é marcada a medida</p><p>“igual” na perpendicular à charneira.</p><p>Na figura da direita, o segmento de reta de perfil é rebatido em torno da charneira</p><p>de topo t para o plano horizontal ω. Nesse rebatimento, também é marcada a medida</p><p>“igual” na perpendicular à charneira.</p><p>Nesse processo simplificado, não é necessário especificar um plano que contenha</p><p>o segmento, apenas o plano (horizontal ou frontal) para o qual o segmento é rebatido.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 56</p><p>5.2 Rebatimento de planos não projetantes</p><p>5.2.1 Rebatimento plano oblíquo</p><p>No exemplo abaixo, na figura superior, o plano é rebatido para o plano horizontal</p><p>de perfil (PHP). Nesse caso, a charneira é representada pelo traço horizontal fixo,</p><p>enquanto o traço frontal é móvel. O rebatimento foi realizado com o auxílio do ponto F.</p><p>Na figura inferior, o plano é rebatido para o plano frontal de perfil (PFP). Nesse caso,</p><p>o traço frontal é fixo, enquanto o traço horizontal é móvel. O rebatimento foi realizado</p><p>com o auxílio</p><p>do ponto H.</p><p>Na figura da esquerda destaca-se apenas o rebatimento do plano, enquanto na</p><p>figura da direita são rebatidas também duas retas e o ponto de interseção entre elas.</p><p>É importante notar que os pontos se deslocam na perpendicular à charneira.</p><p>5.2.2 Rebatimento do plano oblíquo com traços abertos para lados contrários</p><p>Abaixo, na figura superior, temos um plano comum que está sendo rebatido para o</p><p>plano horizontal de perfil (PHP). Os traços do plano estão abertos para lados contrários,</p><p>indicando que o rebatimento ocorre nessa direção. Dentro desse plano, também está</p><p>sendo rebatida uma reta horizontal.</p><p>Na figura inferior, temos um plano perpendicular à linha β2/4 que está sendo rebatido</p><p>para o plano frontal de perfil (PFP). O rebatimento ocorre nessa direção, indicada pelos</p><p>traços do plano. Dentro desse plano, está sendo rebatida uma reta frontal.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 57</p><p>Em ambos os casos, o rebatimento envolve tanto o plano como uma reta dentro</p><p>dele, sendo que cada rebatimento ocorre em uma direção específica (horizontal no</p><p>primeiro caso e frontal no segundo).</p><p>5.2.3 Rebatimento do plano de rampa</p><p>No primeiro exemplo, o plano está sendo rebatido para o plano horizontal de perfil</p><p>(PHP), sendo a charneira o traço horizontal e o traço frontal móvel. Além do rebatimento</p><p>do plano, também são rebatidas uma reta oblíqua, uma reta fronto-horizontal e o ponto</p><p>P, que pertence a essas retas.</p><p>No segundo caso, o plano é rebatido para o plano frontal de perfil (PFP), onde o</p><p>traço frontal é fixo e o traço horizontal é móvel. Nesse rebatimento, é realizado o</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 58</p><p>rebatimento de uma reta oblíqua e uma reta de perfil. Também é feita a intersecção</p><p>dessas retas no ponto P.</p><p>À esquerda da figura, é realizado o rebatimento auxiliar do ponto A, que permite</p><p>determinar a distância real entre os dois traços. Esse rebatimento é realizado para o</p><p>lado, resultando no ponto AR’. Em seguida, o ponto AR é obtido realizando o rebatimento</p><p>para baixo ou para cima a partir do ponto AR’.</p><p>5.2.4 Rebatimento do plano de rampa com os traços para o mesmo lado do eixo x</p><p>Nesta representação, observamos o rebatimento de um plano de rampa, com os</p><p>dois traços sendo rebatidos para baixo do eixo x. Além disso, é realizado o rebatimento</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 59</p><p>de uma reta oblíqua pertencente ao plano e também do ponto R que está localizado</p><p>nessa reta. O rebatimento é realizado para o plano horizontal de perfil (PHP).</p><p>5.2.5 Rebatimento do plano passante</p><p>No caso em questão, os traços do plano passante estão alinhados com o eixo x,</p><p>que serve como charneira. Portanto, o ponto auxiliar não pode estar localizado em um</p><p>dos traços, pois isso não seria útil para o rebatimento. O rebatimento do ponto A é</p><p>realizado considerando-se que o plano foi rebatido, nesse caso para o plano horizontal</p><p>de perfil (PHP). Assim como nos outros planos de rampa, o ponto passa primeiro</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 60</p><p>por um rebatimento auxiliar. Para rebater uma reta oblíqua que passa pelo ponto P,</p><p>utiliza-se um ponto dessa reta. Os triângulos resultantes do rebatimento auxiliar de</p><p>cada ponto são proporcionais, ou seja, têm hipotenusas paralelas. Isso prova que os</p><p>pontos A e S, assim como a reta s, estão situados no plano.