fundamentos da eletrotécnica

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Fundamentos da 
eletrotécnica
série AUTOMAÇÃO iNDUsTriAL
série AUTOMAÇÃO iNDUsTriAL
Fundamentos da 
eletrotécnica
CONFEDERAÇÃO NACIONAL DA INDÚSTRIA – CNI
Robson Braga de Andrade
Presidente
DIRETORIA DE EDuCAÇÃO E TECNOLOgIA
Rafael Esmeraldo Lucchesi Ramacciotti
Diretor de Educação e Tecnologia
SENAI-DN – SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAgEM INDuSTRIAL
Conselho Nacional
Robson Braga de Andrade
Presidente
SENAI – DEPARTAMENTO NACIONAL
Rafael Esmeraldo Lucchesi Ramacciotti
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Diretor de Operações
Série AUTOMAÇÃO iNDUSTriAL
Fundamentos 
da eletrotécnica
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Aprendizagem Industrial 
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Distância – NEAD
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S491f
 Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial. Departamento Nacional
 Fundamentos da eletrotécnica / Serviço Nacional de Aprendizagem
 Industrial.Departamento Nacional, Serviço Nacional de Aprendizagem
 Industrial. Departamento Regional do Rio Grande do Sul. Brasília: SENAI/DN, 2012.
 188 p.: il. (Série Automação Industrial)
 ISBN 978-85-7519-502-4
 1.Eletrotécnica 2. Matemática 3. Magnetismo 4. Eletromagnetismo.
 I.Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial.
 Departamento Regional do Rio Grande do Sul. IITítulo .III.Série
CDU- 621.3
Bibliotecário Responsável: Enilda Hack- CRB 599/10
Lista de ilustrações
Figura 1 - Pizza ..................................................................................................................................................................25
Figura 2 - Frações prórias ..............................................................................................................................................26
Figura 3 - Frações imprórias .........................................................................................................................................26
Figura 4 - Frações aparentes ........................................................................................................................................26
Figura 5 - Frações equivalentes ...................................................................................................................................26
Figura 6 - Números mistos ............................................................................................................................................27
Figura 7 - Decimais infinitos inteiros .........................................................................................................................30
Figura 8 - Decimais infinitos fracionários ................................................................................................................30
Figura 9 - Conversão decimal binário .......................................................................................................................36
Figura 10 - Conversão decimal hexadecimal .........................................................................................................37
Figura 11 - Função de 1º grau ......................................................................................................................................41
Figura 12 - Função de 1º grau - 1 ................................................................................................................................42
Figura 13 - Função de 1º grau - 2 ................................................................................................................................42
Figura 14 - Função de 1º grau - 3 ................................................................................................................................43
Figura 15 - Função de 1º grau - 4 ................................................................................................................................43
Figura 16 - Função de 2º grau ......................................................................................................................................43
Figura 17 - Vértice e eixo de simetria ........................................................................................................................45
Figura 18 - Sistema com 2 LEDs ..................................................................................................................................45
Figura 19 - Gráfico da função logarítmica ...............................................................................................................47
Figura 21 - Trigonometia básica arco ........................................................................................................................49
Figura 22 - Trigonometia básica ângulo ..................................................................................................................49
Figura 20 - Potenciômetro logarítmico ....................................................................................................................49
Figura 23 - Trigonometia básica .................................................................................................................................50
Figura 24 - Arco com o ângulo determindado ......................................................................................................50
Figura 25 - Pitágoras .......................................................................................................................................................51
Figura 26 - Ciclo trigonométrico .................................................................................................................................51
Figura 27 - Função seno .................................................................................................................................................52
Figura 28 - Valores notáveis do seno .........................................................................................................................52
Figura 29 - Gráfico da função seno ............................................................................................................................52
Figura 30 - Função cosseno ..........................................................................................................................................53
Figura 31 - Valores notáveis do cosseno ..................................................................................................................53
Figura 32 - Gráfico da função cosseno .....................................................................................................................53
Figura 33 - Função tangente ........................................................................................................................................54
Figura 34 - Valores notáveis do tangente ................................................................................................................54
Figura 35 - Gráfico da função tangente ...................................................................................................................54Figura 36 - Relação trigonométrica ...........................................................................................................................55
Figura 37 - Teorema de Pitágoras ...............................................................................................................................55
Figura 38 - Modelo Atômico de Dalton - Bola de bilhar .....................................................................................59
Figura 39 - Modelo Atômico de Thomson - Bola de Passas (PlumCake) ......................................................60
Figura 40 - Experiência de Rutherford ......................................................................................................................60
Figura 41 - Modelo planetário do átomo ................................................................................................................61
Figura 42 - Modelo atômico atual ..............................................................................................................................61
 Figura 43 - Máquinas eletrostáticas antigas ..........................................................................................................62
Figura 44 - Repulsão ........................................................................................................................................................64
Figura 45 - Atração...........................................................................................................................................................64
Figura 46 - Eletrostática .................................................................................................................................................64
Figura 47 - Pulseira antiestática ..................................................................................................................................64
Figura 48 - Aterramento ................................................................................................................................................64
Figura 49 - Eletrização por contato ............................................................................................................................65
Figura 50 - Equacionamento da distribuição de cargas .....................................................................................65
Figura 51 - Equacionamento da distribuição de cargas1 ..................................................................................65
Figura 52 - Equacionamento da distribuição de cargas2 ..................................................................................66
Figura 53 - Eletrização por atrito ................................................................................................................................66
Figura 54 - Eletrização por indução ...........................................................................................................................67
Figura 55 - Tensão elétrica ............................................................................................................................................68
Figura 56 - Simbologia do voltímetro em um circuito elétrico .......................................................................69
Figura 57 - Simbologia de uma fonte .......................................................................................................................69
Figura 58 - Pilha ................................................................................................................................................................69
Figura 59 - Pilhas em série ............................................................................................................................................69
Figura 60 - Pilhas em série e contrapostas ..............................................................................................................69
Figura 61 - Corrente elétrica .........................................................................................................................................70
Figura 62 - Simbologia do amperímetro no circuito elétrico ...........................................................................70
Figura 63 - Simbologia do amperímetro ligado em série a um circuito elétrico ......................................70
Figura 64 - Caminho do elétron livre ........................................................................................................................71
Figura 65 - Simbologia do ohmímetro no circuito ...............................................................................................71
Figura 66 - Simbologia do ohmímetro ligado em paralelo no circuito elétrico ........................................71
Figura 67 - Resistência elétrica ....................................................................................................................................73
Figura 68 - Tensão alternada ........................................................................................................................................74
Figura 69 - Determinação da corrente elétrica ......................................................................................................77
Figura 70 - Determinação da tensão elétrica .........................................................................................................78
Figura 71 - Determinação da resistência elétrica .................................................................................................79
Figura 72 - Multímetro ..................................................................................................................................................80
Figura 73 - Osciloscópio ................................................................................................................................................83
Figura 74 - Osciloscópio 1 .............................................................................................................................................83
Figura 75 - Conjunto gerador e osciloscópio ........................................................................................................83
Figura 76 - Gerador ajustado para 1kHz ................................................................................................................84
Figura 77 - Conexão do osciloscópio com o gerador ......................................................................................84
Figura 78 - Escalas de tensão e tempo ....................................................................................................................84
Figura 79 - Sinal medido no osciloscópio de origem no gerador .................................................................85
Figura 80 - Representação característica Lei de Ohm .........................................................................................88
Figura 81 - Bipolo ôhmico .............................................................................................................................................88
Figura 82 - Bipolo ôhmico 1 .........................................................................................................................................89
Figura 83 - Resistores em série ....................................................................................................................................89
Figura 84 - Resistores em paralelo .............................................................................................................................90
Figura 85 - Resistores em paralelo 1 ..........................................................................................................................90
Figura 86 - Resistores em paralelo 2 ..........................................................................................................................91
Figura 87 - Resistores em paralelo 3 ..........................................................................................................................91Figura 88 - Circuito elétrico ..........................................................................................................................................92
Figura 89 - Rede elétrica ................................................................................................................................................92
Figura 90 - Circuito elétrico 1 .......................................................................................................................................93
Figura 91 - Representação de circuitos elétricos ..................................................................................................93
Figura 92 - Circuito ..........................................................................................................................................................94
Figura 93 - Representação das malhas ADEFA e BCDEB ....................................................................................94
Figura 94 - Malha ..............................................................................................................................................................95
Figura 95 - Malha 1 ..........................................................................................................................................................95
Figura 96 - Malha 2 ..........................................................................................................................................................95
Figura 97 - Malha 3 ..........................................................................................................................................................95
Figura 98 - Malha ABEFA ................................................................................................................................................95
Figura 99 - Malha BCDEB ...............................................................................................................................................95
Figura 100 - Esquema de circuito ...............................................................................................................................97
Figura 101 - Esquema de circuito 1 ...........................................................................................................................98
Figura 102 - Esquema de circuito 2 ...........................................................................................................................98
Figura 103 - Esquema de circuito 3 ...........................................................................................................................98
Figura 104 - Circuito ligado em série ..................................................................................................................... 103
Figura 105 - Circuito ligado em série 1 .................................................................................................................. 104
Figura 106 - Circuito .................................................................................................................................................... 105
Figura 107 - Circuito 1 ................................................................................................................................................. 106
Figura 108 - Divisores de tensão e corrente ........................................................................................................ 109
Figura 109 - Divisor de corrente .............................................................................................................................. 109
Figura 110 - Circuito misto ......................................................................................................................................... 110
Figura 111 - Circuito 3 ................................................................................................................................................. 111
Figura 112 - Circuito 4 ................................................................................................................................................. 111
Figura 113 - Circuito misto 1 ..................................................................................................................................... 111
Figura 114 - Circuito 5 ................................................................................................................................................. 111
Figura 115 - Circuito equivalente ............................................................................................................................ 112
Figura 116 - Teorema da superposição - circuito .............................................................................................. 112
Figura 117 - Teorema da superposição - circuito 1 ........................................................................................... 113
Figura 118 - Teorema da superposição - circuito 2 ........................................................................................... 113
Figura 119 - Teorema de Thévenin - circuito ...................................................................................................... 115
Figura 120 - Teorema de Thévenin - circuito 1 .................................................................................................... 115
Figura 121 - Teorema de Thévenin - circuito 2 .................................................................................................... 116
Figura 122 - Teorema de Thévenin - circuito 3 .................................................................................................... 116
Figura 123 - Teorema de Thévenin - circuito 4 .................................................................................................... 116
Figura 124 - Teorema de Norton - circuito .......................................................................................................... 117
Figura 125 - Teorema de Norton - circuito 1 ........................................................................................................ 118
Figura 126 - Teorema de Norton - circuito 2 ........................................................................................................ 118
Figura 127 - Teorema de Norton - circuito 3 ........................................................................................................ 118
Figura 128 - Teorema de Norton - circuito 4 ........................................................................................................ 119
Figura 129 - Hidrelétrica ............................................................................................................................................. 121
Figura 130 - Gráfico da tensão alternada em graus .......................................................................................... 121
Figura 131 - Gráfico da tensão alternada em radiano...................................................................................... 121
Figura 132 - Tensão e corrente alternada - gráfico 1 ........................................................................................ 122
Figura 133 - Gráficos de ciclos e períodos de diversas formas de onda CA ............................................. 122
Figura 134 - Circuito resistivo puro ......................................................................................................................... 124
Figura 135 - Circuito resistivo puro - gráfico senoidal ..................................................................................... 124
Figura 136 - Circuito resistivo puro - gráfico fasorial ........................................................................................ 124
Figura 137 - Circuito indutivo puro ........................................................................................................................ 125
Figura 138 - Circuito indutivo puro - diagrama fasorial.................................................................................. 126
Figura 139 - Circuito capacitivo puro ..................................................................................................................... 126
Figura 140 - Circuito capacitivo puro - diagrama fasorial ............................................................................... 126
Figura 141 - Circuito RLC em paralelo 2 ................................................................................................................ 127
Figura 142 - Fios enrolados em forma helicoildal ............................................................................................. 131
Figura 143 - Simbologia de bobinas ...................................................................................................................... 131
Figura 144 - Indutores ................................................................................................................................................. 133
Figura 145 - Associação em série aditiva .............................................................................................................. 134
Figura 146 - Associação em série subtrativa ....................................................................................................... 134
Figura 147 - Associação em paralelo - circuito ................................................................................................... 135
Figura 149 - Perfil magnético de automóvel ....................................................................................................... 135
Figura 148 - Associação em paralelo - circuito 1................................................................................................ 135
Figura 150 - Bobinas .................................................................................................................................................... 136
Figura 151 - Sensor indutivo ..................................................................................................................................... 136
Figura 152 - Simbologia capacitores ...................................................................................................................... 137
Figura 153 - Capacitores de diferentes capacitancias ...................................................................................... 137
Figura 154 - Capacitor em paralelo ........................................................................................................................ 138
Figura 155 - Capacitor em paralelo 1 ..................................................................................................................... 138
Figura 156 - Associação de capacitores em série .............................................................................................. 139
Figura 157 - Capacitor ................................................................................................................................................. 140
Figura 158 - Capacitor eletrolítico de 25uF 100V .............................................................................................. 140
Figura 159 - Capacitores cerâmicos ........................................................................................................................ 141
Figura 160 - Capacitores plásticos .......................................................................................................................... 141
Figura 162 - Capacitor de Von Musschenbroek ................................................................................................. 142
Figura 161 - Capacitores eletrolíticos..................................................................................................................... 142
Figura 163 - Esquema elétrico .................................................................................................................................. 145
Figura 164 - Esquema elétrico 1 .............................................................................................................................. 146
Figura 165 - Gráfico senoidal .................................................................................................................................... 146
Figura 166 - Representação fasorial ....................................................................................................................... 146
Figura 167 - Gráfico senoidal 1 ................................................................................................................................. 147
Figura 168 - Representação fasorial 1 .................................................................................................................... 147
Figura 169 - Gráfico senoidal 2 ................................................................................................................................. 148
Figura 170 - Representação fasorial 2 .................................................................................................................... 148
Figura 171 - Gráfico senoidal com três tensões ................................................................................................. 148
Figura 172 - Representação fasorial 3 .................................................................................................................... 148
Figura 173 - Resolução de circuitos RLC - circuito ............................................................................................. 149
Figura 174 - Resolução de circuitos RLC - representação fasorial ................................................................ 149
Figura 175 - Resolução de circuitos RLC - representação fasorial 1 ............................................................ 149
Figura 176 - Resolução de circuitos RLC - representação fasorial 2 ............................................................ 150
Figura 177 - Resolução de circuitos RLC - circuito 1 ......................................................................................... 150
Figura 178 - Resolução de circuitos RLC - representação fasorial 3 ............................................................ 150
Figura 179 - Resolução de circuitos RLC - representação fasorial 4 ............................................................ 150
Figura 180 - Impedância no circuito RLC em série - representação fasorial ............................................ 151
Figura 181 - Impedância no circuito RLC em série - representação fasorial 1 ......................................... 151
Figura 182 - Impedância no circuito RLC em série - representação fasorial 2 ......................................... 152
Figura 183 - Impedância no circuito RLC em série - representação fasorial 3 ......................................... 152
Figura 184 - Impedância no circuito RLC em série - representação fasorial 4 ......................................... 152
Figura 185 - Impedância no circuito RLC em série - representação fasorial 5 ......................................... 152
Figura 186 - Impedância no circuito RLC em série - representação fasorial 6 ......................................... 152
Figura 187 - Impedância da associação - Pitágoras .......................................................................................... 153
Figura 188 - Impedância da associação - Pitágoras 1 ...................................................................................... 153
Figura 189 - Impedância no circuito RLC em série - circuito ......................................................................... 153
Figura 190 - Circuito RLC em paralelo .................................................................................................................... 154
Figura 191 - Circuito RLC em paralelo 1 ................................................................................................................ 155
Figura 192 - Circuito RLC em paralelo- gráfico senoidal ................................................................................ 155
Figura 193 - Circuito RLC em paralelo - representação fasorial .................................................................... 155
Figura 194 - Circuito RLC em paralelo - gráfico senoidal 1 ............................................................................. 156
Figura 195 - Circuito RLC em paralelo - representação fasorial 1 ................................................................ 156
Figura 196 - Circuito RLC em paralelo - representação fasorial 2 ................................................................ 156
Figura 197 - Circuito RLC em paralelo - circuito ................................................................................................. 156
Figura 198 - Circuito RLC em paralelo - circuito 1 .............................................................................................. 157
Figura 199 - Determinação gráfica da frequência de ressonância .............................................................. 157
Figura 200 - Representação fasorial da correntes na ressonância .............................................................. 158
Figura 201 - Ressonância - circuito ......................................................................................................................... 159
Figura 202 - Imã ............................................................................................................................................................. 163
Figura 203 - Material ferromagnético .................................................................................................................... 164
Figura 204 - Material paramagnético..................................................................................................................... 164
Figura 205 - Imã 2 ......................................................................................................................................................... 164
Figura 206 - Imã 3 ......................................................................................................................................................... 164
Figura 207 - Divisão de Imã ....................................................................................................................................... 164
Figura 208 - Propriedades dos imãs ....................................................................................................................... 165
Figura 209 - Linhas de força representando o campo magnético .............................................................. 165
Figura 210 - Experiência ............................................................................................................................................. 165
Figura 211 - Imã 4 ......................................................................................................................................................... 165
Figura 212 - Circuito não-energizado .................................................................................................................... 166
Figura 213 - Circuito energizado ............................................................................................................................. 166
Figura 214 - Limalhas de ferro distribuídas aleatoriamente ......................................................................... 166
Figura 215 - Circuito energizado com linhas de indução do campo magnético ................................... 167
Figura 216 - Regra da mão direita ........................................................................................................................... 167
Figura 217 - Atração ..................................................................................................................................................... 167
Figura 218 - Repulsão .................................................................................................................................................. 168
Figura 219 - Campo eletromagnético em espira ............................................................................................... 168
Figura 220 - Direção campo eletromagnético em espira ............................................................................... 169
Figura 221 - Campo eletromagnético em espira 1 ........................................................................................... 169
Figura 222 - Carretel ..................................................................................................................................................... 170
Figura 223 - Bobina sem núcleo de ferro.............................................................................................................. 170
Figura 224 - Bobina com núcleo de ferro ............................................................................................................. 170
Figura 225 - Espiral da bobina .................................................................................................................................. 170
Figura 226 - Espiral da bobina 1 .............................................................................................................................. 170
Figura 227 - Representação da regra da mão direita ....................................................................................... 171
Figura 228 - Representação da regra da mão direita 1 .................................................................................... 171
Figura 229 - Eletroimã ................................................................................................................................................. 172
Figura 230 - Eletroimã 1 .............................................................................................................................................. 172
Figura 231 - Circuito magnético .............................................................................................................................. 172
Figura 232 - Entreferro ................................................................................................................................................ 173
Figura 233 - Entreferro 1 ............................................................................................................................................. 173
Figura 234 - Tipos de núcleo ..................................................................................................................................... 175
Figura 235 - Forma de onda ...................................................................................................................................... 175
Figura 236 - Transformador com mais de uma bobina ................................................................................... 175
Figura 237 - Derivação central.................................................................................................................................. 175
Figura 238 - Transformador trifásico ...................................................................................................................... 176
Figura 239 - Autotransformador trifásico ............................................................................................................. 176
Tabela 1: Técnico em Automação Industrial ............................................................................................................19
Tabela 2: Nomenclatura das casas decimais ............................................................................................................29
Tabela 3: Múltiplos e submúltiplos do sistema métrico ......................................................................................32
Tabela 4: Prefixos de conversões .................................................................................................................................33Tabela 5: Dígitos hexadecimais ....................................................................................................................................36
Tabela 6: Resistividade dos principais tipos de condutores ..............................................................................73
Tabela 7: Força eletromotriz gerada por diferentes eletrodos ..........................................................................74
Tabela 8: Relação dos resultados adquiridos ....................................................................................................... 100
Tabela 9: Principais tipos de capacitores ............................................................................................................... 140
Quadro 1 - Fontes de energia geradoras de força eletromotriz ......................................................................73
Quadro 2 - Observação da malha ABEFA .................................................................................................................95
Quadro 3 - Observação da malha BCDEB .................................................................................................................96
Lista de Abreviaturas
ABNT: Associação Brasileira de Normas Técnicas.
IHM: Interface homem máquina.
ANEEL: Agencia Nacional de Energia Elétrica.
CLP: Controlador lógico programável.
MVA: Mega Volt Amper.
Y: Estrela.
Δ: Triângulo.
PVI: Parcela variável por indisponibilidade.
VE: Tensão de entrada.
VS: Tensão de saída.
FCA: Fator de correção de agrupamento.
FCT: Fator de correção de temperatura.
RFF: Relé falta de fase.
TC: Transformador de corrente.
S: Potência aparente.
PE: Proteção equipotencial
NBR: Norma Brasileira Regulamentadora.
Nº: Número.
NA: Normalmente Aberto
NF: Normalmente Fechado
A/D: Analógico para digital
Term.: Termomagnético
Q.T: Queda de tensão
IEC: International Electrotechnical Commission (Comissão Eletrotécnica Internacional).
CC ou DC: Corrente contínua
I: Entrada analógica
IRR: Receptor Infravermelho (Infrared Receiver)
IRT: Transmissor Infravermelho (Infrared Transmiter)
LED: Diodo emissor de luz (Ligth Emmiting Diode)
Q: Saída à relé
V: volts - Unidade de medida de tensão
Ω: ohms - Unidade de medida de resistência elétrica
BCD: Código binário decimal 
CI: Circuito integrado
GND: Ponto comum ou terra
MOS: Metal oxide semiconductor
A: ampère
Ca: Corrente alternada
Cc: Corrente contínua
ℓ: Litro
RPM- Rotações por minuto
V: volt 
W: watt
Ladder: Linguagem de contatos elétricos
R: Resistor
Vs/Vo: Tensão de saída
Ve/Vi: Tensão de entrada
1 Introdução ......................................................................................................................................................................19
2 Conceitos .........................................................................................................................................................................21
2.1 Potência de base dez .................................................................................................................................21
2.1.1 Representando quantidades numéricas com potência de dez ...............................22
2.1.2 Operações aritméticas com potências de dez ................................................................24
2.2 Números fracionários e decimais ..........................................................................................................25
2.2.1 Números fracionários ..............................................................................................................25
2.2.2 Números decimais ....................................................................................................................29
2.3 Múltiplos e submúltiplos .........................................................................................................................32
2.3.1 Características do sistema métrico decimal ....................................................................32
2.3.2 Prefixos métricos .......................................................................................................................32
2.4 Conversão de base numérica .................................................................................................................34
2.4.1 Sistema de numeração binário ............................................................................................35
2.4.2 Conversão binário decimal ....................................................................................................35
2.4.3 Conversão decimal binário ....................................................................................................36
2.4.4 Sistema de numeração hexadecimal .................................................................................36
2.4.5 Conversão de hexadecimal para decimal ........................................................................37
2.4.6 Conversão de decimal para hexadecimal ........................................................................37
2.5 Sistema linear ...............................................................................................................................................37
2.5.1 Classificação dos sistemas lineares .....................................................................................38
2.5.2 Equação linear ............................................................................................................................38
2.5.3 Sistema linear com solução por matrizes .........................................................................39
2.6 Funções de 1º grau, 2º grau, exponencial, logarítmica e trigonométricas ............................41
2.6.1 Função de 1º grau .....................................................................................................................41
2.6.2 Função de 2º grau .....................................................................................................................43
2.6.3 Função exponencial .................................................................................................................45
2.6.4 Propriedades de potenciação ..............................................................................................46
2.6.5 Equações exponenciais...........................................................................................................46
2.6.6 Função logarítmica ...................................................................................................................46
2.6.7 Trigonometria básica ...............................................................................................................49
2.7 Representação gráfica de funções ........................................................................................................51
2.7.1 Função seno ................................................................................................................................51
2.7.2 Função cosseno .........................................................................................................................52
2.7.3 Função tangente .......................................................................................................................53
2.8 Relações trigonométricas ........................................................................................................................55
2.8.1 Teorema de Pitágoras ..............................................................................................................55
2.8.2 Relações trigonométricas de ângulos ...............................................................................56
Sumário
3 Conceitos de eletricidade básica ............................................................................................................................59
3.1 Eletrostática ..................................................................................................................................................593.1.1 Carga elétrica ..............................................................................................................................61
3.1.2 Princípios de eletrostática ......................................................................................................63
3.1.3 Força elétrica – A lei de Coulomb........................................................................................67
3.2 Grandezas elétricas ....................................................................................................................................68
3.2.1 Tensão elétrica............................................................................................................................68
3.2.2 Corrente elétrica ........................................................................................................................70
3.2.3 Resistência elétrica ...................................................................................................................71
3.3 Fontes de energia .......................................................................................................................................73
3.4 Potência e energia elétrica ......................................................................................................................75
3.5 Instrumentos de medidas ........................................................................................................................77
3.5.1 Classificação dos instrumentos de medidas elétricas .................................................77
3.5.2 Medição de corrente ................................................................................................................77
3.5.3 Medição de tensão ...................................................................................................................78
3.5.4 Medição da resistência ............................................................................................................79
3.5.5 Medição por meio de multímetro digital .........................................................................80
3.5.6 Osciloscópio ................................................................................................................................82
4 Lei de Ohm e Kirchhoff ...............................................................................................................................................87
4.1 Lei de Ohm ....................................................................................................................................................87
4.2 Associação dos resistores .........................................................................................................................89
4.3 Leis de Kirchhoff ..........................................................................................................................................91
4.3.1 Aplicação das leis de Kirchhoff para a determinação de intensidades de 
correntes e tensões em redes elétricas .......................................................................................93
5 Circuitos de corrente contínua ............................................................................................................................. 103
5.1 Circuitos série de corrente contínua ................................................................................................. 103
5.1.1 Cálculo da tensão na associação em série .................................................................... 103
5.1.2 Cálculo da resistência equivalente de associação em série ................................... 104
5.2 Circuito paralelo de corrente contínua ............................................................................................ 106
5.2.1 Resistência equivalente de associação paralela ......................................................... 107
5.2.2 Associação paralela de resistores de mesmo valor .................................................... 108
5.2.3 Associação paralela de dois resistores .......................................................................... 108
5.2.4 Divisores de tensão e corrente .......................................................................................... 109
5.2.5 Divisor de corrente ................................................................................................................ 109
5.3 Circuito misto ............................................................................................................................................ 110
5.4 Teorema da superposição ..................................................................................................................... 112
5.5 Teorema de Thévenin ............................................................................................................................. 115
5.6 Teorema de Norton ................................................................................................................................. 117
5.7 Circuitos corrente alternada ................................................................................................................ 120
5.7.1 Tensão e corrente alternada ............................................................................................... 121
5.7.2 Circuito resistivo puro .......................................................................................................... 124
5.7.3 Circuito indutivo puro .......................................................................................................... 125
5.7.4 Circuito capacitivo puro ...................................................................................................... 126
5.7.5 Ressonância ............................................................................................................................. 128
6 Indutores e capacitores ........................................................................................................................................... 131
6.1 Indutores ..................................................................................................................................................... 131
6.1.1 Indutância (L) ........................................................................................................................... 132
6.1.2 Associação de indutores ...................................................................................................... 133
6.2 Capacitores ................................................................................................................................................. 136
6.2.1 Capacitância ........................................................................................................................... 137
6.2.2 Associação de capacitores .................................................................................................. 137
6.2.3 Reatância capacitiva (XC) .................................................................................................... 139
6.2.4 Principais tipos de capacitores .......................................................................................... 140
7 Circuitos RLC em corrente alternada .................................................................................................................. 145
7.1 Circuitos RLC em CA ................................................................................................................................ 145
7.1.1 Associação RLC em série...................................................................................................... 145
7.1.2 Resolução de circuitos RLC ................................................................................................. 149
7.1.3 Impedância no circuito RLC em série .............................................................................. 151
7.1.4 Circuito RLC em paralelo .....................................................................................................154
7.1.5 Circuito RLC série na ressonância ..................................................................................... 157
8 Magnetismo, eletromagnetismo e transformadores ................................................................................... 163
8.1 Magnetismo e eletromagnetismo ..................................................................................................... 163
8.1.1 Campo magnético ................................................................................................................. 165
8.1.2 Eletromagnetismo ................................................................................................................. 166
8.1.3 Campo eletromagnético em espiras ............................................................................... 168
8.1.4 Força de atração eletromagnética em eletroimãs ..................................................... 171
8.2 Transformadores....................................................................................................................................... 173
8.2.1 Transformador monofásico ................................................................................................ 173
8.2.2 Transformadores com mais de uma bobina no primário e no secundário ....... 175
8.2.3 Transformador trifásico ........................................................................................................ 176
8.2.4 Autotransformador trifásico............................................................................................... 176
Referências ........................................................................................................................................................................ 179
Minicurrículo dos Autores ........................................................................................................................................... 180
Índice .................................................................................................................................................................................. 181
Nesta unidade curricular conheceremos os principais assuntos que contribuem para o desen-
volvimento das competências de um técnico em Automação Industrial, que proporcionará a aqui-
sição de fundamentos técnicos e científicos necessários à Automação Industrial, bem como capaci-
dades sociais, organizativas e metodológicas adequadas a diferentes situações profissionais.
Esta unidade curricular “Fundamentos da Eletrotécnica” permite aos alunos, por meio dos fundamen-
tos de eletroeletrônica aplicáveis aos sistemas de controle e automação, a construção de uma base con-
sistente que possibilite o desenvolvimento das competências profissionais do Técnico em Automação 
Industrial. Considera o desenvolvimento de fundamentos matemáticos, elétricos e eletrônicos. (DCN-DN)
Ainda nesta unidade curricular iremos reconhecer fundamentos de eletricidade aplicáveis 
aos sistemas de controle e automação. É importante identificar os tipos de instrumentos de 
teste. Aplicar fundamentos de eletricidade na medição de grandezas elétricas. E ainda, inter-
pretar representações gráficas aplicáveis aos sistemas automatizados de manufatura.
A seguir são descritos na matriz curricular os módulos e as unidades curriculares previstos 
e as respectivas cargas horárias.
