Matemática - Cap 09_Funções e equações logarítmicas

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MATEMÁTICAMATEMÁTICA
CAP. 09
FUNÇÕES E EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Exportado em: 20/05/2024
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ConteúdoConteúdo
 
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Na tarefa a seguir, vamos utilizar conhecimentos desenvolvidos sobre funções exponenciais
para iniciar o próximo tópico de estudo.
Mão na massa:
construindo gráficos de funções
 PRÁTICA ATIVA
 
Para realizar essa atividade, vamos construir o gráfico de uma função e analisar
a relação entre pares de pontos no plano cartesiano.
Materiais
folha de papel quadriculado;
régua;
canetas ou lápis (se possível, de cores diferentes);
calculadora (se achar necessário);
folha auxiliar para cálculos.
Procedimentos
1.
Na folha quadriculada, desenhe os eixos OX e OY do plano cartesiano,
perpendiculares, da seguinte maneira, posicionando as numerações nos eixos, de
modo igualmente espaçado:
Para começar e refletirPara começar e refletir
1
2.
Vamos esboçar o gráfico da função Para isso, na sua folha auxiliar,
construa uma tabela de dupla entrada com no mínimo 5 linhas, sendo a
primeira coluna correspondente a valores de variados e a segunda coluna
com o valor de Você pode escolher valores positivos, negativos, inteiros,
racionais e, se necessário, utilize a calculadora para obter uma aproximação de 
 
3.
No plano cartesiano, insira os pontos Não se preocupe se os valores
encontrados não forem exatos. Posicione os pontos da maneira mais precisa que
conseguir.
4.
Trace uma curva que passe pelos pontos inseridos, representando o gráfico de 
 Se achar necessário, encontre mais pontos para ficar mais fácil de traçar a
curva.
5.
Construa uma nova tabela, com as colunas da tabela anterior trocadas.
6.
Insira no mesmo plano cartesiano os novos pontos e trace uma curva que
2
passe por eles. Se quiser, utilize cores diferentes para facilitar a visualização.
Para refletir
1.
Que relações entre as curvas você consegue estabelecer? Há semelhanças?
2.
Que relações entre as tabelas você consegue estabelecer? O que isso significa
quando inserimos os pontos com coordenadas trocadas no plano cartesiano?
3.
Na segunda tabela, como você escreveria em função de 
A modelagem matemática é utilizada para estudar fenômenos e/ou prever comportamentos.
É muito usada nas áreas da Economia, da Física, das Ciências Biológicas, do mercado
financeiro, das Ciências Sociais etc.
Em particular, atualmente, vemos uma proeminência do campo chamado de Biomatemática,
uma área da Matemática Aplicada. A Biologia é uma das áreas em que os crescimentos
exponencial e logarítmico são bastante evidentes.
A modelagem matemática nas Ciências BiológicasA modelagem matemática nas Ciências Biológicas
3
Conexões com Biologia 
Modelos matemáticos são usados no estudo de células
cancerígenas.
shutterstock.com
A Biomatemática envolve a área da Biologia – que traz os problemas a ser resolvidos,
os dados e as condições para as modelagens – e a da Matemática Aplicada –
responsável pela criação de modelos para interpretar os dados e resolver os
problemas. Esses modelos podem ser utilizados em simulações para prever
comportamentos de indivíduos, estudar respostas de medicamentos, tratamentos para
doenças etc. 
No geral, a Matemática se apresenta como ferramenta para o estudo das Ciências
Biológicas. No entanto, não é incomum que a análise dos próprios modelos sugira
novos aspectos a ser abordados, contribuindo diretamente para a evolução da
pesquisa.
4
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 Ouça: podcast Oxigênio
Na entrevista Modelagem matemática: da evolução das espécies à agrometeorologia, do
projeto "Matemática no ar" do podcast Oxigênio, as pesquisadoras entrevistadas falam
do uso da modelagem para projetar o impacto das mudanças climáticas sobre as
culturas agrícolas ou para entender o surgimento de novas espécies animais na
natureza.
A entrevista foi realizada pelas jornalistas Joice Santos e Beatriz Guimarães com as
pesquisadoras Priscila Coltri, do Centro de Pesquisas Meteorológicas e Climáticas
Aplicadas à Agricultura (Cepagri) da Unicamp, e Flávia Marquitti, pós-doutoranda do
Instituto de Física Gleb Wataghin (IFGW) da Unicamp, e fez parte da 14ª Semana
Nacional de Ciência e Tecnologia. Foi uma realização do programa de rádio e podcast
Oxigênio, por meio do Laboratório de Estudos Avançados em Jornalismo (Labjor) da
Unicamp em parceria com a Rádio Unicamp.
Na prática ativa da introdução, pudemos ver como, ao traçarmos uma curva pelos pontos no
plano cartesiano na forma obtemos uma curva simétrica ao gráfico da função
exponencial Vamos definir agora a função logarítmica, cujo gráfico dá origem a
essa curva.
Definição de função logarítmica
A função logarítmica na base é a função dada por em
que 
Exemplo 1: funções logarítmicas
 dada por 
 dada por 
 dada por 
Função logarítmicaFunção logarítmica
5
https://www.oxigenio.comciencia.br/modelagem-matematica-da-evolucao-das-especies-a-agrometeorologia/
Domínio e imagem da função logarítmica
Sabemos que para todo Logo, para existir 
 deve-se ter 
O domínio da função logarítmica é o conjunto dos números reais positivos, diferentes
de zero.
Isso significa que em que não está definida para valores de 
 menores ou iguais a zero.
Importante: condição de existência
Dizemos que a condição de existência para é pois o logaritmando deve
ser sempre positivo. 
Exemplo 2: condição de existência
Seja não pertence ao domínio de pois não existe tal que 
 Isto é, não existe tal que 
Além disso, dada uma base para considere e 
Observe que 
Isto é, temos Isso mostra que todo número real pertence à imagem de 
A imagem da função logarítmica é o conjunto dos números reais.
6
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►
►
►
Exercício resolvido
1.
Seja dada por Determine o valor de 
Resolução:
Temos que:
 pois 
 pois 
 pois 
Logo, 
Propriedades da função logarítmica
Satisfeitas as condições de existência dos logaritmos, tem-se as seguintes propriedades
relativas à função logarítmica dada por 
1ª propriedade: 
Exemplo 3: primeira propriedade da função logarítmica
 
2ª propriedade: a função é crescente em todo o seu domínio se, e somente
se, 
Em notação matemática, tem-se a relação se, e somente se, 
Exemplo 4: segunda propriedade da função logarítmica
Vamos comparar e para Como 
 pois a função é crescente e 
3ª propriedade: a função é decrescente em todo o seu domínio se, e
somente se, 
7
►
•
•
Em notação matemática, tem-se a relação se, e somente se, 
Exemplo 5: terceira propriedade da função logarítmica
Vamos comparar e para Como temos Logo: 
 pois a função é decrescente e 
4ª propriedade: para definida por e definida por 
 com temos:
 e 
Demonstração:
Considere-se Dado temos: 
Por outro lado, observe que para todo e para todo Logo, podemos
considerar 
Exemplo 6: quarta propriedade da função logarítmica
Considere as funções definida por e definida por 
 com Temos a seguinte tabela de valores mostrando as relações 
 e 
 
