Matemática Financeira

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Matematica Financeira
Apresentação
Você já percebeu como muitas pessoas têm verdadeiro trauma de matemática?
Isso é compreensível, pois o ensino tradicional da matemática, com poucas exceções, é abstrato e 
pouco relacionado com as atividades do dia a dia. E deve ser, já que as aplicações devem ficar a 
cargo da física, química e outras disciplinas como microeconomia, macroeconomia, etc. Aqui 
teremos a tarefa de desmitificar esse estigma e mostrar que a matemática financeira pode auxiliar 
no bolso de todos.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai identificar as operações mais comuns e aprender a 
administrar melhor as finanças pessoais ou organizacionais. Além disso, vai recordar alguns pontos 
importantes para avançar e compreender no entendimento da engenharia financeira a sua 
importância para empresas, pessoas e para os negócios.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Escrever os conceitos e as aplicações de porcentagem.•
Definir o conceito de crédito e juro.•
Reconhecer o valor do dinheiro ao longo do tempo.•
Desafio
Após diversas pesquisas na Internet, você decidiu a loja que compraria um equipamento musical há 
tempos desejado. Ao chegar ao local, você é surpreendido pelo vendedor que lhe oferece algumas 
condições comerciais que não estavam claramente disponibilizadas no site da empresa.
O produto foi ofertado a R$ 950,00 e você poderia optar por duas alternativas.
 
Considerando que você tenha disponibilidade de pagar o equipamento nas duas condições, qual a 
melhor alternativa do ponto de vista financeiro?
Padrão de resposta esperado
A definição de porcentagem (ou percentagem) reside na divisão de algo por cem. Portanto, dez por cento ou 10% nada mais é do que a décima parte de algo, ou 10 dividido por 100.
Então é preciso saber que tudo o que for por cento é dividido por cem. Essa maneira de representar se torna uma forma simples e ao mesmo tempo poderosa de refletir sobre as questões financeiras. No desafio acima, o produto foi ofertado pela empresa por R$ 950,00 com desconto de 5% à vista ou R$ 1.000,00 a prazo (4 x 250,00).
Para saber o real desconto que foi oferecido para o pagamento à vista (em percentual), primeiramente é preciso dividir os 5% por 100.
Então teremos: 5/100 = 0,05. Para saber o valor do desconto oferecido em R$, precisamos simplesmente multiplicar o resultado pelo valor do bem, logo: 0,05 x R$ 950,00 = R$ 47,50
Portanto, o equipamento se adquirido à vista, custará para você R$ 950,00 – R$ 47,50 = R$ 902,50. No caso da opção ser a prazo, você pagará R$ 250,00 x 4 parcelas = R$ 1.000,00
Aqui não levantamos a hipótese de inflação do período, que será abordado em outro momento, contudo, já fica claro que se optar pelo pagamento à vista sua economia será de R$ 97,50 o que garante uma boa economia e pode ser utilizado, inclusive, para auxiliar no happy hour com seus amigos para divulgação de sua mais nova aquisição.
Infográfico
Afinal, como funciona o fluxo de dinheiro entre os agentes econômicos e a criação dos juros? 
Confira no Infográfico.
 
Conteúdo do livro
Em finanças o crédito e os juros devem sempre ser associados ao tempo, uma vez que não existe 
empréstimo se não for relacionado com o espaço do tempo do qual o tomador deve restituir ao 
credor a quantia emprestada. Deve, portanto, haver um pagamento pelo empréstimo, o juro que 
deve remunerar aquele que renuncia o consumo atual para um consumo futuro. Para aquele que 
empresta seu capital, o tempo é o melhor amigo, já que o juro é capaz de acumular riqueza ao 
montante inicial sem qualquer esforço adicional.
Acompanhe a leitura do capítulo Matemática Financeira da obra Engenharia Econômica que trata o 
conceito de porcentagem, crédito e juros e o valor do dinheiro ao longo do tempo.
Boa leitura!