Tabela 1: Técnico em Automação Industrial
Módulos denoMInAção unIdAdes CurrICulAres CArgA
HorárIA
CArgA HorárIA
Módulo
Módulo Básico Fundamentos Técnicos e 
Científicos
• Fundamentos da Comunicação 100 h
140 h
100 h
340 h
• Fundamentos da Eletrotécnica
• Fundamentos da Mecânica
Módulo 
Introdutório
Fundamentos Técnicos e 
Científicos
• Acionamento de Dispositivos 
Atuadores
• Processamento de Sinais
160 h
180 h
340 h
Específico I Manutenção e Implemen-
tação de Equipamentos e 
Dispositivos
• Gestão da Manutenção
• Implementação de Equipamentos 
Dispositivos
• Instrumentação e Controle
• Manutenção de Equipamentos e 
Dispositivos
34 h
136 h
102 h
68 h
340 h
Específico II Desenvolvimento de 
Sistemas de Controle e 
Automação
• Desenvolvimento de Sistemas de 
Controle
• Sistemas Lógicos Programáveis
• Técnicas de Controle
100 h
160 h
80 h
340 h
Fonte: SENAI 
Introdução
1
2
Conceitos
Para iniciarmos os estudos de Fundamentos de Eletrotécnica há a necessidade da compre-
ensão de alguns conhecimentos relativos aos fundamentos técnicos e científicos, são eles:
• Potência de base dez;
• Números decimais e fracionários;
• Múltiplos e submúltiplos;
• Conversão de base numérica;
• Resolução de sistemas lineares;
• Funções de 10 grau, 20 grau, exponencial, logarítmica e trigonométricas;
• Representação gráfica de funções;
• Relações trigonométricas.
2.1 PotênCIA de bASe dez
Potência de base dez é uma forma prática de representar e utilizar algebricamente quanti-
dades numéricas e também converter unidades de medidas maiores em unidades de medidas 
menores e vice-versa. A potência de base dez possui algumas propriedades que são utilizadas 
nestas conversões, são elas:
Propriedades:
• Multiplicação de potências = conserva a base e soma os expoentes.
 10m x 10n = 10(m+n) 
• Divisão de potências = conserva a base e diminui os expoentes. 
 10m : 10n = 10m / 10n = 10(m-n) 
• Potência de potências = conserva a base e multiplica os expoentes.
 (10m)n = 10(m.n)
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL22
Veja alguns exemplos destas propriedades:
102 x 103 = 10(2+3) = 105
103 : 102 = 10(3-2) = 101
(102)3 = 10(2x3) = 106
Compreenda, ainda, as seguintes propriedades:
• 100 = 1 
• 101 = 10
• 10-1 = 1/10
• 10-n = (10-1)n = 1 / 10n 
• 10n = 
 
10 x 10 x 10 x 10....... x 10 
nº de fatores
sendo n>0:
O “n” indica quantas vezes multiplicamos um número pela base dez. 
Assim:
1x100 =1x1=1
1x101 =1x10=10
1x102 =1x10 x 10=100
2x102 =2x10x10=200
sendo n<0:
O “n” indica quantas vezes dividimos um número pela base dez. Assim:
1x10-1 = 1 / 101 =1 / 10 =0,1
1x10-2 = 1 / 102 =1 / 10x10 =1/100=0,01
1x10-3 = 1 / 103 =1 / 10x10x10=1/1000=0,001
2.1.1 RepResentando quantidades numéRicas com potência de dez
Considere a necessidade de efetuar uma operação algébrica (soma, 
subtração, divisão ou multiplicação) com uma carga elétrica elementar, 
E=0,00000000000000000016 C (Coulomb). A utilização dessa quantidade na for-
ma como foi expressa é, na prática, inviável. Para viabilizar sua utilização, vamos 
reescrevê-la na forma de potência de dez. 
Assim: 0,00000000000000000016 C = 1,6x10-19 C.
2 CONCEITOS 23
Para representar numerais menores que a unidade (1) como numerais inteiros, 
devemos deslocar a casa decimal, ou seja, deslocar a vírgula para a direita, até ob-
ter uma casa de inteiros. A seguir, multiplicamos o número obtido por 10 elevado 
a uma potência negativa igual ao número de casas decimais deslocadas.
Observe:
0, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6
0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
>
deslocamos a vírgula 19 vezes para a direita 1,6
Agora, devemos multiplicar o numeral obtido (1,6) por 10, 10 elevado a 
uma potência negativa igual ao número de casas deslocadas (19). Fica, por-
tanto, 1,6x10-19.
Considere, agora, a distância percorrida pela luz durante um ano. Essa gran-
deza é denominada 1 ano-luz e equivale à distância de 94600000000000 metros. 
Para representar essa distância em metros com potência de dez, devemos des-
locar a casa decimal, ou seja, a vírgula para a esquerda, até obter uma casa de 
inteiros. A seguir, multiplicamos o número obtido por 10, elevado a uma potência 
igual ao número de casas deslocadas. 
Assim:
9 4 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
9, 4, 6, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
>
9,46 deslocamos a vírgula 13 vezes para a esquerda
Agora, multiplicamos o número obtido por 10, elevado a uma potência igual 
ao número de casas deslocadas. Fica, portanto, a distânciapercorrida pela luz du-
rante um ano, igual a 9,46x1013 metros. 
Para converter um número expresso como uma potência positiva de 10 num 
número decimal, deslocamos a casa decimal para a direita tantas casas ou posi-
ções quanto o valor do expoente.
Exemplos: 
3,14x102 = 314
234,16x106 = 234160000
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL24
Para converter um número expresso como uma potência negativa de 10 
num número decimal, deslocamos a vírgula para a esquerda tantas casas 
quanto o valor do expoente.
Exemplos:
567,67x10-2 = 5,6767
345,8x10-3 = 0,3458
2.1.2 opeRações aRitméticas com potências de dez
• Adição e subtração:
Para efetuar a adição de dois ou mais numerais expressos em potência de 10, 
somamos ou subtraímos os numerais conservando o expoente, quando estes fo-
rem iguais, conforme demonstrado no exemplo a seguir. 
Exemplos:
5x103 +15x103 = (5+15)x103 = 20x103
5x103 - 15x103 = (5-15)x103 = -10x103
Porém, quando os expoentes não são iguais, devemos ajustá-los ao mesmo ex-
poente antes de efetuar a adição, conforme é demonstrado no exemplo a seguir. 
Exemplo:
6x103 + 9x102 -> 60x102 + 9x102 = (60+9)x102 = 69x102
>
>
>
>
Observe que 6x103 = 60x102. Quando diminuímos em uma vez o expoente 
devemos aumentar uma casa decimal. 
• Multiplicação:
Para efetuar a multiplicação de dois ou mais numerais expressos em potência 
de 10, multiplicamos os coeficientes e somamos os expoentes. 
Exemplo:
8x102 x 4x105 = (8x4)(2+5) = 32x107
• divisão:
Para efetuar a divisão de dois ou mais numerais expressos em potência de 10, 
dividimos os coeficientes e subtraímos os expoentes. 
Exemplo:
8x105 ÷ 4x102 = (8÷4)(5-2) = 2x103
2 CONCEITOS 25
A divisão de dois ou mais numerais expressos em potência de 
10 resolveram, por exemplo, o problema de repartir grandes 
quantidades de terras em pedaços menores.
 SAIBA 
 MAIS
Vamos compreender melhor a importância do uso destes números.
2.2 númeroS frACIonárIoS e deCImAIS
Por muito tempo o ser humano utilizou apenas os números inteiros; porém, 
com o passar do tempo e a necessidade de efetuar medições, foi necessária a 
criação de outros tipos de números, surgindo, então, os números fracionários ou 
racionais. Eles resolveram o problema, de por exemplo, repartir grandes quanti-
dades de terras em pedaços menores. Vamos compreender melhor a importância 
do uso destes números.
2.2.1 númeRos fRacionáRios
Os numerais fracionários surgiram para facilitar a representação e a opera-
ção com os números não-inteiros utilizados no cotidiano. 
Quando dividimos a unidade (inteiro) em partes iguais e tomamos uma ou mais 
partes, estamos tomando uma fração da unidade. Fazendo uma analogia com uma 
pizza, ela inteira é a unidade, e cada pedaço cortado dela é uma fração da pizza.
Figura 1 - Pizza
Fonte: Autor
As frações são representadas pelo conjunto dos números racionais, represen-
tado pela letra Q. 
Definimos os números racionais como:
Q= { a
b a Є Z; b Є Z* }
Dos resultados acima temos, então, que:
 Q vem de “quotient” e significa quociente. 
 Z representa o conjunto dos números inteiros
 Z* representa o conjunto dos números inteiros excluindo o zero. 
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL26
No exemplo da pizza, dividimos a unidade em seis partes iguais e tomamos 
uma parte. O pedaço da pizza que tomamos é representado pela fração: a/b , 
onde: “a” é o “numerador” e “b” é o denominador. Numa fração, lemos em primeiro 
lugar o numerador e em segundo lugar o denominador. Quando o denominador 
é um número natural entre 2 e 9, devemos ler como: 2 = meio; 3 = terço; 4 = quar-
to; 5= quinto; 6 = sexto; 7 = sétimo; 8 = oitavo e 9 = nono.
Como exemplo temos: 1/6, neste caso lemos: “um sexto”. Porém quando o de-
nominador é maior do que 10, lemos o numeral, acompanhado da palavra “avos”.
Retomando o exemplo da pizza se fosse tamanho família, ela estaria dividida 
em 12 pedaços, ou seja, cada pedaço desta pizza seria representado como 1/12 e 
sendo assim, lemos “um doze avos”.
• Frações próprias: são as frações menores que a unidade.
Figura 2 - Frações prórias
Fonte: Autor
1 V Numerador Nas frações próprias, o numerador 
é menor que o denominador.2 V Denominador
• Frações impróprias: são frações maiores que a unidade.
Figura 3 - Frações imprórias
Fonte: Autor
7 Nas frações impróprias, o numerador 
é maior que o denominador.4
• Frações aparentes: são frações em que o numerador é sempre múltiplo do 
denominador.
Figura 4 - Frações aparentes
Fonte: Autor
12 As frações aparentes repre-
sentam inteiros.4
• Frações equivalentes: são frações que representam o mesmo valor.
Figura 5 - Frações equivalentes
Fonte: Autor
Para obtermos uma fração 
equivalente a outra, bas-
ta multiplicar ou dividir o 
numerador e o denominador 
pelo mesmo número.
2 CONCEITOS 27
• números mistos: são números que representam uma parte inteira e 
mais uma fração.
=
Figura 6 - Números mistos
Fonte: Autor
• extração de inteiros: é a representação de uma fração imprópria por um 
número misto. Sendo a fração imprópria 3
4 , representá-la com um número misto 
significa evidenciar a parte inteira e a parte fracionária. Para tanto, devemos divi-
dir o numerador pelo denominador. O quociente será a parte inteira. O resto será 
o numerador e conservamos o mesmo denominador.
Assim:
4 3
3 1 quociente
1 resto
1 inteiro , sobra 1 Dai: inteiro V 1 1 sobra
3 denominador
obtendo uma fração imprópria a partir de um número misto:
Multiplicamos a parte inteira pelo denominador e adicionamos o numerador 
ao produto obtido, mantendo o denominador.
Considere agora o número misto 1 1
3
1 x 3 + 1 = 4
parte inteira denominador numerador (numerador da fração)
Executando:
 Dai: 1 1
3 -> 4
3
Redução de frações ao mesmo denominador
Para reduzir duas os mais frações ao mesmo denominador, devemos efetuar 
três procedimentos:
1º Calcular o m.m.c. (mínimo múltiplo comum).
2º Dividir o m.m.c. pelos denominadores das frações dadas.
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL28
3º Multiplicar o quociente encontrado em cada divisão pelo numerador da res-
pectiva fração. O produto encontrado é o novo numerador.
Tendo as frações: 3
4 ; 1
2 ; 5
6
1º Determinação do m.m.c:
4 2 6 2
2 1 3 2
1 1 3 3
1 1 1 12
2º Divisão do mmc pelos respectivos denominadores:
12 ÷ 4 = 3
12 ÷ 2 = 6
12 ÷ 6 = 2
3º Multiplicação dos respectivos numeradores pelo quociente encontrado:
3x3
12 6x1
12 2x5
12 Ficando, então: 9
12 6
12 10
12
operação com frações
• Adição e subtração
Adição e subtração com o mesmo denominador: Adicionamos ou subtraímos 
os numeradores e mantemos o denominador. 
Assim: 7
8 + 5
8 = 12
8 ou 7
8 - 5
8 = 2
8
Adição e subtração de frações com denominadores diferentes: reduzimos as 
frações ao mesmo numerador calculando o mmc e procedemos, agora, à soma ou 
à subtração de frações com o mesmo denominador. 
Assim: 3
4 + 2
5 = 15
20 + 8
20 = 23
20 ou 3
4 - 2
5 = 15
20 - 8
20 = 7
20
• Multiplicação:
A multiplicação de frações é efetuada multiplicando os numeradores entre si e 
os denominadores entre si.
Assim: 5
6 x 7
4 = 35
24
Numa multiplicação de frações, costumamos simplificar os fatores comuns ao 
numerador e ao denominador antes de efetuá-la. Exemplo:
Simplificado
>
4
5
x 5
8
-> 4
5
x 5
8
-> 4
1
x 1
8
= 4
8
= 1
2
2 CONCEITOS 29
• Divisão de frações:
A divisão de duas frações é efetuada multiplicando a primeira fração pela fra-
ção inversa da segunda.
Alguns procedimentos devem ser observados:
1º Transformar os números mistos em frações impróprias, se for o caso.
2º Transformar os números inteiros em frações aparentes, se for o caso.
3º Simplificar.
4º Multiplicar os numeradores e os denominadores entre si.
5º Extrair os inteiros.
Exemplo: 4
7 3
5 = 4
7 x 5
3 = 20
21
 3
4 5
7 = 3
4 x 7
5 = 21
20 = 1 1
20
2.2.2 númeRos decimais
Os numerais decimais surgiram da necessidade de efetuar operações aritméti-
cas por meio de números inteiros sem o uso de frações. O método foi desenvolvi-
do por Simon Stevin(1548-1620), matemático e engenheiro holandês.
Os números decimais têm origem nas frações decimais. Como por exemplo: 
A fração 1
2 dá origem ao numeral decimal 0,5.
casa decimal:
Casa decimal é a posição que um algarismo (signo gráfico que representa um núme-
ro) ocupa após a vírgula. A vírgula separa a parte inteira da parte fracionária do número.
Tabela 2: nomenclatura das casas decimais
VAlor noMe CAsAs deCIMAIs
1x10-1 décimo 1
1x10-2 centésimo 2
1x10-3 milésimo 3
1x10-4 décimo de milésimo 4
1x10-5 centésimo de milésimo 5
1x10-6 milionésimo 6
1x10-7 décimo de milionésimo 7
1x10-8 centésimo de milionésimo 8
1x10-9 bilionésimo 9
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL30
CONTINUAçãO TABELA 2: Nomenclatura das casas decimais
VAlor noMe CAsAs deCIMAIs
1x10-10 décimo de bilionésimo 10
1x10-11 centésimo de bilionésimo 11
1x10-12 trilionésimo 12
1x10-13 décimo de trilionésimo 13
1x10-14 centésimo de trilionésimo 14
1x10-15 quatrilhonésimo 15
1x10-16 décimo de quatrilhonésimo 16
1x10-17 centésimo de quatrilhonésimo 17
1x10-18 quintilhonésimo 18
1x10-19 décimo de quintilhonésimo 19
1x10-20 centésimo de quintilhonésimo 20
Fonte: Autor
Decimais Infinitos
Também chamados de dízima periódica, apresentam repetição de algarísmos.
Exemplo: 
2,222222222222...
Representação:
InTeIros FrACIonAdos
Classe dos milhões Classe dos milhares Classe das unidades
décimo centésimos milésimos
c d u c d u c d u
c: centena d: dezena u: unidade
Figura 7 - Decimais infinitos inteiros
Fonte: Autor
Para separar as classes dos inteiros usamos o ponto, e para separar a parte in-
teira da parte fracionária usamos a vígula.
Exemplo:
 
Figura 8 - Decimais infinitos fracionários
Fonte: Autor
2 CONCEITOS 31
operações com números decimais
• Adição e subtração
Para adicionar números decimais, devemos posicionar o número inteiro 
abaixo de número inteiro, vírgula abaixo de vírgula e casa decimal abaixo de 
casa decimal.
Exemplos:
Somando os números:
3, 456 <- três casas decimais 3, 456
+ 20, 12 <- duas casas decimais + 20, 12 acertando a posição da virgula
23, 576 23, 576
Subtraindo os números:
33, 456 <- três casas decimais 33, 456
- 20, 12 <- duas casas decimais - 20, 12 acertando a posição da virgula
13, 336 13, 336
• Multiplicação e divisão
Para multiplicar números decimais, multiplicamos os números decimais 
como se fossem naturais e no produto colocamos a vírgula contando da di-
reita para a esquerda um número de casas decimais igual à soma das casas 
decimais dos fatores.
Exemplo:
3,456 x 20,12
3, 456 <- três casas decimais
- 20, 12 <- duas casas decimais
69,53472 <- cinco casas decimais
Para multiplicar um número decimal por 10,100,1000,.... deslocamos a vírgula 
para a direita tantas casas quantos forem os zeros do multiplicador.
Exemplo: 2,35x100 = 235
Para dividir um número decimal por 10,100,1000,.... deslocamos a vírgula no 
dividendo para a esquerda tantas casas quantos forem os zeros do divisor.
Exemplo: 67,789 ÷ 10 = 6,7789
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL32
2.3 múLtIPLoS e SubmúLtIPLoS
Em 1795 foi introduzido na França o Sistema Métrico Decimal que, por sua ra-
cionalidade, logo se espalhou por todo o mundo. Vários sistemas foram utilizados 
desde então, a exemplo do Metro-Quilograma-Segundo (MKS) e do Centímetro-
-Grama-Segundo (CGS), que usavam as bases do sistema métrico decimal, até 
que em 1960, durante a 11ª Conferência de Pesos e Medidas realizada em Paris, 
foi formulado um novo sistema baseado também do Sistema Métrico Decimal, 
ao qual se denominou Sistema Internacional de Unidades (SI). Este Sistema passa 
por revisões periódicas.
Até meados do século XVIII, as unidades de medida eram 
arbitrárias, variando de um país para outro, o que trazia 
enormes transtornos nas conversões. Por causa disso, os 
cientistas propuseram unidades de medida universais.
 VOCÊ 
 SABIA?
2.3.1 caRacteRísticas do sistema métRico decimal
O sistema métrico é de base decimal e apresenta múltiplos e submúltiplos, ra-
cionalmente escolhidos, utilizando prefixos gregos e latinos, segundo potências 
de dez, conforme demonstrado no quadro a seguir:
Tabela 3: Múltiplos e submúltiplos do sistema métrico
Valores Prefixos Símbolos Valores Prefixos Símbolos
1018 exa E 100 1 unidade 
fundamental
1015 peta P 10-1 deci d
1012 tera T 10-2 centi c
109 giga G 10-3 mili m
106 mega M 10-6 micro μ
103 quilo k 10-9 nano n
102 hecto h 10-12 pico p
101 deca d 10-15 femto f
100 1 unidade 
fundamental
10-18 atto a
Fonte: Autor
2.3.2 pRefixos métRicos
Em eletricidade básica algumas unidades de medidas podem ser ou muito 
pequenas ou muito grandes para serem expressas. Por exemplo: no caso de resis-
tência frequentemente são utilizados valores de resistência da ordem de milhares 
de ohms. O prefixo “k” (quilo) é uma forma conveniente de se representar mil, 
assim como o prefixo “M” (mega), milhão. 
2 CONCEITOS 33
Dessa forma, um resistor de 12.000 Ω (ohm: unidade de medida para resistência 
elétrica) pode ser representado, convenientemente, por 12k Ω (doze quiloohm), e 
um resistor de 1.000.000 de ohms pode ser representado por 1M Ω (um megaohm). 
Os prefixos “kilo” e mega referem-se aos múltiplos da unidade fundamental.
No caso da corrente elétrica, é muito frequente a utilização de milésimos ou 
milionésimos de ampères (A = unidade de medida de intensidade de corrente 
elétrica). Assim, uma corrente de 0,001A pode ser representada por 1 mA (miliam-
père), que é um submúltiplo da unidade fundamental, enquanto uma corrente de 
0,000002 A pode ser representada por 2 μA (microampères).
Veja a seguir alguns exemplos do uso destes prefixos nas conversões:
Tabela 4: Prefixos de conversões
12.500 Ω 12,5k Ω ou 12k5 Ω
4.700.000 Ω 4,7M Ω ou 4M7 Ω
35.000 V 35 kV
1.500 V 1,5 kV
0,0034 A 3,4 mA
200m A 0,2 A
14.000 μA 0,014 A ou 14mA
2.200 W 2,2 kW
Fonte: Autor
Frequentemente é necessário converter uma unidade de medida maior em 
outra menor ou vice-e-versa, principalmente quando desejamos efetuar opera-
ções como soma e subtração.
Assim, para somar 0,23 V (V (volt) = unidade de medida de tensão elétrica) com 
2 mV, é necessário que as unidades de medidas sejam iguais, ou V (volt) ou mV 
(milivolt), ou seja necessitamos igualar as unidades de medida. E para tal deve-
mos fazer com que 0,23 V se transforme em 230 mV.
Logo: 230 mV + 2 mV = 232 mV ou, ainda, podemos transformar 2 mV em 
0,002V, neste caso temos: 0,23 V + 0,002 V = 0,232 V.
 FIQUE 
 ALERTA
Quando o deslocamento no sentido vertical for para cima, 
desloque a vírgula para a esquerda.
Quando o deslocamento no sentido vertical for para baixo, 
desloque a vírgula para a direita.
Considere sempre a unidade fundamental (UF) = 100.
Lembre-se de que qualquer número inteiro pode ser 
mentalizado como um número precedido de uma vírgula e 
zeros, em conformidade com a aproximação desejada.
Vejamos os exemplos de conversão de unidades a seguir:
• Converter 12.000 mV em V (volt):
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL34
Analisando a Tabela 4, anterior, verificamos que, para converter 12.000 mV 
para V (volt), o deslocamento no sentido vertical ocorre para cima. Isto significa 
que devemos deslocar a vírgula para a esquerda. Mas, quantas casas devemos 
deslocar à esquerda? A diferença entre os expoentes do mV (10-3) para a unidade 
fundamental (100) é 3. Logo, deverão ser deslocadas três casas à esquerda.
Assim: 12.000 mV = 12V
Levando em conta que 12.000 pode ser escrito como 12.000,00... e deslocando 
a vírgula 3 casas à esquerda, teremos então 12,000, que é representado por 12.
• Converter 4.500V em kV (kilovolt):
Neste caso, o deslocamento vertical também é para cima e por isso a vírgu-
la deve ser deslocada à esquerda. A diferença entre os expoentes também é 3. 
Logo: 4.500V = 4,5kV.
• Um resistor de 33.000 Ω pode ser representado como 33x(1x103) onde na base 
10, o expoente 3 faz o deslocamento em três casas, sendo assim: 33.000 Ω = 33k Ω.
2.4 ConverSão de bASe numérICA
Na grande maioria das vezes, ao ouvirmos a palavra“números”, a associamos 
ao sistema decimal, porque é com ele que estamos acostumados a operar. O sis-
tema decimal está fundamentado em algumas regras que são base para qualquer 
outro sistema. Sendo assim, é importante estudar estas regras e aplicá-las aos sis-
temas de numeração binária, decimal e hexadecimal.
Uma das regras demonstra que um dígito (numeral) no sistema decimal (base 
10) tem dois significados: um é o valor propriamente dito do dígito, e o outro está 
relacionado com a posição do dígito no número (peso). 
Vamos compreender melhor com o seguinte exemplo:
O numeral 7 no número 70 corresponde a sete dezenas, ou seja 7 x 10, de-
vido à posição que ele ocupa no número. Este princípio é aplicável a qualquer 
sistema de numeração onde os dígitos possuem “pesos” determinados por seu 
posicionamento. Sendo assim, um sistema de numeração genérico pode ser 
expresso da seguinte maneira:
N = dn . Bn + . . . + d3. B3 + d2. B2 + d1 . B1 + d0 . B0
Onde:
N = representação do número na base B
dn = dígito na posição n
B = base do sistema utilizado
n = valor posicional do dígito.
2 CONCEITOS 35
Veja como o número 1587 fica representado no sistema decimal:
N = d3 . B3 + d2 . B2 + d1 . B1 + d0 . B0
1587 = 1 . 103 + 5 . 102 + 8 . 101 + 7 . 100
1000 + 500 + 80 + 7
2.4.1 sistema de numeRação bináRio
O sistema binário utiliza dois dígitos (base 2) para representar qualquer quan-
tidade. De acordo com a definição de um sistema de numeração qualquer, o nú-
mero binário 1101 pode ser representado da seguinte forma:
1101 = 1 . 23 + 1 . 22 + 0 . 21 + 1 . 20
1101 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13
Note que os índices foram especificados em notação decimal, o que possibilita a con-
versão binária-decimal como descrito acima. Através do exemplo anterior, podemos no-
tar que a quantidade de numerais necessária para representar um número qualquer, no 
sistema binário, é muito maior quando comparada ao sistema decimal. A grande vanta-
gem do sistema binário reside no fato de que, possuindo apenas dois dígitos, eles são fa-
cilmente representados por uma chave aberta e uma chave fechada, ou um relé ativado 
e um relé desativado, ou um transistor saturado e um transistor cortado; o que torna sim-
ples a implementação de sistemas digitais mecânicos, eletromecânicos ou eletrônicos. 
Em sistemas eletrônicos, o dígito binário (0 ou 1) é chamado de BIT, enquanto 
um conjunto de 8 bits é denominado BYTE.
2.4.2 conveRsão bináRio decimal
A conversão de um número do sistema binário para o sistema decimal é efe-
tuada simplesmente adicionando os pesos dos dígitos binários 1, como mostra-
mos os exemplos a seguir:
Solução:
a) 11010 = 1 . 24 + 1 . 23 + 0 . 22 + 1 . 21 + 0 . 20
 11010 = 16 + 8 + 0 + 2 + 0
 11010 = 26 (D)
b) 1100100 = 1 . 26 + 1 . 25 + 0 . 24 + 0 . 23 + 1 . 22 + 0 . 21 + 0 . 20
 1100100 = 64 + 32 + 0 + 0 + 4 + 0 + 0
 1100100 = 100 (D)
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL36
2.4.3 conveRsão decimal bináRio
Para converter um número decimal em binário, dividimos sucessivamente o 
número decimal por 2 (base do sistema binário), até que o último quociente seja 
1. Os restos obtidos das divisões e o último quociente compõem um número bi-
nário equivalente, como mostra o exemplo a seguir.
Exemplo: Converter os seguintes números decimais em binário:
Figura 9 - Conversão decimal binário
Fonte: Autor
2.4.4 sistema de numeRação hexadecimal
O sistema hexadecimal, ou sistema de base 16, é largamente utilizado nos compu-
tadores de grande porte e em vários microcomputadores. Neles são utilizados 16 sím-
bolos para representar cada um dos dígitos hexadecimais, conforme a tabela a seguir:
Tabela 5: dígitos hexadecimais
nº deCIMAl dÍgITo HeXAdeCIMAl nº BInárIo
Decimal Hexa Binário
0 0 0000
1 1 0001
2 2 0010
3 3 0011
4 4 0100
5 5 0101
6 6 0110
7 7 0111
8 8 1000
9 9 1001
10 A 1010
11 B 1011
12 C 1100
13 D 1101
14 E 1110
15 F 1111
Fonte: Autor
2 CONCEITOS 37
Note que as letras A, B, C, D, E, F representam dígitos associados às quantida-
des 10, 11, 12,13, 14, 15, respectivamente.
2.4.5 conveRsão de hexadecimal paRa decimal
Novamente aplicamos a Tabela 2 para o sistema hexadecimal a definição de 
um sistema de numeração qualquer. Assim, temos:
N = d3.163 + d2.162 + d1.161 + d0.160
Para efetuar a conversão, basta adicionar os membros da segunda parcela da 
igualdade, como ilustrado nos exemplos a seguir:
Converter em decimal os seguintes números hexadecimais:
a) 23 (H) = 2 . 161 + 3 . 160
 23 (H) = 2 . 16 + 3 . 1
 23 (H) = 32 + 3
 23 (H) = 35(D)
b) 3B (H) = 3 . 161 + B . 160
 3B (H) = 3 . 16 + B . 1
 3B (H) = 48 + 11
 3B (H) = 59 (D)
Observe que o dígito hexadecimal “B”, no exemplo (b), equivale ao número 11 
decimal, como indica na Tabela 2.
2.4.6 conveRsão de decimal paRa hexadecimal
A conversão decimal hexadecimal é efetuada através das divisões sucessivas 
do número decimal por 16, como demonstrado no exemplo a seguir.
Exemplo: Converter os seguintes números decimais em hexadecimal:
Figura 10 - Conversão decimal hexadecimal
Fonte: Autor
2.5 SIStemA LIneAr
Sistema linear é um método algébrico para solucionar equações matemáticas 
com duas ou mais variáveis.
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL38
2.5.1 classificação dos sistemas lineaRes
Os sistemas lineares são classificados, quanto ao número de soluções, 
da seguinte forma:
Sistema 
linear
Possível ou compatível
quando admite solução
Determinado
Admite uma única solução
Indeterminado
Admite infinitas soluções
Impossível ou incompatível
quando não admite solução
2.5.2 equação lineaR
Toda equação da forma a1x1 + a2x2 + ... + axxx = b é denominada equação 
linear, em que:
a1, a2, ..., an são coeficientes.
x1, x2, ..., xn são as incógnitas.
b é um termo independente.
Exemplo:
a) 2x1 - 3x2 + x3 = 5 é uma equação linear de três incógnitas.
b) x + y - z + t = 1 é uma equação linear de quatro incógnitas.
 FIQUE 
 ALERTA
Quando o termo independente “b” for igual a zero, 
a equação linear será denominada equação linear 
homogênea. Exemplo: 5x+y = 0 .
Uma equação linear não apresenta termos da forma 
x2, x3, x5,1 2 3 etc.; isto é, cada termo da equação tem uma única 
incógnita cujo expoente é sempre 1.
As equações 3x1 + 2x2 = -32 e 4x.y + z = 2 não são lineares.
A solução de uma equação linear a “n” incógnitas é a sequência 
de números reais a que, colocados respectivamente no lugar 
de x1, x2, ..., xn, tornam verdadeira a igualdade dada.
Uma solução evidente da equação linear homogênea 3x + 
y = 0 é (0,0). 
Exemplos:
1) Dada a equação linear 4x - y + z = 2, encontre uma de suas soluções.
Resolução: Vamos atribuir valores arbitrários a x e y e obter o valor de z.
2 CONCEITOS 39
x = 2 4.2 - 0 + z = 2
V
y = 0 z = -6
Resposta: Uma das soluções é a tripla ordenada (2, 0, -6).
2) Dada a equação 3x - 2y = 5, determine a para que a dupla (-1, a ) seja a solução 
da equação.
Resolução: 
(-1, a) V
x = -1
V
y = a
3.(-1) - 2 a = 5
-3 - 2 a = 5
-2 a = 8 -> a = -4
Resposta: a = – 4
2.5.3 sistema lineaR com solução poR matRizes
Denominamos sistema linear de m equações nas n incógnitas x1, x2, ..., xX todo 
sistema da forma: 
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
... V a11, a12, ..., a1n, b1, b2, ..., bn são números reais.
