Cálculo Integral II

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Cálculo Diferencial e 
Integral II 
Prof. Roberto Carlos Lourenço 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
BLOCO 1. INTEGRAL 
Neste bloco, iniciamos um conteúdo muito importante em Cálculo e que certamente assume 
um papel fundamental na sua formação. Estudaremos a Integral! 
Teremos o contato com a Integral de algumas funções, conhecendo as regras básicas para 
assim determinar a primitiva de uma função. Estudaremos a definição de Integral Indefinida, 
onde será possível comparar com a operação de derivadas. A definição de Integral Definida 
será outro ponto importante, como também a Soma de Riemann, cálculo de área de regiões 
determinadas pelas funções e a apresentação do Teorema Fundamental do Cálculo. Bons 
estudos! 
 
1.1. Integral de algumas funções – Regras básicas 
1.1.1. Primitiva de uma função 
Para ser possível entender o que é a primitiva de uma função, basta pensar que se uma função 
 foi derivada e determinou a função , logo, é a função primitiva de , para o mesmo 
domínio de . 
Alguns exemplos: 
a) é uma função primitiva de 
Isso ocorre, pois ²3)()('³)( xxfxF
dx
dF
xxF  
Repare que a derivada da função resulta na função . 
 
b) é uma função primitiva de 
Ao derivar a função , determinamos a função . 
 
c) é uma função primitiva de . 
Resolução: 
 
 
ao ser derivado, temos: 
  . 
 
 
 
 
 
3 
 
1.1.2. Notação de integral para primitivas (antiderivadas) 
Uma outra maneira de identificar a primitiva de uma função é antiderivada. 
Notação: 
  cxFdxxf )()( 
Para “c” que representa uma constante arbitrária, temos F uma função antiderivada de , 
onde no domínio de . 
 
Regras básicas 
I. Regra da Constante 
  cxKKdx . (onde K é um valor constante) 
Exemplo: 
  cxdx .55 
 
II. Regra do Múltiplo Constante 
  xdxfKdxxKf .)(.)( 
Exemplo: 
cxcxxsenxdsenxdx   cos.7)cos.(7..7.7 
 
III. Regra da Soma 
xdxgxdxfdxxgxf .)(.)()]()([    
Exemplo: 
csenx
x
xxdxdxdxxx    4
.cos.³)]cos³[
4
 
 
IV. Regra da Diferença 
xdxgxdxfdxxgxf .)(.)()]()([    
Exemplo: 
cx
x
xd
x
xdxdx
x
x    ln
3
.
1
.²]
1
²[
3
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
1.2. Definição de Integral Indefinida 
Nesse momento, vamos compreender que integração indefinida de uma função é o mesmo 
que o processo inverso da derivação. 
Definição: Se é uma primitiva de , a expressão é chamada integral 
indefinida da função e é denotada por: 
  cxFdxxf )()(
 
Onde: 
).()(')()( xfxFcxFdxxf  
 
1.2.1. Propriedades da Integral Indefinida 
Sejam , em R e K uma constante. Então: 
  dxxfKdxxfKi )(.)(.)
 
  dxxgdxxfdxxgxfii )()())()(()
 
 
Seguem alguns exemplos de integrais: 
 
 
cxdxa )
 
)1tan(
1
)
1




 teconsébc
b
x
dxxb
b
b
 
cxdx
x
c  ln
1
)
 
cedxed xx )
 
csenxxdxe cos)
 
cxsenxdxf  cos)
 
ctgxxdxg  ²sec)
 
cgxxdxech  cot²cos)
 
carctgx
x
dx
i 
 1²
)
 
 
 
 
 
5 
 
Agora, calculemos algumas integrais indefinidas: 
 





 dxx
x
xxFa 52
7³4)()
 
Resolução: 
cxxx
x
xF
dxxdx
x
dxdxxxF

    
5 6
4
5
.
6
5
ln.2.7
4
.4)(
1
.27³4)(
 
 
dx
x
x
xFb  

1²
²
)()
 
