Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos

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Engrenagens Cilíndricas 
de Dentes Retos
(ECDR)
Prof.: Thiago G. Cardoso
Contato: thiagocardoso@cefetmg.br
https://www.tec-science.com/mechanical-power-transmission/gear-types/cylindrical-gears/. Acesso em 26/08/2020
https://www.tec-science.com/mechanical-power-transmission/gear-types/cylindrical-gears/
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TODOS OS DIREITOS PROTEGIDOS. Nos 
termos da Lei nº 9.610, de 19 de fevereiro de 
1998. 
É proibida a reprodução total, parcial, de 
qualquer forma ou por qualquer meio, à 
exceção de exibição para estudo por parte dos 
alunos(as) autorizados pelo autor.
Imagem de Clker-Free-Vector Images por Pixabay
Objetivos
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 Reconhecer o histórico de desenvolvimento das engrenagens;
 Explicar o princípio de ação conjugada e sua relação com a
transmissão de potência em engrenagens;
 Saber identificar os parâmetros geométricos de engrenagens
cilíndricas de dentes retos (ECDR);
 Entender o fenômeno de interferência e meios de se evitá-lo;
https://dictionary.cambridge.org/
pl/dictionary/english/check
Breve Histórico
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Leonardo DaVinci mostra muitos
arranjos de engrenagens em seus 
desenhos. As primeiras engrenagens 
eram provavelmente feitas cruamente 
de madeira e outros materiais fáceis 
de serem trabalhados, com seus 
dentes sendo meramente uns 
pedaços de madeira inseridos em
um disco ou roda.
https://images.theconversation.com/files/271756/original/file-20190430-136787-ya3mct.jpg?ixlib=rb-
1.1.0&q=45&auto=format&w=1200&h=1200.0&fit=crop. Acesso em 26/08/2020
https://images.theconversation.com/files/271756/original/file-20190430-136787-ya3mct.jpg?ixlib=rb-1.1.0&q=45&auto=format&w=1200&h=1200.0&fit=crop
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https://www.youtube.com/watch?v=JOLtS4VUcvQ
Veja como eram feitas as transmissões nos 
primórdios e o desenvolvimento do conceito 
de engrenagens
https://www.youtube.com/watch?v=JOLtS4VUcvQ
Breve Histórico
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Foi apenas na revolução industrial que as máquinas demandaram, e que
as técnicas de manufatura permitiram, a criação de engrenagens como
agora as conhecemos, com dentes especialmente moldados ou cortados
em um disco de metal.
http://www.escyt.org/?p=3156
https://hackaday.com/2018/03/16/mechanisms-gears/
Engrenagens de teares 
2ª Rev. Ind.
Mecanismo Tourbillion de relógio 
mecânico
Breve Histórico
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• As engrenagens, hoje em dia, são altamente padronizadas com relação
à forma do dente e ao tamanho.
• A American Gear Manufacturers Association (AGMA) apoia a pesquisa
sobre o projeto, os materiais e a manufatura de engrenagens e publica
padrões para seu projeto, manufatura e montagem.
• Existe também a norma ISO, em um conjunto que trata da geometria e
condições de carga de cada tipo de engrenagem
Breve Histórico
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ISO 21771 - Gears — Cylindrical involute gears and gear pairs — Concepts and 
geometry
ISO 6331 - Calculation of load capacity of spur and helical gears. Part 1:
Basic principles, introduction and general influence factors
ISO 6331 - Calculation of load capacity of spur and helical gears. Part 2:
Calculation of surface durability (pitting)
ISO 6331 - Calculation of load capacity of spur and helical gears. Part 3:
Calculation of tooth bending strength
ISO 6331 - Calculation of load capacity of spur and helical gears. Part 4: 
Calculation of tooth flank fracture load capacity
Breve Histórico
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ISO 6331 - Calculation of load capacity of spur and helical gears. Part 5:
Strength and quality of materials
ISO 6331 - Calculation of load capacity of spur and helical gears. Part 6:
Calculation of service life under variable load
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Engrenagens são usadas para 
transmitir:
https://www.tec-science.com/mechanical-power-transmission/gear-types/cylindrical-gears/. Acesso em 26/08/2020
TORQUE 
ROTAÇÃO 
(VELOCIDADE 
ANGULAR)
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 A maioria das máquinas podem ser resumidas a
Representando máquinas
Motor 
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n
ad
a
Dada rotação e um 
dado torque de 
catálogo
Precisa de 
um certo 
torque e 
uma certa 
rotação
STP
(Sistema de 
Transmissão 
de 
Potência)
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http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://i.s8.com.br/images/fashion/cover/img2/1643932_5.jpg&imgrefurl=http://www.submarino.com.br/produto/31/1643932/calca%2Bjeans%2Bmasculina%2Bevandro&h=350&w=300&sz=11&tbnid=IVNZyZ1I9eARMM:&tbnh=243&tbnw=208&prev=/images?q%3Dcal%C3%A7as%2Bjeans%2Bmasculina%2Bfotos&zoom=1&q=cal%C3%A7as+jeans+masculina+fotos&hl=pt-BR&usg=__yJvdmemJ4wL2n0CMwGuQI4JBLaw=&sa=X&ei=515eTb2pKYWctwe9oOS8DA&ved=0CCIQ9QEwAA
http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://i.s8.com.br/images/fashion/cover/img2/1643932_5.jpg&imgrefurl=http://www.submarino.com.br/produto/31/1643932/calca%2Bjeans%2Bmasculina%2Bevandro&h=350&w=300&sz=11&tbnid=IVNZyZ1I9eARMM:&tbnh=243&tbnw=208&prev=/images?q%3Dcal%C3%A7as%2Bjeans%2Bmasculina%2Bfotos&zoom=1&q=cal%C3%A7as+jeans+masculina+fotos&hl=pt-BR&usg=__yJvdmemJ4wL2n0CMwGuQI4JBLaw=&sa=X&ei=515eTb2pKYWctwe9oOS8DA&ved=0CCIQ9QEwAA
 Grande parte dos STP são constituídos por 
engrenagens
Representando máquinas
STP
(Sistema de Transmissão de 
Potência)
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https://grabcad.com/library/gearbox-265. Acesso em 20/08/2020
http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://i.s8.com.br/images/fashion/cover/img2/1643932_5.jpg&imgrefurl=http://www.submarino.com.br/produto/31/1643932/calca%2Bjeans%2Bmasculina%2Bevandro&h=350&w=300&sz=11&tbnid=IVNZyZ1I9eARMM:&tbnh=243&tbnw=208&prev=/images?q%3Dcal%C3%A7as%2Bjeans%2Bmasculina%2Bfotos&zoom=1&q=cal%C3%A7as+jeans+masculina+fotos&hl=pt-BR&usg=__yJvdmemJ4wL2n0CMwGuQI4JBLaw=&sa=X&ei=515eTb2pKYWctwe9oOS8DA&ved=0CCIQ9QEwAA
http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://i.s8.com.br/images/fashion/cover/img2/1643932_5.jpg&imgrefurl=http://www.submarino.com.br/produto/31/1643932/calca%2Bjeans%2Bmasculina%2Bevandro&h=350&w=300&sz=11&tbnid=IVNZyZ1I9eARMM:&tbnh=243&tbnw=208&prev=/images?q%3Dcal%C3%A7as%2Bjeans%2Bmasculina%2Bfotos&zoom=1&q=cal%C3%A7as+jeans+masculina+fotos&hl=pt-BR&usg=__yJvdmemJ4wL2n0CMwGuQI4JBLaw=&sa=X&ei=515eTb2pKYWctwe9oOS8DA&ved=0CCIQ9QEwAA
https://grabcad.com/library/gearbox-265
Engrenagens 
cilíndricas de 
dentes retos
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https://www.solucoesindustriais.com.br/images/produtos/imagens_10107/p_engre
nagens-industriais-18.jpg. Acesso em 26/08/2020
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Veja que o contato entre dentes se dá ao 
longo de toda a largura de uma única vez
https://www.tec-science.com/mechanical-power-transmission/gear-types/spur-gears-straight-cut-gears/. Acesso em 08/06/2021
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http://www.escyt.org/?p=3156
Engrenagens cilíndricas de 
dentes helicoidais (espirais)
Mão de hélice a direita Mão de hélice a esquerda
https://www.tec-science.com/mechanical-power-transmission/gear-
types/cylindrical-gears/. Acesso em 26/08/2020
https://www.tec-science.com/mechanical-power-transmission/gear-types/cylindrical-gears/
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http://www.escyt.org/?p=3156
Engrenagens cônicas 
de dentes retos
https://img.directindustry.com/pt/images_di/photo-g/101389-6042369.jpg. Acesso 
em 26/08/2020
https://img.directindustry.com/pt/images_di/photo-g/101389-6042369.jpg
Tipos de engrenagens
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http://www.escyt.org/?p=3156
