Equilíbrio de Corpos Rígidos

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Equilíbrio 
De um Corpo 
Rígido 
 
 
 
Professor Rogério Simões 
Acadêmica Ana Flavia Costa 
A 
B 
C 
D 
x 
y 
z 
Sumário 
 
1. Momento de uma Força em Relação a um Ponto 01 
2. Componentes Retangulares do Momento de uma Força 02 
3. Equilíbrio de Corpos Rígidos 13 
3.1.Diagrama de corpo Livre 13 
3.2.Equilíbrio de um Corpo Rígido em Duas Dimensões 13 
3.3.Reações de Apoio e Conexões para uma Estrutura Bidimensional 14 
3.4.Classificação das Estruturas Conforme o Tipo/Quantidade de 
Vinculações 
16 
3.5.Equilíbrio de um Corpo Rígido em Três Dimensões 27 
4. Cargas Distribuídas sobre Vigas 36 
5. Forças sobre Superfícies Submersas 37 
Bibliografia Consultada 45 
Respostas dos Exercícios Propostos 46 
 
1 
Equilíbrio de um Corpo Rígido 
 
Professor Rogério Simões 
Acadêmica Ana Flavia Costa 
1. Momento de uma Força em Relação a um Ponto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Corpo Rígido Genérico 
 
Tomando-se um corpo rígido genérico (Figura 1), define-se o momento de uma força 
 (aplicada em um ponto A deste corpo) em relação a um ponto O como sendo o produto 
vetorial dos vetores e , denotado por: 
 (1) 
Devido à definição de produto vetorial, o vetor do momento é perpendicular ao 
plano que contém o ponto O e a força . O sentido de pode ser obtido através da regra da 
mão direita, onde o polegar indica o sentido do momento e os demais dedos acompanham o 
giro da força ao redor do ponto O. 
Finalmente, θ é o ângulo formado entre as linhas de ação do vetor posição e do 
vetor da força , logo o módulo de pode ser escrito como: 
 (2) 
sendo d a distância perpendicular do ponto O até a linha de ação da força . No S.I, MO é 
medido em [N.m]. 
 
O 
A 
d 
 
 
θ 
 
 
2 
Equilíbrio de um Corpo Rígido 
 
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2. Componentes Retangulares do Momento de uma Força 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 – Cálculo do Momento de uma Força em Relação a um Ponto O Situado na Origem do Sistema de 
Coordenadas 
Tomando-se um ponto A de coordenadas (xA,yA,zA) em um sistema de coordenadas 
retangulares, e uma força aplicada em A, com componentes FAx, FAy e FAz (Figura 2), pode-
se escrever que: 
 (3) 
 (4) 
 (5) 
Reescrevendo dado pela equação (5), com o auxílio das equações (3) e (4), têm-se: 
 
 
 
 
 
(6) 
Ou ainda, pode-se escrever como sendo: 
 (7) 
sendo: 
 (8) 
 (9) 
 (10) 
 x 
y 
z 
O 
 
 
 
 
 
A (xA,yA,zA) 
3 
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Para se calcular o momento de uma força (aplicada em um ponto A) em relação a 
um ponto B arbitrário, diferente da origem do sistema de coordenadas (Figura 3), deve-se 
substituir o vetor por um vetor traçado de B até A ( : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Cálculo do Momento de uma Força em Relação a um Ponto Arbitrário B 
 
Assim, pode-se escrever como: 
 (11) 
 (12) 
ou 
 
 
 
 
 
(13) 
No caso de problemas que envolvam apenas duas dimensões, pode-se admitir que a 
força esteja no plano xy (Figura 4). Tornando zA = 0 e , obtêm-se: 
 (14) 
 
(15) 
 
 
 
x 
y 
z 
O 
A 
 
 
 
 
B 
 
 
4 
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Figura 4 – Cálculo do Momento de uma Força no Plano xy em Relação a um Ponto O Situado na Origem do 
Sistema de Coordenadas 
 
Da mesma forma, para calcular o momento em relação a um ponto B (diferente da 
origem O) de uma força aplicada no plano xy em A (Figura 5), estabelece-se que 
e = 0, obtendo-se: 
 (16) 
 
(17) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 – Cálculo do Momento de uma Força Aplicada no Plano xy em Relação a um Ponto Arbitrário B 
 
Exemplo 1. (Adaptado de BEER et al., 2006, p.85) Uma força vertical de 450N é 
aplicada na extremidade de uma alavanca (ponto A) que está ligada a um eixo em O conforme 
a Figura 6. Determine: 
(a) O momento da força de 450N em relação ao ponto O; 
 x 
y 
z 
O 
A (xA,yA,0) 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
z 
B 
A 
 
 
 
 
 
 
 
O 
5 
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(b) A força horizontal aplicada no ponto A que gera o mesmo momento em relação ao 
ponto O; 
(c) A força mínima aplicada no ponto A que gera o mesmo momento em relação ao 
ponto O; 
(d) A que distância do eixo deve atuar uma força vertical de 1080N para gerar o 
mesmo momento em relação ao ponto O; 
(e) Se alguma das forças obtidas nas partes b, c e d é equivalente à força original. 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 – Esquema do Exemplo 1 
 
 
 
 
 
 
Figura 7 – Distâncias Exemplo 1 
 
a. Momento em relação ao ponto O: 
 
 
 
 
 
b. Força horizontal aplicada no ponto A que produza o mesmo momento MO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
c. Força mínima aplicada no ponto A que produza o mesmo momento MO: 
60cm 
450N 
60° 
O 
A 
d2 
d1 
60° 
60cm 
O 
A 
6 
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d. Ponto onde uma força vertical de 1080 N produz o mesmo momento MO: 
 
 
 
e. Nenhuma das forças consideradas nas partes b, c e d é equivalente à força de 450N. 
Embora tenham o mesmo momento em relação a O, tais forças têm diferentes 
componentes em x e y. 
 
