engenharia de estruturas

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ISSN 1413-9928 
(versão impressa) 
 
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2002 
EESSTTRRUUTTUURRAASS MMEETTÁÁLLIICCAASS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Departamento de Engenharia de Estruturas 
Escola de Engenharia de São Carlos – USP 
Av. do Trabalhador Sãocarlense, 400 – Centro 
13566-590 – São Carlos – SP 
Fone (16) 273-9455 Fax (16) 273-9482 
http://www.set.eesc.sc.usp.br 
 
 
 
ISSN 1413-9928 
(versão impressa) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SSUUMMÁÁRRIIOO 
 
 
 
Análise da segurança no projeto de estruturas: método dos estados limites 
Leila A. de Castro Motta & Maximiliano Malite 1 
 
Critérios de dimensionamento de tremonhas piramidais para silos metálicos 
elevados 
Ernani Carlos de Araújo & Carlito Calil Junior 33 
 
Contribuição ao estudo das estruturas metálicas espaciais 
Alex Sander Clemente de Souza & Roberto Martins Gonçalves 43 
 
Análise numérica e experimental de estruturas espaciais constituídas de 
barras de extremidades estampadas: estudo dos nós 
Adriano Márcio Vendrame & Roberto Martins Gonçalves 75 
 
Análise teórica e experimental de treliças metálicas espaciais constituídas por 
barras com extremidades estampadas 
Carlos Henrique Maiola & Maximiliano Malite 105 
 
Análise da estrutura de cabos da cobertura do pavilhão da Feira Internacional 
de Indústria e Comércio – Rio de Janeiro 
Elizabeth Oshima de Aguiar & Roberto Luiz de Arruda Barbato 127 
 
Perfis de aço formados a frio submetidos à flexão: análise teórico-experimental 
Carlos Eduardo Javaroni & Roberto Martins Gonçalves 149 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 1-32, 2002 
 
 
 
ANÁLISE DA SEGURANÇA NO PROJETO DE 
ESTRUTURAS: MÉTODO DOS ESTADOS LIMITES 
Leila A. de Castro Motta1 & Maximiliano Malite2 
R e s u m o 
Este trabalho aborda a introdução da segurança baseada em métodos probabilísticos, 
aplicados nos cálculos em estados limites, apresentando informações com o objetivo de 
esclarecer o meio técnico em geral a respeito dos fundamentos teóricos e das vantagens 
que tal método apresenta frente ao tradicional método das tensões admissíveis. 
Apresenta-se ainda alguns exemplos de cálculo, mostrando a determinação do índice 
de confiabilidade e dos coeficientes adotados no método dos estados limites, os quais 
são calibrados em relação aos tradicionais coeficientes de segurança do método das 
tensões admissíveis. 
 
Palavras-chave: Estruturas; estruturas de aço; segurança; confiabilidade; estados 
limites. 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
1.1 Avanços na engenharia estrutural 
 A década de 90 do século dezenove foi um período de progressos na 
construção de edifícios de aço, com o amadurecimento de muitos sistemas 
estruturais, métodos de cálculo e tecnologia, por exemplo, tecnologia de solda, 
construção composta aço-concreto, cálculo de estruturas sismo-resistentes, pontes 
estaiadas, edifícios altos, estruturas de concreto de alta resistência, e muito mais. 
Estes avanços na construção de edifícios, é claro, não ocorrem isoladamente. 
 Desenvolvimentos paralelos na ciência dos materiais, mecânica aplicada, 
metalurgia, matemática, ciências da computação, química, física, e em muitos outros 
campos fizeram do século vinte talvez o mais excitante para todos os cientistas e 
engenheiros. 
 As forças estimulantes destas mudanças são muitas e é importante destacar 
que o aparecimento e evolução das normas técnicas direcionaram a construção civil, 
estabelecendo “regras” a serem cumpridas pelos projetistas e construtores. 
 Buscou-se entender bem a resistência última das estruturas sob 
carregamentos estáticos e dinâmicos. Este entendimento foi então aplicado na prática 
de uma forma direta para um projeto específico ou em normas de cálculo. 
 O crescimento da pesquisa em comportamento não linear de estruturas, em 
análise computacional, projeto ótimo (otimização), análise e cálculo probabilístico 
também se mostrou intenso. Em particular, a pesquisa na aplicação de métodos 
 
1 Profa. da Faculdade de Engenharia Civil da Universidade Federal de Uberlândia, lacastro@ufu.br 
2 Prof. Doutor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, mamalite@sc.usp.br 
Leila A. de Castro Motta & Maximiliano Malite 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 1-32, 2002 
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estocásticos tem representado, no tema segurança estrutural, um dos mais 
proveitosos esforços de pesquisa dos últimos quarenta anos. Esta foi, certamente, 
uma época de ouro da pesquisa em projeto e construção de edifícios. 
 Os grandes avanços em normas durante os últimos 40 anos foram: 
- a ênfase no controle e garantia de qualidade no escritório de cálculo, na 
fábrica e na obra; 
- a emergência de métodos de introdução da segurança baseados em 
probabilidade; 
- a mudança do método de introdução da segurança, de tensões admissíveis 
para estados limites; 
- a progressiva internacionalização do processo de elaboração de normas, 
como por exemplo, os códigos europeus (EUROCODE). 
 O papel das normas de cálculo é garantir a segurança de todas as estruturas 
construídas sob sua jurisdição. A função do calculista é então criar uma estrutura que 
atenda às exigências mínimas das normas para a segurança e que seja ao mesmo 
tempo prática e econômica. É necessário que a norma dê atenção à praticidade e à 
economia, mas sua principal função é a garantia da segurança. 
 A segurança estrutural pode ser definida pelas duas declarações seguintes: 
- não haver colapso ou outra má função estrutural durante a construção; 
- não haver danos sérios à estrutura ou seus componentes, nem provocar 
qualquer trauma físico ou psicológico para seus ocupantes durante a vida útil 
da estrutura, como um resultado de eventos extraordinários que podem ser 
esperados para ocorrer em intervalos raros; 
 Calculistas estruturais, guiados pelas normas de cálculo e por sua perícia e 
experiência, são cobrados pela sociedade para assegurar tais condições de 
segurança. 
 