Observe, em particular, que para 
8
Exercício resolvido
2.
Seja dada por Utilizando os símbolos e compare:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Resolução:
A função é crescente em todo o seu domínio, pois 
Logo, temos 
a) pois 
b) pois 
c) pois 
d) pois 
e) pois 
Transformações da função logarítmica
Suponha-se que, em um jogo de simulação de jardinagem, a área plantada inicia-se com 
 Após 1 hora, verificou-se que havia de plantação. Ainda, para obter uma área
com medida foi necessário esperar 2 horas desde o início da simulação.
Os dados foram inseridos na tabela a seguir. Vamos ver como modelar essa situação para
descobrir quanto tempo a plantação leva para crescer e cobrir certa área. 
9
•
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►
Colocando os números na tabela, vemos que o tempo, em horas, para que a plantação cubra
uma certa área, é modelado pela função sendo dado em metros
quadrados, 
Essa funçãoapresenta similaridades com a função logarítmica estudada até aqui. Podemos
notar que:
para temos isto é, a medida de é obtida para
um tempo 
como definimos os valores de para temos que 
se então, pois a base do logaritmo que modela a função é 
 
Logo, temos portanto, Em outras palavras, é
crescente.
Com relação à função logarítmica vemos que para todo 
 Chamamos isso de transformação de funções, quando obtemos novas
funções a partir das originais.
Tipos de transformações da função logarítmica
Dada uma função exponencial vamos ver alguns tipos de transformação que
costumam surgir nessas modelagens.
Alongamento: quando multiplicamos por uma constante obtendo 
Observe que 
Exemplo 7: alongamento de uma função logarítmica
Sejam e definidas por e 
Temos que:
10
•
•
►
•
•
►
O domínio das duas funções é 
A imagem das duas funções é 
Compressão: quando multiplicamos por uma constante obtendo 
Observe que 
Exemplo 8: compressão de uma função logarítmica
Sejam e definidas por e 
Temos que:
O domínio das duas funções é 
A imagem das duas funções é 
Translação vertical: quando somamos a uma constante obtendo 
Observe que Sendo assim, ao multiplicarmos a
variável por uma constante, obtemos o mesmo tipo de transformação.
Exemplo 9: translação vertical de uma função logarítmica
Sejam e definidas por e 
11
•
•
►
•
•
►
O domínio das duas funções é 
A imagem das duas funções é 
Translação horizontal: quando somamos a variável de uma constante obtendo 
 
Observe que para termos pela condição de existência, Isto é, a função
só está definida para 
Exemplo 10: translação horizontal de uma função logarítmica
Sejam e definidas por e 
Devemos ter isto é, 
O domínio de é 
A imagem das duas funções é 
Dica 
Observe que existe uma diferença entre e Por
exemplo, se temos e 
 e 
Reflexão vertical: quando multiplicamos por obtendo 
Observe que Isso significa que: 
12
•
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•
•
►
•
•
se e é crescente, então, e é decrescente;
se e é decrescente, então, e é crescente.
Exemplo 11: reflexão vertical de uma função logarítmica
Sejam e definidas por e 
Como é crescente. Por outro lado, logo, é decrescente.
O domínio das duas funções é 
A imagem das duas funções é 
Reflexão horizontal: quando multiplicamos a variável de por obtendo 
Observe que para termos pela condição de existência, Isto é, a função
só está definida para 
Exemplo 12: reflexão horizontal de uma função exponencial
Sejam e definidas por e 
O domínio de é 
A imagem das duas funções é 
13
Importante: condição de existência para transformações da função logarítmica
Pode-se combinar as transformações apresentadas para gerar funções do tipo 
 com e constantes reais, e Nesse caso, a
condição de existência da função é dada por para que o logaritmando
seja positivo para todo 
Exercício resolvido
3.
Determine o domínio da função definida por 
Resolução:
Considere a lei da função dada por Pela condição de existência, deve-se
ter Isto é, a função só está definida para tais que 
Logo, o domínio da função definida por é 
 também representado como 
Funções envolvendo um logaritmo com base variável
Existem funções envolvendo o logaritmo em que a variável se encontra na base. Nesse caso,
as funções não são chamadas de logarítmicas, pois não apresentam o comportamento e as
propriedades associadas a esse tipo de função. De qualquer forma, como conhecemos as
propriedades do logaritmo, podemos fazer alguns tipos de análise.
Exemplo 13: função envolvendo um logaritmo com base variável
A função dada por possui a variável na base do
logaritmo.
Pela definição de logaritmo, devemos ter e por isso o domínio da função foi
estabelecido como o conjunto dos números reais positivos, diferentes de 
14
•
•
Pela propriedade de mudança de base, temos que 
 portanto para todo Por isso a imagem de não contém 
Importante: condições de existência para funções envolvendo um logaritmo com
base variável
No caso de funções em que a variável se encontra na base de um logaritmo, temos as
seguintes condições de existência:
o logaritmando deve ser positivo;
a base deve ser positiva e diferente de 1.
Exercício resolvido
4.
Determine o domínio da função 
Resolução:
Devemos determinar quais valores de satisfazem a condição de existência para
o logaritmando e para a base:
 ou 
Considerando-se a interseção entre os intervalos, devemos ter 
Logo, o domínio da função é dado por também representado
por 
Agora é com você 
Questão 01
15
A
B
C
D
E
Construa uma tabela de duas entradas com pelo menos 5 linhas, associando valores de 
 a 
Questão 02
Seja dada por O valor de é: 
 
 
 
 
 
Questão 03
3.a)
Construa uma tabela de duas entradas com pelo menos 5 linhas, associando valores de 
 a 
Se quiser, utilize uma calculadora para obter aproximações dos valores da função.
3.b)
Determine o domínio e a imagem de 
16
A
B
C
D
E
►
►
►
►
Questão 04
O domínio da função real definida por é:
Questão 05
Obtenha o domínio da função real definida por 
Questão 06
Determine o domínio da função considerando-se as condições de
existência para a base e para o logaritmando.
Agora, vamos estudar como construir o gráfico da função logarítmica a partir de uma tabela
de valores. A análise do gráfico nos permitirá avaliar melhor o comportamento dessa função
e associá-la à função exponencial.
Construção do gráfico
Para esboçar o gráfico e analisarmos o comportamento de uma função, 
 podemos seguir os seguintes passos: 
1º passo: construir uma tabela de valores associando pontos específicos do domínio, a
seus valores na função, 
2º passo: inserir os pontos em um plano cartesiano;
3º passo: esboçar a curva que passa pelos pontos inseridos;
4º passo: analisar as características da função.
Gráfico da função logarítmicaGráfico da função logarítmica
17
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•
•
Exercício resolvido
1.
Esboce o gráfico da função da função dada por e analise seu
comportamento.
Resolução:
Construindo uma tabela de valores para esboçar o gráfico da função dada
por obtém-se:
Inserindo os valores no plano cartesiano, temos:
No gráfico anterior, pode-se observar que:
O domínio é 
A imagem é 
A função é crescente em todo o seu domínio.
2.
Esboce o gráfico da função dada por e analise seu
comportamento.
Resolução:
Construindo uma tabela de valores para esboçar o gráfico da função da função 
18
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 dada por obtém-se:
Inserindo os valores no plano cartesiano, temos:
No gráfico anterior, pode-se observar que:
O domínio é 
A imagem é 
A função é decrescente em todo o seu domínio.
Observe a mudança de comportamento quando alteramos o valor de em 
para 
para 
De modo geral, a função definida por é:
sempre crescente, se com gráfico do tipo:
19
• sempre decrescente, se com gráfico do tipo:
Importante: gráfico da função logarítmica
Para toda base real, Sendo assim, o gráfico da função
logarítmica sempre intercepta o eixo das abscissas em 
Estudo do sinal da função logarítmica
A análise do gráfico também pode nos auxiliar no estudo do sinal do logaritmo de um
número em certa base. Temos os seguintes casos:
20
•
•
•
•
•
•
►
Exemplo 1: estudo do sinal de uma função logarítmica
Seja dada por 
Trata-se de um logaritmo de base 10, logo, temos 
para 
para 
para 
Exemplo 2: estudo do sinal de uma função logarítmica
Seja dada por 
Trata-se de um logaritmo de base logo, temos 
para 
para 
para 
Gráfico das transformações da função logarítmica
Como explicado na página anterior, podemos obter novas funções a partir de transformações
da função logarítmica. Veremos como se comportam os gráficos dessas novas funções.
Alongamento: quando multiplicamos uma função logarítmica por uma constante 
 obtendo 
Exemplo 3: gráfico do alongamento de uma função logarítmica
Seja definidapor 
Observe o comportamento do gráfico conforme variamos 
21
►
►
►
►
Note que intercepta o eixo horizontal em 
Compressão: quando multiplicamos uma função logarítmica por uma constante 
 obtendo 
Exemplo 4: gráfico da compressão de uma função logarítmica
Seja definida por 
Observe o comportamento do gráfico conforme variamos 
Note que, novamente, intercepta o eixo horizontal em 
Translação vertical: quando somamos uma constante a uma função
logarítmica, obtendo 
Exemplo 5: gráfico da translação vertical de uma função logarítmica
Seja definida por 
Observe o comportamento do gráfico conforme variamos 
Note que intercepta o eixo horizontal em 
Translação horizontal: quando somamos à variável de uma função logarítmica uma
constante obtendo 
Exemplo 6: gráfico da translação horizontal de uma função logarítmica
Seja definida por 
Observe o comportamento do gráfico conforme variamos 
Note que intercepta o eixo horizontal em 
Reflexão vertical: quando multiplicamos uma função logarítmica por obtendo 
 
