PEF3303_Lajes_out_21_R1

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Depto de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
PEF 3303
ESTRUTURAS DE CONCRETO I
Professores
Januário Pellegrino Neto
Túlio Nogueira Bittencourt
2021
Moodle USP
https://edisciplinas.usp.br/
LAJES
Lajes Maciças Retangulares
https://edisciplinas.usp.br/
2021
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Lajes de Concreto
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Lajes Armadas
em 1 direção
Lajes Armadas
em 2 direções
Introdução
Lajes Maciças Retangulares Placas Comportamento ResistenteTipos de Lajes
INTRODUÇÃO
• LAJES:
• Elementos estruturais planos
• Compõem os pisos dos pavimentos
• Apoiam-se e transmitem cargas para as vigas
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Lajes Armadas
em 1 direção
Lajes Armadas
em 2 direções
Introdução
Lajes Maciças Retangulares Placas Comportamento ResistenteTipos de Lajes
INTRODUÇÃO
Fonte: canal PLANARQ CAMPOS/ Ralph Dias
3
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Lajes Armadas
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Introdução
Lajes Maciças Retangulares Placas Comportamento ResistenteTipos de Lajes
TIPOS DE LAJES
➢ Laje lisa e laje cogumelo
Fonte: canal PLANARQ CAMPOS/ Ralph Dias
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Introdução
Lajes Maciças Retangulares Placas Comportamento ResistenteTipos de Lajes
TIPOS DE LAJES
➢ Laje nervurada
Fonte: canal PLANARQ CAMPOS/ Ralph Dias
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Introdução
Lajes Maciças Retangulares Placas Comportamento ResistenteTipos de Lajes
TIPOS DE LAJES
➢ Laje treliçada
Fonte: canal PLANARQ CAMPOS/ Ralph Dias 6
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Introdução
Lajes Maciças Retangulares Placas Comportamento ResistenteTipos de Lajes
TIPOS DE LAJES
➢ Laje alveolar
Fonte: canal PLANARQ CAMPOS/ Ralph Dias
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Introdução
Lajes Maciças Retangulares Placas Comportamento ResistenteTipos de Lajes
TIPOS DE LAJES
➢ Steel Deck
Fonte: canal PLANARQ CAMPOS/ Ralph Dias
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Introdução
Lajes Maciças Retangulares Placas Comportamento ResistenteTipos de Lajes
TIPOS DE LAJES
➢ Lajes maciças
Fonte: canal PLANARQ CAMPOS/ Ralph Dias
• Mais utilizadas em edifícios!
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Introdução
Tipos de Lajes Lajes Maciças Retangulares Placas Comportamento Resistente
LAJES MACIÇAS RETANGULARES
• Características:
o São as mais utilizadas em edificações
o Armaduras de aço envoltas por concreto
o Formas de madeira para garantir a forma de 
paralelepípedo
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Introdução
Tipos de Lajes Lajes Maciças Retangulares Placas Comportamento Resistente
PLACAS
Teoria estrutural:
• Sólidos com uma dimensão muito menor que 
as demais (superfície plana)
• Carregamento perpendicular ao plano 
(cargas verticais)
• Esforços atuantes: Momento fletor e esforço 
cortante (flexão simples)
• Solução analítica complexa
• Análise computacional ou soluções 
tabeladas são mais convenientes
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VIGAS
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Em um elemento 𝑑𝑥 de viga valem
as seguintes equações:
𝑑𝑉
𝑑𝑥
= −𝑝 ;
𝑑𝑀
𝑑𝑥
= 𝑉
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝜃 (rotação)
𝑀
𝐸𝐼
=
1
𝑟
≅ −
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
ou
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
= −
𝑉
𝐸𝐼
e
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4
=
𝑝
𝐸𝐼
Da integração desta equação resultam os diagramas
de força cortante (V) e momento fletor (M),
rotação (𝜃) e flecha da viga (y).
PLACAS
Considere−se um elemento infinitesimal de laje:
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PLACAS
Considere−se um elemento infinitesimal de laje:
Para lajes armadas em uma direção tem−se:
m𝑥0 = −𝐷
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2
; m𝑦0 = −𝐷
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2
onde D é a rigidez a flexão 𝐷 =
𝐸 ⋅ ℎ3
12 ⋅ (1 − 𝜈2)
,
sendo 𝜈 o coeficiente de Poisson.
Para as lajes armadas em cruz (2 direções) tem−se:
m𝑥 = 𝑚𝑥0 + 𝜈 ⋅ 𝑚𝑦0 = −𝐷
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2
+ 𝜈
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2
m𝑦 = 𝑚𝑦0 + 𝜈 ⋅ 𝑚𝑥0 = −𝐷
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2
+ 𝜈
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2
𝑒
𝑚𝑥𝑦 = 𝐷 1 − 𝜈
𝜕2𝑤
𝜕𝑥 ⋅ 𝜕𝑦
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Tipos de Lajes Lajes Maciças Retangulares Placas Comportamento Resistente
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PLACASPara lajes armadas em uma direção tem−se:
m𝑥0 = −𝐷
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2
; m𝑦0 = −𝐷
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2
onde D é a rigidez a flexão 𝐷 =
𝐸 ⋅ ℎ3
12 ⋅ (1 − 𝜈2)
,
sendo 𝜈 o coeficiente de Poisson.
Para as lajes armadas em cruz (2 direções)
tem−se:
m𝑥 = 𝑚𝑥0 + 𝜈 ⋅ 𝑚𝑦0 = −𝐷
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2
+ 𝜈
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2
m𝑦 = 𝑚𝑦0 + 𝜈 ⋅ 𝑚𝑥0 = −𝐷
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2
+ 𝜈
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2
𝑒
𝑚𝑥𝑦 = 𝐷 1 − 𝜈
𝜕2𝑤
𝜕𝑥 ⋅ 𝜕𝑦
Estudando−se o equilíbrio de um elemento infinitesimal, tem−se:
[𝑉𝑦 +
𝜕𝑉𝑦
𝜕𝑦
𝑑𝑦] ⋅ 𝑑𝑥
[𝑉𝑥 +
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑥
𝑑𝑥] ⋅ 𝑑𝑦
[𝑚𝑦 +
𝜕𝑚𝑦
𝜕𝑦
𝑑𝑦] ⋅ 𝑑𝑥
[𝑚𝑦𝑥 +
𝜕𝑚𝑦𝑥
𝜕𝑦
𝑑𝑦] ⋅ 𝑑𝑥
[𝑚𝑥 +
𝜕𝑚𝑥
𝜕𝑥
𝑑𝑥] ⋅ 𝑑𝑦
[𝑚𝑦𝑥 +
𝜕𝑚𝑦𝑥
𝜕𝑥
𝑑𝑥] ⋅ 𝑑𝑦
𝜕𝑉𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑉𝑦
𝜕𝑦
+ 𝑝 = 0
𝜕𝑚𝑥𝑦
𝜕𝑥
−
𝜕𝑚𝑦
𝜕𝑦
+ 𝑉𝑦 = 0
−
𝜕𝑚𝑥𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝑚𝑥
𝜕𝑥
− 𝑉𝑥 = 0
𝑜𝑢
𝜕2𝑚𝑥
𝜕𝑥2
− 2
𝜕2𝑚𝑥𝑦
𝜕𝑥 ⋅ 𝜕𝑦
+
𝜕2𝑚𝑦
𝜕𝑦2
= −𝑝
𝜕4𝑤
𝜕𝑥4
− 2
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2 ⋅ 𝜕𝑦2
+
𝜕4𝑤
𝜕𝑦4
=
𝑝
𝐷
∇4𝑤 =
𝑝
𝐷
− Equação das Placas
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Tipos de Lajes Lajes Maciças Retangulares Placas Comportamento Resistente
COMPORTAMENTO RESISTENTE
• Definições:
• 𝑙𝑥: Menor vão (maior curvatura!!)
