Princípio da conservação do momento linear

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Princípio da
conservação do
momento linear
Prof. Gabriel Burlandy Mota de Melo
Descrição
Conceitos qualitativos e quantitativos de dinâmica e impulso, definição de momento linear e sua relação
com a força, conservação do momento linear e suas aplicações, colisões totalmente elásticas, parcialmente
elásticas e colisões plásticas.
Propósito
Relacionar os conceitos de momento linear e impulso a aplicações práticas.
Preparação
Antes de iniciar o conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica, ou use a calculadora
de seu smartphone/computador.
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Objetivos
Módulo 1
Momento linear, a quantidade de movimento
identificar o momento linear.
Módulo 2
Aplicação do conceito da conservação do momento linear
Reconhecer o princípio da conservação do momento linear.
Módulo 3
Estudo das colisões
Identificar os tipos de colisão.
Introdução

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Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo e confira os principais pontos que serão abordados neste
conteúdo.
1 - Momento linear, a quantidade de movimento
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car o momento linear.
Vamos começar!

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Momento e impulso
Veja os principais pontos que serão abordados sobre este assunto.
Momento linear
O momento linear ou quantidade de movimento é uma grandeza vetorial representada pelo vetor . Esse
vetor pode ser:

Unidimensional

Bidimensional

Tridimensional
O momento linear é definido como sendo o produto da massa de um corpo pela velocidade por ele
desenvolvida, como mostra a equação (1):
Eq. 1
Rotacione a tela. 
→P
→P = m→v
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Também pode existir uma variação infinitesimal da velocidade, o que faz com que a equação (1) se torne:
Eq. 2
Rotacione a tela. 
A unidade no Sistema Internacional de Medidas (S.I.) para o impulso é o quilograma metros por segundo
. Note que, na equação (1) e na equação (2), o momento é uma grandeza vetorial, dessa forma ela
possui módulo, direção e sentido.
Atenção!
O momento tanto se aplica a uma única partícula ou a um único corpo, como a um conjunto de partículas ou
de corpos.
Vamos entender melhor. Se você está vendo um carro se locomover, esse carro possui momento linear. Para
determiná-lo, vamos considerar a velocidade desse carro e a sua massa. Viu? Um exemplo simples e
cotidiano da observação do momento linear.
Agora, vamos exemplificar o momento linear de um conjunto de corpos. Imagine um soldado prestes a
arremessar uma granada. No momento em que a granada sai da mão do soldado, ela é um único corpo.
Todavia, após alguns segundos, essa granada explode e se transforma em diversos fragmentos, que
continuam a trajetória do arremesso.
Antes da explosão, tínhamos o momento linear de um corpo. Após a explosão,
passamos a ter um momento linear referente ao conjunto dos fragmentos da
granada após a explosão.
Veja este exemplo:
→P = m∫ dv
−→
( kg.m
s )
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Representação da explosão de uma granada e da trajetória de seus fragmentos.
A representação da explosão demonstra que os fragmentos da granada continuam a trajetória original do
lançamento da granada. Assim, o momento linear do conjunto após a explosão é igual ao somatório dos
momentos lineares de cada fragmento, como mostra a equação (3), que é a equação do momento linear
para um conjunto de partículas:
Eq. 3
Rotacione a tela. 
Vamos considerar que essa granada de massa M é arremessada com uma velocidade . Logo, temos como
momento linear .
Agora, vamos considerar que 3 segundos depois a granada exploda, e se divida em 100 fragmentos de
massas iguais a m, com velocidades coplanares (ou seja, velocidades existentes no mesmo plano
cartesiano), paralelas e de mesmo módulo.
Assim, o momento linear após a explosão passa a ser:
Eq. 4
Rotacione a tela. 
Como as massas e as velocidades são iguais, e são 100 fragmentos, podemos escrever:
Eq. 5
Rotacione a tela. 
→P = ∑m→v
→v
→P = Mv0
−→
→P = m→v + m→v + m→v…
→P = 100m→v
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Momento linear do arremesso da granada
Veja uma demonstração do cálculo relacionado ao momento linear do arremesso da granada.
Impulso
Um corpo, ao ser deslocado pela ação de uma força, realiza trabalho, mas não só isso. A sua mudança de
velocidade também faz com que haja um impulso no corpo. E esse impulso é definido como sendo o
produto da força pelo tempo em que ela atua sobre o corpo. Observe:
Eq. 6
Rotacione a tela. 
Ao contrário da energia e do trabalho, o impulso é uma grandeza vetorial, e não uma grandeza escalar, e a
sua unidade no (S.I.) é o quilograma-metro por segundo (kgm/s), como na determinação do momento linear,
ou o newton segundo (N.s.).
O impulso representa a variação da quantidade de movimento que um corpo sofre
e, por isso, ele também pode ser definido por esta variação de quantidade de
movimento, ou por seu outro nome: variação do momento linear.
Vejamos uma demonstração. Temos que o impulso é:

→I = ∫
t
t0
→Fdt
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Eq. 7
Rotacione a tela. 
Da Segunda Lei de Newton, temos que ,e da Cinemática sabemos que , assim:
Eq. 8
Rotacione a tela. 
Então, integrando:
Eq. 9
Rotacione a tela. 
Como o impulso é uma grandeza vetorial, ela possui direção, módulo e sentido, porém, apesar disso, o
impulso não define a direção, módulo, nem sentido do trabalho.
Vamos exemplificar sua aplicação.
Teoria na prática
→I = ∫
t
t0
→Fdt
→F = m→a →a = dv
dt
→I = m∫
t
t0
dv
dt
dt
→I = m∫
v
v0
dv
−→
→I = m→v
v
v0
→I = m→v − mv0
→I = →P − →P0
→I = Δ →P∣−→
_black
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Um automóvel de 700kg se locomove a uma velocidade constante de 72km/h, quando percebe que outro
automóvel se aproxima dele com uma velocidade relativa de 36km/h. Qual deve ser o impulso aplicado ao
primeiro automóvel para que ele iguale a sua velocidade à do segundo automóvel?
