Produtos Notáveis em Matemática

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Desenvolvimento de Produtos Notáveis –
Parte 1
Matemática
3o bimestre - Aula 2
Ensino Médio
● Produtos Notáveis. ● Determinar o produto da soma pela 
diferença de dois termos;
● Determinar o cubo da soma e 
diferença de dois termos.
Simplificação de expressões algébricas 
A simplificação de expressões algébricas consiste em reunir os termos semelhantes e realizar
as operações indicadas. Como exemplo, vamos simplificar a seguinte expressão:
3am − 6m + am − 8 − 2
Reescrevendo a expressão, reunindo os termos semelhantes, temos:
3am + am − 6m − 8 − 2
Agora realizamos as operações indicadas nos grupos de termos semelhantes:
3am + am − 6m − 8 − 2 = 4am − 6m − 10 = m ∙ 4a − 6 − 10
A simplificação da expressão 3am + am − 6m − 8 − 2 resulta em: m ∙ 4a − 6 − 10.
ORGANIZADORES
DO CONHECIMENTO
5 MINUTOS
O produto da soma pela diferença de dois termos resulta na diferença de quadrados de
dois termos.
Podemos escrever a diferença de quadrados na forma fatorada:
a + b ∙ a − b = a2 − b2
Observe a justificativa da equação acima:
Diferença dos Quadrados de Dois Termos
MARQUE AS 
ETAPAS20 MINUTOS
a + b ∙ a − b = a2 −a ∙ b + b ∙ a − b2 = a2 − b2
CONTINUA
O cubo da soma de dois termos pode ser escrito na seguinte forma:
(a + b)3= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Observe a justificativa da equação acima:
Cubo da Soma de Dois Termos
a + b 3 = a + b ∙ a + b 2 = a + b ∙ a2 + 2 ∙ a ∙ b + b2 =
= a3 + 2 ∙ a2 ∙ b + a ∙ b2 + b ∙ a2 + 2 ∙ a ∙ b2 + b3 =
= a3 + 2 ∙ a2 ∙ b + b ∙ a2 + a ∙ b2 + 2 ∙ a ∙ b2
+ b3
⇒ a + b 3 = a3 + 3 ∙ a2 ∙ b + 3 ∙ a ∙ b2 + b3
CONTINUA
O cubo da diferença de dois termos pode ser escrito na seguinte forma:
a − b 3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − 3b3
Observe a justificativa da equação acima:
Cubo da Diferença de Dois Termos
a − b 3 = a − b ∙ a − b 2 = a − b ∙ a2 − 2 ∙ a ∙ b + b2 =
= a3 −2 ∙ a2 ∙ b + a ∙ b2 −b ∙ a2 +2 ∙ a ∙ b2 − b3=
= a3+ −2 ∙ a2 ∙ b + −a2 ∙ b + a ∙ b2 + 2 ∙ a ∙ b2
− b3=
⇒ a − b 3 = a3 − 3 ∙ a2 ∙ b + 3 ∙ a ∙ b2 − b3
Atividade 1 
(SARESP, 2012) – As figuras abaixo representam caixas numeradas de 1 a n, contendo 
bolinhas. A quantidade de bolinhas varia em função do número de cada caixa.
Fonte: Aprender Sempre, V2, Caderno do Aluno,p.119
1 2 3 4 5 n
...
? ? ? 
MOSTRE-ME5 MINUTOS
Aprender Sempre (2022), Caderno do Aluno, SA 1, Aulas 3 e 4, Ativ. 6, p. 119. CONTINUA
A
B
C
D
n2
(n − 1)2
(n + 1)2
(n + 1)
A expressão que representa a “caixa n” é:
A
B
C
D
A expressão que representa a “caixa n” é:
n2
(n − 1)2
(n + 1)2
(n + 1)
Atividade 1 - Correção 
Atividade 1 - Correção
Sejam n, o número da caixa, e Q a 
quantidade de bolinhas de cada caixa.
Para n = 1, temos: Q = 2 ∙ 2 ⇒ Q = 22 = 4 ⇒ Q = 1 + 1 2
22
⇒ Q = n + 1 2
Para n = 2, temos: Q = 3 ∙ 3 ⇒ Q = 32 = 9 ⇒ Q = 2 + 1 2
32
⇒ Q = n + 1 2
Para n = 3, temos: Q = 4 ∙ 4 ⇒ Q = 42 = 16 ⇒ Q = 3 + 1 2
42
⇒ Q = n + 1 2
CONTINUA
Sejam n, o número da caixa, e Q a 
quantidade de bolinhas de cada caixa.
Para n = 4, temos: Q = 5 ∙ 5 ⇒ Q = 52 ⇒ Q = 4 + 1 2
52
⇒ Q = n + 1 2
Para n = 5, temos: Q = 6 ∙ 6 ⇒ Q = 62 ⇒ Q = 5 + 1 2
62
⇒ Q = n + 1 2
Q = n ∙ n ⇒ Q = n2 ⇒ Q = n + 1 2
⋮ ⋮
A
B
C
D
Atividade 2 
O trinômio é um polinômio que possui três termos não semelhantes. A seguir, utilize a 
estratégia do trinômio do quadrado perfeito e fatore os polinômios.
i) p2 + 2pq + q2
ii) y2 + 6y + 9
MOSTRE-ME5 MINUTOS
Aprender Sempre (2022), Caderno do Aluno, SA 1, Aulas 3 e 4, Ativ. 7, p. 120.