Exemplo 7: gráfico da reflexão vertical de uma função logarítmica
Sejam e definidas por e por 
22
►
Observe que é crescente e é decrescente.
Além disso, ambas as funções interceptam o eixo horizontal em 
Reflexão horizontal: quando multiplicamos a variável de uma função exponencial por 
 obtendo 
Exemplo 8: gráfico da reflexão horizontal de uma função logarítmica
Sejam e definidas por e por 
Note que intercepta o eixo horizontal em 
Pode-se combinar as transformações apresentadas para gerar funções do tipo 
 
Exemplo 9: gráfico da transformação de uma função logarítmica
23
•
•
•
•
Considere-se 
Veremos, agora, como o gráfico de uma função logarítmica se comporta com relação a outros
gráficos de função conhecidos. 
Comparação entre gráficos de funções
Observe, na imagem abaixo, a comparação entre os gráficos de quatro funções, para valores
de 
 representando um crescimento linear;
 representando um crescimento quadrático;
 representando um crescimento exponencial.
 representando um crescimento logarítmico.
No geral, quando associamos modelos matemáticos a um crescimento logarítmico, vemos que
a evolução da característica analisada é bastante acentuada para os valores iniciais do
modelo, seguida de um crescimento mais lento.
De fato, para valores grandes de sabe-se que qualquer função definida por um
número real positivo fixo, cresce mais rápido do que uma função logarítmica.
24
Mas também podemos observar que a imagem da função logarítmica é o que significa
que, embora cresça lentamente, uma função logarítmica nunca para de crescer.
Leitura Complementar 
A distribuição dos números primos
O que a função logarítmica tem a ver com os números primos? Apesar de parecerem
assuntos matemáticos distantes, existe um teorema de grande importância na
Matemática que relaciona os dois. O estudo dos números primos é bastante importante
em áreas como a criptografia.
O conceito de número primo surge naturalmente, tão logo começamos a lidar com a
multiplicação, bem no início do estudo da Aritmética. Percebemos, então, que alguns números
são produtos de outros, como ou Estes são chamados números
compostos. Os demais números são aqueles que não têm outros fatores além de eles mesmos e
da unidade; são os chamados números primos. Em outras palavras,
"número primo é todo número, maior do que 1, que é divisível somente por si mesmo e
pela unidade."
[...]
Listamos a seguir a modesta tabela dos primeiros 100 números primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,
103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193,
197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293,
307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409,
419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521,
523, 541.
Ao contemplar uma tabela como essa, a primeira impressão que se tem é a de que não há
nenhuma ordem entre os números primos: às vezes, eles aparecem próximos uns dos outros, às
vezes afastados, ora menos, ora mais afastados. [...] Entretanto, a sagacidade de inteligências
privilegiadas consegue ver mais fundo, e foi precisamente isso o que aconteceu por obra do
matemático francês Adrien-Marie Legendre (1752-1833). Ele se ocupou dessa questão e por
volta de 1800 formulou uma conjectura que revela certa ordem no que parecia ser um caos
completo.
Para explicarmos a conjectura de Legendre, introduzimos o símbolo como sendo o
25
número de números primos até certo valor Assim, ou seja, o número de números
primos até 8 é 4 [...]. Pois bem, o que Legendre conjecturou, empiricamente, analisando tabelas
de números primos (em 1797 uma dessas tabelas foi publicada, contendo todos os números
primos até é que podia ser aproximado pela função 
Há procedimentos especiais para achar os números primos de determinados intervalos, ou para
decidir se um dado número é ou não primo. Isso permite encontrar números primos muito
grandes. Multiplicando-se dois tais números, obtém-se um número composto que também será
tão grande, a ponto de ser praticamente impossível descobrir seus fatores primos, pois os
computadores mais rápidos levariam milhões de anos para realizar essa tarefa! Tais números
são hoje em dia usados na codificação de mensagens, seja para fins militares, diplomáticos ou
comerciais, um recurso criptográfico muito eficaz, pois só quem conhece os fatores primos do
número composto consegue interpretar as mensagens.
ÁVILA, Geraldo. A distribuição dos números primos. In: Revista do Professor de Matemática (RPM), nº
19. São Paulo: Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), 1991. p. 19-26. (adaptado)
 Assista: teorema dos números primos
No vídeo "Teorema dos Números Primos", com legenda em português, é possível
observar a relação entre os números primos e a estimativa a partir do
estudo dos gráficos das funções e 
Agora é com você 
Questão 01
1.a)
Considere a função Construa uma tabela de valores com pares 
 
1.b)
Esboce o gráfico de 
Questão 02
2.a)
26
https://www.youtube.com/watch?v=7jzCJJIc59E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
Considere a função Construa uma tabela de valores com pares 
 
2.b)
Esboce o gráfico de 
Questão 03
Faça um esboço do gráfico da função 
Questão 04
Sobre o gráfico da função assinale a afirmação verdadeira.
O gráfico de intercepta o eixo em 
O gráfico de intercepta o eixo em 
O gráfico de intercepta o eixo em 
O gráfico de intercepta o eixo em 
O gráfico de intercepta o eixo em 
Questão 05
A curva da figura que se segue representa o gráfico da função para x > 0.
Assim sendo, a área da região hachurada, formada pelos dois retângulos, é:
27
A
B
C
D
A
B
Questão 01
Seja dada por 
1.a)
Determine os valores de e 
1.b)
 é crescente ou decrescente?
Questão 02
Considere a função definida por sendo e constantes reais, 
 
Determine e sabendo que e 
Questão 03
Seja O valor de é:
 
 
 
 
Questão 04
Sobre a função definida em assinale a alternativa correta:
 
Pratique: Pratique: características da função logarítmicacaracterísticas da função logarítmica
28
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
 
Questão 05
O crescimento de uma empresa foi avaliado de acordo com o número de funcionários em
cada ano desde a sua fundação. Modelou-se esse crescimento pela função 
 sendo dado em anos e o número de funcionários no ano 
 após a fundação.
Qual o número de funcionários no ano de fundação?
 