A Segunda Lei da Mecânica Clássica (Segunda Lei de Newton) teve sua dedução a partir do conceito de
impulso. Essa lei assumiu forma quando Newton variou o impulso em função do tempo. Newton percebeu
que, ao oferecer certo impulso a um corpo por alguns instantes, uma força atua no corpo, fazendo-o realizar
trabalho.
Dessa forma, observe:
Mostrar solução
Matematicamente, temos:
Δ →P = →F ⋅ Δt
Na forma diferencial, temos:
d →P = →F ⋅ dt
Então, podemos isolar a força e obter:
→F = d →P
dt
Note na equação que o vetor , então:→p = mv
→F =
d(m→v)
dt
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A equação (10) é a Segunda Lei de Newton em sua forma diferencial, uma vez que sabemos da Cinemática
que a aceleração é a variação da velocidade em função do tempo:
Grá�co de impulso
O gráfico de impulso é um gráfico do tipo Força por tempo. Veja um exemplo:
Um corpo sofrendo um impulso positivo.
Como m é uma grandeza escalar e constante:
 Eq. (10)→F = m d→v
dt
→a =
Δv
Δt
=
dv
dt
−→−→
→F × t
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Um corpo sofrendo um impulso negativo.
Ambos os gráficos são lineares. O gráfico em (A) é um gráfico linear de uma função afim crescente, e o
gráfico em (B) é um gráfico linear de uma função afim decrescente.
Tudo bem, mas como a gente determina o impulso através desse gráfico?
Resposta
Nós retiramos o impulso através da área embaixo dessa reta. Vamos demonstrar como?
Observe o próximo gráfico:
Gráfico de impulso com escala.
Temos um gráfico com escalas de força e tempo. A força está em Newtons e o tempo em segundos. Vamos
agora aprender a determinar o impulso através da observação do gráfico.
Primeiro, devemos definir o intervalo de tempo ao qual queremos determinar o impulso. Vamos primeiro
fazê-lo de 0 a 3 segundos. Agora que o intervalo de tempo foi definido, determinar o impulso é simples.
Basta calcular a área embaixo da curva existente entre 0 e 3s.
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O gráfico a seguir demonstra essa área:
Área selecionada para o cálculo do impulso.
A área escolhida está em azul. Note que ela forma um trapézio em que a base menor (b) tem uma medida
de 3N, a base maior (B) uma medida de 5N e a altura (h) de 3s. Da geometria plana, sabemos que a área de
um trapézio é:
Eq.11
Rotacione a tela. 
Substituindo os valores da equação (11), temos como área o valor de 12N.s ou 12kgm/s. Assim:
Eq. 12
Rotacione a tela. 
O que nos mostra que o impulso é de:
Eq. 13
Rotacione a tela. 
Agora, vamos determinar o impulso entre 3 e 6 segundos. Note que também estamos tratando de um
trapézio, em que , e .
Atrapézio  =
(b + B) ⋅ h
2
Atrapézio  =
(3 + 5) ⋅ 3
2
I = 12N ⋅ s
b = 3N ,B = 8N h = 6 − 3 = 3s
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Utilizando a equação (11), temos como área o valor de 16,5, assim, o impulso nessa região do gráfico é:
Eq. 14
Rotacione a tela. 
Note que as forças atuantes nos gráficos não são forças constantes, mas, ao invés disso, são forças que
mudam seus módulos com o passar do tempo. Dessa forma, a única maneira que temos de identificar o
impulso atuante no sistema é através da análise gráfica. Neste caso, se você tentar utilizar as equações (6)
ou (9) para determinar o impulso, você obterá um valor não verdadeiro. Isso porque ambas as equações
levam em conta que a força atuante no sistema é uma força constante.
A teoria de impulso nos permite realizar importantes análises sobre um sistema, todavia, para análises mais
completas, essa teoria normalmente é combinada com a teoria de energia mecânica.
Mão na massa
Questão 1
Um objeto de 2kg se locomove com velocidade de 25m/s. Seu momento linear é igual a
Atrapézio  =
(3 + 8) ⋅ 3
2
= 16, 5
I = 16, 5 N ⋅ s

A 50kgm/s.
B 12,5kgm/s.
C 100kgm/s.
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Parabéns! A alternativa A está correta.
Confira no vídeo a solução da questão.
Questão 2
Um objeto de 30kg se move com velocidade constante de tal modo que seu momento linear é
equivalente a 78kgm/s. Sua velocidade é igual a
D 625kgm/s.
E 700kgm/s.
A 0,8m/s.
B 1,1m/s.
C 1,9m/s.
D 2,6m/s.
E 2,9m/s.
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Parabéns! A alternativa D está correta.
O momento linear é dado por:
Questão 3
Um automóvel percorre 30km em 15 min. O peso dele somado ao do motorista é de 721kg. Supondo a
velocidade constante, o momento linear deste automóvel é igual a
Parabéns! A alternativa A está correta.
Confira no vídeo a solução da questão.
P = mv
78 = 30 ⋅ v
v = 2, 6m/s
A 24.033,33kgm/s.
B 22.022,33kgm/s.
C 25.055,55kgm/s.
D 21.230,88kgm/s.
E 21.599,77kgm/s.
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Questão 4
Um veículo que se movimenta a uma velocidade de 0,5m/s e tem momento linear de 
tem massa igual a
Parabéns! A alternativa A está correta.
O momento linear é dado por:
Questão 5
2 × 106 kg ⋅ m/s
A 4 x 106kg.
B 8 x 106kg.
C 12 x 106kg.
D 5 x 106kg.
E 3 x 106kg.
P = mv
2 × 106 = m ⋅ 0, 5
m = 4 × 106 kg
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Um objeto voador se move de acordo com a função: v(t) = 3t²-2t+5. Se este objeto tem massa de 840kg,
seu momento linear, em t = 30s, é igual a
Parabéns! A alternativa C está correta.
Confira no vídeo a solução da questão.
Questão 6
Um carro de 700kg viaja a 80km/h, quando freia por um espaço de 50m, e então passa a trafegar com
55km/h. O impulso aplicado pelos freios ao carro é de
A 1,6 x 106kgm/s.
B 1,8 x 106kgm/s.
C 2,2 x 106kgm/s.
