Transformada Z e Resíduos

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MATA06 - Cálculo E
Lista 06
1 Problemas sobre a Transformada Z
1. Dada uma sequência de números complexos x[n], definimos a função
X(z) =
n=∞∑
n=−∞
x[n]z−n.
Suponha que X é convergente no anel R1 < |z| < R2. Essa soma é chamada de Transformada
z de x[n]. A região em que essa função é convergente é usualmente chamada de Região de
Convergência (ROC). Quando ela contém o cı́rculo unitário, o sistema é dito estável. Use as
fórmulas para os coficientes das séries de Laurent de um sistema estável para recuperar a
sequência que o originou:
x[n] =
1
2π
·
∫ π
π
X(eiθ)einθdθ.
2. No estudo de Sistemas Lineares Invariantes no Tempo (LTI), definimos
u(n) =
{
1 se n ≥ 0
0 se n < 0
Verifique que a transformada-Z de u[n] é U(z) =
1
1− z−1
e sua ROC é |z| > 1.
3. Encontre a transformada-Z e a ROC do sinal
x[n] = (3 · 2n − 4 · 3n)u(n),
4. Encontre a transformada-Z e a ROC do seguinte sinal:
x[n] = (1/2)n · u[n].
5. Encontre a transformada-Z e a ROC do seguinte sinal:
x[n] = −αn · u[−n− 1].
6. Encontre a transformada-Z e a ROC da seguinte sequência:
x[n] = (−1/3)n · u[n]− (1/2)n · u[−n− 1]
7. Encontre o sinal discreto x[n] que tem como transformada-Z a função
X(z) = log(1 + αz−1),
para |z| > |α|.
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2 Cálculo de Resı́duos
1. Encontre o resı́duo de f(z) =
z2 + 3z + 4
z + 3
no seu polo.
2. Encontre o resı́duo de g(z) =
ez
(z − 1)3
.
3. Encontre o resı́duo de h(z) =
Log z
(1 + z2)2
no polo z = i.
4. Suponha que F e G são funções analı́ticas no disco {z : |z − z0| < r0} com G(z0) = 0, mas
G′(z0) ̸= 0. Mostre que
Res
(
F
G
; z0
)
=
F (z0)
G′(z0)
5. Encontre o resı́duo de r(z) =
z + 1
(z2 + 4)(z − 1)3
no polo z = −2i.
6. Encontre o resı́duo de cot(αz) em z0 = 0.
7. Encontre a parte principal e o resı́duo de f(z) =
z3 + z2
(z − 1)2
em z0 = 1.
8. Encontre a série de Laurent em z0 = 0 para f(z) =
sin z
z3
.
9. Encontre os primeiros 5 termos da série de Laurent em torno de z0 = 0 para a função g(z) =
cot z.
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