A
B
C
D
Atividade 2 - Correção 
O trinômio é um polinômio que possui três termos não semelhantes. A seguir, utilize a 
estratégia do trinômio do quadrado perfeito e fatore os polinômios.
i) p2 + 2pq + q2 = p2 + pq + pq + q2 = p ∙ p + q + q ∙ p + q =
= p + q ∙ p + q = (p + q)2
A forma fatorada é (p + q)2.
ii) y2 + 6y + 9 = y2 + 3y + 3y + 9 = y ∙ y + 3 + 3 ∙ y + 3 =
= y + 3 ∙ y + 3 = (y + 3)2
A forma fatorada é (y + 3)2.
A
B
C
D
Atividade 3 
Utilizando a estratégia da diferença de dois quadrados, fatore os polinômios a seguir.
i) m2 − n2
ii) 9x2 − 4z2
MOSTRE-ME5 MINUTOS
Aprender Sempre (2022), Caderno do Aluno, SA 1, Aulas 3 e 4, Ativ. 8, p. 120.
A
B
C
D
Atividade 3 - Correção 
Utilizando a estratégia da diferença de dois quadrados, fatore os polinômios a seguir.
i) m2 − n2 = m2 + n2 m2 − n2 = (m + n) ∙ (m − n)
A forma fatorada é (m + n) ∙ (m − n)
ii) 9x2 − 4z2 = 9x2 + 4z2 ∙ 9x2 − 4z2 = (3x + 2z) ∙ (3x − 2z)
A forma fatorada é (3x + 2z) ∙ (3x − 2z)
Esta atividade foca na prática de reconhecer a fatoração de um produto notável. Para 
resolver, basta associar um polinômio à sua forma fatorada. Clique no link abaixo para 
acessar. 
OBSERVAÇÃO 
ATIVA
https://wordwall.net/pt/resource/5477663/produtos-not%C3%A1veis
Observe a diferença de estrutura entre os diferentes tipos de fatoração apresentados no 
exercício. São eles: diferença dos quadrados de dois termos, quadrado da soma de dois 
termos e quadrado da diferença entre dois termos.
5 MINUTOS
https://wordwall.net/pt/resource/5477663/produtos-not%C3%A1veis
A
B
C
D
E
3(a + b)
3ab
3ab(a + b)
3(a − b)
3ab(a − b)
Desafio: a diferença entre o cubo da soma e a soma dos cubos de dois números 
inteiros a e b resulta: 
MOSTRE-ME5 MINUTOS
A
B
C
D
E
3(a + b)
3ab
3ab(a + b)
3(a − b)
3ab(a − b)
Desafio: A diferença entre o cubo da soma e a soma dos cubos de dois números 
inteiros a e b resulta: 
Desafio - Correção
A diferença entre o cubo da soma e a soma dos cubos de dois números inteiros a e b resulta:
a + b 𝟑 − a3 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 − a3 − b3 =
= 3a2b + 3ab2 = 3ab(a + b)
Resposta: c
Desenvolvimento de Produtos Notáveis - Parte 1
● Relembramos como simplificar uma equação algébrica;
● Determinamos o cubo da soma e diferença de dois termos;
● Aplicamos as técnicas de produtos notáveis nos seguintes casos: quadrado da soma de 
dois termos, quadrado da diferença de dois termos e diferença de quadrados de dois 
termos.
LEMOV, D. Aula nota 10 2.0: 62 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto 
Alegre: Penso, 2018.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Aprender Sempre, 2023. Caderno do 
Professor, Matemática, 1a à 3a série do Ensino Médio, Volume 2, Parte 1, Sequência de 
Atividades 5, Aulas 1 e 2. Disponível em: efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-
content/uploads/2022/10/EM-MT-Professor-Vol2-Parte-I-Ebook_credito-novo.pdf Acesso em: 
11 mai. 2024.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Aprender Sempre, 2023. Caderno do Aluno, 
Língua Portuguesa e Matemática, Volume 1, Sequência de Atividades 5, Aulas 1 e 2. 
Disponível em: Cópia-de-EM-1ª-Série-Vol-2-Ebook.pdf (educacao.sp.gov.br). Acesso em: 11 
mai. 2024. 
https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2022/10/EM-MT-Professor-Vol2-Parte-I-Ebook_credito-novo.pdf
https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2022/10/EM-MT-Professor-Vol2-Parte-I-Ebook_credito-novo.pdf
https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2022/06/C%C3%B3pia-de-EM-1%C2%AA-Se%CC%81rie-Vol-2-Ebook.pdf
Lista de Imagens:
Slides 7, 10 e 11 - Aprender Sempre, Caderno do Aluno, V.2, Sequência de Atividades 3 e 4. 
Disponível em: Cópia-de-EM-1ª-Série-Vol-2-Ebook.pdf (educacao.sp.gov.br). Acesso em: 11 mai. 
2024. 
https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2022/06/C%C3%B3pia-de-EM-1%C2%AA-Se%CC%81rie-Vol-2-Ebook.pdf
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	Slide 2
	Slide 3: Simplificação de expressões algébricas 
	Slide 4: Diferença dos Quadrados de Dois Termos
	Slide 5: Cubo da Soma de Dois Termos
	Slide 6: Cubo da Diferença de Dois Termos
	Slide 7: Atividade 1 
	Slide 8
	Slide 9: A expressão que representa a “caixa n” é:
	Slide 10: Atividade 1 - Correção
	Slide 11
	Slide 12: Atividade 2 
	Slide 13: Atividade 2 - Correção 
	Slide 14: Atividade 3 
	Slide 15: Atividade 3 - Correção 
	Slide 16
	Slide 17
	Slide 18
	Slide19: Desafio - Correção
	Slide 20: Desenvolvimento de Produtos Notáveis - Parte 1
	Slide 21
	Slide 22
	Slide 23