http://www.orteip.com.br/engrenagem-cilindrica-dentes-retos
SEM FIM COROA
https://grabcad.com/library/zi-involute-enveloping-worm-1. Acesso em 26/08/2020
https://grabcad.com/library/zi-involute-enveloping-worm-1
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http://www.escyt.org/?p=3156
http://www.orteip.com.br/engrenagem-cilindrica-dentes-retos
CREMALHEIRAS
Transformar movimento rotativo em linear
https://www.tec-science.com/mechanical-power-transmission/gear-types/cylindrical-gears/. Acesso em 26/08/2020
 Os flancos das 
cremalheiras possuem 
perfis retos. Porém não 
deixam de apresentar 
ação conjugada
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Introdução
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• A transmissão de potencia pode ser tanto em condições
externas como internas
Rodas de atrito/engrenagens externas
Rodas de atrito/engrenagens internas
(NORTON, 2013)
Se tivermos a necessidade de 
alta transmissão de torque pode 
ocorrer deslizamento em discos 
de atrito
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Se tivermos a necessidade de alta transmissão de 
torque pode ocorrer deslizamento em discos de 
atrito
https://www.tec-science.com/mechanical-power-transmission/gear-types/cylindrical-gears/. Acesso em 26/08/2020
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Engrenagens internas
 Menor distância entre 
centros com a mesma 
relação de transmissão
 Mesmo sentido de 
rotação entre pinhão e 
engrenagem
https://www.tec-science.com/mechanical-power-transmission/gear-types/cylindrical-gears/. Acesso em 26/08/2020
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Engrenagens internas
 A forma do dente da 
engrenagem é 
convexa
 A forma do dente da 
engrenagem anel é 
côncava 
 Menores tensões de 
contato
 Maior custo de 
fabricação
https://www.tec-science.com/mechanical-power-
transmission/gear-types/cylindrical-gears/. Acesso em 
26/08/2020
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Introdução
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• Engrenagens cilíndricas de dentes retos possuem
dentes paralelos ao eixo de rotação os quais transmitem
potência exclusivamente entre eixos paralelos (para
este tipo de engrenagem)
A menor 
engrenagem 
chamamos de 
pinhão
A maior 
engrenagem 
chamamos 
engrenagem 
ou coroa
Introdução
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• Engrenagens cilíndricas de dentes retos possuem
dentes paralelos ao eixo de rotação os quais transmitem
potência exclusivamente entre eixos paralelos (para
este tipo de engrenagem)
https://www.tec-science.com/mechanical-power-transmission/gear-types/cylindrical-gears/. Acesso em 26/08/2020
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Características construtivas da engrenagem
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 Com o objetivo de se aumentar o atrito entre os cilindros, fez-se
necessária a utilização de dentes que possibilitam uma transmissão
mais eficiente e com maior torque. Nasce assim a engrenagem.
 Grande parte do estudo da engrenagem estará concentrado no
estudo de seus dentes, iguais em uma mesma engrenagem,
relativo à sua geometria e resistência.
(Nisbett & Budynas, 2016), p. 658. 
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Características construtivas da engrenagem
(Nisbett & Budynas, 2016), p. 658. 
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Características construtivas da engrenagem
• O passo circular (p) é a distância, medida no círculo primitivo, do
ponto de um dente ao mesmo ponto do dente adjacente. Assim ele é a
soma da espessura do dente com a largura de espaçamento.
• O MÓDULO (m) é a razão entre o valor do diâmetro primitivo e o número
de dentes (Z). Toda a engrenagem é padronizada pelo valor do
módulo.
• Por isso o módulo pode ser dito como o número
característico da engrenagem (unidade SI: mm)
(Nisbett & Budynas, 2016), p. 658. 
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• Relações fundamentais:
Características construtivas da engrenagem
FUNDAÇÃO ROBERTO MARINHO,1996
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Características construtivas da engrenagem
• O Passo diametral (diametral pitch) (P) é a razão entre número de
dentes (Z) e o diâmetro primitivo. É o recíproco do módulo (m)
• O sistema diametral pitch é utilizado no sistema
americano, por isso expressamos seu valor em
dentes/polegada
(Nisbett & Budynas, 2016), p. 658. 
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• Relações fundamentais:
Características construtivas da engrenagem
Fonte: Disponível em Norton, 
Robert L., 2013
Influência do valor do 
passo diametral em 
relação às proporções 
dos dentes das 
engrenagem
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Características construtivas da engrenagem
• O adendo (ha) é a distância radial do circulo primitivo ao topo do dente.
• O dedendo (hf) é a distância radial do fundo do dente ao círculo primitivo.
• O círculo de folga é um círculo tangente ao círculo de adendo da
engrenagem par. A folga c é a quantidade pela qual o dedendo em uma
dada engrenagem excede o adendo da engrenagem par
(Nisbett & Budynas, 2016), p. 658. 
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• Relações fundamentais:
𝑃 =
𝑍
𝑑𝑝
m =
𝑑𝑝
𝑍
=
1
𝑃
𝑝 =
𝜋𝑑𝑝
𝑍
= 𝜋 ×𝑚 = 𝜋 ×
1
𝑃
𝑝𝑃 = 𝜋
P: Passo diametral [dentes/polegada] m: módulo [mm]
Z: número de dentes. Pode ser usado também (N)p: Passo circular [mm]
Características construtivas da engrenagem
(Nisbett & Budynas, 2016), p. 658. 
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Se o passo diametral (P) = 30 (dentes/polegada) calcule:
a) O módulo da engrenagem em milimetros;
b) O passo circular em milimetros;
c) O diâmetro primitivo, em milímetros, dessa engrenagem se Z=20 dentes
Exemplo
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https://s2.glbimg.com/hkWqKELhkG5rDCHxhMwMupoJtP0=/620x408/s.glbimg.com/po/tt/f/original/2012/03/29/apr
esentacao-em-powerpoint.jpg. Acesso em 30/07/2020
As equações 
fundamentais que 
relacionam essa 
nomenclatura
Nomenclatura dos dentes 
de engrenagens (ECDR)
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BIBLIOGRAFIA
• Budynas, Richard G. Elementos de máquinas de Shigley, 2016
• Apostila: Fundamentos para o projeto de componentes de máquinas.
Autor: Prof. Dr. Perrin Smith Neto
• Norton, Robert L. Projeto de máquinas [recurso eletrônico] : uma 
abordagem integrada / Robert L. Norton ; [tradução: Konstantinos 
Dimitriou Stavropoulos ... et al.]. – 4. ed. –
• Da Silva, Hélio Antônio. – Apostila de Elementos de Máquinas; Une-
Araxá 2017
• FUNDAÇÃO ROBERTO MARINHO; FIESP - FEDERAÇÃO DAS 
INDÚSTRIAS DO ESTADO DE SÃO PAULO; SCARAMBONI, 
Antonio. Telecurso 2000: curso profissionalizante : mecânica : elementos de 
máquinas : volume 2. Rio de Janeiro: Globo, 1996. v. 2, il. (Telecurso 2000 
profissionalizante). Inclui bibliografia. ISBN 8525016217 (v.2) (broch.).
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Engrenagens
https://www.tec-science.com/mechanical-power-transmission/gear-types/cylindrical-gears/. Acesso em 26/08/2020
Perfil evolvental e a 
transmissão de movimento 
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TODOS OS DIREITOS PROTEGIDOS. Nos 
termos da Lei nº 9.610, de 19 de fevereiro de 
1998. 
É proibida a reprodução total, parcial, de 
qualquer forma ou por qualquer meio, à 
exceção de exibição para estudo por parte dos 
alunos(as) autorizados pelo autor.
Imagem de Clker-Free-Vector Images por Pixabay
Objetivos da unidade
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 Compreender o princípio da ação conjugada
 Como ele é conseguido
 Como ele influencia no funcionamento das
engrenagens
https://dictionary.cambridge.org/
pl/dictionary/english/check
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Lei Fundamental do 
Engrenamento
“A razão de velocidade
angular das engrenagens de um par de 
engrenagens deve manter-se constante
durante o engrenamento”.
