Leis dos Senos e dos Cossenos

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Num triângulo qualquer
Lei dos Senos
   a    =    b    =    c    
senα    senβ    senθ
Lei dos Cossenos
a2 = b2 + c2 – 2·b·c·cosα
b2 = a2 + c2 – 2·a·c·cosβ
c2 = b2 + a2 – 2·b·a·cosθ
Fórmula de Heron
Área = 
Sendo:
a, b e c = lados do triângulo
p = semi-perímetro = 
Exercício:
Em um levantamento topográfico, conforme o croqui apresentado abaixo, foram obtidos os seguintes valores: 
a) PQ = 200,00 m
b) a partir do ponto P: BPA = 40º 58'; APQ = 38º 40' 
c) a partir do ponto Q: BQP = 29º 30'; AQP = 108º 20'
Determinar o perímetro e a área do polígono ABPQ.
 
Solução:
 Ângulo BPA = α = 40°58,0’
Ângulo APQ = β = 38°40,0’
Ângulo BQP = γ = 29°30,0’
Ângulo AQP = δ = 108°20,0’
φ = 180° - β – γ = 180° - 38°40,0’ - 29°30,0’ = 111°50,0’
σ = 180° - φ = 180° - 111°50,0’ = 68°10,0’
ε = 180° - α - σ = 180° - 40°58,0’ - 68°10,0’ = 70°52,0’
θ = δ - γ = 108°20,0’ - 29°30,0’ = 78°50,0’
ζ = 180° - σ - θ = 180° - 68°10,0’ - 78°50,0’ = 33°00,0’
Aplicando a Lei dos Senos no triângulo CPQ, temos que:
 = = 
sen 38°40,0’ x 200,00 = sen 111°50,0’ x CQ
CQ = 134,61 m
sen 29°30,0’ x 200,00 = sem 111°50,0’ x CP
CP = 106,09 m
Aplicando a Lei dos Senos no triângulo BCP, temos que:
 = = 
sen 40°58,0’ x 106,09 = sen 70°52,0’ x BC
BC = 73,62 m	
sen 68°10,0’ x 106,09 = sem 70°52,0’ x BP
BP = 104,24 m
Aplicando a Lei dos Senos no triângulo ACQ, temos que:
 = = 
sen 78°50,0’ x 134,61 = sen 33°00,0’ x AC
AC = 242,48 m
sen 68°10,0’ x 134,61 = sen 33°00,0’ x AQ
AQ = 229,43 m
Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo ABC, temos que:
AB² = BC² + AC² - 2 . BC . AC . cos φ
AB² = 76,62² + 242,48² - 2 x 76,62 x 242,48 x cos 111°50,0’
AB² = 78.486,39		→		AB = 280,15 m
Perímetro do polígono ABPQ = AB + BP + PQ + AQ 
Perímetro do polígono ABPQ = 280,15 + 104,24 + 200,00 + 229,43 = 813,82 m
Avaliação da Área – Heron
Triângulo ABQ
2p = perímetro = AB + BQ + AQ = 280,15 + 208,23 + 229,43 = 717,81 m
p = 358,91 m
Área = 
Área = = 23.484,15 m²
Triângulo BPQ
2p = perímetro = BP + PQ + BQ = 104,27 + 200,00 + 208,23 = 512,50 m
p = 256,25 m
Área = 
Área = = 10.256,46 m²
Área do polígono ABPQ = 23.484,15 + 10.256,46 = 33.740,61 m² = 3,374 ha