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Geometria Analítica

Geometria Analítica é uma disciplina da matemática que estuda as figuras geométricas por meio de ferramentas algébricas. Durante as aulas, os alunos aprendem a representar pontos, retas e planos em um sistema de coordenadas cartesianas, além de estudar as equações que descrevem essas figuras. A disciplina é importante para diversas áreas, como engenharia, física e computação gráfica, que utilizam conceitos de Geometria Analítica para modelar e resolver problemas em três dimensões. O conhecimento em Geometria Analítica é fundamental para quem deseja seguir carreira nessas áreas ou em outras que envolvam cálculo e modelagem matemática.

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Caio Guimarães - Matemática em Nivel ITA-IME - Vol 2

RESTRICTED

Exatas

Matemática

Geometria

Graduate

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro

assis moraes

Outros

Other

|■ |u|)■ cose k < 0

Da Lei dos Cossenos, vale: |u — v|2 = |ü|2

Utilizando o Resultado 1.3.1:
(ü-v) (ü-v) = ü-ü + vv - 2jú| |v| cos0

Demonstração...

|■ |u|)■ cose k < 0 Da Lei dos Cossenos, vale: |u — v|2 = |ü|2 Utilizando o Resultado 1.3.1: (ü-v) (ü-v) = ü-ü + vv - 2jú| |v| cos0 Demonstração: ü (v +w) = (xu, yu, zu) ((xv, yv, zv) + (xw,.yw, zw)) = (xu* yu. zu) (xv *** xw yv Vw' + zw) — xu (xv + xw) + yu (yv + yw) + zu (zv + zw) = (XU Xv + yu yv + Zu zv) + (xu xw + yu yw + zu zw) ü w □ Matemática em Nível IME/ITA-Volume II28 Perpendicularismo entre 2 Vetores Resultado 1.3.5 (a,b)±(-b,a) e (a.b) 1 (b,-a) Determine o ângulo entre ú e v. Do resultado 1.3.1 (ü + 2v) (ü + 2v) = (ü-v) (ü-v) => 3 = -6-1-1-COS0 Logo, o ângulo 0 entre os dois vetores é: 0 = 120° Demonstração: As demonstrações tanto da “ida” quanto da “volta'' da relação de “se e somente se” acima, saem direto da Relação Geométrica do produto escalar. Solução: Considere a igualdade: Exemplo 1.3.a (EN) Dados dois vetores unitários ü e v tais que: |ü + 2v| = |ü-v| OBS.: Note que, para acharmos um vetor perpendicular a um vetor (a,b), no R2, basta invertermos as posições de a e b, e trocarmos o sinal de um eles. Ou seja: Sejam os vetores ü e v não-nulos. É válido que: ü _L v <=> ú v = 0 üv = 0 o |ü|-|v| cos0 = 0 <=> cosO = 0 oülvo |ü - v|2lü + 2v|2 => u ü + 4uv +4vv=üü-2üv +vv => |ü|2 + 4ü v + 4|v|2 = |ü|2 - 2ü v + |v|2 => 3|v|2 = -6ü v =» 3-1 = -6|ú|-|v| cos0 n 1 COS0 =----- 2 Capitulo 1 - Vetores 29 |2 ,2 Visão Geométrica do Produto Escalar: Projeção projvu Resultado 1.3.6 Demonstração: □üv _v PI PI O módulo do vetor projeção é dado por: |projvü| = |ü|cos0 = Solução: Como é v paralelo a p, e wé perpendicular a p, temos que: v ± w => v ■ w = 0 Exemplo 1,3.b (EN - 2003) Sabendo que v é paralelo a p e w é perpendicular a p , e dado que: ü = 2i + j - 3k; p = 3i - j; ü = v +w . Determine o valor de: |v - w| Sejam os vetores ü e v não-nulos e não paralelos. Demonstra-se que projeção de ü em v é dada por: projúv Figura 1.3.2 |ü| |v| ■ COSO u v ' Pi = PT O sentido e direção da projeção é dado pelo versor de v , -i- ü v v üv proJvu = |PrM'v = jzi = ^- v Portanto: |v-w|2 = (v - w) (v - w) = v ■ v - 2y ■ w + ww = |v|: Além disso: |v + w|2 = (v + w)(v + w) = v • v + 2yw + w w = |v|2 + |w|: =0 Logo: |v - w| = |v + w| = |ü| = ^22 + 1 + (~3)2 = VÍ4 ||v - w| = >/Í4| PI2 |w|2 Capítulo 1 - Vetores 31 |w|2 0 v proj^ü Figura 1.3.3 A= (1,1,1) B C = (0,-2,3) Sabe-se que: •BC BH = Finalmente 18(H-B) = 7(C-B) H = H = Note que o caso em que o ângulo 0 é obtuso está incluso na demonstração. Neste caso o produto escalar, que acaba dando o sentido do vetor projeção, será negativo, e. portanto, a projeção terá sentido contrário ao de v . Solução: Considere a figura abaixo. ^0 (1.2,4) (0, -14, 21) + (11, 22, 44) 18 BC = — BC 18 BH = — BC 18 7C + 11B 18 11 4 65 18’ 9' 18 11 4 651 18' 9' 18J H = ? Figura I BH = projBCBA = BÃ = A - B = (1, 1, 1) - (1, 2, 4) = (0, -1, -3) BC = C - B = (0, -2, 3) - (1, 2, 4) = (-1, -4, -1) BÃ BC |BC|2 (0, -1, -3) (-1, —4, -1) — (-1)2 + (—4)2 + (-1)2 Exemplo 1.3.C Considere o triângulo dado pelos vértices A = (1. 1. 1), B = (1, 2, 4) e C = (0, -2, 3). Calcule as coordenadas do "pé" H da altura relativa ao lado BC. Capítulo 1 - Vetores 32 Figura 1.3.4 D = (0.1) C =(1,1) GF A = (0,0) E (e,0) Com isso: (e,-1) = k (1J-1) f-1 (Lembrando que os passos acima são válidos uma vez que f#1,e#0) Podemos escrever agora: AF = F - A DF = F - D = (1, f-1) DE = E - D = (e, -1) Exemplo 1.3.d Seja E um ponto sobre o prolongamento por B do lado AB do quadrado ABCD. Seja F a interseção de DE e BC e G, a interseção de AF e CE Prove que BG é perpendicular a DE. B = (1,0) Figura I f = ±ü e Solução: Considere o sistema de eixos adotado tais que o lado do quadrado ABCD seja unitário. Desta forma, representemos as coordenadas de F e E por: E = (e,0) eF = (1,f). Sendo G = (x.y) a interseção das retas CE e AF, temos: ÍCG // CE => CG = m CE, meP. [AG // AF == AG = n AF, neR Como os vetores DE e DF são paralelos, existe um fator real k, tal que: DÊ = k DF k = -1 Matemática em NIvel IME/ITA- Volume II32 G - A = n(F-A) , n e Rn, m(e-1), 1-m)Com isso: => 1 + m(e - 1) = n = Resolvendo: e ■ m m = m = 1 + m(e - 1) A coordenada de G neste sistema será: G = , 1 - Temos portanto: - (1 0) =BG = G - B = DE = (e. -1) DE BG = (e, -!)■ = 0 Do resultado 1.3.5, temos que DE e BG são perpendiculares. □ v = produto vetorial de ü por v 1.4. Produto Vetorial Vimos que o resultado do produto interno entre 2 vetores é um número escalar. O desenvolvimento da física exigiu da matemática o estudo das propriedades de um outro tipo de produto entre 2 vetores. A notação do produto vetorial, também conhecido como Produto Externo, pode ser encontrada na literatura nas formas a seguir: v = ü e(e - 1) e2 - e + 1 + m(e-1), 1-m), meR n(e-1) e e2 - e 1' e2 - e + 1 2^1] = (- De onde segue (dado que e 1) n = 1 + m(e - 1) e(1 - m) e - 1 e(e-1) í e2 - e + 1 e2 - e í’ e2 - e + 1 e2 ü x e-1 e2 - e + 1 e2 - e í’ e2 - e + 1 e2 erminar o sentido definido do produto vetorial, deve-se seguir os passos (ilustrado na

