Princípios da Equivalência e Covariância

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os princípios da equivalência e da covariância 41
onde ηαβ é a métrica da Relatividade Especial e portanto ξ pode ser
(caso assim optemos) coordenadas cartesianas (mas não necessaria-
mente).
2.5.1 Sistema de coordenadas local
As idéias acima – vistas do ponto de vista puramente matemático –
servem, e enfatizamos aqui, para qualquer transformação arbitrária
de coordenadas. Por exemplo, vamos, vamos imaginar que estamos
num espaço pseudo-euclideano (um referencial inercial) descrito por
coordenadas cartesianas e queremos descrever este mesmo espaço por
coordenadas esféricas (obviamente apenas a parte espacial da métrica).
Nesta transformação é importante que as coordenadas não estejam ace-
leradas, isto é, não dependam do tempo e também que as origens dos
sistema de coordenadas cartesiano e esférico coincidam. Em outras pa-
lavras, deve haver repouso entre o conjunto de diferentes coordenadas.
Obviamente o tempo é o mesmo, independente de como descrevamos
a parte espacial da métrica. A transformação de um sistema cartesiano
ξ para um sistema de coordenadas qualquer (x1, x2, x3) nos dá
ds2 = η00(dξ0)2 + ηik dξ i dξk = (dξ0)2 + ηik
∂ξ i
∂xl
∂ξk
∂xm dxl dxm. (2.23)
Em outras palavras, como x0 = ξ0 podemos escrever o intervalo acima
como
ds2 = (dx0)2 + glm dxl dxm com glm = ηik
∂ξ i
∂xl
∂ξk
∂xm . (2.24)
No caso particular de coordenadas esféricas, temos:
ξ1 = x, ξ2 = y ξ3 = z;
x1 = r, x2 = θ x3 = ϕ. (2.25)
A relação entre as variáveis, como sabemos, é
x = r sin θ cos ϕ
y = r sin θ sin ϕ
x = r cos θ. (2.26)
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42 uma introdução à teoria do espaço e do tempo
Como ηik = −δi
k, segue que glm = − ∂ξ i
∂xl
∂ξk
∂xm . Os únicos termos diferen-
tes de zero em glm são
−grr =
(
∂x
∂r
)2
+
(
∂y
∂r
)2
+
(
∂z
∂r
)2
= sin2 θ
(
cos2 ϕ + sin2 ϕ
)
+ cos2 θ
= 1 (2.27)
−gθθ =
(
∂x
∂θ
)2
+
(
∂y
∂θ
)2
+
(
∂z
∂θ
)2
= r2 cos2 θ
(
cos2 ϕ + sin2 ϕ
)
+ r2 sin2 θ
= r2 (2.28)
−gϕϕ =
(
∂x
∂ϕ
)2
+
(
∂y
∂ϕ
)2
+
(
∂z
∂ϕ
)2
= r2 sin2 θ
(
cos2 ϕ + sin2 ϕ
)
= r2 sin2 θ (2.29)
Disto concluímos que, em coordenadas esféricas, o intervalo ds2 do
espaço-tempo vale
ds2 = c2 dt2 − dr2 − r2 dθ2 − r2 sin2 θ dϕ2 (2.30)
Obviamente que este resultado era por nós conhecido.
2.6 A Física
Vamos agora ver onde entra a idéia de Einstein acerca do Princípio da
Equivalência. Em um sistema S localmente inercial de coordenadas ξ,
o movimento de uma partícula livre é dado portanto
mo
d2ξα
dτ2 = 0. (2.31)
Nesta expressão, mo é a massa de repouso da partícula, e τ seu tempo-
próprio. Esta equação não é válida para sistemas de coordenadas
arbitrárias, mas apenas para referenciais inerciais. No entanto, segundo
Einstein, a transformação entre referenciais é uma simples transforma-
ção de coordenadas. Podemos então passar das coordenadas ξ para as
coordenadas x usando
dξα
dτ
=
∂ξα
∂xµ
dxµ
dτ
(2.32)
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os princípios da equivalência e da covariância 43
Tomando a derivada em τ da expressão acima ficamos com
d
dτ
(
dξα
dτ
)
= 0 =
∂
∂xµ
(
∂ξα
∂xµ
dxµ
dτ
)
dxν
dτ
=
∂2ξα
∂xµ∂xν
dxµ
dτ
dxν
dτ
+
∂ξα
∂xµ
∂
∂xν
(
dxµ
dτ
)
dxν
dτ
= d
dτ
(
dxµ
dτ
)
=
∂ξα
∂xµ
d2xµ
dτ2 +
∂2ξα
∂xµ∂xν
dxµ
dτ
dxν
dτ
(2.33)
Podemos agora multiplicar o lado direito da expressão acima por dxλ
∂ξα e
usar o fato que
∂xλ
∂ξα
∂ξα
dxµ = δλ
µ (2.34)
e escrever
dxλ
∂ξα
∂ξα
∂xµ
=δλ
µ
d2xµ
dτ2 +
dxλ
∂ξα
∂2ξα
∂xµ∂xν
dxµ
dτ
dxν
dτ
= 0
d2xλ
dτ2 +
dxλ
∂ξα
∂2ξα
∂xµ∂xν
dxµ
dτ
dxν
dτ
= 0
d2xλ
dτ2 + Γλ
µν
dxµ
dτ
dxν
dτ
= 0 (2.35)
onde os Γλ
µν definidos via
Γλ
µν =
dxλ
∂ξα
∂2ξα
∂xµ∂xν
(2.36)
são os conhecidos coeficientes de conexão ou coeficientes de conexão
afim.
