Anagramas e Combinatória

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29.	Em relação à palavra BEBÊ:
	a) quantos são os anagramas?
	b) quais são os anagramas?
Por convenção, não se considera a acentuação gráfica 
nos anagramas. Na palavra bebê, por exemplo, há a 
repetição de 2 letras E, independentemente de ter 
acento ou não.
Fique atento
	30.	Determine quantos são os anagramas das palavras:
	a) MISSISSIPPI;
	b) ARARAQUARA;
	c) ABÓBORA;
	d) BISCOITO;
	e) ARARAQUARA que começam e terminam com A.
	31.	Em um lote imobiliário são utilizadas 30 bandeiras 
exatamente iguais, senão pelas cores, para delimitar a 
área do novo empreendimento. As bandeiras são dis-
postas em linha reta, na lateral do lote próxima à rodo-
via e paralela a ela, à mesma distância uma da outra.
 Bandeiras verde, azul e roxa.
As bandeiras têm 3 cores diferentes: 12 delas são ver-
des, 8 azuis e 10 roxas. De quantas maneiras diferentes 
é possível dispor as bandeiras? Indique a resposta no 
caderno, se necessário, usando fatorial.
	32.	Fabiana tem 4 camisetas iguais, sendo 2 pretas e 2 
brancas. De quantas maneiras diferentes ela pode em-
pilhar as 4 camisetas na estante do guarda-roupa?
	33.	Uma prova tem 10 questões objetivas, cada uma valen-
do 1 ponto se estiver certa ou 0 ponto se estiver errada 
(não há “meio certo” nas questões). De quantos modos 
diferentes é possível tirar nota 7 nessa prova?
	34.	Em um jogo é necessário escolher um trajeto que leve 
de um ponto a outro do tabuleiro.
Z
Y
X
6 anagramas.
BBEE, EEBB, EBEB, 
EBBE, BEEB e BEBE.
34 650 anagramas.
5 040 anagramas.
630 anagramas.
10 080 anagramas.
1 120 anagramas.
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! ? ! ? !
30
12 8 10
De 6 maneiras diferentes.
De 120 modos diferentes.
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Y
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Atividades Não escreva no livro.
A regra do jogo é que só é permitida a locomoção so-
bre as linhas verticais e horizontais do tabuleiro. Além 
disso, só são permitidos 2 movimentos: D (horizontal 
para a direita) e C (vertical para cima).
Por exemplo, para sair de X e chegar a Y é possível per-
correr o trajeto DDDDC ou o trajeto DDCDD. Conside-
rando as regras do jogo, responda aos itens no caderno.
	a) Existem quantos trajetos diferentes que saem de X 
e chegam a Y?
	b) Existem quantos trajetos diferentes que saem de X 
e chegam a Z?
	c) Existem quantos trajetos diferentes que saem de X 
e chegam a Z sem passar por Y?
	35.	Elabore um problema de permutação com repetição 
de elementos cuja resposta seja: 
8
3
!
!
. Depois troque 
com um colega e resolva o problema dele.
	36.	Você já deve ter ouvido falar que todos os compu-
tadores “pensam” apenas em 0 e 1. E é verdade. 
Todas as informações e tudo o que o seu com-
putador está fazendo neste exato momento está 
sendo processado em dados compostos apenas 
de 0 e 1. Isso é o Sistema Binário. [...]
A base binária, assim como a decimal, é capaz 
de simbolizar todos os números possíveis e imagi-
náveis. No entanto, ao contrário da forma mais co-
mum, utiliza apenas os símbolos 0 e 1. No caso de 
“vinte e quatro”, por exemplo, se escreve 11000. E 
“vinte e cinco”? 11001. “Vinte e seis?” 11010. Tal-
vez você já tenha percebido um padrão aí.
THIBES, Victoria. Como funciona o sistema binário? Canal 
Tech. Disponível em: https://canaltech.com.br/produtos/ 
como-funciona-o-sistema-binario/. Acesso em: 7 jul. 2020.
	a) Considere um número binário composto de 4 alga-
rismos 0 (zero) e 3 algarismos 1 (um). Quantos nú-
meros binários de 7 algarismos é possível formar?
Na computação, o bit é uma unidade de informação 
que assume apenas dois valores: 0 ou 1. Já um byte 
é uma unidade de informação formada por 8 bits, 
por exemplo: 01001100 e 10010111. Perceba que o 
primeiro algarismo à esquerda em um byte pode ser 
zero. Você verá isso no terceiro capítulo deste volume.