1.2 Segurança estrutural 
 Projetos sempre foram realizados sob condições de incertezas quanto às 
ações e resistência e, as estruturas sempre foram projetadas para resistir a ações 
maiores do que as realmente esperadas. Historicamente havia dois métodos básicos 
de se impor esta condição de resistência maior do que as solicitações: 
(1) Projeto em ações últimas, em que a ação total é majorada por um 
coeficiente de segurança e o projetista demonstra que a estrutura ou 
elemento estrutural considerado pode suportar esta ação majorada. 
Simbolicamente, isto pode ser expresso por: 
RSS ≤γ (1) 
onde: 
γS é um coeficiente de segurança aplicado ao carregamento 
S é o carregamento (ações ou solicitações) na estrutura 
R é a resistência da estrutura 
(2) Projeto em tensões admissíveis, em que a tensão do material é limitada por 
alguma fração de sua tensão de falha e o projetista demonstra que, sob o 
carregamento esperado ou especificado, a tensão alcançada não excede o 
valor admissível. Isto tem sido expresso simbolicamente por: 
Análise da segurança no projeto de estruturas: método dos estados limites 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 1-32, 2002 
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mRS γ≤ (2) 
onde: 
γm é um coeficiente de segurança aplicado à tensão última do material 
 A equação 1 poderia tratar com diferentes níveis de incerteza das várias 
ações atuantes na estrutura, aplicando-se coeficientes distintos a cada uma destas 
ações. Analogamente a equação 2 pode representar também o caso onde dois ou 
mais materiais diferentes são utilizados, como por exemplo o concreto armado, 
aplicando coeficientes diferentes nas tensões últimas do aço e concreto, de acordo 
com o grau de incerteza associado a cada resistência respectivamente. 
 Do argumento anterior percebe-se um passo óbvio para combinarestas duas 
aproximações para introdução da segurança nas estruturas, que seria a introdução 
de coeficientes de segurança separados em cada tipo de ação e em cada material 
usado, sendo esta a aproximação adotada pelo novo método de introdução da 
segurança que surgiria, o cálculo em estados limites. 
 Além disto, já se havia percebido também a possibilidade de se quantificar 
probabilisticamente algumas das incertezas associadas a um projeto estrutural. Vale 
comentar que o conceito de que uma aproximação probabilística poderia fornecer 
uma forma razoável para definir os coeficientes de segurança não era novo quando o 
método dos coeficientes parciais de segurança foi criado e, foi somente natural que a 
possibilidade de definir estes coeficientes por meios estatísticos deveria ser 
considerada. 
 É importante ressaltar ainda que o método dos coeficientes parciais é a 
ferramenta utilizada para a aplicação do princípio dos estados limites, ou seja, os 
estados limites de cada projeto específico são verificados com a aplicação de 
coeficientes de cálculo individuais a cada variável do problema (coeficientes parciais). 
 As duas maiores causas de mau funcionamento estrutural são aquelas 
quantificáveis por teoria probabilística racional e aquelas devidas a causas irracionais. 
Solicitação S Resistência R
Probabilidade de Falha = P (R<S)
Densidade de
Probabilidade
 
Figura 1- Funções de distribuição das solicitações e resistência 
 As causas quantificáveis são as coincidências de resistência 
excepcionalmente baixa e solicitações excepcionalmente altas (figura 1). Estes são os 
domínios de normas de cálculo estrutural, e eles afetam os valores dos coeficientes 
que fornecem as margens de segurança, por exemplo fatores de segurança, 
coeficientes de ponderação das ações, coeficientes de resistência, etc. 
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 As causas irracionais de falha são relacionadas a erro humano. Embora tenha 
havido vários esforços para quantificar alguns aspectos do erro humano, as principais 
formas de evitar tal erro são: controle de qualidade no escritório de cálculo e local de 
construção, educação, desincentivos aos erros (leis e punições), e apontamento de 
honestidade e integridade de todos os participantes do processo. A maioria das falhas 
de estruturas são causadas por erro humano e a fuga de tais erros é uma importante 
atividade dentro do processo de construção. 
 
