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Cálculo de limites: leis básicas de limites
Apresentação
Na matemática, a análise gráfica de uma função é uma ferramenta poderosa, mas em algumas 
situações, traçar o gráfico da função pode não ser uma tarefa trivial, se não tivermos acesso a uma 
ferramenta digital.
No entanto, algumas funções possuem gráficos equivalentes, a menos de alguns pontos de seus 
domínios. Nestes pontos em que as funções se distinguem, o conceito de limite e suas 
propriedades podem auxiliar e, por isso, a importância de se estudar suas leis básicas.
Nesta Unidade de Aprendizagem você vai estudar quatro propriedades particulares de limites: a lei 
da soma, a lei do múltiplo constante, a lei do produto e a lei do quociente. Essas propriedades serão 
fundamentais no cálculo de limites numéricos que aparecem com frequência em problemas 
aplicados.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Enumerar as leis básicas de limite.•
Utilizar as propriedades de limites no cálculo de limites numéricos.•
Analisar os resultados dos cálculos realizados.•
Desafio
O conceito de funções é um dos mais importantes na resolução de problemas envolvendo 
modelagem matemática. Empresas e fábricas modelam suas produções por funções, de modo que 
entender o comportamento dessas funções auxilia na tomada de decisões por parte dos 
administradores.
Na matemática, o estudo do comportamento de uma função f(x) à medida que o valor de x se 
aproxima de um dado valor a é conhecido como limite.
Você é gerente de produção de uma montadora de automóveis e foi incumbido da missão de 
maximizar a produção de automóveis.
Para essa tarefa, você vai precisar modernizar a fábrica com recursos limitados e, após estudos 
preliminares, concluiu que representa o tempo mínimo para essas adequações.
Se t é dado em anos, qual o tempo necessário para que essas mudanças sejam concluídas?
Infográfico
O estudo de limites é fundamental para compreender o comportamento de uma função. No 
entanto, muitas funções podem ser apresentadas como soma, produto ou quociente de funções 
mais simples.
Nestes casos, para se chegar ao valor do limite, é necessário utilizar algumas propriedades básicas, 
conhecidas como leis básicas de limites, que serão apresentadas neste infográfico.
Conteúdo do livro
O domínio das leis básicas de limites auxilia na determinação do comportamento das funções na 
vizinhança de um ponto. Desta forma, é possível verificar se a função em estudo é contínua em 
todo o seu domínio, por exemplo.
Acompanhe, no trecho selecionado da obra "Cálculo (Vol. 1)", uma discussão das leis básicas de 
limites usadas para calcular os limites de funções construídas como somas, múltiplos, produtos ou 
quocientes de outras funções. Inicie a leitura a partir do tópico: Leis básicas de limites.
Bons estudos. 
___________________________________________________________
R721c Rogawski, Jon.
Cálculo [recurso eletrônico] / Jon Rogawski ; tradução Claus Ivo Doering. 
– Dados eletrônicos. – Porto Alegre : Bookman, 2008.
v. 1
Editado também como livro impresso em 2009.
ISBN 978-85-7780-389-7
1. Cálculo. 2. Matemática. I. Título.
 CDU 51-3 
___________________________________________________________ 
Catalogação na publicação: Renata de Souza Borges CRB-10/Prov-021/08
60 CÁLCULO
2.3 Leis básicas de limites
Na Seção 2.2 investigamos limites e estimamos seus valores a partir de uma abordagem 
gráfi ca e numérica. Nas quatro próximas seções iremos além dessa abordagem intuitiva 
e desenvolveremos ferramentas para calcular os limites de uma maneira precisa. Nesta 
seção, discutimos as leis básicas de limites usadas para calcular os limites de funções 
construídas como somas, múltiplos, produtos ou quocientes de outras funções.
TEOREMA 1 Leis básicas de limites Suponha que existam e . Então:
 (i) Lei da Soma:
 (ii) Lei do Múltiplo Constante: dado qualquer número k,
 (iii) Lei do Produto:
 (iv) Lei do Quociente: se , então
As provas dessas leis serão discutidas na Seção 2.8 e no Apêndice D. Contudo, 
argumentando informalmente, podemos entender as idéias subjacentes. Por exemplo, 
para provar a lei da soma, observe que se f (x) estiver perto de L e g(x) estiver perto de 
M quando |x − c| for sufi cientemente pequeno, então f (x) + g(x) deverá estar perto 
de L + M quando |x − c| for sufi cientemente pequeno. De maneira análoga, f (x)g(x) 
deverá estar perto de LM, etc.
Antes de passar aos exemplos, apresentamos duas observações úteis. Em primeiro 
lugar, as leis da soma e do produto são válidas para qualquer número de funções. Por 
exemplo,
CAPÍTULO 2 Limites 61
Em segundo lugar, a lei da soma tem o contraponto para diferenças:
Isso não está listado separadamente porque segue da combinação das leis da soma e do 
múltiplo constante:
■ EXEMPLO 1 Use as leis de limite para calcular os limites seguintes:
 (a) (b) (c) 
Solução
 (a) Pelo Teorema 1 da Seção 2.2, para qualquer c. Como é igual ao produto 
, podemos aplicar a lei do produto
 (b) Primeiro utilizamos a lei da soma (para três funções):
Em seguida calculamos cada limite usando as leis do múltiplo constante e do produto:
Obtemos
 (c) Usamos as leis do quociente, da soma e do múltiplo constante:
 