D 2,0 x 106kgm/s.
E 1,0 x 106kgm/s.
A 4.300N s.⋅
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Parabéns! A alternativa C está correta.
Convertendo as velocidades para metros por segundo, temos:
O impulso é dado por:
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Uma bola de golfe de 0,5kg está rolando no gramado com velocidade de 0,5m/s, quando uma pessoa
com um taco de golfe lhe aplica uma força pelo instante de tempo de 0,5s, de tal maneira que ela passa
B 4.500N s.⋅
C 4858N s.⋅
D 5.000N s.⋅
E 5.600N s.⋅
v0 =
80 km
h
= 22, 22 m/s
v =
55 km
h
= 15, 28 m/s
I = m (v − v0)
I = 700(22, 22 − 15, 28) = 4858N ⋅ s
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a rolar com velocidade de 1,5m/s. Assinale a alternativa que representa corretamente a força aplicada
pelo taco de golfe, ao tocar na bola.
Parabéns! A alternativa A está correta.
Temos como momento linear inicial:
Temos como momento linear final:
Então, podemos escrever o impulso:
Agora que temos o impulso, podemos determinar a força da seguinte maneira:
Substituindo:
A 1N
B 2N
C 5N
D 7,5N
E 8,0N
P0 = mv0
P0 = 0, 5 kg ⋅ 0, 5
m
 s
= 0, 25 N ⋅ s
−→−→
−→
→P = mv
→P = 0, 5 kg ⋅ 1, 5 ms = 0, 75 N ⋅ s
−→
I = mv − mv0
I = 0, 75 − 0, 25 = 0, 50N ⋅ s
−→−→
I = →FΔt
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Questão 2
Um foguete está sendo lançado com um ônibus espacial. De início, ele está parado em sua plataforma
de lançamento, quando, então, começa a se movimentar com uma aceleração de 12m/s². 74 segundos
após o seu lançamento, o foguete libera um compartimento, que reduz a sua massa em 25%, e 180
segundos após o lançamento, libera outro compartimento que corresponde a 50% da massa que restou
após liberar o primeiro compartimento. Após isso, o ônibus espacial entra em órbita. Assinale a
alternativa que representa corretamente o valor do impulso sofrido pelo foguete, do momento do seu
lançamento até o momento em que o ônibus espacial entra em órbita (considere g = 9,8m/s²):
Parabéns! A alternativa B está correta.
Temos um sistema no qual a aceleração é mantida constante, porém a massa do corpo é variável, e ela
diminui com o passar do tempo. Dessa forma, se a massa muda, a força muda e, assim, para descobrir
o impulso, devemos calcularas forças e gerar um gráfico de força por tempo.
Vamos, primeiro, calcular as forças.
1° No momento do lançamento:
0, 50N ⋅ s = →F ⋅ 0, 5s
→F = 1N
A 1400m0
B 1485m0
C 1390m0
D 1455m0
E 1555m0
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2° No momento da liberação da primeira carga:
3° No momento da liberação da segunda carga:
Temos não somente os valores das forças como também os valores dos tempos decorridos até elas,
como:
    t(s)
12m0     0
9m0       74
4,5m0    180
O gráfico de impulso fica da seguinte forma:
Não podemos esquecer que as nossas forças estão em função de m0. Então, para poder determinar o
impulso, temos que determinar a área embaixo da curva, que é um trapézio em que b = 4,5m0, a base
maior é B = 12m0 e a altura é de 180s. Assim:
F0 = m0→a
F0 = 12m0
−→
−→
F1 = (m0 − 0, 25m0)→a
F0 = 12 ⋅ 0, 75m0 = 9m0
−→
F2 = (0, 75m0 − 0, 5 ⋅ 0, 75m0)→a
F2 = 4, 5m0
−→
−→
→F(N)
I =
(b+B)h
2 =
(4,5m0+12m0)180
2 = 1485m0
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2 - Aplicação do conceito da conservação do momento
linear
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer o princípio da conservação do
momento linear.
Vamos começar!
Momento e a teoria da conservação
Veja os principais pontos que serão abordados sobre este assunto.

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Conservação do momento linear
De�nição
O momento linear é uma grandeza física que se conserva quando a força resultante sobre o sistema é nula.
Neste caso, como não há força, o impulso é nulo, e por isso podemos dizer que a quantidade de movimento
inicial é igual à quantidade de movimento final.
O impulso de um corpo ou de uma partícula é dado por:
Eq. 1
Rotacione a tela. 
Para que haja a conservação do momento linear, ou da quantidade de movimento, é necessário que não haja
forças atuantes no sistema, o que faz o impulso ser nulo, uma vez que:
Eq. 2
Rotacione a tela. 
Como a força resultante deve ser nula, para que o sistema seja conservativo, temos que F = 0, o que faz com
que o impulso seja nulo:
Eq. 3
→I = →Pfinal  − →Pinicial 
→I = →FΔt
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Rotacione a tela. 
Desta maneira, podemos escrever que:
Eq. 4
Rotacione a tela. 
Com esse entendimento, é possível explicar diversos fenômenos mecânicos envolvendo ação e reação,
como a relação do recuo de uma arma de fogo após disparar um projétil. Após o disparo, qualquer arma de
fogo apresenta um recuo, indo de encontro ao atirador, enquanto o projétil (a bala) segue no sentido oposto
ao deslocamento do recuo. Como a arma recua, existe a chamada velocidade de recuo, que é maior para
quanto maior for o calibre de uma arma.
Disparo de projétil de arma de fogo de longo alcance: o
caso do atirador de elite
Vamos considerar uma cena real, em que um atirador de elite está posicionado com um fuzil IMBEL 308
AGLC, de calibre .308, com massa sem munição de 4,7kg, com capacidade de 4+1 cartuchos de Spitzer,
cada um com 125g. Com essa munição, o projétil deixa a arma com uma velocidade de 3100m/s, como
mostra a seguinte imagem:
→I = 0 ⋅ Δt
→I = 0
0 = →Pfinal  − →Pinicial 
→Pfinal  = →Pinicial 
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Representação de um atirador de elite disparando um projétil utilizando um fuzil de alta precisão.
