Métodos Determinísticos I

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
EP7 � Métodos Determinísticos I
Algumas palavras...
Este EP contém questões de avaliações anteriores, mas não deve ser estudado como se fosse um
modelo de prova. Além das questões aqui contidas, é importante que você reveja todo o material de
estudo anterior, especialmente as Aulas, as questões da AD1 e os EPs.
Não se preocupe apenas em saber como fazer cada exercício. É importante que você saiba o que
está fazendo. É fundamental entender as regras de cada operação. É fundamental você entender a
linguagem da Matemática, estudando os EPs 1 a 4 (conjuntos e lógica), e os números, suas opera-
ções e propriedades, nos EPs 5 e 6.
Não deixe de tentar também resolver algumas questões de AP1s anteriores, disponíveis na Plataforma.
Exercício 1 (AP1 - 2014.1) Na AD2 de Métodos Determinísticos I, composta de duas questões,
560 alunos acertaram somente uma das questões e 310 acertaram a segunda. Sendo que 70 alunos
acertaram as duas questões e 275 erraram a primeira questão. Quantos alunos �zeram a prova?
Exercício 2 (AP1 - 2016.2) Em uma cidade, são vendidas duas marcas de sabonetes, A e B. Sabe-
se que 12% da população compra ambas as marcas; que o percentual da população que compra
a marca A é o triplo do percentual que compra a marca B; e que apenas 16% da população não
compra A e nem B.
(a) Determine o percentual da população que compra apenas a marca A.
(b) Se a marca B lançar uma ofensiva publicitária e conseguir fazer com que um quinto das pessoas
que compram apenas a marca A passem a comprar a marca B, qual Será o aumento percentual
de clientela da marca B?
Exercício 3 (AP1 - 2018.1) Em uma cidade, o número de pessoas que não compram nas Lojas
Pedro é o dobro do número de pessoas que compram. Das pessoas que compram nas Lojas Pedro,
metade compra também nas Lojas Mateus. Sabe-se ainda que as duas lojas possuem o mesmo
número de clientes.
(a) Represente, por meio de um diagrama, a situação descrita, representando por P o conjunto de
quem compra nas Lojas Pedro e por M o conjunto de quem compra nas Lojas Mateus. Repre-
sente por x a quantidade de pessoas que compram nas Lojas Pedro e, a partir daí, complete
todas as partes do diagrama com a fração de x correspondente.
(b) Que fração da população da cidade não compra nem nas Lojas Pedro e nem nas Lojas Mateus?
Métodos Determinísticos I EP7 2
(c) Que fração da população da cidade compra nas duas lojas?
(d) Que fração da população da cidade compra apenas nas Lojas Pedro? E apenas nas Lojas Mateus?
Exercício 4 (AP1 - 2022.2 [adaptado]) Em uma pesquisa com 928 pessoas, têm-se as seguintes
informações:
(i) Todos os leitores de Arte da dança também são leitores de Ballet Contemporâneo.
(ii) Alguns leitores de Clássicos não leem Ballet Contemporâneo.
(iii) 300 leitores de Ballet Contemporâneo não leem Arte da dança. Destes 300, sabe-se que 100
também leem Clássicos.
(iv) Um terço dos leitores de Arte da Dança também lê Clássicos.
(v) Metade dos leitores de Clássicos também lê Ballet Contemporâneo.
(vi) Todas as pessoas participantes da pesquisa leem pelo menos uma das três revistas, Arte da
dança, Ballet Contemporâneo ou Clássicos.
A partir destas informações:
(a) Represente a situação por meio de um diagrama de Venn, denotando por A o conjunto dos
leitores de Arte da dança, por B o conjunto dos leitores de Ballet Contemporâneo e por C o
conjunto dos leitores de Clássicos. Denote também por x a quantidade de pessoas que leem
todas as três revistas. Justi�que.
(b) Preencha o diagrama de Venn da questão 1 com todos os valores numéricos que podem ser
concluídos a partir das informações dadas em (iii). Justi�que.
(c) Determine, em função de x a quantidade de pessoas que leem apenas Clássicos e a quantidade
de pessoas que lê Arte da dança mas não lê Clássicos. Justi�que.
(d) Quantas pessoas leem todas as três revistas? Justi�que.
Exercício 5 (AP3 - 2023.1 [Adaptado])
Uma pesquisa sobre usuários do site de reclamações Queixe Lá que haviam reclamado de companhias
aéreas, veri�cou-se que:
(i) Todos os usuários pesquisados reclamaram de pelo menos uma das empresas Amarelo, Ponto
ou TALAM.
(ii) Todos os usuários que reclamaram da TALAM também reclamaram da Ponto.
(iii) Dois terços dos usuários que reclamaram da TALAM também reclamaram da Amarelo.