...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bn
Se o conjunto ordenado de números reais a satisfizer todas as equações do 
sistema, será denominado solução do sistema linear.
observações:
Se o termo independente de todas as equações do sistema for nulo, isto é, 
b1 = b2 = ... = bn, o sistema linear será dito homogêneo. Veja o exemplo: 
2x + y - z = 0
x + y + 4z = 0
5x - 2y + 3z = 0
Uma solução evidente do sistema linear homogêneo é x = y = z = 0.
Esta solução chama-se solução trivial do sistema homogêneo. Se o sistema ho-
mogêneo admitir outra solução em que as incógnitas não forem todas nulas, asolução será chamada de solução não trivial.
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL40
Se dois sistemas lineares, S1 e S2, admitem a mesma solução, eles são ditos sis-
temas equivalentes. Veja o exemplo:
S1:
x + 3y = -5
V S1 = {(1,-2)} S2: 
3x + y = 2
2
V S2 = {(1,-2)}
2x - y = 4
-x + y = -1
3
Como os sistemas admitem a mesma solução {(1, -2)}, S1 e S2 são equivalentes.
Dentre suas variadas aplicações, as matrizes são utilizadas na resolução de um 
sistema de equações lineares por ser um processo mais adequado.
Retomando o sistema linear especificado, temos:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
...
...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bn
Utilizando matrizes, podemos representar este sistema da seguinte forma:
a11 a12 ... a1n
.
x1
=
b1
a21 a22 ... a2n x2 b2
... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ...
am1 am2 ... amn xn bn
v v v
matriz constituída pelos 
coeficientes das incógnitas
matriz coluna consti-
tuída pelas incógnitas
matriz coluna dos ter-
mos independentes
Observe que, se você efetuar a multiplicação das matrizes indicadas, obterá 
a solução do sistema apresentado. Se a matriz constituída pelos coeficientes das 
incógnitas for quadrada, seu determinante será o principal do sistema.
Exemplo:
Seja o sistema: 
2x1 + 5x2 - x3 = 0
4x1 - 3x2 + 6x3 = -1
7x1 + x2 - 2x3 = 8
Ele pode ser representado por meio de matrizes da seguinte forma:
2 CONCEITOS 41
2 5 -1 x1
=
0
4 -3 6 x2 -1
7 1 -2 x3 8
2.6 funçõeS de 1º grAu, 2º grAu, exPonenCIAL, LogArítmICA e 
trIgonométrICAS
As funções são importantes como modelos de fenômenos naturais.
2.6.1 função de 1º gRau
A função linear é determinada pela expressão y = A.x + B. As variáveis “x” e 
“y” têm domínio no conjunto dos números reais r. As constantes A e B são os 
coeficientes da função. A variável y é a variável dependente; ou seja, o valor de y 
depende do valor atribuído a x. Então, dizemos que y é função de x. 
O conjunto de valores conferidos a x deve ser chamado de domínio da função, 
e os valores determinados de y formam o conjunto imagem da função. O gráfico 
de uma função linear é uma reta; isto significa que a variável dependente y tem 
variação constante, dada pelo valor do coeficiente A. Veremos que a relação linear 
entre duas variáveis tem muita aplicabilidade em modelos eletrônicos. 
Exemplos:
A>0, função crescente A<0, funções decrescente
Figura 11 - Função de 1º grau
Fonte: Autor
O valor do coeficiente A indica se a função é crescente ou decrescente, e o va-
lor de b indica o ponto de intersecção da função com o eixo y do plano cartesiano.
Aplicações:
A) Considere: y= 2x + 5, x Є R.
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL42
A partir da expressão, podemos construir uma tabela com os valores de 
y em função de x. Observe que o coeficiente A é positivo; portanto, y cresce 
com x (função crescente).
x 0 1 2 3
Y = 2x + 5 5 7 9 11
Graficamente teremos:
y
x
Figura 12 - Função de 1º grau - 1
Fonte: Autor
B) Considere: y = -2x + 5, x Є R.
Observe que o coeficiente A é negativo; portanto, y decresce com x 
(função decrescente).
x 0 1 2 3
Y = -2x + 5 5 3 1 -1
Graficamente teremos:
y
x
Figura 13 - Função de 1º grau - 2
Fonte: Autor
casos particulares da função linear
1) A = 0
Com A = 0, a equação y = A.x + B fica reduzida a y = B. A função y = B recebe o 
nome de função constante. Observe que o valor de y não varia com o aumento de x.
Exemplo: Considere: y = 5
x 0 1 2 3
5 5 5 5 5
2 CONCEITOS 43
Graficamente teremos:
y
x
Figura 14 - Função de 1º grau - 3
Fonte: Autor
2) B = 0
Se B = 0, a equação y = A.x + B fica reduzida a y = A.x. Seu gráfico é uma reta 
pela origem.
Exemplo: y = 2x
x 0 1 2 3
Y 0 2 4 6
Graficamente teremos:
y
x
Figura 15 - Função de 1º grau - 4
Fonte: Autor
2.6.2 função de 2º gRau
A função de 2º grau, também chamada de quadrática, é obtida pela expressão 
y = A.x2 + B.x + C, com domínio em R, sendo A, B e C números reais e A≠0. O gráfico 
da função quadrática é uma parábola que tem concavidade voltada para cima caso A 
seja positivo, e concavidade para baixo caso A seja negativo, como representado abaixo:
y = +x2 -2x -3 y = -x2 +2x +3
Figura 16 - Função de 2º grau
Fonte: Autor
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL44
O ponto v representado nas figuras 1 e 2 é o vértice da parábola. A pa-
rábola apresenta uma simetria em relação à reta que passa pelo vértice e é 
perpendicular ao eixo x.
Para representar graficamente uma função de 2º grau precisamos deter-
minar as intersecções da parábola com o eixo x, sua intersecção com o eixo 
y e o seu vértice.
determinação das intersecções com o eixo x
Para determinar os cruzamentos com o eixo x devemos fazer y = 0. Tomemos 
como exemplo a função de 2º grau: y = x2 – 2x -3.
Fazendo y = 0, obtemos a equação de 2º grau: 0 = x2 -2x – 3.
Para determinar os valores que x pode assumir para fazer y=0, usaremos a fór-
mula de Báskara:
Δ = B2 - 4AC x = -B
+
2A
2
- Δ
Efetuando o equacionamento, determinaremos que a parábola cruza o eixo x 
nos pontos (-2,0) e (3,0).
Os pontos (-2,0) e (3,0) são ditos raízes da função.
determinação da intersecção com o eixo y
O cruzamento com o eixo y é determinado quando fazemos x = 0. Tomando 
como exemplo a função de 2º grau y = x2 -2x -3, temos: y = 02 -2x0 -3.
Fica: y = -3
Então a parábola cruza o eixo y no ponto (0,-3).
determinação do vértice e eixo de simetria
O vértice da parábola tem coordenadas:
Abscissa: Ordenada:
x = -B2A y = 
4A
- Δ
Para o exemplo dado, temos: V = (1,-4) .
O eixo de simetria passa por x= 1
2 CONCEITOS 45
Representação gráfica:
Figura 17 - Vértice e eixo de simetria
Fonte: Autor
2.6.3 função exponencial
O circuito abaixo simula o acionamento de LEDs que é um diodo emissor de luz 
que estudaremos em outra unidade curricular - processamentos de sinais. O número 
de possibilidades distintas de acionamento é dado em função do número de LEDs.
1 LED V 21 = duas possibilidades de acionamento.
2 LED V 22 = quatro possibilidades de acionamento, (figura abaixo).
3 LED V 23 = oito possibilidades de acionamento.
Figura 18 - Sistema com 2 LEDs
Fonte: Autor
Podemos então escrever: f(n)=22 ou y = 2n, com n = 1,2,... A expressão y = 2n é uma fun-
ção exponencial, onde y é o número de possibilidades e é função de n, número de LEDs.
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL46
2.6.4 pRopRiedades de potenciação
Dados a e b reais e m e n naturais, são verificadas as seguintes propriedades:
am x an = am+n
am
 = am-n
an
(ab)m = am x bm
( a )m= a
m
b bm (para b≠0)
(am)n = am.n
a0 = 1
a-n = 1
an (para a≠0)
n
1
aa = n
n
m
a ama =( )m = n n com sendo Real positivo e m, n = 1,2,3,....
2.6.5 equações exponenciais
Equações exponenciais são aquelas em que a incógnita aparece nos expoen-
tes. O equacionamento consiste em reduzir os membros da equação a potências 
de mesma base a (a>0, a≠1).
Exemplo de aplicação:
5x-1 = 125 solução: 5x-1 = 53 V x – 1 = 3 V x = 4
São vários os fenômenos naturais e as aplicações cotidianas que têm equacio-
namento exponencial.
2.6.6 função logaRítmica
O termo logaritmo vem do grego: logos = razão e arithmos = número.
A função logarítmica é o modelo adequado para estudar e explicar muitos fe-
nômenos naturais. 
Os logarítmicos são utilizados, também, em equacionamentos 
matemáticos em que não é possível resolver equacionamentos 
exponenciais por simples igualdade de potências.
 VOCÊ 
 SABIA?
A função logarítmica é definida como sendo a função g que associa a cada nú-
mero real x>0, o número real loga x, com domínio em R+ (Reais positivos, excluído 
o zero) e imagem em r(Reais).
*
2 CONCEITOS 47
Exemplos:
g(x) = log2 x g(x) = log1/2 x
O gráfico da função logarítmica é uma hipérbole, conforme demonstrado nas 
figuras a seguir:
Figura 19 - Gráfico da função logarítmica
Fonte: Autor
Fique atento para as informações a seguir:
• O gráfico da função logarítmica passa sempre pelo ponto (1,0).
• O gráfico nunca toca o eixo y e não ocupa pontos dos quadrantes II e III.
• Quando a base (a) é maiorque um, a função logarítmica é crescente.
• Quando a base (a) é maior que zero e menor que um, a função logarít-
mica é decrescente.
Definição de logaritmo de um número
Denomina-se logarítmo de um número a, na base b, o número real c que deve 
ser o expoente de b para que a potência seja igual ao número a.
Ou seja:
logb a = c V
V bc = a com a > 0, b > 0, b ≠ 1;
Onde: c: logaritmo;
 b: base do logaritmo;
 a: logaritmando.
Veja alguns exemplos de aplicação:
• Vamos calcular o logaritmo de 81 na base 3. 
Log381 = x
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL48
Para calcularmos devemos fatorar o número 81:
81 3
0 27 3
0 9 3
0 3 3
0 1
Assim, podemos escrever que 81 = 34
Lembrando que: logb a = c V
V bc = a ; 
Então: 3x = 81
Daí: 3x = 34
Donde: x = 4
Logo, log3 81 = 4.
Veja este segundo exemplo: Determinar o valor de log 3 31
9
log 3 3 = log ( 31. 3 ) = log 3 =1
9
1
2 3
4
-2
3
-2
3
3
2
Usando as propriedades anteriores { log ba = c bc = a }
1
9b= a= 3 3 3
4c=
9
13/4
 = -0,75
Para que possamos efetuar alguns cáculos de logarítimos existem algumas 
propriedades que são aplicadas, veja:
Propriedades dos logarítmos
1ª loga1 = 0
2ª loga a = 1
3ª loga a
n = n
4ª alog
a
 N = N, com N>0
5ª loga X= loga Y V
V X = Y
6ª loga (M.N)= loga M+ loga N
7ª loga 
M
N = loga M- loga N
8ª loga M
N = N . loga M
9ª loga M = loga M
N = 1 . loga MN
1
N
10ª logb N = 
loga N
loga b
2 CONCEITOS 49
Exemplos nos quais podemos aplicar funções logarítmicas: 
Na economia, resolvendo a equação C = C0(1+r)n, onde C 
o capital montante futuro resultante de um investimento 
inicial C0, com taxas de juros de r% em cada período de 
tempo contratado, passados n desses períodos.
Na arqueologia, para datar achados arqueológicos através do 
método do carbono 14(C14). Os arqueólogos usam a equação: 
N(t) = N0.e(-kt), onde N(t) é a quantidade de C14 presente numa 
amostra no instante t e N0 a quantidade de C14 presente no 
instante t=0, k é a constante de desintegração radioativa de 
C14 e a quantidade e é o número de Euler e vale 2,718.
Na construção de escalas para fenômenos naturais. A escala 
Ritcher, chamada assim em homenagem ao sismólogo 
americano Charles F. Ritcher, baseia a medida da magnitude 
de um terremoto numa escala logarítmica de base 10. 
Na engenharia, como modelo matemático de funcionamento 
de componentes e circuitos. Os 
potenciômetros logarítmicos são elementos 
de circuitos eletrônicos que variam sua 
resistência elétrica numa escala logarítmica, 
também de base dez.
Figura 20 - Potenciômetro logarítmico
Fonte: Autor
 SAIBA 
 MAIS
2.6.7 tRigonometRia básica
A palavra trigonometria vem do grego e significa medida (metria) em tri-
ângulos (trigon).
Figura 21 - Trigonometia básica arco
Fonte: Autor
ARCO é uma parte da circunferência determi-
nada por dois de seus pontos.
Figura 22 - Trigonometia básica ângulo
Fonte: Autor
ÂNGULO é uma abertura determinada pelo 
arco de uma circunferência.
O arco AB determina o ângulo AôB.
Usamos duas unidades para determinar arcos e ângulos:
Grau: um grau (1º) é a 1
360 parte de uma circunferência.
Radiano: Um radiano (1rad) é determinado por um arco cujo comprimento é 
igual ao comprimento do raio da circunferência que contém esse arco.
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL50
0 r
Figura 23 - Trigonometia básica
Fonte: Autor
“Esticando” o arco AB , sendo seu comprimento 
igual ao segmento 0A , como 0A =r. Então, a medi-
da do arco AB é um radiano.
Anotamos assim: AB = 1 rad
O comprimento da circunferência (C) é dado por C= 2πr, sendo o raio da circunfe-
rência r = 1 rad. Então a medida do comprimento da circunferência em radianos fica 
C = 2π rad. Como a circunferência tem 360 graus (360º), podemos escrever a relação:
2π rad = 360º
Essa relação possibilita a conversão de radianos em graus e vice-versa.
Como exemplo, vamos converter 30º em radianos.
Como 2π rad V 360º,
então 2π rad V 360º,
 x V 30º.
Fazendo: 30º . 2π rad = x . 360º
Determinando x, teremos: x = 
(30º . 2π rad)
360º
Fica: x = 
(30º . 2π rad)
360º
 e x = 
(60π rad)
360
Simplificando: x = 
(60π rad)
360
Finalmente: x = π
6
 rad.
Relação do comprimento de um arco com o ângulo determinado
Na circunferência abaixo, o arco S determina o ângulo a, a relação algébrica 
entre o comprimento do arco S e o ângulo a é dada por: S = a . R.
Figura 24 - Arco com o ângulo determindado
Fonte: Autor
2 CONCEITOS 51
Teorema de Pitágoras:
O “teorema de Pitágoras” trabalha apenas com os lados do triângulo, não en-
volvendo os ângulos. 
c2= a2 + b2
Figura 25 - Pitágoras
Fonte: Autor
Exemplos:
a = cateto oposto
b = cateto adjacente
c = hipotenusa
2.7 rePreSentAção gráfICA de funçõeS
As funções podem ser representadas geometricamente por gráficos. An-
tes de vermos as representações das funções, é importante recapitular o que 
é o ciclo trigonométrico.
ciclo tRigonométRico
Denomina-se ciclo trigonométrico a circunferência orientada de raio 1 na qual 
o sentido positivo é o anti-horário. No ciclo trigonométrico abaixo, as coordena-
das cartesianas x e y determinam quatro quadrantes com origem no ponto A. 
em graus em radianos
Figura 26 - Ciclo trigonométrico
Fonte: Autor
2.7.1 função seno
Y = sen X
No ciclo trigonométrico abaixo, definimos como seno do ângulo x determi-
nado pelo arco AP como sendo a medida do segmento de reta orientado OY1 . 
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL52
no ciclo trigonometrico no triângulo retângulo
Notação: sen x = OY1 
sen = cateto oposto
hipotenusa
ou
sen = a
c
Figura 27 - Função seno
Fonte: Autor
valores notáveis do seno
Figura 28 - Valores notáveis do seno
Fonte: Autor
O conjunto imagem da função seno y = sen x é o intervalo [-1, 1].
Gráfico da função seno: senóide.
Figura 29 - Gráfico da função seno
Fonte: Autor
2.7.2 função cosseno
y = cos x
No ciclo trigonométrico abaixo, definimos como cosseno do ângulo x determi-
nado pelo arco AP como sendo a medida do segmento de reta orientado OX1 .
2 CONCEITOS 53
no ciclo trigonometrico no triângulo retângulo
Notação: cos x = OX1 
cos = cateto adiacente
hipotenusa
ou
cos = b
c
Figura 30 - Função cosseno
Fonte: Autor
valores notáveis do cosseno
Figura 31 - Valores notáveis do cosseno
Fonte: Autor
O conjunto imagem da função seno y = cos x é o intervalo [ -1, 1 ].
Gráfico da função seno: cossenoide.
Figura 32 - Gráfico da função cosseno
Fonte: Autor
2.7.3 função tangente
y = tan x
No ciclo trigonométrico abaixo, definimos como tangente do ângulo x deter-
minado pelo arco AP como sendo a medida do segmento de reta orientado At .
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL54
no ciclo trigonometrico no triângulo retângulo
Notação: y = tan x
tan = cateto oposto
cateto adiacente
ou
tan = a
b
Figura 33 - Função tangente
Fonte: Autor
valores notáveis da tangente
Figura 34 - Valores notáveis do tangente
Fonte: Autor
O conjunto imagem da função tangente y = tan x é o conjunto dos números reais R.
Gráfico da função:
Figura 35 - Gráfico da função tangente
Fonte: Autor
2 CONCEITOS 55
2.8 reLAçõeS trIgonométrICAS
 Quando de sua criação pelos matemáticos gregos, a trigonometria já dizia 
respeito exclusivamente à medição de triângulos. Agora, as relações trigonomé-
tricas apresentadas a seguir são aplicadas exclusivamente ao estudo de triângu-
los retângulos, porém as funções trigonométricas resultantes apresentadas mais 
adiante encontram aplicações nas mais vastas áreas da Física e da Engenharia.
Figura 36 - Relação trigonométrica
Fonte: Autor
2.8.1 teoRema de pitágoRas
O grego Pitágoras (570–501 a.C.) formulou o seguinte teorema, que tem hoje 
o seu nome e relaciona a medida dos diferentes lados de um triângulo retângulo:
“A soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”.
Ou seja: se x e y forem o comprimento dos dois catetos e h o comprimento da 
hipotenusa, teremos:
x² + y² = h²
A demonstração deste teorema pode ser efetuadaatravés do cálculo de 
áreas de triângulos retângulos e de quadrados. A área de um quadrado com 
comprimento do lado de valor l é dada por l2. Para um retângulo de compri-
mento de base B e de altura A a área é dada pelo produto destes dois compri-
mentos, isto é, B×A.
Se dividirmos esse retângulo com uma diagonal, teremos dois triângulos re-
tângulos, com catetos de comprimento a e b. A área de cada um será, então, me-
tade da área do triângulo a . b
2
.
Figura 37 - Teorema de Pitágoras
Fonte: Autor
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL56
2.8.2 Relações tRigonométRicas de ângulos
Na maioria das aplicações trigonométricas relacionamos os comprimentos dos 
lados de um triângulo recorrendo a determinadas relações dependentes de ângulos 
internos. Assim, apresentaremos algumas relações trigonométricas com esse fim. 
seno de x
É o quociente do comprimento do cateto oposto ao ângulo x pelo compri-
mento da hipotenusa do triângulo, ou seja,
sen a = cateto oposto = y
hipotenusa h
O seno de x pode aparecer com uma das seguintes representações: 
sen x, sin x sen(x), sin(x).
coseno de x
É o quociente do comprimento do cateto adjacente ao ângulo x pelo compri-
mento da hipotenusa do triângulo, ou seja,
cos a = cateto adjacente = x
hipotenusa h
Em geral, o coseno de x aparece com uma das duas representações: 
cos x, cos(x).
tangente de x
É o quociente dos comprimentos do cateto oposto pelo cateto adjacente, ou seja,
tan a = cateto oposto = y/h = y . h = y
cateto adjacente x/h h x x
É usual representar a tangente de a de uma das seguintes maneiras: tan x, 
tan(x), tg x, tg(x).
 reCAPItuLAndo
Neste capítulo foi revisto alguns conceitos matemáticos necessários para 
a compreensão de alguns conhecimentos que serão estudados ao longo 
deste curso. Desde os conhecimentos das operações com números deci-
mais até as funções da trigonometria são aplicadas em Automação.
2 CONCEITOS 57
Anotações:
3
Conceitos de eletricidade básica
Neste capítulo iremos estudar os seguintes fundamentos técnicos e científicos:
• Eletrostática;
• Grandezas elétricas;
• Fontes de energia;
• Potência e energia elétrica;
• Instrumentos de medidas.
3.1 eLetroStátICA
O termo eletrostática vem do grego: elektron + statikos, que significa elétron estacionário.
Para compreender o que é eletrostática, devemos entender alguns 
conteúdos que estão relacionados. Um deles é sobre os modelos 
atômicos. Para tal, começaremos com um breve histórico da evolução 
desses modelos através dos tempos.
 SAIBA 
 MAIS
O primeiro modelo atômico de que temos conhecimento foi concebido por Leucípo (450 a.C.), 
o primeiro a pensar na divisão da matéria em partículas menores até o limite do indivisível. Já De-
mócrito (470 a.C. - 380 a.C), discípulo de Leucípo, divulgou o termo átomo, que em grego signifi-
ca a = não e tomo = parte, ou seja, não parte, “indivisível”. Com isso ele explicou o que chamou de 
descontinuidade da matéria. Também é de Demócrito a proposição de que a matéria era formada 
a partir da combinação de átomos de quatro elementos: água, ar, terra e fogo.
Em 1808, John Dalton (1766 – 1825) apresentou um modelo de átomo como sendo uma 
minúscula esfera maciça, indivisível, impenetrável e indestrutível. 
Figura 38 - Modelo Atômico de Dalton - Bola de bilhar
Fonte: Autor
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL60
É relevante o fato de que no período entre 380 a.C. e 1808 não ocorreram mo-
delos atômicos novos para explicar a matéria. A Idade Média foi, sem dúvida, um 
período da história humana bastante complicado para a ciência. 
Em 1897, o físico inglês Joseph John Thomson (1856 – 1940) propôs que a 
“bola de bilhar” de Dalton teria propriedades elétricas. A grande contribuição de 
Thomson foi perceber que o movimento de uma gota ionizada na “câmara de 
bolhas”, desenvolvida por seu assistente C.T.R. Wilson, é justamente o mesmo de 
uma gota esférica num campo gravitacional. Assim, Thomson concebeu a existên-
cia do elétron e de sua carga. O modelo de Thomson ficou conhecido como “bolo 
de passas” (Plum Cake). Um átomo ainda maciço recheado de elétrons com carga 
elétrica negativa e 1.1x10-19 Coulomb como sendo sua carga alétrica.
Figura 39 - Modelo Atômico de Thomson - Bola de Passas (PlumCake)
Fonte: Autor
Em 1911, o físico neozelandês Ernest Rutherford (1871-1937) realizou um ex-
perimento que o consagraria como o “pai” da física nuclear. Rutherford e seus co-
laboradores bombardearam uma fina lâmina de ouro com partículas alfa (partícu-
las com carga elétrica positiva).
Figura 40 - Experiência de Rutherford
Fonte: Autor, baseado em banco de imagens google
Rutherford verificou que, para aproximadamente cada 10.000 partículas alfa que in-
cidiam na lâmina de ouro, apenas uma era desviada ou refletida. Sendo assim, concluiu 
que o raio do átomo era 10.000 vezes maior do que o raio do núcleo atômico. O modelo 
nucleado proposto era revolucionário, pois admitia a existência de espaços vazios no 
átomo, portanto, na matéria. O modelo planetário do átomo, como ficou conhecido, era 
constituído por um núcleo central positivo e a eletrosfera, espaço do entorno do núcleo 
contendo os elétrons, com carga elétrica negativa e estática. O modelo atômico conce-
bido pelo físico dinamarquês Niels Bohr (1855-1962) explicava muito bem a dinâmica 
do átomo de hidrogênio, mas apresentou-se inadequada para esclarecer os espectros 
atômicos mais complexos. Bohr deu velocidade aos eletrons no interior do núcleo.
3 ConCeitos de eletriCidade BásiCa 61
Figura 41 - Modelo planetário do átomo
Fonte: Autor
O físico alemão Sommerfeld (1868-1951) acrescentou ao modelo de Bohr a 
ideia dos orbitais elípticos. 
Prêmio Nobel de Física em 1933, o austríaco Erwin Schrödinger desenvolveu 
uma concepção ondulatória para o átomo. O átomo, então, deixa de ter uma re-
presentação física (“bolinhas”) e passa a ser uma equação que presume a proba-
bilidade de sua determinação. Assim, a região do espaço onde é máxima a proba-
bilidade de encontrarmos o elétron é chamada de orbital. Schrödinger lançou as 
bases da Mecânica Quântica ondulatória.
Figura 42 - Modelo atômico atual
Fonte: Autor
3.1.1 caRga elétRica
Benjamin Franklin (1706-1790) elaborou uma teoria para explicar os fenôme-
nos elétricos. Para ele, havia um fluído elétrico em todos os corpos. Se um corpo 
possuísse em excesso, era chamado de positivo; se o possuísse de menos, era ne-
gativo. Segundo Franklin, a carga elétrica é uma propriedade física da matéria e 
todos os corpos na natureza contêm carga elétrica (“quantidade de eletricidade”). 
Observações permitiram qualificar e classificar as cargas elétricas em dois tipos: 
positivas e negativas. Experimentos como as máquinas elétricas apresentadas a 
seguir corroboraram para quantificar a carga elétrica do elétron a um valor bem 
próximo ao sugerido por Thomson.
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL62
Exemplos de máquinas eletrostáticas utilizadas na construção do referencial 
teórico de fenômenos elétricos:
 
Figura 43 - Máquinas eletrostáticas antigas
Fonte: Autor, baseado banco de imagens do google
Robert Millikan (1868-1953) formulou que a carga elétrica de um corpo era 
constituída por um múltiplo inteiro de uma constante: q = n.e , onde n = 1,2,3,.... 
e a constante “e” a carga fundamental (carga do elétron). 
unidade de carga elétrica
Unidade é um parâmetro de medida. A unidade que usamos para deter-
minar carga elétrica no sistema CGS é o statcoulomb (Sistema CGS de unida-
des é baseado nos parâmetros: centímetro, grama e segundo). A carga elé-
trica de um statcoulomb equivale à carga elétrica puntiforme que, colocada 
no vácuo a um centímetro de outra carga puntiforme igual, exerce sobre ela 
uma força de repulsão de um dine (unidade de medida, pelos ingleses, da 
grandeza Força). 
A unidade de medida da carga elétrica no sistema MKS é o Coulomb (o sistema 
MKS de unidades é baseado nos parâmetros: metro, quilograma e segundo). A 
carga de um Coulomb equivale à carga elétrica de 1,6.1019 elétrons. O Coulombé 
a unidade de medida de carga do Sistema Internacional de Unidades. 
3 ConCeitos de eletriCidade BásiCa 63
 CASoS e reLAtoS
Atenção constante com a segurança
Apresentamos um caso real, que aconteceu em uma montadora de 
Automóveis de grande porte, localizada na região Metropolitana 
de Porto Alegre. Esse caso ressalta a atenção que o técnico deve 
ter com a eletrostática em serviços usuais e diários, bem como o 
uso correto de equipamentos de proteção. No setor de mistura de 
tintas dessa montadora, um determinado funcionário executava 
uma rotina diária de abastecimento dos tonéis de mistura de tin-
tas com solventes muito inflamáveis. O funcionário sabia que esse 
processo requeria muito cuidado e, por isso, utilizava vários equi-
pamentos de proteção individual e coletivo para sua segurança e 
dos demais colegas. 
Entretanto, num dia de falta de atenção, esse funcionário se descui-
dou, e não atentou a um determinado procedimento que orientava 
colocar um cabo que prende o tonel a ser abastecido à malha de 
aterramento. Esse procedimento evita que o tonel metálico acumule 
cargas eletrostáticas. Quando o funcionário iniciou o abastecimento, 
as cargas foram se acumulando até que, num determinado momen-
to, houve a descarga entre o tonel e um ponto metálico próximo do 
bocal da mangueira de abastecimento, gerando uma pequena faísca 
(como um acendedor Automático de fogão). 
Essa pequena faísca provocou uma explosão no tonel. Contudo, 
como o tonel não estava completamente abastecido, e o local 
onde ocorreu essa explosão era um espaço destinado para esse 
procedimento, os danos não trouxeram maiores impactos. O fun-
cionário sofreu apenas pequenas queimaduras, pois estava usando 
seus equipamentos de segurança, mas ficou a lição: muita atenção 
às cargas eletrostáticas!
3.1.2 pRincípios de eletRostática
Você já ouviu e já estudou que “cargas elétricas de mesmo sinal se repelem e cargas 
elétricas de sinais opostos se atraem”. A isto chamamos de Princípio da atração e repulsão.
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL64
Figura 44 - Repulsão
Fonte: Ramalho, 2007 
Figura 45 - Atração
Fonte: Ramalho, 2007
De acordo com o princípio da conservação das cargas elétricas, a quantidade 
de carga elétrica total original é igual à quantidade de carga elétrica que os cor-
pos assumiram após a troca de carga.
Q1 + Q2 = Q’1 + Q’2
eletrização
Os fenômenos de natureza eletrostática manifestam-se no cotidiano em di-
versas situações. São choques elétricos em maçanetas de portas, na tela da TV, 
no contato com outras pessoas etc. No manuseio de componentes e equipamen-
tos eletrônicos, por exemplo, é comum os técnicos usarem Pulseira antiestática, 
como demonstrado na figura a seguir, para eliminar a carga elétrica do corpo que 
potencialmente pode causar danos ao equipamento.
Figura 46 - Eletrostática
Fonte: Autor, baseado em banco de imagens google
Figura 47 - Pulseira antiestática
Fonte: Autor, baseado banco de imagens google
aterramento
Aterramento é o ato de ligar um condutor eletrizado à Terra; com isso ele per-
de sua eletrização, ou seja, se descarrega.
Figura 48 - Aterramento
Fonte: Autor
3 ConCeitos de eletriCidade BásiCa 65
formas de eletrização:
a) eletrização por contato:
A eletrização é praticada através do contato de um corpo condutor eletrizado 
com um corpo condutor neutro. 