Exemplo 2. (Adaptado de BEER et al., 2006, p.86) Uma força de 800N atua sobre um 
suporte, como mostra a Figura 8. Determine o momento da força em relação ao ponto B. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8 – Esquema do Exemplo 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9 – Vetor Distância do Exemplo 7 
 
 
160mm 
200mm 
60° 
B 
A 
800N 
160mm 
200mm 
60° 
 B 
A 
800N 
 
y 
x 
7 
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 [N.m] 
 
 
Exemplo 3. (Adaptado de BEER et al., 2006, p.86) Uma força de 135N atua na 
extremidade de uma alavanca de 0,9m como mostra a Figura 10. Determine o momento da 
força em relação ao ponto O. 
 
 
 
 
 
 
Figura 10 – Esquema do Exemplo 3 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11 – Decomposição da Força do Exemplo 3 
 
 
 
 
 
 
 
0,9m 
135N 
50° 
O 
A 
20° 
0,9m 
135N 
50° 
O 
A 
20° 
 
8 
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Exemplo 4. (Adaptado de BEER et al., 2006, p.87) Uma placa retangular é sustentada por 
dobradiças nos pontos A e B e por um fio em CD (Figura 12). Sabendo que a tração no fio é 
de 200N, determine o momento em relação ao ponto A da força exercida pelo fio no ponto C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12 – Esquema do Exemplo 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13 – Vetores Distância do Exemplo 4300mm 
80mm 
400mm 
240mm 
A 
B 
C 
x 
y 
z 
80mm 
D 
D 
300mm 
80mm 
400mm 
240mm 
A 
B 
C 
x 
y 
z 
80mm 
 
 
 
9 
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Exercícios Propostos 
 
1) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.89) Uma válvula de pedal para um sistema 
pneumático é articulada no ponto B (Figura 14). Sabendo que α=28°, determine: 
a. O momento de uma força de F=18N, aplicada no ponto A conforme a 
Figura 14, em relação ao ponto B decompondo a força em componentes 
horizontal e vertical; 
b. Repita o cálculo decompondo a força em componentes ao longo da linha ABC 
e em uma direção perpendicular a ABC. Considere a espessura do pedal 
desprezível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 14 – Desenho Exercício 1 
 
2) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.89) Sabe-se que uma força vertical de 800N é 
necessária para remover da tábua o prego fixado no ponto C (Figura 15). Ao primeiro 
movimento do prego, determine: 
a. O momento da força exercida sobre o prego em relação ao ponto B; 
b. A intensidade da força P que cria o mesmo momento em relação ao ponto B se 
α=10°; 
162,5mm 
75mm 
20° 
α 
 A 
B 
C 
10 
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c. A menor força P que cria o mesmo momento em relação ao ponto B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 15 – Desenho Exercício 2 
 
3) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.89) Uma tabuleta é suspensa por duas correntes AE 
e BF (Figura 16). Sabendo que a tração m BF é de 198N, determine: 
a. O momento em relação ao ponto A da força exercida pela corrente BF; 
b. A menor força aplicada no ponto C que cria o mesmo momento no ponto A. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 16 – Desenho Exercício 3 
 
4) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.90) Uma tabuleta é suspense por duas correntes AE 
e BF (Figura 17). Sabendo que a tração na corrente BF é de 198N, determine: 
a. O momento em relação ao ponto A da força exercida pela corrente BF; 
b. A intensidade e o sentido da força vertical aplicada no ponto C que cria o 
mesmo momento em relação ao ponto A; 
c. A menor força aplicada no ponto B que cria o mesmo momento em relação ao 
ponto A. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 17 – Desenho Exercício 4 
450mm 
 100mm 
70° 
α 
 
A 
B 
C 
 1,32m 
 1,95m 
0,93m 
A 
B 
C D 
E F 
60° 
 1,32m 
 1,95m 
0,93m 
A 
 B 
C D 
E F 
60° 
11 
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5) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.91) Antes que o tronco de uma grande árvore 
venha a cair, são amarrados cabos BA e BC, como mostra a Figura 18. Sabendo que as 
forças de tração nos cabos BA e BC são respectivamente de 777N e 990N, determine: 
a. O momento em relação ao ponto O da força resultante exercida sobre a árvore 
pelos cabos no ponto B; 
b. A distância perpendicular do ponto O até o cabo BA; 
c. A distância perpendicular do ponto O até o cabo BC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 18 – Desenho Exercício 5 
 
6) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.91-92) Para que um cabo telefônico seja esticado, 
uma corda BAC é amarrada a uma estaca no ponto B e é passada por uma roldana em 
no ponto A como indicado na Figura 19. Sabendo que a porção AC da corda está em 
um plano paralelo ao plano xy e que a tração T na corda é de 124N, determine o 
momento em relação ao ponto O da força resultante exercida sobre a roldana pela 
corda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 19 – Desenho Exercício 6 
 
8,4m 
5,1m 
1,2m 
 7,2m 
 0,9m 
x 
 y 
z 
A 
 B 
C 
 O 
2,8m 1,5m 
 9m 
1m 
x 
y 
z 
A 
B 
C 
10° 
O 
12 
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7) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.92) A rampa ABCD é sustentada por cabos nos 
pontos C e D (Figura 20). A tração em cada um dos cabos é de 1620N. Determine: 
a. O momento em relação ao ponto A da força exercida pelo cabo no ponto D; 
b. O momento em relação ao ponto A da força exercida pelo cabo no ponto C; 
c. A distância perpendicular do ponto A até a porção DE do cabo DEF; 
d. A distância perpendicular do ponto A até uma linha que passa pelos pontos C e 
G; 
e. A distância perpendicular do ponto B até uma linha que passa pelos pontos D e 
E. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 20 – Desenho Exercício 7 
 
 230cm 
 270cm 
 60cm 
 60cm 
300cm 
100cm x 
y 
 z 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
H 
13 
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3. Equilíbrio de Corpos Rígidos 
 
