Origem e Evolução dos Sistemas Numéricos

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AULA 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROFESSOR PESQUISADOR 
EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Otto Henrique Martins da Silva 
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CONVERSA INICIAL 
 
Esta aula tem por objetivo mostrar a origem de alguns sistemas numéricos e 
sua evolução, mas também os momentos históricos do processo de disciplinarização 
da matemática e de seu ensino. Para isso, faremos uma viagem pela história da 
matemática a partir dos primeiros processos sistemáticos desenvolvidos pela 
humanidade para a criação de bases numéricas. Durante essa brilhante história 
contada por meio de outras histórias ‒ aquelas de grandes civilizações humanas ‒, 
também descobriremos a origem dos sistemas de bases numéricas e a razão pela 
qual eles permanecem atuantes até hoje. 
Além dessa instigante abordagem da criação dos sistemas numéricos, 
teremos a oportunidade de discutir e conhecer um pouco mais as primeiras questões 
sobre o ensino de matemática e sua disciplinarização na escola. Para isso, 
conheceremos os pioneiros defensores de um ensino de matemática democrático, 
para quem os conteúdos deveriam ter significado para o estudante da educação 
básica, e também um dos movimentos mais influentes referentes a esse ensino e à 
educação matemática: o movimento da matemática moderna. 
 
CONTEXTUALIZANDO 
 
No dia a dia ‒ e a todo momento ‒, usamos de forma indiscriminada os 
algarismos indo-arábicos para ler, quantificar, calcular e representar quantidades de 
coisas e até resolver problemas. Considerando essas atividades cotidianas e 
descartando o uso de qualquer tipo de algarismos (indo-arábico, romano, babilônico 
etc.), de que forma você executaria as atividades que envolvem quantificações e 
cálculos? Ou seja, como você representaria quantidades (sem usar números)? 
Como faria para representar os períodos do dia? De que forma faria uma conta de 
multiplicação ou divisão? 
 
TEMA 1 – TRANSFORMAÇÕES PRIMEIRAS 
 
O processo de contagem talvez seja a atividade cognitiva mais antiga da 
humanidade, pois remonta à própria criação da matemática e à da escrita. É 
possível que o processo de contagem tenha se iniciado com o uso dos dedos das 
mãos (Figura 1), em que o sistema sexagesimal pode ser utilizado. Os babilônios, 
na Mesopotâmia, foram criadores dos sistemas sexagesimal e 
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decimal usando as bases de 60 e 10 por meios de símbolos, cujos números de 1 até 
59 são mostrados na Figura 2. 
 
Figura 1 ‒ Processo de contagem utilizando os dedos das mãos 
 
 
Crédito: Jefferson Schnaider. 
Figura 2 ‒ Sistemas sexagesimal e decimal usando as bases de 59 a 10 por 
meios de símbolos 
 
Crédito: Ali DM/Shutterstock. 
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Esses símbolos eram escritos em formato cuneiforme em tabuletas de argila, 
como mostra a Figura 3 a seguir. Observe na figura os valores na lateral e na 
diagonal do quadrado escritos por meio dos símbolos 
 , e do valor correspondente a 1; 24. 51. 10, em que o 
ponto e vírgula separa a parte inteira da fracionária, e os pontos separam 
as posições sexagesimais, ou seja: 1; 24; 51; 10 = 1 + 24 + 51 + 10
 = 1,4142129 
 
 
 
é a √2 = 1,4142135 … (Mol, 2013, p. 18). 
60 602 603 
 
Figura 3 ‒ Símbolos de argila escritos em formato cuneiforme em tabuleta de 
argila 
 
Crédito: Urcia, A. Museu de História Natural de Yale Peabody.-CC. 
 
Outra civilização fundamental para o desenvolvimento da matemática foi a 
egípcia, localizada no fértil Vale do Rio Nilo, a partir de 3150 a.C. Dentre as grandes 
contribuições à matemática e à humanidade, as pirâmides do Egito se constituem, 
ainda hoje, em um dos maiores feitos de toda a História. Essa pirâmide foi 
construída cerca de 2550 a.C. e sua altura original era de 146,6 metros – o 
equivalente a um prédio de 49 andares. 
07 
 
 
Figura 4 ‒ Egito: civilização fundamental para o desenvolvimento da matemática 
 
 
Crédito: Lua Carlos Martins/Shutterstock. 
 
