Matemática - Cap 08_Logaritmos_ definição e propriedades

Prévia do material em texto

MATEMÁTICAMATEMÁTICA
CAP. 08
LOGARITMOS: DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES
Exportado em: 20/05/2024
Escaneie com o
leitor de QR
Code da busca de
capítulos na aba
ConteúdoConteúdo
 
VER CAPÍTULOVER CAPÍTULO
SLIDES DO CAPÍTULOSLIDES DO CAPÍTULO
A cidade de Gonçalves (MG) possui menos de 5 mil habitantes,
segundo o IBGE.
Caio Pederneiras / Shutterstock.com
Leia a situação apresentada a seguir sobre o crescimento populacional de uma pequena
cidade. Vamos explorar alguns conhecimentos de potenciação e de equações exponenciais
para propor uma reflexão inicial sobre o conteúdo deste capítulo. Para isso, responda às
seguintes questões.
Para começar e refletirPara começar e refletir
1
Explorando:
estimativa de uma população
 PRÁTICA ATIVA
 
Questão 01
A população de uma cidade com, inicialmente, habitantes cresce a uma
taxa de ao ano.
Modelou-se esse crescimento por meio da função sendo
 dado em anos. 
1.a)
Determine O que esse valor representa?
1.b)
Determine O que esse valor representa?
1.c)
Após 5 anos, a população terá mais do que habitantes?
1.d)
Escreva uma equação que poderia ser utilizada para determinar a quantidade de
anos que levará para que a população dessa cidade chegue a habitantes.
1.e)
Que estratégias você utilizaria para determinar na equação anterior?
O logaritmo no dia a diaO logaritmo no dia a dia
2
•
•
•
•
•
•
•
A concha de um Nautilus se aproxima do formato da espiral
logarítmica
Pixabay
Muitas vezes nos questionamos sobre a aplicação de certos conteúdos matemáticos na vida
real.
Vimos na prática ativa da página anterior que existem equações exponenciais que não
conseguimos resolver de maneira exata com os recursos desenvolvidos até aqui. Mas antes
de introduzirmos um novo conceito matemático – o chamado logaritmo –, vamos citar
algumas de suas aplicações.
O logaritmo aparece em diversos contextos, como:
na música ocidental, nas relações entre as frequências das notas;
na matemática financeira, no cálculo de juros compostos;
em modelos estatísticos e probabilísticos;
na determinação de intensidade sonora;
no cálculo da magnitude de um terremoto;
na análise da complexidade computacional de algoritmos;
no uso de escalas logarítmicas relacionadas à representação de crescimento e
decaimento exponenciais.
Nesse capítulo, vamos desenvolver ferramentas para resolvermos equações exponenciais que,
muitas vezes, aparecem quando lidamos com situações como as citadas acima.
3
 Assista: aplicações do logaritmo no dia a dia
O logaritmo é usado para determinar os espaçamentos dos
trastes de uma guitarra
Pixabay
No vídeo "Tenho um Logaritmo no Canto do Olho", da série Isto é Matemática, o
matemático Rogério Martins fala de música, sensibilidade e logaritmos.
Ele apresenta experimentos fáceis de replicar, que dão uma noção do significado do
logaritmo. Esses experimentos mostram, em particular, como podemos perceber a
existência de uma escala logarítmica com os nossos próprios sentidos.
Como vimos na prática ativa de introdução, existem equações do tipo que ainda não
temos recursos para resolver. Até aqui, trabalhamos o caso em que está na forma de
potência de base 
Antes de introduzirmos um novo conceito necessário para resolver outros tipos de equação,
vamos relembrar uma definição.
Relembre: equações exponenciais
Uma equação exponencial é aquela da forma com na qual
a incógnita se apresenta no expoente.
Definição de logaritmoDefinição de logaritmo
4
https://www.youtube.com/watch?v=8Ypwl7DsWMM
•
•
•
Com isso em mente, vamos apresentar a definição matemática de logaritmo. 
Considere dois números reais e positivos e Denomina-se logaritmo de na base
 o número de modo que elevado a resulte em Em outras palavras, o logaritmo é
o expoente da potência 
Dados temos 
Utilizamos as seguintes nomenclaturas para 
 é o logaritmando;
 é a base do logaritmo;
 é o logaritmo de na base 
Exemplo 1: nomenclatura
Em temos que é o logaritmando, é a base e é o logaritmo de na base
indicada. Observe que 
Tomemos, por exemplo, a base Observe a variação, com valores aproximados de 
quando mudamos o logaritmando 
Dica 
Tome cuidado com o uso da notação. O uso de " " sem a indicação do
logaritmando não tem significado.
Vamos ver como determinar o valor do logaritmo por meio da definição.
Exemplo 2: cálculo do logaritmo
Exemplo 3: cálculo do logaritmo
Exemplo 4: cálculo do logaritmo
5
Exercício resolvido
1.
Determine o número real em 
Resolução:
Temos que é o logaritmando, logo, tem-se:
2.
Determine o número real em 
Resolução:
Como, neste caso, é a base do logaritmo, ele deve obedecer à seguinte condição: 
 Assim, tem-se:
Na calculadora científica, ao apertar a tecla "log" seguida de um
número, calcula-se seu logaritmo decimal.
Pixabay
Quando a base do logaritmo é ele é chamado de logaritmo decimal ou logaritmo
6
comum.
Seu uso foi introduzido pelo matemático Henry Briggs (1561-1630) e, até algumas décadas
atrás, era uma das bases mais utilizadas em contextos da ciência, navegação e engenharia.
Por conta de seu uso frequente, adotou-se uma notação especial para esse logaritmo, sem a
indicação da base na parte inferior do mesmo.
Adotamos a notação para representar o logaritmo de na base 
Exemplo 5: cálculo do logaritmo decimal
Exercício resolvido
3.
Determine o número real tal que 
Resolução:
Temos 
Logo, ou 
Como temos apenas a solução 
Repare que isso não contradiz a definição que adotamos para o logaritmando, pois 
 
