numeros 122

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**Explicação:** Use a substituição \(u = e^x\), então \(du = e^x \, dx\). A integral se 
transforma em \(\int \frac{du}{u^2 + 1}\), que resulta na resposta dada. 
 
15. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{dx}{x \ln(x)}\). 
 **Resposta:** \(\ln|\ln(x)| + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = \ln(x)\), então \(du = \frac{1}{x} \, dx\). A integral se 
transforma em \(\int \frac{du}{u}\), cuja antiderivada é \(\ln|u| + C\), substituindo de volta dá 
\(\ln|\ln(x)| + C\). 
 
16. **Problema:** Encontre a integral \(\int x \sin(x^2) \, dx\). 
 **Resposta:** \(-\frac{1}{2} \cos(x^2) + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = x^2\), então \(du = 2x \, dx\). A integral se 
transforma em \(-\frac{1}{2} \int \cos(u 
 
) \, du\), resultando em \(-\frac{1}{2} \cos(x^2) + C\). 
 
17. **Problema:** Calcule a integral \(\int_0^1 \frac{1}{(1 - x^2)^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{4}\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(x = \sin(\theta)\), então \(1 - x^2 = \cos^2(\theta)\) e a 
integral se transforma em \(\int_0^{\pi/2} \frac{1}{\cos^4(\theta)} \cos(\theta) \, d\theta\), 
resolvida com a identidade trigonométrica. 
 
18. **Problema:** Determine a integral \(\int e^{x^2} \cdot 2x \, dx\). 
 **Resposta:** \(e^{x^2} + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = x^2\), então \(du = 2x \, dx\). A integral se 
transforma em \(\int e^u \, du\), cuja antiderivada é \(e^u + C\), substituindo de volta dá 
\(e^{x^2} + C\). 
 
19. **Problema:** Calcule a integral \(\int \frac{x^2}{x^2 + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(x - \ln|x^2 + 1| + C\). 
 **Explicação:** Decomponha a fração \(\frac{x^2}{x^2 + 1} = 1 - \frac{1}{x^2 + 1}\) e integre 
cada termo separadamente. 
 
20. **Problema:** Encontre a integral \(\int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\sec^{-1}(x) + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(x = \sec(\theta)\), então \(dx = \sec(\theta) \tan(\theta) 
\, d\theta\) e a integral se transforma em \(\int d\theta\), que resulta em \(\theta + C\). 
Substituindo \(\theta = \sec^{-1}(x)\) resulta na resposta. 
 
21. **Problema:** Calcule a integral \(\int_0^\infty \frac{dx}{x^2 + 2x + 2}\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi}{2} e^{-1}\). 
 **Explicação:** Complete o quadrado no denominador \(x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 + 1\), e use 
a substituição \(u = x+1\), transformando a integral em uma forma padrão. 
 
22. **Problema:** Determine a integral \(\int x \ln(x) \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} + C\). 
 **Explicação:** Use integração por partes com \(u = \ln(x)\) e \(dv = x \, dx\). Então \(du = 
\frac{1}{x} dx\) e \(v = \frac{x^2}{2}\). Aplicando a fórmula de integração por partes, você 
obtém a resposta. 
 
23. **Problema:** Encontre a integral \(\int \frac{e^x}{e^{2x} + e^x + 1} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{2} \ln|e^x + 1| - \frac{1}{2} \ln|e^x - 1| + C\). 
 **Explicação:** Use a substituição \(u = e^x\), então \(du = e^x \, dx\). A integral se 
transforma em \(\int \frac{du}{u^2 + u + 1}\), que pode ser simplificada usando frações 
parciais. 
 
24. **Problema:** Calcule a integral \(\int_0^2 \sqrt{4 - x^2} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{8}{3}\). 
 **Explicação:** A integral representa a área de um quadrante de um círculo de raio 2. 
Usando a fórmula da área de um círculo, obtemos \(\frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi \cdot 4 
= \pi\). Multiplicando por 2, obtemos \(\frac{8}{3}\). 
 
25. **Problema:** Determine a integral \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\ln|x + \sqrt{x^2 + 2x + 2}| + C\). 
 **Explicação:** Complete o quadrado no denominador \(x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 + 1\), e use 
a substituição \(u = x + 1\), transformando a integral em uma forma padrão. 
 
26. **Problema:** Calcule a integral \(\int_0^1 \frac{x^2}{(1 - x^2)^{3/2}} \, dx\). 
 **Resposta:** \(\frac{1}{2}\).