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 61</p><p>CAPÍTULO 6</p><p>ROTAÇÃO</p><p>Por meio das rotações, é possível alterar a posição das figuras geométricas, girando-</p><p>as em torno de eixos verticais ou horizontais</p><p>6.1 Rotação de retas e de segmentos de reta</p><p>Geralmente, quando se trata de segmentos de reta, o eixo de rotação é passado</p><p>por uma extremidade, enquanto a outra extremidade é girada. No caso de retas, o eixo</p><p>de rotação é passado por um dos pontos da reta, enquanto outro ponto é girado. Nos</p><p>exemplos apresentados, partimos da posição oblíqua, mas é possível partir de outras</p><p>posições para realizar as rotações.</p><p>6.1.1 Rotação da reta e do segmento de reta oblíquos para frontais</p><p>Nessas rotações, utiliza-se o eixo vertical que contém o ponto B como referência. O</p><p>ponto A gira em torno desse eixo até atingir a posição de afastamento em relação a</p><p>B. A projeção horizontal de A é girada utilizando um compasso, enquanto a projeção</p><p>frontal desloca-se paralelamente ao eixo x.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 62</p><p>6.1.2 Rotação da reta e o segmento de reta oblíquos para horizontais</p><p>Neste caso, utiliza-se um eixo de topo passando pelo ponto D. O ponto C é girado</p><p>em torno desse eixo até atingir a mesma cota do ponto D. Essa rotação é realizada</p><p>para posicionar o ponto C no mesmo plano vertical do ponto D.</p><p>6.1.3 Rotação da reta e do segmento de reta oblíquos para de perfil</p><p>Neste caso, o eixo utilizado contém o ponto F e é utilizado para fazer a rotação do</p><p>ponto E até que a sua abcissa seja igual à do outro ponto. Para situações como esta,</p><p>onde apenas se busca igualar as abscissas (ou ordenadas) dos pontos, é indiferente</p><p>se o eixo utilizado é vertical ou de topo. O importante é que o eixo passe pelo ponto</p><p>de referência e permita a rotação necessária para atingir o objetivo desejado.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 63</p><p>6.1.4 Rotação do segmento de reta oblíquo para fronto-horizontal</p><p>Neste caso, são necessárias duas rotações para posicionar o segmento ou a reta</p><p>na posição desejada. Primeiramente, utiliza-se um eixo de topo para realizar a primeira</p><p>rotação e colocar o segmento ou a reta em uma posição intermediária horizontal. Em</p><p>seguida, realiza-se uma segunda rotação utilizando um eixo vertical para posicionar</p><p>o segmento ou a reta na posição final desejada.</p><p>Se a primeira rotação for realizada com um eixo vertical, a posição intermediária</p><p>será frontal. Caso contrário, se a primeira rotação for feita com um eixo de topo, a</p><p>posição intermediária será horizontal.</p><p>O procedimento para uma reta é semelhante ao do segmento, sendo necessário</p><p>aplicar as mesmas rotações. A diferença reside apenas na natureza da figura geométrica,</p><p>mas o processo de rotação é idêntico.</p><p>6.1.5 Rotação da reta oblíqua para vertical</p><p>Na rotação de uma reta ou segmento de reta, o procedimento é semelhante.</p><p>Primeiramente, realiza-se a rotação para posicionar a reta ou segmento na posição</p><p>frontal, utilizando um eixo vertical. Em seguida, aplica-se uma segunda rotação com</p><p>um eixo de topo para posicioná-lo na vertical.</p><p>Portanto, a ordem correta das rotações é utilizar um eixo vertical na primeira rotação</p><p>para posicionar a reta ou segmento na posição frontal. Posteriormente, realiza-se a</p><p>segunda rotação utilizando um eixo de topo para posicioná-lo na vertical. Este processo</p><p>é válido tanto para retas quanto para segmentos de reta.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 64</p><p>6.1.6 Rodar o segmento de reta oblíquo para de topo</p><p>Na rotação de um segmento de reta, o processo é semelhante. Inicialmente, realiza-</p><p>se a rotação para posicionar o segmento de reta na posição horizontal, utilizando um</p><p>eixo de topo. Em seguida, aplica-se uma segunda rotação com um eixo vertical para</p><p>posicioná-lo na vertical.</p><p>Portanto, a ordem correta das rotações é utilizar um eixo de topo na primeira rotação</p><p>para posicionar o segmento de reta na posição horizontal. Em seguida, realiza-se a</p><p>segunda rotação utilizando um eixo vertical para posicioná-lo na vertical. O processo</p><p>é análogo caso se trate de uma reta, sendo necessário aplicar as rotações na mesma</p><p>ordem.