Para organizar as ideias, observe no esquema as nomenclaturas utilizadas para o logaritmo.
7
A
B
C
Organizando as ideias: definição de logaritmo
Agora é com você 
Questão 01
Em o número é denominado:
base.
logaritmo.
logaritmando.
Questão 02
Determine para os seguintes valores de 
2.a)
 
2.b)
2.c)
2.d)
Questão 03
8
A
B
C
D
E
Qual o valor de 
 
 
 
 
 
Questão 04
Determine o valor dos seguintes logaritmos.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Questão 05
Calcule:
a) 
b) 
Questão 06
Qual é o número real em 
Questão 07
9
►
Sendo e calcule o valor de 
Nesta página, veremos algumas consequências imediatas da definição, que podem ser muito
úteis na manipulação de logaritmos. Para isso, vamos relembrar uma importante
propriedade da exponencial.
Relembre: propriedade da função exponencial
Temos que, para 
Propriedades decorrentes da definição
Dados a, b e c positivos e , então:
1ª propriedade: o logaritmo da base em qualquer base é igual a 
Demonstração:
Por definição, 
Escrevendo temos
Pelas propriedades da potenciação, temos 
Logo, 
Exemplo 1: propriedades do logaritmo
 pois 
Propriedades dos logaritmos, cologaritmo ePropriedades dos logaritmos, cologaritmo e
antilogaritmoantilogaritmo
10
►
► 2ª propriedade: o logaritmo da unidade em qualquer base é igual a 
Demonstração:
Por definição, 
Escrevendo temos
Pelas propriedades da potenciação, temos 
Logo, 
Exemplo 2: propriedades do logaritmo
 pois 
3ª propriedade: em qualquer base, o logaritmo de uma potência de base real positiva e
expoente real é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.
Demonstração:
Considerando e vamos mostrar que isto é, que 
Por definição, temos:
Pelas propriedades da potenciação, como temos:
Logo, 
Exemplo 3: propriedades do logaritmo
 
11
►
►
Dica 
Existe uma diferença entre e 
Por exemplo, e 
4ª propriedade: dois logaritmos em uma mesma base são iguais se, e somente se, os
logaritmandos forem iguais.
Demonstração:
Por um lado, sabemos que se então, imediatamente.
Vamos considerar que e com 
Por definição, temos:
Portanto, se então pelas propriedades da potenciação.
Logo, 
Exemplo 4: propriedades do logaritmo
 
5ª propriedade: a potência de base e expoente é igual a 
Demonstração:
Considerando e queremos mostrar que Temos:
12
►
Substituindo novamente o valor de obtemos:
Pela quartapropriedade dos logaritmos,
Logo, 
Exemplo 5: propriedades do logaritmo
 
Dica 
A propriedade deixa evidente que o logaritmo é o expoente de uma
potência de base cujo valor é igual a 
6ª propriedade: o logaritmo de na base elevada a é igual a do logaritmo de 
 na base 
Demonstração:
Considerando e tem-se:
 e 
Pelas propriedades da potenciação, temos 
Portanto, 
Novamente pelas propriedades da potenciação, 
Podemos observar que a base do logaritmo é logo, Sendo assim,
podemos considerar: 
13
Exemplo 6: propriedades do logaritmo
 
14
Exercício resolvido
1.
Calcule, utilizando as propriedades dos logaritmos, os seguintes logaritmos.
a) 
b) 
c) 
Resolução:
a) 
b) 
c) 
2.
Sendo e determine o valor de 
Resolução:
Inicialmente, determina-se o valor de A.
 e 
Assim, tem-se:
Determina-se, agora, o valor de B.
Tem-se, então:
Logo, o valor de A + B será:
15
Cologaritmo
Denomina-se cologaritmo de em uma base o
oposto do logaritmo de na base 
Dados temos 
Exemplo 7: cologaritmo
 