ENGENHARIA 
ECONÔMICA 
João Guterres de Mattos
Matemática financeira
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Escrever os conceitos de aplicação de porcentagem.
 � Definir o conceito de crédito e juros.
 � Reconhecer o valor do dinheiro ao longo do tempo.
Introdução
Você já percebeu como muitas pessoas têm verdadeiro trauma de 
matemática?
Isso é compreensível, pois o ensino tradicional da matemática, com 
poucas exceções, é abstrato e pouco relacionado com as atividades do 
dia a dia. E deve ser, já que as aplicações devem ficar a cargo da física, 
química e outras disciplinas como microeconomia, macroeconomia, 
etc. Aqui teremos a tarefa de desmitificar esse estigma e mostrar que a 
matemática financeira pode auxiliar no bolso de todos.
Neste texto, você vai identificar as operações mais comuns e aprender 
a administrar melhor as finanças pessoais ou organizacionais. Além disso, 
vai recordar alguns pontos importantes para avançar e compreender, 
no entendimento da engenharia financeira, a sua importância para 
empresas, pessoas e para os negócios.
Conceitos de matemática financeira
Embora você provavelmente conheça a matemática há anos, desde os primei-
ros passos de sua trajetória acadêmica, lá no ensino fundamental, devemos 
salientar que este tema é extremamente amplo e possui diversas aplicações. A 
matemática está presente em diversas áreas da sociedade, seja em um projeto 
de engenharia (para desenvolver a infraestrutura do país) ou em um cálculo de 
fórmula química (para encontrar a cura para uma doença). Contudo, existe uma 
vertente de notório conhecimento, na qual a matemática está internalizada: a 
matemática aplicada a finanças, seja empresarial ou pessoal.
A matemática financeira tem como objetivo estudar a evolução do dinheiro 
ao longo do tempo. É composta por equações que expressam a relação do valor 
de uma quantia no presente e seu valor equivalente no futuro. Em razão disso, 
a matemática financeira apresenta uma série de termos, variações e aplicações, 
que são utilizadas desde os cálculos básicos de um orçamento familiar até a 
complexidade de aplicações e derivativos.
O domínio desse tema, além de abrir oportunidades valiosas no mercado de 
trabalho, pode contribuir significativamente para o desenvolvimento da econo-
mia. Você já deve ter ouvido falar, por exemplo, que um bom gerente financeiro 
salva as empresas. Essa afirmação pode ser verdadeira, desde que o problema 
da empresa estiver vinculado, total ou em parcialmente, à gestão financeira.
A matemática financeira evoluiu com a sociedade e tem como principal 
princípio a máxima de que o dinheiro disponível hoje, não é o mesmo de 
amanhã. Com base nesta lógica surgem os primeiros conceitos relacionados à 
matemática financeira (juros, taxas, prazos, fórmulas, formas de capitalização), 
que serão demonstrados em detalhes neste texto.
Crédito
O termo crédito, aplicado a matemática financeira, está vinculado a um processo 
de confiança, no qual uma determinada entidade ou pessoa física, baseada em 
uma relação de confiança e, por vezes, respaldada por garantias, concede ao 
indivíduo tomador de crédito uma determinada quantia, com intuito de que, 
dentro do prazo acordado, esse recurso seja devidamente restituído acrescido 
dos devidos encargos previstos na operação.
Uma operação de concessão de crédito está vinculada a uma série de fatores. 
Um dos principais itens que determinam o quanto custará um crédito para 
o tomador do recurso e, até mesmo, se esses valores serão cedidos, é o risco 
incorrido na operação. Pode-se dizer que nos retornos sobre investimentos, que 
não deixam de ser uma aplicação de crédito, na qual o tomador do dinheiro é 
a própria instituição financeira ou um processo de empréstimo, a taxa poderá 
variar de acordo com o risco de perda dos valores emprestados.
Traçando um paralelo com operações corriqueiras, você poderá ratificar 
essa informação, pense a respeito:
Porque uma taxa de juros de financiamento imobiliário é substancialmente 
inferior a uma taxa de juros de crédito pessoal? Os dois não são empréstimos 
iguais?
