Calculo - James Stewart - 7 Edição - Volume 2-110

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x � sen(8t/5) cos tMMMy � sen(8t/5) sen tMMM0 
 t 
 10p
e a Figura 18 nos mostra a curva resultante. Observe que essa rosácea tem 16 laços.
Investigue a família de curvas polares dada por r � 1 � c sen u. Como o formato
muda conforme c varia? (Essas curvas são chamadas limaçons, que em francês significa cara-
col, por causa do formato dessas curvas para certos valores de c.)
SOLUÇÃO A Figura 19 mostra gráficos desenhados por computador para vários valores de c.
Para c � 1, há uma volta que é decrescente em tamanho conforme c diminui. Quando c � 1,
o laço desaparece e a curva torna-se a cardioide que esboçamos no Exemplo 7. Para c entre 1
e , a cúspide da cardioide é suavizada e torna-se uma “covinha”. Quando c diminui de para
0, a limaçon parece oval. Essa oval se torna mais circular quando c m 0 e quando c � 0, a
curva é apenas o círculo r � 1.
As partes restantes da Figura 19 mostram que, quando c se torna negativo, os formatos
mudam na ordem inversa. De fato, essas curvas são reflexões ao redor do eixo horizontal das
curvas correspondentes com c positivo.
Limaçons surgem do estudo de movimento planetário. Em particular, a trajetória de Marte,
vista do planeta Terra, tem sido modelada como um limaçon com uma volta, como partes da
Figura 19 com �c� � 1.
EXEMPLO 11
1
2
1
2
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARES 599
No Exercício 53 pediremos que você demonstre
analiticamente o que descobriu a partir dos
gráficos na Figura 19.
c=2,5
FIGURA 19
Membros da família de
limaçons r=1+c sen ¨
c=0 c=_0,2 c=_0,5 c=_0,8 c=_1
c=_2
c=1,7 c=1 c=0,7 c=0,5 c=0,2
1–2 Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A
seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse
ponto, um com r � 0 e o outro com r � 0.
1. (a) (2, p/3) (b) (1, �3p/4) (c) (�1, p/2)
2. (a) (1, 7p/4) (b) (�3, p/6) (c) (1, �1)
3–4 Marque o ponto cujas coordenadas polares são dadas. A seguir,
encontre as coordenadas cartesianas do ponto.
3. (a) (1, p) (b) (2, �2p/3) (c) (�2, 3p/4)
4. (a) (b) (1, 5p/2) (c) (2, �7p/6)
5–6 As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas.
(i) Encontre as coordenadas polares (r, u) do ponto, onde r � 0 e 
0 
 u 
2p.
(ii) Encontre as coordenadas polares (r, u) do ponto, onde r � 0 e 
0 
 u 
2p.
5. (a) (2, �2) (b) 
6. (a) (b) (1, � 2)
7–12 Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coorde-
nadas polares satisfazem as condições dadas.
7. 1 
 r 
 2 
8. 0 
 r � 2,Mp 
 u 
 3p/2
9. r 
 0,Mp/4 
 u 
 3p/4 
10. 1 
 r 
 3,Mp/6 � u � 5p/6 
(3s3 , 3)
(�1, s3 )
(�s2 , 5	�4)
10.3 Exercícios
; É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador 1. As Dicas de Lição de Casa estão disponíveis em www.stewartcalculus.com
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	10- Equações Paramétricas e Coordenadas Polares
	10.3 Exercícios