16
Conexões com Química 
O pH é utilizado para medir a acidez ou basicidade de uma
solução aquosa.
Pixabay
Na Química, o conceito de está relacionado à atividade de íons hidrônio. Quanto
mais íons desse tipo houver no meio analisado, mais ácida será a solução.
Mas as concentrações desses íons em soluções aquosas são valores muito pequenos,
normalmente expressos com expoentes negativos, ou seja, em notação exponencial.
Para evitar trabalhar com esse tipo de notação e tornar mais fácil a comparação de
certos valores relacionados a esses estudos, o bioquímico dinamarquês Soren Peter
Lauritz Sorensen (1868-1939) propôs a representação desses valores em uma escala
logarítmica: a escala de 
Dessa forma, tem-se que o pH de uma solução é o cologaritmo decimal da sua
atividade de íons hidrônio. Em soluções diluídas, podemos aproximar esse valor pela
concentração de íon hidrogênio – denotada por –, estabelecendo
17
•
•
•
Exercício resolvido
3.
Determine o valor da expressão 
Resolução:
Assim, o valor da expressão será:
Antilogaritmo
Se dizemos que é o antilogaritmo de na base Isto é, é o resultado da
operação 
Dados temos 
O antilogaritmo é assim nomeado para evidenciar a associação entre a exponenciação e o
logaritmo.
Exemplo 8: antilogaritmo
 
18
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
Exercício resolvido
4.
Determine o valor da expressão 
Resolução:
Utilize as propriedades e definições dadas para resolver os seguintes exercícios.
Agora é com você 
Questão 01
Se então, qual o valor de 
 
 
Questão 02
A expressão é:
19
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
Questão 03
Seja Escreva as expressões a seguir em função de 
3.a)
 
3.b)
3.c)
Questão 04
Sendo , o valor de é:
Questão 05
A expressão é igual a:
 
 
Questão 06
A expressão vale:
20
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
Questão 07
O é igual a:
 
 
 
 
 
O número de Euler é um número irracional.
Uma das constantes matemáticas mais importantes é o número chamado de número de
Euler por conta do matemático Leonhard Euler.
O número de Euler e o logaritmo naturalO número de Euler e o logaritmo natural
21
Mas o que significa ser uma constante importante? Da mesma forma como o número é a
razão entre o perímetro de uma circunferência qualquer e seu diâmetro, o número 
 aparece naturalmente quando lidamos com alguns casos específicos de crescimento
exponencial. Por exemplo, no decaimento radioativo e no cálculo de rendimentos
financeiros.
O número é um número irracional e seu valor é, aproximadamente, igual a 
 Existem muitas formas de determinar o valor dessa constante. Vamos ver algumas:
1.
Podemos estabelecer a medida da área embaixo do gráfico da função a partir
de como mostrado na imagem a seguir. Temos que é o valor de que faz ser
exatamente igual a 1.
2.
Quando calculamos o valor da expressão para quanto maior o valor de 
 mais nos aproximamos de 
Logaritmo natural
Associado ao número de Euler, temos o logaritmo natural, também conhecido como
logaritmo neperiano.
O logaritmo natural é o logaritmo com base igual a Nesse caso, adotamos a
notação para representar o logaritmo natural de 
Exemplo 1: logaritmo natural
 
Dica 
O logaritmo natural possui uma notação alternativa por razões históricas, mas está
definido da mesma maneira que os logaritmos de outras bases. Sendo assim, as
propriedades dos logaritmos também valem para o logaritmo natural.
22
Vamos ver como podemos usar o logaritmo natural para resolver equações exponenciais com
base 
Exercício resolvido
1.
Determine o valor de em 
Resolução:
Pelas propriedades do logaritmo, temos:
Logo,
2.
Determine o valor de na equação 
Resolução:
Considerando-se o logaritmo natural de ambos os lados da equação, temos:
Pelas propriedades do logaritmo:
Portanto, temos:
23
A
B
C
D
E
 Acesse: Euler, o matemático mais prolífico da História
Wikimedia Commons
Para saber mais sobre Leonhard Euler (1707-1783), acesse o trecho da coluna de
Marcelo Viana, "Euler, o matemático mais prolífico da História", na página do Instituto
de Matemática Pura e Aplicada.
Agora é com você 
Questão 01
Sabendo que podemos escrever em função de como:
 
 
 
 
 
Questão 02
Determine:
2.a)
 
24
https://impa.br/noticias/euler-o-matematico-mais-prolifico-da-historia/
2.b)
 
2.c)
 
2.d)
 