3.1. Diagrama de Corpo Livre 
 
Para se resolver um problema relativo ao equilíbrio de um corpo rígido, é essencial 
considerar todas as forças que atuam sobre o corpo. É igualmente importante excluir qualquer 
força que não esteja diretamente aplicada ao corpo. Portanto, o primeiro passo na solução 
deste tipo de problema deve ser traçar o diagrama de corpo livre, obedecendo-se os seguintes 
passos: 
a) Escolher o corpo livre a ser utilizado, destacando-o do solo e separando-o dos 
demais corpos; 
b) Indicar todas as forças externas aplicadas no corpo livre (carregamentos, peso 
próprio, reações de apoio, reações de contato); 
c) Representar de forma clara a intensidade, direção e sentido de todas as forças; 
d) Normalmente as forças externas desconhecidas consistem nas reações de 
apoio que mantém o corpo no estado de equilíbrio; 
e) Também se devem indicar as dimensões do corpo, pois estas poderão ser 
necessárias nos cálculos dos momentos. 
Após se obedecer estes passos, as condições necessárias e suficientes para o equilíbrio 
de um corpo rígido são: 
 e (18) 
ou seja, que a soma de todas as forças aplicadas ao corpo rígido seja igual a zero e que a soma 
do momento de todas as forças em relação a um ponto A genérico seja também igual a zero. 
Decompondo as forças e os momentos em relação a suas componentes retangulares, 
têm-se: 
ΣFx=0 ΣFy=0 ΣFz=0 
ΣMAx=0 ΣMAy=0 ΣMAz=0 
(19) 
 
3.2. Equilíbrio de um Corpo Rígido em Duas Dimensões 
 
Escolhendo os eixos x e y no plano da estrutura, tem-se que e 
 , ou seja: 
 
(20) 
14 
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(21) 
 
(22) 
As equações de equilíbrio (20), (21) e (22) são suficientes para determinar 3 (três) 
reações/forças incógnitas na estrutura. Se o número de incógnitas for superior a este, somente 
com estas equações de equilíbrio não é possível a solução do problema e será necessária a 
utilização de outros métodos para se determinar todas as incógnitas. 
Pode-se ter outras variações das 3 (três) equações de equilíbrio apresentadas pelas 
equações (20), (21) e (22), dependendo do tipo de problema, como pode-se observar a seguir: 
ΣFx=0 ΣMA=0 ΣMB=0 (23) 
ou 
ΣFy=0 ΣMA=0 ΣMB=0 
(24) 
ou 
ΣMA=0 ΣMB=0 ΣMC=0 
(25) 
 
3.3. Reações de Apoio e Conexões para uma Estrutura Bidimensional 
 
No Quadro 1 são apresentados alguns tipos de conexões em corpos rígidos 
bidimensionais associadas ao número de reações de apoio que eles geram. 
 
15 
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Apoio ou Conexão Reação 
Número de 
Incógnitas 
 1 
 1 
 1 
 2 
 3 
Quadro 1 – Tipos de Conexões e Número de Reações de Apoio Associadas (Adaptado de BEER et al., 2006, 
p.161) 
 
Roletes 
Superfície 
sematrito 
Suporte 
Basculante 
Cabo Curto ou 
Haste Curta 
Cursor sobre 
Haste 
Pino 
Deslizante 
 90° 
Articulação 
Superfície 
Rugosa 
α 
ou 
α 
ou 
Engaste 
16 
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3.4. Classificação das Estruturas Conforme o Tipo/Quantidade de Vinculações 
 
A Figura 21a mostra uma treliça vinculada no nó A por um apoio fixo (restringe o 
deslocamento deste nó nas direções x e y) e um apoio móvel em C (restringe o deslocamento 
deste no só na direção y). Devido a estas vinculações, pode-se desenhar o diagrama de corpo 
livre desta estrutura (Figura 21b) onde o apoio fixo em A é substituído por duas forças 
incógnitas, uma na direção x e uma na direção y, e o apoio móvel em C é substituído por uma 
força incógnita na direção y. Desta forma, consegue-se, utilizando a equação (22) para o nó A, 
determinar a incógnita Cy; após isso, utilizando-se a equação (21) consegue-se determinar a 
incógnita Ay; e por fim, utilizando-se a equação (20) consegue-se determinar a incógnita Ax. 
Este tipo de estrutura, onde todas as incógnitas conseguem ser determinadas utilizando-se as 
equações de equilíbrio do corpo rígido, ou seja, o número de incógnitas é igual ou inferior ao 
número de equações de equilíbrio, são chamadas de estruturas estáticas. 
 
 
 
 
 
 
Figura 21 – Reações Estaticamente Determinadas: Estrutura Isostática (Adaptado de BEER et al., 2006, p.162) 
 
A Figura 22a mostra uma treliça vinculada nos nós A e C por apoios fixos. Devido a 
estas vinculações, pode-se desenhar o diagrama de corpo livre desta estrutura (Figura 22b) 
onde os apoios fixos A e C são substituídos por duas forças incógnitas, uma na direção x e 
uma na direção y. Desta forma, consegue-se, utilizando a equação (22) para o nó A, 
determinar a incógnita Cy; após isso, utilizando-se a equação (21) consegue-se determinar a 
incógnita Ay; mas, utilizando-se a equação (20) não consegue-se determinar as duas incógnitas 
restantes (Ax e Cx). Este tipo de estrutura, onde existem mais incógnitas do que equações de 
equilíbrio são chamadas de estruturas hiperestáticas. 
 
 
 
 
 
Figura 22 – Reações Estaticamente Indeterminadas: Estrutura Hiperestática (Adaptado de BEER et al., 2006, 
p.164) 
 
A 
B 
C 
D E F 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
C 
D E F 
 
(a) (b) 
(b) 
A 
B 
C 
D E F 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) 
A 
B 
C 
D E F 
 
17 
Equilíbrio de um Corpo Rígido 
 
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A Figura 23a mostra uma treliça vinculada nos nós A e C por apoios móveis. Devido a 
estas vinculações, pode-se desenhar o diagrama de corpo livre desta estrutura (Figura 23b) 
onde os apoios móveis A e C são substituídos por uma força incógnita na direção y. Observe 
que este tipo de vinculação inibe a translação da estrutura na vertical e o movimento de 
rotação, mas permite que a estrutura translade na horizontal. Este tipo de estrutura, onde 
existem menos incógnitas do que equações de equilíbrio são chamadas de estruturas 
hipostáticas. 
 