 
 
 
 
Questão 06
Outra forma de expressar a função é:
 
 
Questão 07
29
A
B
C
D
E
7.a)
Construa uma tabela de duas entradas com pelo menos 5 linhas, associando valores de a 
 
Se quiser, utilize uma calculadora para obter aproximações dos valores da função.
7.b)
Determine o domínio ea imagem de 
Questão 08
O domínio da função real definida por é:
 
 
 
 
Questão 09
Determine o domínio da função real definida por 
Questão 10
Esboce os gráficos das funções reais definidas pelas seguintes sentenças abertas.
a) 
30
A
B
C
D
E
►
•
•
•
►
b) 
Questão 11
Estudos de 2014 apontaram que a quantidade de pessoas que compõem a população de
determinada cidade interiorana é estimada pela função logarítmica 
 em que é a quantidade de anos contados a partir do ano
de realização do estudo.
Qual a população prevista para essa cidade no ano de 2114?
Agora, vamos estudar o conceito de equação logarítmica, que é comum surgir na resolução
de problemas envolvendo logaritmos.
Equação logarítmica é toda sentença matemática expressa por uma igualdade que
apresenta a incógnita no logaritmando e/ou na base de um logaritmo.
Estudaremos dois tipos de equação logarítmica:
1º caso: equações em que um dos membros da equação é um logaritmo com incógnita
na base e/ou no logaritmando, e o outro membro é um número real;
Exemplo 1: equações logarítmicas do primeiro caso
2º caso: equações em que os dois membros da equação são logaritmos de mesma base,
sendo que um deles ou os dois possuem incógnita no logaritmando.
Equação logarítmica e aplicaçõesEquação logarítmica e aplicações
31
•
•
•
•
•
Exemplo 2: equações logarítmicas do segundo caso
Igualdade entre um logaritmo e um número
Neste primeiro caso, usamos a definição do logaritmo para resolver as equações do tipo:
 em que representa uma expressão algébrica
envolvendo a incógnita 
Temos a condição de existência 
 em que representa uma expressão algébrica
envolvendo a incógnita 
Temos as condições de existência e 
Exemplo 3: resolução de uma equação logarítmica
Para resolver a equação primeiro, vamos verificar a condição de existência
do logaritmando. Devemos ter isto é, Sendo assim, a solução somente será
válida se contemplar essa condição.
Agora, utilizaremos a definição do logaritmo:
Esse valor é maior que logo, satisfaz a condição. Podemos escrever o conjunto-solução
como:
 
Exemplo 4: resolução de uma equação logarítmica
Para resolver a equação devemos considerar a condição de existência da base,
isto é, e 
Utilizando a definição do logaritmo, temos:
32
•
•
•
►
►
►
A solução não satisfaz a condição de existência, portanto a única solução é 
 
Podemos escrever o conjunto-solução como:
 
Exercício resolvido
1.
Resolva a equação 
Resolução:
A seguir, utilizaremos uma estrutura de resolução em passos para evidenciar o
raciocínio por trás do processo de resolução de equações um pouco mais complexas.
Se quiser, você pode adotar essa estrutura para ajudar na resolução dos exercícios,
sejam eles contextualizados ou não.
1º passo: colher os dados do problema
A equação logarítmica envolve um logaritmo de base 2.
A equação está associada ao primeiro caso estudado.
O logaritmando é representado pela expressão algébrica 
2º passo: criar um plano de resolução para o problema
I) Determinar a condição de existência do logaritmando.
II) Resolver a equação utilizando a definição de logaritmo.
III) Verificar a condição de existência.
IV) Escrever o conjunto-solução.
3º passo: executar o plano
I) Temos a seguinte condição de existência: 
II) Pela definição de logaritmo, temos:
33
►
Resolvendo a equação de 2º grau encontrada, obtemos as soluções e 
III) Vamos verificar se as soluções satisfazem a condição de existência 
Para temos:
Logo, é solução da equação logarítmica original.
Por outro lado, para temos:
Logo, é outra solução da equação logarítmica original.
IV) O conjunto-solução é 
4º passo: examinar se a solução obtida é válida
Vamos verificar se, de fato, os valores de encontrados são solução da equação
logarítmica inicial.
Para e para 
Logo, a resolução está correta.
Resposta final: 
2.
Resolva a equação 
Resolução:
Temos a seguinte condição de existência:
 pois é logaritmando e é base do
logaritmo.
Utilizando a definição de logaritmo, obtemos:
34
Resolvendo a equação de 2º grau encontrada, obtemos as soluções e 
Vamos verificar se as soluções satisfazem a condição de existência 
Para temos:
Logo, não é solução da equação logarítmica original.
Por outro lado, para temos:
Logo, é solução da equação logarítmica original.
Verificando o valor de encontrado, temos:
Logo, a resolução está correta.
Resposta final: o conjunto-solução é 
Igualdade entre dois logaritmos de mesma base
Neste segundo caso, usaremos a propriedade do logaritmo para
resolver as equações:
35
• em que e representam expressões
algébricas envolvendo a incógnita 
Temos as condições de existência e 
Exemplo 5: resolução de uma equação logarítmica
Para resolver, em a equação vamos utilizar a propriedade citada:
 
Observe que a própria equação já indica que a expressão será maior que
zero, satisfazendo a condição de existência.
Exemplo 6: resolução de uma equação logarítmica
Para resolver, em a equação temos que considerar:
Não existe tal que 
Portanto, o conjunto-solução é dado por:
 
36
Exercício resolvido
3.
Resolva, em as seguintes equações logarítmicas:
a) 
b) 
Resolução:
a)
O valor é solução e nota-se que pela resolução da equação de
primeiro grau.
b) A condição de existência é 
Considerando tem-se 
 que satisfaz a condição de existência.
Resolução de problemas envolvendo equações logarítmicas
De maneira semelhante ao estudo de funções exponenciais, o trabalho com funções
logarítmicas pode envolver a resolução de equações associadas a essas funções e suas
transformações. Muitas vezes, queremos determinar um certo valor de para o qual a
função que modela uma situação atinge um certo valor 
Tem-se, então, uma equação do tipo 
Para a resolução desse tipo de problema, utilizamos o logaritmo e suas propriedades.
Exemplo 7: aplicação da equação exponencial
Considere uma função Vamos determinar tal que 
Temos que 
37
•
•
•
►
►
►
Como temos 
Vejamos a resolução de uma questão contextualizada. A resolução será apresentada
novamente por meio de uma sequência de passos que você pode usar para resolver outros
problemas contextualizados. Esses passos podem auxiliar na organização dos dados do
problema e do seu raciocínio de resolução, mas lembre-se que são sugestões e não são a
única forma de resolver os problemas. 
Exercício resolvido
4.
O crescimento esperado de determinado indicador de avaliação escolar de certa região
foi modelado pela função sendo o ano em que
determinada nota espera ser alcançada. 
Quando espera-se obter um desempenho de 8 na escala adotada?
Resolução:
1º passo: colher os dados do problema
O problema é modelado pela função 
O tempo é dado em anos.
Deseja-se saber em que ano teremos 
2º passo: criar um plano de resolução para o problema
I) Escrever o problema em forma de equação logarítmica.
II) Isolar o logaritmo em um dos lados da equação, para aplicar a definição.
III) Resolver a equação.
3º passo: executar o plano
I) Temos: 
II) A equação pode ser escrita como: 
III) Utilizando a definição de logaritmo, temos:
38
►
A
B
C
D
Logo, espera-se obter um desempenho de 8 na escala adotada em 2026.
4º passo: examinar se a solução obtida é válida
Vamos verificar se, de fato, atinge o valor estipulado inicialmente.
 