Os egípcios, em função de necessidades práticas ‒ como as divisões das 
férteis terras alagadas pelo Nilo ‒, desenvolveram a matemática por meio de 
problemas matemáticos e geometria. Dois documentos com escrita hieroglífica de 
grande importância são os papiros de Rhind (Figura 5), com 84 problemas de 
geometria e de aritmética, e de Moscou, com 25 problemas, datados, 
respectivamente, de 1650 a.C e 1850 a.C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 5 ‒ Papiros de Rhind 
 
 
Crédito: Museu Britânico/CC-PD. 
 
TEMA 2 – CONSTITUIÇÃO DE UM CORPUS 
 
A Grécia Antiga teve um papel decisivo na construção do conhecimento 
matemático moderno, pois foi a partir das contribuições de Tales de Mileto que a 
matemática passou a sistematizar esse conhecimento. 
 
Figura 6 – Tales de Mileto 
 
 
 
Créditos: German Vizulis/shutterstock. 
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Suas construções dizem respeito ao campo da geometria dedutiva, assim 
como a alguns resultados sobre figuras planas: 
 
Todo círculo é divido em duas partes iguais por seu diâmetro. 
Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais. O 
ângulo inscrito em um semicírculo é reto. Quando duas retas 
se interceptam, os ângulos opostos são iguais. Os lados de 
triângulos semelhantes são proporcionais. Dois triângulos são 
congruentes se possuem dois ângulos e um lado iguais. 
(Mols, 2013, p. 32) 
 
Outro pensador grego cuja influência também se estende aos dias de hoje é 
Pitágoras de Samos (séculos VI e V a.C). Pitágoras considerava os números 
elementos místicos e divinos que explicavam a harmonia do universo; contudo, o 
trabalho atribuído à escola pitagórica é o famoso teorema de Pitágoras: 𝑎𝑎𝑎𝑎2 = 
𝑏𝑏𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐𝑐𝑐². Esse teorema já havia sido trabalhado na Mesopotâmia e no Egito, e não 
há evidências de que tenha sido descoberto por Pitágoras ou pela escola pitagórica 
(Mol, 2013, p. 34). 
Figura 7 – Pitágoras 
 
Créditos: Tupungato/Shutterstock. 
07 
 
 
 
Uma das obras que contribuiu não só para o desenvolvimento da matemática, 
mas também da ciência e do ensino de nossos dias foi denominada Os elementos, 
de Euclides de Alexandria, constituída de 13 livros. “Foi um dos livros mais editados 
e lidos em toda a história, tendo sido usado como livro-texto no ensino de 
matemática até o final do século XIX e início do século XX. (Mol, 2013, p. 45). 
Figura 8 – Euclides de Alexandria 
 
 
 
Créditos: German Vizulis /shutterstock. 
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A Índia também contribuiu para o desenvolvimento da matemática, com o 
sistema de numeração decimal e posição de nove símbolos e o zero, incorporado 
posteriormente (Figura 9). 
Figura 9 ‒ Contribuição indiana para a matemática 
 
 
Fonte: Davi Souza. 
 
Os árabes, ao conquistarem "o mundo ocidental", além de preservarem a 
cultura ocidental também aperfeiçoaram o sistema de numeração hindu, que passou 
a ser chamado de sistema de numeração indo-arábico, contribuindo em vários 
campos da matemática e da ciência, principalmente na álgebra. 
Com o surgimento das universidades no Renascimento, a matemática e 
outras ciências passaram a ser muito desenvolvidas; grandes filósofos e 
matemáticos surgiram com grandes feitos que, com a invenção da prensa, passaram 
a ser registrados em livros. Vale destacar a obra Sobre as revoluções das esferas 
celestes, de Nicolau Copérnico, que contribuiu para uma das maiores revoluções 
científicas que a humanidade experimentou. A partir de então, grandes nomes da 
matemática e da física passaram a ser conhecidos, como Tycho Brahe e Johann 
Kepler (astronomia); Galileu Galilei (física); Luca Pacioli (aritmética, geometria, 
proporções e proporcionalidade); Christoph Rudolff (notação algébrica); Cardano e 
Tartaglia (equações cúbicas); François Viète (simbolismo algébrico); Desargues 
(geometria projetiva); Descartes (geometria analítica); Pierre de Fermat (teorias dos 
números, geometria analítica e cálculo diferencial); Blaise Pascal (probabilidade,triângulo de Pascal); Isaac Newton e Leibniz (cálculo diferencial e integral); além de 
outros grandes matemáticos, como Leonhard Euler, D’Alembert, Lagrange, Cauchy, 
Gauss, Riemann, Weierstrass e Georg Cantor. 
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TEMA 3 – RUMO À MODERNIZAÇÃO 
 
