Gráficos e Equações em R3

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Cálculo II - 2023-4 
Prática de Exercícios 02 - Curvas e Superfícies 
Lista de Monitoria
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Universidade Federal do Pará
9. Faça um esboço do gráfico da equação y = 7, considerando-a:
a) Uma equação em R;
b) Uma equação em R2;
c) Uma equação em R3;
10. Faça um esboço do gráfico da inequação x < 1, considerando-a:
a) Uma inequação em R;
b) Uma inequação em R2;
c) Uma inequação em R3.
11. Faça um esboço do gráfico da equação 2x− 3y = 4, considerando-a:
a) Uma equação em R2;
b) Uma equação em R3.
12. Faça um esboço do gráfico da equação y − 3 = (x− 3)2, considerando-a:
a) Uma equação em R2;
b) Uma equação em R3.
13. Faça um esboço do gráfico da equação x2 − 2x+ y2 + 8y + 16 = 0, considerando-a:
a) Uma equação em R2;
b) Uma equação em R3.
14. Em sistema de coordenadas cartesianos no espaço faça um esboço da superfície descrita
pelo conjunto:
a) {(x, y, z) ∈ R3 | 3x2 − 18x+ 2x2 − 8z + 19 = 0} .
b) {(x, y, z) ∈ R3 | 5y2 + 3z2 − 6z = 12, 1 ≤ x ≤ 4} .
15. Em sistema de coordenadas cartesianos em R3, faça um esboço da superfície descrita pela
equação:
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Atividade de Monitoria 02Cálculo II - 2023-4
a) z = ln y .
b) z = cos(x), 2 ≤ y ≤ 7 .
c) x2 + y2 + z2 > 2z .
d) x = 2z − 1 .
e) y = 2z, x = 4 .
f) (x+ 1)2 + (z + 1)2 = 1, −1 ≤ y ≤ 4 .
g) y = ez, −2 ≤ x ≤ 2 .
16. Faça um esboço das bolas abertas a seguir descritas:
a) B2(2) representando-a na reta;
b) B2(2, 0) representando-a em um plano;
c) B3(1, 3, 4) representando- em no espaço.
17. Em um plano coordenado, considere as circunferências de centro (0, 0) e (1, 0); e raios
2 e
√
3, respectivamente. Essas circunferências se cruzam em dois pontos distintos, A e B.
Determine: uma equação linear da reta que passa por A e B; e as coordenadas desses pontos.
18. Dados os pontos (−4, 0,−1), (3, 1,−5) e (2, 4, 6).
a) Qual ponto pertence ao plano xz?
b) Qual ponto está mais próximo do plano yz?
19. Calcule a distância entre os pontos A = (5,−9, 7) e B = (−2, 3, 3).
20. Encontre a equação da esfera de raio 2 e centro (0, 2, 5).
Solução Sabendo que a equação geral da esfera é (x− a)2 + (y− b)2 + (z − c)2 = r2, onde
o ponto (a, b, c) é o centro da esfera de raio r. Obtemos que a equação da esfera é:
x2 + (y − 2)2 + (z − 5)2 = 4 . Fim Solução
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Cálculo II - 2023-4 Atividade de Monitoria 02
Verificação: Utilizando a ferramenta GeoGebra 3D, podemos digitar a equa-
ção da esfera encontrada. E assim observar o comprimento do raio e o centro
da esfera. Observe o gráfico abaixo:
Nele vemos o centro da esfera localizado em (0,2,5) e o raio igual a 2, confir-
mando que a equação encontrada está correta.
21. Determine o centro e o raio das esferas de equação:
a) x2 + y2 + z2 − 2x− 4y − 6z − 2 = 0 .
b) x2 + y2 + z2 − 2x+ 2y − 7 = 0 .
c) x2 + y2 + z2 − 4z = 0 .
d) x2 + y2 + z2 − 10y + 12z + 12 = 0 .
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Cálculo II - 2023-4 Atividade de Monitoria 02
22. Os pontos (4,−1,−1), (2, 0, 4) e (3, 5,−1) são vértices de um triângulo. Determine as
medidas dos lados desse triângulo.
23. Calcular o valor de k para o qual a esfera x2+ y2+ z2+2x+10z+ k = 0 tem o raio igual
a 5.
24. Determine a equação da esfera de raio 5 e centro (1,−4, 3). Qual a interseção da esfera
com o plano xz?
25. Encontre as coordenadas do ponto P que está localizado no eixo x, 12 unidades “em frente”
ao plano yz.
26. Encontre a equação da esfera que tenha um diâmetro com extremidades dadas pelos pontos
(4, 1, 4) e (4, 3, 10) .
27. O que a equação x = 6 representa em R2? O que ela representa em R3? Ilustre com
esboços.
28. Determine uma equação da maior esfera com centro em (5, 4, 9) contida no primeiro oc-
tante.