Questão 03
Se qual o valor de 
Questão 04
4.a)
Seja O valor de é maior ou menor que 1?
4.b)
Qual o valor de 
Questão 05
Mostre que é racional.
Questão 01
Aplicando a definição de logaritmos, calcule:
a) 
b) 
c)
d)
Pratique: Pratique: definição e propriedades do logaritmodefinição e propriedades do logaritmo
25
e)
Questão 02
Aplicando as consequências da definição de logaritmos, determine:
a) 
b) 
c)
d)
e)
Questão 03
Calcule em cada igualdade a seguir.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Questão 04
Calcule o valor das expressões a seguir.
a) 
b) 
Questão 05
26
A
B
C
D
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
Qual é o valor de 
Questão 06
Se então, o valor de é:
 
 
 
 
Questão 07
O valor da expressão é: 
 
 
 
 
 
Questão 08
Aproximando por verificamos que o número está entre:
 e 
 e 
 e 
 e 
 e 
27
A
B
C
D
E
A
B
C
D
Questão 09
Sabendo que podemos escrever em função de da seguinte forma:
 
 
 
 
Questão 10
Sabendo que e com relação ao valor de temos que:
 
 
 
 
Agora, vamos mostrar como realizar operações com logaritmos e utilizá-los em situações
contextualizadas.
Propriedades operatórias
Novamente, utilizaremos propriedades da função exponencial para entender como essas
operações funcionam.
Propriedades operatórias dos logaritmos e aplicaçõesPropriedades operatórias dos logaritmos e aplicações
28
•
•
•
•
►
►
Relembre: propriedades da função exponencial
Temos que, para valem:
Considerando e tem-se as seguintes propriedades.
1ª propriedade: a adição de logaritmos com a mesma base é igual ao logaritmo da
multiplicação dos logaritmandos.
Demonstração:
Multiplicando temos:
 pelas propriedades da exponenciação.
Logo, pela definição de logaritmo.
Substituindo os valores de e temos:
Exemplo 1: propriedades operatórias do logaritmo
2ª propriedade: a subtração de logaritmos com a mesma base é igual ao logaritmo da
divisão dos logaritmandos.
29
►
Demonstração:
Dividindo temos:
 pelas propriedades da exponenciação.
Logo, pela definição de logaritmo.
Substituindo os valores de e temos:
Exemplo 2: propriedades operatórias do logaritmo
3ª propriedade: o logaritmo de na base é igual à divisão entre o logaritmo de 
 numa base e o logaritmo de nessa mesma base.
, com 
Demonstração:
De podemos substituir em 
Pela propriedade do logaritmo:
30
Substituindo os valores de e temos:
Logo,
Observe que em qualquer base, logo, podemos fazer a divisão por 
 no último passo.
Exemplo 3: propriedades operatórias dologaritmo
Importante: mudança de base
A 3ª propriedade também é conhecida como "mudança de base" e é muito utilizada
quando temos apenas os valores dos logaritmos para uma base específica, como a base
decimal ou neperiana.
Vamos ver a aplicação das propriedades em alguns exercícios resolvidos:
31
Exercício resolvido
1.
Sendo e , calcule o valor de 
Resolução:
Com base na primeira propriedade operatória, sabe-se que:
Como tem-se:
2.
Sabendo que e que determine o valor aproximado de 
Resolução:
Resolução de problemas envolvendo equações exponenciais
32
O cálculo da meia-vida de um elemento envolve o uso de logaritmos.
Antonio Batinić / Pexels
Como vimos, o estudo de funções exponenciais pode envolver a resolução de equações
associadas a essas funções e suas transformações. Muitas vezes, queremos determinar um
certo valor de para o qual a função que modela uma situação atinge um
certo valor 
Tem-se, então, uma equação do tipo 
Para a resolução desse tipo de problema, utilizamos o logaritmo e suas propriedades.
Exemplo 4: aplicação da equação exponencial
Considere uma função Vamos determinar tal que 
Consideremos: e 
Temos que 
Considerando o logaritmo decimal de ambos os lados da equação, obtemos:
 
