Calculo - James Stewart - 7 Edição - Volume 2-480

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Portanto, 
onde v � r	 é a velocidade. 
A quantidade m 
v(t)
2, ou seja, a metade da massa multiplicada pelo quadrado da velo-
cidade escalar, é chamada energia cinética do objeto. Portanto, podemos reescrever a Equa-
ção 15 como
W � K(B) � K(A)
que diz que o trabalho realizado pelo campo de forças ao longo do caminho C é igual à varia-
ção da energia cinética nas extremidades de C.
Agora vamos admitir que F seja um campo de forças conservativo, ou seja, podemos
escrever F � �f. Em física, a energia potencial de um objeto no ponto de (x, y, z) é defini-
da como P(x, y, z) � �f (x, y, z), portanto temos F � ��P. Então, pelo Teorema 2, temos
Comparando essa equação com a Equação 16, vemos que
P(A) � K(A) � P(B) � K(B)
que diz que, se um objeto se move de um ponto A para outro B sob a influência de um campo
de forças conservativo, então a soma de sua energia potencial e sua energia cinética perma-
nece constante. Essa é a chamada Lei da Conservação de Energia e é a razão pela qual o
campo vetorial é denominado conservativo.
� P�A� � P�B�� ��P�r�b�� � P�r�a���W � yC
F � dr � �yC
�P � dr
W � 1
2 m � v�b� �2 �
1
2 m � v�a� �215
16
1
2
CÁLCULO VETORIAL 969
1. A figura mostra uma curva C e um mapa de contorno de uma
função f cujo gradiente é contínuo. Determine .
2. É dada uma tabela de valores de uma função f com gradiente con-
tínuo. Determine , onde C tem equações paramétricas
x � t2 � 1,MMMy � t3 � t,MMM0 � t � 1. 
3–10 Determine se F é ou não um campo vetorial conservador. Se
for, determine uma função f tal que F � �f.
3. F(x, y) � (2x � 3y) i � (�3x � 4y � 8) j
4. F(x, y) � ex sen y i � ex sen y j 
5. F(x, y) � ex cos y i � ex sen y j
6. F(x, y) � (3x2 � 2y2) i � (4 xy � 3) j 
7. F(x, y) � (yex � sen y) i � (ex � x cos y) j 
8. F(x, y) � (2xy � y�2) i � (x2 � 2xy�3) j, y � 0
9. F(x, y) � (ln y � 2xy3) i � (3x2y2 � x/y) j 
10. F(x, y) � (xy cosh xy � senh xy) i � (x2 cosh xy) j 
11. A figura mostra o campo vetorial F(x, y) � k2xy, x2l e três cur-
vas que começam em (1, 2) e terminam em (3, 2). 
(a) Explique por que tem o mesmo valor para as três
curvas.
(b) Qual é esse valor comum?
xC F � dr
xC � f � dr
xC � f � dr
y
x0 3
3
2
1
21
1
3
8
6
5
2
4
7
9
x
y
0
1
2
0 1 2
y
x0
10
20
30
40
50
60
C
16.3 Exercícios
É necessário usar um sistema de computação algébrica 1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.comSCA
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	16- Cálculo Vetorial
	16.3 Exercícios