(iv) 200 usuários reclamaram apenas da Ponto.
(v) 100 usuários reclamaram apenas da Amarelo.
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Métodos Determinísticos I EP7 3
(vi) 80 usuários reclamaram tanto da Amarelo quanto da Ponto, mas não reclamaram da TALAM.
(a) Represente a situação por meio de um diagrama de Venn, denotando por A o conjunto
dos usuários com reclamações sobre a Amarelo, por P o conjunto dos usuários com reclamações
sobre a Ponto e por T o conjunto dos usuários com reclamações da TALAM. Denote também
por 2x a quantidade de usuários com reclamações sobre as três companhias. Justi�que.
(b) Preencha todas as regiões do diagrama de Venn da questão 1 com todas as quantidades
de usuários, de acordo com as informações dadas. Algumas destas quantidades estarão em
função de x. Justi�que.
(c) Com as informações das questões anteriores, e sabendo que metade dos usuários que
reclamaram da Ponto também reclamaram da Amarelo, determine x. Justi�que.
(d) Com as informações das questões anteriores, inclusive a informação dada na questão 3,
determine o total de usuários considerados na pesquisa. Justi�que.
Exercício 6 (AP1 - 2018.1) Um comerciante adquire, do fabricante, um produto ao preço de
R$120,00. Este comerciante sabe que, ao vender o produto para o consumidor, há a incidência
de um imposto total de 40%, calculado sobre o preço de venda, isto é, aquele que o consumidor paga
pelo produto. Apenas o restante, após descontar o imposto, �ca para o comerciante.
Nos itens de a a c, despreze qualquer outra despesa que não seja o preço de aquisição do
produto pelo comerciante no fabricante e o recolhimento de impostos. Observe que, no
item d, aparecerá uma nova despesa que deverá ser levada em conta.
(a) Qual o preço de venda mínimo Vm pelo o produto deve ser vendido para que o comerciante não
tenha prejuízo com a venda deste produto? (apresente os cálculos, não apenas o valor �nal de
Vm)
(b) Dê a expressão do lucro L obtido com a venda do produto. Utilize na expressão apenas o preço
de venda V e as despesas anteriormente mencionadas.
(c) Se o comerciante desejar obter um lucro de 30% sobre o valor de aquisição do produto, qual
deverá ser o preço de venda V ?
(d) Além do valor recolhido na forma de impostos e o custo de aquisição, o comerciante ainda estima
que a venda deste produto demanda uma despesa �xa de R$8.000,00 (logística, vendedor, espaço
na loja, etc.), independentemente da quantidade de produtos vendidos. Na média, são vendidos
200 produtos como este por mês. Por quanto cada unidade do produto deve ser vendida para
que o vendedor apure um lucro mínimo de R$4.000,00.
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Métodos Determinísticos I EP7 4
Exercício 7 (AP3 - 2017.2)
(a) Diminuir um preço em 20% signi�ca multiplicá-lo por qual número
racional? Justi�que.
(b) Aumentar um preço em 20% signi�ca multiplicá-lo por qual número
racional? Justi�que.
Uma loja adotará uma política de preços inovadora. No primeiro dia, seus produtos estarão com
preço 20% inferior ao que tinham no dia anterior a esta nova política de preços. No segundo
dia, os preços serão aumentados de 20%, em relação ao preço que tinham no primeiro dia. No
terceiro dia, os preços diminuirão em 20% em relação ao segundo dia. No quarto dia, aumen-
tarão em 20% em relação ao terceiro dia. Os preços continuam desta forma nos dias seguintes;
em um dia diminuem 20% em relação ao anterior e, no dia seguinte, sobem 20% sobre o novo
preço.
Se um produto era vendido por P reais antes da nova política de preços, por quanto será vendido
no décimo terceiro dia?
Dê a respostacomo uma expressão envolvendo apenas a incógnita P e frações e/ou
números decimais, suas potências ou produtos.
Exercício 8 (AP1 - 2018.2) Um comerciante adquire um produto, junto ao fornecedor, por 300
euros. Ao vender o produto, o comerciante deverá recolher, como impostos, o equivalente a 20% do
valor agragado, isto é, da diferença V − C entre o preço de venda V e o de compra C.
(a) Dê o valor do imposto que deve ser recolhido, caso o preço de venda seja de 500 euros.
(b) Dê a expressão do imposto que deve ser recolhido, caso o preço de venda seja dado, em euros,
por V .
(c) Se o comerciante desejar obter um lucro de 60 euros na venda (considerando apenas o preço de
venda, o de custo e o recolhimento dos impostos), por quanto deverá vender o produto?
Exercício 9 (AP1 - 2012.2 [adaptado]) Nos itens abaixo, represente por C o preço que um co-
merciante pagou por um produto que irá vender e determine os preços pedidos em função de
C.