1.3 A evolução das normas de cálculo 
 A evolução esquemática das normas de cálculo é ilustrada na figura 2, onde o 
peso da estrutura, refletindo um aspecto do custo da construção, é plotado versus o 
tempo. Quando uma certa estrutura é usada pela primeira vez, ela em geral resulta 
pesada, pois há falta de experiência e confiança. Se experiências bem sucedidas são 
conseguidas, os calculistas ficam mais confiantes e o peso tende a cair. Esta 
tendência às vezes continua até ocorrer uma falha, em reação, as exigências de peso 
aumentam novamente, muitas vezes mais do que o necessário. O peso 
eventualmente decresce gradualmente até que um nível de cálculo satisfatório, 
testado com o tempo, seja alcançado. 
 O processo descrito pelo esquema da figura 2 é lento, caro e algumas vezes 
até mesmo trágico. Muitas das pesquisas em cálculo probabilístico têm-se focalizado 
no alívio destas demoras e no desenvolvimento de esquemas de calibração de 
normas que permitam evolução mais rápida de otimização. 
desempenho testado 
 com o tempo
Tempo
desastre
Primeiras 
Utilizações
Peso da 
Estrutura
satisfatoriamente
 
Figura 2 - Evolução do peso de uma estrutura ao longo do tempo 
 À partir de 1960 duas correntes poderosas de mudança no cálculo estrutural 
começaram a se fazer sentir: a emergência de cálculo em estados limites e a idéia de 
que os parâmetros de cálculo podem ser racionalmente quantificados através da 
teoria de probabilidade. 
 
1.4 A emergência de cálculo em estados limites 
 O método de cálculo estrutural tradicional que dominou a maioria do século 
vinte foi o método de cálculo em tensões admissíveis. Ele teve origem na metade do 
século anterior quando os princípios de métodos viáveis de análise linear elástica 
foram formulados, o que levou convenientemente ao cálculo de tensões. 
 No método das tensões admissíveis a estrutura é investigada sob ações de 
trabalho (nominais), impondo-se que uma tensão admissível não seja excedida. As 
Análise da segurança no projeto de estruturas: método dos estados limites 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 1-32, 2002 
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ações de trabalho são as máximas ações esperadas para o tempo de vida útil da 
estrutura. As tensões resultantes são calculadas admitindo comportamento elástico e 
linear. A tensão admissível é uma fração de alguma tensão limitante, tal como a 
tensão de escoamento ou a tensão crítica de flambagem. A relação da tensão 
limitante para a tensão admissível é denominada fator de segurança. Este fator prevê 
a possibilidade de ocorrência de valores desfavoráveis das ações e propriedades dos 
materiais, assim como as incertezas do modelo teórico. Os valores dos fatores de 
segurança representam o juízo e experiência coletiva da atividade do cálculo 
estrutural. 
 O cálculo em tensões admissíveis é um método de cálculo muito atrativo, é 
fácil de usar do ponto de vista computacional e é de fácil compreensão. O calculista 
verifica que a estrutura é segura sob ações que são fixadas em valores altos, usando 
uma tensão admissível substancialmente abaixo de um valor limitante. O método 
assegura que sob condições extremas de carregamento, que podem ser verificadas 
facilmente, a estrutura responde elasticamente. Não há problemas com a presença de 
múltiplas ações, podendo haver a superposição de efeitos. Assegurando a não 
superação de uma tensão admissível elástica, a maioria dos problemas de utilização 
são também levados em conta automaticamente. 
 Se tem-se um método tão prático, por que a mudança? Inicialmente, o método 
de cálculo em tensões admissíveis dá pouca informação sobre a capacidade real da 
estrutura. Para diferentes tipos de estruturas, a relação da ação limite baseada em 
tensões admissíveis para a resistência última é até certo ponto variável. Isto é 
especialmente verdade para estruturas indeterminadas estaticamente. Para muitas 
estruturas (por exemplo estruturas de concreto armado), a suposição de linearidade 
entre tensões e deformações, esforços e ações, não é muito realista até mesmo sob 
níveis de ação de trabalho. No começo deste século, ficou também evidente para 
muitos engenheiros, que o método de tensões admissíveis não foi uma ferramenta de 
cálculo muito econômica. Isto levou ao desenvolvimento de métodos de cálculo 
plástico para estruturas de aço no período de 1940 a 1950. Outros pesquisadores 
começaram a perceber a possibilidade de quantificar os juízos e incertezas que são a 
base dos fatores de segurança, usando teoria de probabilidade. 
 Fora destas várias raízes tais como, teoria de probabilidade, de plasticidade e 
pesquisa extensa do comportamento de resistência última de vários tipos de 
estruturas e conexões, surgiu a primeira geração de normas de cálculo baseadas na 
capacidade última e, eventualmente, conhecidas como normas de cálculo em estados 
limites. 
 