Os corpos ficam eletrizados com cargas de mesmo sinal. A quantidade de car-
gas, elétrons, que o corpo eletrizado recebe do corpo neutro ou transfere para o 
corpo neutro é função do volume dos corpos.
É importante enfatizar que no processo só elétrons estão em movimento.
Figura 49 - Eletrização por contato
Fonte: Autor
Equacionamento da distribuição de cargas:
Quando os corpos têm as mesmas dimensões e o mesmo volume, as cargas 
são distribuídas segundo uma média aritmética. 
Q é a carga da esfera carregada antes do contato; Q/2 é a carga nas esfe-
ras após o contato.
Figura 50 - Equacionamento da distribuição de cargas
Fonte: Autor
Q1 e Q2 são as cargas das esferas antes do contato; (Q1+Q2)/2 são as cargas nas 
esferas após o contato.
Figura 51 - Equacionamento da distribuição de cargas1
Fonte: Autor
Quando os corpos têm dimensões diferentes, as cargas resultantes são obtidas 
por uma média ponderada dos raios dos corpos.
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL66
Q’1 = R1 . Q1 + Q2
Q’2 = R2 . Q1 + Q2
(R1 + R2)
(R1 + R2) Figura 52 - Equacionamento da dis-
tribuição de cargas2
Fonte: Autor
Q1 e Q2 são as cargas das esferas antes do contato; Q’1 e Q’2 são as cargas nas 
esferas após o contato.
b) eletrização por atrito:
O atrito de corpos de naturezas diferentes motiva a passagem de elétrons de 
um corpo para o outro. Os corpos ficam carregados com a mesma quantidade de 
carga, porém com sinais diferentes. 
Figura 53 - Eletrização por atrito
Fonte: Ramalho, 2007 
c) eletrização por indução:
Na eletrização por indução, um corpo induz uma carga elétrica em outro corpo 
sem contato físico. O processo de indução de carga é demostrado nos passos abaixo:
Passo1
Considere um corpo condutor B neutro 
e isolado.
Passo2
A figura ao lado mostra que, aproximan-
do do corpo B um corpo condutor A carre-
gado positivamente, provocamos a polariza-
ção do corpo B; isto é, elétrons são atraídos 
para um polo (lado) do corpo B. Assim, um 
polo fica com excesso de elétrons e o outro, 
com falta destes. O corpo A é chamado de 
indutor, e o corpo B é chamado de induzido.
3 ConCeitos de eletriCidade BásiCa 67
Passo3
Na presença do indutor, o induzido é 
conectado à Terra. Elétrons são atraídos 
pelo polo positivo do corpo B.
Passo4
Na presença do indutor é desfeita a co-
nexão do corpo B à Terra.
 
Passo5
Afastando o indutor os elétrons, agora 
em excesso no induzido, espalham-se ime-
diatamente por sua superfície, ficando o 
corpo B eletrizado negativamente.
Figura 54 - Eletrização por indução
Fonte: Ramalho, 2007 
Que ao atritar um pente em uma flanela e depois colocar 
perto dos cabelos estes são atraídos pelo pente eletrizado? 
Faça esta experimento e veja na prática o que é eletrização 
por indução.
 VOCÊ 
 SABIA?
3.1.3 foRça elétRica – a lei de coulomb
Após minuciosas observações, Coulomb constatou que:
“A força de interação entre duas cargas elétricas pontuais é proporcional ao 
produto destas cargas”. 
 F a Q1 . Q2
“A força de interação, de atração ou repulsão, entre duas cargas pontuais é 
inversamente proporcional ao quadrado da distância entre as cargas.”
 d2F a 1
Daí: 
d2F a 
Q1 . Q2
Para converter uma proporcionalidade em igualdade, é necessária uma cons-
tante de proporcionalidade. Coulomb estabeleceu essa constante em função do 
meio onde as cargas se deparam. Assim, experimentalmente, fica determinada a 
constante k como sendo:
k = 8,9875 . 109 
c2
Nm2
 no vácuo.
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL68
Para simplificar os cálculos, usaremos o valor aproximado: 
k = 9 x 109 N.m2
C2
Então, duas cargas pontuais, Q1 e Q2, separadas por uma distância d, se atraem 
ou se repelem com uma força F dada por:
F = k. Q1 . Q2
d2
 [ N ], unidade no SI : Newton.
A direção da força F é dada pela reta que une as duas cargas.
O sentido da força F será de atração se as cargas apresentarem sinais diferen-
tes, e de repulsão se possuírem o mesmo sinal.
A distância entre as cargas deve estar representada em metros.
3.2 grAndezAS eLétrICAS
Para o estudo dos fenômenos elétricos não podemos imaginar uma disciplina 
de estudo isoladamente. Serão necessários estudos em outras disciplinas, como a 
Química, por exemplo. Assim como a Física visa explicar os fenômenos da natureza, 
a Eletricidade (parte da física) visa explicar os fenômenos elétricos, às vezes sem 
justificá-los; afinal, são fenômenos da natureza. Mas a compreensão deles é muito 
útil para aplicá-los, seja na elaboração de um aparelho ou de uma máquina elétrica. 
Vamos compreender alguns destes fenômenos, ou seja, destas grandezas.
3.2.1 tensão elétRica
Tensão elétrica é a diferença de potencial(ddp) entre dois corpos. Ela mede o 
quanto um corpo está carregado eletricamente em relação ao outro. O símbolo 
para a tensão elétrica pode ser V, E ou U. Em nosso estudo adotaremos a letra V. A 
unidade de medida da tensão elétrica é o Volt (V).
Na figura 55, considere os corpos:
Figura 55 - Tensão elétrica
Fonte: Autor
Em todas as medições, o corpo A está mais carregado que o corpo B.
3 ConCeitos de eletriCidade BásiCa 69
Assim como em medidas de comprimento, para medir uma diferença de po-
tencial precisamos estabelecer uma referência, ou seja, com o que estamos com-
parando. Neste caso, então, vamos analisar uma pilha elétrica. Ela possui dois po-
los: um positivo e outro negativo. No polo positivo haverá falta de elétrons, e no 
polo negativo haverá excesso deles.
Sabemos que a pilha é de 1,5 Volts, mas o que isto representa? Representa que no 
polo positivo há uma diferença de potencial de 1,5 V em relação ao polo negativo.
Figura 56 - Simbologia do voltímetro em um circuito elétrico
Fonte: Autor
Uma pilha comum:
Figura 57 - Simbologia de uma fonte
Fonte: Autor
O instrumento utilizado para medir a grandeza elétrica de tensão é o voltíme-
tro. Como ele mede a diferença de potencial (ddp) entre os terminais de um com-
ponente, no exemplo uma pilha? Para medir a ddp de uma pilha, o instrumento 
deve ser conectado em paralelo com ele.
Veja nos exemplos a seguir como devemos proceder para medir com o instru-
mento voltímetro: 
Exemplo 1 – Uma pilha Exemplo 2 – Duas pilhas em série
Figura 58 - Pilha
Fonte: Autor
Figura 59 - Pilhas em série
Fonte: Autor
Exemplo 3 – Pilhas em série e contrapostas
Figura 60 - Pilhas em série e contrapostas
Fonte: Autor
Observe que, quando as pilhas estão contrapostas, o resultado será uma soma 
algébrica de valores.
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL70
3.2.2 coRRente elétRica
É a circulação de cargas elétricas em um meio material. O símbolo para Inten-
sidade de corrente elétrica é a letra I, e sua unidade de medida é o Ampère (A). 
Como a corrente elétrica é um fluxo de cargas, devemos medir este fluxo por uma 
unidade de tempo; logo, ampère significa fluxo de cargas por segundo.
Na figura 61 verificamos que os corpos A e B estão carregados eletricamente 
e entre eles há um corpo neutro que proporciona um caminho para a circulação 
de cargas elétricas.
Figura 61 - Corrente elétrica
Fonte: Autor
O corpo B, positivamente carregado, “roubará” um elétron do primeiro átomo 
do corpo neutro, que ficará em desequilíbrio e “roubará” um elétron do átomo vi-
zinho, até que o último átomo do corpo neutro “roube” elétrons do corpo A, onde 
há justamente excesso de elétrons.
A essa circulação de cargas elétricas (no caso o elétron) damos o nome de cor-
rente elétrica, e é ela que executará algum tipo de, aquecimento, iluminação, for-
ça etc. O instrumento para medir a intensidade de corrente elétrica é o amperíme-
tro (A). Como a corrente elétrica é um fluxo, para sua medição ela deverá passar 
através do instrumento, que deve ser ligado em série ao corpo neutro.
Figura 62 - Simbologia do amperímetro no 
circuito elétrico
Fonte: Autor Figura 63 - Simbologia do amperímetro ligado em 
série a um circuito elétrico
Fonte: Autor
“Um ampère equivale ao fluxo de 6,25 x 1018 elétrons por 
segundo”.
 SAIBA 
 MAIS
3 ConCeitos de eletriCidade BásiCa 71
3.2.3 Resistência elétRica
Vimos no exemplo anterior que um corpo eletricamente neutro serviu de 
caminho para a corrente elétrica do corpo A para o corpo B, isto porque os 
elétrons da última camada podem ser capturados por outros átomos. Porém, 
se estes elétrons estivessem firmemente presos ao núcleo, não haveria con-
dução de corrente elétrica.
Existem materiais que possuem os elétrons da última camada com pou-
ca atração ao núcleo, sendo facilmente capturados por outros átomos. Na 
verdade, estes elétrons não são ligados a átomo algum e estão ali apenas 
para dar equilíbrio ao átomo e ficar circulando pela estrutura do material. 
Damos-lhes o nome de elétrons livres.
Resistência é a oposição que um material apresenta à passagem de corrente 
elétrica. O símbolo para resistência é a letra R e sua unidade de medida é o Ohm 
(Ω). Para medir a resistência elétrica de um material utilizamos o ohmímetro.
Veja na figura 64 o caminho do elétron livre.
Figura 64 - Caminho do elétron livre
Fonte: Autor
Como o ohmímetro utiliza um circuito eletrônico propriamente alimentado, 
não devemos conectar este instrumento a um material submetido a uma tensão 
elétrica, pois pode danificá-lo. Portanto, para medir resistência elétrica o circuito 
deve estar desenergizado.
Figura 65 - Simbologia do ohmímetro 
no circuito
Fonte: Autor
Figura 66 - Simbologia do ohmímetro ligado em 
paralelo no circuito elétrico
Fonte: Autor
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL72
Existem materiais que conduzem a corrente elétrica e são chamados de con-
dutores; outros impedem a passagem de corrente elétrica e são chamados de 
isolantes. Vamos compreender melhor: condutores são os materiais que pos-
suem grande número de elétrons livres, servindo como meio de condução da 
corrente elétrica. Temos como exemplos cobre, ouro, alumínio, zinco, chumbo 
etc.; já isolantes são os materiais que não possuem elétrons livres um sua estru-
tura, portanto, não conduzem corrente elétrica. Exemplos: borracha, amianto, 
madeira, vidro, mica, plástico etc.
Dos materiais que dificultam a passagem de corrente elétrica dizemos que 
possuem alta resistência elétrica. A resistência elétrica é função da força com que 
os elétrons são atraídos ao núcleo. Mesmo os materiais condutores, na prática, 
possuem resistência elétrica, e ela depende de três fatores: resistência específica, 
seção do material e comprimento do material.
• resistência específica (ρ) - É uma característica física da matéria e está es-
tabelecida em uma tabela de referência. Será aplicada no capítulo de Resistores.
• seção do material - Quanto maior a seção, mais elétrons podem passar 
ao mesmo tempo.
• Comprimento do material - Quanto maior o comprimento, maior a resis-
tência apresentada.
determinação da resistência elétrica 
Para qualquer material condutor dado, a resistência de um determinado com-
primento depende de sua resistividade, do comprimento do fio e da área da se-
ção reta do fio de acordo com a fórmula.
O fator ρ (letra grega que se lê “rô”) permite a comparação da resistência de 
diferentes materiais de acordo com a natureza, independentemente de seus com-
primentos ou áreas. Valores mais altos de ρ representam maior resistência.
Os valores de resistência elétrica variam de acordo com quatro fatores: nature-
za, comprimento, seção transversal e temperatura do material.
3 ConCeitos de eletriCidade BásiCa 73
 
Figura 67 - Resistência elétrica
Fonte: Autor
A resistividade de alguns materiais condutores mais comuns pode ser vista na 
tabela 6.
Tabela 6: resistividade dos principais tipos de condutores
MATerIAIs ConduTores resIsTIVIdAdes ( Ω . M)
Alumínio 2,38 . 10-8
Latão 7 . 10-8
Cobre recozido 1,72 . 10-8
Cobre duro 1,78 . 10-8 
Ouro 2,45 . 10-8
Platina 10 . 10-8
Prata 1,64 . 10-8
Estanho 11,50 . 10-8
Zinco 6,23 . 10-8
Fonte: Autor
3.3 fonteS de energIA
Fontes de energia são dispositivos que convertem uma forma de energia, seja 
ela eólica, química, térmica ou outra em energia potencial elétrica. Esta energia 
potencial é conhecida como força eletromotriz (fem). As tensões medidas nas fon-
tes de fem são simbolizadas pela letra V. 
Veja a seguir, no quadro 1, exemplos de alguns tipos de dispositivos que con-
vertem outras energias em energia elétrica potencial.
FonTe de energIA dIsPosITIVo TÍPICo
Química Célula combustivel, bateria (célula voltaica), pilha
Mecânica Gerador, alternador
Térmica Termo acoplador
Fotoelétrica (luz) Célula solar, fotocélula
Piezoelétrica (pressão) Cristal
Quadro 1 - Fontes de energia geradoras de força eletromotriz 
Fonte: Autor
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL74
As fontes de energia elétrica são classificadas em corrente contínua (cc) ecorrente alternada (ca).
Como exemplo mais comum de fonte de energia de Corrente Contínua, pode-
mos citar as pilhas e as baterias. Tanto as pilhas como as baterias são compostas 
por células químicas. A célula química ou voltaica é a unidade básica para con-
verter energia química em energia elétrica. Ela consiste em um par de metais di-
ferentes imersos em um líquido ou pasta de solução de material iônico chamado 
eletrólito. O eletrólito é ionizado ou dissociado na solução. 
Os íons positivos entram em reação química com um condutor metálico, ou 
eletrodo, e os íons negativos, com o outro eletrodo. Os eletrodos então adquirem 
carga líquida, positiva, e o outro, negativa. 
Dependendo do material da célula em uso, a f.e.m gerada será na ordem de 1 
a 2V, como demonstrado na tabela 7, a seguir:
Tabela 7: Força eletromotriz gerada por diferentes eletrodos
eleTrodos eleTrólITos (V) FeM noMInAl (V)
Zinco e cobre Ácido sulfúrico 1,0
Níquel e cádmio Hidróxido de potássio 1,2
Zinco e dióxido de manganês Cloreto de amônia 1,5 (célula de luz de flash)
Magnésio e dióxido de manganês Brometo de mangésio 1,5 (célula de magnésio)
Zinco e dióxido de manganês Hidróxido de potássio 1,5 (célula alcalina)
Chumbo e peróxido de chumbo Ácido sulfúrico 2,0 (célula Automotiva)
Fonte: Autor
As pilhas chamadas de alcalinas são as que possuem como 
solução a substância química hidróxido de potássio, pois ele 
é um álcali, daí o termo pilhas alcalinas.
 SAIBA 
 MAIS
Já como exemplo mais comum de fonte de energia de Corrente Alternada (CA) 
podemos citar os geradores ou os alternadores. A tensão alternada e a corrente 
alternada são aquelas cuja intensidade e sentido variam periodicamente, sendo o 
valor médio da intensidade durante um período igual a zero.
Veja nos gráficos a seguir exemplos de tensão alternada:
Figura 68 - Tensão alternada
Fonte: Autor
3 ConCeitos de eletriCidade BásiCa 75
As centrais elétricas produzem a corrente alternada e os consumidores resi-
denciais e industriais a consomem, pois é esta a corrente utilizada por transforma-
dores que irá compatibilizar os níveis de tensão para o trabalho. Além disto, nas 
indústrias, principalmente, os motores mais utilizados são os de corrente alterna-
da, mais simples, resistentes e de baixo custo se comparados com os motores de 
corrente continua (CC).
É de suma importância a possibilidade de transformar a energia elétrica. A 
corrente alternada de pequena intensidade e alta tensão pode ser transformada 
de maneira simples, e com pequenas perdas, em correntes de alta intensidade e 
baixa tensão, e vice-versa.
3.4 PotênCIA e energIA eLétrICA
Potência elétrica é a capacidade de realizar o trabalho ou transformar energia 
por unidade de tempo; ou seja, a transformação da energia elétrica em outros 
tipos de energia, tais como energia calorífica (forno), energia mecânica (motor), 
energia luminosa (lâmpada) etc. 
Em um resistor, quanto maior for a tensão elétrica aplicada, mais o resistor ten-
derá a se aquecer, pois, pela Lei de Ohm, será maior a corrente que circulará por 
ele. A potência é proporcional à tensão e à corrente aplicadas a um resistor. Logo, 
podemos escrever que:
Potência = Tensão X Corrente
A unidade da potência no sistema MKS é joules por segundo (J/s) ou watts (W). 
Na forma matemática, temos:
P = V x I
Onde:
 P V potência em watts (W)
 V V tensão elétrica em volts (V)
 I V corrente elétrica em ampère (A)
A potência em função da resistência e corrente:
P = R x I2
A potência em função da resistência e tensão, sendo a unidade da resistência 
dada em ohms.
P = V2 / R
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL76
A potência elétrica determina a energia dissipada por um resistor em um deter-
minado tempo. Para calcular a energia gasta durante este intervalo de tempo, basta 
multiplicar a potência dissipada durante este tempo pelo intervalo de tempo.
Energia = Potência x Tempo
Onde as unidades de medidas são:
 Energia é dada em joule.
 Potência é dada em watts.
 Tempo em segundos.
Como esta unidade de medida de energia é muito pequena, a unidade mais 
utilizada na prática é o quilowatt - hora (kWh). Note que a unidade de potência é 
dada em quilowatt, e o tempo, em hora.
Veja a aplicação desta equação nos exemplos a seguir:
• Um gerador de corrente contínua, com uma tensão de 50V, está fornecendo 
uma corrente de 10A ao circuito externo. Determine a potência, desprezando a 
resistência interna do gerador:
P = V x I
P = 50V x 10A -> P = 500W
• A corrente solicitada por um motor de corrente contínua é de 75A. A tensão 
nos terminais do motor é 230 Volts. Qual é a potência de entrada do motor em KW?
P = V x I
P = 230V x 75A -> P = 17,25KW
• Um gerador de corrente contínua apresenta os seguintes dados entre as ca-
racterísticas: 150KW e 220V. Qual é a sua corrente nominal?
P = V x I
I = P / V
I = 150.000W / 220 V -> I = 681,81A
• Um chuveiro consome 30A para produzir uma potência de 6.500W. Com estes 
dados anteriores, qual é a tensão necessária para esta potência?
P = V x I
V = P / I
V = 6.500W / 30A -> V = 216,67 V
3 ConCeitos de eletriCidade BásiCa 77
3.5 InStrumentoS de medIdAS
Os instrumentos de medidas elétricas são aparelhos que fornecem um va-
lor determinado da grandeza elétrica com base em efeitos físicos causados 
por essa grandeza. Vários são os efeitos aplicáveis, tais como: forças eletro-
magnéticas, forças eletrostáticas, efeito Joule, efeito termoelétrico, efeito da 
temperatura na resistência etc.
3.5.1 classificação dos instRumentos de medidas elétRicas
Os instrumentos de medidas elétricas são classificados quanto ao princípio de 
funcionamento, ao tipo de corrente elétrica e à grandeza a ser medida.
Quanto ao princípio de funcionamento: são os intrumentos eletromagnéticos, 
eletrodinâmicos, eletroquímicos e dinâmicos.
Quanto à corrente: são os instrumentos de corrente contínua – CC e instru-
mentos de corrente alternada - CA.
E quanto à grandeza a ser medida: são amperímetros, voltímetros e ohmímetros.
3.5.2 medição de coRRente
Todos os instrumentos destinados a medir correntes elétricas atualmente uti-
lizados baseiam seu funcionamento na ação magnética da corrente. Medidores 
de corrente ou amperímetros são ligados em série com o circuito de corrente, 
apresentando uma pequena resistência interna. 
Para medir a corrente elétrica, ligamos ao instrumento um resistor em 
paralelo, designado por derivador (antigamente shunt), conforme demons-
trado na figura 69:
Figura 69 - Determinação da corrente elétrica
Fonte: Autor
Caso o amperímetro seja utilizado para uma faixa de medição n vezes superior 
à existente (fator de amplificação n), então uma parte da corrente passará pelo 
amperímetro e (n-1) partes passarão pelo derivador.
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL78
Rn = Ri 
n-1
Onde:
Rn = resistência 
Ri = resistência do instrumento
n =fator de amplificação
Veja o exemplo a seguir: 
A faixa de medição de amperímetro deve ser ampliada de 100μA para 1A. A 
resistência interna é de 2Ω. Qual é o tamanho do derivador Rn?
n = 1 = 10, Rn = Ri = 2 = 2 = 0,22 ohms
0,1 n-1 10-1 9
Para a medição de correntes alternadas elevadas são usados transforma-
dores de corrente.
3.5.3 medição de tensão
Medidores de tensão ou voltímetros são medidores de corrente com elevada 
resistência interna. Quando da aplicação de uma tensão, circula nos aparelhos 
uma determinada corrente, que provoca a deflexão do ponteiro. 
Devido à resistência interna inalterável do instrumento, a escala pode ser ajus-
tada em volts. Voltímetros são ligados em paralelo com o consumidor ou rede.
medição de tensão mais elevada
Para a medição de tensão mais elevada utilizamos um resistor de pré-ligação.
Voltímetro com resistor de pré-ligação
Figura 70 - Determinação da tensão elétrica
Fonte: Autor
Se a tensão a ser medida é n vezes superior à faixa de medição existente, então 
o valor de tensão a ser consumido pelo resistor é de (n - 1) volts.
3 ConCeitosde eletriCidade BásiCa 79
Rp = Ri x (n - 1)
Onde:
RP = resistor de pré-ligação 
Ri = resistência interna do instrumento
Veja o exemplo a seguir: 
A faixa de medição de um voltímetro de 12 volts deve ser ampliada para 60 
volts. A resistência interna do instrumento é de 2000 ohms. Qual o valor de Rp?
Fator n = 60 = 5; Rp = Ri (n-1) = 2000 (5-1) = 8000 ohms
12
Para a medição de tensões alternadas elevadas empregamos transformadores 
de potencial.
3.5.4 medição da Resistência
A determinação da resistência de uma carga pode ser feita por medição in-
direta. Para tanto, o elemento resistivo é ligado a uma tensão, medindo-se sua 
queda de tensão e a absorção da corrente. O valor da resistência é obtido atra-
vés da aplicação da Lei de Ohm: 
R= V/I
Onde:
 R é a resistência dada em ohms,
 V é a tensão dada em volts, e 
 I é a intensidade de corrente elétrica dada em ampères.
Nas medições de grande precisão devem ser levadas em consideração a resis-
tência interna e a corrente absorvida pelo instrumento de medição. 
ligações para a determinação indireta de resistências
Figura 71 - Determinação da resistência elétrica
Fonte: Autor
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL80
3.5.5 medição poR meio de multímetRo digital
O multímetro digital é uma ferramenta utilizada para medir várias grandezas, como:
• resistência elétrica;
• tensão elétrica contínua (DC) ou alternada (AC);
• corrente elétrica contínua (DC) ou alternada (AC);
Dependendo do modelo do multímetro podemos ter 
medições para capacitância, frequência de sinais alternados, 
tipos de transistores, temperatura etc.
Veja a seguir como proceder para utilizar o instrumento 
na medição de resistência, tensão e corrente. Quando a 
medição é de resistência, o multímetro estará na função 
ohmímetro; quando a medição for de tensão, a função será 
voltímetro; e quando for a medição de corrente elétrica, a 
função será a de amperímetro.
 SAIBA 
 MAIS
Figura 72 - Multímetro 
Fonte: Autor
multímetro 
Para medir a resistência elétrica com o ohmímetro proceda da seguinte maneira: 
1º - Conecte a ponta de prova vermelha ao terminal V Ω Hz e a ponta preta ao 
comum do aparelho marcado como CoM.
2º - Posicione a chave rotativa na maior escala de valores e ligue o multímetro, 
o símbolo MΩ aparecerá no display.
3º - Confirmando o símbolo, conecte as pontas de prova aos terminais do com-
ponente a ser medido e faça a leitura, ajustando a escala para melhor visualização.
 FIQUE 
 ALERTA
Evite tocar nos terminais durante a medição, pois isto 
poderá afetar as medidas.
3 ConCeitos de eletriCidade BásiCa 81
Para medir a tensão elétrica com o voltímetro, proceda da seguinte maneira; 
sem esquecer de que: 
JAMAIS poderá tocar nos terminais da ponteira do aparelho durante a 
medição, pois há o risco de acidente!
1º - Conecte a ponta de prova vermelha ao terminal V Ω Hz e a ponta preta ao 
comum do aparelho marcado como COM.
2º - Posicione a chave rotativa na maior escala de valores de tensão e ligue o 
multímetro. O símbolo V aparecerá no display.
3º - Confirmando o símbolo, conecte as pontas de prova aos pontos a serem 
medidos e faça a leitura, ajustando a escala para melhor visualização.
 FIQUE 
 ALERTA
Verificar também o tipo de tensão selecionado na escala; 
ou seja, se estamos medindo tensões em AC ou DC. Existem 
aparelhos que informam no display e um botão apenas 
para trocar; em outros casos, a escolha é automática. 
Verifique antes o manual de seu aparelho.
Para medir a corrente elétrica com o amperímetro, proceda da seguinte ma-
neira, mas não se esqueça: 
JAMAIS toque nos terminais da ponteira durante a medição, pois há o risco 
de acidente! E verifique no aparelho o novo ponto terminal para a ponta de 
prova vermelha.
1º - Conecte a ponta de prova vermelha ao terminal A. Normalmente nos apa-
relhos este terminal fica no lado oposto aos terminais de tensão e resistência e 
conecte a ponta preta contínua ao comum do aparelho marcado como COM.
2º - Posicione a chave rotativa na maior escala de valores de corrente e ligue o 
multímetro. O símbolo A aparecerá no display.
3º - Confirmando o símbolo, conecte as pontas de prova aos pontos a serem 
medidos e faça a leitura, ajustando a escala para melhor visualização.
 FIQUE 
 ALERTA
Verificar também o tipo de corrente selecionada na escala; 
ou seja, se estamos medindo AC ou DC. Existem aparelhos 
que informam no display e um botão apenas para trocar; 
em outros casos, a escolha é Automática. Verifique antes o 
manual do seu aparelho.
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL82
 CASoS e reLAtoS
A necessidade criou a norma
Em nosso dia a dia de trabalho, constatamos que há um grande número de 
técnicos que apresentam problemas na hora de executar as medições de 
energia, principalmente, em relação a normas de segurança. Como sabe-
mos, a energia elétrica só é verificada por meio de medições corretas em 
seus meios de transmissão (fios e cabos). Contudo, observamos que em 
várias empresas os técnicos que trabalham em manutenção elétrica têm 
por norma verificar a constatação de energia somente após solicitar o des-
ligamento. Isso aconteceu em uma empresa de grande porte, localizada no 
Distrito Industrial de Cachoeirinha, cidade metropolitana de Porto Alegre, 
que fabricava medidores de energia. Um determinado eletricista dessa em-
presa precisou realizar um serviço de manutenção e solicitou, por telefone, 
o desligamento do circuito três ao seu colega. Entretanto, esse colega en-
tendeu que era para desligar o circuito seis. Assim, houve um curto-circuito 
quando o funcionário cortou os cabos de alimentação. 
A partir desse caso, a empresa se antecipou a futuros problemas e criou, bem 
antes da popularização da NR10, a seguinte norma: todos os eletricistas deve-
riam realizar em suas bancadas de manutenção, com níveis e equipamentos 
de segurança, testes em seus multímetros para confirmar seu funcionamento. 
Além disso, quando fosse necessário solicitar um desligamento, o funcionário 
deveria, antes de fazer a solicitação, realizar um teste para confirmar se existia 
tensão onde iria trabalhar. Após a solicitação de desligamento, o funcionário 
deveria confirmar se havia ausência de tensão. Com esse procedimento, houve 
uma grande redução dos riscos e das causas de acidentes nessa empresa.
3.5.6 osciloscópio
Outro aparelho de medida utilizado na medição de sinais elétricos é o osciloscó-
pio, uma ferramenta com muitos recursos. Devido a isto, devemos SEMPRE consultar 
o manual para evitar acidentes e com isso aproveitar todos os seus recursos. A princi-
pal função do osciloscópio é a de visualizar a forma de onda que está sendo medida.
Com este aparelho, é possível visualizar e medir ondas quadradas, medições re-
alizadas pelos valores selecionados nos botões de cada canal em vertical e horizon-
tal. Os valores selecionados informam o tamanho da escala quadriculada da tela. 
3 ConCeitos de eletriCidade BásiCa 83
Valores verticais são de tensão da forma de onda, e valores horizontais são do 
tempo usado para a frequência da forma de onda.
Figura 73 - Osciloscópio
Fonte: Autor
Com o osciloscópio podemos também visualizar e medir formas de ondas 
senoidais, medições realizadas Automaticamente, devido a equipamentos mais 
modernos, ou seja, digitais, que aumentam os recursos do equipamento, como 
conexão a computadores para registro, por longo do tempo, das formas de onda 
e forma mais simples de operação.
Figura 74 - Osciloscópio 1
Fonte: Autor
medição de frequência com osciloscópio
Para executarmos uma medida de frequência de 1kHz, seguimos o seguinte 
procedimento, como está explicado a seguir:
Para iniciar a medição de frequência com osciloscópio, você deve ligar o gera-
dor e osciloscópio, como está apresentado na figura 75.
Figura 75 - Conjunto gerador e osciloscópio 
Fonte: Autor
AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL84
Com os aparelhos ligados, regule em 1kHz o gerador, conforme a figura 76.
Figura 76 - Gerador ajustado para 1kHz 
Fonte: Autor
Conecte os cabos do gerador e do osciloscópionos respectivos aparelhos, de 
acordo com a figura 77.
Figura 77 - Conexão do osciloscópio com o gerador 
Fonte: Autor
Calibre o osciloscópio utilizando as escalas de tensão (volts) e de tempo (time). 
Figura 78.
