Teoria dos Conjuntos

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1ºAula
Teoria dos Conjuntos
Objetivos de aprendizagem
ao término desta aula, vocês serão capazes de: 
•	 entender a teoria dos conjuntos;
•	 conhecer a importância da teoria dos conjuntos na matemática no que tange aos principais conceitos em questão.
Já estudaram Conjuntos Numéricos?! intuitivamente, 
aprendemos por conjunto uma lista ou coleção de objetos, 
pessoas ou números. Então, dizemos que esses objetos, 
pessoas ou números são elementos desses conjuntos. São esses 
conceitos que iremos apresentar nesta aula.
O objetivo dessa aula é estudar a teoria dos conjuntos, 
mostrando sua importância na matemática e apresentando 
os principais conceitos em questão. Vamos apresentar os 
conjuntos numéricos, analisando o surgimento de cada um 
deles por seus diferentes contextos. também identificaremos 
todos os conjuntos numéricos e seus elementos.
Bons estudos!
6Matemática e Estatística para computação
1 – Conjuntos numéricos
2 – Particularidades de Conjuntos
3 – Operações de conjuntos numéricos
4 – união de Conjuntos
5 – intersecção de Conjuntos
6 – Diferença de Conjuntos
1 - conjuntos numéricos
Conjuntos numéricos são agrupamentos de números 
que têm características semelhantes. Vocês já estudaram 
todos eles.
Os componentes de um conjunto são chamados de 
elementos. No conjunto numérico, de 0 a 9, podemos dizer 
que temos os elementos pares (0, 2, 4, 6, 8) e elementos 
ímpares (1, 3, 5, 7, 9). Então, podemos representá-los por 
meio de uma letra maiúscula, da seguinte forma:
Conjunto dos elementos pares
a = {0, 2, 4, 6, 8}
Conjunto dos elementos ímpares
B = {1, 3, 5, 7, 9}
a representação em extensão pode ser usada para 
conjuntos infinitos (sem determinar uma quantidade de 
elementos) ou finitos (quantidade determinada de elementos). 
Dessa forma, podemos representar da seguinte maneira: 
Conjunto dos elementos pares positivos
a = {0, 2, 4, 6, 8, ...} conjunto infinito
Conjunto dos elementos ímpares menores que 198
B = {1, 3, 5, 7, 9, ..., 197}
É possível a representação desses números por meio de 
uma figura, conhecida por diagrama de Venn:
Conjunto V: contém elementos que são as vogais do 
alfabeto
Fonte: autoria própria.
Seções de estudo
agora vamos relembrar os elementos dos Conjuntos...
Conjunto dos Números Naturais
O conjunto dos Números Naturais é o primeiro deles. 
Surgiu da simples necessidade de se fazer contagens. Ele é 
composto de elementos que são apenas os números inteiros 
e positivos.
É representado pela letra N.
O conjunto dos números naturais possui os seguintes 
elementos:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}
Observe que ele inicia do 0 e vai até o infinito, somente 
com valores inteiros e positivos.
Possui, também, a representação N*. O * (asterisco), que 
significa a exclusão do valor 0 (zero) no conjunto. Fica da 
seguinte maneira:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}
Podemos representar, também, pelo diagrama de Venn.
Fonte: autoria própria.
Lembraram?! Vamos relembrar os demais? 
Conjunto dos Números Inteiros
O conjunto dos números inteiros é uma ampliação do 
conjunto dos números naturais, pois é formado pela união 
do conjunto dos números naturais, inteiros positivos, com os 
números negativos e o zero. 
Esse conjunto é representado pela letra Z.
assim, o conjunto dos números inteiros possui os 
seguintes elementos:
Z = {…, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
Da mesma forma que o conjunto N, ele tem a 
possibilidade de ter a representação Z*, o que significa, 
também, a exclusão do 0...
Z* = {…, – 4, – 3, – 2, – 1, 1, 2, 3, 4, …}
7
Mas, fora isso, também temos Z_, onde excluímos os 
positivos.
Z_ = {..., -3, -2, -1, 0} 
E, também, Z*_, onde há a exclusão do zero e dos 
positivos.
Z*_ = {..., -3, -2, -1} 
Da mesma forma, temos Z+, onde há a exclusão dos 
negativos.