Logo, a resolução está correta.
Resposta final: espera-se obter um desempenho de 8 na escala adotada em 2026.
Agora é com você 
Questão 01
Resolva as equações a seguir.
a) 
b) 
c)
d) 
Questão 02
A equação com variável real x, admite como conjunto-solução:
Questão 03
39
C
D
E
A
B
A
B
C
D
E
Resolva a equação seguinte:
Questão 04
Resolva a equação seguinte:
 
Questão 05
O módulo da raiz da equação é:
.
.
.
Questão 06
A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à produção de
madeira, evolui, desde que é plantada, segundo o seguintemodelo matemático: 
, com em metros e em anos.
Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu de altura, o tempo
(em anos) transcorrido do momento do plantio até o do corte foi de:
Uma das aplicações dos logaritmos acontece nas chamadas "escalas logarítmicas". Você já
ouviu falar nesse termo? 
Escala logarítmica e aplicaçõesEscala logarítmica e aplicações
40
Uma escala logarítmica é uma escala baseada no logaritmo da medida de uma
grandeza.
Antes de definirmos matematicamente o que significa essa escala e vermos como fazer
cálculos e análises, vamos explorar alguns contextos em que ela aparece.
Escalas logarítmicas conhecidas
A percepção humana da intensidade de som e de luz está relacionada
com o logaritmo da intensidade.
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Esse tipo de representação é útil, por exemplo, quando as medidas se estendem desde
valores muito pequenos até muito grandes. Nesse caso, a escala permite uma melhor
comparação entre valores diferentes. Em particular, se a variação da medida ocorre de
maneira exponencial, isto é, modelada por acréscimos ou decréscimos sucessivos, o uso
desse tipo de escalas logarítmicas favorece ainda mais a leitura.
Podemos perceber como a escala logarítmica opera com nossos próprios sentidos.
41
Curiosidade 
A Lei de Weber-Fechner diz que "a resposta a qualquer estímulo é proporcional ao
logaritmo da intensidade do estímulo". Essa lei está associada aos nossos sentidos, e é
um dos objetos de estudo da área da Psicofísica, que realiza pesquisas e modela as
relações entre sensações subjetivas e estímulos físicos.
A lei pode ser explicada da seguinte maneira: quando somos expostos a pequenos
estímulos ou de baixa intensidade, percebemos mais facilmente pequenas variações
nesse estímulo; por outro lado, se a magnitude dos estímulos é grande, é necessária
uma grande variação para que possamos perceber a diferença no estímulo.
Exemplo 1: Escala Richter
A Escala Richter foi criada para se avaliar quantitativamente a magnitude de terremotos,
para facilitar análises comparativas e outros tipos de cálculo. Até então, utilizavam-se
usualmente escalas qualitativas relacionadas ao impacto causado pelo terremoto.
A Escala Richter é também chamada de Escala de Magnitude Local.
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Exemplo 2: escala de intensidade sonora em decibéis
A escala de intensidade sonora em decibéis é uma escala de unidades de medida relativas. 
O ouvido humano é capaz de detectar uma variação muito grande de intensidade sonora. O
chamado limiar absoluto da audição é o nível mínimo de som que um ouvido humano pode
captar, cuja intensidade é de Por outro lado, o som mais intenso que o
ouvido pode detectar de maneira segura, sem que haja dano ao aparelho auditivo, é mais do
que 1 bilhão de vezes mais intenso do que o limiar absoluto da audição. Sendo assim, a
escala é bastante conveniente, por facilitar a representação desses valores.
42
A unidade de medida base do decibel é o bel, nomeado por causa de
Alexander Graham Bell (1847-1922), inventor do telefone.
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Exemplo 3: escala de magnitude estelar
A magnitude aparente de um corpo celeste atribui a ele um número que reflete a
intensidade de seu brilho, como visto por um observador na Terra. Para isso, desconsidera-se
a interferência atmosférica. Isto é, trata-se do brilho com o qual veríamos um certo objeto se
não houvesse atmosfera.
Sirius é a estrela mais brilhante do céu noturno visível a olho nu e
está presente na constelação Canis Major (Cão Maior).
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43
Esse tipo de escala de magnitude aparente é utilizado desde a Grécia Antiga. O primeiro
sistema foi criado pelo astrônomo grego Hiparco, por volta de 150 a.C. Ele atribuiu uma
magnitude de valor 1 às estrelas mais brilhantes do céu, seguidas das estrelas de magnitude
2 etc. Dessa forma, categorizou as estrelas visíveis a olho nu de 1 a 6.
A escala magnitude aparente utilizada hoje é uma medida quantitativa do fluxo de luz que
provém de uma estrela. E da mesma maneira que a escala de Hiparco, quanto mais
brilhante um objeto parece, menor é a sua magnitude.
Wikimedia Commons
Resolução de problemas envolvendo escalas logarítmicas
Ao contrário de uma escala linear, em que intervalos iguais correspondem a incrementos
iguais, a escala logarítmica é lida de outra forma.
Numa escala logarítmica de base cada marcação unitária corresponde a um
aumento com relação à marcação anterior por um fator fixo proporcional a 
Entender esse conceito é importante para analisar e comparar grandezas associadas a cada
magnitude.
Exemplo 4: comparação de magnitudes de terremotos na Escala Richter
Seja a magnitude de um terremoto na Escala Richter. Tem-se a fórmula 
 em que é a amplitude máxima do terremoto obtida em um sismógrafo e
 a amplitude de referência.
Como a base do logaritmo é 10, a amplitude de um terremoto com é vezes
menor que a amplitude de um terremoto com considerando que 
Podemos verificar isso também por meio de cálculos. Observe que:
44
•
•
para o terremoto com temos:
para o terremoto com temos:
Logo, é vezes maior que 
Veremos, a seguir, a resolução de uma questão contextualizada.
Exercício resolvido
1.
(Unifesp – 2008) A tabela apresenta valores de uma escala logarítmica decimal das
populações de grupos A, B, C, ... de pessoas.
Reprodução
Por algum motivo, a população do grupo E está ilegível.
A partir de valores da tabela, pode-se deduzir que a população do grupo E é:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
45
•
•
•
►
►
►
►
Resolução:
1º passo: colher os dados do problema
A escala logarítmica apresentada envolve um logaritmo de base 10.
O valor faltante para a população do grupo E, está associado a 
 