Vamos considerar duas coisas: 1ª, as massas do cartucho do projétil e da pólvora são insignificantes, e 2ª,
o projétil percorre um trajeto retilíneo até o seu alvo. Efetuando 2 disparos, vamos determinar agora as
velocidades de recuo do rifle em cada um deles:
Antes de efetuar o primeiro disparo, o fuzil estava carregado com 5 cartuchos, cada um com ,
o que equivale a uma massa de: . Então, nesse momento, antes
do disparo, nós verificamos o momento linear inicial, o nosso , em que o subíndice 1 é referente
ao primeiro disparo. Como não houve o disparo, tanto o projétil quanto a arma estão parados, logo,
ambas as suas velocidades são nulas. Com isso, pode-se escrever:
Porém, ao efetuar o disparo, tanto o projétil quanto a arma adquirem velocidade. A arma agora fica
somente com 4 cartuchos, o que faz a sua massa total ser de .
Sabendo disso, podemos escrever o momento final do sistema como:
Substituindo os valores, temos:
Uma vez que a força resultante no sistema é nula, podemos aplicar o princípio da conservação do
momento linear, como na equação (4):
Note que o resultado da velocidade é negativo, o que era de se esperar quando estamos falando de uma
velocidade de recuo que está indo no sentido oposto ao do disparo. Todavia, se invertermos o sistema de
coordenadas, podemos descrever a velocidade do projétil como negativa e a velocidade de recuo como
positiva.
Viu? Com o conceito da conservação do momento linear, conseguimos determinar a velocidade de recuo do
fuzil. Agora, vamos analisar a velocidade de recuo, no segundo disparo desta arma:
1º disparo 
125 g
mcartucho  = 5 ⋅ 0, 125 = 0, 625 kg
P01
→P01
= 0
M = 4 ⋅ 0, 125 + 4, 7 = 5, 2 kg
→P1 = mprojetil →vprojejetil  + M→vrecuo do fuzil 
P1 = 0, 125 ⋅ 3100 + 5, 2 ⋅ →vrecuo do fuzil 
−→
P1 = →P01
0, 125 ⋅ 3100 + 5, 2 ⋅ →vrecuo do fuzil  = 0
→vrecuo do fuzil  = −74, 52 m/s
−→
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Antes de efetuar o segundo disparo, o fuzil estava carregado com 4 cartuchos, cada um com 125g, o
que equivale a uma massa de: .
De forma análoga à dedução do primeiro disparo, . Porém, ao efetuar o disparo, tanto o
projétil quanto a arma adquirem velocidade, mas, agora, a arma fica somente com 3 cartuchos, o que
faz a sua massa total ser de .
Sabendo disso, podemos escrever o momento final do sistema como:
Substituindo os valores, temos:
Uma vez que a força resultante no sistema é nula, podemos aplicar o princípio da conservação do
momento linear, como na equação (4):
Note que a velocidade de recuo neste segundo disparo é maior, mesmo com a velocidade do projétil sendo
mantida. Isso ocorre devido à diminuição da massa do sistema fuzil-cartucho. O que significa que, quanto
menos cartuchos houver no fuzil, maior será a velocidade de recuo, e por sua vez, maior o tranco a ser
aguentado pelo atirador.
Conservação do momento linear em um jogo de bilhar
Vamos agora a um exemplo mais palpável, que acontece em uma mesa de bilhar, popularmente chamada
de mesa de sinuca. Em um jogo de bilhar, existe uma bola branca e mais 15 bolas, numeradas de 1 a 15,
todas de cores diferentes. Utiliza-se um taco de madeira para bater na bola branca, e então, esta deve bater
nas demais bolas, a fim de colocá-las no interior de uma das seis caçapas, que se localizam nas bordas da
mesa.
2º disparo 
mcartucho  = 4 ⋅ 0, 125 = 0, 500 kg
→P02
= 0
M = 3 ⋅ 0, 125 + 4, 7 = 5, 075 kg
→P2 = mprojétil →vprojétil  + M→vrecuo do fuzil 
P1 = 0, 125 ⋅ 3100 + 5, 075 ⋅ →vrecuo do fuzil 
−→
→P2 = →P02
0, 125 ⋅ 3100 + 5, 075 ⋅ →vrecuo do fuzil  = 0
→vrecuo do fuzil  = −76, 35 m/s
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Representação de um jogo de bilhar.
Temos que considerar que as bolas diferem somente em cores e numerações. Elas são iguais em geometria
e massa. Vamos considerar a seguinte situação de jogo: Restam somente duas bolas, uma vermelha e uma
amarela, e elas estão encostadas uma na outra. O jogador, então,resolve tentar matar as duas bolas em
caçapas distintas, com uma única tacada. Veja:
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Vamos supor que todas as bolas possuam massa m, e que o jogador, ao bater na bola branca com o taco, a
fez se movimentar com velocidade de 12m/s. Consideremos também que as bolas vermelha e amarela se
movimentem com a mesma velocidade após a colisão, todavia, a bola branca inverte o seu sentido, com
uma velocidade de módulo de 1m/s. Então, após tantas definições, vamos determinar as velocidades da
bola vermelha e amarela. Observe:
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Teoria na prática
O princípio da conservação de momento linear também nos permite analisar, por exemplo, acidentes de
trânsito, podendo determinar a velocidade de um automóvel ao colidir com outro, distância de arremesso de
uma pessoa em um atropelamento etc.
Mão na massa
Questão 1
Uma bola de sinuca amarela de 1,3kg viaja à velocidade de 0,3m/s, quando colide com outra bola de
sinuca vermelha de mesma massa, daí a bola amarela para, enquanto a bola vermelha passa a se
movimentar. A velocidade da bola vermelha é igual a
_black
Mostrar solução

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Parabéns! A alternativa A está correta.
Confira no vídeo a solução da questão.
Questão 2
Uma bola de gude de 50g rola com velocidade de 0,1m/s e colide com uma bola de gude de 100g. Na
colisão, a bola de 50g para, e a bola de 100g começa a rolar. A velocidade da bola de 100g é
A 0,3m/s.
B 0,4m/s.
C 0,2m/s.
D 0,15m/s.
E 0,10m/s.