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}
E Z*+, que exclui o zero e os negativos...
Z* + = {1, 2, 3, 4,...}
Nesse conjunto, teremos a seguinte representação pelo 
diagrama de Venn
 
Fonte: autoria própria.
acredito que essa revisão esteja sendo muito fácil, e que 
vocês estão conseguindo relembrar de todo o conteúdo já 
aprendido anteriormente. Desse modo, podemos verificar os 
demais.
Conjunto dos Números Racionais
O conjunto dos números racionais surgiu da necessidade 
de dividir, de particionar quantidades. assim sendo, foi criado 
o conjunto dos números racionais que podem ser escritos na 
forma de fração. 
É representado pela letra Q e possui os seguintes 
elementos:
Mas o que significa isso? Que números são esses? 
Percebam que sempre é uma fração. O valor de x é sempre 
representado por um valor de a dividido por um valor de B, 
sendo que o valor de a pode ser qualquer número inteiro, 
positivo ou negativo, e o valor de B somente valores positivos.
Em outras palavras, se é fração ou um número que pode 
ser escrito na forma de fração, então é um número racional.
Obedecendo ao critério acima citado, vejamos quais 
números pertencem a esse conjunto:
1. todos os números inteiros; (positivos, negativos e 
o zero);
2. Decimais finitos.
Os decimais finitos são aqueles que possuem um número 
finito de casas decimais. Observem:
10,1
12,32
54,45
3. Dízimas periódicas.
Dízimas periódicas são decimais infinitos, mas que 
repetem a sequência final de suas casas decimais. Observe:
21,333333....
84,45454545....
116,758975897589....
E no Diagrama de Venn? Como ficaria?
 
Fonte: autoria própria.
Legal! Seriam todos esses números, então. Mas, se 
existem os racionais, então, estudamos também os irracionais, 
é isso?! Vamos conferir?
Conjunto dos Números Irracionais
O conjunto dos números irracionais depende dos 
racionais, ou seja, o que não for racional, será irracional.
Portanto, pertencem ao conjunto dos números 
irracionais todos os números que não pertencem ao conjunto 
dos racionais.
Dessa forma, ou um número é racional ou ele é irracional. 
Não existe possibilidade de um número pertencer a esses dois 
conjuntos simultaneamente.
Outra forma de definir o conjunto dos números 
irracionais é verificando que os números irracionais são 
aqueles que não podem ser escritos na forma de fração. Veja 
a seguir quem são eles:
1. Decimais infinitos
Os decimais infinitos são números que possuem infinitas 
casas decimais e que não são dizimas periódicas.
0,12345678910111213...
π
2. Raízes não exatas
√2
√15
Fácil, não?! Então vamos ver o último deles. 
Conjunto dos Números Reais
O conjunto dos números reais é formado por todos os 
conjuntos citados anteriormente: N, Z, R e i. Sua definição é 
8Matemática e Estatística para computação
dada pela união entre o conjunto dos números racionais e o 
conjunto dos números irracionais. 
É representado por R. 
Não podemos esquecer que todos eles, com exceção 
dos N, possuem valores positivos e negativos e que podemos 
excluir esses valores por meio das simbologias já estudadas 
_ ou + ao lado da letra que representa o conjunto. E, se 
quisermos excluir o zero, basta colocar o *.
Vejam a ilustração abaixo. Observem como se portam 
os números dentro de cada conjunto e quem é subconjunto 
de quem.
Fonte: autoria própria.
Relação entre conjuntos numéricos
alguns conjuntos numéricos são subconjuntos de outros. 
1 – O conjunto dos números naturais é subconjunto do 
conjunto dos números inteiros;
2 – O conjunto dos números inteiros é subconjunto do 
conjunto dos números racionais;
3 – O conjunto dos números racionais é subconjunto do 
conjunto dos números reais;
4 – O conjunto dos números irracionais é subconjunto 
do conjunto dos números reais;
5 – O conjunto dos números irracionais e o conjunto 
dos números racionais não possuem nenhum elemento em 
comum;
6 – O conjunto dos números reais é a totalização de 
todos os anteriores, conforme figura exposta.
Fonte: autoria própria.