Qualquer variação na razão se mostrará 
como oscilação na velocidade de
saída e torque, mesmo se a entrada for 
constante com o tempo.
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Lei Fundamental do 
engrenamento
“A razão de velocidade
angular das engrenagens de um par de 
engrenagens deve manter-se constante
durante o engrenamento”.
Paragarantir esse efeito, a curva do 
dente (o formato do dente) não 
pode ser qualquer
Deve haver ação conjugada !!!
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• Ação Conjugada: quando os perfis dos dentes são projetados para
produzir uma razão de velocidades constante (Rolamento puro
idealmente)
Linha a-b: Linha de 
contato ou normal 
comum (Linha de ação)
Ponto P: Ponto 
primitivo
As forças em qualquer 
instante têm a direção 
da normal comum !!
rb e ra: raios 
primitivos
Características construtivas da engrenagem
(Nisbett & Budynas, 2016), p. 659. 
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Ponto P: Ponto 
primitivo
rb e ra: raios 
primitivos
Os círculos primitivos são tangentes entre si, portanto:
𝑉𝑝 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝜔𝑎𝑟𝑎 = 𝜔𝑏𝑟𝑏 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝜔𝑏
𝜔𝑎
=
𝑟𝑎
𝑟𝑏
A razão de velocidade angular entre os
Dois braços é inversamente proporcional aos raios
 Se o ponto ‘P’ permanece constante, a razão de 
velocidades permanece constante
Pequenas variações de distância entre centros 
não altera a razão de velocidades
Características construtivas da engrenagem
(Nisbett & Budynas, 2016), p. 659. 
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Características construtivas da engrenagem
Para transmitir movimento numa 
razão de velocidade constante, o 
ponto primitivo deve permanecer 
fixo !!! 
Todas as linhas de ação, para cada 
ponto instantâneo de contato, 
devem passar pelo mesmo ponto 
P.
O PERFIL EVOLVENTAL será o 
responsável por garantir tal condição 
nas engrenagens
(Nisbett & Budynas, 2016), p. 659. 
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• Ação Conjugada: quando os perfis dos dentes são projetados para
produzir uma razão de velocidades constante
Características construtivas da engrenagem
O perfil evolvental será o 
responsável por garantir tal condição 
nas engrenagens
Como gerar esse perfil? Como ele é?
O cilindro sobre o qual a involuta
(evolvente) é gerada é chamado
circulo de base
(Nisbett & Budynas, 2016), p. 660. 
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A Evolvente é gerada rolando uma curva 
sobre outra
https://www.tec-science.com/mechanical-power-
transmission/involute-gear/geometry-of-involute-gears/. 
Acesso em 26/08/2020
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O perfil do dente evolvental é gerado pelo 
espelhamento das curvas
https://www.tec-science.com/mechanical-power-
transmission/involute-gear/geometry-of-involute-gears/. 
Acesso em 26/08/2020
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Características construtivas da engrenagem
https://www.tec-science.com/mechanical-power-transmission/gear-types/cylindrical-gears/. Acesso em 26/08/2020
 Temos agora, idealmente, perfis de dentes que permitem o
rolamento puro entre os dentes.
 Substituição das 
superfícies de atrito por 
dentes COM AÇÃO 
CONJUGADA !!!
https:///
https:///
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Características construtivas da engrenagem
https://www.tec-science.com/mechanical-power-transmission/involute-
gear/meshing-line-action-contact-pitch-circle-law/. Acesso em 26/08/2020
 Devido ao perfil evolvental, o contato ocorre sempre sobre a
mesma linha. Veja !!
C
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Características construtivas da engrenagem
 Essa linha em que ocorre
o contato chamado de
LINHA DE PRESSÃO
(Nisbett & Budynas, 2016), p. 664. 
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Características construtivas da engrenagem
 O ângulo formado
entre a linha de ação e
a linha tangente ao
circulo primitivo é
chamado ÂNGULO DE
PRESSÃO
(Nisbett & Budynas, 2016), p. 664. 
α
Valores usuais de 
ângulo de 
pressão (α):
α = 14°30’ ; α = 
15° ; α = 17°30’ 
α = 20°
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Ponto P: Ponto 
primitivo
rb e ra: raios 
primitivos
Os círculos primitivos são tangentes entre si, portanto:
𝑉𝑝 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝜔𝑎𝑟𝑎 = 𝜔𝑏𝑟𝑏 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝜔𝑏
𝜔𝑎
=
𝑟𝑎
𝑟𝑏
A razão de velocidade angular entre os
Dois braços é inversamente proporcional aos raios
 Se o ponto ‘P’ permanece constante, a razão de 
velocidades permanece constante
Pequenas variações de distância entre centros 
não altera a razão de velocidades
Características construtivas da engrenagem
(Nisbett & Budynas, 2016), p. 659. 
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 Se o ponto ‘P’ permanece constante, a razão de 
velocidades permanece constante
Características construtivas da engrenagem
https://www.tec-science.com/mechanical-power-transmission/involute-
gear/meshing-line-action-contact-pitch-circle-law/. Acesso em 26/08/2020
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 A Razão de velocidades (relação de transmissão) permanecerá constante 
mesmo com pequenas variações na distância entre centros 
Características construtivas da engrenagem
https://www.tec-science.com/mechanical-power-transmission/involute-
gear/meshing-line-action-contact-pitch-circle-law/. Acesso em 26/08/2020
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Características construtivas da engrenagem
Devido à característica do perfil evolvental, variações na distância entre 
centros NÃO afetarão a relação de velocidade
Fonte: Disponível em Norton, 
Robert L., 2013
α
α
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Lei Fundamental do 
Engrenamento
“A razão de velocidade
angular das engrenagens de um par de 
engrenagens deve manter-se constante
durante o engrenamento”.
Qualquer variação na razão se mostrará 
como oscilação na velocidade de
saída e torque, mesmo se a entrada for 
constante com o tempo.
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https://s2.glbimg.com/hkWqKELhkG5rDCHxhMwMupoJtP0=/620x408/s.glbimg.com/po/tt/f/original/2012/03/29/apr
esentacao-em-powerpoint.jpg. Acesso em 30/07/2020
Como é conseguida a 
relação de transmissão 
constante nas 
engrenagens
O que é ação conjugada
Pequenas variações na 
distância entre centros 
NÃO afetam a relação de 
transmissão
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BIBLIOGRAFIA
• Budynas, Richard G. Elementos de máquinas de Shigley, 2016
• Apostila: Fundamentos para o projeto de componentes de máquinas.
Autor: Prof. Dr. Perrin Smith Neto
• Norton, Robert L. Projeto de máquinas [recurso eletrônico] : uma 
abordagem integrada / Robert L. Norton ; [tradução: Konstantinos 
Dimitriou Stavropoulos ... et al.]. – 4. ed. –
• Da Silva, Hélio Antônio. – Apostila de Elementos de Máquinas; Une-
Araxá 2017
• STIPKOVIC FILHO, Marco. Engrenagens: geometria, dimensionamento, 
controle, geração. São Paulo: McGraw-Hill, c1973. 138 p., il. ISBN (Broch.).
• FUNDAÇÃO ROBERTO MARINHO; FIESP - FEDERAÇÃO DAS INDÚSTRIAS DO ESTADO DE SÃO 
PAULO; SCARAMBONI, Antonio. Telecurso 2000: curso profissionalizante : mecânica : elementos de 
máquinas : volume 2. Rio de Janeiro: Globo, 1996. v. 2, il. (Telecurso 2000 profissionalizante). Inclui 
bibliografia. ISBN 8525016217 (v.2) (broch.).
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Engrenagens
https://www.tec-science.com/mechanical-power-transmission/gear-types/cylindrical-gears/. Acesso em 26/08/2020
Interferência
Cálculo de elementos 
geométricos da engrenagem
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Objetivos da unidade
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 Compreender o que é o fenômeno de interferência
que ocorre em engrenagens;
 Apontar formas distintas de se evitar a ocorrência
da interferência em engrenamento;
 Calcular número mínimo de dentes do pinhão
para evitar interferência
 Calcular os elementos geométricos básicos da
ECDR
https://dictionary.cambridge.org/
pl/dictionary/english/check
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 Vimos que o perfil do dente é evolvental acima do circulo de base 
apenas !!!!