 
 
 
 
 
Figura 23 – Vinculações Parciais: Estrutura Hipostática (Adaptado de BEER et al., 2006, p.164) 
 
A Figura 24a mostra uma treliça vinculada nos nós A, B e C por apoios móveis. 
Devido a estas vinculações, pode-se desenhar o diagrama de corpo livre desta estrutura 
(Figura 24b) onde os apoios móveis A, B e C são substituídos por uma força incógnita na 
direção y. Observe novamente que este tipo de vinculação inibe a translação da estrutura na 
vertical e o movimento de rotação, mas permite que a estrutura translade na horizontal. Este 
tipo de estrutura, onde apesar de existirem um número de incógnitas igual ao número de 
equações de equilíbrio, mas que permitem um ou mais movimentos da estrutura são também 
denominadas estruturas hipostáticas, pois possuem uma instabilidade geométrica, ou seja, as 
vinculações foram colocadas de tal forma que permitem que a estrutura se movimente em 
uma ou mais direções. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 24 – Vinculações Impróprias: Estrutura Hipostática – Instabilidade Geométrica (Adaptado de BEER et 
al., 2006, p.165) 
 
 
(b) 
A 
B 
C 
D E F 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) 
A 
B 
C 
D E F 
 
(a) 
 
A 
B 
C 
D E F 
(b) 
A 
B 
C 
D E F 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
Equilíbrio de um Corpo Rígido 
 
Professor Rogério Simões 
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Exemplo 5. (Adaptado de BEER et al., 2006, p.166) Um guindaste fixo tem uma 
massa de 1000kg e é usado para suspender um caixote de 2400kg (Figura 25). O guindaste é 
mantido na posição indicada na figura por um pino no ponto A (apoio fixo) e um suporte 
basculante no ponto B (apoio móvel). O centro de gravidade do guindaste está localizado no 
ponto G. Determine as componentes das reações em A e B. Adote g=9,81m/s
2
. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 25 – Esquema do Exemplo 5 
 
Traçando o diagrama de corpo livre (Figura 26), têm-se: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 26 – Diagrama de Corpo Livre Exemplo 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2400kg 
2m 4m 
1,5m 
A 
B 
C 
G 
 
 
 
 
 
A 
C 
B 
G 
4m 2m 
1,5m 
19 
Equilíbrio de um Corpo Rígido 
 
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Exemplo 6. (Adaptado de BEER et al., 2006, p.168) Um vagão de carga está em 
repouso sobre um trilho que forma um ângulo de 25° com a vertical (Figura 27). O peso bruto 
do vagão e sua carga é 24750N e está aplicado em um ponto G a 75cm do trilho no meio entre 
os dois eixos. O vagão é seguro por um cabo amarrado a 60cm do trilho. Determine a tração 
no cabo e a reação em cada par de rodas. 
 
 
 
 
 
 
Figura 27 – Esquema do Exemplo 6 
 
Traçando-se o diagrama de corpo livre (Figura 28), têm-se: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 28 – Diagrama de Corpo Livre Exemplo 6 
 
 
 
 
Figura 29 – Decomposição da Força Peso 
 
 
 
 
 
 
62,5cm 
62,5cm 
60cm 
75cm 
G 
x 
y 
62,5cm 
62,5cm 
60cm 
75cm 
G 
 
 
 
 
25° 
 
 
 
20 
Equilíbrio de um Corpo Rígido 
 
Professor Rogério Simões 
Acadêmica Ana Flavia Costa 
Exemplo 7. (Adaptado de BEER et al., 2006, p.167) Três cargas são aplicadas a uma 
viga tal como mostra a Figura 30. Desprezando o peso da viga, determine as reações nos 
apoios A e B. A viga é sustentada por um rolete em A e um pino em B. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 30 – Esquema Exemplo 7 
 
Traçando-se o diagrama de corpo livre (Figura 31), têm-se: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 31 – Diagrama de Corpo Livre Exemplo 7 
 
 
 
 
 
 
0,9m
m 
1,8m 0,6m 0,6m 
67,5kN 27kN 27kN 
A B 
 
 
 
0,9m 1,8m 0,6m 0,6m 
67,5kN 27kN 27kN 
A B 
21 
Equilíbrio de um Corpo Rígido 
 
Professor Rogério Simões 
Acadêmica Ana Flavia Costa 
Exemplo 8. (Adaptado de BEER et al., 2006, p.169) A estrutura representada na 
Figura 25 sustenta parte do teto de um pequeno edifício. Sabendo que a tração no cabo é 
150kN, determine a reação na extremidade fixa E. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 32 – Esquema do Exemplo 8 
 
Traçando o diagrama de corpo livre (Figura 33), têm-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 33 – Diagrama de Corpo Livre Exemplo 84,5m 
6m 
3,75m 
1,8m 1,8m 1,8m 1,8m 
20kN 20kN 20kN 20kN 
A 
B 
C 
D 
E F 
 4,5m 
6m 
3,75m 
1,8m 1,8m 1,8m 1,8m 
20kN 20kN 20kN 20kN 
A 
B 
C 
D 
E F 
 
 
 
 
22 
Equilíbrio de um Corpo Rígido 
 
Professor Rogério Simões 
Acadêmica Ana Flavia Costa 
Exercícios Propostos 
 
8) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.172) O pau-de-carga montado em um caminhão de 
4300kg (considere o peso aplicado no ponto G) é usado para descarregar uma 
plataforma de telhas com massa de 1600kg conforme a Figura 34 (considere o peso 
aplicado no ponto A). Determine a reação em cada uma das (a) rodas traseiras B e (b) 
rodas dianteiras C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 34 – Esquema Exercício 8 
 
9) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.172) Duas crianças estão de pé sobre um 
trampolim com massa de 65kg conforme Figura 35 (considere toda massa aplicada no 
ponto G). Sabendo que as massas das crianças nos pontos C e D são 28kg e 40kg, 
respectivamente, determine (a) a reação no rolete B e (b) a reação no apoio fixo em A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 35 – Esquema Exercício 9 
 
10) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.172) Dois caixotes, cada qual pesando 1125N, são 
colocados na caçamba de uma caminhonete com peso de 13500N conforme Figura 36 
(considere todo o peso da caminhonete aplicado no ponto G). Determine as reações 
em cada uma das duas (a) rodas dianteiras B, (b) rodas traseiras A e (c) resolva o 
problema considerando que o caixote D foi removido e que a posição do caixote C 
continua inalterada. 
 