Voltando no exemplo do conjunto dos números pares, 
representado pelo diagrama de Venn, teremos a ilustração a 
seguir:
Fonte: autoria própria.
Observe que o conjunto possui 4 elementos e podemos 
indicar por:
n(P) =4, onde podemos ler da seguinte forma: o número 
de elementos de P é igual a 4.
Podemos representar, também, da seguinte forma:
P = {x | x é um número par menor que 7} e lemos da 
seguinte forma:
Conjunto P é igual a x, tal que x é um número par menor 
que 7.
acredito que conseguiram aprender e relembrar várias 
coisas até aqui. Então, vamos dar prosseguimento no nosso 
conteúdo apresentando mais algumas particularidades dos 
conjuntos.
2 - particularidades de conjuntos
Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos 
elementos. Se dois conjuntos a e B são iguais, indicamos por 
a = B.
Fonte: autoria própria.
A negação da igualdade é indicada por A ≠ B (A é 
diferente de B) e significa que um desses conjuntos possui 
algum ou vários elementos que não pertence ao outro 
conjunto.
Fonte: autoria própria.
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Mas como dizer, simbolicamente, que um elemento 
pertence ao conjunto? 
Para indicar que um elemento pertence a um determinado 
conjunto usamos o símbolo (pertence) e, para indicar que 
não pertence, usamos o símbolo (não pertence).
Dessa forma, observe os elementos dos conjuntos a e B 
que foram ilustrados acima... Podemos afirmar que:
3 a (3 pertence ao conjunto a)
1 B (1 não pertence ao conjunto B)
Conjunto Universo
Em inúmeras situações deveremos saber quem é o 
conjunto universo u ao qual pertencem os elementos de 
todos os conjuntos considerados. 
Por exemplo:
Fonte: <https://conjuntosblogblog.wordpress.com/conjunto-universo/>. acesso 
em: 18 set. 2017.
Observem a figura. Vejam que temos o conjunto a 
formado por homens e o conjunto B por mulheres. Meu 
conjunto uNiVERSO, nesse caso, são de seres humanos.
Conjunto Unitário
Como o próprio nome já diz, conjunto unitário é aquele 
que possui um único elemento. 
Considerem, por exemplo, o conjunto a = {x | x é um 
número primo par e positivo}. Vejam que para atender esses 
requisitos só temos um valor, portanto, a = {2}.
Fonte: autoria própria.
Conjunto Vazio
Fonte: <https://www.gcfaprendelivre.org/matematica/curso/os_conjuntos_
matematicos/entender_os_conjuntos/3.do>. acesso em: 18 set. 2017.
Chama-se conjunto vazio aquele que não possui 
elemento. Por exemplo: seja a o conjunto dos números 
primos pares menores que 2. Vejam que nesse caso não há 
elementos para compor o conjunto, uma vez que não existe 
número primo par menor que 2.
assim sendo, podemos representar esse conjunto por 
{ } ou Ø.
Subconjuntos 
O que seria um subconjunto?
Subconjunto é um conjunto cujos elementos pertencem 
a outro conjunto; conjunto que está contido em outro. 
Observem a figura a seguir. Podemos afirmar que: C é 
subconjunto de B e de a e B é subconjunto de a. Então, 
nesse caso, dizemos que C está contido em B e a; e que B 
está contido em a.
Fonte: <https://www.rankia.com/blog/etfs-pm/3216063-probabilidad-no-esta-
favor-fondos-gestion-activa>. acesso em: 18 set. 2017.
representamos essas frases em:
C ∩ B (C está contido em B)
C ∩ a (C está contido em a)
B ∩ C (B não está contido em C)
a ∩ B (a contém B)
Veja outro exemplo a seguir:
Fonte: autoria própria.
Observe que temos os conjuntos a e B.
a = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = {3, 4, 5}
Notem que qualquer elemento de B também pertence ao 
conjunto a. Por isso podemos dizer que:
B ∩ (está contido em) a ou 
a ∩ (contém) B.
10Matemática e Estatística para computação
Mas pode acontecer de existir ao menos um elemento 
de B que não pertença a a. Dessa forma, dizemos que a 
não contém B ou B não está contido em a, conforme é 
apresentado na figura a seguir:
Fonte: autoria própria.