Interferência
https://www.tec-science.com/mechanical-power-transmission/involute-
gear/meshing-line-action-contact-pitch-circle-law/. Acesso em 26/08/2020
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• Ação Conjugada: quando os perfisdos dentes são projetados para
produzir uma razão de velocidades constante
Interferência
O ponto de contato 
caminha sobre a linha de 
ação !!!
NOTE QUE TODO O 
CONTATO ACONTECE 
ACIMA DO CÍRCULO DE 
BASE DAS ENGRENAGENS 
!!!
Se o contato ocorrer abaixo 
ter-se-á o fenômeno da 
interferência pois os perfis só 
são evolventais acima do 
círculo de base(Nisbett & Budynas, 2016), p. 664. 
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• Ação Conjugada: quando os perfis dos dentes são projetados para
produzir uma razão de velocidades constante
Interferência
Se o contato ocorrer abaixo do circulo de base ter-se-á o 
fenômeno da interferência pois os perfis só são evolventais
acima do círculo de base
Fonte: Norton, 2013
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• Ação Conjugada: quando os perfis dos dentes são projetados para
produzir uma razão de velocidades constante
Interferência
Os pontos de 
tangencia da linha 
de pressão com os 
círculos de Base são 
C e D.
O contato (A e B) 
estão fora desse 
intervalo
Interferência
(Nisbett & Budynas, 2016), p. 668. 
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Interferência
Interferência
Engrenagens 
que sofreram 
interferência
Engrenagem sem 
interferência
https://www.tec-science.com/mechanical-power-transmission/involute-gear/undercut/. Acesso em 27/08/2020
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Interferência
Engrenagem sem 
interferência
 Se esse fenômeno está presente e usamos um processo de geração, a
parte interferente é retirada, podendo causar enfraquecimento do dente.
https://www.tec-science.com/mechanical-power-transmission/involute-gear/undercut/. Acesso em 27/08/2020
ADELGAÇAMENTO 
OU UNDERCUT
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Interferência
Engrenagem sem 
interferência
 Se esse fenômeno está presente e usamos um processo de geração, a
parte interferente é retirada, podendo causar enfraquecimento do dente.
Alguns processos de fabricação que geram o 
adelgaçamento na engrenagem 
Fresa caracol (Renânia)
https://docplayer.com.br/docs-
images/62/47528851/images/26-0.jpg. Acesso 
em 27/08/2020
https://www.tec-science.com/mechanical-power-transmission/involute-gear/gear-cutting/. Acesso em 27/08/2020
https://www.tec-science.com/mechanical-power-transmission/involute-gear/gear-cutting/. Acesso em 27/08/2020
Processo Fellows
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Interferência
 A engrenagem que sofreu adelgaçamento se acopla (engrena) numa
outra que não sofreu adelgaçamento !!!
https://www.tec-science.com/mechanical-power-transmission/involute-gear/undercut/. Acesso em 27/08/2020
https://www.tec-science.com/mechanical-power-transmission/involute-gear/undercut/. Acesso em 27/08/2020
Caso a engrenagem menor não 
tivesse sofrido o adelgaçamento 
haveria uma interferência no 
engrenamento
Leis do engrenamento
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Para que duas engrenagens se engrenem
corretamente, elas devem ter:
1) O mesmo passo, logo também o mesmo módulo;
2) O mesmo ângulo de pressão e perfis conjugados;
3) Não deve haver interferência (montagem, 
funcionamento). 
Imagem de Clker-Free-Vector Images por Pixabay
Interferência
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• Formas de se evitar interferência:
• 1 - Quando os dentes de uma engrenagem são fabricados por processo
de geração, a interferência dos dentes é automaticamente eliminada
porque a ferramenta de usinagem remove as regiões que poderiam ter
interferência, este efeito é visto na parte hachura da do desenho abaixo e
é denominado de adelgaçamento e quando pronunciado o dente ficará
consideravelmente enfraquecido.
https://www.tec-science.com/mechanical-power-transmission/involute-gear/undercut/. Acesso em 27/08/2020
(NORTON, 2013)
Interferência
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2 - Aumentar o valor do ângulo de pressão também fará diminuir o
problema de interferência. Um ângulo de pressão muito grande decrescerá
o diâmetro base e então aumentará a parte evolvente do perfil do dente.
A desvantagem deste método é que o comprimento ativo do contato é
reduzido, o que conduzirá a uma grosseira e barulhenta operação de
engrenagem.
(NORTON, 2013)
α α α
Interferência
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• Formas de se evitar interferência:
3 - Um outro método comumente empregado é o de cortar os dentes da
engrenagem com desiguais cabeças e bases, chamadas engrenagens STUB.
4 - Aumentando a cabeça do dente do pinhão enquanto sua base é
diminuída. A outra engrenagem em contato terá, então, sua cabeça
diminuída enquanto sua base é aumentada. O resultado deste procedimento
é o aumento do comprimento da linha de ação pelo qual a ação evolvente é
conseguida. Engrenagens deste tipo são denominadas engrenagens
corrigidas de cabeça longa e curta.
A porcentagem de deslizamento 
entre os dentes é então maior que 
com dentes de adendos iguais. Isso 
aumenta as tensões na superfície do 
dente, As perdas por atrito no 
engrenamento são também 
aumentadas pelas velocidades 
maiores de deslizamento.
(NORTON, 2013)
Interferência
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• Formas de se evitar interferência: Calcular o número mínimo de dentes.
Zmin: número mínimo de dentes no pinhão
α: ângulo de pressão
m: RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO
K=1 para dentes de altura completa
K=0,8 para dentes com altura corrigida
ECDR: Se a engrenagem par possui um número de dentes maior que o 
Pinhão.
(SHIGLEY, 2016)
α
αZmin
Interferência
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• Formas de se evitar interferência:
Zmin: número mínimo de dentes no pinhão
α: ângulo de pressão
K=1 para dentes de altura completa
K=0,8 para dentes com altura corrigida
ECDR: O menor pinhão cilíndrico de dentes retos que operará com uma 
cremalheira sem interferência é:
(SHIGLEY, 2016)
α
Zmin
Essa equação usamos para ter uma 
estimativa prévia caso não tenhamos 
ainda o valor da relação de transmissão 
Interferência
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• Formas de se evitar interferência:
Interferência
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• Formas de se evitar interferência:
Exercícios: 
1 – Um par de engrenagens ECDR apresenta relação de transmissão 4. O ângulo
de pressão da coroa é 20°. Qual deve ser o número de dentes da coroa e do 
pinhão para que não ocorra interferência ? Obs.: os dentes tem altura completa
2 – Qual o número mínimo de dentes de um pinhão que engraza com uma 
cremalheira de ângulo de pressão 20°?
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Engrenagens
https://www.tec-science.com/mechanical-power-transmission/gear-types/cylindrical-gears/. Acesso em 26/08/2020
Cálculo da geometria da ECDR
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Objetivos da unidade
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 Calcular os parâmetros geométricos da ECDR’s
o Adendo
o Dedendo
o Diâmetro externo
o Diâmetro Interno
o Largura de face
o Distância entre centros
o Espessura do dente
o Folga
o Raio de adoçamento
o Razão de contato
https://dictionary.cambridge.org/
pl/dictionary/english/check
Características construtivas da 
engrenagem
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Altura total do dente (h):
ℎ = ℎ𝑎 + ℎ𝑓
ℎ𝑎 = 𝑘1 ×𝑚
ℎ𝑓 = 𝑘2 ×𝑚
k1 = 1,0não corrigida
ha = k1.m 
 k1 =0,8corrigida
 k2 = 1,167 ABNT
hf = k2.m 
 k2 = 1,157 DIN
ℎ = 𝑚[𝑘1 + 𝑘2]
Lembre-se na literatura poderá encontrar 
o adendo = h1 ou a
Lembre-se na literatura poderá encontrar 
o dedendo = h2 ou b
ha = a = 1 x m
hf = b = 1,25 x m
ha
hf
Elementos Componentes
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Distância entre centros (C):
𝐶 =
𝑑𝑝1
2
+
𝑑𝑝2
2
=
𝑚 × 𝑍1
2
+
𝑚 × 𝑍2
2
=
𝐶 =
𝑚
2
𝑍1 + 𝑍2
C
rp1
rp2
www.geargenerator.com. Acesso em 27/08/2020
Elementos Componentes
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Diâmetro externo (da):
𝑑𝑎 = 𝑑𝑝 + 2ℎ𝑎 = 𝑚 ∗ 𝑍 + 2[𝑘1 × 𝑚]
Diâmetro interno (df):
𝑑𝑓= 𝑑𝑝 − 2ℎ𝑓 = 𝑚 ∗ 𝑍 − 2[𝑘2 ×𝑚]
d
a
d
f
Elementos Componentes
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Comprimento do dente ou largura de face (b)
𝑏 = 𝑘 ×𝑚
6  k  14  caixa de marcha
8  k  12  motor comum ou pequena potência (até 10 cv)
20  k  40  grande potência (igual ou acima de 20 cv)
Espessura do dente (e)
b
(Nisbett & Budynas, 2016), p. 658. 