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 65</p><p>6.1.7 Rotacionar segmentos de reta para uma coordenada específica</p><p>No primeiro caso, realiza-se a rotação do segmento de reta para que o ponto P</p><p>fique alinhado com os pontos A e B. Isso implica que o segmento de reta gire em</p><p>torno de um eixo</p><p>vertical.</p><p>No segundo caso, o valor de cota desejado está fora do segmento de reta [CD].</p><p>Portanto, o ponto S é escolhido em uma linha que prolonga o segmento de reta. Nesse</p><p>caso, o eixo de rotação será aquele que possui o afastamento ou a cota desejados.</p><p>Em ambos os casos, é necessário definir o eixo de rotação de acordo com o objetivo</p><p>desejado. No primeiro caso, o eixo vertical é utilizado para alinhar o ponto P com os</p><p>pontos A e B. No segundo caso, o eixo de rotação será escolhido para que o ponto S</p><p>fique na posição desejada em relação ao segmento de reta [CD].</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 66</p><p>6.1.8 Rotacionar retas com eixos que não as cruzam</p><p>No exemplo à esquerda, realiza-se a rotação de uma reta oblíqua para a posição</p><p>horizontal utilizando o ponto P. Para isso, traça-se uma perpendicular a partir do ponto</p><p>P até encontrar o ponto de interseção (e2). A rotação do ponto P deve ser feita até</p><p>que a reta fique alinhada com o eixo horizontal. Além disso, o ponto Q também é</p><p>rotacionado, mantendo a distância em relação ao ponto P na projeção frontal. Dessa</p><p>forma, a reta resultante se encontra na posição horizontal.</p><p>No exemplo à direita, a mesma reta é rotacionada em 110º. Nesse caso, tanto o</p><p>ponto P quanto o ponto Q são rotacionados pelo mesmo valor. Nessa rotação, a reta</p><p>mantém-se oblíqua, ou seja, não se torna horizontal.</p><p>6.2 Rotação de planos</p><p>Ao realizar rotações de planos, são utilizados eixos verticais e de topo. Nos exemplos</p><p>apresentados, sempre partimos do plano oblíquo. Os exemplos desta página serão</p><p>resolvidos por meio de uma única rotação.</p><p>Ao cruzar o plano, o eixo intersecta-o em um ponto que permanece fixo durante a</p><p>rotação. O traço que desejamos rotacionar é movido com o auxílio de um segmento</p><p>de reta perpendicular a ele.</p><p>6.2.1 Rotacionar o plano oblíquo para de topo</p><p>O eixo vertical cruza o plano no ponto I, que é determinado pela interseção com a</p><p>reta horizontal. Para realizar a rotação, o segmento de reta perpendicular a hπ é girado</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 67</p><p>até que hπr fique perpendicular ao eixo x. Devido ao plano de topo ser projetante, o</p><p>traço fπr passa pelo ponto I2, que permanece fixo durante a rotação.</p><p>6.2.2 Rotacionar o plano oblíquo para vertical</p><p>Neste caso, procede-se de forma semelhante ao anterior, mas utilizando um eixo</p><p>de topo para rodar o plano até à posição desejada. O traço frontal do plano é girado</p><p>até ficar perpendicular ao eixo x. Utiliza-se uma reta frontal para determinar o ponto</p><p>I. Em ambos os casos, é indiferente se essa reta é horizontal ou frontal.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 68</p><p>6.2.3 Rotacionar o plano oblíquo para de rampa</p><p>Para obter um plano de rampa, tanto faz utilizar um eixo vertical quanto um eixo de</p><p>topo. Neste caso, utilizou-se um eixo vertical. A rotação do traço horizontal do plano</p><p>terminou quando ele ficou paralelo ao eixo x. Automaticamente, o outro traço também</p><p>ficou paralelo ao eixo x. Após obter o traço hπr, foi necessário traçar uma reta oblíqua,</p><p>que passa pelo ponto fixo I, e o traço frontal dessa reta intersecta o traço fπr.</p><p>Nos exemplos que serão citados abaixo, serão necessárias duas rotações. Nos</p><p>dois primeiros exemplos abaixo, percebe-se que a primeira rotação, são idênticas aos</p><p>exemplos citados acima.</p><p>6.2.4 Rotacionar o plano oblíquo para horizontal</p><p>Após transformar o plano oblíquo em um plano de topo, aplicou-se um eixo de topo.</p><p>Em torno desse eixo, o plano foi girado até atingir a posição horizontal. Como o eixo</p><p>e o plano de topo são paralelos, não há ponto de interseção entre eles. Na posição</p><p>final, o traço horizontal do plano desaparece.