Vejam que, nesse caso, o conjunto B possui dois 
elementos que não existem em a: 6 e 7. Dessa forma, B não 
está contido em a (B ∩ a) ou a não contém B (a 
∩
 B).
Concluímos que: um conjunto B é subconjunto 
de outro conjunto A quando qualquer elemento de B 
também pertence a A.
algumas observações importantes:
1. Se a 
∩
 B e B 
∩
 a, então a = B.
2. Os símbolos 
∩
, ∩, 
∩
 e ∩ são utilizados para relacionar 
conjuntos.
3. Para todo conjunto a, tem-se a 
∩
 a.
4. Para todo conjunto a, tem-se Ø 
∩
 a, onde Ø 
representa o conjunto vazio.
5. Os símbolos , são utilizados somente de 
elemento para conjunto.
3- operações de conjuntos numéricos
as operações com conjuntos envolvem a união, 
intersecção e diferença entre conjuntos.
Lembrem-se que na matemática, os conjuntos 
representam a reunião de diversos elementos. Eles envolvem 
os diversos conjuntos numéricos formados pelos:
•	 Números Naturais (N)
•	 Números inteiros (Z)
•	 Números Racionais (Q)
•	 Números irracionais (i)
•	 Números Reais (R)
4- união de conjuntos
a união dos conjuntos corresponde à união dos 
elementos de dois conjuntos. Ela é representada pelo símbolo 
U.
Fonte: autoria própria.
Exemplo:
a = {c, a, r, e, t} 
B = {a, e, i, o, u} 
C = {c, a, r, e, t, a, e, i, o, u}
No entanto, as repetições são eliminadas. Logo,
C = {c, a, r, e, t, i, o, u}
a união dos dois conjuntos é representada:
A U B (a união de B), sendo o conjunto C a reunião de 
a e B.
Podemos verificar em um outro exemplo a operação de 
adição, ou seja, de união desses conjuntos.
Sejam os conjuntos a = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}.
Vamos determinar um conjunto C formado pelos 
elementos que pertencem a a ou a B, ou a ambos. Dessa 
forma, teremos:
C = {0, 1, 2, 3, 4, 6}
Podemos representar pela seguinte simbologia:
C = A U B
Vejam que, nesse exemplo, os valores repetidos foram 
excluídos deixando apenas um deles para compor o novo 
conjunto a u B.
Considerando os conjuntos a = {1, 3, 5, 7, 9, 11} e B = 
{8, 9, 10, 11, 12}, temos que:
a u B = {1, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Veremos a seguir um pouco mais de exemplos de união 
de conjuntos.
aqui, o exemplo me mostra que podemos ter a união de 
dois conjuntos, resultando o maior conjunto deles.
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5} a 
união desses conjuntos é:
a u B = {1, 2, 3, 4, 5}. Nesse caso, podemos dizer que: 
A U B = B.
E, para finalizar essa operação, podem existir conjuntos 
onde os números não vem de uma forma explícita, mas 
subentendida por meio de inequação, onde terá que analisar, 
previamente, quais valores compõem o conjunto em questão.
Dados os conjuntos A = { x | x é inteiro e -1 < x < 2} 
e B = {1, 2, 3, 4} a união desses dois conjuntos é : 
Bom, vamos trabalhar por partes. Primeiro iremos 
identificar quais valores pertencem ao conjunto a.
Conforme está descrito no conjunto a, os elementos que 
pertencem a ele devem ser maiores que -1 e menores que 2, 
dessa forma:
a = {0, 1} 
Depois de identificado os elementos de a, faremos a 
união com B e teremos o seguinte resultado...
a u B = {0, 1, 2, 3, 4} 
Viram como é fácil?! agora que já entenderam a operação 
de união, u, vamos estudar a intersecção entre eles.
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5- intersecção de conjuntos
a intersecção dos conjuntos corresponde aos elementos 
em comum de dois conjuntos. Ela é representada pelo 
símbolo ∩.
Fonte: autoria própria.
Exemplo:
a = {c, a, r, e, t } 
B = {a, e, i, o, u} 
C = {a, e}
indicado por A ∩ B (a intersecção de B) temos que o 
conjunto C é a interseção entre eles.