Sabemos que 
 e 
2º passo: criar um plano de resolução para o problema
I) Recordar propriedades de escalas logarítmicas.
II) Identificar quais dados da tabela podem ser utilizados para obtenção de 
III) Determinar 
3º passo: executar o plano
I) Sabemos que, numa escala logarítmica de base 10, marcações com distância igual a 1
correspondem a um aumento por um fator de multiplicação proporcional a 10. Neste
caso, temos o fator de multiplicação igual a 10.
II) Nota-se que o valor de está a exatamente 4 unidades do valor de 
III) Considerando-se a propriedade do passo I e a informação de II, tem-se que deve
ser 
4º passo: examinar se a solução obtida é válida
Vamos verificar se, de fato, 
Temos:
Logo, a resolução está correta.
46
Resposta final: a população do grupo E é de Alternativa E.
2.
Uma empresa classifica seus(suas) colaboradores(as) em níveis de acordo com o
atendimento de um certo conjunto de critérios. A escala é logarítmica e a fórmula
utilizada é:
 
sendo o nível e o número de critérios atendidos, 
O número de critérios que uma pessoa do nível 5 tem a mais que uma pessoa do nível
3 é quantas vezes maior?
Resolução:
Como se trata de uma escala logarítmica de base 2, sabemos que o aumento de cada
nível corresponde a uma multiplicação por um fator 2.
Logo, havendo uma diferença de 2 níveis, tem-se que a pessoa do nível 5 possui 
 vezes mais critérios que uma pessoa de nível 3.
Podemos verificar que:
Como 32 é 4 vezes maior do que 8, isto é, podemos concluir que a resposta
encontrada está correta.
Resposta final: o número de critérios que uma pessoa do nível 5 tem a mais que uma
pessoa do nível 3 é 4 vezes maior.
47
Rotina de pensamento:
Manchete
 ROTINA DE PENSAMENTO
 
Assista ao seguinte vídeo:
https://www.youtube.com/watch?v=34kFHq-_2aU
Para essa rotina, você deve, individualmente, pensar em uma frase que
represente a ideia central do vídeo. A frase deverá ser construída no formato de
uma manchete jornalística.
Você pode registrar sua manchete em uma folha de caderno.
48
https://www.youtube.com/watch?v=34kFHq-_2aU
Saiba mais 
Gráficos semilog e log-log
Uma escala logarítmica também pode ser empregada como uma escala gráfica. Os
gráficos conhecidoscomo semilog e log-log são gráficos que utilizam esse recurso no
lugar de uma escala linear. No caso de gráficos semilog, essa troca acontece para um
dos eixos, enquanto no caso de gráficos log-log, ocorre para ambos os eixos horizontal
e vertical.
Nesse tipo de escala no eixo de um gráfico, um certo número está a uma distância
proporcional a de sendo a base do logaritmo considerado.
Observe a seguinte escala. Cada marcação é 10 vezes o valor da marcação anterior.
Trata-se de uma escala logarítmica de base 10.
Esse tipo de gráfico ficou muito evidente nos últimos anos por facilitar a interpretação
de certos dados epidemiológicos de propagação de doenças que crescem
exponencialmente. 
 Assista: interpretando gráficos
No vídeo "Interpretando Gráficos: LOG", com participação da YouTuber Julia Jacoud, a
divulgadora científica Mila Laranjeira, do canal Peixe Babel, explica como gráficos
semilog são utilizados para visualização de dados epidemiológicos da COVID-19.
Agora é com você 
Questão 01
A magnitude aparente de uma estrela é calculada pela expressão:
49
https://www.youtube.com/watch?v=vjCbjWPZ9Yk
https://www.youtube.com/channel/UCz4Zuqtj9fokXH68gZJmCdA
https://www.youtube.com/user/CanalPeixeBabel
A
B
C
D
 Sendo:
 o fluxo luminoso visual da estrela considerada
 o fluxo luminoso visual de Vega
dados numa mesma unidade de medida.
Ao apontar-se o telescópio para a estrela Vega, a leitura do fotômetro nos dá um sinal de
 Em seguida, apontamos o telescópio para uma outra estrela, obtemos a leitura
de 
Qual é a magnitude dessa estrela?
Questão 02
Na década de 1930 do século passado, Charles F. Richter desenvolveu uma escala
de magnitude de terremotos – conhecida hoje em dia por Escala Richter – para
quantificar a energia, em joules, liberada pelo movimento tectônico. Se a energia liberada
nesse movimento é representada por e a magnitude medida em grau Richter é
representada por a equação que relaciona as duas grandezas é dada pela equação
logarítmica 
Comparando o terremoto de maior magnitude ocorrido no Chile em 1960 que atingiu
9,0 na Eescala Richter, com o terremoto ocorrido em San Francisco, nos EUA, em
1906, que atingiu 8,0, podemos afirmar que a energia liberada no terremoto do Chile é,
aproximadamente:
 vezes maior que a energia liberada no terremoto dos EUA.
 vezes maior que a energia liberada no terremoto dos EUA.
 vezes maior que a energia liberada no terremoto dos EUA.
 vezes maior que a energia liberada no terremoto dos EUA.
Questão 03
Segundo Resnick e Halliday, a intensidade relativa de uma onda sonora, medida em
decibel é definida pela expressão sendo a intensidade
sonora medida em e a intensidade sonora de referência (correspondente ao
50
A
B
C
D
E
limiar da audição humana) também medida em 
Apresentam-se, a seguir, os valores em das intensidades relativas das ondas
sonoras correspondentes a algumas situações particulares.
Na unidade pode-se afirmar que:
a intensidade sonora do sussurro médio é menor que vezes a intensidade
sonora do limiar da audição humana.
a intensidade sonora do limiar da dor é vezes a intensidade sonora do limiar
da audição humana.
a intensidade sonora do limiar da dor é igual a vezes a intensidade sonora
de um sussurro médio.
a intensidade sonora do limiar da dor é, aproximadamente, o dobro da
intensidade sonora de uma conversa normal.
a intensidade sonora de uma conversa normal é menor que vezes a
intensidade sonora de um sussurro médio.
Questão 04
A intensidade I de um terremoto, medida na Escala Richter, é um número que varia de 
 até para o maior terremoto conhecido. é dado pela fórmula 
 em que é a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora e 
 
a) Qual é a energia liberada em um terremoto de intensidade 8 na Escala Richter? 
b) Aumentando de uma unidade a intensidade do terremoto, por quanto fica multiplicada
a energia liberada?
Questão 05
51
A
B
C
D
E
Os níveis das fases de um determinado jogo on-line foram determinados utilizando uma
escala logarítmica dada por sendo o nível e o número de pessoas que
conseguiram passar da fase, no período de testes do jogo.
Os níveis foram classificados em:
 extremamente difícil
 difícil
 médio
 fácil
 extremamente fácil
Uma fase que foi passada por 50 pessoas é considerada:
extremamente difícil.
difícil.
médio.
fácil.
extremamente fácil.
Vamos trabalhar, a seguir, uma proposta que desenvolve a habilidade de elaborar de
problemas. Além de aprofundar sua relação com o conteúdo deste capítulo, essa habilidade
permite que você tenha uma visão crítica das situações apresentadas e utilize sua
criatividade para criar problemas. 
Expressando ideias:
poluição sonora
 PRÁTICA ATIVA
 