Dado o desenvolvimento alcançado ao longo de milênios, o ensino da 
matemática passou a ser uma preocupação no final do século XIX, principalmente 
seu ensino básico; nessa época, a formação docente tinha pouca atenção de 
instituições de ensino e organismos governamentais. 
No caso da matemática, o alemão Felix Klein foi pioneiro na busca e na 
implantação de metodologias para o ensino em universidades alemãs e em cursos 
de formação de professores (Mol, 2013, p. 29). Em decorrência da criação, em 1908, 
da Comissão Internacional de Instrução Matemática (ICMI, do inglês International 
Commission on Mathematical Instruction) em Roma, no IV Congresso Internacional 
de Matemática, Klein criou na Alemanha a Internationalen Mathematischen 
Unterrichtskommission (IMUK), que presidiu até a sua morte em 1925 (Silveira; 
Miola, 2013, p. 30). 
Figura 10 – Felix Klein 
 
 
Créditos: Academy of Sciences of Turin/CC-PD 
No referido congresso, foram formuladas propostas que objetivavam o avanço 
e a melhoria no ensino de matemática, a saber: 
 
014 
 
 
• Eliminação da organização excessivamente sistemática e 
lógica dos conteúdos da escola. 
• Consideração da intuição como um elemento inicial 
importante para a futura sistematização. 
• Introdução de conteúdos mais modernos, como as funções 
e o cálculo diferencial e integral, especialmente devido à 
importância deles no desenvolvimento da Matemática e na 
unificação de suas áreas. 
• Valorização das aplicações da Matemática para a 
formação de qualquer estudante de escolas de nível 
médio, não apenas para os futuros técnicos. 
• Percepção da importância da “fusão”, ou 
descompartimentalização, dos conteúdos ensinados. 
(Silveira; Miola, 2013, p. 31 citados por Miorim, 1998, p. 
78) 
 
Já no Brasil, nessa mesma época, a preocupação passou ser a modernização 
do ensino da matemática, e a criação do Colégio Pedro II fez com que as ideias 
relacionadas a esse tema fossem colocadas em prática. 
No Brasil, ainda no fim do século XVIII, o ensino de matemática já estava 
presente nas academias militares (Silveira; Miola, 2013, p. 32, citados por Valente, 
1999, p. 11). O livro utilizado para esse fim era o Exame de artilheiros, de José 
Fernandes Pinto Alpoim. Foi um dos primeiros livros publicados em 1774. 
Já no século XX, um dos livros utilizados na Escola Nacional de Bellas Artes 
foi o Mathematica, 1º anno, de Cecil Thiré Mello e Souza. Nessa obra de 1931, 
pode-se observar na capa a ilustração do matemático grego Euclides fazendo 
cálculos na areia e as pirâmides do Egito (Miguel; Miorim, 2011, p. 18). 
Figura 11 ‒ Capa de Exame de artilheiros, de José Fernandes Pinto Alpoim 
 
 
Fonte: Acervo Biblioteca Brasiliana digital. 
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Figura 12 ‒ Capa de Mathematica, 1o anno, de Cecil Thiré Mello e Souza 
 