b
Elementos Componentes
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Folga de fundo (f)
𝑓 = 𝑘2 − 𝑘1 ×𝑚 = 0,25 × 𝑚
Raio de adoçamento (r)
𝑟 = 0,3 × 𝑚
Razão de contato (𝑚𝑐)
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104
A razão de contato 
informa a quantidade 
média de dentes em 
contato em qualquer 
momento
𝑚𝑐 =
𝐿𝑎𝑏
𝑝 cos 𝛼
=
𝐿𝑎𝑏
𝜋 𝑚 cos 𝛼
Se a razão de contato for 1, então um dente 
estará deixando o contato justamente quando 
o próximo está entrando em contato. Isso é 
indesejável, porque um pequeno erro no vão 
do dente causará oscilações na velocidade, 
vibração e barulho.
Razão de contato
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105
A razão de contato informa 
a quantidade média de 
dentes em contato em 
qualquer momento
Mínimo aceitável: 1,2
Preferível : 1,4 até 2
𝑚𝑐 =
𝐿𝑎𝑏
𝑝 cos 𝛼
=
𝐿𝑎𝑏
𝜋 𝑚 cos 𝛼
mc informa o grau de suavidade da 
transmissão
Razão de contato
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𝑚𝑐 =
𝐿𝑎𝑏
𝑝 cos 𝛼
=
𝐿𝑎𝑏
𝜋 𝑚 cos 𝛼
Método gráfico
𝑚𝑐 = 𝜖1 + 𝜖2
Gráfico válido para ângulo de pressão 20º
EX.: Determine a razão de
contato para um engrenamento
com pinhão de 20 dentes e
relação de transmissão 4.
Fonte: STIPKOVIC FILHO, 1975
Elementos Componentes
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109
Exercício:
1) Determinar as dimensões principais (dp ; da ; df ; b, f, r, espessura de
dente e passo) de uma engrenagem cilíndrica de dentes retos em
que: Z1 = 17 dentes; m = 4 mm ; k = 8 ; α = 200 ; não corrigida;
seguindo a ISO e AGMA. Calcule também a razão de contato desse
engrenamento se tivermos uma coroa de 35 dentes. Ela é ideal?
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https://s2.glbimg.com/hkWqKELhkG5rDCHxhMwMupoJtP0=/620x408/s.glbimg.com/po/tt/f/original/2012/03/29/apr
esentacao-em-powerpoint.jpg. Acesso em 30/07/2020
Os parâmetros 
geométricos da ECDR
A forma de cálculo pra 
cada um
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BIBLIOGRAFIA
• Budynas, Richard G. Elementos de máquinas de Shigley, 2016
• Apostila: Fundamentos para o projeto de componentes de máquinas.
Autor: Prof. Dr. Perrin Smith Neto
• Norton, Robert L. Projeto de máquinas [recurso eletrônico] : uma 
abordagem integrada / Robert L. Norton ; [tradução: Konstantinos 
Dimitriou Stavropoulos ... et al.]. – 4. ed. –
• Da Silva, Hélio Antônio. – Apostila de Elementos de Máquinas; Une-
Araxá 2017
• STIPKOVIC FILHO, Marco. Engrenagens: geometria, dimensionamento, 
controle, geração. São Paulo: McGraw-Hill, c1973. 138 p., il. ISBN (Broch.).
• FUNDAÇÃO ROBERTO MARINHO; FIESP - FEDERAÇÃO DAS INDÚSTRIAS DO ESTADO DE SÃO 
PAULO; SCARAMBONI, Antonio. Telecurso 2000: curso profissionalizante : mecânica : elementos de 
máquinas : volume 2. Rio de Janeiro: Globo, 1996. v. 2, il. (Telecurso 2000 profissionalizante). Inclui 
bibliografia. ISBN 8525016217 (v.2) (broch.).
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112
Engrenagens
https://www.tec-science.com/mechanical-power-transmission/gear-types/cylindrical-gears/. Acesso em 26/08/2020
Relação de Transmissão
Eficiência de transmissão
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Objetivos da unidade
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 Calcular relação de transmissão em trem simples e composto de
engrenagens
https://dictionary.cambridge.org/
pl/dictionary/english/check
Estudo cinemático
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114
 Análise cinemática para relação entre rotações e
raios
𝐴 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑡𝑜 é 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑎𝑗𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙í𝑏𝑟𝑖𝑜
𝐹𝑡1 = 𝐹𝑡2
𝐹𝑡1 =
𝑇1
𝑅1
𝑖 =
𝑤1
𝑤2
=
𝑅2
𝑅1
=
𝐷2
𝐷1
=
𝑇2
𝑇1
i: relação de 
transmissão !!
Tangente
T1 ω1
T2 ω2
R1
R2
Ft
𝐹𝑡2 =
𝑇2
𝑅2
Estudo cinemático
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115
 Análise cinemática para relação entre rotações e
raios
𝐴 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑡𝑜 é 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑎𝑗𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙í𝑏𝑟𝑖𝑜
𝑖 =
𝑤1
𝑤2
=
𝑅2
𝑅1
=
𝐷2
𝐷1
=
𝑇2
𝑇1
i: relação de 
transmissão nas 
engrenagens está 
relacionada, 
também, com o nº 
de dentes (Z)
Tangente
T1 ω1
T2 ω2
R1
R2
Ft
Estudo cinemático
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116
 Veja. Observe que a engrenagem motora (20
dentes) da duas revoluções completas até que a
movida de 40 dentes completa uma revolução !!
𝑖 =
𝑤1
𝑤2
=
𝑅2
𝑅1
=
𝑍2
𝑍1
=
𝐷2
𝐷1
=
𝑇2
𝑇1
Gear Generator: 
https://geargenerator.com
Relação de Transmissão (i)
C
EF
ET
-M
G
 C
am
p
u
s 
A
ra
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117
Tangente
T1
ω1
T2
ω2
𝑖 =
𝜔1
𝜔2
=
𝑟𝑜𝑡.𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟𝑎
𝑟𝑜𝑡.𝑚𝑜𝑣𝑖𝑑𝑎
=
𝑟𝑝2
𝑟𝑝1
=
𝑍2(𝑁2)
𝑍1(𝑁1)
=
𝑇2
𝑇1
ECDR
rp1
rp2
Diâm. Primitivos
A velocidade tangencial (V) é a mesma 
para as duas engrenagens
V
𝑉 = 𝜔1 × 𝑟𝑝1 = 𝜔2 × 𝑟𝑝2
𝜔1
𝜔2
=
𝑟𝑝2
𝑟𝑝1
Se rp2=4×rp1 então ω2 será 4 vezes 
menor que ω1 conforme a equação
𝑇2
𝑇1
=
𝑟𝑝2
𝑟𝑝1
𝜔1
𝜔2
=
𝑟𝑝2
𝑟𝑝1
Relação de Transmissão (i)
C
EF
ET
-M
G
 C
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118
Tangente
T1
ω1
T2
ω2
ECDR
rp1
rp2
Diâm. Primitivos
T: Torque
ω: velocidade angular (rotação)
F: força tangencial de contato
𝑇1 = 𝐹 × 𝑟𝑝1 𝑇2 = 𝐹 × 𝑟𝑝2
Mas as forças tangenciais são iguais 
(ação e reação)
𝐹 =
𝑇1
𝑟𝑝1
=
𝑇2
𝑟𝑝2
𝑇2
𝑇1
=
𝑟𝑝2
𝑟𝑝1
Se rp2=4×rp1 então T2 será 4 vezes 
maior que T1 conforme i
F
Se rp2=4×rp1 então ω2 será 4 vezes 
menor que ω1 conforme i
Relação de Transmissão (i)
C
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G
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119
- A relação de velocidades é
também chamada de relação de
redução ou razão de redução
quando ω1  ω2.