Para essa prática, deve-se ler o seguinte texto e executar as tarefas em seguida.
Elaboração de problemasElaboração de problemas
52
O barulho de tráfico pode ultrapassar os 70 dB, uma
intensidade sonora considerada alta.
Christopher PB / shutterstock.com
Como a poluição sonora pode prejudicar seu coração
A exposição a ruídos altos é há muito tempo associada à perda de audição. Mas o
barulho de aviões e carros cobra um preço que vai além dos ouvidos.
O barulho do trânsito foi indicado como um grande fator de estresse fisiológico, ficando
depois da poluição do ar, e em pé de igualdade com a exposição ao fumo passivo.
Na última década, um número cada vez maior de pesquisas vinculou o barulho de
aeronaves e do trânsito nas rodovias a um risco elevado de doenças cardiovasculares.
[...]
Estimativas sugerem que cerca de um terço das pessoas na Europa e nos Estados
Unidos estão regularmente expostas a níveis de ruído prejudiciais à saúde, geralmente
definidos como aqueles a partir de cerca de 70 a 80 decibéis.
Para efeito de comparação, uma conversa normal alcança normalmente cerca de 60 dB,
carros e caminhões em torno de 70 dB a 90 dB, enquanto sirenes e aviões podem
atingir 120 dB ou mais.
Disponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/vert-fut-56650056>. Acesso em: 22 mai. 2021.
(adaptado)
1.
Conversem sobre o texto e destaquem os trechos ou termos que chamaram a
atenção de vocês. Se necessário, pesquisem outras informações sobre o tema,
utilizando fontes confiáveis.
2.
Relacionem o texto aos conteúdos e contextos apresentados até aqui neste
capítulo.
3.
53
•
•
Elaborem um problema com algum dos conteúdos relacionados no passo
anterior, utilizando dados ou conceitos apresentados no texto.
4.
Discutam a plausibilidade do problema elaborado.
O resultado do problema elaborado condiz com a realidade e com o
contexto? 
Há dados não essenciais para a resolução ou dados faltantes no enunciado
do problema elaborado?
Nas questões a seguir, tem-se outras propostas para desenvolver a habilidade de elaborar
problemas. O objetivo delas é que você pense criticamente sobre como são construídas as
questões. 
Agora é com você 
Questão 01
Leia o enunciado a seguir:
Um certo veículo em movimento emite som a uma intensidade de 
Considere que a intensidade sonora, em decibéis, é dada pela fórmula 
 sendo a intensidade em decibéis, a intensidade sonora dada na mesma unidade de
medida que a intensidade padrão.
A intensidade sonora em desse veículo é quantas vezes maior que a intensidade
sonora de um helicóptero que emite som a uma intensidade de 
Considere se necessário. 
1.a)
Resolva a questão proposta.
1.b)
Pesquise sobre os barulhos mais altos já ouvidos. Considerando o contexto real, os
valores utilizados seriam plausíveis? De que forma você alteraria o enunciado e/ou os
dados do problema para que a questão se aproximasse mais da realidade?
54
1.c)
Observando a resolução do problema, você diria que todos os dados do enunciado foram
utilizados? 
Questão 02
2.a)
Considere a função Atribuindo valores para esboce o gráfico da
função para estudar seu comportamento.
2.b)
Pesquise situações que possam ser modeladas utilizando a função 
Elabore um problemacontextualizado e dê sua resolução detalhada.
Questão 03
Considere que a função dada por modela o crescimento
populacional teórico de um determinado animal, sendo dado em milhares e dado
em anos.
Sabendo que podemos escrever em função de isto é:
 
3.a)
Nesse contexto, o que significa definirmos a função com
3.b)
Elabore e dê a resolução para um problema envolvendo a função 
Questão 01
Resolva as equações em 
Pratique: Pratique: 
aplicações de função, equação e escala logarítmicaaplicações de função, equação e escala logarítmica
55
A
B
C
D
E
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Questão 02
Pode-se afirmar corretamente que a equação 
não admite raízes reais.
admite exatamente uma raiz real.
admite exatamente duas raízes reais, as quais são iguais.
admite exatamente quatro raízes reais.
admite exatamente três raízes reais.
Questão 03
Resolva a equação seguinte:
Questão 04
Resolva a equação logarítmica:
Questão 05
Uma equipe de marketing estudou o alcance de uma campanha de vacinação em uma
determinada mídia. O alcance da campanha foi modelado pela função 
 sendo dado em milhões de pessoas, e constantes não nulas. Sabe-se que em 
 ainda não havia visualizações e que após 1 mês de campanha, no 31º dia de
campanha, ela atingiu a marca de 50 milhões de visualizações.
A função que modela o alcance é dada por:
56
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
 
 
 
Questão 06
Suponha que um campo de futebol seja colocado em um sistema cartesiano ortogonal,
conforme mostra a figura a seguir.
Para que o ponto A tenha abscissa e ordenada iguais, é
necessário e suficiente que:
Questão 07
Um modelo empírico, criado por De Groot e Gebhard, relaciona o diâmetro de uma
pupila, em com a luminância de uma fonte luminosa (expressa em mililamberts, 
 por meio da equação 
57
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
Determine a luminância quando o diâmetro da pupila de um olho é 
Dado: 
Questão 08
Um paciente de um hospital está recebendo soro por via intravenosa. O equipamento foi
regulado para gotejar gotas a cada 30 segundos. Sabendo-se que esse número é
resultado da equação e que cada gota tem volume de pode-se
afirmar que o volume de soro que esse paciente recebe em uma hora é de:
Questão 09
Por volta de 2007, a ocupação de uma grande área deu origem a uma pequena cidade. A
população estimada dessa cidade tem crescido segundo a função 
 na qual é a população do ano em milhares de pessoas, e 
Ao longo de que ano a população dessa cidade atingirá a marca de pessoas?
Dado: 
58
Questão 10
A altura (em metros) de um arbusto em uma dada fase de seu desenvolvimento pode ser
expressa pela função onde o tempo é dado em anos.
a) Qual é o tempo necessário para que a altura aumente de para 
b) Suponha que outro arbusto, nessa mesma fase de desenvolvimento, tem sua altura
expressa pela função composta Verifique que a diferença é uma
constante, isto é, não depende de 
Questão 01
Em uma fábrica, o lucro originado pela produção de peças é dado em milhares de reais
pela função com constante real.
a) Sabendo que sem produção não há lucro, determine 
b) Determine o número de peças que é necessário produzir para que o lucro seja igual a
mil reais.
Questão 02
A energia potencial elástica e a variação no comprimento de uma determinada
mola estão associadas conforme a tabela:
Sabe-se, também, que a relação entre e é estabelecida pela equação 
 sendo a constante elástica da mola e uma constante.
a) Determine os valores das constantes e 
b) Determine o valor de para 
Pratique: Pratique: Vestibulares e EnemVestibulares e Enem
59
C
D
E
A
B
Questão 03
No dia 6 de junho de 2000, um terremoto atingiu a cidade de Ancara, na Turquia,
com registro de graus na Escala Richter, e outro terremoto atingiu o Oeste do Japão,
com registro de graus na Escala Richter.
Considere que e medem a energia liberada sob a forma de ondas que se propagam
pela crosta terrestre por terremotos com registros, na Escala Richter, e 
 respectivamente. Sabe-se que esses valores estão relacionados pela fórmula 
Considerando-se que seja o registro do terremoto da Turquia e o registro do
terremoto do Japão, pode-se afirmar que é igual a:
Questão 04
A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como introduzida em
1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala Richter para medir a magnitude dos
terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a
escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como
a Escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. se relacionam pela fórmula:
onde é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da
superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o 
O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que
causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude 
U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes. Disponível em: <http://earthquake.usgs.gov>. Acesso em: 1º
maio 2010. (adaptado)
Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos,
60
A
B
C
D
E
A
B
C
D
qual foi o momento sísmico do terremoto de Kobe (em 
Questão 05
Observe no gráfico a função logaritmo decimal definida por 
Admita que, no eixo 10 unidades correspondem a e que, no eixo a ordenada 
 corresponde a 
A escala na qual os eixos foram construídos equivale a:
Questão 06
Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na Escala Richter causou um devastador tsunami
no Japão, provocando um alerta na usina nuclear de Fukushima. Em 2013, outro terremoto,
de magnitude 7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando centenas
de mortos e milhares de feridos. A magnitude de um terremoto na Escala Richter pode ser
calculada por 
61
D
E
A
B
C
A
B
C
D
E
sendo E a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e uma constante real positiva.
Considere que e representam as energias liberadas nos terremotos ocorridos no
Japão e na China, respectivamente.
Disponível em: <www.terra.com.br>. Acesso em: 15 ago. 2013. (adaptado)
Qual a relação entre e 
Questão 07
Um jardineiro cultiva plantas ornamentais e as coloca à venda quando estas atingem 30
centímetros de altura. Esse jardineiro estudou o crescimento de suas plantas, em função do
tempo, e deduziu uma fórmula que calcula a altura em função do tempo, a partir do
momento em que a planta brota do solo até o momento em que ela atinge sua altura
máxima de 40 centímetros. A fórmula é em que é o tempo contado em
dia e a altura da planta em centímetro.
A partir do momento em que uma dessas plantas é colocada à venda, em quanto tempo, em
dia, ela alcançará sua altura máxima?
 