• 𝑙𝑦: Maior vão
• A relação entre os vãos da laje, bem como as 
condições de contorno, é que vão definir como 
o elemento irá se comportar estruturalmente
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Introdução
Tipos de Lajes Lajes Maciças Retangulares Placas Comportamento Resistente
LAJE ARMADA EM UMA DIREÇÃO
•
𝑙𝑦
𝑙𝑥
≥ 2
LAJE ARMADA EM DUAS DIREÇÕES
•
𝑙𝑦
𝑙𝑥
< 2
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Introdução
Tipos de Lajes Lajes Maciças Retangulares Placas Comportamento Resistente
LAJE ARMADA EM UMA DIREÇÃO
•
𝑙𝑦
𝑙𝑥
≥ 2
LAJE ARMADA EM DUAS DIREÇÕES
•
𝑙𝑦
𝑙𝑥
< 2
• Os esforços atuantes na direção do 
menor vão são os maiores.
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Introdução
Esforços Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
LAJES ARMADAS EM 1 DIREÇÃO
• Esforços solicitantes:
• Analisa-se uma faixa de largura unitária na 
direção do menor vão
• Cálculo como uma viga (𝑏𝑤 = 100 𝑐𝑚)
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Introdução
Esforços Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
ESFORÇOS SOLICITANTES
• Lajes isoladas
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Introdução
Esforços Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
• Lajes em balanço
𝑚𝑥
′ =
𝑝𝑙𝑥
2
2
+ 𝑃𝑙𝑥
𝑣 = 𝑝𝑙𝑥 + 𝑃
ESFORÇOS SOLICITANTES
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• Lajes contínuas
ESFORÇOS SOLICITANTES
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Introdução
Esforços Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS
• Taxa de armadura longitudinal positiva mínima
• 𝐴𝑠𝑥𝑚í𝑛
= 𝜌𝑚í𝑛𝑏ℎ, onde 𝑏 = 100 𝑐𝑚
• Taxa de armadura longitudinal negativa mínima
• 𝐴𝑠𝑥𝑚í𝑛
= 𝜌𝑚í𝑛𝑏ℎ, onde 𝑏 = 100 𝑐𝑚
• Armadura longitudinal secundária
• 𝐴𝑠𝑦 ≥ ൞
0,2 𝐴𝑠𝑥
0,9 𝑐𝑚2/𝑚
0,5𝜌𝑚í𝑛𝑏ℎ
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Introdução
Esforços Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS
• Cálculo da altura útil:
• 𝑑𝑥 = ℎ − 𝑐 −
𝜙𝑥
2
≅ ℎ − 𝑐 − 0,5
• 𝑑𝑦 = ℎ − 𝑐 − 𝜙𝑥 −
𝜙𝑦
2
≅ ℎ − 𝑐 − 1,5
• Espessura das lajes:
• ℎ ≥
7𝑐𝑚, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎𝑗𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑏𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑛ã𝑜 𝑒𝑚 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑛ç𝑜
8 𝑐𝑚, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎𝑗𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑠𝑜 𝑛ã𝑜 𝑒𝑚 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑛ç𝑜
10 𝑐𝑚, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎𝑗𝑒𝑠 𝑒𝑚 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑛ç𝑜
12 𝑐𝑚, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎𝑗𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑚 𝑣𝑒í𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠
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Introdução
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DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS
• Cobrimento:
• “Quando houver um controle 
adequado de qualidade e limites 
rígidos de tolerância da variabilidade 
das medidas durante a execução, 
pode ser adotado o valor 𝛥𝑐 = 5 mm, 
mas a exigência de controle rigoroso 
deve ser explicitada nos desenhos de 
projeto. Permite-se, então, a redução 
dos cobrimentos nominais prescritos 
na Tabela em 5 mm”
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Introdução
Esforços Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS
• Vão efetivo (teórico):
• 𝑙 = 𝑙0 +
𝑏𝑤𝑖
2
+
𝑏𝑤𝑗
2
• Espaçamento entre barras:
• Armadura principal: 8 𝑐𝑚 ≤ 𝑠 ≤ ቊ
20 𝑐𝑚
2ℎ
• Armadura secundária: 𝑠 ≤ 33 𝑐𝑚
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Introdução
Esforços Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS
• Diâmetro das barras:
• 4𝑚𝑚 ≤ 𝜙𝑥 ≤
ℎ
8
• Buscar, sempre que possível, utilizar a mesma 
bitola para a armadura principal e a 
secundária
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Introdução
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DETALHAMENTO DAS ARMADURAS
• Armaduras positivas:
• Estendidas de apoio a apoio
• 𝑙 = 𝑙𝑥 + (ℎ − 2𝑐𝑙) +
𝑏𝑤𝑖
2
− 𝑐𝑣 +
𝑏𝑤𝑗
2
• Armaduras negativas:
• 𝑎𝑖𝑗 ≥ ቐ
𝑙𝑥𝑖
4
,
𝑙𝑥𝑗
4
𝑙𝑏𝑎𝑙𝑎𝑛ç𝑜 − 𝑐𝑙
• 𝑙 = 2[𝑎𝑖𝑗+(ℎ − 2𝑐𝑙)]
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Introdução
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DETALHAMENTO DAS ARMADURAS
• Armadura de borda:
• Controle da fissuração devido ao engastamento
parcial das lajes nas vigas e momento volvente
• 𝑙 = 25ϕ +
𝑏𝑤
2
− 𝑐𝑣 +
𝑙𝑥
5
+ ℎ − 2𝑐𝑙
• 𝐴𝑠 = 𝜌𝑚í𝑛𝑏ℎ
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Introdução
Esforços Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
DETALHAMENTO DAS ARMADURAS
• Armadura secundária positiva:
• 𝑙 = 𝑙𝑦 − 2𝑐𝑙 + 2 ℎ − 2𝑐𝑙 + 2ℎ (sem viga)
• 𝑙 = 𝑙𝑦 +
𝑏𝑤𝑖
2
− 𝑐𝑣 +
𝑏𝑤𝑗
2
− 𝑐𝑣 + 2 ℎ − 2𝑐𝑙 (com viga)
• Armadura secundária negativa:
• 𝑙 = 𝑙𝑦 +
𝑏𝑤𝑖
2
− 𝑐𝑣 +
𝑏𝑤𝑗
2
− 𝑐𝑣
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Introdução
Esforços Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
fck =25 MPa
CA50
𝑐𝑙= 1,5 cm
𝑐𝑣 =2,0 cm
h = 10 cm (todas as lajes)
g = 3,5 kN/m2
q = 2,0 kN/m2
vigas de bw = 12 cm
Obs: admite-se que as 
cotas dadas se referem ao 
vão efetivo
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Introdução
Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
LAJE L1
• Momento na direção principal:
• 𝑀𝑑 =
1,4. 𝑔+𝑞 .𝐿2
8
=
1,4. 3,5+2,0 .42
8
= 15,4 𝑘𝑁𝑚/𝑚
• = 1540 𝑘𝑁𝑐𝑚/𝑚
• Altura útil na direção principal:
• 𝑑𝑥 = ℎ − 𝑐𝑙 − 0,5 = 10 − 1,5 − 0,5 = 8,0 𝑐𝑚
• Profundidade da Linha Neutra:
• 𝑥 = 1,25𝑑 1 − 1 −
𝑀𝑑
0,425𝑏𝑑2𝑓𝑐𝑑
• = 1,25.8. 1 − 1 −
1540
0,425.100.82.
