Exercícios de Centro de Massa

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Lista de Exerćıcios 12 - Centro de Massa
1. Uma criança de m1=24 kg está 20 m de um adulto
de m2=80 kg. Onde é o centro de massa desse
sistema?
Resposta: 15,4 m
2. Três pontos de massas de 2 kg cada um está locali-
zado em: x=0 m, x=0.20 m e x=0.50 m. Encontre
o centro de massa do sistema.
Resposta: 0,23 m
3. Uma part́ıcula de 2 kg tem coordenada xy(-1,20 m,
0,500 m), e uma part́ıcula de 4 kg tem coordenadas
xy(0,600 m, -0,750 m). Ambas estão em um plano
horizontal. Em que coordenada x e y deve ser posi-
cionada uma terceira part́ıcula de 3 kg para que o
centro de massa do sistema de três part́ıculas tenha
coordenadas xy(-0,500 m,-0,700 m)?
Resposta: x=-1,50 m, y=-1,43 m.
4. A figura mostra um sistema de três part́ıculas de
massas m1 = 3 kg, m2 = 4 kg e m3 = 8 kg. As
escalas do gráfico são definidas por xs = 2 m e
ys = 2 m. Quais são as coordenadas x e y do centro
de massa do sistema?
Resposta: xCM = 1, 07 m, YCM = 1, 33 m
5. Mostre que o centro de massa de um anel semicircu-
lar uniforme de raio R e densidade linear de massa
λ é 2R/π.
6. Um taco de beisebol de comprimento L tem uma
densidade linear (massa por unidade de compri-
mento) dada por λ = λo(1 + x2/L2). Encontre
a coordenada x do centro de massa em termos de
L.
Resposta: 9L/16.
7. Dois patinadores, um de 65 kg e outro de 40 kg,
estão em uma pista de gelo e segura as extremida-
des de uma vara de 10 m de comprimento e massa
despreźıvel. Os patinadores se puxam ao longo da
vara até se encontrarem. Qual é a distância per-
corrida pelo patinador de 40 kg?
Resposta: 6,2 m
8. Um canhão dispara um projétil com uma veloci-
dade inicial ~vo = 20 m/s e um ângulo θo = 60◦
com a horizontal. No ponto mais alto da trajetória,
o projétil explode em dois fragmentos de massas
iguais. Um fragmento, cuja velocidade imediata-
mente após a colisão é zero, cai verticalmente. A
que distância do canhão cai o outro fragmento, su-
pondo que o terreno é plano e que a resistência do
ar pode ser desprezada?
Resposta: 53 m
9. Você (massa 80 kg) e Bubba (massa 120-kg) estão
em um barco a remo (massa 60-kg) em um lago
calmo. Você está no centro do barco, remando, e
ele está na parte de trás, a 2 m do centro. Você
se cansa e pára de remar. Bubba se oferece para
remar e, depois que o barco parar, você troca de
lugar. Até que ponto o barco se move? (despreze
qualquer força horizontal exercida pela água).
Resposta: 0,308 m.
10. Na figura, duas part́ıculas são lançadas da origem
do sistema de coordenadas no instante t=0 s. A
part́ıcula 1, de massa m1 = 5 g, é lançada hori-
zontalmente para a direita, em um piso sem atrito,
com velocidade escalar de 10,0 m/s. A part́ıcula 2,
de massa m2 = 3 g, é lançada com uma velocidade
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escalar de 20,0 m/s e um ângulo tal que se mantém
verticalmente acima da part́ıcula 1.
a) Qual é a altura Hmax alcançado pelo CM do
sistema de duas part́ıculas? (na notação de vetores
unitários)
b) Qual é a velocidade de duas part́ıculas?
c) Qual é a aceleração do CM ao atingir Hmax?
11. A figura mostra um arranjo com um trilho de ar
no qual um carrinho está preso por uma corda a
um bloco pendurado. O carrinho tem massa m1 =
0, 60 kg e o centro do carrinho está inicialmente nas
coordenadas xy(-0,50 m, 0,0 m); o bloco tem massa
m2 = 0, 40 kg e o centro do bloco está inicialmente
nas coordenadas xy(0 m, -0,10 m). As massas da
corda e da polia são despreźıveis. O carrinho é
liberado a partir do repouso, e o carrinho e o bloco
se movem até que o carrinho atinja a polia. O atrito
entre o carrinho e o trilho de ar e o atrito entre a
polia são despreźıveis.
a) Qual é a aceleração do centro de massa
do sistema carrinho-bloco na notação de vetores
unitários?
b) Qual é o vetor velocidade do CM em função do
tempo?
Resposta: a) (2,35̂i-1,57ĵ) m/s2 b) (2,35̂i-
1,57ĵ)t m/s
12. Ricardo, com 80 kg de massa, e Carmelita, que é
mais leve, estão apreciando o pôr do sol no Lago
Mercedes em uma canoa de 30 kg. Com a ca-
noa imóvel nas águas calmas do lago, o casal troca
de lugar. Seus acentos estão separados por uma
distância de 3,0 m e simetricamente dispostos em
relação ao centro da embarcação. Se, com a troca, a
canoa se desloca 40 cm em relação ao atracadouro,
qual é a massa de Carmelita?
Resposta: 57,7 kg.
13. Na figura, um cachorro de 4,5 kg está em um barco
de 18 kg a uma distância D=6,1 m da margem. O
animal caminha 2,4 m ao longo do barco, na direção
da margem, e para. Supondo que não há atrito
entre o barco e a água, determine a nova distância
entre o cão e a margem.