■
O próximo exemplo reforça que as leis de limites somente são aplicáveis quando os 
limites de f (x) e g(x) existirem.
■ EXEMPLO 2 Hipóteses importam Mostre que a lei do produto não pode ser aplicada a 
 se e .
Solução A função produto é para x ≠ 0, portanto o limite do 
produto existe:
As leis de limites são aplicadas passo 
a passo na solução do Exemplo 1 
para ilustrar como elas são utilizadas. 
Na prática, consideramos as leis 
de limites como sendo evidentes e 
pulamos os passos intermediários.
62 CÁLCULO
Contudo, não existe porque tende a ∞ quando e a −∞ quan-
do , de modo que a lei do produto não pode ser aplicada e sua conclusão não vale:
■
2.3 RESUMO
As leis de limites afi rmam que se existirem ambos• e , então:
 (i) 
 (ii) 
 (iii) 
 (iv) se , então
Se não existir• ou , então as leis de limites não podem ser aplicadas.
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
 
Dica do professor
Conhecer as leis básicas de limites é fundamental na resolução de problemas. É importante 
sabermos aplicá-las adequadamente, para que assim que nos sentirmos seguros, podermos pular 
alguns passos intermediários, ganhando tempo nas resoluções.
No vídeo a seguir você verifica uma síntese das leis básicas de limites e, também, alguns exemplos.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/d00a87dd1c84c9ffb25a328225108fa2
Exercícios
1) Ao calcularmos limites, muitas vezes necessitamos utilizar propriedades. Uma das mais 
utilizadas é conhecida como lei da soma. Utilizando a lei da soma, analise o comportamento 
da função e marque a alternativa correta. 
A) - 4
B) 2
C) 10
D) 14
E) 45
2) Ao calcularmos um limite, pode ser necessário utilizar mais de uma propriedade. Assim, 
utilizando as propriedades adequadas, determine o limite da função . 
A) 2
B) 
C) 
D) 
E) 0
3) Em geral, listamos 4 leis básicas de limites: soma, múltiplo constante, produto e quociente. 
No entanto, a lei da soma tem seu contraponto para a diferença e as leis da soma e produto 
podem ser utilizadas para qualquer número de funções. Também podemos utilizar mais de 
uma lei no mesmo problema. Com base no exposto, qual o valor de 
A) Não existe este limite.
B) 0,2
C) 0,3
D) 0,4
E) 0,7
4) Na prática do cálculo de limites, podemos utilizar uma ou mais leis para chegar ao resultado. 
Assim, aplique as leis básicas de limites adequadas para calcular . 
A) 0
B) Não existe limite.
C) 
 
D) 
E) 4
5) No início do estudo das leis básicas de limites,as leis são aplicadas passo a passo para 
compreendermos como elas são utilizadas. Na prática, podemos considerar as leis de limites 
como sendo evidentes e pulamos os passos intermediários. Assim, calcule 
. 
A) 6
B) 5
C) 3
D) 2
E) 0
Na prática
Muitos problemas aplicados são resolvidos utilizando modelagem matemática, onde procuramos 
um modelo matemático que possa descrever adequadamente a situação, para que possamos 
realizar previsões. Para esse trabalho, o conceito de função é fundamental, sendo necessário em 
alguns casos calcular o limite da função em questão. Calcular o limite de uma função é estudar seu 
comportamento na vizinhança de pontos que podem não pertencer ao seu domínio.
Acompanhe um exemplo de como esse conceito pode ser aplicado no contexto de uma indústria. 
Os gestores de uma indústria estão preocupados em monitorar o consumo de água. Para isso, 
contrataram uma equipe técnica para modelar a situação. 
Aplicando as leis básicas de limite na função consumo C(t) é possível verificar que ela é contínua 
nos limites dos intervalos dados. Ou seja, no segundo e oitavo anos, não houve um aumento (e nem 
uma queda) brusco de consumo. Também, segundo esta função, o consumo tende a manter-se 
constante após o oitavo ano. 
Logo, saber utilizar as regras de limite auxilia na compreensão do comportamento de funções que 
descrevem o consumo de produtos, por exemplo, podendo assim contribuir com o seu controle.
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Limites e Continuidade
No capítulo 1, esse livro aborda detalhadamente os conceitos de limites e continuidade. 
Especificamente na seção 1.2 – Calculando Limites, são discutidas técnicas algébricas para o cálculo 
de limites, incluindo as leis básicas de limites, estudadas nesta Unidade de Aprendizagem, que são 
apresentadas no teorema 1.2.2.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Leis do Limite
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Cálculo: Propriedades dos Limites (Aula 4 de 15)
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