2,5
1,4
= 1,73𝑐𝑚
• Área de aço:
• 𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑓𝑦𝑑 𝑑−0,4𝑥 .
=
1540
50
1,15
. 8−0,4.1,73
= 4,85𝑐𝑚2/𝑚
• Armadura mínima:
• 𝐴𝑠𝑚í𝑛
= 𝜌𝑚í𝑛𝑏ℎ = 0,15%. 100.10
• = 1,5 𝑐𝑚2/𝑚
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Lajes Armadas
em 2 direções
Introdução
Esforços Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
LAJE L1
𝛟 (mm) 𝑨𝒔𝟏 (𝒄𝒎𝟐) 𝒏 = 𝑨𝒔/𝑨𝒔𝟏 𝒔 = 𝟏𝟎𝟎/𝒏 (cm) Adotado
6,3 0,315 15,5 6,45 ϕ6,3𝑐6
8 0,5 9,7 10,31 ϕ8𝑐10
10 0,8 6 16,67 ϕ10𝑐16
• Armadura principal:
• 8 ≤ 𝑠 ≤ 20𝑐𝑚
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Introdução
Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
LAJE L1
• Momento na direção secundária:
• 𝑀𝑦 = 𝜈𝑀𝑥 = 0,2.11 = 2,2 𝑘𝑁𝑚/𝑚
• 𝑀𝑑𝑦 = 1,4.2,2 = 3,08 𝑘𝑁𝑚/𝑚 = 308𝑘𝑁𝑐𝑚/𝑚
• Altura útil na direção secundária:
• 𝑑𝑦 = ℎ − 𝑐𝑙 − 1,0 = 10 − 1,5 − 1,0 = 7,5 𝑐𝑚
• Profundidade da Linha Neutra:
• 𝑥 = 1,25𝑑 1 − 1 −
𝑀𝑑
0,425𝑏𝑑2𝑓𝑐𝑑
• = 1,25.7,5. 1 − 1 −
308
0,425.100.7,52.
2,5
1,4
= 0,34𝑐𝑚
• Área de aço:
• 𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑓𝑦𝑑 𝑑−0,4𝑥 .
=
308
50
1,15
. 7,5−0,4.0,34
= 0,96𝑐𝑚2/𝑚
• Armadura mínima:
• 𝐴𝑠𝑚í𝑛
= ൞
0,2𝐴𝑠𝑥 = 0,2.4,85 = 0,97𝑐𝑚2/𝑚
0,9𝑐𝑚2/𝑚
0,5𝜌𝑚í𝑛𝑏ℎ = 0,5.0,15%. 100.10 = 0,75𝑐𝑚2/𝑚
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em 2 direções
Introdução
Esforços Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
LAJE L1
𝛟 (mm) 𝑨𝒔𝟏 (𝒄𝒎𝟐) 𝒏 = 𝑨𝒔/𝑨𝒔𝟏 𝒔 = 𝟏𝟎𝟎/𝒏 (cm) Adotado
6,3 0,315 3,08 32,47 ϕ6,3𝑐32
8 0,5 1,94 51,55 ϕ8𝑐51
10 0,8 1,21 82,65 ϕ10𝑐82
• Armadura secundária:
• 𝑠 ≤ 33𝑐𝑚
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Lajes Armadas
em 2 direções
Introdução
Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
LAJE L1
• Armadura de borda:
• 𝐴𝑠 = 𝜌𝑚í𝑛𝑏ℎ = 0,15%. 100.10 = 1,5𝑐𝑚2/𝑚
• Complementar:
• 𝜙6,3𝑐/30
𝛟 (mm) 𝑨𝒔𝟏 (𝒄𝒎𝟐) 𝒏 = 𝑨𝒔/𝑨𝒔𝟏 𝒔 = 𝟏𝟎𝟎/𝒏 (cm) Adotado
6,3 0,315 4,76 21,01 ϕ6,3𝑐21
8 0,5 3 33,33 ϕ8𝑐33
10 0,8 1,87 53,48 ϕ10𝑐53
• 8 ≤ 𝑠 ≤ 20𝑐𝑚 → 𝜙6,3𝑐/20
35
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em 1 direção
Lajes Armadas
em 2 direções
Introdução
Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
LAJES L2 E L3
• Momento na direção principal (+):
• 𝑀𝑑 = 1,4.6,96 = 974 𝑘𝑁𝑚/𝑐𝑚 = 974 𝑘𝑁𝑐𝑚/𝑚
• Altura útil na direção principal:
• 𝑑𝑥 = ℎ − 𝑐𝑙 − 0,5 = 10 − 1,5 − 0,5 = 8,0 𝑐𝑚
• Profundidade da Linha Neutra (+):
• 𝑥 = 1,25𝑑 1 − 1 −
𝑀𝑑
0,425𝑏𝑑2𝑓𝑐𝑑
• = 1,25.8. 1 − 1 −
974
0,425.100.82.