Figura 78 - Escalas de tensão e tempo 
Fonte: Autor
O resultado final será a obtenção de um sinal de fácil visualização e medição, 
como pode ser visto na figura 79.
3 ConCeitos de eletriCidade BásiCa 85
Figura 79 - Sinal medido no osciloscópio de origem no gerador 
Fonte: Autor
 reCAPItuLAndo
Neste capítulo, foram abordados os conceitos de eletricidade que serão 
aplicados em um sistema de Automação. Vimos os modelos atômicos 
que subsidiam a existência da carga elétrica por meio da eletrostática.
Vimos, também, grandezas elétricas como, corrente elétrica, tensão elé-
trica e resistência elétrica, bem como suas respectivas unidades de me-
dida e seus múltiplos e submúltiplos. Para podermos mensurar essas 
grandezas elétricas, estudamos os instrumentos de medidas, voltímetro, 
amperímetro e ohmímetro, e o procedimento de mensuração por meio 
de um equipamento que reúne todos esses instrumentos – o multímetro.
Finalizando, abordamos os conceitos de energia elétrica e suas formas 
de conversão. Verificamos que o exemplo mais comum de fonte de 
energia alternada (CA) é produzido por um equipamento conhecido 
como gerador ou alternador. Para que se possa visualizar a forma do 
sinal, proveniente da fonte de energia, utilizamos um equipamento 
chamado de osciloscópio.
4
Lei de ohm e Kirchhoff
Neste capítulo iremos estudar os seguintes fundamentos técnicos e científicos:
• Lei de Ohm;
• Associação dos Resistores;
• Leis de Kirchhoff.
4.1 LeI de ohm
Existe uma relação direta entre a tensão aplicada e a corrente que circula em um circuito elé-
trico. Quando aplicamos uma tensão entre os terminais de um resistor, verificamos que a inten-
sidade da corrente que o atravessa depende da tensão nele aplicada. Portanto, determinamos 
a resistência elétrica de um resistor com a razão entre a tensão nele aplicada e a intensidade da 
corrente que o atravessa.
Veja o enunciado da Lei de Ohm:
Nos bipolos lineares, a corrente que os atravessa é diretamente proporcional à tensão apli-
cada aos seus terminais, resultando na equação a seguir:
I = V
R
onde:
 R = resistência em ohms (Ω)
 V = tensão (ddp) em volts (V)
 I = corrente em ampères (A).
A equação da Lei de Ohm foi formulada em 1827 por Georges Simon Ohm 
(1787-1854). Ela estabeleceu as bases da Eletricidade e da Eletrônica. 
Quando a resistência de um elemento for constante, a razão V/I também 
será constante. Neste caso, os elementos são considerados bipolos 
lineares ou bipolos ôhmicos.
 VOCÊ 
 SABIA?
88 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
No entanto, podemos também partir da definição: em um bipolo ôhmico (razão line-
ar entre a tensão e a corrente) a tensão aplicada em seus terminais é diretamente propor-
cional à intensidade da corrente que o atravessa, resultando, assim, na equação abaixo:
V = R. I 
Podemos calcular a resistência elétrica de um elemento a partir do gráfico 
tensão (V) x intensidade de corrente elétrica (I), que recebe o nome de caracte-
rística elétrica. Levantando experimentalmente a tensão em função da corren-
te para um bipolo ôhmico, temos uma característica linear, conforme mostra o 
gráfico. A seguir, temos a representação tga = Δ V/ Δ I, onde concluímos que a 
tangente do ângulo a representa a resistência elétrica do bipolo (fig. 80). Por-
tanto, podemos escrever:
tg a = R
Figura 80 - Representação característica Lei de Ohm
Fonte: Autor
Quando o bipolo não obedece à característica linear mostrada acima, trata-se 
de um bipolo não ôhmico (BNH). Em muitos casos, a não-linearidade dos bipolos 
não-ôhmicos ocorre em virtude da ação da temperatura, cuja resistência pode 
aumentar com o aumento da temperatura. Neste caso, o coeficiente térmico po-
sitivo ou, ainda, sua resistência pode diminuir com o aumento da temperatura, e 
teremos coeficiente térmico negativo. 
Para levantar a representação característica de um bipolo, precisamos medir a 
intensidade da corrente que o percorre e a tensão nele aplicada, bastando para tal 
aplicar a fórmula adequada da Lei de Ohm.
Observamos a característica linear que foi obtida a partir do circuito experi-
mental da figura 80, constituído por uma fonte variável, onde o bipolo utilizado é 
um resistor de 100Ω. 
O gráfico a seguir (figura 81) mostra a curva característica de um bipolo ôhmico.
Figura 81 - Bipolo ôhmico
Fonte: Autor
4 Lei de Ohm e KirchhOff 89
Figura 82 - Bipolo ôhmico 1
Fonte: Autor
Para cada valor de tensão ajustado obtemos uma corrente. Colocados em uma 
tabela, tais valores permitem o levantamento da variação da tensão e da corrente.
Onde temos:
ΔV = ddp = variação da diferença de potencial
ΔI = determina a variação da corrente.
4.2 ASSoCIAção doS reSIStoreS
Os circuitos elétricos podem apresentar dois ou mais resistores interligados em 
série, paralelo ou misto (série-paralelo), ou ainda em associações mais complexas.
Devemos saber analisar tais circuitos para determinar e prever o efeito de um 
resistor ou uma combinação de resistores no controle da corrente. Para calcular 
a resistência total ou equivalente de uma associação em série de resistores, basta 
somar os resistores que compõem o circuito:
• Resistores em série
Associar resistores em série significa adicionar resistores.
Req=R1+R2+R3+...
Onde Req significa resistor equivalente à associação dos resistores.
Exemplo:
 
Figura 83 - Resistores em série
Fonte: Autor
Conforme visto no capítulo anterior (prefixos métricos) podemos representar :
6k8 = 6,8kΩ = 6800Ω
90 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
100k = 100kΩ = 100.000Ω
1k = 1kΩ = 1.000Ω
Resultado
Req = 6.800 + 100.000 + 1.000 = 107.800 ohms; ou 107.800Ω
• Resistores em paralelo
Para calcular a resistência total ou equivalente de uma associação em paralelo 
de resistores utilizamos a equação:
 1 = 1 + 1 + 1 ...
 Req R1 R2 R3
Exemplo:
Figura 84 - Resistores em paralelo
Fonte: Autor
Resultado
 1 = 1 + 1 + 1 
 Req 10 10 5
 1 = 0,1 + 0,1 + 0,2 =
 Req 
 1 = 0,4
 Req 
Req = 1 = 2,5Ω
0,4
 FIQUE 
 ALERTA
Quando se tratar de apenas dois resistores em paralelo, o 
resistor equivalente é determinado pelo produto dos dois 
resistores, dividido pela soma deles. Como exemplo, se 
tivermos R1 e R2 poderemos utilizar a equação abaixo para 
determinar o resistor equivalente à associação.
Req = R1 . R2
R1 + R2
Figura 85 - Resistores em paralelo 1
Fonte: Autor
Então:
Req = (10 . 10 ) / (10 + 10 ) = ( 100 ) / ( 20 ) = ( 10 ) / ( 2 ) = 5 Ω
Na associação de três ou mais resistores é possível determinar o resistor equivalen-
te, associando-os dois a dois, com a finalidade de simplificar as operações de álgebra.
4 Lei de Ohm e KirchhOff 91
Exemplo:
Figura 86 - Resistores em paralelo 2
Fonte: Autor
Podemos então fazer:
Req1 = R1 . R2
R1 + R2
e Req2 = R3 . R4
R3 + R4
Dai:
Req = Req1 . Req2
Req1 + Req2
Em uma associação em paralelo de resistores, a resistência total ou equivalente 
será sempre menor do que o menor valor de resistência ôhmica associada ao circuito.
 Para “N” resistores iguais associados em paralelo a 
resistência total ou equivalente será:
 Req = R
Nonde:
 N é o número de resistores
 R é a resistência ôhmica
 SAIBA 
 MAIS
Então, para: 
Figura 87 - Resistores em paralelo 3
Fonte: Autor
Podemos fazer:
Req = R / N = 10 / 2 = 5 W
4.3 LeIS de KIrChhoff
As Leis de Kirchhoff complementaram a Lei de Claude Pouillet (1790 - 1868) que 
permite determinar o valor da intensidade da corrente elétrica em circuitos que po-
dem ser reduzidos a uma só malha, demonstrado na figura a seguir. Eles são designa-
dos circuitos simples por apresentarem apenas um caminho para a corrente elétrica. 
92 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
I = V
Req
Onde: V é a ddp (diferença de potencial e Req é a resistência equivalentedo circuito).
Figura 88 - Circuito elétrico
Fonte: Autor
A rede elétrica exibida na figura 84 é constituída por dois geradores. Os cir-
cuitos que apresentam mais de uma fonte geradora de energia e não podem ser 
reduzidos a um circuito simples necessitam, para o equacionamento de todas as 
intensidades de corrente elétrica e tensões, de um modelo mais complexo de so-
lução. Esse modelo foi proposto por Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887), físico 
experimental alemão, e ficou conhecido como “Leis de Kirchhoff”.
Figura 89 - Rede elétrica
Fonte: Autor
No esquema elétrico da mesma figura, os pontos B e E são chamados de nós. 
Nó é um ponto do circuito onde a corrente elétrica é dividida ou adicionada. Os 
trechos de circuito entre dois nós consecutivos são denominados ramos. Na rede 
apresentada temos os ramos: BAFE, BE, BCDE.
Qualquer conjunto de ramos formando um percurso fechado recebe o nome 
de malha. No diagrama acima temos as malhas: ABEFA (malha 1), BCDEB (malha 
2) e ABCDEFA (malha 3).
São duas as leis de Kirchhoff:
A primeira lei de Kirchhoff é conhecida como Lei dos Nós, ou LKI (Lei de Kirch-
hoff para as correntes).
“Em um nó, a soma das intensidades de correntes que chegam é igual à 
soma das intensidades de corrente que saem” (conservação das cargas).
4 Lei de Ohm e KirchhOff 93
A expressão algébrica da Lei dos Nós aplicada ao nó B e/ou ao nó E, para os 
sentidos de correntes indicados na figura 90, fica:
i3 = i1 + i2
Figura 90 - Circuito elétrico 1
Fonte: Autor
A segunda Lei de Kirchhoff é chamada de Leis das Malhas, ou LKT (Lei de Kir-
chhoff para as tensões).
“Numa malha, a soma algébrica das ddps (diferença de potenciais) é nula”.
Percorrendo a malha ABEFA num determinado sentido da corrente elétrica, 
partindo de um ponto especifico e chegando a este mesmo ponto, a soma das 
tensões com as “quedas de tensões” na malha tem resultado nulo.
Então: (VB – VE) + (VF – VA) = 0, considerando que VAB = 0 e VEF = 0
VBE + VFA = 0
4.3.1 aplicação das leis de KiRchhoff paRa a deteRminação de 
intensidades de coRRentes e tensões em Redes elétRicas
Para que exista deslocamento de elétrons por um elemento de circuito elétrico é neces-
sário que haja uma ddp (diferença de potencial) nos terminais desse componente. Assim, 
na medida em que a corrente elétrica se desloca numa malha do circuito, a diferença de 
potencial pode ser positiva ou negativa nos terminais do componente (resistor ou bateria).
1 1
Figura 91 - Representação de circuitos elétricos
Fonte: Autor
94 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Aplicando a Lei das Malhas, vamos convencionar que os aumentos de po-
tencial sejam positivos e que as diminuições de potencial sejam negativas. 
Devemos coletar num membro de uma equação todas essas variações nos 
elementos e igualar a zero.
Aplicando a Lei dos Nós, devemos nos lembrar da conservação de carga; ou 
seja, o somatório das correntes que chegam a um nó de circuito é igual ao soma-
tório das correntes que saem desse nó.
Como exemplo, devemos determinar a diferença de potencial entre os pontos 
B e E ( VBE ) no circuito da figura 92.
Figura 92 - Circuito
Fonte: Autor
A aplicação das Leis de Kirchhoff demanda o ordenamento de alguns passos:
1º passo 
Identificar as malhas que compõem a rede: ABEFA, BCDEB e ABCDEFA.
2º passo
Para uma rede de três malhas, que é o caso do exemplo demonstrado na figu-
ra, o equacionamento é efetuado com duas equações, pois para fazê-lo temos: 
número de equações = número de malhas – 1. 
Portanto, vamos escolher duas malhas das três apresentadas para obter 
as equações. Vamos selecionar, particularmente, as malhas: ABEFA, BCDEB 
da figura 93.
Malha
ABEFA
Malha
BCDEB
Figura 93 - Representação das malhas ADEFA e BCDEB
Fonte: Autor
3º passo
Nas malhas selecionadas, devemos atribuir um sentido positivo para a corren-
te em cada malha. Existem quatro possibilidades para orientar as correntes nas 
duas malhas, conforme demonstrado nas figuras 94, 95, 96 e 97 a seguir.
4 Lei de Ohm e KirchhOff 95
• Primeira possibilidade de orienta-
ção das correntes:
• Segunda possibilidade de orienta-
ção das correntes:
Figura 94 - Malha
Fonte: Autor
Figura 95 - Malha 1
Fonte: Autor
• Terceira possibilidade de orienta-
ção das correntes:
• Quarta possibilidade de orienta-
ção das correntes:
Figura 96 - Malha 2
Fonte: Autor
Figura 97 - Malha 3
Fonte: Autor
Suponha que adotemos a primeira possibilidade. A hipótese é que as correntes te-
nham sentido positivo nas malhas ABEFA, BCDEB, como indicado nas figuras 98 e 99:
Figura 98 - Malha ABEFA
Fonte: Autor
Figura 99 - Malha BCDEB
Fonte: Autor
Estabelecendo, então, uma LKT (Lei de Kirchhoff para Tensão) para a malha 1, 
a partir do ponto A, temos:
- R3i2 - V1 + R1i1 = 0
oBserVe que nA MAlHA ABeFA dA FIgu-
rA 93
i1 tem o sentido positivo adotado para a malha 
ABEFA da figura 94.
Então: i1 . R1 e -V1 pois i1 entra no polo negativo 
do gerador.
i2 tem sentido contrário ao adotado para a malha 
ABEFA da figura 94.
Então: -i2 . R3
Quadro 2 - Observação da malha ABEFA 
Fonte: Autor
Estabelecendo, então, uma LKT (Lei de Kirchhoff para Tensão) para a malha 2, 
a partir do ponto B, temos:
R2 . i3 + V2 + R3 . i2 = 0
96 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
oBserVe que nA MAlHA BCdeB dA 
FIgurA 94
i3 tem o sentido positivo adotado para a malha 
BCDEB da figura 93.
Então: i3 . R2 e + V2 pois i3 entra no polo positivo 
do gerador.
i2 tem o sentido positivo adotado para a malha 
BCDEB da figura 93.
Então: i2 . R3
Quadro 3 - Observação da malha BCDEB
Fonte: Autor
A partir dessas equações podemos facilmente determinar todos os valores de 
corrente e tensão do circuito.
i3 = i1 + i2 (equação 1)
-R3 . i2 - V1+ R1 . i1 = 0 (equação 2)
R2 . i3 + V2 + R3 . i2 = 0 (equação 3)
Substituindo nas equações obtidas os valores fornecidos, teremos:
i3 = i1 + i2
10i1 – 15i2 – 20 = 0
15i2 + 10i3 + 12 = 0
Logo, trocando i3 por i3 = i1 + i2 na equação 3, teremos:
15i2 + 10 (i1+i2 ) + 12 = 0
Efetuando a multiplicação indicada, teremos:
15i2 + 10i1 + 10i2 + 12 = 0 ou 10i1 + 25i2 + 12 = 0 (equação 4)
Não é possível resolver uma equação com duas incógnitas. Com duas incógni-
tas necessitamos de duas equações para montar um sistema de equações, como 
representado a seguir:
10i1 - 15i2 - 20 = 0
10i1 + 25i2 + 12 = 0
Multiplicando a equação 4, por -1, teremos:
-1.(10i1 + 25i2 + 12 = 0) V -10i1 - 25i2 - 12 = 0 (equação 5)
Logo, teremos o seguinte sistema:
10i1 - 15i2 - 20 = 0 (equação 2)
-10i1 - 25i2 - 12 = 0 (equação 5)
Somando a equação 2 com a equação 5, obteremos a equação 6 com uma incógnita:
10i1 - 15i2 - 20 = 0
-10i1 - 25i2 - 12 = 0
4 Lei de Ohm e KirchhOff 97
0 - 40i2 - 32 = 0 (equação 6)
Resolvendo a equação 6:
-40i2 - 32 = 0
-40i2=32
i2= 32
-40
 V i2 = - 0,8A 
O sinal negativo para i2, significa que o sentido adotado originalmente para o 
ramo não é o correto. Verificamos, então, que no ramo BE a corrente tem o sentido 
de B para e, não de e para B como originalmente proposto.
Finalmente, podemos determinar a tensão VBE:
VR3 =VBE =i2 . R3
VBE = 0,8 . 15
VBE = 12V
vamos compreender melhor com um exemplo de aplicação:
No circuito esquematizado abaixo, os amperímetros estão determinan-
do as correntes nos ramos. Vamos aplicar as Leis de Kirchhoff para verificar, 
através da fundamentação teórica, a veracidade das medidas apresentadas 
nos amperímetros. (fig. 100)
Figura 100 - Esquema de circuito
Fonte: Autor
1º passo: Verificamos que o circuito tem três malhas; portanto, vamos necessi-
tar de duas equações para equacioná-lo.
2º passo: Devemos escolher duas das três malhas do circuito indicado.
98 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Figura 101 - Esquema de circuito 1
Fonte: Autor
3º passo: Devemos atribuir (arbitrariamente) um sentido para a corrente em 
cada malha determinada.
Figura 102 - Esquema de circuito 2
Fonte: Autor
É importante salientar que os sentidos das correntes I1 e I2 adotados na malha 
1 e na malha 2 foram arbitrados. 
4º passo: Aplique ∑V= zero à malha1 e à malha 2 e percorra as malhas no sen-
tido da corrente, determinando as “fontes” e “quedas” de tensão e obtendo duas 
expressões da Lei de Kirchhoff para cada malha.
Figura 103 - Esquema de circuito 3
Fonte: Autor
4 Lei de Ohm e KirchhOff 99
A corrente I1 na malha 1 “entra” no (-) e “sai” no (+) da bateria 1 (fonte), “entra” 
no (+) e “sai” no (-) da resistência R1 (queda), “entra no (+) e ”sai” no menos da re-
sistência R3 (queda). Observe que as correntes das malhas I1 e I2 passam através 
de R3, o resistor comum às duas malhas.
Escrevendo a expressão matemática da Lei de Kirchhoff para Tensões, teremos:
Malha 1:
12 - 1 . I1 - 2 . I1 + 2 . I2 = 0
Resumindo:
-3 . I1 + 2 . I2 = 12
Malha 2:
-24 - 2 . I2 - 3 . I2 + 2 . I1 = 0
Resumindo:
2 . I1 - 5 . I2 = 24
Armando um sistema de equações, fica:
-3 . I1 + 2 . I2 = 12 
2 . I1 - 5 . I2 = 24
Podemos resolver algebricamente um sistema de equações por diversos 
meios. Nesse caso, vamos multiplicar a primeira equação por 2 (x2) e a segunda 
equação por 3 (x3). Assim:
-3 . I1 + 2 . I2 = 12 (x2) fica: -6 . I1 + 4 . I2 = -24
2. I1 - 5 . I2 = 24 (x3) fica: 6 . I1 - 15 I2 = 48
Agora, devemos somar as duas equações:
-6 . I1 + 4 . I2 = -24
6 . I1 - 15I2 = 48
Resolvendo a equação acima, temos:
-11 . I2 = 48
Portanto:
I2 = 48
-11 V I2 = -4,36A
O sinal negativo no resultado obtido significa que devemos alterar o sentido 
arbitrado para a corrente I2.
Com valor determinado da corrente I2, devemos determinar a corrente I1.
2 . I1 - 5 . I2 = 24
100 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Como I2 vale -4,36 A, a equação fica:
2 . I1 - 5 . (-4,36) = 24
2 . I1 + 21,8 = 24
2 . I1 = 24 -21,8
2 . I1 = 2,2
I1 = 1,1A
O sinal positivo do valor calculado para a corrente I1 significa que o sentido 
arbitrado para esta corrente foi correto. 
Finalmente, aplicamos a Lei dos Nós para determinar a corrente que circula por R3.
I3 = I1 + I2
I3 = 1,1 + 4,36
I3 = 5,46A
Conclusão:
Tabela 8: relação dos resultados adquiridos
VAlores sIMulAdos no soFTwAre VAlores CAlCulAdos
I1 = 1,12 A I1 = 1,1 A
I2 = 4,27 A I2 = 4,36 A
I3 = 5,39 A I3 = 5,46 A
Fonte: Autor
 CASoS e reLAtoS
Um aspecto importante que deve ser ressaltado para os futuros téc-
nicos é a compreensão de malhas e circuitos, pois ao trabalhar em 
projetos maiores, os técnicos são agrupados em cada etapa de ex-
ecução. Muitas vezes esses grupos trabalham em cada circuito do 
projeto, ou seja, um grupo projeta a fonte de alimentação, outro 
grupo na comunicação da placa, etc. No final, cada grupo se rela-
ciona com o outro para montar o circuito final, que é composto por 
cada malha e cada circuito é montado separadamente. 
4 Lei de Ohm e KirchhOff 101
Atualmente, as grandes empresas necessitam que os técnicos tra-
balhem em grupo discutindo e resolvendo problemas em cada parte 
de um projeto, analisando cada circuito. Suponha que uma empresa 
de médio porte, que fabrica medidores de energia, pretenda quali-
ficar seus montadores para o nível de técnicos, a fim melhorar o 
processo de montagem. 
Para tanto, essa empresa pesquisará e acompanhará o trabalho de 
produção, e procurará integrar as discussões e soluções de um projeto 
entre todos os trabalhadores. Isso porque o gestor sabe que quando 
o montador entende seu processo de trabalho, fica mais motivado e 
melhora sua etapa de produção, melhorando o processo como um 
todo. Por isso, você deve compreender todas as etapas de malhas e 
circuitos, pois seu futuro profissional poderá ser bem mais promissor.
 reCAPItuLAndo
As Leis de Kirchhoff baseiam-se em dois princípios de conservação: o princí-
pio de conservação das cargas elétricas e o princípio de conservação da ener-
gia. A segunda Lei de Kirchhoff baseia-se no princípio de conservação da ener-
gia e estabelece que: 
“Percorrendo uma malha em um certo sentido, partindo-se de um ponto 
e chegando-se a esse mesmo ponto, a soma algébrica das ddp é nula”. 
5
Circuitos de corrente contínua
Neste capítulo iremos estudar os seguintes fundamentos técnicos e científicos:
• Circuitos de corrente contínua.
5.1 CIrCuItoS SérIe de Corrente ContínuA
Um circuito série é uma associação de resistores ligados em sequência, de tal forma 
que a corrente que circula por um dos resistores é a mesma que circula em todos os re-
sistores da associação.
Para que isto ocorra, é necessário que se forme somente um caminho para a corrente do 
circuito. Desta forma, os resistores devem ser ligados com um terminal do resistor ao terminal 
do outro, e assim sucessivamente. 
A figura 104 apresenta uma ligação de circuito ligado em série.
Figura 104 - Circuito ligado em série
Fonte: Autor
5.1.1 cálculo da tensão na associação em séRie
No circuito da figura acima há somente um caminho para circular corrente, de forma que:
I = I1 = I2 = I3
104 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
A corrente que circula pelos resistores R1, R2 e R3 é a mesma corrente que circu-
la pela fonte V. Aplicando a segunda Lei de Kirchhoff, teremos:
+ V - V1 - V2 – V3 = O
Figura 105 - Circuito ligado em série 1
Fonte: Autor
Logo,
V = V1 + V2 + V3 (A soma das tensões dos resistores é igual à tensão apli-
cada ao circuito). 
Multiplicando a equação acima por I, temos:
V. I = V1 . I + V2 . I + V3 . I
Mas, como a tensão multiplicada pela corrente é igual à potência do circuito, temos:
Pfonte = PR1 + PR2 + PR3
Onde:
 Pfonte - potência fornecida pela fonte
 PR1 - potência dissipada por R1
 PR2 - potência dissipada por R2
 PR3 - potência dissipada por R3
A potência fornecida pela fonte é igual à soma das potências dissipadas pelos 
resistores do circuito, o que satisfaz a lei da conservação da energia estabelecida 
pela segunda Lei de Kirchhoff.
5.1.2 cálculo da Resistência equivalente de associação em séRie
Resistência equivalente de um circuito de associação em série é o valor da re-
sistência que, ligada à mesma diferença de potencial que a associação, circulará 
na mesma corrente que circula na associação. Ou seja, tomando a equação dedu-
zida anteriormente, temos:
5 CirCuitos de Corrente Contínua 105
V = V1 +V2 +V3
Aplicando a Lei de Ohm, onde:
V1 = R1 . I1
V2 = R2 . I2
V3 = R3 . I3
e sabendo que: I = I1 = I2 = I3, temos:
V = R1 . I1 + R2. I2 + R3 . I3
ou:
V = (R1 + R2 + R3) . I
Dividindo por I, temos:
V
I
 = R1 + R2 + R3
Note que o valor de Vt dividido por I é igual ao valor de uma resistência, que 
relaciona a tensão da fonte com a corrente total do circuito em série.
Logo, uma resistência cujo valor seja a soma das resistências associadas em sé-
rie no circuito será percorrida por uma corrente de mesmo valor que a associação. 
Esta é a resistência equivalente (Req) do circuito série.
Req = R1 + R2 + R3
A ideia pode ser estendida para qualquer quantidade de resistores. No caso de 
uma associação de n resistores, a resistência equivalente é:
Req = R1 + R2 + .... + Rn-2 +Rn-1 + Rn
Para compreender os conceitos estudados até aqui, analisemos os exem-
plos a seguir:
Primeiro exemplo
Com os dados abaixo, calcule a resistência equivalente do circuito:
Figura 106 - Circuito 
Fonte: Autor
Tensão V = 12 V
R1 = R2 = R3 = 2 Ω
106 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Corrente I?
Tensões V1, V2 e V3?
Req = R1 + R2 + R3 = 2 + 2 + 2 = 6 Ω
I = V
Req
 = 12
6
 = 2 A
I = I1 = I2 = I3 = 2 A (Circuito Série)
V1 = V2 = V3 onde cada tensão é calculada como:
(R1 = R2 = R3) . I = 2 . 2 = 4 V em cada resistência.
Que o valor da resistência equivalente série, Req, será sempre 
maior que o valor da maior resistência da associação?
 VOCÊ 
 SABIA?
5.2 CIrCuIto PArALeLo de Corrente ContínuA
Um circuito paralelo é uma associação de resistores ligados de tal forma que 
a tensão elétrica sobre um dos resistores é a mesma em todos os resistores da 
associação. Para que isto ocorra, é necessário que se conectem os terminais dos 
resistores ao mesmo potencial.
A figura 107 apresenta uma ligação de circuito ligado em paralelo.
Figura 107 - Circuito 1
Fonte: Autor
Neste caso, os resistores estão ligados à mesma diferençade potencial. 
Logo:
V = V1 = V2 = V3
Ou seja, a tensão elétrica em R1, R2 é a mesma tensão da fonte V. Aplicando a 
Lei de Kirchhoff, temos:
No nó A: +I – I1 – IB = 0
No nó B: +IB – I2 – I3 = 0
IB = I2 + I3
Substituindo no nó A: 
+I – I1 – I2 – I3 = 0
5 CirCuitos de Corrente Contínua 107
Como I, a corrente da fonte, temos:
I – I1 – I2 – I3 = 0
Ou:
I = I1 + I2 + I3
Note que a soma das correntes que circulam pelos resistores é igual à corrente 
da fonte. Multiplicando a equação acima por V, temos:
V. I = I1 . V + I2 . V + I3 . V
Porém, tensão multiplicada pela corrente elétrica é igual a potência. Então:
Pfonte = PR1 + PR2 + PR3
Onde:
 Pfonte - potência fornecida pela fonte
 PR1 - potência dissipada por R1
 PR2 - potência dissipada por R2
 PR3 - potência dissipada por R3
A potência fornecida pela fonte é igual à soma das potências dissipadas pelos 
resistores do circuito, o que satisfaz a lei da conservação da energia, estabelecida 
pela segunda Lei de Kirchhoff.
5.2.1 Resistência equivalente de associação paRalela
Resistência equivalente de um circuito de associação paralela é o valor da re-
sistência que, ligada à mesma diferença de potencial que a associação, circulará 
na mesma corrente que circula na associação.
Ou seja, tomando a equação deduzida anteriormente, temos a equação para 
cálculo da corrente total do circuito:
I = I1 + I2 + I3
Aplicando a Lei de Ohm (lembre-se de que esta Lei foi trabalhada no capítulo 
anterior), onde:
I1 = 
V1
R1
; I2 = 
V2
R2
; I3 = 
V3
R3
;
temos outra expressão para calcular a corrente:
I = 
V1
R1
 + 
V2
R2
 + 
V3
R3
Mas, analisando a tensão, temos:
V = V1 = V2 = V3
108 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Então, passando E para o primeiro membro da equação, temos:
I = V
R1
 + V
R2
 + V
R3
Lembramos que a condutância G de um condutor é grandeza física definida como 
o inverso de sua resistência elétrica. A unidade de medida é denominada Siemens e, 
pela definição, G depende dos mesmos fatores que afetam a resistência.
Note que o valor de I dividido por V é igual à soma do inverso das resistências, 
que é conhecida como condutância, relaciona a corrente total do circuito paralelo 
e a tensão da fonte. Esta condutância é equivalente do circuito paralelo. Para de-
terminar a resistência equivalente Req do circuito paralelo, basta calcular o inverso 
da condutância equivalente.
G = 1
Req
 = 1
R1
 + 1
R2
 + 1
R3
Logo, uma condutância cujo valor é igual à soma das condutâncias associadas 
em paralelo em um circuito será percorrida por uma corrente de mesmo valor da 
corrente da associação. A resistência equivalente Req do circuito paralelo, será a 
ideia que pode ser estendida para qualquer quantidade de resistores. No caso de 
uma associação de n resistores, a resistência equivalente é:
Req = 
( 1
R1
 + 1
R2
 + 1
R3
)
1
5.2.2 associação paRalela de ResistoRes de mesmo valoR
No caso de associação paralela de resistores com resistência de mesmo valor, 
o valor da resistência equivalente Req da associação será o valor de uma das re-
sistências dividido pelo número de resistores da associação; ou seja, o valor da 
resistência equivalente Req de uma associação de n resistores de valor R será:
Req = R
n
5.2.3 associação paRalela de dois ResistoRes 
O valor da resistência equivalente Req de uma associação paralela de dois resis-
tores é igual ao produto dos valores dos resistores dividido pela soma dos valores 
dos resistores. Esta forma é conhecida como produto pela soma. Em associação 
paralela com R1 e R2, a associação equivalente Req será:
Req = 
(R1 + R2)
(R1 . R2)
 FIQUE 
 ALERTA
O valor da resistência equivalente Req de uma associação 
paralela é sempre menor que o valor da menor resistência 
da associação.