Logo, 
Podemos escrever 
Utilizando as aproximações, temos 
33
•
•
•
•
•
•
►
►
Essas situações aparecem, por exemplo, quando queremos determinar quanto tempo levará
até que:
uma cidade atinja um determinado número populacional.
um investimento atinja um certo valor preestabelecido.
metade do número de átomos do isótopo radioativo de uma amostra se desintegre.
Vamos ver a resolução de uma questão contextualizada. A resolução será apresentada por
meio de uma sequência de passos que você pode usar para resolver outros problemas.
Esses passos podem auxiliar na organização dos dados do problema e do seu raciocínio de
resolução.
Exercício resolvido
3.
Um grupo de cientistas está conduzindo um estudo com um tipo de bactérias. Eles
estudaram o desenvolvimento de uma determinada colônia e descobriram que sob
condições específicas, o número de bactérias pode ser encontrado através da
expressão:
 sendo o tempo dado em horas. 
Sabe-se que, no início do experimento, o número de bactérias era de 
Considerando essas condições, em quanto tempo, após o início da observação, o
número de bactérias será igual a 20 milhões?
Resolução:
1º passo: colher os dados do problema
A quantidade inicial de bactérias era 
A função que modela o número de bactérias é 
A quantidade final de bactérias é 
2º passo: criar um plano de resolução para o problema
I) Determinar o valor da constante 
II) Igualar a função à quantidade final de bactérias desejada, formando uma equação
exponencial.
34
►
►
III) Resolver a equação para 
IV) Utilizar aproximações conhecidas de logaritmos para determinar 
3º passo: executar o plano
I) Sabemos que a quantidade inicial de bactérias é logo, 
II) A função é dada por A equação exponencial a ser resolvida é 
III) 
IV) Usando a aproximação, temos 
4º passo: examinar se a solução obtida é válida
Para temos: 
Logo, 
Ainda, se utilizarmos uma calculadora, podemos verificar que
 
Resposta final: após aproximadamente, o número de bactérias será igual a
20 milhões.
De modo geral, na resolução de problemas, queremos determinar tal que uma função do
tipo atinja um valor 
Para isso, devemos resolver a equação: ou ainda 
Dica 
Para que a equação tenha solução, devemos ter 
35
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
Agora é com você 
Questão 01
Sendo e calcule:
a) 
b) 
c) 
d) 
Questão 02
A expressão é equivalente a:
Questão 03
Sabendo que qual o valor de em função de 
Questão 04
Simplificando obtém-se:
0. 
 
 
 
 
36
A
B
C
D
E
Questão 05
Considere a função 
Determine o valor aproximado de tal que Use 
Questão 06
Suponha que a vazão de água de um caminhão de bombeiros se dá pela expressão 
 em que é o volume inicial de água contido no caminhão e é o
tempo de escoamento em horas.
Qual é, aproximadamente, utilizando uma casa decimal, o tempo de escoamento
necessário para que o volume de água escoado seja o volume inicial contido no
caminhão?
Utilize: 
 
 
 
 
 
Questão 07
Uma empresa de marketing digital utilizou uma função para modelar o número de
acessos em uma determinada plataforma, em função do tempo, por 
 sendo expresso em milhares e dado em dias.
De acordo com essa função, para que dia a plataforma atingirá acessos?
Dados: utilize 
Questão 08
37
O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da classe seja de
 propondo um aumento percentual fixo por ano dedicado ao trabalho. A
expressão que corresponde à proposta salarial em função do tempo de serviço 
 em anos, é 
Determine após quantos anos do estabelecimento do piso salarial este passará a ser de 
Utilize: e 
A história por trás do logaritmoA história por trás do logaritmo
38
Em sua obra, Mirifici logarithmorum canonis descriptio, John
Napier apresenta o logaritmo.
Wikimedia Commons
O termo logaritmo (do grego logos – razão – e arithmos – números) surge com o matemático
escocês John Napier (1550-1617), em meados de 1614.
Por meio da obra Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Descrição da maravilhosa regra
dos logaritmos), Napier explica a natureza dos logaritmos e o objetivo da invenção dessa
ferramenta matemática: realizar a multiplicação e a divisão de números muito grandes. A
tábua apresentada por Napier em sua obra era de logaritmos dos senos de a com
variações de minuto em minuto. Essa ferramenta facilitou o trabalho de navegadores e
astrônomos da época, sendo sua descoberta exaltada até por Kepler.
Após um encontro com Napier, o matemático Henry Briggs (1561-1631) adaptou os logaritmos
a uma base decimal. Ele publicou sua tábua de logaritmos decimais na obra Arithmetica
Logarithmica, com os logaritmos dos primeiros números inteiros e dos números de 
 a Surpreendentemente, cada logaritmo foi calculado por Briggs nessa época
com precisão de 14 casas decimais.
Vamos observar um exemplo de tábua com os 100 primeiros inteiros e uma precisão de 5
casas decimais, para entender como eram feitos esses cálculos.
Considere, por exemplo, os valores da tabela e 
Se quisermos determinar quanto é basta somarmos 
 Localizando esse número na tabela, vemos que logo, 
39
►
►
►
►
De maneira geral, dados dois números e as tábuas eram usadas para determinar o
valor de Isso era feito da seguinte forma:
1º passo: localizar na tabela os valores de e 
2º passo: somar 
3º passo: localizar o número encontrado na coluna dos valores de logaritmos;
4º passo: encontrar o antilogaritmo associado a esse valor, na coluna ao lado.
Essa técnica decorre diretamente da propriedade operatória do logaritmo 
 