1.5 Normas de cálculo em estados limites baseadas em probabilidade 
 No início dos anos 60, haviam duas normas de cálculo em estados limites nos 
Estados Unidos. Em outros países, especialmente no leste da Europa, normas 
semelhantes estavam em uso cerca de 10 a 15 anos antes. Mais normas surgiram 
nos anos posteriores, e estas normas formaram a primeira geração de normas de 
cálculo em estados limites, e foram colocadas em uso por volta de 1990 na maioria 
dos países. As linhas comuns entre todas elas são: (1) modelos teóricos para 
avaliação da capacidade de elementos estruturais baseados em pesquisas recentes; 
(2)os fatores que consideram as incertezas das variáveis ação e resistência são 
determinados por juízo (opinião) e calibração com as normas correspondentes em 
tensões admissíveis. 
Leila A. de Castro Motta & Maximiliano Malite 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 1-32, 2002 
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 A idéia de que as variáveis ação e resistência são quantidades aleatórias tem 
sido sempre aceita pelos engenheiros estruturais, e é a base para a aceitação 
filosófica do conceito de fatores de segurança. Como foi difícil usar os preceitos 
probabilísticos explicitamente, estes foram aplicados implicitamente através do juízo 
coletivo dos engenheiros construtores e calculistas quando escolheram os fatores de 
segurança aplicáveis. Quanto maior a incerteza suposta da ação ou resistência, maior 
o fator de segurança. Os fatores de segurança flutuam acima ou abaixo, dependendo 
da experiência de insucesso ou sucesso. Dado o tempo suficiente, experiência e juízo 
produzirão estruturas aceitáveis que são, em média ou na maioria das vezes, seguras 
e econômicas. De alguma forma nos tempos modernos este processo empírico é 
julgado não totalmente satisfatório: ele leva muito tempo para adquirir a experiência 
para os esquemas estruturais novos. 
 Para fazer a verificação da segurança de maneira mais científica, métodos 
estatísticos e conceitos probabilísticos são mais convenientes. A idéia de que esta 
aproximação forneceria ferramentas de cálculo práticas foi adiantada nos anos de 
1920 a 1930. Bolotin referiu-se a um livro alemão de 1926 por M. Maier, e a uma série 
de publicações russas, que afirmavam que a teoria de probabilidade poderia ser 
usada em cálculo estrutural. Murzewiki afirmou que W. Wierzbicki (Polônia, 1936) e N. 
S. Streleckij (URSS, 1935) foram os propositores dos conceitos probabilísticos de 
segurança. Pouco depois do fim da segunda guerra mundial em 1945, os métodos de 
cálculo em estados limites com fatores múltiplos de ação, que eram baseados em 
teoria de probabilidade, começaram a aparecer na URSS e no leste europeu. 
 No oeste, os dois maiores defensores (proponentes) da aproximação 
probabilística na era imediata pós-guerra foram Pugsley e Freudenthal. O comitê de 
Pugsley apresentou à Instituição Britânica de Engenheiros Estruturais, em 1955, 
recomendações que incluíam uma série de coeficientes de ponderação das ações e 
combinações de ação que foram obtidos por consenso (opinião) de um conjunto de 
peritos. O uso de probabilidade foi feito somente de maneira indireta e subjetiva. O 
trabalho de Pugsley foi o precursor da primeira geração de normas de cálculo em 
estados limites. 
 A estrutura prática de criar normas baseadas em probabilidade foi 
desenvolvida nos anos 60 com os “Métodos de Confiabilidade de Primeira Ordem” 
(FORM) por E. Basler, Benjamin, Cornell, Lind, Ang e outros. No começo dos anos 70, 
ferramentas estavam disponíveis para desenvolver realmente uma norma de cálculo 
baseada em probabilidade e, a aproximação básica adotada era considerar as 
propriedades estatísticas das variáveis envolvidas. Duas linhas de trabalho 
probabilístico podem ser identificadas: 
(a) desenvolvimento de métodos de cálculo completamente probabilístico; 
(b) calibração de coeficientes parciais por meios probabilísticos. 
 Esta última é a linha de maior interesse deste trabalho e é também a linha 
com maior aplicação para as normas técnicas de cálculo desenvolvidas até então. 
 