Resolução: 
carctgxxxF
x
dx
dxxF
dx
x
xFdx
xx
x
xF
dx
x
x
xFdx
x
x
xF


























 


)(
1²
)(
1²
1
1)(
1²
1
1²
1²
)(
1²
11²
)(
1²
²
)(
 
 
 
Por fim, agora encontre a primitiva , da função 12)( 5  xxxf quando . 
cxx
x
xF
cx
xx
dxxxxF
dxxxdxxfxF





²
6
)(
2
2
6
)12()(
)12()()(
6
26
5
5
 
7
70²0
6
0
)0(
6


c
cF
 
7²
6
)(
6
 xx
x
xF 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
1.3. Definição da Integral Definida 
1.3.1. Definição 
Seja uma função definida no intervalo e seja uma partição qualquer de . A 
integral definida de de até , denotada por: 

b
a
dxxf )(
 
 onde: 




n
i
i
xmáx
b
a
xcifdxxf
i 1
0
)(lim)(
 
Interpretação Geométrica 
 
 
 
Soma de Riemann 




n
i
i
xmáx
b
a
xcifdxxf
i 1
0
)(lim)(
 
Se é contínua e no intervalo não assume valor menor que zero, a função definida 
coincide com a área da região sob o gráfico de no intervalo . 
Se for integrável em , então: 
 
 
 
7 
 




n
i
n
b
a
xxifdxxf
1
)(lim)(
 
Onde n
ab
x


 e 
xiaxi  .
 
 
 
Agora, calcule a soma de Riemann para tomando como pontos amostrais as 
extremidades direitas e . 
Resolução: 
 
5,0
2
1
6
03





n
ab
x
 
 
Extremidades direitas: 
 
 
 
 
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
1.4. Aplicações das Integrais Definidas e Indefinidas 
Aplicando a Integral Definida 
Cálculo de Área 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
 
 
Aplicando Integral Indefinida 
 
 
 
 
11 
 
 
 
1.5. Teorema Fundamental do Cálculo ‒ Parte I 
Sendo uma função contínua em um intervalo I, escolhendo um determinado valor c que 
pertence ao intervalo I, e trabalhando com uma determinada função A, sendo I o domínio 
dessa função, representada por: 
i) 
x
c
fxA )( 
Sendo , para todo que pertence ao intervalo I, temos que é a área sob o 
gráfico de (quando ): 
 
ii) 
c
x
fxA )( 
Sendo para todo que pertence ao intervalo I, temos que é a área sob o 
gráfico de (quando ): 
 
 
 
12 
 
 
 
Sendo assim, temos que:  
c
x
x
c
ffxA )( 
 
Teorema Fundamental do Cálculo ‒ Parte II 
Trabalhando com uma função contínua dada por em um determinado intervalo I, onde 
assume o papel de uma primitiva de f em I, então: 
)()()( aFbFxFf
b
a
b
a
 
Sendo quaisquer elementos do intervalo I. 
Exemplo: 
Calcule  
3
0
)6³( dxxxS 
Resolução: 
75,6
4
27
4
27
27
4
81
09.3
4
81
²0.3
4
0
²3.3
4
3
²3
42
²6
4
)6³(
44
3
0
4
3
0
4
3
0




















 
S
x
xxx
dxxxS
 
 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos a Integral de função com uma variável, sendo um momento oportuno 
para conhecermos a Integral de algumas funções, conhecendo as regras básicas. Passamos 
pelas definições de Integral Indefinida e Integral Definida, sendo possível determinar as 
 
 
 
13 
 
funções primitivas e área de regiões, ao conhecer a Soma de Riemann, e concluímos com a 
apresentação do Teorema Fundamental do Cálculo. 
 
Referências 
BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Makron Books, 1999. v. 1. 
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivada, integração. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2013. v. 1.