1,2m 
 
0,48m 
0,6m 1,0m 
A B C D G 
0,4m 0,5m 
6m 
4,3m 
15° 
 A 
 B C 
G 
23 
Equilíbrio de um Corpo Rígido 
 
Professor Rogério Simões 
Acadêmica Ana Flavia Costa 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 36 – Esquema Exercício 10 
 
11) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.173) Um apoio em T sustenta as quatro cargas 
mostradas na Figura 37. Determine (a) as reações no rolete em A e no apoio fixo em B 
se a=100mm, (b) repetir o item anterior se a=70mm e (c) a menor distância a para a 
qual o apoio T não se move. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 37 – Esquema Exercício 11 
 
12) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.173) Um carrinho de mão é usado para transportar 
dois barris, cada qual pesando 360N conforme a Figura 38. Desprezando o peso do 
carrinho de mão, determine (a) a força P vertical que deve ser aplicada no ponto A 
para se manter o equilíbrio quando α=35° e (b) a reação correspondente em cada uma 
das duas rodas em B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 38 – Esquema Exercício 12 
1,68m 2,7m 
1,77m 1,17m 0,75m 
A B 
C D 
G 
40N 50N 30N 10N 
60mm a 80mm 
A 
60mm 
B 
 80cm 
 60cm 
 20cm 
 50cm 
A 
B 
G1 
G2 
α 
24 
Equilíbrio de um Corpo Rígido 
 
Professor Rogério Simões 
Acadêmica Ana Flavia Costa 
13) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.173) Quatro caixas são colocadas em uma prancha 
de madeira uniforme de 14kg (Considerar este massa concentrada no ponto G) que 
está apoiada em dois cavaletes (pontos E e F) conforme a Figura 39. Sabendo que as 
massas das caixas B e D são 4,5kg e 45kg, respectivamente, determine o intervalo de 
valores da massa da caixa A de modo que a prancha permaneça em equilíbrio quando a 
caixa C for removida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 39 – Esquema Exercício 13 
 
14) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.173) Uma haste de controle é conectada a uma 
manivela no ponto A e cordas são presas nos pontos B e C (Figura 40). Para a força 
dada na haste, determine o intervalo de valores de tração na corda presa em C sabendo 
que as cordas devem permanecer tracionadas e que a máxima tração permitida em uma 
corda é 180N. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 40 – Esquema Exercício 14 
 
15) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.174) O máximo valor admissível de cada uma das 
reações nos apoios A e B da Figura 41 é 360N. Desprezando o peso da viga, determine 
o intervalo de valores da distância d para a qual a viga é segura. 
 
1,5m 
0,6m 0,5m 
1,6m 
1m 1m 
A B 
E G 
D C 
F 
 
60mm 120mm 
40mm 
 400N 
A B C 
O 
25 
Equilíbrio de um Corpo Rígido 
 
Professor Rogério Simões 
Acadêmica Ana Flavia Costa 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 41 – Esquema Exercício 15 
 
16) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.174) Para a viga e os carregamentos mostrados na 
Figura 42, determine o intervalo de valores da distância a para os quais a reação no 
ponto B não excede 225N dirigida para baixo ou 450N dirigida para cima. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 42 – Esquema Exercício 16 
 
17) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.175) Um poste AB de 6m de comprimento é 
colocado em um buraco em A e sustentado por três cabos (Figura 43). Sabendo que as 
trações nos cabos BD e BE são 442N e 322N, respectivamente, determine (a) a tração 
no cabo CD e (b) a reação no ponto A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 43 – Esquema Exercício 17 
 
18) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.175) Dada a estrutura da Figura 44, determine as 
reações em A e C quando (a) α=0° e (b) α=30°. 
 
10cm 5cm 15cm 
7,5cm a 
675N 675N 
112,5N 
A D C B 
3,15m 
2,10m 
6m 
2,8m 
A 
B 
C 
D 
E 
900mm 900mm 
d 
100N 200N 300N 
A 
B 
26 
Equilíbrio de um Corpo Rígido 
 
Professor Rogério Simões 
Acadêmica Ana Flavia Costa 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 44 – Esquema Exercício 18 
 
19) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.175) Dada a estrutura da Figura 45, determine as 
reações dos apoios em A e B quando (a) h=0 e (b) h=20cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 45 – Esquema Exercício 19 
 
20) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.175) A alavanca BCD da Figura 46 é articulada no 
ponto C e está ligada a uma haste de controle no ponto B. Determine: (a) Se P=200N, 
a tração na haste AB e a reação em C e (b) a máxima força P que pode ser aplicada 
com segurança em D se o valor máximo admissível da reação em C for 500N. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 46 – Esquema Exercício 20 
100cm 
C 
B 
A 
360N 
360N 
25cm 
25cm 
α 
30cm 
 
25cm 
 
25cm 
 
h 
 
180N 
 G 
 A 
 B 
 60° 
 
75mm 
30mm 
40mm 
90° 
 
D 
C 
B 
A 
27 
Equilíbrio de um Corpo Rígido 
 
Professor Rogério Simões 
Acadêmica Ana Flavia Costa 
3.5. Equilíbrio de um Corpo Rígido em Três Dimensões 
 
No caso de um corpo rígido em três dimensões, deve-se utilizar as 6 (seis) equações de 
equilíbrio para se obter as reações de apoio da estrutura. 
 