2,5
1,4
= 1,06 𝑐𝑚
• Área de aço (+):
• 𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑓𝑦𝑑 𝑑−0,4𝑥 .
=
974
50
1,15
. 8−0,4.1,06
= 2,96𝑐𝑚2/𝑚
• Armadura mínima (+):
• 𝐴𝑠𝑚í𝑛
= 𝜌𝑚í𝑛𝑏ℎ = 0,15%. 100.10
• = 1,5 𝑐𝑚2/𝑚
36
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Lajes Armadas
em 2 direções
Introdução
Esforços Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
LAJES L2 E L3
𝛟 (mm) 𝑨𝒔𝟏 (𝒄𝒎𝟐) 𝒏 = 𝑨𝒔/𝑨𝒔𝟏 𝒔 = 𝟏𝟎𝟎/𝒏 (cm) Adotado
6,3 0,315 9,40 10,64 ϕ6,3𝑐10
8 0,5 5,92 16,89 ϕ8𝑐16
10 0,8 3,70 27,03 ϕ10𝑐27
• Armadura principal (+):
• 8 ≤ 𝑠 ≤ 20𝑐𝑚
37
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em 2 direções
Introdução
Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
LAJES L2 E L3
• Momento na direção principal (-):
• 𝑀𝑑 = 1,4.11 = 15,4 𝑘𝑁𝑚/𝑐𝑚 = 1540 𝑘𝑁𝑐𝑚/𝑚
• Altura útil na direção principal:
• 𝑑𝑥 = ℎ − 𝑐𝑙 − 0,5 = 10 − 1,5 − 0,5 = 8,0 𝑐𝑚
• Profundidade da Linha Neutra (-):
• 𝑥 = 1,25𝑑 1 − 1 −
𝑀𝑑
0,425𝑏𝑑2𝑓𝑐𝑑
• = 1,25.8. 1 − 1 −
1540
0,425.100.82.
2,5
1,4
= 1,73 𝑐𝑚
• Área de aço (-):
• 𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑓𝑦𝑑 𝑑−0,4𝑥 .
=
1540
50
1,15
. 8−0,4.1,06
= 4,85𝑐𝑚2/𝑚
• Armadura mínima (-):
• 𝐴𝑠𝑚í𝑛
= 𝜌𝑚í𝑛𝑏ℎ = 0,15%. 100.10
• = 1,5 𝑐𝑚2/𝑚
38
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Introdução
Esforços Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
LAJES L2 E L3
𝛟 (mm) 𝑨𝒔𝟏 (𝒄𝒎𝟐) 𝒏 = 𝑨𝒔/𝑨𝒔𝟏 𝒔 = 𝟏𝟎𝟎/𝒏 (cm) Adotado
6,3 0,315 15,5 6,45 ϕ6,3𝑐6
8 0,5 9,7 10,31 ϕ8𝑐10
10 0,8 6 16,67 ϕ10𝑐16
• Armadura principal (-):
• 8 ≤ 𝑠 ≤ 20𝑐𝑚
39
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Introdução
Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
LAJES L2 E L3
• Momento na direção secundária (+):
• 𝑀𝑦 = 𝜈𝑀𝑥 = 0,2.6,96 = 1,39 𝑘𝑁𝑚/𝑚
• = 139 𝑘𝑁𝑐𝑚/𝑚
• Altura útil na direção secundária:
• 𝑑𝑦 = ℎ − 𝑐𝑙 − 1,0 = 10 − 1,5 − 1,0 = 7,5 𝑐𝑚
• Profundidade da Linha Neutra:
• 𝑥 = 1,25𝑑 1 − 1 −
𝑀𝑑
0,425𝑏𝑑2𝑓𝑐𝑑
• = 1,25.7,5. 1 − 1 −
139
0,425.100.7,52.
2,5
1,4
= 0,15𝑐𝑚
• Área de aço:
• 𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑓𝑦𝑑 𝑑−0,4𝑥 .
=
139
50
1,15
. 7,5−0,4.0,15
= 0,43𝑐𝑚2/𝑚
• Armadura mínima:
• 𝐴𝑠𝑚í𝑛
= ൞
0,2𝐴𝑠𝑥 = 0,2.2,96 = 0,592𝑐𝑚2/𝑚
0,9𝑐𝑚2/𝑚
0,5𝜌𝑚í𝑛𝑏ℎ = 0,5.0,15%. 100.10 = 0,75𝑐𝑚2/𝑚
40
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Introdução
Esforços Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
LAJES L2 E L3
𝛟 (mm) 𝑨𝒔𝟏 (𝒄𝒎𝟐) 𝒏 = 𝑨𝒔/𝑨𝒔𝟏 𝒔 = 𝟏𝟎𝟎/𝒏 (cm) Adotado
6,3 0,315 2,86 34,97 ϕ6,3𝑐34
8 0,5 1,8 55,56 ϕ8𝑐55
10 0,8 1,13 88,50 ϕ10𝑐88
• Armadura secundária (+):
• 𝑠 ≤ 33𝑐𝑚:𝜙6,3𝑐33
41
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Introdução
Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
LAJES L2 E L3
• Momento na direção secundária (-):
• 𝑀𝑦 = 𝜈𝑀𝑥 = 0,2.15,40 = 3,08
𝑘𝑁𝑚
𝑚
= 308 𝑘𝑁𝑐𝑚/𝑚
• Altura útil na direção secundária:
• 𝑑𝑦 = ℎ − 𝑐𝑙 − 1,0 = 10 − 1,5 − 1,0 = 7,5 𝑐𝑚
• Profundidade da Linha Neutra:
• 𝑥 = 1,25𝑑 1 − 1 −
𝑀𝑑
0,425𝑏𝑑2𝑓𝑐𝑑
• = 1,25.7,5. 1 − 1 −
308
0,425.100.7,52.
2,5
1,4
= 0,34𝑐𝑚
• Área de aço:
• 𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑓𝑦𝑑 𝑑−0,4𝑥 .