A 0,03m/s.
B 0,04m/s.
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Parabéns! A alternativa D está correta.
O momento total antes da colisão é de:
Após a colisão, temos:
Pelo princípio da conservação:
Questão 3
Uma bola de sinuca de 1,3kg branca colide com uma bola de sinuca de 1,3kg preta. Antes da colisão, a
bola branca se movia a 0,4m/s e a bola preta estava parada. Após a colisão, a bola branca continua o
seu caminho, agora com velocidade v, enquanto a bola preta segue adiante com uma velocidade 2v. As
velocidades das bolas branca e preta após a colisão, respectivamente, são iguais a
C 0,02m/s.
D 0,05m/s.
E 0,01m/s.
P0 = P50g0 + P100g0
P0 = mv50g0
+ mv100g0
P0 = 0, 05 ⋅ 0, 1 + 0, 1 ⋅ 0
P0 = 0, 005N ⋅ s
P = P50g + P100g
P = mv50g + mv100g
P = 0, 05 ⋅ 0 + 0, 1v
P = 0, 1v
P0 = P
0, 005 = 0, 1v
v = 0, 05m/s
A 0,15m/s e 0,22m/s.
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Parabéns! A alternativa B está correta.
Confira no vídeo a solução da questão.
Questão 4
Um objeto com propriedades elásticas viaja em direção a uma parede com velocidade de 40cm/s,
quando ricocheteia e retorna com o mesmo momento linear. É correto afirmar que seu vetor velocidade
no retorno é igual a
B 0,13m/s e 0,26m/s.
C 0,26m/s e 0,13m/s.
D 0,13m/s e 0,22m/s.
E 0,13 m/s e 0,13 m/s.
A 0cm /s.
B -20cm/s.
C -40cm/s.
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Parabéns! A alternativa C está correta.
Ao retornar com mesmo momento linear, o módulo da velocidade se mantém, todavia, o sentido do
vetor muda. Dessa maneira, se antes da colisão o vetor era de 40cm/s, ao mudar o sentido, o vetor
passou a ser de -40cm/s.
Questão 5
Um corpo de 7kg locomove-se com velocidade constante de 8m/s, quando age sobre ele uma força de
0,07N, na mesma direção e sentido do vetor velocidade, por 10 segundos. A velocidade final deste
corpo é igual a
Parabéns! A alternativa A está correta.
Confira no vídeo a solução da questão.
D 20cm/s.
E 40cm/s.
A 8,1m/s.
B 8,0m/s.
C 9,5m/s.
D 9,6m/s.
E 9,9m/s.
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Questão 6
Um atirador de elite possui um rifle de 4,2kg e atira um projétil de 300g com velocidade de 340m/s. A
velocidade de recuo de sua arma é de
Parabéns! A alternativa B está correta.
Antes do disparo, não há momento linear, pois tanto o rifle quanto o projétil estão parados, logo:
Porém, após o disparo, temos:
Pelo princípio da conservação:
A -16,35m/s.
B -24,29m/s.
C -30,00m/s.
D -45,55m/s.
E -52,33m/s.
P0 = 0
P = mrifle vrifle  + mprojétil vprojetil  = 4, 2vrifle  + 0, 3 ⋅ 340 = 4, 2vrifle  + 102
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Em um jogo de bilhar, o jogador oferece à bola branca de 0,250kg um impulso de 0,5N s. Essa bola,
então, colide com a bola preta, de mesma massa. Após essa colisão, a bola branca continua a se
deslocar na mesma direção e sentido, com momento linear de 0,19N s. Assinale a alternativa que
representa a velocidade com a qual a bola preta se desloca:
Parabéns! A alternativa A está correta.
P0 = P
0 = 4, 2vextrifle + 102
vrifle  = −24, 29m/s
⋅
⋅
A 1,24m/s
B 1,33m/s
C 2,00m/s
D 3,50m/s
E 4,00m/s
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Primeiramente, devemos determinar qual a velocidade de deslocamento da bola branca, para definir a
velocidade antes da colisão com a bola preta. Estabeleceremos essa velocidade através da teoria de
impulso:
Como antes da tacada a bola branca estava parada, seu momento linear era , assim:
Então, temos como momento linear anterior à colisão :
Após a colisão, ambas as bolas continuam se locomovendo na mesma direção e sentido. A bola branca
com momento linear de 0,19N s. Porém, não sabemos a velocidade da bola preta, assim, temos que o
momento linear total após a colisão é:
Já sabemos o momento linear da bola branca, mas não o da bola preta, então:
Assim, pelo princípio da conservação do momento linear, temos:
Questão 2
Um corpo está se locomovendo com uma velocidade constante de 3m/s, quando uma força de 0,087N
age sobre ele, na mesma direção e sentido do vetor velocidade, por 10 segundos, porém, durante a ação
da força, por conta do atrito, o corpo perde 10% de sua massa, na forma de um pequeno pedaço que se
desprende com a mesma velocidade que o corpo desenvolve após a ação da força. Assinale a opção
que revela o valor da velocidade do pedaço que se desprende, considerando a massa inicial do corpo
como 0,1 kg.
I− = →P − P0
−→−→
P0 = 0
→I = mv
0, 5 = 0, 250→v
→vbola branca  = 2m/s
−→
( P1)
−→
P1 = 0, 250 ⋅ 2 = 0, 5N ⋅ s
−→
⋅
P2 = →Pbola branca após a colisão  + →Pbola preta após a colisão 
−→
P2 = 0, 19 + 0, 250 ⋅ →v2 bola preta 
−→
P1 = →P2
0, 5 = 0, 19 + 0, 250 ⋅ →v2 bola preta 
→v2 bola preta  = 124m/s
−→
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Parabéns! A alternativa C está correta.