A régua de cálculo logarítmica foi criada utilizando-se as propriedades
operatórias do logaritmo.
Pixabay
É claro que, para números pequenos, essa técnica não parece ter muita serventia. Mas na
época em que foi criada, como não havia calculadoras, era possível realizar operações de
multiplicação inoportunas executando apenas uma operação de soma.
Logo depois, a partir das descobertas de Napier, o matemático William Oughtred (1574-
1660) inventou a régua de cálculos. Essa régua é uma ferramenta utilizada para realizar
cálculos, como multiplicações e divisões, de maneira mais rápida. Por isso, é conhecida como
uma das precursoras da calculadora moderna.
As réguas de cálculo foram utilizadas nas ciências e na engenharia com bastante frequência,
até a década de 1970. Foram empregadas, inclusive, pelos chamados "computadores
humanos", pessoas responsáveis por fazer, a mão, cálculos extensos, necessários para a
pesquisa e indústria, na astronomia, durante as guerras e até na corrida espacial.
40
•
•
 Acesse: computadoras humanas
Para ler mais sobre as computadoras humanase seu trabalho na Nasa, leia o texto do
blog Tecnolan.
Ao longo do capítulo, definimos e desenvolvemos as propriedades do logaritmo. Também
apresentamos algumas aplicações na resolução de equações e citamos contextos em que os
logaritmos aparecem. Por fim, vimos um pouco da história dos logaritmos e como seu uso
evoluiu. 
Considerando os aprendizados que tivemos com o tema, que tal fazermos a rotina Antes eu
pensava… Agora eu penso…?
Rotina de pensamento:
Antes eu pensava… Agora eu penso…
 ROTINA DE PENSAMENTO
 
Para essa rotina, cada pessoa deve completar as seguintes frases:
Antes eu pensava…
Agora eu penso…
Ao fazer a rotina, lembre-se dos pensamentos que você tinha sobre logaritmos
no início do capítulo e como esse pensamento pode ter mudado conforme o
aprofundamento feito.
41
http://www.tecnolan.com.br/2019/04/26/computadores-humanos-as-mulheres-da-nasa/
 Sugestão para assistir
O filme foi protagonizado por Taraji P. Henson, Octavia Spencer
e Janelle Monáe.
Divulgação
Estrelas Além do Tempo
O filme conta a história de Katherine Johnson (1918-2020), Dorothy Vaughn (1910-
2008) e Mary Jackson (1921-2005), matemáticas negras que trabalharam na Nasa como
computadoras humanas e foram figuras-chave na corrida espacial. O filme é baseado
no livro homônimo de Margot Lee Shetterly.
Assista ao trailer oficial do filme.
Questão 01
Considerando o calcule, em função de 
a) 
b) 
c) 
d) 
Questão 02
Utilizando a aproximação determine:
Pratique: Pratique: 
propriedades operatórias dos logaritmos e aplicaçõespropriedades operatórias dos logaritmos e aplicações
42
https://www.youtube.com/watch?v=wx3PVtrU-Os
C
D
E
A
B
2.a)
2.b)
 
2.c)
 
2.d)
 
Questão 03
Usando as aproximações e determine uma aproximação para 
 
Questão 04
Calcule a razão entre os logaritmos de e em uma base qualquer possível.
Questão 05
Simplificando obtém-se:
Questão 06
Usando as propriedades operatórias dos logaritmos, calcule:
a) 
43
A
B
C
D
E
b) 
c) 
d) 
Questão 07
Aplique as propriedades dos logaritmos e desenvolva os itens a seguir, sabendo que as
letras representam números reais positivos.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Questão 08
A soma dos divisores positivos do número x (natural), em que é o maior número menor do que 
 é:
Note e adote: 
96.
95.
94.
93.
92.
Questão 09
Considere e seja 
44
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
 
 
 
 
 
Questão 10
Considerando-se a aproximação e determine uma aproximação
para 
Questão 11
Considere e números reais maiores que 1. Se e 
 então, o valor de é:
 
 
 
 
 
Questão 12
Segundo a Organização Mundial do Turismo (OMT), o Ecoturismo cresce a uma taxa de 
 ao ano. No Brasil, em 2011, o Ecoturismo foi responsável pela movimentação de 
 bilhões de dólares. Supondo que o percentual de crescimento incida sobre a movimentação
do ano anterior, pode-se expressar o valor movimentado (em bilhões de dólares), em
função do tempo (em anos), por com correspondendo a 2011, 
 a 2012 e assim por diante.
45
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
Em que ano o valor movimentado será igual a bilhões de dólares?
Dados: e 
2015.
2016.
2020.
2025.
2026.
Questão 01
O valor da expressão é:
Questão 02
Se e então, o logaritmo de na base vale:
 
 
 
 
 
Pratique: Pratique: Vestibulares e EnemVestibulares e Enem
46
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
Questão 03
Sejam e 
O valor de em função de e é:
 