 
 
 
 
Questão 08
Terremoto é o termo popular usado para os grandes sismos, sendo que para os pequenos é
comum usar abalo sísmico ou tremor de terra. A Escala Richter, também conhecida como
62
A
B
C
D
E
escala de magnitude local atribui um número único para quantificar o nível de
energia liberada por um sismo. É uma escala logarítmica de base 10, obtida calculando o
logaritmo da amplitude horizontal combinada (amplitude sísmica) do maior deslocamento a
partir do zero em um tipo particular de sismógrafo.
A fórmula utilizada é em que:
 é a amplitude máxima medida no sismógrafo.
 é uma amplitude de referência.
Com base nas informações, analise as proposições:
I. Para um terremoto de magnitude temos que 
II. Para um terremoto de magnitude temos que 
 III. Um terremoto de magnitude produz efeitos 10 vezes maior do que um terremoto de
magnitude 
Assinale a correta.
Apenas a proposição I é verdadeira.
Apenas as proposições I e II são verdadeiras.
Apenas as proposições II e III são verdadeiras.
Apenas a proposição II é verdadeira.
Apenas a proposição III é verdadeira.
Questão 09
Para se calcular a intensidadeluminosa medida em lumens, a uma profundidade de 
 centímetros num determinado lago, utiliza-se a Lei de Beer-Lambert, dada pela seguinte
fórmula:
Qual a intensidade luminosa a uma profundidade de 
63
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
150 lumens.
15 lumens. 
10 lumens.
1,5 lumens.
1 lúmen.
Questão 10
O altímetro dos aviões é um instrumento que mede a pressão atmosférica e transforma esse
resultado em altitude. Suponha que a altitude acima do nível do mar seja dada, em
função da pressão atmosférica em atm, por
Num determinado instante, a pressão atmosférica medida pelo altímetro era 
 Considerando a aproximação a altitude do avião nesse instante, em
quilômetros, era de:
5.
8.
9.
11.
12.
Questão 11
Numa experiência para se obter cloreto de sódio (sal de cozinha), colocou-se num recipiente
uma certa quantidade de água do mar e expôs-se o recipiente a uma fonte de calor para que
a água evapore lentamente. A experiência termina quando toda a água se evaporar. Em cada
instante a quantidade de água existente no recipiente (em litros) é dada pela
expressão:
 com uma constante positiva e em horas.
11.a)
64
A
B
C
D
E
A
B
C
Sabendo que havia inicialmente 1 litro de água no recipiente, determine a constante 
11.b)
Ao fim de quanto tempo a experiência terminará?
Questão 12
Um médico, após estudar o crescimento médio das crianças de uma determinada cidade, com
idades que variavam de 1 a 12 anos, obteve a fórmula:
 
em que é a altura em metros, e é a idade em anos. 
Usando essa fórmula, uma criança de 10 anos terá altura de:
 
 
 
 
 
Questão 13
Em uma danceteria, há um aparelho com várias caixas de som iguais. Quando uma dessas
caixas é ligada no volume máximo, o nível de ruído contínuo é de 
Sabe-se que:
 em que é a intensidade sonora, dada em 
a intensidade sonora é proporcional ao número de caixas ligadas.
Seja o maior número dessas caixas de som que podem ser ligadas simultaneamente, sem
que se ultrapasse o nível de que é o máximo suportável pelo ouvido humano.
Então, é correto afirmar que é igual a:
65
D E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
Questão 14
Se para então:
Questão 15
Na figura a seguir, dois vértices do trapézio sombreado estão no eixo e os outros dois
vértices estão sobre o gráfico da função real com e Sabe-se que o
trapézio sombreado tem 30 unidades de área; assim, o valor de é:
DesafiosDesafios
66
Agora é com você 
Questão 01
Determine as soluções reais da equação em 
Questão 02
Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros das portas dianteiras foram
desenhados de forma que suas bordas superiores fossem representadas pela curva da
equação conforme a figura.
A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo sempre divida ao meio a altura 
 do vidro e a base do vidro seja paralela ao eixo 
Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma expressão que fornece a
altura do vidro em função da medida de sua base, em metros.
67
A
B
C
D
E
•
•
•
•
•
•
•
A expressão algébrica que determina a altura do vidro é:
A função logarítmica na base é a função dada por em que 
O domínio da função logarítmica é o conjunto dos números reais positivos, diferentes de
zero.
A imagem da função logarítmica é o conjunto dos números reais.
Dizemos que a condição de existência para é pois o logaritmando deve
sempre ser positivo. 
Pode-se combinar as transformações da função logarítmica para gerar funções do tipo 
 com e constantes reais, e Nesse caso,
a condição de existência da função é dada por para que o logaritmando
seja positivo para todo 
No caso de funções em que a variável se encontra na base de um logaritmo, temos
que as condições de existência são: o logaritmando deve ser positivo e a base deve
ser positiva e diferente de 1.
A função definida por é sempre crescente, se e
sempre decrescente, se 
ResumoResumo
68
•
•
Reprodução
Equação logarítmica é toda sentença matemática expressa por uma igualdade que
apresenta a incógnita no logaritmando e/ou na base de um logaritmo. Para
resolvermos uma equação logarítmica, devemos considerar a definição e as
propriedades do logaritmo: e para 
 
Uma escala logarítmica é uma escala baseada no logaritmo da medida de uma
grandeza. Numa escala logarítmica de base cada marcação unitária corresponde a
um aumento com relação à marcação anterior por um fator fixo proporcional a 
69
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70
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	Para começar e refletir
	A modelagem matemática nas Ciências Biológicas
	Função logarítmica
	Gráfico da função logarítmica
	Pratique: características da função logarítmica
	Equação logarítmica e aplicações
	Escala logarítmica e aplicações
	Elaboração de problemas
	Pratique: aplicações de função, equação e escala logarítmica
	Pratique: Vestibulares e Enem
	Desafios
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