 
(26) 
ou 
 (27) 
Exemplo 9. (Adaptado de BEER et al., 2006, p.194) Uma escada de 20kg usada para 
alcançar prateleiras altas em um depósito está apoiada por duas rodas flangeadas nos pontos A 
e B montadas sobre um trilho e por uma roda no ponto C sem flange apoiada sobre um trilho 
fixado na parede, Figura 47. Um homem de 80kg está em pé sobre a escada e inclina-se para a 
direita. A linha de ação do peso combinado W do homem e da escada intercepta o piso no 
ponto D. Determinar as reações em A, B e C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 47 – Esquema Exemplo 9 
 
A B 
C 
 
D 
0,9m 
0,6m 
0,6m 
3m 
0,3m 
28 
Equilíbrio de um Corpo Rígido 
 
Professor Rogério Simões 
Acadêmica Ana Flavia Costa 
Traçando o diagrama de corpo livre (Figura 48), têm-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 48 – Diagrama de Corpo Livre Exemplo 9 
 
 
 
 
Como a escada não está se movimentando, e (equilíbrio)z 
 
 
x 
y 
D
D 
 
0,9m
0,9 m 
0,6m
0,6 m 
0,6m
0,6 m 
3m 
0,3m
0,3 m 
 
 
29 
Equilíbrio de um Corpo Rígido 
 
Professor Rogério Simões 
Acadêmica Ana Flavia Costa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 10. (Adaptado de BEER et al., 2006, p.195) Uma placa de 1,5 x 2,4m de 
massa específica uniforme pesa 1215N e é sustentada por uma rótula no ponto A e por dois 
cabos nos pontos B e E (Figura 49). Determine a tração em cada cabo e a reação na rótula em 
A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 49 – Esquema Exemplo 10 
 
0,6m 
2,4m 
1,8m 
1,2m 
0,6m 
0,9m 
x 
y 
z 
A 
B 
C 
D 
E 
30 
Equilíbrio de um Corpo Rígido 
 
Professor Rogério Simões 
Acadêmica Ana Flavia Costa 
Traçando o diagrama de corpo livre (Figura 50), têm-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 50 – Diagrama de Corpo Livre Exemplo 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C 
A 
 
0,6m 
2,4m 
1,8m 
1,2m 
0,6m 
0,9m 
x 
y 
z 
B 
D 
E 
 
 
 
G 
31 
Equilíbrio de um Corpo Rígido 
 
Professor Rogério Simões 
Acadêmica Ana Flavia Costa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
Equilíbrio de um Corpo Rígido 
 
Professor Rogério Simões 
Acadêmica Ana Flavia Costa 
Exercícios Propostos 
 
21) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.200) A placa quadrada mostrada na Figura 51, de 
200x200mm, tem uma massa de 25kg e é sustentada por três arames verticais nos 
pontos A, B e C. Determine a tração em cada arame. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 51 – Esquema Exercício 21 
 
22) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.202) A força de 4kN mostrada na Figura 52 atua 
em uma lança de 3m no ponto C vinculada na rótula A e sustentada por dois cabos 
presos em B. Determine a tração em cada cabo e a reação na rótula A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 52 – Esquema Exercício 22 
 
23) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.203) Uma lança de 2,4m de comprimento é segura 
por uma rótula em C e por dois cabos (AD e BE) conforme mostra a Figura 23. 
Determine a tração em cada cabo e a reação na rótula em C. 
 
100mm 
100mm 
160mm 
160mm 
40mm 
A 
B 
C x 
y 
z 
1,8m 
1,8m 
1,8m 
2,1m 
1,2m 
4kN 
x 
y 
z 
A 
B 
C 
D 
E 
33 
Equilíbrio de um Corpo Rígido 
 
Professor Rogério Simões 
Acadêmica Ana Flavia Costa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 53 – Esquema Exercício 23 
 
24) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.203) Resolva o problema anterior considerando 
que a carga dada de 891N é substituída por duas cargas de 445,5N aplicadas nos 
pontos A e B. 
 
25) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.203) No poste ABC, de 5,4m, atua uma força de 
945N, tal como mostra a Figura 54. O poste é sustentado por uma rótula em A e por 
dois cabos BD e BE. Para a=2,7m, determine a tração em cada cabo e a reação na 
rótula A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 54 – Esquema Exercício 25 
 
26) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.204) A placa retangular mostrada na Figura 55, 
tem uma massa de 15kg e é mantida na posição mostrada pelas dobradiças A e B e 
pelo cabo DC. Considerando que a dobradiça em B não exerce qualquer empuxo axial 
(isto é, a reação na direção x é igual a zero), determine a tração no cabo e as reações 
nas dobradiças A e B. 
 
1,2m 
0,9m 
0,3m 
0,6m 
1,8m 
2,4m 
891N 
A 
B 
C D 
E 
x 
y 
z 
2,7m 
1,35m 
2,7m 
2,7m 
1,35m 
2,7m 
945N 
A 
B 
C 
D 
E 
x z 
y 
F 
1,85m 
a 
34 
Equilíbrio de um Corpo Rígido 
 
Professor Rogério Simões 
Acadêmica Ana Flavia Costa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 55 – Esquema Exercício 26 
 
27) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.205) Uma placa retangular uniforme de 1282,5N é 
sustentada na posição mostrada na Figura 56 pelas dobradiças A e B e pelo cabo DCE, 
que passa por um gancho sem atrito em C. Considerando que a tração é a mesma em 
ambas as partes do cabo, determine (a) a tração no cabo e (b) as reações nas 
dobradiças A e B. Considere que a dobradiça em B não exerce qualquer empuxo axial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 56 – Esquema Exercício 27 
 
300mm 
80mm 
200mm 
250mm 
40mm 
40mm 
A 
B 
C 
D 
x 
y 
z 
57,5cm 
22,5cm 
37,5cm 
56,25cm 
7,5cm 
7,5cm 
A 
B 
E 
C 
x 
y 
z 
D 
35 
Equilíbrio de um Corpo Rígido 
 
Professor Rogério Simões 
Acadêmica Ana Flavia Costa 
28) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.206) A estrutura mostrada na Figura 57 está 
sustentada por três cabos e uma rótula em A. Determine tração em cada cabo e a 
reação na rótula A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 57 – Esquema Exercício 28 
 
29) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.207) O elemento rígido ABF, em formato de L, é 
sustentado por uma rótula em A e por três cabos (Figura 58). Para o carregamento 
mostrado, determine a tração em cada cabo e a reação na rótula A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 58 – Esquema Exercício 29 
 
A 
I 
280N 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
H 
60mm 
440mm 
400mm 
320mm 
200mm 
450mm 
650mm 
420mm 
200mm 
80mm 360N 
x 
y 
z 
60cm 
60cm 
30cm 
33,75cm 
O 
540N 
x 
y 
z 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
H 
I 
60cm 
30cm 
30cm 
30cm 
540N 
45cm 
36 
Equilíbrio de um Corpo Rígido 
 
Professor Rogério Simões 
Acadêmica Ana Flavia Costa 
4. Cargas Distribuídas sobre Vigas 
 