=
308
50
1,15
. 7,5−0,4.0,34
= 0,96𝑐𝑚2/𝑚
• Armadura mínima:
• 𝐴𝑠𝑚í𝑛
= ൞
0,2𝐴𝑠𝑥 = 0,2.4,85 = 0,97𝑐𝑚2/𝑚
0,9𝑐𝑚2/𝑚
0,5𝜌𝑚í𝑛𝑏ℎ = 0,5.0,15%. 100.10 = 0,75𝑐𝑚2/𝑚
42
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Introdução
Esforços Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
LAJES L2 E L3
𝛟 (mm) 𝑨𝒔𝟏 (𝒄𝒎𝟐) 𝒏 = 𝑨𝒔/𝑨𝒔𝟏 𝒔 = 𝟏𝟎𝟎/𝒏 (cm) Adotado
6,3 0,315 3,08 32,47 ϕ6,3𝑐32
8 0,5 1,94 51,55 ϕ8𝑐51
10 0,8 1,21 82,65 ϕ10𝑐82
• Armadura secundária (-):
• 𝑠 ≤ 33𝑐𝑚
43
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Introdução
Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
LAJES L2 E L3
• Armadura de borda:
• 𝐴𝑠 = 𝜌𝑚í𝑛𝑏ℎ = 0,15%. 100.10 = 1,5𝑐𝑚2/𝑚
• Complementar:
• 𝜙6,3𝑐/30
𝛟 (mm) 𝑨𝒔𝟏 (𝒄𝒎𝟐) 𝒏 = 𝑨𝒔/𝑨𝒔𝟏 𝒔 = 𝟏𝟎𝟎/𝒏 (cm) Adotado
6,3 0,315 4,76 21,01 ϕ6,3𝑐21
8 0,5 3 33,33 ϕ8𝑐33
10 0,8 1,87 53,48 ϕ10𝑐53
• 8 ≤ 𝑠 ≤ 20𝑐𝑚 → 𝜙6,3𝑐/20
44
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Introdução
Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
DETALHAMENTO
45
Laje Armadura Tipo
𝜙
(mm)
Espaçamento 
(cm)
c. reto 
(cm)
Dobra esquerda 
(cm)
Dobra direita 
(cm)
c. total 
(cm)
Quantidade
L1 N1 Principal (+) 8 10 408 7 7 422 41
L1 N2 Secundária (+) 6,3 32 397 27 27 451 14
L1 N3 Borda 6,3 20 84 16 7 107 21
L1 N4 Complementar 6,3 30 397 0 0 397 5
L2/L3 N5 Principal (+) 8 16 410 7 0 417 26
L2/L3 N6 Principal (-) 8 10 200 7 7 214 41
L2/L3 N7 Secundária (+) 6,3 33 397 27 27 451 13
L2/L3 N8 Secundária (-) 6,3 32 397 0 0 397 8
L2/L3 N9 Borda 6,3 20 84 16 7 107 21
L2/L3 N10 Complementar 6,3 30 397 0 0 397 5
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Introdução
Esforços Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
DETALHAMENTO LAJE L1 
N1 41 𝜙8c10 c=422
N3 21 𝜙6,3c20 c=107
N
4
 5
𝜙
6
,3
c3
0
 c
=3
9
7
N
2
 1
4
𝜙
6
,3
c3
2
 c
=4
5
1
84
7
1
6
3
9
7
27
46
408
7 7
27
21 N3
5
 N
4
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Introdução
Esforços Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras ExemploDETALHAMENTO LAJES L2 E L3 
N5 26𝜙8c16 c=417
N6 41𝜙8c10 c=214
N
7
 1
4
𝜙
6
,3
c3
3
 c
=4
5
1
N
8
 9
𝜙
6
,3
c3
2
 c
=3
9
7
N
1
0
 5
𝜙
6
,3
c3
0
 c
=3
9
7
N9 21𝜙6,3c20 c=107
27
27
3
9
7
84 7
1
6 200 77
47
410
7
1
4
 N
7
5
 N
1
0
21 N9
26 N5
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Introdução
Esforços Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
TABELA DE FERROS E CONSUMO
• Taxa de consumo de armadura:
𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑗𝑒𝑠
=
289,8
3. 4.4.0,1
= 60,41 𝑘𝑔/𝑚3
Tipo 𝝓 (mm) Quantidade
Comprimento unitário 
(cm)
Comprimento total 
(m)
N1 8 41 422 173
N2 6,3 14 451 63
N3 6,3 42 107 45
N4 6,3 10 397 40
N5 8 52 417 217
N6 8 41 214 88
N7 6,3 28 451 126
N8 6,3 9 397 36
N9 6,3 42 107 45
N10 6,3 10 397 40
Bitola
Comprimento 
total (m)
Massa Linear 
(kg/m)
Peso (kg)
6,3 395 0,25 98,75
8 305 0,4 191,2
TOTAL: 289,95
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Introdução
Esforços Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES
• Hipóteses:
• Vigas rígidas à flexão;
• Apoios das lajes sobre vigas através de charneiras;
• Continuidade das lajes quando no mesmo nível.
•
𝑙𝑦
𝑙𝑥
< 2
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Introdução
Esforços Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
ESFORÇOS SOLICITANTES
• Cálculo dos esforços:
• Os momentos solicitantes são obtidos através 
de tabelas (MARCUS, CZÉRNY)
• Dependem da distribuição da carga, condições 
de contorno e relação 𝑙𝑦/𝑙𝑥.
• 𝒎𝒙: momento fletor positivo por unidade de 
largura com atuação paralela a 𝑙𝑥
• 𝒎𝒚: momento fletor positivo por unidade de 
largura com atuação paralela a 𝑙𝑦
• 𝒎𝒙
′ : momento fletor negativo por unidade de 
largura com atuação paralela a 𝑙𝑥
• 𝒎𝒚
′ : momento fletor negativo por unidade de 
largura com atuação paralela a 𝑙𝑦
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Introdução
Esforços Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
CONDIÇÕES DE CONTORNO E ESFORÇOS SOLICITANTES
• 𝒎𝒙 =
𝑝𝑙𝑥
2
𝛼𝑥
• 𝒎𝒙
′ =
𝑝𝑙𝑥
2
𝛽𝑥
• 𝒎𝒚 =
𝑝𝑙𝑥
2
𝛼𝑦
• 𝒎𝒚
′ =
𝑝𝑙𝑥
2
𝛽𝑦
51
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Introdução
Esforços Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
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em 2 direções
Introdução
Esforços Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
ESFORÇOS SOLICITANTES
53
𝑚𝑥
′
𝑚
𝑦
𝑚𝑥
𝑚
𝑦′
𝑙𝑥
𝑙 𝑦
•
𝒍𝒚
𝒍𝒙
, condições de apoio
• 𝒎𝒙 =
𝑝𝑙𝑥
2
𝛼𝑥
• 𝒎𝒙
′ =
𝑝𝑙𝑥
2
𝛽𝑥
• 𝒎𝒚 =
𝑝𝑙𝑥
2
𝛼𝑦
• 𝒎𝒚
′ =
𝑝𝑙𝑥
2
𝛽𝑦
• 𝒂 =
𝑝𝑙𝑥
4
𝐸ℎ3𝛼2
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Introdução
Esforços Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
CÁLCULO DOS ESFORÇOS
• Metodologia simplificada para residências e edifícios:
• Calculam-se inicialmente as lajes isoladas, com as seguintes 
condições de apoio:
o Apoio simples (charneira), quando existir viga de borda 
nesse apoio, ou laje vizinha adjacente em desnível.
o Apoio engastado, quando existir laje vizinha adjacente no 
mesmo nível
o Vigas consideradas como apoio rígido à laje
• Em seguida, realiza-se uma compatibilização dos momentos 
em lajes adjacentes
54
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COMPATIBILIZAÇÃO DOS MOMENTOS
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• Para sobrecargas usuais de edifícios podem ser adotados os momentos fletores positivos obtidos nas lajes 
isoladas; portanto, sem nenhuma correção devido à continuidade. Para sobrecargas maiores convém efetuar 
essas correções, principalmente, quando acarretar aumento no valor do momento fletor.