5 CirCuitos de Corrente Contínua 109
5.2.4 divisoRes de tensão e coRRente
Divisor de tensão e corrente é um circuito em série que tem como objetivo 
fracionar a tensão para um determinado valor.
Observe o circuito a seguir: (fig 108)
Figura 108 - Divisores de tensão e corrente
Fonte: Autor
Note que:
• A tensão sobre um resistor em uma associação série é igual ao valor da re-
sistência desse resistor, dividido pela resistência equivalente da associação série, 
multiplicado pela tensão total da associação.
• O valor de V é a tensão nos terminais da associação série.
• o valor da tensão V pode ser dividido por um fator K, onde K = 
R2
(R1 + R2) , ma-
nipulando os valores das resistências da associação.
• A fórmula V2 = R2 . I, denominada divisor de tensão, pode ser estendida para 
associação série de n resistores.
5.2.5 divisoR de coRRente
Considerando o circuito a seguir, mostraremos o cálculo utilizando o método 
de divisor de corrente para calcular a corrente através de R2:
Figura 109 - Divisor de corrente
Fonte: Autor
O valor da corrente I2 será:
I2 = V
R2
Mas: V = Rp . It e Rp = 
(R1 + R2)
(R1 . R2)
110 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Então: V = 
(R1 + R2)
R1 . R2 . It
Dai, I2 fica: I2 = (R1 + R2)
(R1 . R2)
 . It . 
1
R2
Simplificando:
I2 = 
(R1 + R2)
R1 . It
Note que:
• A corrente sobre um resistor, em uma associação paralela, é igual ao valor da 
outra resistência dividido pela soma do valor das resistências da associação, mul-
tiplicado pela corrente total da associação.
• O valor de I é a corrente nos terminais da associação paralela.
• O valor da corrente I pode ser dividido por um fator Z, onde Z = 
(R1 + R2)
R1 , ma-
nipulando os valores das resistências da associação.
• A fórmula acima é utilizada em associação paralela de dois resistores.
5.3 CIrCuIto mISto
É o circuito mais comumente encontrado porque tem os dois tipos de asso-
ciações, série e paralela. Para determinar a resistência equivalente de um circuito 
misto devemos identificar os tipos de associações e resolver em partes até obter 
o valor de somente urna resistência que, ligada à mesma fonte do circuito misto, 
fornecerá a mesma corrente que circula no circuito.
Observe o circuito a seguir: (fig. 110)
Figura 110 - Circuito misto
Fonte: Autor
Estes circuitos foram trabalhados na associação de resistores 
e agora serão retomados nos próximos capítulos como em 
circuitos RLC em CA.
 SAIBA 
 MAIS
Os resistores R2 e R3 estão em paralelo, pois seus terminais estão ligados, de 
forma que temos a mesma diferença de potencial.
Então, podemos calcular uma resistência Rp, que equivale a esta associação, e 
substituí-la no circuito. Logo, temos o seguinte circuito equivalente ao anterior:
5 CirCuitos de Corrente Contínua 111
Figura 111 - Circuito 3
Fonte: Autor
Onde:
Rp é igual a R2 paralelo com R3. O novo circuito apresenta uma associação em 
série com R1 e Rp.
Calculamos o valor de uma resistência equivalente desta associação, que será 
o valor da resistência equivalente Req de todo o circuito. O circuito equivalente 
do circuito total será:
Figura 112 - Circuito 4
Fonte: Autor
Observação:
Este circuito apresenta uma associação paralela (R2 e R3) e uma associação em 
série (R1 + Rp). Logo, é denominado circuito misto.
Veja o exemplo a seguir:
Calcular o valor da resistência equivalente (Req) para o circuito misto da figura 113:
Figura 113 - Circuito misto 1
Fonte: Autor
Solução:
Fazendo o paralelo entre R2 e R3, temos:
Figura 114 - Circuito 5
Fonte: Autor
112 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Continuando, temos uma associação em série com R1 e Rp. 
Calculando a resistência equivalente dessa associação, teremos:
Req = 270 + 193,9 = 463,9 Ω
O circuito equivalente fica:
= 463,9 Ω
Figura 115 - Circuito equivalente
Fonte: Autor
5.4 teoremA dA SuPerPoSIção
A corrente em qualquer circuito ou a tensão através de qualquer elemento em 
um circuito é a soma algébrica das correntes ou tensões produzidas separada-
mente por cada fonte.
Como o efeito de cada fonte é considerado separadamente, as outras
fontes são retiradas do circuito mantendo suas resistências internas. Para 
determinar o efeito de uma fonte, as outras devem ser “zeradas”, conforme de-
monstrado abaixo:
• Fontes de tensão devemser trocadas por um curto-circuito.
• Fontes de corrente devem ser trocadas por um circuito aberto.
Depois de considerado o efeito de cada fonte, esses efeitos são somados al-
gebricamente. O resultado da soma é o efeito produzido em cada elemento por 
todas as fontes juntas.
Veja o exemplo a seguir:
Calcular a tensão e a corrente em cada elemento do circuito da figura 116, 
utilizando o Teorema da Superposição:
Figura 116 - Teorema da superposição - circuito 
Fonte: Autor
5 CirCuitos de Corrente Contínua 113
Solução:
Considerando que a fonte é de 20V e substituindo a fonte de 3V por um curto 
circuito, temos:
Figura 117 - Teorema da superposição - circuito 1
Fonte: Autor
Cálculo das correntes e tensões em cada elemento do circuito:
Req = R1 + 
R2 + R3
R2 . R3
Req = 5Ω + (1Ω 
5Ω
) = 5,83Ω
Cálculo das correntes:
I1 = V
Req
I1 = 20
5,83 = 3,43 A
I2 = 
R2 + R3
 R3 . I1 V I2 = 5
6
 . 3,43 = 2,86 A
I3 = 1
6
 . 3,43 = 0,57 A
Cálculo das tensões:
V1 = R1 . I1 = 5 . 3,43 = 17,15 V
V2 = R2 . I2 = 1 . 2,86 = 2,86 V
V3 = R3 . I3 = 5 . 5,57 = 2,85 V
Observação:
Considerando que a fonte é de 3V e substituindo a fonte de 20V por um curto 
circuito, temos:
Figura 118 - Teorema da superposição - circuito 2
Fonte: Autor
Calcular as correnter e tensões em cada elemento do circuito.
a) Cálculo da resistência total.
114 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Req = R2 + 
R1 + R3
R1 . R3
Req = 1Ω + ( 5.5 
5+5
)Ω = 3,50 Ω
b) Cálculo das correntes.
I2 = V
Req
 V I2 = -3
3,50 = -0,86 Ω
I1 = 
R1 + R2
 R2 . I2 V I1 = -5
10
 . 0,86 = -0,43 A
I3 = 
R1 + R2
 R1 . I2 V I3 = -5
10
 . 0,86 = -0,43 A
Observação:
Os sinais atribuídos nos cálculos aparecem, em vista que as correntes da fonte 
de 3V estão no sentido contrário ao indicado na figura.
Calculando as tensões, temos:
V1 = R1 . I1 = 5 . (-0,43) = -2,14V
V2 = R2 . I2 = 1 . (-0,86) = -0,86V
V3 = R3 . I3 = 5 . (+,043) = +2,14V
Cabe salientar que estes valores são referentes à fonte de 3V. Fazendo a soma 
algébrica dos resultados obtidos para cada fonte, temos o resultado final utilizan-
do as duas fontes, no caso, agindo simultaneamente no circuito:
Observe que os resultados conferem com os calculados anteriormente, vali-
dando o Teorema.
V1 = V1 (-F3v) + V1 (-F20V) V V1 = 17,15 - 2,14 = 15,01 V
V2 = V2 (-F3v) + V2 (-F20V) V V2 = -0,86 + 2,85 = 1,99 V
V3 = V3 (-F3v) + V3 (-F20V) V V3 = 2,14 + 2,85 = 4,99 V
E as correntes:
I1 = 3,43 - 0,43 = 3,00 A
I2 = 2,86 - 0,86 = 2,00 A
I3 = 0,57 + 0,43 = 1,00 A
Ou ainda:
I1 = 
5
15,01
 = 3,00 A
I2 = 1
1,99
 = 2,00 A
I3 = 
5
4,99
 = 1,00 A
5 CirCuitos de Corrente Contínua 115
5.5 teoremA de thévenIn
O Teorema de Thévenin diz que qualquer rede de dois terminais contendo fon-
tes de tensão pode ser representada por um circuito equivalente, consistindo de 
uma fonte de tensão, de valor igual à tensão de circuito aberto do circuito origi-
nal, em série, com uma resistência medida entre os terminais do circuito aberto, 
com as fontes “desligadas”.
Considerando um ramo do circuito como carga, o ramo que desejamos calcu-
lar as grandezas elétricas, sendo o restante considerado como a rede que quere-
mos o equivalente de Thévenin. (fig. 119)
Figura 119 - Teorema de Thévenin - circuito 
Fonte: Autor
Os passos para determinar o circuito equivalente de Thévenin são os seguintes:
1º - Retirar a carga do circuito, ou seja, o ramo considerado como carga, e iden-
tificar sua polaridade.
2º - Calcular a tensão nos terminais que ficaram abertos, de onde foi retirada a 
carga. Para tal, você pode utilizar qualquer método estudado anteriormente.
3º - Retirar as fontes do circuito. Fontes de tensão são substituídas por um cur-
to circuito, e fontes de corrente por um circuito aberto.
4º - Calcular a resistência equivalente neste circuito nos terminais que ficaram abertos.
5º - Montar o circuito equivalente de Thévenin.
Exemplo de aplicação:
Seja o circuito da figura 120, calcular usando o Teorema de Thévenin o valor da 
tensão e da corrente no resistor RL para:
a) RL = 10 Ω
b) RL = 50 Ω
Figura 120 - Teorema de Thévenin - circuito 1
Fonte: Autor
116 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Para solucionar o exemplo, devemos seguir estes passos:
1º - Retirar a carga do circuito, ou seja, o ramo considerado como carga, e iden-
tificar sua polaridade.
Figura 121 - Teorema de Thévenin - circuito 2
Fonte: Autor
2º - Calcular a tensão nos terminais que ficaram abertos de onde tiramos a 
carga. Para tal, você pode utilizar qualquer método estudado anteriormente. Ob-
serve que a tensão Vth é a tensão sobre o resistor de 20 ohm, pois no resistor de 15 
ohm não circula corrente. Por divisor de tensão temos:
Vth = 
10+20
20 . 10 = 6,67 V
3º - Retirar as fontes do circuito. Fontes de tensão são substituídas por um cur-
to circuito, e fontes de corrente por um circuito aberto.
Figura 122 - Teorema de Thévenin - circuito 3
Fonte: Autor
4º - Calcular a resistência equivalente neste circuito a partir dos terminais que 
ficaram abertos.
Rth = 15 + 
20
10 = 21,67Ω 
5º - Montar o circuito equivalente de Thévenin.
Figura 123 - Teorema de Thévenin - circuito 4
Fonte: Autor
6º - Atribuir valor para RL no circuito equivalente de Thévenin e calcular a cor-
rente e a tensão. Estes valores são os mesmos para o circuito completo, visto que 
este é um circuito equivalente.
a) Para RL = 10 Ω temos:
VRL = 
10+21,67
10 . 6,67 = 2,1V
5 CirCuitos de Corrente Contínua 117
IRL = 
10+21,67
6,67 = 211mA
b) Para RL = 50 Ω temos;
VRL = 
50+21,67
50 . 6,67 = 4,7V
IRL = 
50+21,67
6,67 = 93mA
5.6 teoremA de norton
O teorema de Norton diz que qualquer rede de dois terminais contendo fontes 
de tensão e/ou corrente pode ser representada por um circuito equivalente, con-
sistindo de uma fonte de corrente, de valor igual à corrente de um curto circuito 
no circuito original, em paralelo com uma resistência medida entre os terminais 
do circuito aberto, com as fontes “desligadas”.
Considerando um ramo do circuito como carga, o ramo que desejamos calcu-
lar as grandezas elétricas, sendo o restante visto como a rede que se queremos o 
equivalente de Norton.
Figura 124 - Teorema de Norton - circuito 
Fonte: Autor
Os passos para determinar o circuito equivalente de Norton são os seguintes:
1º - Retirar a carga do circuito, ou seja, o ramo considerado como carga, e iden-
tificar sua polaridade.
2º - Calcular a corrente em um curto-circuito nos terminais que ficaram abertos 
de onde foi tirada a carga. Para tal, você pode utilizar qualquer método estudado 
anteriormente.
3º - Retirar as fontes do circuito. Fontes de tensão são substituídas por um cur-
to circuito, e fontes de corrente por um circuito aberto.
4º - Calcular a resistência equivalente neste circuito nos terminais que ficaram abertos.
5º - Montar o circuito equivalente de Norton.
Seja o circuito da figura 120, calcular usando o Teorema de Norton o valor da 
tensão e da corrente no resistor RL para:
118 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
a) RL = 10 Ω
b) RL = 50 Ω
Figura 125 - Teorema de Norton - circuito 1
Fonte: Autor
Para solucionar o exemplo, devemos seguir estes passos:
1º - Retirar a carga do circuito, ou seja, o ramo considerado como carga, e iden-
tificar sua polaridade.
Figura 126 - Teorema de Norton - circuito 2
Fonte: Autor
2º - Calcular a corrente nos terminais que ficaram abertos de onde foi tirada a carga, 
por meio de um curto-circuito. Para tal, pode ser usado qualquer método estudado ante-
riormente. Observe que a corrente IN é a corrente através do resistor de 15 ohms temos:
Req = 10 + 
20
15 = 18,57Ω
Ieq = 
18,57
10 = 538,46Ω
Daí, por divisor de corrente:
Ieq = 
20+15
20 . 538,46 = 307,69 mA
3º - Retir as fontes do circuito. Fontes de tensão são substituídas por um curto, 
e fontes de corrente por um circuito aberto, da mesma forma que calculamos Rth.
Figura 127 - Teorema de Norton - circuito 3
Fonte: Autor
4º - Calcular a resistência equivalente neste circuito nosterminais que ficaram abertos.
RN = 15 + 
20
10 = 21,67Ω
5º - Montar o circuito equivalente de Norton.
5 CirCuitos de Corrente Contínua 119
Figura 128 - Teorema de Norton - circuito 4
Fonte: Autor
6º - Substituindo o valor de RL no circuito equivalente de Norton, calcular a 
corrente e a tensão. Estes valores são os mesmos para o circuito completo, visto 
que este é um circuito equivalente.
a) Para RL = 10 Ω temos:
IRL = 
10+21,67
21,67 . 307,69 = 211 mA
VRL = 211,17 . 10 = 2,1 V
b) Para RL = 50 Ω temos:
IRL = 
50+21,67
21,67 . 307,69 = 93 mA
VRL = 93 . 50 = 4,6 V
 CASoS e reLAtoS
reduzindo materiais e custos
Uma empresa de grande porte sediada no distrito industrial de Cachoeir-
inha, cidade metropolitana de Porto Alegre, solicitou aos seus projetistas 
a redução dos circuitos para execução de um projeto em escala indus-
trial. Consequentemente, essa ação reduziria também a quantidade de 
materiais empregados na montagem. A solução encontrada pelos pro-
jetistas foi a utilização intensa de circuitos de corrente contínua, pois o 
diferencial da sua marca era exatamente o tamanho e peso reduzidos em 
seus produtos. Por meio dessa ação, os projetistas também conseguiram 
a diminuição na demanda de materiais empregados, reduzindo a quanti-
dade de estoques, materiais e produtos, tanto diretos como indiretos, na 
produção. Consequentemente, houve redução de custos e aumento no 
lucro da empresa.
120 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Esse caso mostra como é importante que todos os profissionais tenham 
uma visão completa de sua fábrica e seus produtos. Isso porque, cada 
etapa de um projeto está ligada diretamente às outras etapas, formando 
um projeto integrado. Uma análise precisa de circuitos também influi na 
competitividade da empresa. 
5.7 CIrCuItoS Corrente ALternAdA
Corrente alternada é aquela cuja intensidade e direção variam periodicamen-
te, sendo o valor médio da intensidade durante um período igual a zero. As cen-
trais elétricas produzem e os consumidores (residenciais e industriais) consomem 
a corrente alternada, pois é a corrente utilizada por transformadores que irá com-
patibilizar os níveis de tensão para o trabalho. Além disto, nas indústrias princi-
palmente, os motores mais utilizados são os de corrente alternada, mais simples, 
resistentes e de baixo custo se comparados com os motores de corrente contínua. 
É de extrema importância a possibilidade de transformar a energia elétrica. 
A corrente alternada de pequena intensidade e alta tensão pode ser transfor-
mada de maneira simples e com pequenas perdas em correntes de alta inten-
sidade e baixa tensão, e vice-versa.
A corrente alternada é um processo periódico: seus valores instantâneos são senoi-
dais (variam em função do seno do ângulo formado entre as linhas de indução e os 
condutores da espira) e podem ser demonstrados pela seguinte expressão matemática:
Onde
5 CirCuitos de Corrente Contínua 121
A tensão alternada é obtida através do terceiro fenômeno do 
eletromagnetismo, que diz: “Se um condutor estiver imerso 
num campo magnético, desde que haja movimento relativo 
entre eles, surgirá entre seus terminais uma força eletromotriz 
(fem) induzida.” De forma bem simplificada, o enunciado da Lei 
de Faraday pode ser visualizado através da figura a seguir, que 
apresenta um gerador de uma hidrelétrica.
 VOCÊ 
 SABIA?
É a forma mais utilizada para a geração de energia elétrica no Brasil em virtude 
do aproveitamento da energia mecânica das águas para a conversão de energia.
Figura 129 - Hidrelétrica
Fonte: Autor
Figura 130 - Gráfico da ten-
são alternada em graus
Fonte: Autor
Figura 131 - Gráfico da tensão alternada em radiano
Fonte: Autor
Para a melhor compreensão dos conceitos fundamentais de uma forma de 
onda senoidal é necessário o estudo da representação gráfica de um parâmetro 
elétrico (V, I, P) em função do tempo ou ângulo. Por exemplo: é comum dizer que 
forma de onda é um gráfico V x t, I x t, P x t. Geralmente para sinais elétricos a for-
ma de onda segue uma função matemática, sendo sua variação dada em função 
do tempo, ângulos (graus ou radianos).
5.7.1 tensão e coRRente alteRnada
É aquela que varia sua intensidade e polaridade em intervalos regulares de tempo.
Como a tensão CA apresenta diversos valores ao longo de seu percurso, na 
figura a seguir destacamos alguns destes valores característicos. 
122 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Figura 132 - Tensão e corrente alternada - gráfico 1
Fonte: Autor
Para determinar os valores médios, o valor eficaz da forma de onda, ou seja, 
um parâmetro rms, e de pico-a-pico da tensão CA apresentados acima, utilizamos 
as expressões a seguir:
Vm = 0,637 . Vp;
Vrms = 0,707 . Vp;
Vpp = 2 . Vp.
Onde: 
Vm = valor médio da tensão C.A.
Vrms = valor médio quadrático da tensão C.A. ou Valor eficaz da tensão C.A.
Vpp = valor de pico-a-pico da tensão C.A.
Vp = valor de pico ou valor máximo da tensão C.A.
Existem ainda outros parâmetros, que são:
• Ciclo - É a menor porção não-repetitiva de uma forma de onda periódica, ou seja, é 
a sucessão de valores de uma forma de onda sem que ocorra a repetição do processo.
• Período (T) - É o intervalo de tempo para que um ciclo se complete. Sua uni-
dade é o segundo (S).
A seguir, apresentamos alguns exemplos de gráficos de ciclos e períodos de 
diversas formas de onda CA:
Figura 133 - Gráficos de ciclos e períodos de diversas formas de onda CA
Fonte: Autor
5 CirCuitos de Corrente Contínua 123
• Frequência (f ) - É o número de ciclos que a forma de onda descreve durante o 
tempo de 1 segundo. Sua unidade é o hertz, Hz. Uma forma de onda tem a frequ-
ência de 1 Hz, quando completa um ciclo em 1 segundo.
Então:
1 ciclo / s = 1Hz. Sabendo o valor do período da forma de onda T, calculamos 
a frequência: 
T = 1
f
Onde:
f - é a frequência da grandeza I ou V e
T - é o período da forma de onda.
A velocidade angular ω é a razão entre o ângulo descrito pela espira com o 
tempo gasto, como:
ω = Φt
Onde:
ω - é a velocidade angular,
Φ - é o fluxo magnético e
t - é o tempo.
Em uma volta completa, o ângulo ω vale 2π (rd) e o tempo gasto para descre-
vê-lo é igual ao período T em segundos. Portanto, podemos deduzir que:
Analise o exemplo a seguir: 
Dada uma tensão senoidal que possui como expressão V = 100 sen (1000t + 
45°), determine:
a) a frequência e o período da forma de onda;
b) o primeiro instante em que a forma da onda da tensão passa por zero;
Então, calculando a velocidade angular, temos:
a) A velocidade angular é ω = 1000 rad/seg. Então, temos:
Como o período T é o inverso da frequência, temos:
124 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
T = 1
f T = 6,28 ms , ou seja, 1 ciclo é completado a cada 6,28 ms.
b) Como a expressão está adiantada da referência 0° de 45°, determinamos o 
primeiro instante em que a forma de onda passa por zero. Substituindo 45° para 
seu valor em radianos, que é = π/4, temos:
5.7.2 ciRcuito Resistivo puRo
Como a resistência de um material só varia em função de natureza do material, 
da sua seção transversal, de seu comprimento e da temperatura, ela pode ser con-
siderada constante para este caso. A corrente é determinada, então, pela tensão 
da fonte que alimenta o circuito e pela resistência do resistor:
Figura 134 - Circuito resistivo puro
Fonte: Autor
Diagrama fasorial de uma circuito puramente resistivo
A corrente no circuito que contém apenas a resistência R coincide, quan-
ro à fase, com a tensão, ou seja, no cirucuito resistivo puro a tensão e a cor-
rente estão em fase.
Figura 135 - Circuito resistivo puro - gráfico senoidal
Fonte: Autor
Figura 136 - Circuito resistivo puro - 
gráfico fasorial
Fonte: Autor
5 CirCuitos de Corrente Contínua 125
5.7.3 ciRcuito indutivo puRo
Figura 137 - Circuito indutivo puro
Fonte: Autor
A indutância em um circuito que tem o elemento indutor puro surge devido a:
L = Φi
Onde:
L - é a indutância;
Φ – é o fluxo magnético e;
I - é a corrente elétrica.
Para converter uma forma de onda cossenoidal para senoidal basta adicionara forma de onda senoidal 90° ou π/2. 
Então, para determinar a tensão no indutor usamos a expressão:
Onde:
VL - é a tensão induzida;
L - é a indutância e;
Im - é a corrente do indutor.
A corrente num circuito indutivo puro está atrasada da tensão em 90°.
Para determinar a reatância indutiva utilizamos a expressão matemática: 
ω. L = XL
Onde:
ω - é a velocidade angular e;
L - é a indutância.
XL = 2 πf
Onde:
XL= reatância indutiva
A unidade da reatância indutiva é o ohm (Ω). A reatância indutiva XL é a oposi-
ção que a corrente alternada encontra ao passar por um indutor.
126 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Figura 138 - Circuito indutivo puro - diagrama fasorial
Fonte: Autor
5.7.4 ciRcuito capacitivo puRo
A corrente surge somente quando o capacitor é submetido à tensão e desapa-
rece quando sua carga se iguala à tensão da fonte CA aplicada ao circuito.
Figura 139 - Circuito capacitivo puro
Fonte: Autor
Figura 140 - Circuito capacitivo puro - diagrama fasorial
Fonte: Autor
Quando ligado a uma tensão alternada senoidal (V = Vm sen ωt), esta varia 
periodicamente e também faz variar, da mesma forma, a carga do capacitor, pois
Q = V. C
Onde:
Q - é a carga do capacitor;
V - é a tensão e;
C- é o valor do capacitor.
As variações da carga originam a corrente alternada no circuito, pois quando a 
carga aumenta os elétrons nos fios se deslocam numa direção, e quando a carga 
diminui os elétrons se deslocam em sentido contrário. 
Se a variação da carga fosse uniforme, teríamos para calcular a corrente:
i = Qt
5 CirCuitos de Corrente Contínua 127
Onde:
Q - é a carga do capacitor;
I - é a corrente e;
t - é o tempo.
Mas no circuito capacitivo puro, a corrente está adiantada da tensão em 
90°. Para tornar a expressão coerente com a Lei de Ohm, a corrente é expres-
sa da seguinte forma:
A oposição à passagem da corrente CA que um capacitor oferece é conhecido 
po reatância capacitiva ( Xc ). A retância capacitiva pode ser obtida pela expessão:
Onde: 
Xc = reatância capacitiva, Ω;
f = frequência, Hz;
C = capacitância do capacitor, f.
π = 3,14
Resolução de um circuito Rlc em paralelo
Figura 141 - Circuito RLC em paralelo 2
Fonte: Autor
1º passo: Determinar a corrente total do circuito:
i = iR
2 + (iC - iL)
2 
i = 102 + (18 - 12)2 
i =11,7mA
2º passo: Determinar a impedância do circuito:
128 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Z = Vi
Z = 12v
0,0117A
Z = 1026Ω
5.7.5 Ressonância
A ressonância num circuito CA acontece quando XL = XC. A frequência de res-
sonância (Fr) produz XL = XC e é determinada pela expressão:
fR = 
2 . π . L.C
1
 reCAPItuLAndo
Os circuitos mistos são os mais comuns em qualquer projeto. Inicialmente 
trabalhamos em separado os circuitos série e paralelo, porém o circuito 
misto é o mais usual. Vale apena lembrar também que para solucionar de 
forma mais rápida essas questões, é fundamental o conhecimento sobre 
as Leis de Kirchhoff, que vimos no capítulo anterior. Como observamos, as 
Leis de Kirchhoff se baseiam em dois princípios de conservação, o princí-
pio de conservação das cargas elétricas e o princípio de conservação da 
energia. A segunda lei de Kirchhoff se baseia no princípio de conservação 
da energia e estabelece que: “Percorrendo-se uma malha em certo senti-
do, partindo-se de um ponto e chegando-se a esse mesmo ponto, a soma 
algébrica das ddp é nula”.
5 CirCuitos de Corrente Contínua 129
Anotações:
6
Indutores e capacitores
Neste capítulo iremos estudar os seguintes fundamentos técnicos e científicos:
• Indutores
• Capacitores
6.1 IndutoreS
Os indutores são fios condutores enrolados de forma helicoidal (conforme figura 142) cha-
mados também de bobinas ou solenoides. Nos circuitos elétricos, as bobinas são elementos 
que geram campo magnético a partir da passagem de uma corrente elétrica. 
Figura 142 - Fios enrolados em forma helicoildal
Fonte: Autor
Na identificação das bobinas utilizamos os símbolos a seguir:
Figura 143 - Simbologia de bobinas
Fonte: Autor
A : núcleo de ar;
B : núcleo de ferrite;
C : núcleo de ferro laminado.
132 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
A propriedade elétrica fundamental do indutor está no fato de que uma varia-
ção da corrente elétrica em seus terminais acarreta nele, indutor, uma variação de 
campo eletromagnético. Essa variação de campo magnético induz (daí, o termo 
indutor) uma tensão em seus terminais. Essa característica é equacionada a partir 
de duas grandezas: indutância e reatância indutiva.
 Vamos compreender o que são indutância e reatância indutiva.
6.1.1 indutância (l)
Chamamos de indutância a capacidade que um indutor possui de induzir ten-
são em seus terminais. Ela deve ser entendida como uma oposição que o indutor 
oferece às variações de corrente em seus terminais. A Indutância tem como sim-
bologia a letra L, e sua unidade de medida é o Henry (H). 
L = 
Vi
∆i / ∆t
Onde:
L: indutância [H];
Vi: tensão induzida no indutor [V];
∆i / ∆t: taxa de variação da corrente.
A corrente varia na razão de um ampère por segundo.
Reescrevendo a equação anterior Vi = L . 
∆i
∆t
 , temos que a tensão induzida nos ter-
minais do indutor é diretamente proporcional à indutância e à variação da corrente no 
indutor. Significa dizer que, quando a corrente tender a variar nos terminais do indutor, 
a oposição a essa variação da corrente se dará através de uma tensão induzida Vi.
A indutância depende da constituição dos indutores, tais como:
• a forma como os fios são enrolados;
• o material do núcleo em torno do qual a bobina foi “enrolada”;
• o número de espiras ou espirais da bobina que formam o enrolamento;
• a área abrangida em cada espira;
• o comprimento da bobina.
Reatância indutiva (xl)
A reatância indutiva, XL, é a medida da oposição que um indutor oferece à variação 
da corrente em seus terminais. A unidade de medida da reatância indutiva é o ohm (Ω).
6 Indutores e CapaCItores 133
Equacionando XL:
XL = ω.L
ω = taxa de alternância da corrente
L = indutância da bobina.
Como:
ω = 2.π.f
Onde:
π = valor de referência 3,14
f = frequência em que ocorre a alternância.
Sendo assim, a equação para determinar a reatância indutiva será:
XL = 2.π.f.L
6.1.2 associação de indutoRes
A associação de indutores se dará em série ou em paralelo.
associação em séRie
Indutores em série são dispostos suficientemente afastados, de modo 
que não interajam eletromagneticamente um no outro, porém ligados jun-
tos, conforme a figura 144:
Figura 144 - Indutores
Fonte: Autor
Leq = L1 + L2
Onde:
Leq = indutância equivalente à associação
L1 e L2 = indutores 1 e 2
• Associação em série aditiva
134 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
A associação de indutores em série é aditiva quando os indutores são coloca-
dos suficientemente próximos e quando existe interação eletromagnética. 
Leq = L1 +L2 + LM
Onde: 
Leq = indutância equivalente à associação;
L1 e L2 = indutores 1 e 2;
LM = indutância mútua.
Figura 145 - Associação em série aditiva
Fonte: Autor
• Associação em série subtrativa
A associação de indutores em série é subtrativa quando a corrente comum 
produz campos magnéticos opostos.
Figura 146 - Associação em série subtrativa
Fonte: Autor
Leq = L1 + L2 – 2LM
Onde:
Leq = indutância equivalente à associação;
L1 e L2 = indutores 1 e 2;
LM = indutância mútua.
associação em paRalelo
Na associação em paralelo, os indutores não possuem acoplamento mútuo, ou 
seja, ficam dispostos como na figura 142, porém também afastados de modo que 
um não interfira eletromagneticamente no outro.