Pode-se utilizar o conceito de centroides de uma superfície para resolver problemas de 
cargas distribuídas. Seja a viga apresentada na Figura 59: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 59 – Viga Submetida a um Carregamento Distribuído Qualquer 
 
 
 
 
 (28) 
observe que w.dx é equivalente ao elemento de área dA. Logo, a carga W equivale em 
intensidade à área total A da superfície sob a curva de carga, ou seja: 
 (29) 
Substituindo a carga distribuída w por sua resultante W, é necessário se obter o ponto 
P de aplicação desta carga W de tal forma a ter-se o mesmo momento em O. Observa-se então 
a viga da Figura 60: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 60 – Ponto de Aplicação da ForçaResultante W 
 
Logo, é necessário se ter: 
x dx 
 
L 
O B 
x 
y 
w 
dW=dA 
L 
O B 
x 
y 
w 
 
P 
37 
Equilíbrio de um Corpo Rígido 
 
Professor Rogério Simões 
Acadêmica Ana Flavia Costa 
 (30) 
como dw= wdx= dA e W= A, têm-se: 
 
 
 
 
 
 (31) 
Como a integral da equação (31) representa o momento de primeira ordem da região 
delimitada por y=0, y=w, x=0 e x=L, obtêm-se que a distância é a posição do 
centroide desta área. 
Portanto, uma carga distribuída pode ser substituída por uma carga concentrada 
aplicada no centroide da área delimitada por y=0, y=w, x=0 e x=L. Deve-se lembrar de que 
esta substituição só pode ser utilizada para efeitos de cálculo das reações de apoio. Para 
efeitos do cálculo dos esforços sobre a viga, deve-se utilizar o carregamento distribuído 
original (desenho dos diagramas de esforços). 
 
5. Forças sobre Superfícies Submersas 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 61 – Superfície Plana Genérica Submersa (Adaptado de BEER et al., 2006, p.249) 
 
Dada uma placa retangular de comprimento L e largura b, submersa em um líquido 
(Figura 61), pode-se escrever a força w distribuída sobre a superfície desta placa, como sendo: 
 
(32) 
sendo ρ= γ.h, γ o peso específico do líquido e h a distância da superfície livre do líquido ao 
ponto onde está se medindo a pressão. 
A resultante R das forças de pressão aplicadas sobre esta placa passará pelo centroide 
C da área delimitada pelas forças de pressão. 
Adotando uma superfície curva genérica submersa (Figura 62a), tem-se: 
A 
B 
P 
C 
L 
x 
dx 
w 
 
38 
Equilíbrio de um Corpo Rígido 
 
Professor Rogério Simões 
Acadêmica Ana Flavia Costa 
 
 
 
 
 
 
Figura 62 – Superfície Curva Geométrica Submersa 
 
Desta forma, pode-se dizer que a resultante é igual à soma das ações das forças , 
 e (Figura 62b). 
 
Exemplo 11. (Adaptado de BEER et at., 2006, p.250) Uma viga sustenta a carga 
distribuída na Figura 63. (a) Determine a carga concentrada equivalente. (b) Determine as 
reações nos apoios A e B. 
 
 
 
 
 
Figura 63 – Esquema do Exemplo 11 
 
 
 
 
 
Figura 64 – Diagrama de Corpo Livre Exemplo 11 
 
Componente 
Retângulo 
Triângulo 
9,0 
9,0 
3,0 
4,0 
27,0 
36,0 
Σ 18,0 - 63,0 
Tabela 1 – Exemplo 11 
500N/m 
4500N/m 
C A 
B 
 
A 
B 
 
 
 
(a) (b) 
 
 
 
1500N/m1
4500N/m 
6m6m 
AA 
BB 
9000N 
9000N 
39 
Equilíbrio de um Corpo Rígido 
 
Professor Rogério Simões 
Acadêmica Ana Flavia Costa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 12. (Adaptado de BEER et al., 2006, p.251) A Figura 65 mostra a seção 
transversal de uma barragem de concreto. Considere uma seção da barragem com 1m de 
largura e determine: (a) a resultante das forças de reação exercidas pelo solo a base AB da 
barragem; (b) a resultante das forças de pressão exercidas pela água sobre a face BC da 
barragem. Os pesos específicos do concreto e da água são, respectivamente, 24000N/m
3
 e 
10000N/m
3
. 
 
 
 
 
 
Figura 65 – Esquema do Exemplo 12 
 
 Traçando o diagrama de corpo livre (Figura 66), obtêm-se: 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 66 – Diagrama de Corpo Livre Exemplo 12 
 
a) 
 
 
 
 
 
6,6m 
2,7m 3m 1,5m 
A B 
C 
Vértice 
Parábolas 
5,4m 
D 
 
 
 
6,6m 
2,7m 3m 1,5m 
A B 
C 
5,4m 
 
 
 
 
 
40 
Equilíbrio de um Corpo Rígido 
 
Professor Rogério Simões 
Acadêmica Ana Flavia Costa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
Figura 67 – Resultante faz Forças da Água Exemplo 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Propostos 
30) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.254) Para a viga e o carregamento mostrados nas 
figuras, determine as reações de apoio da viga. 
 
a. 
 
 
 
 
Figura 68 – Esquema Exercício 30 (a) 
 
600N/m 
2400N/m 
5,4m 
A B 
 
 
α 
 
41 
Equilíbrio de um Corpo Rígido 
 
Professor Rogério Simões 
Acadêmica Ana Flavia Costa 
b. 
 
 
 
 
 
 
Figura 69 – Esquema Exercício 30 (b) 
 
31) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.254) Determine as reações de apoio das vigas para 
o carregamento dado: 
 
a. 
 
 
 
 
 
Figura 70 – Esquema Exercício 31 (a) 
b. 
 
 
 
 
 
Figura 71 – Esquema Exercício 31 (b) 
c. 
 
 
 
 
 
Figura 72 – Esquema Exercício 31 (c) 
d. 
 