 
 
 
Questão 04
Sendo e números reais, com e definiremos a operação ◊ entre e 
 da seguinte forma:
 ◊ 
Utilizando-se essa definição, o valor de ◊ é igual a:
 
 
 
 
Questão 05
Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão 
47
A
B
C
D
E
 O valor de é:
 
 
 
 
 
Questão 06
Um banco estabelece os preços dos seguros de vida de seus clientes com base no índice de
risco do evento assegurado. A tabela mostra o cálculo do índice de risco de cinco eventos
diferentes.
Sabe-se que, nesse banco, o índice de risco de morte pela prática do evento BASE jumping é
igual a 8.
Disponível em: <https://pt.wikipedia.org>.
48
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
O risco de morte para praticantes desse esporte, segundo a avaliação do banco, é de:
Questão 07
Com o avanço em ciência da computação, estamos próximos do momento em que o número
de transistores no processador de um computador pessoal será da mesma ordem de
grandeza que o número de neurônios em um cérebro humano, que é da ordem de 100
bilhões.
Uma das grandezas determinantes para o desempenho de um processador é a densidade de
transistores, que é o número de transistores por centímetro quadrado. Em 1986, uma
empresa fabricava um processador contendo transistores distribuídos em
de área. Desde então, o número de transistores por centímetro quadrado que se pode colocar
em um processador dobra a cada dois anos (Lei de Moore).
Disponível em: <www.pocket-lint.com>. Acesso em: 1 dez. 2017 (adaptado).
Em que ano a empresa atingiu ou atingirá a densidade de 100 bilhões de transistores?
Considere 0,30 como aproximação para 
1999.
2000.
2022.
2026.
2146.
Questão 08
Uma calculadora tem duas teclas especiais, A e B. Quando a tecla A é digitada, o número que está no
visor é substituído pelo logaritmo decimal desse número. Quando a tecla B é digitada, o número do
visor é multiplicado por 5.
Considere que uma pessoa digitou as teclas BAB, nesta ordem, e obteve no visor o número 10.
Nesse caso, o visor da calculadora mostrava, inicialmente, o seguinte número:
49
A
B
C
D
A
B
C
D
E
20.
30.
40.
50.
Questão 09
A Lei de Zipf, batizada com o nome do linguista americano George Zipf, é uma lei empírica
que relaciona a frequência de uma palavra em um dado texto com o seu ranking Ela
é dada por:
O ranking da palavra é a sua posição ao ordenar as palavras por ordem de frequência. Ou
seja, para a palavra mais frequente, para a segunda palavra mais frequente e
assim sucessivamente. e são constantes positivas.
Diponível em: http://klein.sbm.org.br. Acesso em: 12 ago. 2020 (adaptado).
Com base nos valores de e é possível estimar valores para e 
No caso hipotético em que a lei é verificada exatamente, a relação entre e é:
 
Questão 10
O número de bactérias N em um meio de cultura que cresce exponencialmente pode ser
determinado pela equação em que é a quantidade inicial, isto é, e
k é a constante de proporcionalidade.
50
A
B
C
D
E
•
•
A
B
C
D
Se inicialmente havia bactérias na cultura e bactérias 10 minutos depois, quanto
tempo será necessário para que o número de bactérias se torne duas vezes maior que o
inicial?
Dados: ; 
11 minutos e 25 segundos.
11 minutos e 15 segundos.
15 minutos.
25 minutos.
25 minutos e 30 segundos.
Questão 11
Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um acidente industrial,
atingindo o nível de toxidez correspondente a dez vezes o nível inicial.
Leia as informac ̧o ̃es a seguir.
A vaza ̃o natural do lago permite que de seu volume sejam renovados a cada dez
dias.
O ni ́vel de toxidez apo ́s dias do acidente, pode ser calculado por meio da
seguinte equac ̧a ̃o: 
Considere o menor nu ́mero de dias de suspensa ̃o do abastecimento de a ́gua, necessa ́rio
para que a toxidez retorne ao ni ́vel inicial. 
Sendo o valor de é igual a:
30.
32.
34.
36.
Questão 12
Suponha que a quantidade de um determinado medicamento no organismo horas após
sua administração, possa ser calculada pela fórmula:
51
A
B
C
D
E
A
B
C
D
Sendo medido em miligramas.
A expressão que fornece o tempo em função da quantidade de medicamento é:
 