Fonte: autoria própria.
Exemplo de interseção de conjuntos
Os elementos que fazem parte do conjunto interseção 
são os elementos comuns aos conjuntos relacionados.
Vejamos mais alguns exemplos.
Dados dois conjuntos A = {5, 6, 9, 8} e B = {0, 1, 2, 3, 
4, 5}, se pedimos a interseção deles teremos:
A ∩ B = {5}, dizemos que A “inter” B é igual a 5.
Fonte: autoria própria.
Dados dois conjuntos A e B, a intersecção de A com 
B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem 
ao conjunto A e ao conjunto B. De uma forma mais 
simples, é o conjunto formado pelos elementos que são 
comuns aos dois conjuntos.
Seja a = {1, 3, 5, 7, 9, 11} e B = {8, 9, 10, 11, 12}, temos 
que: 
A ∩ B = {9, 11}
a = {1, 3, 5, 7, 9, 11} e C = {2, 4, 6, 8, 10}
A ∩ C = ø, pois os dois conjuntos não apresentam 
elementos em comum.
a operação de intersecção apresenta algumas 
propriedades:
a)Propriedade reflexiva.
A ∩ A = A
b) Propriedade comutativa.
A ∩ B = B ∩ A
c) Propriedade associativa.
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
d) Propriedade distributiva.
A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
graficamente, utilizando os diagramas de Venn, 
podemos representar a operação de intersecção da seguinte 
forma:
Fonte: autoria própria.
Dessa forma, podemos concluir que, a intersecção 
de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos 
elementos que são comuns a A e a B, isto é, pelos 
elementos que pertencem a A e também a B.
Dados os conjuntos D = {1, 2, 3, 4, 5} e E = {3, 4, 5}, a 
interseção dos conjuntos ficaria assim: 
E ∩ D = {3, 4, 5} ou E ∩ D = E. Pode-se concluir 
também que:
E ∩ D.
Fonte: autoria própria.
ah, mas ainda existe um último exemplo para a 
intersecção.
Obs: quando dois conjuntos não apresentam 
elementos em comum, dizemos que a intersecção entre 
12Matemática e Estatística para computação
eles é um conjunto vazio.
Nesse caso, esses conjuntos são chamados de disjuntos: 
A ∩ B = Ø.
Fonte: autoria própria.
Ou, ainda...
Dados os conjuntos B = {-3, -4, -5, -6} e C = {-7, -8, 
-9}, se pedirmos a interseção deles, teremos:
B ∩ C = { } ou B ∩ C = Ø . Então, B e C são conjuntos 
distintos.
Fonte: autoria própria.
aprenderam? Simples não é? agora vejamos a diferença 
de conjuntos...
6- Diferença de conjuntos
Na diferença de conjuntos temos dois conjuntos cujos 
elementos do primeiro não aparecem no segundo.
Fonte: autoria própria.
Quando dizemos a – B, estamos tirando os elementos 
de a que aparecem em B...
Dados dois conjuntos a e B, a diferença entre a e B é o 
conjunto formado pelos elementos de a que não pertencem 
a B.
Por exemplo:
Dados os conjuntos a e B, a diferença entre eles é 
representada pela expressão A – B:
a= {a, b, c, d, e, f} – B = {d, e, f, g, h}
a – B = {a, b, c}
temos como fazer a – B e B – a. Claro que os resultados 
sempre serão diferentes... Preste atenção...
a = {1, 3, 5, 7, 9, 11} e B = {8, 9, 10, 11, 12} 
a – B = {1, 3, 5, 7}
Nesse exemplo, estou retirando de a os valores que 
aparecem repetidos em B.
B – a = {8, 10, 12}
Nesse outro exemplo, estou retirando de B os valores 
que aparecem repetidos em a.
Dados dois conjuntos A e B chama-se conjunto 
diferença ou diferença entre A e B o conjunto formado 
pelos elementos de A que não pertencem a B.
O conjunto diferença é representado por a – B.
Vejamos o exemplo a seguir.
A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7} a diferença dos 
conjuntos é:
a – B = {1, 2}, ou seja, retiramos os elementos 3, 4 e 5 
que eram valores semelhantes que tinham no conjunto B e, 
também, em a.