1.6 As normas em estados limites 
 Estão listados a seguir os conceitos fundamentais, suposições e metodologias 
básicas das normas de cálculo em estados limites de segunda geração: 
(1) O formato do critério de cálculo é mostrado na equação 3: ele usa a 
capacidade última nominal Rn, que é reduzida pelo coeficiente de 
Análise da segurança no projeto de estruturas: método dos estados limites 
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resistência φ , e as ações especificadas em normas, que são ampliadas 
pelos coeficientes de ponderação γ . O coeficiente de resistência φ 
geralmente modifica a expressão toda para Rn, mas em algumas normas 
de cálculo em estados limites estes coeficientes podem atuar nos 
componentes individuais da expressão para Rn. 
(2) As especificações em estados limites reconhecem que as ações, os efeitos 
das ações e as resistências são todas quantidades aleatórias cujos valores 
reais são conhecidos somente através da distribuição de probabilidade das 
quantidades aleatórias individuais que constituem suas partes 
componentes. É feito o uso de métodos de confiabilidade de primeira 
ordem ou métodos de confiabilidade de segunda ordem onde estes forem 
apropriados, para desenvolver os coeficientes de resistência φ , dando 
confiabilidades aproximadamente uniformes em todo o domínio de cálculo. 
(3) Os índices de confiabilidade são calibrados para resultar aproximadamente 
iguais àqueles das especificações anteriores. 
(4) Para evitar excessivas complicações no cálculo, o número de coeficientes 
de resistência diferentes é conservado relativamente pequeno. 
(5) Os coeficientes de ponderação das ações, as ações propriamente ditas e 
combinações destas devem ser indicadas em normas de ações e 
segurança para serem utilizadas nos cálculos com as novas normas em 
estados limites. 
(6) Os critérios de cálculo são baseados nos estados limites alcançados pelos 
elementos estruturais (uma viga, pilar, solda individual, parafuso, metal 
base ou ligação) ou pela estrutura como um todo (plastificação, por 
exemplo). Ligações (parafusos ou soldas) geralmente têm um maior índice 
de confiabilidade do que as barras, para forçar a falha na barra e não na 
ligação. 
(7) Não é feita distinção quanto às conseqüências de falha. Não há qualquer 
consideração explícita dada à estrutura como um sistema composto de 
barras e ligações. 
 φ γi ni j njR Q≥ ∑ (3) 
 ↓ ↓ 
 para i estados limite para j combinações de ações 
onde: 
φ é o coeficiente de resistência 
Rn é a resistência nominal 
γ é o coeficiente de ponderação das ações 
Qn é o efeito da ação nominal 
 Fez-se necessário também o desenvolvimento de um conjunto de coeficientes 
de ponderação das ações mais consistentes com o novo método de cálculo e que 
pudessem dar à nova geração de normas de cálculo uma base mais ampla, sendo 
estes coeficientes aplicáveis em estruturas de edifícios feitas de todos os materiais, 
por exemplo, aço, aço conformado a frio, alumínio, concreto armado e protendido, 
madeira, alvenaria, etc. As premissas básicas deste trabalho, que resultaria nas 
normas de ações e segurança, foram as seguintes: 
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(1) Os coeficientes de ponderação das ações foram desenvolvidos usando 
FORM ou SORM por calibração para casos padrões de estruturas 
determinadas estaticamente, calculadas pelas então correntes 
especificações estruturais para aço, concreto armado e protendido, 
madeira, alumínio e estruturas de alvenaria, buscando um produto final com 
aproximadamente a mesma confiabilidade. 
(2) Os coeficientes de cálculo foram desenvolvidos para um tempo de vida útil 
de 50 anos. 
(3) As combinações de ações obedecem à regra que quando mais de uma 
ação variável, isto é, sobrecarga de utilização, ações do vento, neve, água 
ou terremoto, atuam na estrutura, então somente uma destas toma o seu 
valor máximo e as outras assumem seus valores reduzidos. Estas ações 
variáveis são então alternadas para fornecer a combinação crítica para o 
calculista. O esquema é ilustrado pela equação 4. 
γ γ γD D i ni j njQ Q Q+ + ∑ (4) 
onde: 
γ i é o coeficiente de ponderação das ações para o máximo valor previsto 
da ação durante a vida útil da estrutura. 
γ j é o coeficiente de ponderação das ações para a ação variável reduzida 
ou arbitrada em um certo tempo. 
 Em resumo, os aspectos de confiabilidade das normas mais recentespodem 
ser declarados como segue: são especificações de cálculo em estados limites em 
conteúdo e formato; seus estados limites aplicam-se aos elementos ou estrutura como 
um todo; os coeficientes de ponderação das ações e os coeficientes de resistência 
são calibrados para dar aproximadamente as mesmas confiabilidades inerentes às 
especificações anteriores, testadas na época para elementos estruturais padrões; e 
métodos probabilísticos (FORM, SORM) e juízos foram usados em seu 
desenvolvimento. 
 
 
2 CONFIABILIDADE DE SISTEMAS DE ENGENHARIA 
2.1 Introdução 
 Um dos principais objetivos do cálculo estrutural na engenharia é assegurar o 
desempenho satisfatório das estruturas com o máximo de economia possível. 
Certamente a garantia de desempenho, incluindo a segurança, é primeiramente (se 
não unicamente) responsabilidade de engenheiros. Atingir este objetivo, entretanto, 
geralmente não é um problema simples, particularmente pelo grande número de 
sistemas estruturais existentes. Sistemas estruturais podem falhar ao desempenhar 
suas funções para as quais foram projetados, pois o risco está geralmente implícito 
nestes sistemas. 
 No caso de uma estrutura, sua segurança é, claramente, uma função da 
máxima ação (ou combinação de ações) que lhe pode ser imposta durante seu tempo 
de vida útil e dependerá também da resistência ou capacidade desta estrutura ou 
seus componentes, de suportar estas ações. Como a máxima ação da vida útil de 
Análise da segurança no projeto de estruturas: método dos estados limites 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 1-32, 2002 
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uma estrutura e sua capacidade real são difíceis de serem previstas exatamente, e 
qualquer previsão está sujeita a incertezas, a garantia absoluta da segurança de uma 
estrutura é impossível. Na realidade, segurança (ou desempenho) podem ser 
garantidos somente em termos da probabilidade de que a resistência disponível (ou 
capacidade estrutural) será suficiente para resistir à máxima ação ou combinação de 
ações que poderá ocorrer durante a vida útil da estrutura. 
 