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DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS
• Cálculo da altura útil:
• 𝑑𝑥 = ℎ − 𝑐 −
𝜙𝑥
2
≅ ℎ − 𝑐 − 0,5
• 𝑑𝑦 = ℎ − 𝑐 − 𝜙𝑥 −
𝜙𝑦
2
≅ ℎ − 𝑐 − 1,5
56
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Introdução
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CÁLCULO DE 𝑨𝒔
• 𝑀𝑑 = 𝛾𝑓𝑚𝑥, 𝛾𝑓𝑚𝑦, ou 𝛾𝑓𝑚𝑥
′ (kN.cm/m)
• 𝑑 = 𝑑𝑥 ou 𝑑𝑦 (cm)
• 𝐴𝑠 = (𝐴𝑠𝑥 ou 𝐴𝑠𝑦) (𝑐𝑚2/𝑚)
• 𝑏 = 100 𝑐𝑚
• 𝑓𝑐𝑑 =
𝑓𝑐𝑘
1,4
• 𝑓𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑘
1,15
• 𝑥 = 1,25𝑑 1 − 1 −
𝑀𝑑
0,425𝑏𝑑2𝑓𝑐𝑑
• 𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑓𝑦𝑑 𝑑−0,4𝑥
57
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Introdução
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DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS
• Vão efetivo (teórico):
• 𝑙 = 𝑙0 +
𝑏𝑤𝑖
2
+
𝑏𝑤𝑗
2
58
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DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS
• Diâmetro das barras:
• 4𝑚𝑚 ≤ 𝜙𝑥 ≤
ℎ
8
59
• Espaçamento entre barras:
• Armadura principal: 8 𝑐𝑚 ≤ 𝑠 ≤ ቊ
20 𝑐𝑚
2ℎ
• Taxa de armadura longitudinal positiva mínima
• 𝐴𝑠𝑥𝑚í𝑛
= 0,67𝜌𝑚í𝑛𝑏ℎ, onde 𝑏 = 100 𝑐𝑚
• Taxa de armadura longitudinal negativa mínima
• 𝐴𝑠𝑥𝑚í𝑛
= 𝜌𝑚í𝑛𝑏ℎ, onde 𝑏 = 100 𝑐𝑚
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Introdução
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DETALHAMENTO DAS ARMADURAS
• Armaduras positivas:
• Estendidas de apoio a apoio.
• 𝑙 = 𝑙𝑥 + (ℎ − 2𝑐𝑙) +
𝑏𝑤𝑖
2
− 𝑐𝑣 +
𝑏𝑤𝑗
2
• Armaduras negativas:
• 𝑎𝑖𝑗 ≥ ቐ
𝑙𝑥𝑖
4
,
𝑙𝑥𝑗
4
𝑙𝑏𝑎𝑙𝑎𝑛ç𝑜 − 𝑐𝑙
• 𝑙 = 2[𝑎𝑖𝑗+(ℎ − 2𝑐𝑙)]
60
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Introdução
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DETALHAMENTO DAS ARMADURAS
• Armadura de borda:
• Controle da fissuração devido ao engastamento
parcial das lajes nas vigas e momento volvente.
• 𝑙 = 25ϕ +
𝑏𝑤
2
− 𝑐𝑣 +
𝑙𝑥
5
+ ℎ − 2𝑐𝑙
• 𝐴𝑠 = 𝜌𝑚í𝑛𝑏ℎ
61
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Introdução
Esforços Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
DETALHAMENTO DAS ARMADURAS
62
Negativas de borda 𝑙 =
𝑙𝑥
5
+
𝑏𝑤
2
− 𝑐𝑣
Negativos internos 𝑎𝑖𝑗 ≥ ቐ
ൗ𝑙𝑥𝑖
4
ൗ𝑙𝑥𝑗
4
Negativos de lajes em balanço 𝑎𝑖𝑏 ≥ ൝
ൗ𝑙𝑥𝑖4
𝑙𝑏𝑎
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Introdução
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63
fck =20 MPa
CA50
𝑐𝑙= 2,0 cm
𝑐𝑣 =2,0 cm
h = 10 cm (todas as lajes)
g = 0,1.25 + 1 = 3,5 kN/m2
q = 2,0 kN/m2
vigas de bw = 12 cm
Obs: admite-se que as cotas 
dadas se referem ao vão 
efetivo
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Lajes Armadas
em 1 direção
Lajes Armadas
em 2 direções
Introdução
Esforços Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
64
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Introdução
Esforços Disposição Construtiva Detalhamento das Armaduras Exemplo
65
* Momento corrigido devido à compatibilização no apoio L1-L3
• Sem a correção em 𝒎𝒙 (L1):
• 𝑚𝑑 = 1,4.3,96 = 554,4 kN.cm
• 𝑥 = 0,79 𝑐𝑚
• 𝐴𝑠 = 1,77 𝑐𝑚2
• 𝜙5𝑐/11
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Laje Armadura Tipo 𝜙 (𝑚𝑚)
Espaçamento 
(cm)
c. reto 
(cm)
Dobra esquerda (cm) Dobra direita (cm)
c. total 
(cm)
Quantidade
L1 e L3 N1 Secundária (+) 5 20 610 6 0 616 21
L1 N2 Principal (+) 5 10 410 0 6 416 60
L3 N3 Principal (+) 5 14 412 0 0 412 43
L1 e L3 N4 Borda esquerda 6,3 20 84 16 6 106 21
L1 N5 Negativa 1-2 8 15 200 6 6 212 27
L3 N6 Negativa 3-4 6,3 13 200 6 6 212 31
L1 N7 Borda superior 6,3 20 84 6 16 106 31
L1 e L3 N8 Negativa 1-3 8 13 200 6 6 212 47
L3 N9 Negativa 3-5 8 15 200 6 6 212 41
L1 N10 Comp. à b. sup. 6,3 30 610 0 0 610 4
L1 e L3 N11 Comp. à N5 6,3 30 610 0 0 610 8
L1 N12 Comp. à b. esq 6,3 30 410 0 0 410 4
L1 N13 Comp. à N3 6,3 30 410 0 0 410 8
L3 N14 Comp. à b. esq 6,3 30 412 0 0 412 4
L3 N15 Comp. à N12 6,3 30 412 0 0 412 8
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DETALHAMENTO DAS 
ARMADURAS INFERIORES
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DETALHAMENTO DAS 
ARMADURAS SUPERIORES
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TABELAS RESUMO
• Taxa de consumo de armadura:
𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑗𝑒𝑠
=
285,77
2. 6.4.0,1
= 59,54 𝑘𝑔/𝑚3
𝜙 (mm)
Comprimento total 
(m)
Massa Linear 
(kg/m)
Peso (kg)
5 658 0,16 109,68
6,3 314 0,25 78,58
8 244 0,4 97,52
TOTAL: 285,77
Tipo 𝜙 (𝑚𝑚) Quantidade Comprimento unitário (cm) Comprimento total (m)
N1 5 42 616 259
N2 5 60 416 250
N3 5 43 412 177
N4 6,3 42 106 45
N5 8 27 212 57
N6 6,3 31 212 66
N7 6,3 31 106 33
N8 8 47 212 100
N9 8 41 212 87
N10 6,3 4 610 24
N11 6,3 16 610 98
N12 6,3 4 410 16
N13 6,3 8 410 33
N14 6,3 4 412 16
N15 6,3 8 412 33
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Força Cortante em Lajes
Exemplo Completo 
Painel
Casos Especiais
Alvenarias sobre Lajes de 2 direções Alvenarias sobre Lajes de 1 direção Alvenarias sobre Lajes em BalançoCondições de Contorno
70
CONDIÇÕES DE CONTORNO
• Hipóteses para as condições de contorno:
• Borda livre: lajes em balanço ou que não sejam suportadas por vigas em alguma extremidade;
• Borda simplesmente apoiada: extremidades da estrutura em que não há continuidade com outras
lajes, e também no caso onde as lajes sejam rebaixadas, porém com apoio de viga existente;
• Borda engastada: interface entre lajes, em que há continuidade no pavimento sobre um apoio.