Fonte: autoria própria.
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6}, a 
diferença dos conjuntos é:
a – B = {1, 2, 3, 4}. 
Como B ∩ a podemos escrever em forma de 
complementar:
a – B = a B = {1, 2, 3, 4}
Para essa representação podemos ler da seguinte 
forma: o complementar de B com relação a A.
Essa operação é um caso particular de diferença entre 
conjuntos. Considere dois conjuntos, a e B, sendo que B 
está contido em a, ou seja, B é um subconjunto de a. O 
complementar de B em relação a a, representado por CaB, é 
a diferença a – B.
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Difícil?! Digamos que um pouco diferente do que 
estávamos vendo até agora, mas para fixar, vamos ver mais 
um exemplo.
Sejam a = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} e B = {4, 8, 12}, temos 
que:
CaB = a – B = {2, 6, 10, 14}
Essas foram as operações de conjunto que precisávamos 
estudar. agora vamos ver um pouquinho desses conjuntos na 
resolução de problemas, utilizando os conceitos das operações 
desta aula.
Na cidade de Maria Cecília, são comercializados dois 
tipos de software: C e B, sendo C um tipo de software comercial 
e B um tipo de banco de dados. Foi feita uma pesquisa de 
mercado sobre a comercialização desses softwares e obtiveram 
as seguintes informações:
Software c B c e B Nenhum 
dos dois
público 210 180 50 40
Dessa forma, pergunta-se: quantas pessoas foram 
entrevistadas?
Vejam que os dados foram apresentados na tabela . 
Vocês precisam colocar nos diagramas de Venn para que 
possam ser identificados os conjuntos e resolvido a questão.
Vejam que é importante levantar alguns pontos chave.
Em primeiro lugar, vamos considerar os conjuntos 
a e B que correspondem ao público dos softwares C e B, 
respectivamente, e fazer um diagrama, apresentado na figura 
abaixo. Em seguida, colocamos 50 na intersecção (parte 
em comum dos dois conjuntos) de a e B, pois 50 pessoas 
obtiveram os dois softwares.
50
Fonte: autoria própria.
Depois, colocamos 210 – 50, ou seja, 160 pessoas 
somente em a. Observem que o conjunto a tem 160 + 50 = 
210 pessoas.
50
160
Fonte: autoria própria.
Em seguida, colocamos 180 – 50, ou seja, 130 pessoas 
somente em B. Veja que em B há 50 + 130 = 180 pessoas. 
Por último, colocamos 40 pessoas fora de a e B, pois elas não 
adquiriram nenhum dos dois softwares.
50
160
130
Fonte: autoria própria.
Para concluir quantas pessoas foram entrevistadas, 
vamos adicionar os números marcados no diagrama:
160 + 50 + 130 + 40 = 380 pessoas.
Entenderam?!
Vejamos agora um exemplo um pouco mais complexo.
No curso de Engenharia de Software existem 630 
acadêmicos. 350 deles estudam Programação, 210 estudam 
Estrutura de Dados e 90 estudam as duas disciplinas 
(Programação e Estrutura de Dados). Pergunta-se:
a) Quantos acadêmicos estudam apenas Programação? 
(Estudam Programação, mas não estudam Estrutura de 
Dados);
b) Quantos acadêmicos estudam apenas Estrutura de 
Dados? (Estudam Estrutura de Dados, mas não estudam 
Programação);
c) Quantos acadêmicos estudam Programação ou 
Estrutura de Dados? 
d) Quantos acadêmicos não estudam nenhuma das duas 
disciplinas?
Vejam o esboço a seguir.
90350 - 90
260
} 210 - 90
120
} 630 - 470
160
}U P E
Fonte: autoria própria.
Pelo diagrama, temos:
a) Se 350 acadêmicos estudam Programação e 90 deles 
estudam Programação e Estrutura de Dados, então, o número 
de acadêmicos que estudam apenas Programação é: 350 – 90 
= 260.
b) Se 210 acadêmicos estudam Estrutura de Dados e 
90 deles estudam Programação e Estrutura de Dados, então, 
o número de acadêmicos que estudam apenas Estrutura de 
Dados é: 210 - 90 = 120.