Como temos a informação da força e do período que ela atuou, podemos determinar o impulso
causado ao corpo, assim:
 N.S
Sabemos que o impulso também pode ser descrito como:
Uma vez que a velocidade de deslocamento antes da ação da força é 3m/s. Continuando:
A massa do pedaço é de 0,1m0 = 0,01kg e a massa do corpo após a ação da força é 0,9m0 = 0,09kg,
assim:
Note que o enunciado informa que . Para facilitar a notação, ambas foram chamadas de
. Então, igualaremos(I) a (II), assim:
A 3, 6m/s
B 9, 9m/s
C 11,7m/s
D 12,5m/s
E 13,7m/s
I = FΔt
I = 0, 087.10
I = 0, 87
I = P1 − P0
0, 87 = P1 − m0v0
P1 = 0, 87 + 3.0, 1 = 1, 17N . s
P1 = m1corpo 
v1corpo 
+ m1pedaço 
v1pedaço 
P1 = 0, 09v + 0, 01v = 0, 1v
v1corpo 
= v1pedaso 
v
0, 1v = 1, 17
v = 11, 7 m/s
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3 - Estudo das colisões
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car os tipos de colisão.
Vamos começar!
A teoria das colisões
Veja os principais pontos que serão abordados sobre este assunto.

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Colisões
Conceito
As colisões fazem parte do nosso cotidiano. Moléculas de oxigênio que compõem o ar que respiramos
estão o tempo todo se chocando umas com as outras.
Se você parar para pensar, em nossos corpos, o tempo inteiro, também estão ocorrendo colisões, por
exemplo, entre as pálpebras em um piscar de olhos, entre os dedos que se chocam ao gesticularmos, entre
os dentes ao mastigarmos, entre a língua e o resto da boca etc.
Diante de tantos exemplos, é importante entendermos a mecânica da colisão entre corpos.
Colisão entre corpos
As colisões podem decorrer da seguinte forma:
Colisão elástica
Quando toda a energia se conserva. Neste caso, temos a transferência completa de um corpo para o outro,
sem nenhum tipo de perda.
Colisão parcialmente elástica
Quando somente parte da energia é transferida de um corpo para outro.
Colisão inelástica
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Quando, ao se chocarem, os corpos grudam um no outro e passam a se locomover juntos.
A Física classifica esses três tipos de colisão através do coeficiente de restituição (e).
Veja a representação do antes e depois de cada tipo de colisão:
Colisão elástica
Colisão parcialmente elástica
Colisão inelástica
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Coe�ciente de restituição
O coeficiente de restituição é uma grandeza adimensional dependente das velocidades relativas de
aproximação e afastamento, sendo definida como:
Eq. 1
Rotacione a tela. 
Essas velocidades relativas correspondem ao instante um pouco antes da colisão e um pouco depois da
colisão. Através desse coeficiente, conseguimos entender se houve conservação da energia totalmente,
parcialmente, ou se houve completa dissipação da energia cinética.
Se a velocidade relativa de afastamento for igual à velocidade relativa de aproximação, a razão na equação
(1) resultará em 1. Nesse caso, temos a total conservação da energia cinética total do sistema observado.
Para compreender este fenômeno, considere uma mesa de bilhar onde somente existem duas bolas, uma
branca e outra preta, de mesma massa m.
A bola branca se aproxima da bola preta, que está parada, com velocidade v, choca-se com a bola preta e
então fica parada, enquanto a bola preta passa a se movimentar, afastando-se da bola branca, também com
velocidade v. Observe:
Representação do fenômeno.
Vamos analisar matematicamente.
Antes da colisão, temos a bola branca se movendo e a bola preta parada. Então, a energia cinética total do
sistema é:
Eq. 2
e =
|vrelativa de afastamento |
∣ vrelativa de aproximação ∣
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Rotacione a tela. 
Como a bola preta está parada e a bola branca possui massa m e velocidade v:
Eq. 3
Rotacione a tela. 
Logo após a colisão, a bola branca para, e a bola preta de massa m passa a se mover com velocidade v.
Dessa forma:
Eq. 4
Rotacione a tela. 
Note que, nesse caso, tanto a energia cinética inicial do sistema como a energia cinética final do sistema
possuem o mesmo valor, que é , o que demonstra que a energia cinética se conservou.
Agora, vamos avaliar o fator de restituição. Antes da colisão, a bola branca se move com velocidade v se
aproximando da bola preta que está parada. Logo, a velocidade de aproximação é v.
Após a colisão, a bola branca fica parada e a bola preta se afasta da bola branca com velocidade v. Logo, a
velocidade de afastamento é v. Então, o fator de restituição é:
Eq. 4
Rotacione a tela. 
Esse resultado indica que a colisão é perfeitamente elástica, pois há a completa conservação da energia
cinética do sistema. Note que o sistema é constituído pelos dois corpos.
Agora, se a velocidade relativa de afastamento for menor do que a velocidade relativa de aproximação, há
uma colisão parcialmente elástica, pois, neste caso, não há conservação total da energia cinética, mas
apenas parcial. Então, o coeficiente de restituição possui um valor entre 0 e 1: \(0
K0 = K0branca 
+ K0preta 
K0 =
mv2
2
+ 0 =
mv2
2
K = Kbranca  + Kpreta 
K = 0 +
mv2
2
=
mv2
2
mv2
2
e =
|v|
|v|
= 1
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Vamos voltar a considerar as duas bolas de bilhar branca e preta de mesma massa. Considere agora que a
bola de bilhar branca se aproxima da bola de bilhar preta, inicialmente parada, com velocidade de 2v.
Daí, então, a bola de bilhar branca se choca com a bola de bilhar preta, e ambas passam a se mover na
mesma direção e sentido, com velocidades. Ou seja, , e . Observe:
Representação do fenômeno.
Essa direção e sentido são os mesmos nos quais a bola branca se movia antes da colisão. Pois bem, vamos
analisar a energia cinética do sistema. Primeiro, temos a bola branca se movendo com velocidade 2v e a
bola preta parada. Assim:
Eq. 5
Rotacione a tela. 
Como a bola preta está parada e a bola branca possui massa m e velocidade 2v:
Eq. 6
Rotacione a tela. 
Logo após a colisão, a bola branca continua se movendo na mesma direção e sentido, porém, agora, com a
velocidade v/2, e a bola preta de massa m passa a se mover também com velocidade 3v/2. Dessa forma:
Eq. 7
Rotacione a tela. 
vbranca  = v/2 vpreta  = 3v/2
K0 = K0branca 
+ K0preta 
K0 =
m(2v)2
2
+ 0 = 2mv2
K = Kbranca  + Kpreta 
K =
m(v/2)2
2
+
m(v3/2)2
2
+
5mv2
4
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Note que a energia cinética final do sistema corresponde à metade da energia cinética inicial do sistema, o
que indica a perda parcial de energia. Vamos agora analisar o coeficiente de restituição.