(a) Determine o preço de venda do produto para que o lucro seja de 10% do preço de compra.
Justi�que.
(b) Determine o preço de venda do produto para que o lucro seja de 10% do preço de venda.
Justi�que.
(c) Determine o preço de venda do produto para que o lucro, após o desconto de um imposto
equivalente a 20% do preço de venda, seja de 20% do preço de compra. Justi�que.
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Exercício 10 (AP1 - 2022.2) Racionalize e simpli�que o número A =
√
18√
(−2)2 −
√
7
. Apre-
sente todos os cálculos necessários.
Exercício 11 (AP1 - 2023.1) Racionalize e simpli�que ao máximo o número A =
2 +
√
3
2−
√
3
.
Apresente todos os cálculos e justi�cativas necessários.
Exercício 12 (AP1 - 2016.2) Determine, na forma de intervalo ou de uma união �nita de intervalos,
os números reais que tornam verdadeira a desigualdade abaixo.
2(x− 1)2 − (x− 2)
(
2x− 1
2
)
> (2x− 1)(2x+ 1)
Exercício 13 (AP1 - 2015.2) Considere as proposições:
A: �Ana está na escola.�
B: �Se João está no cinema, então Maria está na loja.�
Sabendo que a proposição P: �A ou B� é falsa, pode-se a�rmar que:
(i) Ana não está na escola, João não está no cinema, Maria não está na loja.
(ii) Ana não está na escola, João está no cinema, Maria está na loja.
(iii) Ana não está na escola, João está no cinema, Maria não está na loja.
(iv) Ana está na escola, João não está no cinema, Maria não está na loja.
(v) Ana está na escola, João está no cinema, Maria não está na loja.
Exercício 14 (AP1 - 2018.2) Um empresa aceita pagamentos em cheque, boletos bancários de
diversos bancos e cartão de crédito. Avaliando os pagamento feitos pelos clientes e recebidos pela
empresa, o diretor percebeu, hoje, que:
(i) Se um pagamento foi feito com cheque, então o pagamento foi recebido.
(ii) Se um pagamento foi feito com boleto e o boleto era do Banco iTatu, então o pagamento não
foi recebido.
(iii) Se um pagamento foi com cartão de crédito e o pagamento foi feito semana passada, então ele
não foi recebido.
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Responda aos itens a seguir:
(a) Diga se é possível concluir ou se não é possível concluir cada uma das a�rmações abaixo,
baseando-se apenas nas a�rmações acima. Não é necessário justi�car, mas cada resposta
incorreta invalidará uma correta (portanto, não chute!).
(1) Todo pagamento feito com cheque foi recebido.
(2) Se um pagamento foi recebido e foi feito com boleto, então este pagamento não é do Banco
iTatu.
(3) Se um pagamento foi feito com boleto e o boleto não era do Banco iTatu, então ele foi
recebido.
(4) Se um pagamento foi recebido, então ele foi feito com cheque.
(5) Se um pagamento foi feito com cartão e este pagamento foi recebido, então ele não foi feito
semana passada.
(6) Se um pagamento foi feito com cartão e este pagamento não foi recebido, então ele foi feito
semana passada.
(b) Se foram recebidos 25 pagamentos, quantos pagamentos, no máximo, foram feitos com cheque?
Se foram feitos 10 pagamentos com boleto, mas apenas 5 foram recebidos, pode-se dizer que 5
boletos eram do Banco iTatu? Em caso negativo, o que se pode garantir?
Justi�que como chegou à conclusão.
Exercício 15 (AP3 - 2017.2) Considere as seguintes a�rmações:
(1) Se Pedro joga bola ou Mateus brinca de pique, então Bernardo pula corda.
(2) Julieta desenha se e só se Ana sobe em uma árvore.
(3) Se Mateus brinca de pique, então Ana sobe em uma árvore.
(4) Para que Bernardo pule corda, basta que Mateus brinque de pique ou que Velentina coma um
lanchinho.
(5) Mas Julieta não desenha e Pedro joga bola.
Agora responda aos itens a seguir.
(a) Considere as proposições elementares p: Pedro joga bola, m: Mateus brinca de pique, b:
Bernardo pula corda, j: Julieta desenha, a: Ana sobe em uma árvore e v: Velentina come um
lanchinho. Reescreva as a�rmações (1) a (5) com as letras atribuídas às proposições e com os
símbolos da Lógica (implicação, equivalência e conectivos).
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(b) Considerando que sejam verdadeiras as a�rmações (1) a (5), decida se cada uma das proposições
elementares abaixo é verdadeira ou falsa. E necessário que você apresente o raciocínio que usou
para deduzir sua conclusão a partir dos dados.
a: Ana sobe em uma árvore.
b: Bernardo pula corda.
m: Mateus brinca de pique.
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