14Matemática e Estatística para computação
c) Se 260 acadêmicos estudam apenas Programação, 120 
apenas Espanhol e 90 essas duas disciplinas, então o número 
de acadêmicos que estudam Programação ou Espanhol é: 260 
+ 90 + 120 = 470.
d) Se o curso de Engenharia de Software tem 630 
acadêmicos, dos quais 470 estudam Programação ou 
Estrutura de Dados, o número de acadêmicos que não 
estudam nenhuma dessas duas disciplinas é: 630 – 470 = 160.
Viram com não é difícil? Podemos agora partir para um 
exemplo com três conjuntos.
uma população compram três marcas de notebooks: 
a, B e C. Feita uma pesquisa de mercado, colheram- se os 
resultados tabelados abaixo.
Determine o número de pessoas consultadas.
Percebam que para iniciar a resolução desse problema 
por diagrama de Venn, começamos sempre pela intersecção 
dos três conjuntos.
Fonte: autoria própria.
Dessa forma, conseguimos obter os seguintes resultados. 
05 pessoas consomem a, B e C
Então, partimos para as intersecções de dois em dois 
conjuntos.
20 pessoas consomem a e B (considerando ainda as 5 
pessoas que consomem as três marcas, resultando o total de 
25 (20 + 5) conforme a tabela).
20 pessoas consomem a e C (considerando ainda as 5 
pessoas que consomem as três marcas, resultando o total de 
25 (20 + 5) conforme a tabela).
35 pessoas consomem B e C (considerando ainda as 5 
pessoas que consomem as três marcas, resultando o total de 
40 (35 + 5) conforme a tabela).
E, por último, cada marca, separadamente.
60 pessoas consomem somente a
140 pessoas consomem somente B
100 pessoas consomem somente C
Não podemos nos esquecer daquelas que não compraram 
nenhuma das três marcas.
120 pessoas: nenhuma das marcas
aí, temos como resultado final.
O total de pessoas entrevistadas foi: 60+ 140 + 100 + 20 
+ 20 + 35 + 05 + 120 = 500. 
terminamos o conteúdo dessa aula por aqui. agora é só 
praticar.
antes de encerrar a aula 01, é importante que 
retomemos os conteúdos estudados:
Retomando a aula
1 – Conjuntos numéricos
aprendemos os conceitos e elementos que pertencem a 
cada um dos conjuntos apresentados. Observamos que, são 
muito simples e tem um papel fundamental na Matemática. a 
partir dos conceitos apresentados sobre conjuntos podemos 
expressar todos os conceitos matemáticos.
2 – Particularidade de Conjuntos
a seção disponibilizou detalhes dos conjuntos e suas 
particularidades. Cada conjunto numérico têm propriedades 
únicas que os diferenciam de outros conjuntos de números. 
Dessa forma, foram apresentados os conceitos de 
subconjuntos e a forma que podemos relacionar cada um 
deles.
3 – Operações de Conjuntos numéricos
Foram apresentados os conjuntos numéricos e suas 
operações. Para cada conjunto sua particularidade existente e 
quais elementos existem em cada um deles. 
4 – União de Conjuntos
aqui, exemplificamos a forma que a união de conjuntos 
é efetuada. apresentamos vamos exemplos que demonstram 
a operação de união.
5 – Intersecção de Conjuntos
apresentamos os conceitos e exemplos de intersecção 
dos conjuntos numéricos e suas particularidades. Os exemplos 
demonstrados na aula representam um retrato da operação e 
como se porta diante de dois conjuntos.
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6 – Diferença de Conjuntos
aqui, colocamos os principais itens necessários para que 
a operação de diferença entre conjuntos possa ser executada. 
Vejam que, nessa seção, as particularidades requerem um 
pouco mais de cuidado quando da execução da operação.
Só matemática. Disponível em: www.somatematica.
com.br. acesso em: 10 jul. 2017.
Vale a pena acessar
BONEttO, g. a. Fundamentos de matemática para 
engenharias e tecnologias. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
gENtiL, N.; SaNtOS, C. a. M. dos; gRECO, S. E. 
Matemática. Volume único. Série Novo Ensino Médio. Ed. 
Reformulada. São Paulo: Ática, 2003.
Vale a pena ler
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Minhas anotações