2.2 Análise e verificação de confiabilidade 
2.2.1 Problema básico 
 Problemas de confiabilidade em engenharia podem ser definidos como a 
determinação da capacidade de um sistema que atenda a determinadas condições 
(exigências). Na consideração da segurança de uma estrutura, a preocupação é 
assegurar que a resistência da estrutura seja suficiente para suportar a atuação da 
máxima ação ou combinação de ações durante a sua vida útil. 
 Na realidade, a determinação da resistência disponível bem como da máxima 
solicitação da estrutura não são problemas simples. Estimativas e previsões são 
sempre necessárias para estes tipos de problemas, incertezas são inevitáveis pela 
simples razão de que as informações relativas aos problemas de engenharia são 
invariavelmente incompletas. Diante de tais incertezas, a resistência disponível e a 
solicitação real não podem ser determinadas precisamente, elas podem ser descritas 
como pertencentes a determinados intervalos, podendo ser modeladas como 
variáveis aleatórias. Nestes termos, portanto, a confiabilidade de um sistema pode ser 
mais realisticamente medida em termos de probabilidade. Para esta proposta, 
definem-se as seguintes variáveis aleatórias: 
X = resistência 
Y = solicitação 
 O objetivo da análise de confiabilidade é assegurar o evento ( )X Y> durante 
toda a vida útil da estrutura. Esta garantia é possível somente em termos da 
probabilidade ( )P X Y> . Esta probabilidade, portanto, representa a medida realista da 
confiabilidade do sistema (da estrutura); a probabilidade do evento complementar 
( )X Y< é a correspondente medida da não confiabilidade. 
 Assumindo no momento, que as distribuições de probabilidade necessárias de 
X e Y são disponíveis, isto é, ( )F xX ou ( )f X x e ( )F yY ou ( )f Y y são conhecidas. Se 
as variáveis X e Y são contínuas e não correlacionadas, as probabilidades desejadas 
podem então ser formuladas como segue: 
( ) ( )p F y yF X=
∞
∫ f Y dy
0
 ou ( )[ ] ( )p F x xF Y= −
∞
∫ 1
0
f X dx (5) 
 A equação 4 pode ser interpretada graficamente pela figura 3. A 
correspondente probabilidade de bom desempenho, portanto, é: 
pS = 1 - pF (6) 
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Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 1-32, 2002 
10 
 Como interpretado graficamente na figura 3, a sobreposição das curvas ( )f X x 
e ( )f Y y representa uma medida da probabilidade de falha pF (CASTRO, 1997). Com 
isto, observa-se o seguinte: 
(1) A região sobreposta depende das posições relativas de ( )f X x e ( )f Y y , 
como pode ser visto na figura 4a; quando as duas curvas ficam mais 
afastadas, pF diminui, ao passo que pF aumenta quando as curvas ( )f X x e 
( )f Y y ficam mais próximas. A posição relativa entre ( )f X x e ( )f Y y pode 
ser medida pela relação µ µX Y/ , que pode ser chamada de “fator de 
segurança central” ou pela diferença ( )µ µX Y− que é a “margem de 
segurança” média. 
(2) A região sobreposta também depende do grau de dispersão de ( )f X x e 
( )f Y y , como mostra a figura 4b, comparando a sobreposição das curvas 
de linhas pretas com a das curvas de linhas coloridas. Estas dispersões 
podem ser expressas em termos dos coeficientes de variação δX e δY. 
x ou y
Área = FX(y)
 y
fY(y)
fX(x)
 
Figura 3 - Funções densidade de probabilidade ( )f X x e ( )f Y y 
µY µX2 µX1 x ou y
fY(y)
fx1(x)
fx2(x)
 
Figura 4a - Efeito da posição relativa entre ( )f X x e ( )f Y y em pF 
 
Análise da segurança no projeto de estruturas: método dos estados limites 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 1-32, 2002 
11 
Em resumo: 
( )p gF X Y X Y≅ µ µ δ δ/ ; , 
 Portanto, qualquer medida de segurança confiável deve ser uma função da 
posição relativa de ( )f X x e ( )f Y y , bem como do grau de dispersão destas curvas. 
 Na equação 5 é assumido que X e Y são variáveis aleatórias não 
correlacionadas. Em geral, entretanto, estas variáveis podem ser correlacionadas e, 
para tais casos, a probabilidade de falha pode ser expressa em termos da função 
densidade de probabilidade conjunta como segue: 
( ) dydxy,xp
0
y
0
YX,F ∫ ∫
∞








= f (7) 
ao passo que a confiabilidade correspondente é: 
( ) dxdyy,xp
0
x
0
YX,S ∫ ∫
∞






= f (8) 
x ou yµY µX
fY(y)
fX(x)
 
Figura 4b - Efeito das dispersões de ( )f X x e ( )f Y y em pF 
 
2.2.2 Formulação de segundo momento 
 O cálculo da probabilidade de segurança ou probabilidade de falha, requer o 
conhecimento das funções densidade ( )f X x e ( )f Y y , ou da função densidade 
conjunta ( )f X,Y x,y . Mas, mesmo quando as distribuições requeridas podem ser 
especificadas, o cálculo exato das probabilidades exigindo uma integração numérica 
das equações 5 a 8 pode ser impraticável. Como uma alternativa prática, pode-se 
recorrer a aproximações para as distribuições normais equivalentes. 
 Freqüentemente as informações ou dados disponíveis podem ser suficientes 
apenas para estimar os primeiros e segundos momentos; isto é, os valores médios e 
as variâncias das respectivas variáveis aleatórias e, talvez as covariâncias entre pares 
de variáveis. Medidas práticas de segurança e confiabilidade, portanto, devem ser 
limitadas a funções destes primeiros momentos. Sob esta condição, a implementação 
de conceitos de confiabilidade deve, necessariamente, ser limitada à formulação 
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12 
baseada nos primeiros e segundos momentos das variáveis aleatórias, ou seja, 
restrita à formulação de segundo momento. Pode ser enfatizado que a aproximação 
de segundo momento é consistente também com a representação normal equivalente 
de distribuições não normais. 
 Com a aproximação de segundo momento, a confiabilidade pode ser 
inteiramente medida como uma funçãodos primeiros e segundos momentos das 
variáveis de cálculo através do índice de confiabilidade β, que é definido como função 
destes primeiros momentos e equivalente a uma distância predeterminada da 
situação de falha. 
 