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Questões para Estudantes: Compartilhando questões desafiadoras para estudantes de diversas áreas do conhecimento. Vamos juntos testar nossos conhecimentos e aprender mais sobre os assuntos que nos interessam!

Questões para Estudantes

Exemplo 1.4.b
a) Verifique se os pontos A = (1,2), B = (-2,-2) e C = (2,4) são colineares no plano R2.
b) Determine o valor de t para que C = (t, 2...

Exemplo 1.4.b a) Verifique se os pontos A = (1,2), B = (-2,-2) e C = (2,4) são colineares no plano R2. b) Determine o valor de t para que C = (t, 2t) seja colinear com A = (1,2) e B = (-2.-2). c) Verifique se os pontos A = (1,3,3), B = (2,1,0), C = (4,-3,-6) do R3 são colineares no espaço R3.

Dado o mesmo triângulo proposto no resultado anterior, é possível provar (veja Apêndice) que a bissetriz interna de um de seus ângulos internos (Â,...

Dado o mesmo triângulo proposto no resultado anterior, é possível provar (veja Apêndice) que a bissetriz interna de um de seus ângulos internos (Â, por exemplo) e as bissetrizes externas dos outros dois ângulos (B e Ôj) se cruzam em um único ponto chamado Exincentro Referente ao Lado Oposto a À (BC). As coordenadas desse ponto são também expressas de maneira parecida à do Resultado 1.5.4: -aA + b-B + c-C a) II and IV are correct. b) II, III, and IV are correct. c) I, III, and IV are correct.

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