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Exemplo Completo 
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Casos Especiais
Alvenarias sobre Lajes de 2 direções Alvenarias sobre Lajes de 1 direção Alvenarias sobre Lajes em BalançoCondições de Contorno
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CONDIÇÕES DE CONTORNO
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Casos Especiais
Alvenarias sobre Lajes de 2 direções Alvenarias sobre Lajes de 1 direção Alvenarias sobre Lajes em BalançoCondições de Contorno
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CONDIÇÕES DE CONTORNO
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Casos Especiais
Alvenarias sobre Lajes de 2 direções Alvenarias sobre Lajes de 1 direção Alvenarias sobre Lajes em BalançoCondições de Contorno
73
CONDIÇÕES DE CONTORNO
𝑙𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
𝑙𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 <
1
3
𝑙𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟
𝑙𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟
• Caso se observe situação intermediária, deve-se calcular considerando-se 
as duas hipóteses, e utilizar o mais crítico.
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Força Cortante em Lajes
Exemplo Completo 
Painel
Casos Especiais
Condições de Contorno Alvenarias sobre Lajes de 2 direções Alvenarias sobre Lajes de 1 direção Alvenarias sobre Lajes em Balanço
74
ALVENARIA SOBRE LAJES ARMADAS EM 2 DIREÇÕES
• Acrescenta-se à carga total 𝑝 atuante na laje a carga 
equivalente proveniente da presença de alvenaria:
• 𝑔𝑎𝑙𝑣 =
𝑃𝑎𝑙𝑣
𝐴𝑙𝑎𝑗𝑒
=
𝑙1+𝑙2 ℎ𝑝𝑝−ℎ𝑙𝑎𝑗𝑒 𝑒𝑎𝑙𝑣𝛾𝑎𝑙𝑣
𝐴𝑙𝑎𝑗𝑒
[kN/m² ]
• 𝛾𝑎𝑙𝑣 = 13𝑘𝑁/𝑚3 (bloco cerâmico vazado)
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Força Cortante em Lajes
Exemplo Completo 
Painel
Casos Especiais
Condições de Contorno Alvenarias sobre Lajes de 2 direções Alvenarias sobre Lajes de 1 direção Alvenarias sobre Lajes em Balanço
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ALVENARIA SOBRE LAJES ARMADAS EM 2 DIREÇÕES
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Exemplo Completo 
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Casos Especiais
Condições de Contorno Alvenarias sobre Lajes de 2 direções Alvenarias sobre Lajes de 1 direção Alvenarias sobre Lajes em Balanço
76
ALVENARIA SOBRE LAJES ARMADAS EM 1 DIREÇÃO
• Carga paralela ao maior lado:
• A carga de alvenaria é considerada como uma 
carga concentrada na faixa unitária do menor 
vão:
• 𝑝𝑎𝑙𝑣 = ℎ𝑝𝑝 − ℎ𝑙𝑎𝑗𝑒 𝑒𝑎𝑙𝑣𝛾𝑎𝑙𝑣 [kN/m]
• 𝑃𝑎𝑙𝑣 = 𝑝𝑎𝑙𝑣 . 1𝑚 [kN]
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Exemplo Completo 
Painel
Casos Especiais
Condições de Contorno Alvenarias sobre Lajes de 2 direções Alvenarias sobre Lajes de 1 direção Alvenarias sobre Lajes em Balanço
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ALVENARIA SOBRE LAJES ARMADAS EM 1 DIREÇÃO
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Casos Especiais
Condições de Contorno Alvenarias sobre Lajes de 2 direções Alvenarias sobre Lajes de 1 direção Alvenarias sobre Lajes em Balanço
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ALVENARIA SOBRE LAJES ARMADAS EM 1 DIREÇÃO
• Carga paralela ao menor lado:
• A carga de alvenaria é considerada como uma 
carga distribuída em um trecho de largura 
equivalente:
• 𝑔𝑎𝑙𝑣 =
ℎ𝑝𝑝−ℎ𝑙𝑎𝑗𝑒 𝑒𝑎𝑙𝑣𝛾𝑎𝑙𝑣
𝑏𝑒𝑞
[kN/m²]
• 𝑏𝑒𝑞
+ = 𝑒𝑎𝑙𝑣 + ℎ +
𝑙𝑥
2
1−
𝑒𝑎𝑙𝑣+ℎ
𝑙𝑥
• 𝑏𝑒𝑞
− = 1,5𝑏𝑒𝑞
+
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Casos Especiais
Condições de Contorno Alvenarias sobre Lajes de 2 direções Alvenarias sobre Lajes de 1 direção Alvenarias sobre Lajes em Balanço
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ALVENARIA SOBRE LAJES ARMADAS EM 1 DIREÇÃO
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Força Cortante em Lajes
Exemplo Completo 
Painel
Casos Especiais
Condições de Contorno Alvenarias sobre Lajes de 2 direções Alvenarias sobre Lajes de 1 direção Alvenarias sobre Lajes em Balanço
80
ALVENARIA SOBRE EM BALANÇO
• A análise é dividida para uma faixa central e para 
uma faixa de borda. Considera-se a presença de 
uma carga vertical 𝒒𝒗 = 𝟐 𝒌𝑵/𝒎 e de uma carga 
horizontal 𝒒𝒉 = 𝟎, 𝟖 𝒌𝑵/𝒎 aplicadas a uma altura 
equivalente de parapeito ℎ𝑝 = 1,05 𝑚.