 
Fonte: Domínio Público. 
TEMA 4 – MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA 
O Movimento da Matemática Moderna (MMM) é um movimento de dimensão 
internacional que, segundo Pinto e Valente (2016, p. 65), deriva das concepções 
estruturalistas. De acordo com os autores, no estruturalismo, "a totalidade 
representa uma prioridade lógica sobre as partes, e as relações ganham mais 
importância que as entidades que as constituem, a estrutura oculta sendo sempre 
mais significativa que o evidente. O simbolismo como relevante e não as entidades 
simbolizadas" (Pinto; Valente, 2016, p. 65). 
A partir das ideias estruturalistas, o MMM “elege três estruturas matemática 
centrais: as estruturas topológicas, algébrica e de ordem” (Pinto; Valente, 2016, p. 
65). Nas décadas de 1960 e 1970, esse movimento provocou mudanças importantes 
no ensino de matemática, principalmente em relação aos conteúdos de ensino, ou 
seja, estruturas algébricas, lógica e conjuntos. Essa prioridade é decorrente “das 
respostas que os americanos deram aos russos, depois do lançamento do Sputnik 
pela União Soviética, em outubro de 1957” (Pinto, 2005, p. 2, citado por Schoenfeld, 
1991). 
Na direção da modernização do ensino de Matemática, Euclides Roxo, diretor 
do Colégio Pedro II no Rio de Janeiro, propôs a junção de aritmética, álgebra e 
geometria em uma única disciplina denominada matemática (Pinto, 2005, p. 3); essa 
ideia foi discutida nos primeiros dois congressos brasileiros de ensino de 
matemática, que ocorreram, respectivamente, em Salvador (1955) e Porto Alegre 
014 
 
 
(1957). Contudo, para Pinto (2005, p. 3, citado por Miorim, 1998, p. 113), 
 
Apesar de as novas ideias terem sido apresentadas e discutidas nesses 
dois congressos, não seriam elas que desencadeariam o Movimento da 
Matemática Moderna no Brasil. Isso seria conseguido, especialmente, por 
meio das atividades desenvolvidas pelo grupo de Estudos do Ensino da 
Matemática – GEEM, fundado em outubro de 1961, por professores do 
Estado de São Paulo, tendo como principal representante Osvaldo 
Sangiorgi. 
 
O MMM foi discutido e avaliado nos congressos brasileiros de matemática, e, 
no III Congresso, os participantes concluíram que a maioria dos professores de 
matemática não conheciam a matemática moderna, e recomendaram, portanto, que 
as faculdades realizassem cursos preparatórios para eles. 
 
Que os cursos de Matemática Moderna e Lógica Matemática a serem 
ministrados junto às faculdades de Filosofia, para professores de Ensino 
secundário conforme proposta da professora Martha Maria de Souza Dantas 
apresentada à comissão de Formação e Aperfeiçoamento de Professores – 
sejam organizados de acordo com a Associação Nacional de Professores e 
Pesquisadores de Matemática, solicitando o amparo do Ministério de 
Educação e Cultura. (Anais do III Congresso de Ensino de Matemática, 
1959, p. 237) (Pinto, 2005, p. 4) 
 
A matemática moderna passou, então, nos anos 1960, a ser difundida no 
Brasil a partir dos grandes centros para as escolas mais afastadas por meio dos 
livros didáticos distribuídos. Contudo, 
 
A excessiva preocupação com a linguagem matemática e com a simbologia 
da teoria dos conjuntos deixou marcas profundas, ainda não desveladas, 
nas práticas pedagógicas daquele período. Ao tratar a matemática como 
algo neutro, destituído de história, desligado de seus processos de 
produção, sem nenhuma relação com o social e o político, o ensino de 
Matemática, nesse período, parece ter se descuidado da possibilidade 
crítica e criativa dos aprendizes. O moderno dessa matemática apresenta-
se, para os alunos, mais como um conjunto de novos dispositivos e 
nomenclaturas descolados de sentidos e significados conceituais, uma 
disciplina abstrata e desligada da realidade (Pinto, 2005, p. 5). 
TEMA 5 – NOVOS RUMOS DO ENSINO DE MATEMÁTICA 
Ao fim do século XIX e início do século XX, John Dewey e James A. McLellan 
propõem, em The psychology of number and its applications to meyhods of teaching 
arithmetic (1895), um enfretamento ao formalismo matemático, uma relação 
cooperativa entre aluno e professor, além da integração entre as disciplinas; dá-se a 
identificação da educação matemática como uma área prioritária na educação 
(D’Ambrósio et al., 2004, p. 71). Contribuindo com a afirmação dessa identidade, o 
matemático americano Eliakim H. Moore, em um dos seus artigos, 
 
[...] propõe um novo programa, incluindo um sistema de instrução integrada 
em matemática e física, baseado em um laboratório permanente, cujos 
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principais objetivos são desenvolver ao máximo o verdadeiro espírito de 
pesquisa, conduzindo à apreciação, tanto prática como teórica, dos métodos 
fundamentais da ciência. (D’Ambrósio et al., 2004, p. 71). 
 