Antes da colisão, a bola branca se aproxima da bola preta, que está parada, com velocidade 2v, logo, sua
velocidade de aproximação é 2v.
Já após a colisão, a bola branca se move com velocidade v/2 e a bola preta com velocidade 3v/2, o que faz
a velocidade relativa de afastamento ser:
Eq.8
Rotacione a tela. 
Portanto, o coeficiente de restituição é: .
Uma colisão inelástica, ou colisão plástica, é uma colisão em que os corpos se
unem e passam a se movimentar juntos. Então, mesmo que haja uma energia
cinética final referente ao movimento dos dois corpos unidos, a velocidade de
afastamento é nula, o que faz o coeficiente de restituição ser nulo: .
Voltemos a analisar as duas bolas branca e preta, ambas com massa m.
Vamos considerar que a bola branca se aproxima da bola preta que está parada com velocidade v, colide
com a bola preta e que, logo após a colisão, ambas continuam se movimentando na mesma direção e
sentido, porém, agora, com velocidade v/10 cada uma. Observe:
Representação do fenômeno.
Nessa situação, a velocidade relativa de aproximação é v, porém a velocidade relativa de afastamento é 0.
Vamos ver:
Eq. 9
vrelativaafastamento= vbola preta  − vbola branca  =
3v
2
−
v
2
= v
e = v
v2 − 1
2 = 0, 5
e = 0
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Rotacione a tela. 
Desta maneira: . Vamos analisar agora a energia cinética do sistema nesse caso. De forma
análoga aos dois casos anteriores:
Eq. 10
Rotacione a tela. 
Logo após a colisão, as bolas se unem e passam a se mover juntas com velocidade v/10. Assim:
Eq. 11
Rotacione a tela. 
Você consegue enxergar o quão menor a energia cinética final é do que a energia cinética inicial?
Sendo a colisão inelástica, a energia cinética final é 50 vezes menor do que a energia cinética inicial, ou seja:
.
Apesar de muito útil, o fator de restituição é um fator de análise qualitativa, fornecendo a você somente a
informação se houve conservação da energia cinética total, parcial ou completa dissipação da energia.
A tabela a seguir resume as condições do coeficiente de restituição:
Coeficiente de
restituição
Relação entre as velocidades relativas Tipo de colisão
Elástica
vrelativa afastamento
= vbola preta  − vbola branca  =
v
10
−
v
10
= 0
e = 0
v
= 0
K0 =
m(v)2
2
+ 0 =
mv2
2
K = Kbranca  + Kpreta 
K =
m(v/10)2
2
+
m(v/10)2
2
=
mv2
100
E = E−0/50
e = 1 vrelativa de afastamento  = vrelativa de aproximaçāo 
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Coeficiente de
restituição
Relação entre as velocidades relativas Tipo de colisão
Parcialmente
elástica
Inelástica ou
plástica
Resumo das condições do coeficiente de restituição.
Gabriel Burlandy Mota de Melo
Condições relevantes para análise de colisões
Apesar de ser uma poderosa ferramenta, o coeficiente de restituição não permite realizar uma análise
quantitativa. Somente qualitativa. Para analisar as reais condições de uma colisão, é necessário considerar
dois fenômenos físicos:

O princípio da conservação da energia cinética do sistema.

O princípio da conservação do momento linear do sistema.
Com essas duas informações, é realizável montar um sistema possível e determinado (S. P. D.) para poder
retirar informações importantes, como velocidades e valores de massa.
0 < e < 1 vrelativa de afastamento  < vrelativa de aproximaçāo 
e = 0 vrelativa de af astamento  = 0
_black
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Teoria na prática
Vamos considerar novamente as duas bolas de bilhar branca e preta.
Imagine que a bola branca se movesse, antes da colisão, com velocidade v, e a bola preta estivesse parada.
Lembre-se de que as massas de ambas as bolas são iguais a m.
Após a colisão, a bola branca muda o seu sentido de deslocamento e retorna com uma velocidade v1. Será
que nessa colisão a bola preta se move?
Mão na massa
Questão 1
Em uma colisão, a velocidade de aproximação entre dois corpos é de 650m/s e a de afastamento é de
300m/s. O coeficiente de restituição da colisão é igual a
Mostrar solução

A 0,44.
B 0,45.
C 0,46.
D 0,47.
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Parabéns! A alternativa C está correta.
Solução em vídeo:
Questão 2
Em uma colisão, a velocidade de afastamento é de 0,20m/s e o coeficiente de restituição é 0,99. A
velocidade de aproximação é igual a
Parabéns! A alternativa B está correta.
E 0,50.
A 0,19m/s.
B 0,20m/s.
C 0,21m/s.
D 0,22m/s.
E 0,18m/s.
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Questão 3
Duas bolas estão se locomovendo uma em direção a outra. A primeira bola tem velocidade igual a 4m/s
e a segunda velocidade de -3m/s. Após a colisão, a primeira bola passa a se mover com velocidade de
-1m/s e a segunda com velocidade de 2,5m/s. O coeficiente de restituição dessa colisão parcialmente
elástica é igual a
Parabéns! A alternativa A está correta.
Solução em vídeo:
e =
|vafastamento |
vaproximação 
0, 99 =
0, 2
vaproximação 
vaproximação  = 0, 20m/s∣ ∣∣ ∣∣ ∣A 0,5.
B 0,4.
C 0,3.
D 0,2.
E 0,1.
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Questão 4
Um corpo de massa m se aproxima de um corpo de massa M que está parado com velocidade de
1m/s. Ao colidirem, o corpo de massa m se move com velocidade de –(0,5)m/s e o corpo de massa M
com velocidade de 0,5m/s. O coeficiente de restituição dessa colisão é igual a
Parabéns! A alternativa A está correta.