Engenharia econômica2O fator básico das duas operações é o mesmo: o dinheiro. No entanto, a 
relação do custo de capital nessas duas operações está diretamente ligada 
ao risco. Uma vez que você toma crédito junto ao banco para comprar um 
imóvel, essa instituição irá relacionar esse bem em um contrato e coloca-lo 
como garantia da transação. Ou seja, o risco de o banco perder o dinheiro 
emprestado diminui substancialmente, logo, as taxas também diminuem. Já 
em uma operação de empréstimo pessoal, não há garantias reais de que o 
dinheiro será integralmente devolvido no prazo acordado, portanto, o custo 
desse empréstimo tende a ser superior, em função do fator risco.
Juros e capitalização
Os juros são valores cobrados pelo empréstimo de dinheiro e utilizados pela ma-
temática financeira há anos, acompanhando a evolução da economia mundial. 
A aplicação dessa prática vem sendo trabalhada por todos aqueles envolvidos 
no mercado de crédito, visando compensar financeiramente os indivíduos que 
emprestam dinheiro.
A capitalização, por definição, é quando um indivíduo aplica ou em-
presta um capital e, ao final desse processo, acumula mais capital, ou seja, 
recebe acréscimo financeiro pela cessão de valores. Via de regra, isso ocorre 
utilizando-se aplicações de taxas de juros e com determinado sistemas de 
capitalização, como juros simples ou compostos, PRICE ou SAC.
Considerando as práticas de capitalização, algumas variáveis de cálculo são 
fundamentais para projetar valores e obter os saldos de retorno sobre aplicações. 
Uma das principais práticas de capitalização é o prazo. Você deve lembrar 
sempre que, se for aplicar fórmulas matemáticas, deve equalizar as bases, ou 
seja, se você tem a variável prazo (em meses) e a taxa (em ano), para aplicar 
essas informações nas fórmulas, você deve equaliza-las. Isso significa que 
você terá que colocar a taxa em meses ou o prazo em ano, caso ao contrário, 
seu cálculo não estará correto. Outra informação importante quanto aos prazos 
na matemática financeira, é a existência da regra do banqueiro, que informa 
que um ano tem 360 dias. Essa informação e de primordial importância para 
a equalização citada.
Assim, considerando que, pela regra do banqueiro, utiliza-se a contagem 
exata em ano comercial ou bancário, temos que:
3Matemática financeira
 � Se a taxa for anual e o prazo for em dias, usamos a seguinte fórmula 
para passar o prazo para anos:
n =
número exato de dias
360
 � Se a taxa for mensal e o prazo, em dias, usamos a seguinte fórmula 
para passar o prazo para meses:
n =
número exato de dias
30
Aplicação financeira
Aplicação financeira é a compra de um ativo financeiro na expectativa de que, 
no tempo proposto, ele produza um retorno financeiro, ou seja, espera-se não 
apenas obter o retorno do capital investido, como também um excedente, a 
título de juros ou dividendos. No mercado estão disponíveis diversos tipos de 
aplicação, uma das principais formas de aplicação e uma das mais utilizadas 
pelo brasileiro é a caderneta de poupança. Contudo, existem diversas outras 
formas de aplicar o dinheiro, todas elas com diferentes taxas de retorno e 
regras específicas. Muitas vezes, se tratando de aplicações, as taxas de retorno 
estão diretamente ligadas aos riscos da operação.
Terminologia
Capital: é o valor aplicado através de alguma operação financeira, também 
conhecido como: principal, valor atual, valor presente ou valor aplicado. 
Em inglês, usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras 
financeiras).
Montante: é a soma dos juros mais o capital inicial, ou seja, N (montante) 
é igual ao capital inicial (C) mais os juros (i). Em termos algébricos, podemos 
dizer que N = C + i, logo, o montante é o valor final somado aos juros e ao 
capital inicial.