2.2.2.1 Generalização 
 A confiabilidade de um sistema de engenharia pode envolver variáveis 
múltiplas. Em particular, a resistência e a solicitação podem ser, respectivamente, 
funções de várias outras variáveis. Para tais casos, o problema resistência-solicitação 
do item 2.2.1 pode ser generalizado. Esta generalização é freqüentemente necessária 
em engenharia, particularmente quando o problema deve ser formulado em termos 
das variáveis básicas de cálculo. 
 Num sentido mais amplo, a confiabilidade de um sistema de engenharia pode 
ser definida como a probabilidade que o mesmo apresenta de desempenhar suas 
funções ou missões pretendidas. O nível de desempenho de um sistema, obviamente 
dependerá das propriedades deste sistema. Neste contexto e para a proposta de uma 
formulação geral, define-se uma função desempenho ou função estado: 
g(X) = g(X1, X2, …, Xn) (9) 
onde X = (X1, X2, …, Xn) é um vetor de variáveis de cálculo básicas do sistema. A 
exigência de desempenho limitante pode ser definida como g( ) = 0X , que é o 
chamado estado limite do sistema. 
 Segue, portanto, que: 
[g(X) > 0] = “estado seguro” e [g(X) < 0] = “estado de falha” 
 Geometricamente, a equação estado limite, ( ) 0g =X , é uma superfície n-
dimensional que pode ser chamada de “superfície de falha”. De um lado da superfície 
de falha está o estado seguro, g( ) > 0X , ao passo que do outro lado está o estado de 
falha, g( ) < 0X . 
 
2.2.2.2 Variáveis não correlacionadas 
 Introduzindo-se o conjunto de variáveis reduzidas não correlacionadas 
(FREUDENTHAL, 1956): 
X
X
i
i X
X
i
i
' =
− µ
σ
; i = 1, 2, …, n (10) 
obviamente, o estado seguro e o estado de falha podem também ser interpretados no 
espaço reduzido das variáveis acima, separados pela equação estado limite 
apropriada. No caso de duas variáveis, esta deverá ser como mostrado na figura 5. 
Em termos das variáveis reduzidas, X’i, a equação estado limite será: 
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13 
( )g X XX X X n Xi n nσ µ σ µ1 1 0' , , '+ + =K (11) 
 Pode-se observar na figura 5 que quando a superfície estado limite (ou 
superfície de falha), 0=)g(X , se afasta ou se aproxima da origem, a região segura, 
g( ) > 0X , aumenta ou diminui. Portanto, a posição da superfície de falha em relação 
à origem das variáveis reduzidas, determinará a segurança ou a confiabilidade do 
sistema. A posição da superfície de falha pode ser representada pela distância 
mínima da superfície g( ) = 0X à origem das variáveis reduzidas; de fato, 
SHINOZUKA (1983) mostrou que o ponto na superfície de falha com mínima distância 
da origem é o ponto mais provável de falha. Assim, com algum sentido aproximado, 
esta distância mínima pode ser usada como uma medida de confiabilidade. 
0
x’2
x’1
g (x1, x2) > 0
g (x1, x2) < 0
g (x1, x2) = 0
 
Figura 5 - Estados de segurança e de falha no espaço de variáveis reduzidas 
 Seguindo SHINOZUKA (1983), a distância mínima requerida pode ser 
determinada como segue. A distância de um ponto X’ = (X’1, X’2, … , X’n) na superfície 
de falha g( ) = 0X à origem de X’ é: 
( )D X X n= + + =' '
/
1
2 2 1 2K X X' 't 
o ponto na superfície de falha, ( )x x x n' , ' , , '* * *1 2 K , tendo a mínima distância da origem 
pode ser determinado pela minimização da função D, sujeita à limitação 0=)g(X : 
Minimize D, sujeito à g(X) = 0. 
Para esta proposta, o método de multiplicadores de Lagrange pode ser usado. 
 Minimizando “D” (CASTRO, 1997), chega-se à seguinte expressão para a 
mínima distância que é chamada de índice de confiabilidade β ( dmin = β ): 
β
∂
∂
∂
∂
=
−












∑
∑
x
g
X
g
X
i
ii
ii
'
'
'
*
*
*
2
 (12) 
onde as derivadas ( )∂ ∂g X i' * são calculadas em ( )x x x n' , ' , , '* * *1 2 K . O ponto mais 
provável na superfície de falha fica: 
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14 
x i i'
* *= −α β ; i = 1,2, ,nK (13a) 
em que: 
α
∂
∂
∂
∂
i
i
ii
g
X
g
X
* *
*
'
'
=











∑
2
 (13b) 
são os co-senos diretores ao longo do x’i. 
 
2.2.2.3 Interpretação de primeira ordem 
 
 As equações 12 e 13a podem ser interpretadas em bases de aproximações 
de primeira ordem para a função g(X) como segue. 
 Expandindo a função de desempenho g(X) em série de Taylor em um ponto 
x*, que está na superfície de falha g( *) = 0x , ou seja: 
( ) ( ) ( )
( )( )
g X X X g x x x X x
g
X
X x X x
g
X X
n n i i
i
n
i
i i j j
i ji
n
j
n
1 2 1 2
1
2
11
, , , , , ,* * * *
*
* *
*
K K
K
= + −






+ − −





 +
=
==
∑
∑∑
∂
∂
∂
∂ ∂
 
 
 
onde as derivadas são calculadas em ( )x x xn1 2* * *, , ,K . Mas g ( )x x xn1 2* * *, , ,K = 0 na 
superfície de falha e, recordando que: 
( ) ( ) ( )X x X x X xi i X i X X i X X i ii i i i i− = + − + = −* * *' ' ' 'σ µ σ µ σ 
e 
∂
∂
∂
∂ σ
∂
∂
g
X
g
X
dX
dX
g
Xi i
i
i X ii
=