Uma vez que para o sistema de coordenadas x o corpo cai, a equação
(2.35) de movimento deve conter o campo gravitacional. Disto vemos
que os Γλ
µν devem estar relacionados à aceleração gravitacional, pelo
menos em primeira aproximação. Mostraremos agora que os Γλ
µν e
gµν estão relacionados: os coeficientes de conexão são expressos como
derivadas da métrica.A consequência disto é grande, pois se os Γλ
µν
são dados por derivadas de gµν e o campo gravitacional é o gradiente
de um potencial, então os gµν são potenciais gravitacionais. Em outras
palavras, o que interpretamos como potencial gravitacional nada mais
é que a curvatura do espaço.
2.7 Relação entre Γλ
µν e gµν
Nossa discussão anterior mostrou que os campos que determinam a
força gravitacional são os coeficientes de conexão afim Γλ
µν. O que
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44 uma introdução à teoria do espaço e do tempo
pretendemos mostrar aqui é que pela relação entre os coeficientes e
gµν, esta última grandeza pode ser interpretada como um potencial
gravitacional (isto explica o porque da famosa Equação de Campo de
Einstein ser uma equação para gµν).
Lembremos a relação entre os tensores métricos
gµν =
∂ξα
∂xµ
∂ξβ
∂xν
ηαβ (2.37)
Vamos derivar esta equação em relação à variável xλ:
∂gµν
∂xλ
=
∂2ξα
∂xλ∂xµ
∂ξβ
∂xν
ηαβ +
∂ξα
∂xµ
∂2ξβ
∂xλ∂xν
ηαβ (2.38)
Sabemos porém que
Γλ
µν =
∂xλ
∂ξα
∂2ξα
∂xµ∂xν
(2.39)
e se multiplicarmos ambos os lados da expressão acima por ∂ξα
∂xλ obtemos
∂ξα
∂xλ
Γλ
µν =
∂ξα
∂xλ
∂xλ
∂ξα
=1
∂2ξα
∂xµ∂xν
∂ξα
∂xλ
Γλ
µν =
∂2ξα
∂xµ∂xν
(2.40)
Isto implica que podemos escrever a expressão para ∂gµν
∂xλ como
∂gµν
∂xλ
= Γρ
λµ
∂ξα
∂xρ
∂ξβ
∂xν
ηαβ + Γρ
λν
∂ξα
∂xµ
∂ξβ
∂xρ ηαβ. (2.41)
Como
∂ξα
∂xρ
∂ξβ
∂xν
ηαβ = gρν
∂ξα
∂xµ
∂ξβ
∂xρ ηαβ = gρµ (2.42)
podemos escrever
∂gµν
∂xλ
= Γρ
λµ gρν + Γρ
λν gρµ. (2.43)
Podemos agora obter equações semelhantes trocando, na expressão
acima, primeiro µ por λ e depois ν por λ. Isto nos leva às equações
∂gλν
∂xµ = Γρ
µλ gρν + Γρ
µν gρλ (2.44)
∂gµλ
∂xν
= Γρ
νµ gρλ + Γρ
νλ gρµ (2.45)
Somando agora as duas primeiras expressões e subtraindo a terceira
temos
∂gµν
∂xλ
+
∂gλν
∂xµ −
∂gµλ
∂xν
= Γρ
λµ gρν + Γρ
λν gρµ
+ Γρ
µλ gρν + Γρ
µν gρλ
− Γρ
νµ gρλ − Γρ
νλ gρµ. (2.46)
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Lembremos porém que Γα
βγ = Γα
γβ bem como gαβ = gβα. Levando em
conta estas simetrias é fácil mostrar que a equação acima se resume à
∂gµν
∂xλ
+
∂gλν
∂xµ −
∂gµλ
∂xν
= 2Γρ
λµ gρν. (2.47)
Multiplicando ambos os lados por gκν e considerando que gκνgρν = δκ
ρ
obtemos finalmente
Γκ
λµ =
1
2
gκν
(
∂gµν
∂xλ
+
∂gλν
∂xµ −
∂gµλ
∂xν
)
(2.48)
Esta é a expressão que procurávamos. Vamos agora ver no próximo
capítulo como a equação de movimento por nós encontrada reproduz
o campo gravitacional Newtoniano na aproximação de campos fracos e
velocidades baixas.
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