6 Indutores e CapaCItores 135
Figura 147 - Associação em paralelo - circuito
Fonte: Autor
Para determinar a indutância equivalente em paralelo, utilizamos a seguinte expressão:
Leq = 
L1 . L2
L1 + L2
Onde:
Leq = indutância equivalente à associação
L1 e L2 = indutores 1 e 2
Uma aplicação prática de indutores está na fabricação de 
filtros de sinais elétricos. O esquema abaixo apresenta um 
filtro “passa-baixa”. O circuito tem a função de deixar passar 
sinais de baixa frequência e anularsinais de alta frequência. 
Os filtros “passa-baixa” são usados em sistemas de som.
 SAIBA 
 MAIS
Figura 148 - Associação em paralelo - circuito 1
Fonte: Autor
O controle de velocidade em vias urbanas é realizado, muitas 
vezes, por sensores indutivos. É assentada sob o asfalto uma 
bobina formada por um cabo em espiral que gera um campo 
eletromagnético (loop indutivo). Quando uma massa de metal, 
como o carro, passa sobre ela, alterando a indutância, provoca 
mudança no campo. Um sensor testa constantemente essa 
mudança, registrando a passagem e a velocidade do Automóvel.
 VOCÊ 
 SABIA?
Perfil magnético de Automóvel a 50 km/h. Perfil magnético de Automóvel a 143 km/h.
Figura 149 - Perfil magnético de automóvel
Fonte: Autor
136 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
 FIQUE 
 ALERTA
As bobinas nos sistemas elétricos de Automóveis provocam uma 
tensão vl em seus terminais, segundo a equação vl = L . 
∆i
∆t
, com 
a finalidade de manter a corrente elétrica ou impedir que ela, a 
corrente, se estabeleça. 
A corrente de baixa voltagem, vinda da bateria, cria um campo magnético
cuja interrupção rápida induz na bobina uma corrente de alta voltagem que 
passa para o distribuidor
Terminal primário da bobina
Interruptor de ignição
que liga a bateria á bobina,
bem como vários outros 
circuitos.
Cabo procedente
da bateria
A bobina eleva a voltagem da bateria
Terminal de 
alta tensão
da bobina
Terminal de 
baixa tensão
O distribuidor
conduz
a corrente 
ás velas
Cabos de alta 
tensão que
ligam o distribuidor 
ás velas
Figura 150 - Bobinas
Fonte: Autor, baseado sistemasautomotivos.blogspot, 2009
Essa tensão atinge vários milhares de volts, configurando 
risco de acidente elétrico para leigos.
A variação da indutância em uma bobina é consequência 
da variação da posição do núcleo no interior da bobina, 
ou devido à variação da distância da bobina a um objeto 
metálico externo. O sensor indutivo é um componente de 
circuito eletrônico que usa essa propriedade para constatar 
a presença de objetos metálicos, conforme demonstra a 
imagem a seguir:
 SAIBA 
 MAIS
Figura 151 - Sensor indutivo
Fonte: Autor, baseado banco de imagens google
6.2 CAPACItoreS
Os capacitores são componentes eletroeletrônicos dotados de duas placas condu-
toras de metal paralelas, separadas por um material isolante, chamado de dielétrico.
Podemos definir o símbolo do capacitor como um par de traços, onde os dois 
são paralelos e iguais. O símbolo dos capacitores é sempre o mesmo, independente 
mente de serem esféricos, planos ou cilíndricos. Vejamos os símbolos mais usuais:
6 Indutores e CapaCItores 137
Figura 152 - Simbologia capacitores
Fonte: Autor
Os capacitores possuem formas variadas, conforme demonstrado na fi-
gura 135. 
6.2.1 capacitância 
A capacitância simbolizada por C é determinada a partir da carga elétrica ar-
mazenada por um capacitor e a tensão elétrica aplicada aos seus terminais. A uni-
dade de medida da capacitância é o Farad (F), e a expressão que a determina é:
C = Q
V
Onde:
C = capacitância do capacitor;
Q = carga elétrica;
V = diferença de potencial.
154 MF 333K
400V CTA 
Figura 153 - Capacitores de diferentes capacitancias
Fonte: Autor
6.2.2 associação de capacitoRes
Tanto os capacitores como os resistores podem ser associados em paralelo ou 
em série. O capacitor equivalente da associação dos capacitores é aquele que con-
serva quantidades iguais de cargas elétricas, sob a mesma tensão da associação.
associação de capacitoRes em paRalelo
Nos capacitores, também chamados de condensadores, as placas paralelas exis-
tentes são as placas coletoras, que são as positivas, e as placas condensadoras que 
são as negativas. As positivas (coletivas) ficam ligadas entre si, apresentando, assim, 
o mesmo potencial, representado por VA, já as negativas (condensadoras), também 
ficam ligadas entre si, porém apresentam um potencial comum, representado por VB.
138 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Vejamos a figura de um capacitor em paralelo: 
Figura 154 - Capacitor em paralelo
Fonte: Autor
É importante saber que todos os capacitores que estiverem em paralelo esta-
rão sujeitos a uma mesma tensão, como: V = VA – VB.
Figura 155 - Capacitor em paralelo 1
Fonte: Autor
Vejamos agora a carga total que foi armazenada pelo sistema:
Q = Q1 + Q2 + ... + Qn
Onde:
Q1 = C1 . V
Q2 = C2 . V
Q3 = C3 . V ...
Qn = Cn . V
Então:
Para o capacitor equivalente teremos:
Ceq = C1 + C2 + C3 + ...
associação de capacitoRes em séRie
Na associação em série, a placa condensadora, ou seja, a placa negativa está 
ligada diretamente à placa coletora, ou seja, a placa positiva. 
Vejamos a figura 156: 
6 Indutores e CapaCItores 139
Figura 156 - Associação de capacitores em série
Fonte: Autor
A carga que foi induzida, representada por + Q, fluirá na direção da placa cole-
tora do outro condensador. Com isso, a carga –Q será induzida na placa conden-
sadora e a carga positiva fluirá para a placa coletora de um terceiro capacitor, que 
induzirá a carga negativa em sua placa coletora, e assim por diante.
Com isso podemos concluir que, quando os capacitores estão em série, eles apresen-
tarão cargas iguais. Quando falamos da tensão representada por V, podemos afirmar que 
ela, na associação, é considerada a soma de todas as tensões individuais de cada capacitor.
Vejamos:
Veq = V1 + V2 + V3 + ...
Cada capacitor apresenta:
V1 = Q / C1 
V2 = Q / C2
V3 = Q / C3 ...
Se considerarmos Ceq como sendo a capacitância do capacitor total ou tam-
bém chamada de equivalente, teremos:
Ceq como: ( 1 ) = ( 1 ) + ( 1 ) + ( 1 ) ...Ceq C1 C2 C3
6.2.3 Reatância capacitiva (xc)
Reatância capacitiva é a oposição que o capacitor oferece à passagem da cor-
rente alternada. Ela é simbolizada por Xc, e sua unidade de medida é o ohm Ω. Ela 
mesma varia conforme varia a frequência. A reatância capacitiva é dada por:
2.π.f.CXc = 1 
Onde:
XC = reatância capacitiva medida em Ohm, Ω;
π = valor de referência 3,14;
f = frequência da rede medida em Hertz, Hz;
C = capacitância medida em Farad, F.
140 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Os capacitores em geral tem o valor de sua capacitância 
indicado em seu corpo. Alguns fabricantes usam uma 
simbologia especial para informá-la capacitância, como no 
exemplo da figura a seguir:
No capacitor do exemplo acima 
temos: os algarismos 4 e 7 e o 
multiplicador 2, que significa 
o exponte de base 10 (no caso 
102=100) e D é a tolerância de ± 
0,50 pF. A tolerância é o quanto a 
capacitância pode variar, seja para 
mais ou para menos. Na tabela a 
seguir são informados os valores de 
tolerância. O valor obtido é dado em 
picofarad. Assim, o valor comercial 
da capacitância será:
C= 47X100 = 4700 pF com uma 
tolerância de. ± 0,50 pF
 SAIBA 
 MAIS
TolerânCIA
Até 10 pF Acima de 10 Pf
B = 0,10 pF F= 1%
C = 0,25 pF G = 2%
D = 0,50 pF H = 3%
F = 1 pF J = 5%
G = 2 pF K= 10 %
M = 20%
P = + 100% - 0%
S = +50% - 20%
Z = +80% - 20%
Figura 157 - Capacitor
Fonte: Autor
Figura 158 - Capacitor 
eletrolítico de 25uF 100V
Fonte: Autor
6.2.4 pRincipais tipos de capacitoRes
Os capacitores comerciais são denominados de acordo com o material que 
isola eletricamente as placas do capacitor, e a este material chama-se dielétrico. 
A seguir, apresentamos uma tabela com exemplos dos principais tipos de capacitores:
Tabela 9: Principais tipos de capacitores
dIeléTrICo ConsTrução CAPACITânCIA
Ar placas condutoras entrelaçadas 10 pF a 400 pF
Mica folhas condutoras superpostas 10 pF a 5.000 pF
Papel folha condutora enrolada 0,001µF a 1µF
Cerâmica tubular 0,5µF a 1.600 pF
disco 0,002µF a 1µF
Eletrolítico alumínio 5µF a 1.000µF
tântalo 0,01µF a 300µF
Fonte: Eletricidade Básica. Milton Gussow
Os principais tipos de capacitores, conforme sua fabricação, são os cerâmicos, 
os plásticos e os eletrolíticos.
6 Indutores e CapaCItores 141
capacitoRes ceRâmicos
Os capacitores cerâmicos são os mais usados para valores baixos de carga e 
capacitância, conformea figura a seguir:
154
Figura 159 - Capacitores cerâmicos
Fonte: Autor
Os capacitores cerâmicos são classificados conforme o dialétrico (cerâmicas e 
óxidos) e a construção do disco. Seus parâmetros de capacitância variam de 1 a 
10.000 pF, e suas capacidades variam em volts de 25 a 250VCC ou VCA.
capacitoRes plásticos
Os capacitores plásticos também são muito usados em valores baixos de 
carga e capacitância.
 
Figura 160 - Capacitores plásticos
Fonte: Autor
Os capacitores plásticos são classificados conforme o dialétrico (Poliéster/
Mylar PET, Polipropileno – PP e Polietieno – PEN). Sua construção (folha e metali-
zado) e seus parâmetros de capacitância variam de 0,02 a 22uF, e sua capacidade 
em volts varia de 63 a 380VCC ou VCA.
capacitoRes eletRolíticos
Os capacitores eletrolíticos já possuem uma capacidade de carga maior 
que a dos anteriores. Podemos notar que sua carga varia conforme seu ta-
manho e tipo de construção.
142 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
 
Figura 161 - Capacitores eletrolíticos
Fonte: Autor
Os capacitores eletrolíticos são classificados conforme sua construção (polar/
monopolar e bipolar). Seus parâmetros de capacitância variam de 1 a 22.000uF, e 
suas capacidades em volts variam de 25 a 250VCC ou VCA.
Inventada na Holanda por Von 
Musschenbroek, em 1745, a “garrafa 
de Leiden” é considerada o primeiro 
capacitor construído e foi a primeira 
forma efetiva de acumular carga 
elétrica com altos potenciais.
 VOCÊ 
 SABIA?
Figura 162 - Capacitor de Von Musschenbroek
Fonte: Autor
 CASoS e reLAtoS
Automação e qualificação profissional
Uma empresa de grande porte da região metropolitana de Porto 
Alegre monta automóveis para todo Brasil e para alguns países da 
América Latina. A empresa baseia sua Automação Industrial em 
sensores e, consequentemente, reduz seus custos. Em um mercado 
extremamente competitivo, como temos atualmente, muitas em-
presas buscam melhorar sua margem de lucro, por meio da ino-
vação da automação, já que é a diferença na produção que vai al-
terar seus ganhos. 
6 Indutores e CapaCItores 143
Nessa empresa montadora que citamos, as gerências incentivam todos 
seus técnicos a adotarem a Automação nos processos industriais, a fim 
de que a empresa obtenha maior precisão, velocidade e, principalmente, 
redução nos custos de material. O que verificamos com a adoção de 
processos de Automação é que, inicialmente, essa decisão pode induzir 
a redução de funcionários. Entretanto, o que acontece na realidade, é a 
transformação dos funcionários em técnicos qualificados, caso o profis-
sional busque seu desenvolvimento profissional.
 reCAPItuLAndo
Neste capítulo, estudamos as características e o funcionamento de im-
portantes componentes eletroeletrônicos, que são os indutores e os ca-
pacitores. Vimos que os indutores são constituídos de bobinas que con-
vertem a energia elétrica em campo magnético, e que a capacidade do 
indutor de induzir tensão em seus terminais é conhecido como indutân-
cia. Observamos que os indutores podem ser associados em série ou em 
paralelo, e que a sua oposição à passagem da corrente CA é conhecida 
como reatância indutiva (XL).
Por último, estudamos os capacitores, que são elementos constituídos de 
duas placas de metal paralelas, separadas por um material isolante, con-
hecido como dielétrico, bem como sua capacidade de armazenar cargas 
elétricas em seu interior, conhecido como capacitância. Vimos os princi-
pais tipos de capacitores, e que eles podem ser associados, assim como 
os indutores, em série ou em paralelo e que sua oposição a passagem da 
corrente CA é chamada de reatância capacitiva (XC).
7
Circuitos rLC em corrente alternada
Neste capítulo iremos estudar os seguintes fundamentos técnicos e científicos:
• Circuitos RLC
• Circuitos CA
7.1 CIrCuItoS rLC em CA
No capítulo anterior você compreendeu o que é reatância capacitiva e indutiva, o que será im-
portante para que você equacione adequadamente o circuito RLC, que é uma associação de resis-
tores, indutores e capacitores. Existem, ainda, duas formas de associação: em série e em paralelo.
7.1.1 associação Rlc em séRie
O circuito RLC série é formado por uma série de resistores, indutores e capacitores. A figura 
163, demonstra essa forma de associação. Onde:
Figura 163 - Esquema elétrico
Fonte: Autor
R = O resistor tem resistência R
L = O indutor oferece reatância indutiva:
XL = 2 . π . f . L
146 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
C = O capacitor oferece reatância capacitiva:
Xc = 1 
2.π.f.C
Na associação em série, como já foi estudado anteriormente, a corrente I que 
passa pelos elementos é a mesma. Para calcular as tensões nos componentes uti-
lizamos a lei de Ohm, lembrando que no indutor e no capacitor suas oposições à 
passagem da corrente elétrica são respectivamente a reatância indutiva (XL) e a re-
atância capacitiva (XC).
Figura 164 - Esquema elétrico 1
Fonte: Autor
Para que exista corrente elétrica no resistor R, é necessário que exista tensão, VR 
nos seus terminais. Segundo a Lei de Ohm, essa tensão será determinada por VR = I . R.
A tensão VR está na mesma fase que a corrente I, ou seja, não existe diferença 
de fase entre tensão e corrente. Por exemplo, se analisarmos no gráfico senoidal 
na figura 165, veremos que os valores máximos de VR e I estão na mesma fase, ou 
seja, ocorrem no mesmo instante no tempo. Outra maneira de representar é por 
diagrama de fasores. Um fasor tem a mesma representação de um vetor; a dife-
rença é que o vetor varia no espaço e o fasor varia no tempo. No caso da repre-
sentação fasorial, a seguir, I e VR estão “apontando na mesma direção”; logo, não 
há diferença de fase entre elas. (fig. 166)
Figura 165 - Gráfico senoidal
Fonte: Autor
Figura 166 - Representação fasorial
Fonte: Autor
7 CirCuitos rLC em Corrente ALternAdA 147
 FIQUE 
 ALERTA
Na realidade, fasor é um tratamento vetorial que se dá 
a uma grandeza escalar e não vetorial. Por exemplo: a 
distância entre dois pontos é um vetor, pois necessita de 
orientação, ou seja, indicação de norte, sul, leste e oeste; 
já no caso da corrente elétrica, para defini-la somente são 
necessárias a quantidade e a unidade. Porém, neste estudo 
há necessidade de referenciar esta corrente no tempo.
RepResentação fasoRial
Nos terminais do indutor podemos determinar a tensão pela equação VL = I . 
XL No indutor a tensão VL está adiantada em 90º em relação à corrente I; ou seja, 
há uma diferença de fase entre a tensão no indutor e a corrente que passa atra-
vés dele de 90°. Quando falamos que a tensão está adiantada em 90° quer dizer 
que, quando comparamos alguns valores de tensão e corrente, como os valores 
máximos ou também chamados de pico, a exemplo do gráfico fasorial, figura 167, 
o valor máximo (VP) da tensão VL ocorre 90° antes do valor máximo de corrente 
(IP). Esta defasagem também é representada pelo diagrama de fasores, figura 168, 
onde temos o fasor de VR e VL formando um ângulo de 90° “apontando para cima”.
Figura 167 - Gráfico senoidal 1
Fonte: Autor
Figura 168 - Representação fasorial 1
Fonte: Autor
Nos terminais do capacitor devemos determinar a tensão VC com a expressão VC = I 
. XC. No capacitor, ao contrário do indutor, a tensão VC está atrasada em 90º em relação 
à corrente I. Quando falamos que a tensão está atrasada em 90° quer dizer que quando 
comparamos alguns valores de tensão e corrente, como os valores máximos ou de pico 
(VP e IP), a exemplo, o valor máximo da tensão VC, atinge 90° depois do valor máximo de 
corrente Ip. Abaixo mostramos esta defasagem (fig. 164 e 165) por meio de um gráfico 
senoidal e representação fasorial. No diagrama de fasores, vemos a diferença de fase en-
tre VR e VC, diferenciando que VC “aponta para baixo”, pois está atrasado em relação a VR.
148 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Figura 169 - Gráfico senoidal 2
Fonte: Autor
Figura 170 - Representação fasorial 2
Fonte: Autor
É importante relembrar que no circuito RLC série existe uma única corrente I 
e três tensões envolvidas(VR, VL e VC). A seguir, representamos através do gráfico 
senoidal e representação fasorial o comportamento das tensões e a função da 
corrente. (fig. 171 e 172)
Figura 171 - Gráfico senoidal com três tensões
Fonte: Autor
Figura 172 - Representação fasorial 3
Fonte: Autor
7 CirCuitos rLC em Corrente ALternAdA 149
7.1.2 Resolução de ciRcuitos Rlc
Por exemplo, no circuito abaixo, se fossemos calcular algebricamente a tensão 
(V) aplicada ao circuito, teríamos a expressão V = 50V+70V+30V = 150V. Porém, ob-
servando o valor de V no circuito, vemos que ele nos mostra 64V. Como já abordado 
anteriormente, as tensões no indutor e no capacitor estão defasadas em relação 
à corrente. Então, a soma dessas tensões deve computar o ângulo de fase dessas 
grandezas e não a soma algébrica. A soma, portanto, deve ser efetuada com álgebra 
de vetores, em nosso caso, como já vimos, álgebra de fasores.
I
Figura 173 - Resolução de circuitos RLC - circuito
Fonte: Autor
Utilizando a álgebra de fasores para resolver o circuito, temos a seguinte representação:
Figura 174 - Resolução de circuitos RLC - representação fasorial
Fonte: Autor
Note que, observando o diagrama de fasores acima, o tamanho do fasor de VC 
é maior do que o fasor de VL devido ao fato de XC ser maior que XL. Chegamos a esta 
conclusão porque VC é maior que VL, já que é um circuito série e o valor da corrente 
é o mesmo em cada componente. Utilizamos para esta análise as expressões abaixo:
XC = VC
I
 e XL = 
VL
I
Como na álgebra de vetores, vemos que VL e VC são dois fasores, na mesma di-
reção e sentidos opostos. Logo, temos o fasor resultante, VC-VL, apontando para 
baixo devido ao fato de VC ser maior que VL:
Figura 175 - Resolução de circuitos RLC - representação fasorial 1
Fonte: Autor
150 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Para determinar V, que é a componente resultante dos fasores de VC-VL com 
VR, devemos utilizar o teorema de Pitágoras, visto no capítulo 1:
Figura 176 - Resolução de circuitos RLC - representação fasorial 2
Fonte: Autor
Determinando V, temos V = (VR
2 + (VC - VL)
2)
Aplicando a equação na analise do circuito RLC série anterior teremos:
V = VR
2 + (VC - VL)
2
V = 502 + (70 - 30)2 V = 64V
Ao contrário do exemplo anterior, o circuito RLC proposto abaixo possui VL 
maior que VC. Logo, chegamos à conclusão de que XL é maior que XC, lembrando 
que, como no exemplo anterior a corrente é a mesma.
Figura 177 - Resolução de circuitos RLC - circuito 1
Fonte: Autor
O digrama de fasores fica:
Figura 178 - Resolução de circuitos RLC - representação fasorial 3
Fonte: Autor
Agora, o fasor de VL é maior que o de VC, representando o fasor resultante VL-VC, 
no diagrama abaixo:
Figura 179 - Resolução de circuitos RLC - representação fasorial 4
Fonte: Autor
7 CirCuitos rLC em Corrente ALternAdA 151
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
V2= (VR
2 + (VL - VC)2)
Resolvendo para V_R , temos:
V2= (VR
2 + (VL - VC)2)
V2= VR
2 + (VL - VC)2
V2= 45,82 + (80 - 60)2
V2= 45,82 + 202 V = 50V
7.1.3 impedância no ciRcuito Rlc em séRie
A oposição total que o circuito RLC oferece à passagem da corrente elétrica é 
conhecido como impedância. A impedância é simbolizada pela letra Z, e sua uni-
dade de medida é o Ohm (Ω).
A equação para determinar a impedância em um circuito RLC série é definida a 
partir do diagrama de fasores das tensões, como o da figura a seguir. Lembramos 
que a impedância (Z) é a oposição à passagem da corrente elétrica no circuito RLC.
Figura 180 - Impedância no circuito RLC em série - representação fasorial
Fonte: Autor
Como: VL = i . XL
 VR = i . R
 VC = i . XC
Reescrevendo o diagrama das tensões:
= I . XL
= I . R
= I . XC
Figura 181 - Impedância no circuito RLC em série - representação fasorial 1
Fonte: Autor
152 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Dividindo por i, teremos o diagrama das impedâncias: 
Figura 182 - Impedância no circuito RLC em série - representação fasorial 2
Fonte: Autor
O diagrama vetorial das impedâncias apresenta uma oposição de fase en-
tre a impedância indutiva (XL) e a impedância capacitiva (XC). A partir dessa 
constatação, podemos reduzir o sistema de três vetores para dois vetores e 
em duas situações:
a) Circuito RLC série, onde XL é maior que XC.
Figura 183 - Impedância no circuito RLC em série - represen-
tação fasorial 3
Fonte: Autor
Figura 184 - Impedância no circuito RLC em série - represen-
tação fasorial 4
Fonte: Autor
A partir do sistema de dois vetores a 90º, o vetor resultante, ou impedância da 
associação, pode ser determinado pelo teorema de Pitágoras.
Z = R2 + (XL - XC)2
b) No circuito RLC série, onde XC é maior que XL .
Figura 185 - Impedância no circuito RLC em série - represen-
tação fasorial 5
Fonte: Autor
Figura 186 - Impedância no circuito RLC em série - represen-
tação fasorial 6
Fonte: Autor
7 CirCuitos rLC em Corrente ALternAdA 153
A partir do sistema de dois vetores a 90º, o vetor resultante, ou impedância da 
associação, pode ser determinado pelo teorema de Pitágoras.
Z = R2 + (XC - XL)
2
Graficamente:
Figura 187 - Impedância da associação - Pitágoras
Fonte: Autor
Figura 188 - Impedância da associação - Pitágoras 1
Fonte: Autor
Corrente no circuito RLC série:
A corrente no circuito RLC série é uma relação entre a tensão aplicada e da 
impedância total do circuito, em conformidade com a lei de Ohm.
i = V
Z
Assim, para determinar a corrente num circuito RLC série devemos, antes, cal-
cular sua impedância.
No circuito da figura 184 vamos determinar, como exemplo, a impedância, a 
corrente, a tensão no resistor R, a tensão no indutor e a tensão no capacitor.
Figura 189 - Impedância no circuito RLC em série - circuito
Fonte: Autor
1º passo: Determinar a reatância indutiva do indutor (XL) e a reatância capaci-
tiva (XC) do capacitor.
XL = 2 . π . f . l
XL = 754Ω
XC = 1
2.π.f.C
XC = 1327Ω
2º passo: Determinar a impedância do circuito ( Z ):
Z = R2 + (XC - XL)
2
Z = 10002 + (1327 - 754)2 Z = 1153Ω
154 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
3º passo: Determinar a corrente no circuito:
i = V
z
i = 120v
1153Ω
i = 0,104A
4º passo: Determinar as tensões nos elementos do circuito: R, L e C:
VR = i . R
VR = 0,104 . 1000
VR = 104V
VL = i . XL 
VL = 0,104 . 754
VL = 78V
VC = i . XC
VC = 0,104 . 1327
VC = 138V
Como forma de comprovar as tensões calculadas nos elementos do circuito, 
vamos determinar a tensão total e comparar com a tensão aplicada ao circuito:
V = VR
2 + (VC - VL)
2
V = 1042 + (138 - 78)2 V = 120,07V
O resultado confere com o valor da tensão aplicada. A pequena diferença de 
0,07V deve-se aos arredondamentos realizados nos cálculos.
7.1.4 ciRcuito Rlc em paRalelo
O circuito RLC paralelo é formado por uma associação de resistores, indutores 
e capacitores integrados conforme a figura 190:
Figura 190 - Circuito RLC em paralelo
Fonte: Autor
7 CirCuitos rLC em Corrente ALternAdA 155
Como todo o circuito paralelo, a tensão é a mesma em todos os componentes 
e é igual à tensão aplicada pelo gerador. Por essa razão, a tensão serve como refe-
rência na determinação dos parâmetros do circuito.
A tensão aplicada ao circuito RLC paralelo produz em cada elemento do cir-
cuito uma corrente característica. A corrente no resistor IR está em fase com V. A 
corrente no Indutor IL está atrasada de V em 90°, e a corrente no capacitor IC está 
adiantada de V em 90°. Lembramos que estas características foram estudadas 
anteriormente no circuito RLC série. O circuito com a identificação das correntes 
é mostrado a seguir: (fig. 191)
Figura 191 - Circuito RLC em paralelo 1
Fonte: Autor
Analisando primeiro IR, temos que ela está em fase com a tensão aplicada ao 
circuito, conforme representado no gráfico senoidal e representação fasorial a 
seguir: (fig. 192 e 193)
Figura 192 - Circuito RLC em paralelo - gráfico senoidal
Fonte: Autor
Figura 193 - Circuito RLC em paralelo - representação 
fasorial
Fonte: Autor
Para determinar a corrente no resistor utilizamos aexpressão:
IR = V
R
A corrente no indutor IL está atrasada em 90º em relação à tensão aplicada, en-
quanto a corrente no capacitor IC está adiantada de V em 90°. Esta relação de fase 
entre as correntes e a tensão em função do tempo é apresentada graficamente e 
por meio de representação fasorial:
156 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Figura 194 - Circuito RLC em paralelo - gráfico senoidal 1
Fonte: Autor
Figura 195 - Circuito RLC em paralelo - representação 
fasorial 1
Fonte: Autor
Para determinar a corrente total do circuito IT utilizaremos também o teorema 
de Pitágoras.
• A corrente total é a soma fasorial das correntes nos elementos.
• A corrente total é a soma vetorial das correntes nos elementos.
Figura 196 - Circuito RLC em paralelo - representação fasorial 2
Fonte: Autor
Lembramos que a corrente IC está adiantada em 90º em relação à corrente iR e a cor-
rente iL está atrasada em 90º em relação a iR. A partir desta análise, devemos considerar:
a) Circuito capacitivo, quando iC > iL. Logo, como IC e IL estão em oposição de 
fase, devemos utilizar a resultante IC-IL para determinar IT:
Figura 197 - Circuito RLC em paralelo - circuito
Fonte: Autor
Logo, utilizando o teorema de Pitágoras temos a expressão para determinar IT:
IT = IR
2 + (IC - IL)
2
7 CirCuitos rLC em Corrente ALternAdA 157
b) Circuito indutivo, quando IL> IC . Logo, como IL e IC estão em oposição de 
fase, devemos utilizar a resultante IL-IC para determinar IT:
Figura 198 - Circuito RLC em paralelo - circuito 1
Fonte: Autor
Novamente reduzimos um sistema de três vetores a um sistema de dois ve-
tores a 90º. Assim, o equacionamento é executado com o teorema de Pitágoras. 
Para determinar a impedância do circuito RLC paralelo utilizamos a lei de Ohm:
IT = IR
2 + (IL - IC)2 Z = V
iT
7.1.5 ciRcuito Rlc séRie na Ressonância
A impedância do circuito RLC série é dada pela equação:
Z = R2 + (XL - XC)2
Como na ressonância XL = XC
Portanto, diminuindo os seus valores XL - XC =0 , teremos zero no resultado.
Então:
Z = R2 + (0)2
No circuito RLC série na ressonância temos: Z=R; ou seja, a impedância é igual 
à resistência do resistor.
O gráfico a seguir, (fig. 194) apresenta sobrepostos os comportamentos da reatância 
capacitiva e indutiva em função da frequência. Existe um ponto de intersecção onde 
a frequência torna XL igual a XC. A abscissa desse ponto é a frequência de ressonância.
Figura 199 - Determinação gráfica da frequência de ressonância
Fonte: Autor
158 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Qualquer circuito que contenha um capacitor e um indutor, em série ou paralelo, 
tem uma frequência de ressonância. Na frequência de ressonância o circuito RLC série 
tem impedância mínima. Portanto, a corrente é máxima nesta frequência específica.
Como já vimos, na ressonância a reatância capacitiva e a reatância indutiva são 
iguais (XL = XC). Consequentemente, iL = iC.
Figura 200 - Representação fasorial da correntes na ressonância
Fonte: Autor
Como iL e iC estão em oposição de fase, a resultante iL - iC é nula. Idealmente, na fre-
quência de ressonância o capacitor e o indutor não “absorveriam” correntes do gerador.
Então, a determinação das correntes no circuito fica:
i = iR
2 + (iL - iC)2
Como iL = iC
Temos que:
i = iR
2 + (0)2
i = iR
2 
i = iR
No circuito RLC paralelo a corrente total tem o valor mínimo na frequência de 
ressonância. Como conseqüência, a impedância do circuito é máxima.
Como:
Z = 
i
V 
Sendo esta corrente mínima teremos a seguinte expressão para calcular Z na 
ressonância: 
Z= 
imin.