Engenharia econômica4
Existe uma calculadora específica utilizada para cálculos financeiros, chamada HP12C. 
Com ela é possível executar diversos cálculos matemáticos em fração de segundos, 
economizando tempo e minimizando riscos de erros em detrimento dos cálculos 
manuais.
Porcentagem e arredondamento
Ao longo dos estudos sobre matemática financeira, você verá que vários temas 
e fórmulas se utilizam de um conceito chamado porcentagem, que indica uma 
taxa ou proporção calculada em relação ao número 100 (por cem). A porcen-
tagem consiste em uma fração em que o denominador é 100 e é representada 
pelo símbolo %. De forma geral, a porcentagem está presente em quase todas 
as operações financeiras, pois é extremamente utilizada para demonstrar taxas 
de capitalização, além de ser importante também para demonstrar, de forma 
estatística, os ganhos financeiros em uma operação, servindo como fator 
chave para determinar a viabilidade de negócios. Veja, na Figura 1, como são 
representadas as porcentagens na matemática financeira.
Figura 1. Representação da porcentagem.
Fonte: Silva (c2017).
Agora, acompanhe alguns exemplos de aplicação da porcentagem.
5Matemática financeira
a) O preço de um produto foi reduzido de R$ 100 para R$ 50,00. Qual 
foi a porcentagem de redução? 
Resolução: 
100 – 50 = 50 
50 em 100 
50/100 = 0,50 
0,50 · 100 = 50% 
Assim, temos uma redução de 50%.
b) Uma TV custa R$ 800,00. O desconto para pagamento à vista é de 
10%, de quanto é o desconto? 
Resolução: 
10% = 10/100 = 0,10 
10% de 800 
0,10 · 800 = 80 
O desconto será de R$ 80,00.
Em relação às práticas matemáticas de arredondamento, cabe salientar 
que é recomendável que se trabalhe com quatro casas decimais. Uma vez 
definido o número de casa limites para a apresentação do resultado, se o 
primeiro algarismo a ser eliminado for 5 ou maior, acrescenta-se 1 no último 
algarismo remanescente; se o primeiro algarismo a ser eliminado for inferior 
a 5, despreza-se todos os algarismos após a última casa decimal do limite 
estabelecido.
Diante dos conceitos citados ao longo deste texto, é possível afirmar que o 
dinheiro possui um custo, que é fundamentalmente atrelado ao prazo em que 
ficará em posse do tomador de crédito. Para reforçar esse conceito e fixar os 
conteúdos estudados, considere o seguinte caso:
Digamos que você receba R$ 10 mil hoje de uma herança e aplique esse 
valor em um determinado produto financeiro com rendimento de 15% ao ano 
(livre de impostos). Em um ano, o valor total do montante será R$ 11.500,00, em 
12 anos o valor total da aplicação será R$ 53.502,50, em 30 anos o valor total 
da aplicação será R$ 662.117,72, o que já pode auxiliar em sua aposentadoria 
privada, caso o dinheiro não seja retirado antes do tempo.
Cabe salientar que este caso é baseado no conceito de juros simples, o 
que significa que os montantes citados podem sofrer variações em função do 
sistema de capitalização utilizado na referida aplicação, de qualquer forma, 
ilustra de forma efetiva o valor do dinheiro ao longo do tempo.
Engenharia econômica6
SILVA, M. N. P. Porcentagem. São Paulo: Brasil Escola, c2017. Disponível em: <http://
brasilescola.uol.com.br/matematica/porcentagem.htm>. Acesso em: 21 fev. 2017.
Leituras recomendadas
ROSETTI, H. A história do dinheiro e a educação matemática financeira. João Pessoa: 
Administradores, 2011. Disponível em: <http://www.administradores.com.br/arti-
gos/economia-e-financas/a-historia-do-dinheiro-e-a-educacao-matematica-finan-
ceira/51112/>. Acesso em: 21 fev. 2017.