Relação de transmissão (i) máxima
para ECDR varia entre 6 e 8
𝑖 =
𝑤1
𝑤2
=
𝑅𝑝2
𝑅𝑝1
=
𝑍2
𝑍1
=
𝐷𝑝2
𝐷𝑝1
=
𝑇2
𝑇1
www.geargenerator.com. Acesso em 27/08/2020
C
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120
Relação de Transmissão (i)
https://www.youtube.com/watch?v=wgIPFvg7-yI
Vídeo explicativo/demonstrativo sobre relação de 
transmissão em engrenagens
Trem simples de engrenagens 
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122
- Transmissão com roda intermediária
Motora MovidaIntermediária
https://technologystudent.com/gears1/gears2.htm. Acesso em 20/08/2020
- A relação entre a rotação de entrada (A) e saída (C), bem como a
relação entre o torque de entrada (TA) e o torque de saída (Tc)
depende apenas:
𝑖 =
𝑤𝐴
𝑤𝐶
=
𝑅𝑝𝐶
𝑅𝑝𝐴
=
𝐷𝑝𝐶
𝐷𝑝𝐴
=
𝑍𝐶
𝑍𝐴
=
𝑇𝐶
𝑇𝐴
https://technologystudent.com/gears1/gears2.htm
Trem simples de engrenagens 
C
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G
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123
- Calcule os parâmetros de saída:
https://grabcad.com/library/gearbox-reducer-5. Acesso em 20/08/2020
Zp=25
Zc=60
Te=1,25 N m
Motor de 1800 RPM
https://grabcad.com/library/gearbox-reducer-5
Relação de Transmissão (i)
C
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125
𝑖 =
𝜔1
𝜔2
=
𝑟𝑜𝑡.𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟𝑎
𝑟𝑜𝑡.𝑚𝑜𝑣𝑖𝑑𝑎
=
𝑟𝑝2
𝑟𝑝1
=
𝑁2
𝑁1
=
𝑇2
𝑇1
- A relação de velocidades é
também chamada de relação de
redução ou razão de redução
quando n1  n2.
Relação de transmissão máxima
para ECDR varia entre 6 e 8. 
Caso seja 
Necessária uma maior relação
de transmissão devemos 
QUEBRAR A RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO!
www.geargenerator.com. Acesso em 27/08/2020
Trem composto de engrenagens 
C
EF
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G
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126
𝑖𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑙𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑠𝑠ã𝑜 intermediárias
i1
i2
𝑖1 =
𝜔1
𝜔2
=
𝑟𝑝2
𝑟𝑝1
=
𝑍2
𝑍1
𝑖2 =
𝜔3
𝜔4
=
𝑟𝑝4
𝑟𝑝3
=
𝑍4
𝑍3
𝜔1
𝜔2
×
𝜔3
𝜔4
=
𝑍2
𝑍1
×
𝑍4
𝑍3
Mas ω2=ω3, então
𝜔1
𝜔4
= 𝑖𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
𝑍2
𝑍1
×
𝑍4
𝑍3
𝜔1
𝜔4
= 𝑖𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙= 𝑖1 × 𝑖2
Trem composto de engrenagens 
C
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128
- Calcule os parâmetros de saída (Torque e rotação):
Z1=25; Z2=45; Z3=25; Z4=65
Motor de 4 polos , 1,5 cv e 
escorregamento de 2,22 % 
https://grabcad.com/library/gearbox-265. Acesso em 20/08/2020
Entrada 1º par 
e do redutor
Saída 2º 
par 
(redutor)
1
2
3
4
https://grabcad.com/library/gearbox-265
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Exercício: 
Máquina 
Acionada
Torque saída medido = 100 N m
1
2
3
4
a) Qual a rotação de saída?
b) Qual a rel. de transmissão total?
c) Qual a rotação do motor?
d) Qual o número de dentes de cada 
engrenagem?
e) Qual a rotação da engrenagem 2?
f) Qual a potência necessária ao motor?
𝑖1º 𝑝𝑎𝑟 = 2
𝑖2º 𝑝𝑎𝑟 =3
Considere as eficiências dos pares 
de engrenagem de 98 %
m = 4
𝑍1 = 20
𝑍3 = 20
Motor 4 polos
Escorregamento = 3 %
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https://s2.glbimg.com/hkWqKELhkG5rDCHxhMwMupoJtP0=/620x408/s.glbimg.com/po/tt/f/original/2012/03/29/apr
esentacao-em-powerpoint.jpg. Acesso em 30/07/2020
Como se calcula a 
relação de transmissão 
em engrenagens
Qual a relação da 
relação de transmissão 
com o número de dentes 
Quebra da relação de 
transmissão total com 
trem compostoCálculo do relação de 
transmissão total
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138
BIBLIOGRAFIA
• Budynas, Richard G. Elementos de máquinas de Shigley, 2016
• Apostila: Fundamentos para o projeto de componentes de máquinas.
Autor: Prof. Dr. Perrin Smith Neto
• Norton, Robert L. Projeto de máquinas [recurso eletrônico] : uma 
abordagem integrada / Robert L. Norton ; [tradução: Konstantinos 
Dimitriou Stavropoulos ... et al.]. – 4. ed. –
• Da Silva, Hélio Antônio. – Apostila de Elementos de Máquinas; Une-
Araxá 2017
• STIPKOVIC FILHO, Marco. Engrenagens: geometria, dimensionamento, 
controle, geração. São Paulo: McGraw-Hill, c1973. 138 p., il. ISBN (Broch.).
• FUNDAÇÃO ROBERTO MARINHO; FIESP - FEDERAÇÃO DAS INDÚSTRIAS DO ESTADO DE SÃO 
PAULO; SCARAMBONI, Antonio. Telecurso 2000: curso profissionalizante : mecânica : elementos de 
máquinas : volume 2. Rio de Janeiro: Globo, 1996. v. 2, il. (Telecurso 2000 profissionalizante). Inclui 
bibliografia. ISBN 8525016217 (v.2) (broch.).
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155
Engrenagens
https://www.tec-science.com/mechanical-power-transmission/gear-types/cylindrical-gears/. Acesso em 26/08/2020
Forças no engrenamento
ECDR
https:///
https:///
Análise de forças ECDR
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• A força se dá ao longo da linha de ação, se decompondo em
força tangencial (Ft) e radial (Fr)
(SHIGLEY, 2016)
α
αα
α
Análise de forças ECDR
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157
• A força se dá ao longo da linha de ação, se decompondo em
força tangencial (Ft) e radial (Fr)
α
𝐹𝑡 = 𝐹 cos 𝛼
𝐹𝑅 = 𝐹 sen𝛼
𝐹 = 𝐹𝑡
2 + 𝐹𝑟
2
F: Força Resultante
Componente 
Tangencial
Componente 
Radial
Resultante
𝐹𝑅 = 𝐹𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝛼
A potência é transmitida pela componente tangencial!!!!
(SHIGLEY, 2016)
𝑃 = 𝑇 × 𝜔 = (𝐹𝑡 × 𝑟𝑝) × 𝜔
α
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158
𝐹𝑡𝐸𝐶𝐷𝑅−1
𝐹𝑟𝐸𝐶𝐷𝑅−1
𝐹𝑡𝐸𝐶𝐷𝐻−2
𝐹𝑎𝐸𝐶𝐷𝐻−2
𝐹𝑟𝐸𝐶𝐷𝐻−2 X
Z
Y
Mancal
Rolamento
As forças nas engrenagens irão carregar os 
mancais que deverão suportar as reações de 
apoio impostas
C
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159
As forças nas engrenagens irão carregar os 
mancais que deverão suportar as reações de 
apoio impostas
Plano x-y
Plano x-z
Análise de forças ECDR
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160
• Reações em mancais para ECDR:
Análise de forças ECDR
C
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161
• Reações em mancais para ECDR:
Análise de forças ECDR
C
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162
• Reações em mancais para ECDR:
𝑇𝐷 =
𝐹𝑡2 × 𝑎 + 𝐹𝑡3(𝑎 + 𝑏)
(2𝑎 + 𝑏)
𝑇𝐶 =
𝐹𝑡3 × 𝑎 + 𝐹𝑡2(𝑎 + 𝑏)
(2𝑎 + 𝑏)
Análise de forças ECDR
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163
• Reações em mancais para ECDR:
𝑅𝐷 =
𝐹𝑅2 × 𝑎 − 𝐹𝑅3(𝑎 + 𝑏)
(2𝑎 + 𝑏)
𝑅𝐶 =
𝐹𝑅3 × 𝑎 − 𝐹𝑅2(𝑎 + 𝑏)
−(2𝑎 + 𝑏)
𝐹𝑅3 × 𝑎 − 𝐹𝑅2 𝑎 + 𝑏 = −𝑅𝐶(2𝑎 + 𝑏)
Análise de forças ECDR
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164
• Exercício: O pinhão na figura
transmite 2,5 kW de potência a
1750 RPM à engrenagem. Os
dentes são cortados segundo o
sistema de 20º de profundidade
completa e possuem módulo m=
2,5 mm. Desenhe um DCL das
engrenagens juntamente com os
valores numéricos das forças. A
engrenagem motora gira no
sentido horário e com velocidade
constante.