 
Questão 13
Ao se aposentar, aos 65 anos, um trabalhador recebeu seu Fundo de Garantia por Tempo de
Serviço (FGTS) no valor de e resolveu deixá-lo em uma aplicação bancária,
rendendo juros compostos de ao ano, até obter um saldo de Se esse
rendimento de ao ano não mudar ao longo de todos os anos, o trabalhadoratingirá seu
objetivo após anos.
Considerando o valor mais próximo de é:
10.
14.
18.
22.
Questão 14
Um indivíduo com uma grave doença teve a temperatura do corpo medida em intervalos
52
A
B
C
D
A
B
C
D
curtos e igualmente espaçados de tempo, levando a equipe médica a deduzir que a
temperatura corporal do paciente, em cada instante é bem aproximada pela função 
 em que é medido em horas e em graus Celsius. Quando a
temperatura corporal desse paciente atingir os a equipe médica fará uma intervenção,
administrando um remédio para baixar a temperatura.
Nessas condições, quantas horas se passarão desde o instante até a administração do
remédio?
Utilize: 
5.
6.
7.
8.
Questão 15
Um mestre em caratê abriu uma academia há alguns anos e registrou a quantidade
de alunos(as) que frequentava seu estabelecimento. A primeira turma era formada por 6
alunos(as) e, a cada ano, esse número dobrava. A seguinte função exponencial descreve a
quantidade de alunos(as) que essa academia possui anualmente:
Em que é a quantidade de alunos(as) que frequentou o ano e e são constantes
reais.
Baseando-se nas informações apresentadas, os valores das constantes são:
Questão 16
Biólogos estimam que a população de certa espécie de aves é dada em função do tempo 
53
A
B
C
D
E
•
•
•
•
•
•
•
•
•
 em anos, de acordo com a relação sendo o momento em que o
estudo foi iniciado.
Em quantos anos a população dessa espécie de aves irá triplicar?
Dados: e 
45.
25.
12.
18.
30.
Denomina-se logaritmo de a na base b o número x, de modo que 
Assim, 
Temos as seguintes nomenclaturas:
O logaritmo da base em qualquer base é igual a isto é, 
O logaritmo da unidade em qualquer base é igual a isto é, 
Em qualquer base, o logaritmo de uma potência de base real positiva e expoente real é
igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência, isto é, 
Dois logaritmos em uma mesma base são iguais se, e somente se, os logaritmandos
forem iguais, isto é, 
A potência de base e expoente é igual a isto é, 
O logaritmo de na base elevada a é igual a do logaritmo de na base isto
é, 
Da definição de cologaritmo, tem-se que 
ResumoResumo
54
•
•
•
•
•
•
•
•
Da definição de antilogaritmo, tem-se que se então, 
O logaritmo decimal é o logaritmo com base igual a Adotamos a notação 
 para representar o logaritmo de na base 
O logaritmo natural é o logaritmo com base igual a Neste caso, adotamos a notação 
 para representar o logaritmo natural de 
A adição de logaritmos com a mesma base é igual ao logaritmo da multiplicação dos
logaritmandos, isto é, 
 A subtração de logaritmos com a mesma base é igual ao logaritmo da divisão dos
logaritmandos, isto é, 
O logaritmo de na base é igual à divisão entre o logaritmo de numa base e o
logaritmo de nessa mesma base, isto é, Essa propriedade é chamada
de mudança de base.
Para resolver equações exponenciais do tipo sendo e 
 usamos a definição de logaritmo, obtendo 
Para resolver equações do tipo sendo e 
 constantes, a transformamos em uma equação exponencial Assim, usamos a
definição de logaritmo, obtendo Para que isso seja possível, devemos ter 
55
VIDEOAULASVIDEOAULAS
Logaritmos: definição e nomenclaturaLogaritmos: definição e nomenclatura
Escaneie com o
leitor de QR
Code da busca de
capítulos na aba
ConteúdoConteúdo
 
ASSISTIRASSISTIR
Logaritmos: propriedades operatóriasLogaritmos: propriedades operatórias
Escaneie com o
leitor de QR
Code da busca de
capítulos na aba
ConteúdoConteúdo
 
ASSISTIRASSISTIR
Logaritmos: aplicação das propriedadesLogaritmos: aplicação das propriedades
Escaneie com o
leitor de QR
Code da busca de
capítulos na aba
ConteúdoConteúdo
 
ASSISTIRASSISTIR
56
	MATEMÁTICA
	VER CAPÍTULO
	SLIDES DO CAPÍTULO
	Para começar e refletir
	O logaritmo no dia a dia
	Definição de logaritmo
	Propriedades dos logaritmos, cologaritmo e antilogaritmo
	O número de Euler e o logaritmo natural
	Pratique: definição e propriedades do logaritmo
	Propriedades operatórias dos logaritmos e aplicações
	A história por trás do logaritmo
	Pratique: propriedades operatórias dos logaritmos e aplicações
	Pratique: Vestibulares e Enem
	Resumo
	VIDEOAULAS
	Logaritmos: definição e nomenclatura
	ASSISTIR
	Logaritmos: propriedades operatórias
	ASSISTIR
	Logaritmos: aplicação das propriedades
	ASSISTIR