Contudo, foi com a contribuição do grande matemático alemão Felix Klein que 
a educação matemática ganhou destaque no cenário internacional.Entre essas 
contribuições, destaca-se o livro Matemática elementar de um ponto de vista 
avançado. Segundo o autor, as abordagens sobre a matemática devem levar em 
conta as bases psicológicas, ou seja, o professor deve considerar o processo 
psíquico do aluno (D’Ambrósio et al., 2004, p. 72). De acordo com D’Ambrósio et al. 
(2004, p. 72), 
 
A consolidação da educação matemática como uma subárea da matemática 
e da educação, de natureza interdisciplinar, se dá com a fundação, durante 
o Congresso Internacional de Matemáticos, realizado em Roma, em 1908, 
da Comissão Internacional de Instrução Matemática, conhecida pelas siglas 
IMUK/ICMI, sob liderança de Felix Klein. 
 
A partir de então, as pesquisas no campo da equação começaram a surgir 
com a fundação da American Educational Research Association (AREA), em 1916; 
em 1920, na busca por um espaço para reflexão sobre suas preocupações e 
interesses, os professores de matemática estadunidenses fundaram o National 
Council of Teachers of Mathematics (D’Ambrósio et al. 2004, p. 72). 
O que se observou após esse início do século XX, e principalmente no pós-
guerra, é que a educação matemática começou a alcançar outros países da Europa 
e o Estados Unidos com projetos de destaques, como ocorreu com o Committee on 
School Mathematics da University of Illinois, em 1951, e com a School Mathematics 
Study Group (SMSG) da Stanford University, em 1958 (D’Ambrósio et al. 2004, p. 
72). Além dessas instituições, destacou-se na Europa e, especificamente, na França 
a partir de 1939, o grupo de Nicolas Bourbaki – um grupo de matemáticos, em sua 
maioria franceses, que passaram a realizar estudos e a promover publicações sobre 
a matemática moderna, tendo como objetivo fundamentar a matemática na teoria de 
conjuntos. 
No Brasil, a área de educação matemática foi iniciada com a formação do 
grupo de trabalho da Associação Nacional de Pós-Graduação e Pesquisa em 
Educação (ANPED) na década de 1980. Ao final da década de 1980 e início de 
1990, 
 
[...] começava a se formar um círculo vicioso. Por um lado, se seu 
reconhecimento adviria da divulgação das pesquisas, por outro os espaços 
próprios a essa divulgação restringiam-se quase que a duas revistas – 
Bolema e Zétetiké – e aos trabalhos acadêmicos para fins de titulação 
(D’Ambrósio et al., 2004, p. 72-73). 
014 
 
 
 
 
FINALIZANDO 
 
Nesta aula você iniciou os estudos a partir de duas grandes civilizações: a 
egípcia e a babilônica, e conheceu as bases dos sistemas numéricos criados pela 
humanidade. Também ficou sabendo um pouco mais sobre os primeiros passos da 
disciplinarização da matemática e sobre o movimento da matemática moderna. 
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REFERÊNCIAS 
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questões sobre sua disciplinarização. Revista Brasileira de Educação, n. 27, 
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MIGUEL, A.; MIORIM, M. A. História da educação matemática: propostas e 
desafios. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2011. 
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PINTO, N. B. Marcas históricas da matemática moderna no Brasil. Revista Diálogo 
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VALENTE, W. R. Uma história da matemática escolar no Brasil (1730-1930). São 
Paulo: Annablume, FAPESP, 1999. 
	CONVERSA INICIAL
	CONTEXTUALIZANDO
	TEMA 1 – TRANSFORMAÇÕES PRIMEIRAS
	TEMA 2 – CONSTITUIÇÃO DE UM CORPUS
	TEMA 3 – RUMO À MODERNIZAÇÃO
	TEMA 5 – NOVOS RUMOS DO ENSINO DE MATEMÁTICA
	FINALIZANDO
	REFERÊNCIAS