V =Zmáx. 
7 CirCuitos rLC em Corrente ALternAdA 159
As ondas de rádio e TV viajam pelo espaço com frequências 
específicas. As emissoras são diferenciadas por frequências 
características. Na ressonância, o receptor “capta” a 
frequência da onda de rádio ou TV com eficiência máxima 
e o sinal da emissora é reproduzido pelo receptor. As ondas 
das outras emissoras, com frequências diferentes, não estão 
em ressonância com o receptor e são barradas pela alta 
impedância do receptor.
 SAIBA 
 MAIS
Figura 201 - Ressonância - circuito
Fonte: Autor
Na figura 201 temos um receptor AM esquematizado. No circuito, o capacitor 
de 100 pF e a bobina variável (sintonia) formam o circuito ressonante.
 CASoS e reLAtoS
Adoção de circuitos rlC
As cabines eram operadas por funcionários e o sistema era base-
ado em jatos de extintores de CO2, que reduziam a quantidade de 
oxigênio para apagar o fogo. Em caso de um disparo do sistema 
com funcionários trabalhando, o acidente poderia gerar perda 
na produção, devido à parada e retirada dos funcionários de seus 
postos de trabalho, ocasionando perda na qualidade da pintura de 
todos os automóveis da linha. A solução encontrada foi contratar 
um especialista em sinais elétricos, que projetou um circuito RLC, 
reduzindo a intensidade dos sinais elétricos e, assim, os problemas 
foram resolvidos.
160 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
 reCAPItuLAndo
Neste capítulo, fizemos um estudo do comportamento de circuitos com 
resistores, indutores e capacitores em série ou em paralelo. Observa-
mos que existe uma relação de fase entre os componentes por meio 
da representação fasorial, e que essa representação varia conforme a 
diferença dos valores das reatâncias dos componentes. Vimos que a 
oposição que um circuito RLC oferece à passagem da corrente elétrica 
é conhecida como impedância (Z). Abordamos, também, as característi-
cas e comportamento da corrente e tensão CA, quando aplicados a um 
circuito resistivo e puramente capacitivo e indutivo.
Concluindo, verificamos que podemos fazer um circuito RLC responder 
a uma única frequência, conhecida como frequência de ressonância. 
Isso possibilita selecionar a frequência desejada, o que é chamado de 
circuito sintonizado.
7 CirCuitos rLC em Corrente ALternAdA 161
Anotações:
magnetismo, eletromagnetismo e 
transformadores
Neste capítulo iremos estudar os seguintes fundamentos técnicos e científicos:
• magnetismo, eletromagnetismo; e
• transformadores.
8.1 mAgnetISmo e eLetromAgnetISmo
O termo magnetismo provém de magnetita (Fe3O4), uma rocha que recebeu esse nome por 
ter suas propriedades magnéticas primeiramente observadas por um pastor grego chamado 
Magnes. Existe também a hipótese de que o nome magnetita se deva ao fato de a rocha ter 
sido encontrada em grande quantidade da cidade de Magnésia (Grécia Antiga).
Figura 202 - Imã
Fonte: Autor
A magnetita apresenta propriedades magnéticas naturais em função de sua constituição de 
dipolo elétrico (+Fe3O4). A primeira grande aplicação pratica do magnetismo foi a bússola, que 
foi fundamental na época dos grandes descobrimentos. Mas foi Gilbert (1544–1603), na Uni-
versidade de Cambridge, que, em 1600, escreveu o primeiro tratado sobre magnetismo. Gilbert 
foi o primeiro a dizer que a Terra era um grande magneto. 
Posteriormente, os trabalhos de Coulomb, Oersted, Biot Savat, Arago, 
Weber, Ampère e principalmente Faraday, que instituiu a ideia de campo 
magnético, e Maxwell, que equacionou as observações de Faraday, 
proporcionaram a concepção atual de que o magnetismo é devido às 
correntes microscópicas no interior da matéria. Existem, na natureza, 
três tipos de materiais de interesse ao magnetismo: ferromagnéticos, 
paramagnéticos e diamagnéticos. Os materiais diamagnéticos formam 
campos contrários aos que os produziram; já os paramagnéticos e 
ferromagnéticos têm moléculas com dipolos magnéticos permanentes.
 VOCÊ 
 SABIA?
8
164 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Destes, os ferromagnéticos apresentam os dipolos magnéticos (peque-
nos imãs) alinhados, como mostra a figura 198, formando o que chamamos 
de imã permanente.
Figura 203 - Material ferromagnético
Fonte: Autor
Nos paramagnéticos, esses dipolos magnéticos estão orientados ao aca-
so, como mostra a figura 199. É necessária a presença de um campo exter-
no orientando esses dipolos para que o material obtenha características de 
imã. Esses imãs são denominados imãs artificiais e oprocesso é chamado de 
imantação.
Figura 204 - Material paramagnético
Fonte: Autor
Os imãs apresentam duas regiões de características magnéticas distintas, de-
nominadas polos magnéticos. (fig. 205)
Figura 205 - Imã 2
Fonte: Autor
Experimentalmente, é fácil demonstrar que não é possível separar o polo 
Norte do polo Sul de um imã. Esta propriedade dos imãs é chamada de inse-
parabilidade dos polos. (fig. 206)
 
Figura 206 - Imã 3
Fonte: Autor
Fracionando o imã, vamos formar dois novos imãs. Se continuarmos dividindo 
em 4, 8, 16 partes... enfim, em quantas partes quisermos, por menores que sejam 
as partes teremos sempre imãs completos (fig. 207)
Figura 207 - Divisão de Imã
Fonte: Autor
8 MagnetisMo, eletroMagnetisMo e transforMadores 165
Outra propriedade importante dos imãs é a atração e repulsão entre os 
polos. (fig. 208)
Figura 208 - Propriedades dos imãs
Fonte: Autor
Polos de mesmo nome se repelem e polos de nomes diferentes se atraem. 
8.1.1 campo magnético
Campo magnético é uma região no espaço em torno do imã onde ocorrem intera-
ções magnéticas. O campo magnético de um imã é uma grandeza vetorial, pois, além de 
sua intensidade, precisamos determinar sua direção e seu sentido, para que esse campo 
fique perfeitamente definido. Representamos o campo nessa região através de linhas de 
indução, como mostra a figura 209. Por convenção, as linhas de indução saem do polo 
Norte do imã e entram em seu polo Sul. Observe também que as linhas nunca se cruzam. 
Tangente às linhas de indução orientamos o vetor campo magnético B
V
.
Figura 209 - Linhas de força representando o campo magnético
Fonte: Autor, baseado mundoeducação. com br, 2012
A observação de um campo magnético pode ser feita com o seguinte experi-
mento: coloque um ímã sob uma folha de papel e sobre ela colocar limalhas de fer-
ro. Você observará a formação de linhas de orientação desenhadas pelas limalhas, 
evidenciando o campo magnético, conforme demonstrado nas figuras 210 e 211.
Figura 210 - Experiência
Fonte: Autor
Figura 211 - Imã 4
Fonte: Autor
166 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
As interações nos campos magnéticos são verificadas através das forças mag-
néticas. Colocando em diversos pontos do campo magnético um condutor ener-
gizado, podemos medir a força que o campo magnético exerce sobre o condutor 
em cada um desses pontos e obter, dessa forma, uma informação quantitativa 
que permitirá definir a intensidade do campo magnético.
Neste estudo, é importante que você associe a força magnética ao campo 
magnético, pois isso possibilitará aplicações práticas no eletromagnetismo. 
8.1.2 eletRomagnetismo
Em setembro de 1820, a histórica observação de Oersted relacionou os fenô-
menos magnéticos com os fenômenos elétricos. No experimento das figuras 212 
e 213, verificamos que o condutor energizado produz um campo magnético (ele-
tromagnético) capaz de ativar a agulha (imã) da bússola.
Figura 212 - Circuito não-energizado
Fonte: Autor
Figura 213 - Circuito energizado
Fonte: Autor
Campo eletromagnético é o campo gerado pela corrente elétrica no espaço 
circundante ao condutor.
A figura 214 demonstra que, sem a corrente elétrica no condutor, a limalha de 
ferro é distribuída aleatoriamente no papel.
Figura 214 - Limalhas de ferro distribuídas aleatoriamente 
Fonte: Autor
Se existir a corrente elétrica, ela produzirá o campo com o espectro circular de-
monstrado pela figura a seguir. No esquema desta figura é importante observar que 
as linhas de indução que representam geometricamente o campo estão num plano 
perpendicular (90º) em relação ao condutor. A orientação das linhas de indução é 
determinada pelo sentido da corrente no condutor, como demonstra a figura 215.
8 MagnetisMo, eletroMagnetisMo e transforMadores 167
Figura 215 - Circuito energizado com linhas de indução do campo magnético
Fonte: Autor
Para determinar a orientação das linhas de força do campo magnético usamos 
a regra da mão direita, é uma regra prática para determinar o sentido das linhas 
de indução (ou linhas de força) do campo eletromagnético no espaço do condu-
tor energizado. (fig. 216)
 
Figura 216 - Regra da mão direita
Fonte: Autor
O polegar deve ser orientado pelo sentido da corrente elétrica no condutor. Os 
demais dedos da mão direita orientam o sentido das linhas de indução do campo ele-
tromagnético, como demonstra a figura 216. Se invertermos o sentido da corrente no 
condutor, o sentido das linhas de indução também será invertido. Condutores ener-
gizados são eletroímãs. Como os imãs, interagem com forças de atração ou repulsão.
Com as linhas de indução no mes-
mo sentido, os imãs se atraem, obser-
vando que as linhas de indução saem 
do polo Norte e entram no polo Sul.
Figura 217 - Atração
Fonte: Autor
Idêntica situação existe com as 
linhas de indução nos condutores. 
Usando a “regra da mão direita” para 
determinar o sentido das linhas de in-
dução nos condutores, verificaremos 
que essas linhas têm o mesmo sentido. 
Portanto, os condutores irão se atrair.
168 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Com as linhas de indução no sentido 
oposto, os imãs se repelem, a observan-
do que as linhas de indução saem do 
polo Norte e entram no polo Sul.
Figura 218 - Repulsão
Fonte: Autor
Linhas de indução com sentidos os 
condutores irão se repelir.
Então, quando as correntes nos condutores paralelos tiverem sentidos opos-
tos, os condutores se repelirão pela ação oposta das linhas de força. Os campos 
eletromagnéticos não se somam, mas se repelem. Portanto, têm tendência de se 
anularem pela ação oposta das linhas de força.
8.1.3 campo eletRomagnético em espiRas
O campo eletromagnético também ocorre em espiras, solenóides e bobinas, au-
mentando a intensidade proporcionalmente e respectivamente.
A espira é um condutor (fio) dobrado segundo uma circunferência de centro O e 
raio R. As linhas de indução formam um circuito magnético passando pelo interior da 
espira, passando por dentro de espira e retornando por fora. Observe na figura 219 
as linhas de indução circular que se unem para formar um único campo magnético.
Figura 219 - Campo eletromagnético em espira
Fonte: Autor
8 MagnetisMo, eletroMagnetisMo e transforMadores 169
Para orientar o vetor campo eletromagnético gerado pela espira, vamos usar no-
vamente a regra da mão direita, demonstrado na figura 220. O polegar é orientado 
pelo sentido da corrente elétrica na espira. O dedo médio aponta para o centro da 
espira e a palma da mão indica o sentido do campo.
Figura 220 - Direção campo eletromagnético em espira
Fonte: Ramalho, 2007 
O solenóide é um agrupamento de espiras, e seu campo eletromagnético vem 
da soma dos vários campos das espiras. As linhas de força (indução) passam por 
dentro do solenóide e retornam por fora. O solenóide energizado tem os polos 
como os indicados na figura 221. 
Usamos a regra da mão direita para determinar a qualidade desses polos (Nor-
te ou Sul). Envolvendo a solenóide com a mão direita, os dedos da mão são orien-
tados pelo sentido da corrente nas espiras e o polegar indica o polo Norte.
Figura 221 - Campo eletromagnético em espira 1
Fonte: Autor
A intensidade do campo eletromagnético gerado pelo solenoide é dada 
pela expressão:
B = μ0 . N/l . i
μ0: permeabilidade magnética do vácuo (ar). É constante e vale: μ0 = 4 . π . 10-7 
(T.m)/A.
N: é o número de espiras.
l: é o comprimento do solenóide em metros.
i: é a intensidade de corrente elétrica em ampères.
170 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
A unidade da intensidade de campo eletromagnético no SI de Unidades é o Tesla (T).
A bobina é o condutor enrolado em muitas espiras, em camadas sucessivas, 
uma sobre a outra. Na verdade, são vários solenóides agrupados. As bobinas são 
enroladas com fios de isolação especial feita por uma capa de verniz de alto poder 
isolante em bases denominadas carretéis.
Figura 222 - Carretel
Fonte: Autor
Para aumentar a intensidade do campo eletromagnético é usual colocar no 
interior da bobina um núcleo de ferro, como nas figuras 223 e 224.A bobina assim 
constituída é chamada de eletroímã.
Figura 223 - Bobina sem núcleo de ferro
Fonte: Autor
Figura 224 - Bobina com núcleo de ferro
Fonte: Autor
Também utilizamos a regra da mão direita para determinar os polos de um 
eletroímã, porém devemos observar, necessariamente, alguns detalhes:
1º detalhe: Verificar o sentido em que são enroladas as espiras da bobina.
Figura 225 - Espiral da bobina
Fonte: Autor
2º detalhe: Verificar o sentido da corrente. É importante ter presente o terminal 
em que a corrente elétrica entra e o terminal em que ela sai.
Figura 226 - Espiral da bobina 1
Fonte: Autor
8 MagnetisMo, eletroMagnetisMo e transforMadores 171
Então, segure (ou imagine segurar) o solenoide com a mão direita mantendo 
o polegar esticado, como mostra a figura 227. As pontas dos dedos indicam o 
sentido da corrente e o dedo polegar, o polo Norte.
N S
Saída Entrada 
NORTEN S
NORTE
Saída Entrada 
Figura 227 - Representação da regra da mão direita
Fonte: Autor
A regra da mão direita também é aplicada para determinar o sentido da cor-
rente na bobina. No eletroímã da figura temos os polos Sul e Norte como indi-
cados. Aplicando a regra da mão direita à figura 228, devemos determinar que a 
corrente elétrica entra pelo terminal x e sai pelo terminal y.
Figura 228 - Representação da regra da mão direita 1
Fonte: Autor
 FIQUE 
 ALERTA
A comunidade cientifica acredita que a energia com baixos 
níveis de frequência, como as dos campos magnéticos, são 
biologicamente ativos e podem provocar danos a saúde. 
Os trabalhadores do setor elétrico, operadores de rádio, 
micro-ondas e telefonia celular estão expostos a esses 
efeitos de campo.
8.1.4 foRça de atRação eletRomagnética em eletRoimãs
O eletroimã, como no esquema ao lado, é utilizado para realizar o trabalho.
A expressão que determina a força eletromagnética F é dada por:
F = 
4 . π . F . 9,18 . 105
B2 . S unidade: kgf
172 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Figura 229 - Eletroimã
Fonte: Autor
Onde:
B é fluxo magnético em Gauss;
S é a secção transversal do núcleo em cm2 representada na figura acima.
Para calcular o fluxo magnético necessário na(s) bobina(s) do eletroímã para 
produzir a força F devemos usar a expressão:
B = 4 . π . F . 9,18 . 105
S
O circuito efetivado pelas linhas de indução é denominado circuito magnético. 
As figuras 230 e 231 representam dois circuitos magnéticos clássicos. O eletroímã 
da figura 231 é mais eficiente porque as linhas de indução têm maior facilidade 
para completar o circuito magnético.
Figura 230 - Eletroimã 1
Fonte: Autor
Figura 231 - Circuito magnético
Fonte: Autor
Neste eletroímã, o circuito mag-
nético é formado, em grande par-
te, pelo ar.
O circuito magnético neste ele-
troímã é formado quase exclusiva-
mente, pelo núcleo de ferro.
Outro fator que devemos considerar na avaliação de eletroímãs é o entrefer-
ro. Entreferro é o espaço que pode existir entre o núcleo e o fecho do eletroímã, 
como mostra as figuras 232 e 233. No ar, a relutância é cerca de 8.000 vezes maior 
que a do ferro. A relutância mensura a dificuldade que o meio oferece ao estabe-
lecimento do campo magnético.
8 MagnetisMo, eletroMagnetisMo e transforMadores 173
Figura 232 - Entreferro
Fonte: Autor
Figura 233 - Entreferro 1
Fonte: Autor
O mercado mundial de materiais magnéticos duros (ou 
permanentes) é da ordem de US$ 1 bilhão ao ano, mas o 
mercado dos bens que deles dependem é dezenas de vezes 
mais elevado, e o mercado mundial em gravação magnética 
é estimado em torno de US$ 100 bilhões por ano e vem se 
expandindo a uma taxa próxima a 17% ao ano.
 SAIBA 
 MAIS
Existem trabalhos que estão realizando a conexão de 
nanopartículas magnéticas a células cancerosas, o que 
tornaria possível aplicar um campo magnético alternado 
suficientemente forte para movimentar essas partículas 
e aquecer localmente o tumor, provocando a eliminação 
do câncer sem os indesejados efeitos colaterais da 
quimioterapia da radioterapia.
 VOCÊ 
 SABIA?
8.2 trAnSformAdoreS
Os transformadores são equipamentos que transformam tensão ou corrente elé-
trica em níveis de grandeza diferentes, para aplicações específicas. Em princípio, não 
há uma transformação de energia, apenas mudanças nos valores de tensão e/ou cor-
rente, porém há perdas, e a energia resultante torna-se menor que a energia inicial.
Veja a aplicação dos transformadores no seu dia-a-dia:
Você ganhou em um sorteio um refrigerador com tensão de trabalho de 110V, 
mas você mora em cidade onde a rede elétrica tem a tensão de 220V. O que fazer? 
Não buscar o prêmio? Para este caso, você terá que colocar um transformador 
com entrada 220V e saída 110V.
8.2.1 tRansfoRmadoR monofásico
Um transformador é composto de, no mínimo, uma bobina primária e outra 
bobina secundária. Quando alimentamos a bobina primária com uma tensão 
elétrica, ela gera um campo magnético que interferirá na bobina secundária, in-
duzindo nela uma corrente elétrica e, ocasionado o surgimento de uma tensão 
elétrica na bobina do secundário.
174 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Porém, para haver corrente induzida é necessário que a espira do secundário 
corte linhas de força diferentes. Como o transformador não é móvel, é necessário 
que o campo magnético seja variável; portanto, um transformador só funciona 
com corrente alternada. Sabemos que o campo magnético de uma bobina é dire-
tamente proporcional à tensão aplicada e ao número de espiras que a compõem. 
Assim, também uma bobina que está sendo induzida terá sua corrente induzida 
diretamente proporcional ao campo magnético ao qual está exposta e ao número 
de espiras que a compõem. Daí surge a seguinte expressão:
V primario = Nº espiras primário
V secundário Nº espiras secundário
Isto resulta na relação de transformação: se um transformador é composto 
de 600 espiras no primário e 60 espiras no secundário, terá uma relação de 10:1 
(redutor). Isto quer dizer que a tensão injetada no primário será reduzida em 10 
vezes no secundário.
Sabemos que o transformador não transforma energia; portanto, a potência 
elétrica do primário, desprezando as perdas, será igual à potência do secundário.
P primário(PP) = Psecundário(PS)
Em termos de tensão e corrente, isto quer dizer que:
Vprimário (VP) . Iprimário (IP) = Vsecundário (VS) . Isecundário (IS)
Como exemplo de aplicação temos um transformador com relação de es-
piras 10:1, com a tensão no primário de 220V e secundário 24V. Com uma 
capacidade de drenar 12A, o secundário terá uma capacidade de fornecer 
10 vezes esta corrente.
Efetuando os cálculos para determinar a corrente necessária no primá-
rio (Ip), temos:
Pp = Ps
Vp . Ip = Vs . Is
220 . Ip = 24 . 12
Ip = 288 / 220
Ip = 1,3 A
Isto porque:
Pp = Ps
Vp . Ip = Vs . Is
220 . 1,3 = 24 . 12
288 W = 288 W.
8 MagnetisMo, eletroMagnetisMo e transforMadores 175
Para a melhor condução magnética do campo do primário para o campo do 
secundário utilizamos lâminas de material ferroso como núcleo. (fig. 234)
Figura 234 - Tipos de núcleo
Fonte: Autor
Quanto à forma de onda, acontece uma inversão do sinal do primário, devido 
à transmissão por campo magnético (defasagem 90° corrente e campo). (fig. 235)
Figura 235 - Forma de onda
Fonte: Autor
8.2.2 tRansfoRmadoRes com mais de uma bobina no pRimáRio e 
no secundáRio
Os transformadores podem ter várias bobinas no primário e no secundário, 
visto que o campo magnético está concentrado no mesmo núcleo. (fig. 236)
Figura 236 - Transformador com mais de uma bobina
Fonte: Autor
Inclusive a bobina pode ter derivação; neste caso chamamos de Tape Center. (fig. 237)
Figura 237 - Derivação central
Fonte: Autor
176 AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
8.2.3 tRansfoRmadoR tRifásico
Um transformador trifásico é composto de três bobinas primárias e três bobi-
nas secundárias. Cada bobina do primário é enrolada com sua respectiva bobina 
do secundário no mesmo núcleo. O primário pode ser ligado tanto em estrela 
quanto em triângulo, assim como o secundário, independentemente.(fig. 238)
Figura 238 - Transformador trifásico
Fonte: Autor
Um transformador trifásico possui duas tensões de entrada e duas tensões de 
saída, dependendo da ligação que fizemos.
8.2.4 autotRansfoRmadoR tRifásico
Esses autotransformadores são trifásicos que possuem as bobinas de pri-
mário e secundário interligadas em um ponto em comum, sendo a bobina 
de secundário com tapes para a escolha de tensão. Normalmente, os tapes 
são de 50%, 65% e 80%. (fig. 239)
Figura 239 - Autotransformador trifásico
Fonte: Autor
8 MagnetisMo, eletroMagnetisMo e transforMadores 177
 reCAPItuLAndo
Neste capítulo foi abordado que os materiais que possuem principal-
mente ferro na sua composição apresentam propriedades magnéti-
cas. Estes materiais magnéticos são conhecidos como imãs e que esses 
atraem outros materiais como o ferro devido a uma força que existem em 
torno dele conhecido como campo magnético.
Vimos que quando um condutor é percorrido por uma corrente elétrica 
o mesmo produz um campo magnético em torno dele e que este fenô-
meno é conhecido como eletromagnetismo e que a orientação das linhas 
de força deste campo depende do sentido da corrente que atravessa este 
condutor. Vimos também, que se enrolarmos este condutor de modo a 
formar um laço ou espira entorno de um núcleo de ferro aumentamos a 
intensidade deste campo magnético.
Por último, estudamos sobre os transformadores que é um compo-
nente eletroeletrônico usado para transformar uma valor de tensão 
CA em outro, maior ou menor, dependendo da sua aplicação em um 
determinado circuito elétrico. Vimos que os transformadores são con-
stituídos de duas bobinas enroladas em um núcleo de ferro, onde uma 
tensão elétrica aplicada a bobina no primário, induz uma tensão no se-
cundário, por meio de acoplamento magnético. No final vimos sobre os 
transformadores trifásicos e autotransformadores, que possuem mais 
de uma bobina no primário e no secundário.
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mInICurríCuLo doS AutoreS
Rosano daniel nunes
Graduação em Engenharia Elétrica pela Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do 
Sul-PUCRS, 2003. Especialização em Gestão de Instituições de Ensino, pela Faculdade Porto Ale-
grense – FAPA, 2011. Técnico em Telecom da CRT Brasil Telecom (1997-2000). Técnico em ma-
nutenção Senior da ABB Ltda (2000-2002). Engenheiro Eletricista da URS Division Washington 
Group International do Brasil Ltda, (2002-2009). Instrutor nível técnico para turmas de terceiro e 
quarto módulo em eletrônica, do SENAI Visconde de Maúa, desde 2009. 
JoRge luis caRdozo
graduação em Ciências Físicas e Biológicaspela Faculdade Porto Alegrense - FAPA. Licenciatura 
em Eletrônicapela Universidade do Vale do Rio dos Sinos – UNISINOS.Especialização em Eficiência 
Energética pela Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul-PUCRS.Especialização em 
Ciências da Terra pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul-UFRGS. Professor de Física da 
Instituição Educacional São Judas Tadeu, desde 1994. Supervisor de Eletrônica doCentro Tecnoló-
gico Estadual Parobé, desde 1988. Instrutor de Nível Técnico do SENAI/RS, desde 2005.
índICe
A
Amperímetro 70, 77, 78, 80, 81
Associação de capacitores 129, 131
Associação de indutores 125, 126
Associação dos resistores 87, 89
Associação paralela de dois resistores 108
Associação paralela de resistores de mesmo valor 108
Associação RLC em série 137
C
Campo eletromagnético em espiras 168
Campo magnético 123, 124, 150, 163, 165, 166, 167, 168, 172, 173, 174, 175
Capacitância 80, 129, 131, 132, 133, 134, 156
Capacitância de um capacitor 129
Capacitores 123, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 137, 146
Capacitores cerâmicos 133
Capacitores eletrolíticos 133
Capacitores plásticos 133
Ciclo trigonométrico 51
Circuito capacitivo puro 155
Circuito eletrônico 71, 128
Circuito indutivo puro 154
Circuito misto 110, 111
Circuito paralelo 106, 108, 147
Circuito paralelo de corrente contínua 106
Circuito resistivo puro 153
Circuitos corrente alternada 149
Circuitos de corrente contínua 103
Circuito série 103, 105, 141
Circuitos RLC em CA 137
Circuitos RLC em corrente alternada 137
Circuitos série de corrente contínua 103
Coeficiente 41, 42, 88
Comprimento da circunferência 50
Condutores 72, 73, 123, 149, 167, 168
Conversão binário decimal 35
Conversão de base numérica 21, 34
Conversão decimal binário 36
Conversão decimal hexadecimal 37
conversão de um número do sistema binário 35
Converter 21, 23, 24, 33, 34, 36, 50, 67, 74, 154
Corrente alternada 13, 74, 75, 77, 131, 137, 149, 150, 151, 155, 174
Corrente contínua 74, 76, 77, 103, 106, 149
Corrente elétrica 70
Cosseno 52, 53
Coulomb 22, 60, 62, 67, 163
Curto circuito 113, 115, 116, 117
d
Diagrama de fasores 138, 139, 141, 143
Diferença de potencial 68, 69, 89, 92, 93, 94, 104, 106, 107, 110, 129
Divisor de corrente 109
Divisor de tensão 109
Divisores de tensão e corrente 109
e
Eletroimãs 171
Eletromagnetismo 150, 163, 166, 179
Eletrostática 59, 63, 64
Equação 38, 39, 42, 43, 44, 46, 49, 61, 76, 87, 88, 90, 94, 96, 97, 99, 100, 104, 107, 108, 124, 125, 128, 
139, 142, 143, 157
Equação linear 38
Equações exponenciais 46
F
Fontes de energia 59, 73
Força eletromotriz 74
Fórmula de Báskara 44
Função cosseno 52, 53
Função de 2º grau 43, 44
Função exponencial 45
Função linear 41, 42
Função logarítmica 46, 47
Função seno 51, 52
Função tangente 53, 54
Funções de 1º grau, 2º grau, exponencial, logarítmica e trigonometricas 41
g
Gráfico 29, 41, 43, 47, 88, 138, 139, 140, 147, 150, 151, 153, 157
Grandezas elétricas 59, 68
I
Impedância 143, 144, 145, 149, 157, 158, 159
Indutância 124, 125, 126, 127, 128, 154
Indutores 123, 125, 179
Instrumentos de medidas 59, 77
Isolantes 72
K
Kirchhoff 87, 91, 92, 93, 94, 95, 97, 98, 99, 101, 104, 106, 107
l
Lei de Coulomb 67
Lei de Kirchhoff 92
Lei de Ohm 75, 79, 87, 88, 105, 107, 138, 156
Leis de Kirchhoff 87, 91, 92, 94, 97, 101
Logaritmo 46, 47
M
Magnetismo 163
Magnetismo e eletromagnetismo 163Medição da resistência 79
Medição de corrente 77
Medição de tensão 78
Medição por meio de multímetro digital 80
Multímetro 80, 81
Multímetro digital 80
Múltiplos e submúltiplos 21, 32
n
Números decimais 29, 31, 36, 37, 56
Números fracionários 25
o
Ohm 71, 75, 79, 87, 88, 105, 107, 131, 138, 143, 145, 149, 156
Ohmímetro 71, 80
Operação com frações 28
Operações aritméticas com potências de dez 24
Operações com números decimais 31
Osciloscópio 82, 83
P
Potência de base dez 21
Potência e energia elétrica 59, 75
Potência elétrica 75
Prefixos métricos 32
Princípios de eletrostática 63
Propriedades de potenciação 46
Propriedades dos logarítmos 48
r
Reatância capacitiva 131
Reatância indutiva 124, 125, 137, 138, 145, 154, 155, 158
Redução de frações ao mesmo denominador 27
Regra da mão direita 167, 169, 170, 171
Relações trigonométricas 21, 55, 56
Relações trigonométricas de ângulos 56
Representação fasorial 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 147, 148
Representação gráfica de funções 21, 51
Resistência 71, 72, 73, 104, 107
Resistência elétrica 13, 33, 49, 71, 72, 73, 79, 80, 87, 88, 108
Resistência equivalente 92, 104, 105, 106, 108, 109, 110, 111, 112, 115, 116, 117, 118
Resistência equivalente de associação paralela 107
Resistência específica 72
Resistores em paralelo 90, 91
Resistores em série 89
Ressonância 157, 158, 159
s
Seno 51, 52, 53, 56, 149
Senóide 52
Sistema de numeração binário 35
Sistema de numeração hexadecimal 36
Sistema linear 37, 39
T
Tangente 53, 54, 56, 88
Tensão e corrente alternada 150, 151
Tensão elétrica 68
Teorema da superposição 112, 113
Teorema de Norton 117, 118, 119
Teorema de Pitágoras 51, 55, 143
Teorema de Thévenin 115, 116
Transformadores 75, 78, 79, 149, 163, 173, 175
Trigonometria básica 49
V
Valor eficaz 151
Voltímetro 69, 79, 80, 81
senAI – dePArTAMenTo nACIonAl
unIdAde de eduCAção ProFIssIonAl e TeCnológICA – unIeP
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Elaboração
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Rafael Andrade
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Tratamento de imagens e Diagramação
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Normalização
i-Comunicação Regina M. Recktenwald
Projeto Gráfico Revisão Ortográfica e Gramatical
9 788575 195024
ISBN 978-85-7519-502-4