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 69</p><p>6.2.5 Rotacionar o plano oblíquo para frontal</p><p>Primeiramente, o plano foi transformado para a posição intermediária vertical. Em</p><p>seguida, utilizou-se um eixo vertical para girar o plano até a posição frontal. Na posição</p><p>final, o traço frontal do plano desaparece.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 70</p><p>6.2.6 Rotacionar o plano oblíquo para de perfil</p><p>Na posição intermediária entre o plano oblíquo e o plano de perfil, é possível escolher</p><p>entre a posição de topo e a posição vertical. Neste caso, o plano foi colocado na</p><p>posição vertical. Ao compararmos com o caso anterior, basta girar o plano vertical</p><p>mais 90º em torno de um eixo vertical. Como resultado, os traços do plano se tornam</p><p>coincidentes.</p><p>ANOTE ISSO</p><p>Uma curiosidade interessante sobre rotação na geometria descritiva é que, ao girar</p><p>um objeto tridimensional em torno de um eixo perpendicular a um dos planos de</p><p>projeção, sua projeção ortogonal não muda.</p><p>Isso significa que, ao realizar uma rotação em um objeto em torno de um eixo que</p><p>é perpendicular a um dos planos de projeção (plano horizontal ou plano vertical), as</p><p>projeções ortogonais desse objeto permanecerão inalteradas.</p><p>Essa propriedade é útil na geometria descritiva, pois permite que sejam</p><p>realizadas manipulações e análises geométricas em objetos tridimensionais</p><p>sem a necessidade de recalculá-las nas projeções ortogonais.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 71</p><p>CAPÍTULO 7</p><p>PARALELISMO</p><p>Neste capítulo, são apresentados os paralelismos no espaço entre diferentes</p><p>elementos: duas retas, dois planos e uma reta e um plano. Nos desenhos mostrados,</p><p>é fácil visualizar e compreender essas relações de paralelismo. No entanto, nas</p><p>projeções, nem sempre é óbvio ou de resolução imediata identificar esses paralelismos.</p><p>É necessário aplicar os princípios e técnicas adequados para determinar a existência</p><p>e a relação de paralelismo entre os elementos representados nas projeções.</p><p>7.1 Paralelismo entre duas retas</p><p>Duas retas paralelas são retas que possuem a mesma direção e, portanto, são</p><p>complanares, ou seja, pertencem ao mesmo plano. Isso significa que essas retas</p><p>nunca se cruzam e estão contidas no mesmo plano infinito ou em planos paralelos.</p><p>7.2 Paralelismo entre dois planos</p><p>Para determinar se dois planos são paralelos, é necessário verificar se suas retas</p><p>de interseção são paralelas entre si. Se as retas de interseção dos dois planos forem</p><p>paralelas, então os planos são paralelos.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 72</p><p>7.3 Paralelismo entre uma reta e um plano</p><p>Se uma reta não intersecta um plano, então ela é considerada paralela a esse</p><p>plano. Em outras palavras, a reta e o plano não possuem nenhum ponto em comum.</p><p>Essa propriedade é uma definição fundamental de paralelismo entre retas e planos na</p><p>geometria. Quando uma reta e um plano não se cruzam, diz-se que a reta é paralela</p><p>ao plano.</p><p>7.4 Paralelismos de resolução direta entre retas</p><p>Duas retas paralelas têm sempre suas projeções correspondentes paralelas. Em</p><p>alguns casos, pode haver coincidência em uma das projeções. É importante destacar</p><p>que apenas retas do mesmo tipo podem ser paralelas entre si. Neste contexto, não</p><p>estão representadas as retas fronto-horizontal, de topo e vertical, pois duas retas de</p><p>cada um desses tipos são sempre paralelas.</p><p>7.4.1 Paralelismo entre retas horizontais e entre retas frontais</p><p>Duas retas horizontais ou frontais são consideradas paralelas quando suas projeções</p><p>homólogas também são paralelas. Mesmo se houver coincidência em uma das</p><p>projeções (como é o caso do segundo exemplo inferior), o paralelismo ainda é válido.</p><p>GEOMETRIA DESCRITIVA</p><p>PROF. THIAGO RODA</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 73</p><p>7.4.2 Paralelismo entre retas oblíquas</p><p>Duas retas oblíquas são consideradas paralelas quando suas projeções nas diferentes</p><p>vistas (horizontal, frontal e vertical) são segmentos de reta paralelos. Mesmo que</p><p>ocorra uma coincidência ou sobreposição entre as projeções em uma das vistas, o</p><p>paralelismo entre as retas oblíquas ainda é válido.</p><p>7.5 Paralelismos entre retas de perfil</p><p>A regra que foi mencionada</p>