Resposta: 4,2 m
14. Um carro de 1500 kg se move para oeste com uma
velocidade de 20 m/s, e um caminhão de 3000 kg
está viajando para leste com uma velocidade de
16 m/s. Qual é a velocidade do centro de massa
do sistema?
Resposta: 4 m/s
15. As três part́ıculas da figura estão inicialmente em
repouso. Cada uma sofre a ação de uma força ex-
terna produzida por um corpo fora do sistema. A
orientação das forças está indicada na figura, e os
módulos são F−1 = 6, 0 N, F2 = 12 N e F3 = 14 N.
Qual é a aceleração (módulo e orientação) do centro
de massa do sistema?
Resposta: aCM,x = 1, 03 m/s2, aCM,y =
0, 53 m/s2, θ=27◦.
16. Um sistema consiste em três part́ıculas como mos-
tra a figura. Encontre o centro de massa do sistema.
As massas das part́ıculas são m1 = m2 = 1, 0 kg e
m3 = 2, 0 kg.
Resposta: ~rCM = (0, 75̂i+ 1, 0ĵ) m
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17. a) Mostre que o centro de massa de uma barra de
massa M e comprimento L fica meio caminho en-
tre suas extremidades, considerando que ela tenha
massa uniforme por unidade de comprimento.
b) Suponha que uma barra seja não uniforme, tal
que sua massa por unidade de comprimento va-
rie linearmente com x de acordo com a expressão
λ = αx, onde α é uma constante. Encontre a coor-
denada x do centro de massa como uma fração de
L.
Resposta: a) L/2, b) 2L/3
18. Pediram-lhe que pendurasse uma placa de sina-
lização por uma única corda vertical. A placa tem
formato triangular, como mostra a figura. Sua
parte inferior deve ser paralela ao chão. A que
distância da extremidade da esquerda da placa você
deve amarra a corda de sustentação?
Resposta: 2a/3
19. A massa da Terra é 5,97×1024 kg, e a da Lua é
7,35×1022 kg. A distância de separação entre seus
centros é 3,84×108 m. Localize o centro de massa
do sistema Terra-Lua conforme medido a partir do
centro da Terra.
20. Quatro corpos estão situados ao longo do eixo y
da seguinte forma: um de 2,00 kg está a +3,00 m;
outro, de 3,00 kg está a +2,50 m; o terceiro, de
2,50 kg, está na origem e um corpo de 4,00, a -
0,500 m. Onde está o centro de massa desses cor-
pos?
Resposta: ~rCM = (0̂i+ 1, 00ĵ) m
21. Um pedaço uniforme de folha de metal é moldado
conforme mostra a figura. Calcule as coordenadas
x e y do centro de massa da folha.
22. Exploradores da floresta encontram um monu-
mento antigo na forma de um grande triângulo
isósceles, como mostra a figura. O monumento é
feito de dezenas de milhares de pequenos blocos de
pedra de densidade 3800 kg/m3. Ele tem 15,7 m de
altura e 64,8 m de largura em sua base, com espes-
sura de 3,60 m em todas as partes da frente para
trás. Antes de o monumento ser constrúıdo, muitos
anos atrás, todos os blocos de pedra foram coloca-
dos no solo. Quanto trabalho os construtores reali-
zam sobre eles para coloc=a-los na posição ao cons-
truir o monumento inteiro? Observações: a energia
potencial gravitacional de um sistema corpo-Terra
é definida por Ug = MgyCM , onde M é a massa
total do corpo e yCM é a elevação de seu centro de
massa acima do ńıvel de referência escolhido.
Resposta: 3, 57 × 108 J
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23. Uma barra de 30,0 cm de comprimento tem densi-
dade linear (massa por comprimento) definida por
λ = 50, 0 + 20, 0x, onde x é a distância a partir de
uma extremidade, medida em metros, e λ é expres-
sada em gramas/metro.
a) Qual é a massa da barra?
b) A que distância da extremidade x = 0 m estáseu centro de massa?
24. Um homem de massa m se agarra a uma escada de
corda, suspensa abaixo de um balão com massa M .
O balão está parado em relação ao solo.
a) Se o homem começa a subir a escada com velo-
cidade de intensidade v (em relação à escada), em
que direção e com qual intensidade de velocidade
(em relação à Terra) o balão irá se mover?
b) Qual é o estado do movimento depois de o ho-
mem ter parado de subir?
25. A figura mostra uma placa composta com di-
mensões de 22,0 cm x 13,0 cm x 2,80 cm. Me-
tade da placa é composta de alumı́nio (densidade
= 2,70 g/cm3), enquanto a outra metade é de ferro
(densidade = 7,85 g/cm3), como mostrado. Onde
é o centro de massa da placa?
26. A figura mostra a estrutura de uma molécula de
água. A distância entre os átomos é dada por d =
9, 57 × 10−11 m. Cada átomo de hidrogênio possui
massa igual a 1,0u. Calcule a posição do centro de
massa.
Resposta: xCM = 6, 5 × 10−12 m
27. Dois corpos, cada um constitúıdo de pesos de um
conjunto de pesos, são conectados por uma corda
leve que passa sobre uma polia leve, sem atrito, e
com diâmetro de 56,0 mm. Os dois corpos estão
no mesmo ńıvel. Cada corpo tem originariamente
uma massa de 850 g.
a) Localize o centro de massa deles.
b) Trinta e quatro gramas são transferidos de um
corpo para o outro, mas os corpos são impedidos
de se mover. Localize o centro de massa deles.
c) Os dois corpos são agora liberados. Descreva
o movimento do centro de massa e determine sua
aceleração.