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https://s2.glbimg.com/hkWqKELhkG5rDCHxhMwMupoJtP0=/620x408/s.glbimg.com/po/tt/f/original/2012/03/29/apr
esentacao-em-powerpoint.jpg. Acesso em 30/07/2020
Quais são as forças 
atuantes em um par 
ECDR
A influência dessas forças nos 
mancais
Como efetuar o cálculo 
das forças tangenciais e 
radiais
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168
BIBLIOGRAFIA
• Budynas, Richard G. Elementos de máquinas de Shigley, 2016
• Apostila: Fundamentos para o projeto de componentes de máquinas.
Autor: Prof. Dr. Perrin Smith Neto
• Norton, Robert L. Projeto de máquinas [recurso eletrônico] : uma 
abordagem integrada / Robert L. Norton ; [tradução: Konstantinos 
Dimitriou Stavropoulos ... et al.]. – 4. ed. –
• Da Silva, Hélio Antônio. – Apostila de Elementos de Máquinas; Une-
Araxá 2017
• STIPKOVIC FILHO, Marco. Engrenagens: geometria, dimensionamento, 
controle, geração. São Paulo: McGraw-Hill, c1973. 138 p., il. ISBN (Broch.).
• FUNDAÇÃO ROBERTO MARINHO; FIESP - FEDERAÇÃO DAS INDÚSTRIAS DO ESTADO DE SÃO 
PAULO; SCARAMBONI, Antonio. Telecurso 2000: curso profissionalizante : mecânica : elementos de 
máquinas : volume 2. Rio de Janeiro: Globo, 1996. v. 2, il. (Telecurso 2000 profissionalizante). Inclui 
bibliografia. ISBN 8525016217 (v.2) (broch.).
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Engrenagens
https://www.tec-science.com/mechanical-power-transmission/gear-types/cylindrical-gears/. Acesso em 26/08/2020
Medição de engrenagens
Medida sobre dentes ECDR
https:///
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Medição de engrenagens
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170
a) Paquímetro para medição de dentes de
engrenagens
 Um controle eficiente de engrenagens consiste
principalmente em supervisionar a fabricação,
permitindo assim aperfeiçoa-la. A interpretação dos
resultados das medições efetuadas permite descobrir e
eliminar as fontes de erro.
 Normalmente contenta-se em medir a espessura dos
dentes de engrenagens e eventualmente a excentricidade
das mesmas.
 A medição da espessura dos dentes de engrenagens se faz
com paquímetro especial constituído de duas escalas
perpendiculares entre si
Medição de engrenagens
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171
a) Paquímetro para medição de dentes de
engrenagens
› Para medição da largura do 
dente da engrenagem
(S) na linha do diâmetro 
primitivo (dp)
› Fabricados em aço inoxidável 
temperado
› Faces de contato em metal 
duro
› Parafuso de fixação da 
medida
› Ajuste fino
› Tecla ZERO (zeragem em 
qualquer ponto)
› Tecla mm/inch (conversão 
milímetro/polegada)
› Tecla OFF/ON (liga/desliga)
› Resolução de 
0,01mm/.0005"
Medição de engrenagens
C
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172
a) Paquímetro para medição de dentes de
engrenagens
Medição de engrenagens
C
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173
a) Paquímetro para medição de dentes de
engrenagens
 A medida é feita do seguinte modo:
1. Ela é feita sobre o diâmetro
primitivo, conforme a
definição de espessura do
dente;
2. Regula-se a haste vertical do
paquímetro na medida H
previamente calculada para
que os bicos laterais se
posicionem sobre o circulo
primitivo;
3. Ajusta-se a haste lateral e faz-
se a leitura C
Esquema para posicionamento do paquímetro no dente para medição
Medição de engrenagens
C
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174
a) Paquímetro para medição de dentes de
engrenagens
 Note que a medida C é uma
medida linear !!!! Ao passo que a
espessura do dente (em termos de
projeto) é o comprimento do arco
dentro do dente na linha primitiva
Esquema para posicionamento do paquímetro no dente para medição
Medição de engrenagens
C
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175
a) Paquímetro para medição de dentes de
engrenagens
Elementos componentes do dente para medição
A espessura do dente é transformada 
na medida ‘C’ a qual pode ser medida 
e comparada entre projeto e 
fabricação !!!
Medição de engrenagens
C
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176
a) Paquímetro para medição de dentes de
engrenagens
Elementos componentes do dente para medição
CASO A ENGRENAGEM A SER MEDIDA 
FOR UMA ECDH, O NÚMERO DE 
DENTES CONSIDERADO DEVERÁ SER 
O VIRTUAL (ZV)
𝑧𝑣 =
𝑧
(𝑐𝑜𝑠𝛽)3
Medição de engrenagens
C
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177Esse valor deverá ser 
ajustado na escala 
vertical do 
paquímetros
Esse valor deverá ser 
ajustado na escala 
vertical do 
paquímetros
Medição de engrenagens
C
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178
b) Medição com micrômetro de discos
Para se obter precisão na medição dos dentes de engrenagens, existe
um micrômetro o qual é composto de dois pratos, sendo um na
haste fixa e outro na haste móvel.
Medição de engrenagens
C
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179
b) Medição com micrômetro de discos
Para se obter precisão na medição dos dentes de engrenagens, existe
um micrômetro o qual é composto de dois pratos, sendo um na
haste fixa e outro na haste móvel.
Medição de engrenagens
C
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180
b) Medição com micrômetro de discos
Medição de engrenagens
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181
b) Medição com micrômetro de discos
Medição de engrenagens
C
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182
b) Medição com micrômetro de discos
Medição de engrenagens
C
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183
b) Medição com micrômetro de discos
Medição de engrenagens
C
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184
b) Medição com micrômetro de discos
W
W: valor de Wildhaber (inventor do método) ou comprimento
da base tangente
W é calculado de acordo com os dados de 
projeto e comparado com a fabricação
Medição de engrenagens
C
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185
b) Medição com micrômetro de discos
W: valor de Wildhaber (inventor do método) ou comprimento
da base tangente
W é calculado de acordo com os dados de 
projeto e comparado com a fabricação
𝑁 = 𝑍 ∗
𝛼
180
= 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑟
Arredondar para cima
Se N<2, adotar 2
Dados de entrada: 
1 - Módulo (m)
2 - Ângulo de pressão (α)
3 - Número de dentes (Z)
𝑉 = 𝑁 − 1
𝑊 = 𝑚 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛼 × [𝜋 𝑉 + 0,5 + 𝑍 × 𝑡𝑎𝑛𝛼 − 𝜋 ∗
𝛼
180
]
α em graus
Para engrenagens 
retas !!!! Sem 
correção 
Medição de engrenagens
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186
b) Medição com micrômetro de discos
A medida “W” é de valor especial, pois permite o
ajustamento direto nas máquinas. As espessuras dos
dentes para o engrenamento sem folga são examinadas,
medindo uma distância “W” de forma tangente aos dentes
que representa vários passos mais a espessura de um
dente. Para medida de 4 dentes tem-se: m = 4 = 3Pc + s. E
quando se medir em Z (número de dentes) será:
m = (n – 1)Pc + s.
Esquema da posição do paquímetro para se efetuar a medida “W”
Medição de engrenagens
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187
b) Medição com micrômetro de discos
Exemplo: Uma engrenagem com 20 dentes, módulo 2,5 e ângulo de
pressão de 200, para a verificação da medida “W”.