SIGNIFICADOS. Significado de capitalização. Matosinhos: 7Graus, c2011-2017. Disponí-
vel em: <https://www.significados.com.br/capitalizacao/>. Acesso em: 21 fev. 2017.
SÓ MATEMÁTICA. Matemática financeira: conceitos básicos. Porto Alegre, c1998-2017. 
Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/emedio/finan.php>. Acesso em: 
21 fev. 2017.
Referência
7Matemática financeira
 
Dica do professor
No vídeo, você vai conhecer um pouco mais sobre o valor do dinheiro ao longo do tempo.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
 
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/d8855df1ae6e1e09f132a6bd4ef8c7ecExercícios
1) Boa parte dos cálculos financeiros é proveniente das frações. Algumas delas têm uma 
representação decimal finita como é o caso de 1000/10=100. Outras, entretanto, têm uma 
correspondência decimal infinita como, por exemplo, 1400/3=466,6666... 
 
Assim somos forçados a "arredondar" a resposta para o número mais próximo. Considerando 
duas casas após a vírgula, assinale verdadeiro (V) ou falso (F) para as seguintes afirmações: 
 
( ) 12,5696 pode ser reescrito como 12,57. 
( ) 6,99263 pode ser reescrito como 6,99. 
( ) 99,005 pode ser reescrito como 99,00.
A) V – V – F.
B) V – F – F.
C) V – F – V.
D) F – F – V.
E) F – V – F.
2) As fórmulas da Matemática Financeira exigem compatibilidade entre as variáveis tempo e 
taxa, isto é, se o tempo for medido em meses, a taxa utilizada também deverá ser ao mês. 
Desta forma, utilizando a regra bancária, podemos dizer que para finalidade de cálculos: 
A) Um ano tem 365 dias.
B) Um ano tem 360 dias.
C) Um mês tem 28 dias.
D) Um mês possui 30 dias.
E) Um ano tem a contagem de dias úteis dentro do ano.
Seja uma aplicação financeira realizada no período que vai de 01/02/2013 a 01/03/2013 a 
uma taxa anual de 45% ao ano. Nesse caso, para tornar compatíveis as unidades do tempo e 
3) 
da taxa, deseja-se encontrar a fração de ano que corresponde à aplicação pela regra do 
banqueiro:
A) 0,6579... ano.
B) 0,9876... ano.
C) 28 dias.
D) 30 dias.
E) 0,0777... ano.
4) Em Matemática Financeira, o termo "montante" possui um importante significado. Qual a 
afirmação define de forma correta esse termo:
A) Montante é a soma do juro mais o capital inicial, ou seja, M (montante) é igual ao capital inical 
(C) mais os juros (i).
B) Montante é igual ao prazo que se refere ao período de tempo que dura o empréstimo ou a 
aplicação financeira.
C) Montante se refere ao valor de pagamentos quando esses são feitos em um número maior do 
que a unidade.
D) Montante é o quociente entre o valor dos juros gerados no primeiro período pelo valor do 
capital emprestado.
E) Montante é o capital inicial (C) de um empréstimo ou de uma aplicação financeira.
5) Assinale verdadeiro (V) ou falso (F) para as afirmações sobre o conceito de Matemática 
Financeira. 
 
( ) Matemática Financeira é a disciplina que tem como objetivo estudar a evolução do 
dinheiro ao longo do tempo. 
( ) Matemática Financeira visa ao cálculo dos rendimentos dos valores monetários das 
instituições financeiras e trabalha essencialmente para obtenção de seus lucros. 
( ) A Matemática Financeira é composta por equações matemáticas que expressam a relação 
do valor de uma quantia no presente e seu valor equivalente no futuro.
A) V – F –F.
B) V – F – V.
C) F – V –F.
D) F – V –V.
E) V – V –F.
Na prática
Na prática existe uma lei muito importante no mundo financeiro: o dinheiro tem valor no tempo. 
Veja como isso funciona:
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Porcentagem
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
Porcentagem
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
Finanças Empresariais
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Finanças
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Matemática Financeira
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http://www.infoescola.com/matematica/porcentagem/