Valores atualizados – NBR 6120:2020
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Força Cortante em Lajes
Exemplo Completo 
Painel
Casos Especiais
Condições de Contorno Alvenarias sobre Lajes de 2 direções Alvenarias sobre Lajes de 1 direção Alvenarias sobre Lajes em Balanço
81
ALVENARIA SOBRE EM BALANÇO
• Faixa central:
• 𝑔𝑎𝑙𝑣 = 𝑒𝑎𝑙𝑣𝛾𝑎𝑙𝑣ℎ𝑎𝑙𝑣 . 1𝑚 [kN]
• Faixa de borda:
• 𝑞𝑎𝑙𝑣 =
𝑔𝑎𝑙𝑣
𝑏
• 𝑏 =
𝑏𝑒𝑞
+ +𝑒𝑎𝑙𝑣
2
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Força Cortante em Lajes
Exemplo Completo 
Painel
Casos Especiais
Condições de Contorno Alvenarias sobre Lajes de 2 direções Alvenarias sobre Lajes de 1 direção Alvenarias sobre Lajes em Balanço
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ALVENARIA SOBRE EM BALANÇO
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Força Cortante em Lajes
Exemplo Completo 
Painel
Casos Especiais
Verificação Exemplo
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• Verificação ao cisalhamento:
• 𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑1
VERIFICAÇÃO AO CISALHAMENTO
• Significado dos termos:
• 𝑓𝑐𝑡𝑑 =
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓
𝛾𝑐
• 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 = 0,21𝑓𝑐𝑘
2/3
• 𝐴𝑠1 → Armadura longitudinal de tração 
efetivamente ancorada, a partir de uma 
distância 𝑑 da seção em que se verifica 
a cortante
• 𝑁𝑠𝑑 → Força normal mínima existente 
[> 0, quando de compressão]
• Resistência ao cisalhamento:
• 𝑉𝑅𝑑1 = 𝜏𝑅𝑑𝑘 1,2 + 40𝜌1 + 0,15𝜎𝑐𝑝 𝑏𝑤𝑑
• 𝜏𝑅𝑑 = 0,25𝑓𝑐𝑡𝑑
• 𝜌1 =
𝐴𝑠1
𝑏𝑤𝑑
≤ 0,02
• 𝜎𝑐𝑝 =
𝑁𝑠𝑑
𝐴𝑐
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Força Cortante em Lajes
Exemplo Completo 
Painel
Casos Especiais
Verificação Exemplo
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• Significado dos termos (cont.)
• 𝑘 = ቊ
1, para elementos em que 50% ou menos da armadura longitudinal chega até o apoio
1,6 − 𝑑 ≥ 1, caso contrário
VERIFICAÇÃO AO CISALHAMENTO
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Força Cortante em Lajes
Exemplo Completo 
Painel
Casos Especiais
Verificação Exemplo
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EXEMPLO
fck =20 MPa, 
h=10 cm
CA50
𝑐𝑙= 2,0 cm
𝑐𝑣 = 2,0 𝑐𝑚
d = 7,5 cm
𝑋 = 11 𝑘𝑁𝑚 → 𝐴𝑠 = 5,4 𝑐𝑚2/𝑚
𝑀 = 6,2 𝑘𝑁𝑚 → As = 2,9cm2/m
𝑋 → 𝜙10𝑐/14
𝑀 → 𝜙6,3𝑐/10
𝜙10𝑐/14
𝜙6,3𝑐/10
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Força Cortante em Lajes
Exemplo Completo 
Painel
Casos Especiais
Verificação Exemplo
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SEÇÃO DO APOIO CENTRAL
• Parâmetros de cálculo:
• 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 = 0,21. 𝑓𝑐𝑘
2/3
= 0,21.202/3 = 1,562 𝑀𝑃𝑎 = 1562 𝑘𝑃𝑎
• 𝜏𝑅𝑑 = 0,25.
𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓
1,4
= 0,25.
1562
1,4
= 276 𝑘𝑃𝑎
• 𝑘 = 1,6 − 𝑑 = 1,6 − 0,075 = 1,525 𝑚
• 𝜌1 =
𝐴𝑠1
𝑏𝑤𝑑
=
5,4
100.7,5
= 0,0072
• 𝜎𝑐𝑝 = 0
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Força Cortante em Lajes
Exemplo Completo 
Painel
Casos Especiais
Verificação Exemplo
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SEÇÃO DO APOIO CENTRAL
• Verificação:
• 𝑉𝑅𝑑1 = 𝜏𝑅𝑑𝑘 1,2 + 40𝜌1 + 0,15𝜎𝑐𝑝 𝑏𝑤𝑑
= 276.1,525. 1,2 + 40.0,0072 . 1.0,075 ≅ 47,0𝑘𝑁
• 𝑉𝑆𝑑 = 13,8.1,4 = 19,3 𝑘𝑁 < 𝑉𝑅𝑑1 → Não há necessidade de armadura
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Força Cortante em Lajes
Exemplo Completo 
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Casos Especiais
Verificação Exemplo
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SEÇÃO DO APOIO EXTREMO
• Parâmetros de cálculo:
• τRd, k e 𝜎𝑐𝑝 não se alteram;
• ρ1 =
2,9
bwd
=
2,9
100.7,5
= 0,0039
• Verificação:
• 𝑉𝑅𝑑1 = 𝜏𝑅𝑑𝑘 1,2 + 40𝜌1 + 0,15𝜎𝑐𝑝 𝑏𝑤𝑑
• = 276.1,525. 1,2 + 40.0,0039 . 1.0,075 ≅ 42,8𝑘𝑁
• 𝑉𝑆𝑑 = 8,3.1,4 = 11,6 𝑘𝑁 < 𝑉𝑅𝑑1 → Não há necessidade de armadura
• Em geral, as lajes de edifícios destinados ao uso 
residencial e de escritórios não necessitam de 
armaduras de cisalhamento;
• Caso Vsd > 𝑉𝑅𝑑1, deve-se adotar armadura de 
cisalhamento, calculada de forma análoga à 
armadura de cisalhamento de vigas.