Questão 5
Uma massa de 45kg viaja a 23km/h, quando colide com um corpo de massa M que estava parado.
Após a colisão, o corpo de massa M se locomove com velocidade de 1m/s. Qual deve ser a massa M
para que a colisão seja completamente elástica?
A 1.
B 0,98.
C 0,96.
D 0,5.
E 0,3.
e =
|vafastamento |
vaproximaçā ̃o 
vaproximaçāo  = 1 − 0 = 1 m/s
|vafastamento | = 0, 5 − 0, 5 = 1 m/s
e =
0, 5
0, 5
= 1∣ ∣
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Parabéns! A alternativa B está correta.
Solução em vídeo:
Questão 6
Um projétil de massa 300g se aproxima de uma placa de madeira de massa 6kg, com velocidade de
780m/s. Ao atingir essa placa, o projétil se aloja nela e arrasta a placa por 5cm, em um intervalo de
tempo de 0,39s. Podemos afirmar que o seu coeficiente de restituição é igual a
A 100,20kg
B 530,10kg
C 200,16kg
D 1.000,00kg
E 1.200,98kg
A 1.
B 0,66.
C
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Parabéns! A alternativa E está correta.
Como o projétil se aloja, temos uma colisão completamente elástica, pois não há velocidade de
afastamento. Assim:
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Considere uma bola quicando. Essa bola é abandonada de uma altura de 1,50m, bate no chão e então
retorna a uma altura de 1,45m. Podemos afirmar sobre essa colisão que ela é
0,33.
D 0,28.
E 0,00.
e =
|vafastamento |
vaproximarão 
= 0
780 = 0∣ ∣
A
totalmente elástica, uma vez que a bola é feita de um material elastômero, e esses
materiais sempre conservam a energia.
B totalmente inelástica, pois a bola precisa se deformar para poder quicar.
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Parabéns! A alternativa D está correta.
Quando a bola é largada, ela possui energia potencial, que se transforma toda em energia cinética no
momento da colisão com o chão. Então, se essa energia fosse conservada, a bola deveria retornar a
uma altura igual a 1,50m. Como essa energia não foi conservada, a velocidade de afastamento da bola
em relação ao chão é menor do que a velocidade de aproximação.
Questão 2
Uma bola de 400g se locomove a uma velocidade de 20m/s quando se choca com um cubo de 550g,
que está parado. Desconsiderando o atrito, assinale a opção que apresenta respectivamente as
velocidades da bola e do cubo após a colisão:
C totalmente elástica, pois a velocidade de aproximação da bola com o chão é igual à
velocidade de afastamento da bola com o chão.
D
parcialmente elástica, pois o fato de a bola retornar a uma altura máxima mais baixa do
que a altura que ela foi largada indica perda de parte da energia inicial.
E totalmente elástica, pois há total conservação da energia mecânica.
A 0m/s e 20m/s
B -20m/s e 0m/s
C 2,87m/s e -16,84m/s
D -2,87m/s e 16,84m/s
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Parabéns! A alternativa D está correta.
Antes da colisão, temos energia e momento do sistema como:
Após a colisão:
Utilizando o princípio de conservação e montando o sistema, temos:
Isolando em (II) e substituindo em (I), temos:
Substituindo esse resultado em (II), temos:
Considerações �nais
Identificamos aqui o conceito de momento linear, o qual se remete ao produto da massa pela velocidade
desenvolvida por um objeto.
E -3,00m/s e 19,35m/s
K0 =
mv2
2
=
0, 4.202
2
= 80J
P0 = mv = 0, 4.20 = 8 N.s 
K =
0, 4v2 bola 
2
+
0, 55v2 cubo 
2
P = 0, 4vbola  + 0, 55vcubo 
{
0,4v2 bola 
2 + 0,55v2
cubo 
2 = 80
0, 4vbola + 0, 55vcubo = 8
νbola
0, 4( 8−0,55vcubo 
0,4 )
2
2
+
0, 55vcubo 
2
= 80
vcubo = 16, 84 m/s
vbola = −2, 87 m/s
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Observamos que essa grandeza é vetorial e a sua variação em função do tempo nos leva à Segunda Lei de
Newton. Vimos que o impulso é a variação do momento linear em relação ao tempo, e que ele é definido
considerando o momento linear final e o momento linear inicial do corpo em movimento.
Consideramos que o momento linear é conservativo em um caso no qual a força resultante seja nula, e que
também podemos aplicar essa teoria na quantificação de massa ou velocidade em pares ação-reação,
como no caso do atirador de elite. Por fim, percebemos que o conceito de momento linear e sua
conservação é útil para as aplicações reais de perícia, como em acidentes de carro.
Podcast
Para encerrar, ouça um resumo sobre os principais assuntos abordados neste conteúdo.
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Confira as indicações que separamos especialmente para você!
Para verificar uma aplicação da teoria de impulso em colisões, leia Investigando o impulso em crash tests
utilizando vídeo-análise.Revista Brasileira de Ensino de Física. São Paulo: 2014. v. 36, n. 1.
Sobre colisão entre dois corpos, leia Proposta experimental do estudo de colisões entre bolas de borracha
e superfície plana.Revista Brasileira de Ensino de Física. São Paulo: 2017. v. 40, n. 2. .
Sobre as colisões e a importância do coeficiente de restituição, leiaUma discussão sobre o coeficiente de
restituição.Revista Brasileira de Ensino da Física. São Paulo: 2017. v. 39, n. 4.
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Referências
CUTNELL, John D. et al. Física. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. v. 1.
HALLIDAY, David. et al. Fundamentos de Física. 10. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2016, v. 1.
MOSSMANN, V. L. F. et al. Determinação dos Coeficientes de Atrito Estático e Cinético Utilizando-se a
Aquisição Automática de Dados. Revista Brasileira de Ensino de Física, São Paulo, 2002. v. 24, n. 2, p. 146-
149.
PEIXOTO, Paulo. Qual é a expressão correta para o trabalho realizado pela força de atrito cinético? Revista
Brasileira de Ensino de Física, São Paulo, 2018, v. 41, n. 1, p. 1-9, 6.
TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene. Física para Cientistas e Engenheiros. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2014. v. 1.
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