Fique atento
	b) Elabore um problema de contagem envolvendo o 
conceito de número binário. Depois, troque com 
um colega: ele resolve o seu problema e você resol-
ve o dele. Não se esqueça de conferir a resposta do 
colega.
5 trajetos diferentes.
84 trajetos diferentes.
81 trajetos 
diferentes.
Resposta pessoal.
35 números.
Resposta pessoal.
Tabuleiro 
do jogo.
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Leitura e compreensão
Não escreva no livro.
28
O quadrado mágico
A combinatória é a parte da Matemática dedica-
da a resolver problemas de contagem. Nos enun-
ciados desses problemas geralmente há uma frase 
parecida com: “De quantas maneiras diferentes tal 
fato pode ocorrer?”.
Ao longo do tempo, perguntas como essa foram 
feitas por várias pessoas em momentos diferentes. 
Por exemplo, no livro hindu do século III a.C., intitula-
do Bhagavati Sutra, aparece um problema de análise 
combinatória que pode ser descrito como: De quantas 
maneiras diferentes é possível provar os seis sabores: 
doce, picante, adstringente, azedo, salgado e amar-
go, tomando um, dois ou três sabores de cada vez?
Apareceram na China os quadrados mágicos. 
Conta a lenda que o imperador Yu, o Grande (sécu-
lo XXI a.C.), passeava pela margem do rio Amarelo 
quando viu uma tartaruga com estranhos desenhos 
na casca. Observando bem, os desenhos sugeriam 
nove números formando um quadrado mágico de or-
dem 3. Esse desenho foi chamado de quadrado Lo 
Shu, que pode ser traduzido como “a folha do rio”.
Observe no desenho a seguir a representação 
numérica do quadrado Lo Shu.
Professor, as sugestões para o desenvolvimento desta seção encontram-se nas Orientações específicas deste Manual.
Tartaruga da 
lenda de Lo 
Shu. Ilustração 
adaptada da 
ilustração de 
Linda 
Braatz-Brown.
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3 5 7
8 1 6
Quadrado Lo Shu.
Utilizando esse quadrado, podemos inverter, re-
fletir e rotacionar os números, de maneira a formar 
outros 7 quadrados mágicos de ordem 3. Aparente-
mente todos esses quadrados criados seriam diferen-
tes; mas, na realidade, são algebricamente iguais.
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3 5 7
8 1 6
8 1 6
3 5 7
4 9 2
Inversão do
quadrado
Problemas como esses sempre foram propostos 
e resolvidos sem uma teoria específica; todavia, os 
métodos de contagem que foram usados tanto an-
tigamente como hoje derivam do princípio funda-
mental da contagem.
Fontes de consulta: CORREIA, Fernando C. Discalculia e 
o ensino de análise combinatória. Dissertação (Mestrado 
Profissional em Matemática em Rede Nacional) – Fundação 
Universidade Federal do Amapá, Macapá, 2019. p. 30. 
Disponível em: https://proceedings.sbmac.org.br/sbmac/article/
download/2889/2920; SILVA, Jaime C. A história dos quadrados 
mágicos. Disponível em: http://www.mat.uc.pt/~mat0717/public_
html/Cadeiras/1Semestre/O%20que%20%C3%A9%20um%20
quadrado%20m%C3%A1gico.pdf. Acesso em: 9 jun. 2020.
	 1.	Escreva no caderno todas as 8 possibilidades de 
quadrados mágicos de ordem 3.
	 2.	Considere um tipo de quadrado mágico que não 
tem a propriedade de a soma dos números em 
cada linha, coluna ou diagonal ser igual.
	a) Quantos quadrados mágicos de ordem 3 é 
possível formar com 9 números distintos?
	b) Quantos quadrados mágicos de ordem 4 é 
possível formar com 16 números distintos?
	c) Quantos quadrados mágicos de ordem n é 
possível formar com n2 números distintos?
B
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A
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A resposta 
encontra-se nas Orientações específicas deste Manual.
362 880 quadrados.
22 922 789 888 000 quadrados.
n! quadrados.
Os quadrados mágicos de ordem n são tabelas 
quadradas que têm n2 casas, e cada uma delas con-
tém um número diferente de maneira que a soma 
dos números de cada linha, coluna ou diagonal seja 
a mesma.
Utilizando os números de 1 a 9, quantos quadra-
dos mágicos diferentes de ordem 3 podemos formar?
Podemos formar 1 quadrado mágico de ordem 3. 
Perceba que a soma dos números em cada linha, co-
luna ou diagonal é igual a 15.
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