Resp.: 19,151 mm
Esquema da posição do paquímetro para se efetuar a medida “W”
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https://s2.glbimg.com/hkWqKELhkG5rDCHxhMwMupoJtP0=/620x408/s.glbimg.com/po/tt/f/original/2012/03/29/apr
esentacao-em-powerpoint.jpg. Acesso em 30/07/2020
A que se destinam os 
sistemas de 
transmissão de 
potência: força, 
velocidade, torque e 
rotação
Qual a finalidade de um 
redutor e multiplicador
Os elementos que 
constituem um redutor
Identificar situações / 
equipamentos que 
necessitam de redutores 
ou multiplicadores
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190
BIBLIOGRAFIA
• Budynas, Richard G. Elementos de máquinas de Shigley, 2016
• Apostila: Fundamentos para o projeto de componentes de máquinas.
Autor: Prof. Dr. Perrin Smith Neto
• Norton, Robert L. Projeto de máquinas [recurso eletrônico] : uma 
abordagem integrada / Robert L. Norton ; [tradução: Konstantinos 
Dimitriou Stavropoulos ... et al.]. – 4. ed. –
• Da Silva, Hélio Antônio. – Apostila de Elementos de Máquinas; Une-
Araxá 2017
• STIPKOVIC FILHO, Marco. Engrenagens: geometria, dimensionamento, 
controle, geração. São Paulo: McGraw-Hill, c1973. 138 p., il. ISBN (Broch.).
• FUNDAÇÃO ROBERTO MARINHO; FIESP - FEDERAÇÃO DAS INDÚSTRIAS DO ESTADO DE SÃO 
PAULO; SCARAMBONI, Antonio. Telecurso 2000: curso profissionalizante : mecânica : elementos de 
máquinas : volume 2. Rio de Janeiro: Globo, 1996. v. 2, il. (Telecurso 2000 profissionalizante). Inclui 
bibliografia. ISBN 8525016217 (v.2) (broch.).
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Engrenagens
https://www.tec-science.com/mechanical-power-transmission/gear-types/cylindrical-gears/. Acesso em 26/08/2020
Problemas comuns de falha e 
desgaste em ECDR’s
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Dimensionamento
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• Dimensionar significa calcular um módulo de engrenagem o
qual atenderá as exigências de carregamento
http://oficinadieselnet.blogspot.com/2015/06
/engrenagem.html
Quebra do dente
Fadiga superficial do dente (Desgaste)
NORTON, 2013 
Lascamento
Crateração
Desintegração
Dimensionamento
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• Dimensionar significa calcular um módulo de engrenagem o
qual atenderá as exigências de carregamento
Quebra do dente é devido às tensões de flexão na base do dente
Dimensionar pela resistência Evitar a quebra do dente
Dimensionamento
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• Dimensionar significa calcular um módulo de engrenagem o
qual atenderá as exigências de carregamento
O desgaste superficial é devido às tensões de Hertz na subsuperfície
Fonte: Apostila Fotoelasticidade Prof. 
Cleudmar Amaral de Araújo
SHIGLEY, 2016
Dimensionar pelo desgaste Evitar falha superficial do dente
Dimensionamento
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• Materiais para engrenagens:
Fonte: Apostilo Fundamentos para o projeto de componentes de máquinas Autor: Prof. Dr. Perrin Smith Neto
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• Problemas mais frequentes encontrados nas engrenagens
1 - Desgaste por interferência
É provocado por um contato inadequado entre engrenagens, em que a
carga total está concentrada sobre o flanco impulsor, e a ponta do
dente da engrenagem impulsionada.
Fonte: http://www.mhfpreditiva.com.br/site/pagina/16
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• Problemas mais frequentes encontrados nas engrenagens
2 - Desgaste abrasivo
É provocado pela presença de impurezas ou corpos estranhos
que se interpõem entre as faces de contato. As impurezas ou
corpos estranhos podem estar localizados no óleo usado nas
engrenagens.
Fonte: http://www.mhfpreditiva.com.br/site/pagina/16
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• Problemas mais frequentes encontrados nas engrenagens
3 – Quebra por fadiga
Começa geralmente com uma trinca do lado da carga, num
ponto de concentração de tensões próximo da base do dente, e
termina com quebra total no sentido longitudinal ou diagonal,
para cima.
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• Problemas mais frequentes encontrados nas engrenagens4 – Quebra por sobrecarga
Resulta de sobrecarga estática, choques ou problemas de
tratamentos térmicos. Geralmente, do lado da compressão do
dente surge uma lombada cuja altura diminui de acordo com o
tempo que o dente leva para se quebrar. É interessante salientar
que a trinca em um dente sobrecarregado não mostra
sinais de progresso.
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• Problemas mais frequentes encontrados nas engrenagens
5 – Lascamento
Os dentes temperados soltam lascas, devido a falhas abaixo da
superfície originadas durante o tratamento térmico e/ou tensões
de Hertz. Essas lascas podem cobrir uma área considerável do
dente, como se fosse uma só mancha.
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201https://www.youtube.com/watch?v=N4L95FVD-5k
Vídeo sobre manutenção e falhas em 
engrenagens
https://www.youtube.com/watch?v=N4L95FVD-5k
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202
https://s2.glbimg.com/hkWqKELhkG5rDCHxhMwMupoJtP0=/620x408/s.glbimg.com/po/tt/f/original/2012/03/29/apr
esentacao-em-powerpoint.jpg. Acesso em 30/07/2020
A que se destinam os 
sistemas de 
transmissão de 
potência: força, 
velocidade, torque e 
rotação
Qual a finalidade de um 
redutor e multiplicador
Os elementos que 
constituem um redutor
Identificar situações / 
equipamentos que 
necessitam de redutores 
ou multiplicadores
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BIBLIOGRAFIA
• Budynas, Richard G. Elementos de máquinas de Shigley, 2016
• Apostila: Fundamentos para o projeto de componentes de máquinas.
Autor: Prof. Dr. Perrin Smith Neto
• Norton, Robert L. Projeto de máquinas [recurso eletrônico] : uma 
abordagem integrada / Robert L. Norton ; [tradução: Konstantinos 
Dimitriou Stavropoulos ... et al.]. – 4. ed. –
• Da Silva, Hélio Antônio. – Apostila de Elementos de Máquinas; Une-
Araxá 2017
• STIPKOVIC FILHO, Marco. Engrenagens: geometria, dimensionamento, 
controle, geração. São Paulo: McGraw-Hill, c1973. 138 p., il. ISBN (Broch.).
• FUNDAÇÃO ROBERTO MARINHO; FIESP - FEDERAÇÃO DAS INDÚSTRIAS DO ESTADO DE SÃO 
PAULO; SCARAMBONI, Antonio. Telecurso 2000: curso profissionalizante : mecânica : elementos de 
máquinas : volume 2. Rio de Janeiro: Globo, 1996. v. 2, il. (Telecurso 2000 profissionalizante). Inclui 
bibliografia. ISBN 8525016217 (v.2) (broch.).
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BIBLIOGRAFIA
• Budynas, Richard G. Elementos de máquinas de Shigley, 2016
• Apostila: Fundamentos para o projeto de componentes de máquinas.
Autor: Prof. Dr. Perrin Smith Neto
• Norton, Robert L. Projeto de máquinas [recurso eletrônico] : uma 
abordagem integrada / Robert L. Norton ; [tradução: Konstantinos 
Dimitriou Stavropoulos ... et al.]. – 4. ed. –
• Da Silva, Hélio Antônio. – Apostila de Elementos de Máquinas; Une-
Araxá 2017
• STIPKOVIC FILHO, Marco. Engrenagens: geometria, dimensionamento, 
controle, geração. São Paulo: McGraw-Hill, c1973. 138 p., il. ISBN (Broch.).
• FUNDAÇÃO ROBERTO MARINHO; FIESP - FEDERAÇÃO DAS INDÚSTRIAS DO ESTADO DE SÃO 
PAULO; SCARAMBONI, Antonio. Telecurso 2000: curso profissionalizante : mecânica : elementos de 
máquinas : volume 2. Rio de Janeiro: Globo, 1996. v. 2, il. (Telecurso 2000 profissionalizante). Inclui 
bibliografia. ISBN 8525016217 (v.2) (broch.).