 
 
 
 
Figura 72 – Esquema Exercício 31 (d) 
1500N/m 
3000N/m 
1,2m 
A B 
1,8m 1,2m 
C 
2kN/m 
1,8m 
A B 
1,2m 
2,5kN/m 
300N/m 
1200N/m 
6m 
A B 
Vértice 
Parábola 
C 
3000N/m 
0,9m 
A B 
2,7m 
18N 
B 
200N/m 
120mm 
A 
200mm 60mm 
42 
Equilíbrio de um Corpo Rígido 
 
Professor Rogério Simões 
Acadêmica Ana Flavia Costa 
e. 
 
 
 
 
 
Figura 73 – Esquema Exercício 31 (e) 
f. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 74 – Esquema Exercício 31 (f) 
 
32) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.255) Determine para a viga da Figura 75: (a) a 
distância a tal que as reações verticais dos apoios A e B sejam iguais e (b) as reações 
de apoio correspondentes. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 75 – Esquema Exercício 32 
 
33) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.255) Determine as reações da viga para o 
carregamento dado, quando w0=1,5kN/m. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 76 – Esquema Exercício 33 
 
B 
1800N/m 
600N/m 
a 
A 
3,6m 
1kN/m 
2m 
A 
B 
4m 
2kN/m Parábolas 
B 
7500N/m 
1500N/m 
0,3m 
A 
Vértice 
Parábola 
2,4m 0,6m 
50kN.m 
1m 
A B 
3,5kN/m 
6m 2m 
C 
w0 
D 
43 
Equilíbrio de um Corpo Rígido 
 
Professor Rogério Simões 
Acadêmica Ana Flavia Costa 
34) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.255) Utilizando a Figura 76, determine (a) a carga 
distribuída w0 na extremidade D da viga ABCD tal que a reação em B seja nula e (b) as 
reações correspondentes em C. 
 
35) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.255) Uma viga de nivelamento AB sustenta três 
cargas concentradas e repousa sobre o solo e sobre o topo de uma grande rocha 
(Figura 77). O solo exerce uma carga distribuída para cima e a rocha exerce uma carga 
concentrada RR tal como mostra a figura. Sabendo que wB=wA/2 determine os valores 
de wA e RR correspondente ao equilíbrio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 77 – Esquema Exercício 35 
 
Nos próximos problemas, utilize ρ=10
3
kg/m
3
 para a massa específica da água 
doce e ρC=2,40x10
3
kg/m
3 
para a massa específica do concreto. 
 
36) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.256) A seção transversal de uma barragem de 
concreto está mostrada na Figura 78. Para uma seção de barragem de largura unitária, 
determine: (a) as forças de reação exercidas pelo solo sobre a base AB da barragem, 
(b) o ponto de aplicação da resultante das forças de reação da parte (a) e (c) a 
resultante das forças de pressão exercidas pela água sobre a face BC da barragem. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 78 – Esquema Exercício 36 
 
37) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.256) A seção transversal de uma barragem de 
concreto está mostrada na Figura 79. Para uma seção de barragem de largura unitária, 
determine: (a) as forças de reação exercidas pelo solo sobre a base AB da barragem, 
(b) o ponto de aplicação da resultante das forças de reação da parte (a) e (c) a 
resultante das forças de pressão exercidas pela água sobre a face BC da barragem. 
 
15m 
9m 6m 6m 
18m 
A 
C 
B 
0,4m 
A 
1,8m 1,2m 
wA 
18kN 4kN 24kN 
RR 
0,5m 1,5mB 
wB 
44 
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Acadêmica Ana Flavia Costa 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 79 – Esquema Exercício 37 
 
38) (Adaptado de BEER et al., 2006, p.256) A lateral AB de um tanque aberto mede 
2,7x3,6m, está articulada no fundo em A e é mantida no lugar por meio de uma barra 
fina BC (Figura 80). O tanque é cheio lentamente com glicerina, cujo peso específico é 
de 13000N/m
3
. Determine a força T na barra e as reações na articulação após o 
enchimento do tanque a uma profundidade de 2,4m. 
 
 
 
 
 
 
Figura 80 – Esquema Exercício 38 
 
7,2m 
5,4m 
4,8m 3,6m 1,8m 
A B 
C 
D 
Parábolas 
Vértice 
Vértice 
 
2,7m 
2,4m 
A 
B C 
45 
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Professor Rogério Simões 
Acadêmica Ana Flavia Costa 
Bibliografia Consultada 
 
BEER, F. P.; JOHNSTON, R.; EISENBERG, E. R. Mecânica Vetorial Para 
Engenheiros – Estática. 7.ed., Pearson Education, 2006. 
BEER, F. P.; JOHNSTON, R. Resistência dos Materiais. 3.ed., Pearson Education, 
1995. 
GERE, J. M. Mecânica dos Materiais. Editora Pioneira Thomson Learning, São 
Paulo 7.ed., 2010. 
POPOV, E. P. Introdução a Mecânica dos Sólidos. Editora Blücher, São Paulo, 
1978. 
SHAMES, I. H. Estática e Dinâmica: Mecânica para Engenharia. V.1 e 2, Pearson 
Education, 2002. 
 
46 
Equilíbrio de um Corpo Rígido 
 
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Acadêmica Ana Flavia Costa 
Respostas dos Exercícios Propostos 
1. 
 
2. 
a. 
b. 
c. 
3. 
a. 
b. 
4. 
a. 
b. 
c. 
5. 
a. 
b. 
c. 
6. 
 
7. 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
8. 
a. 
b. 
 
 
47 
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Professor Rogério Simões 
Acadêmica Ana Flavia Costa 
9. 
a. 
b. 
10. 
a. 
b. 
c. 
11. 
a. 
b. 
c. 
12. 
a. 
b. 
13. 
 
14. 
 
15. 
 
16. 
 
17. 
a. 
b. 
18. 
a. ° 
b. 
19. 
a. 
b. 
48 
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20. 
a. 
b. 
21. 
 
22. 
 
 
23. 
a. 
b. 
24. 
a. 
b. 
25. 
a. 
b. 
26. 
 
 
 
27. 
a. 
b. 
28. 
 
 
29. 
49 
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Acadêmica Ana Flavia Costa 
 
 
30. 
a. 
b. 
31. 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
32. 
a. 
b. 
33. 
 
34. 
a. 
b. 
35. 
 
 
36. 
a. 
b. c. 
37. 
a. 
b. c. 
38. 
50 
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