 =
'
'
'
1
 
Então: 
( ) ( )g X X X X x gXn i ii
n
i
1 2
1
, , , ' '
'
*
*
K K= −






=
∑ ∂∂ + 
 Em aproximação de primeira ordem, isto é, truncando a série acima no termo 
de primeira ordem, o valor médio da função g(X), é (ANG; TANG, 1984): 
µ
∂
∂g i ii
n
x
g
X
≅ −






−
∑ ' '
*
*1
 (14) 
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15 
ao passo que a correspondente variância aproximada em primeira ordem (para 
variáveis não correlacionadas) é: 
σ σ ∂
∂
∂
∂g X ii
n
ii
n
i
g
X
g
X
2 2
1
2
1
2
≅





 =






− −
∑ ∑'
* *' '
 (15) 
 Das equações 14 e 15, tem-se a relação: 
µ
σ
∂
∂
∂
∂
g
g
i
ii
n
ii
n
x
g
X
g
X
≅
−












−
−
∑
∑
'
'
'
*
*
*
1
1
2
 (16) 
 Comparando as equações 12 e 16, percebe-se que a relação acima é a 
mesma da equação 12 e, assim µ σg g é também a distância do plano tangente à 
superfície de falha em x* à origem das variáveis reduzidas. Portanto, o índice de 
confiabilidade é também: 
β
µ
σ=
g
g
 (17) 
 
2.2.3 Funções lineares de desempenho 
 
 Uma função linear de desempenho pode ser representada como: 
( )g a a Xi i
i
X = + ∑0 
onde a0 e ai’s são constantes. A equação estado limite correspondente é: 
a a Xi i
i
0 0+ =∑ (18) 
 Em termos das variáveis reduzidas a equação estado limite fica: 
( )a a Xi X i X
i
i i0 0+ + =∑ σ µ' (18a) 
 Em três dimensões, a equação 18a é: 
( ) ( ) ( )a a X a X a XX X X X X X0 1 1 2 2 3 31 1 2 2 3 3 0+ + + + + + =σ µ σ µ σ µ' ' ' 
que é uma superfície plana no espaço x’1, x’2, x’3 como mostrado na figura 6. 
 A distância do plano de falha, equação 18a, à origem das variáveis reduzidas 
X’ é: 
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16 
( )
β
µ
σ
=
+ ∑
∑
a a
a
i X
i
i X
i
i
i
0
2
 (19) 
x’1
x’3
x’2
Plano da superfície
estado limite
β
0
 
Figura 6 - Superfície estado limite no espaço tridimensional x’1, x’2, x’3 
 A equação 19 pode também ser obtida diretamente da equação 12. Se as 
variáveis aleatórias X1, X2, …, Xn são variáveis normais não correlacionadas, a 
probabilidade do estado seguro é, para este caso: 
p P a a XS i i= + >





∑0 0 
( )
p
a a
a
S
i X
i
i X
i
i
i
= −
− +


















∑
∑
1
0
2
Φ
µ
σ
 
( )
p
a a
a
S
i X
i
i X
i
i
i
=
+












∑
∑
Φ
0
2
µ
σ
 (20)Comparando as equações 19 e 20, percebe-se que o argumento entre 
colchetes da equação 20 é a distância β . Portanto, a probabilidade pS é uma função 
da distância do plano de falha ( )g X = 0 à origem das variáveis reduzidas. Portanto, 
no caso geral de n variáveis normais não correlacionadas, a probabilidade de 
segurança é: 
( )pS = Φ β (20a) 
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17 
 Se as distribuições de probabilidade das variáveis aleatórias X X Xn1 2, , ,L 
não são normais, a probabilidade pS pode ser calculada utilizando distribuições 
normais equivalentes (ANG; TANG, 1984). Com tais distribuições normais 
equivalentes, o cálculo de pS segue o mesmo procedimento visto para as variáveis 
normais. 
 O procedimento descrito anteriormente para o cálculo da probabilidade de 
segurança ou de falha é baseado na suposição de que as variáveis aleatórias 
X X Xn1 2, , ,L não são correlacionadas. Para variáveis aleatórias correlacionadas, as 
variáveis originais podem ser transformadas em um conjunto de variáveis não 
correlacionadas. O procedimento descrito anteriormente, pode então ser aplicado ao 
conjunto não correlacionado de variáveis transformadas (CASTRO, 1997). 
 Para funções de desempenho, g(X), que não são lineares, o cálculo da 
probabilidade exata de segurança ou de falha geralmente será envolvido. A equação 
estado limite, ( )g X = 0 , será também não linear; ao contrário do caso linear, não há 
uma única distância da superfície de falha à origem das variáveis reduzidas. Como 
indicado no item 2.2.2, o cálculo da probabilidade exata de segurança envolve a 
integração da função densidade de probabilidade conjunta sobre a região não linear 
( )g X > 0 . 
 Para propósitos práticos, será necessária uma aproximação para a 
probabilidade de falha ou de segurança. De acordo com os resultados do item 2.2.2, o 
ponto ( )x x x n' , ' , , '* * *1 2 K na superfície de falha com mínima distância à origem das 
variáveis reduzidas é o ponto mais provável de falha (SHINOZUKA, 1983). O plano 
tangente à superfície de falha em ( )x x x n' , ' , , '* * *1 2 K pode então ser utilizado como 
aproximação para a superfície de falha, e o índice de confiabilidade ou a 
probabilidade de segurança procurada pode ser calculada como no caso linear do 
item 2.2.3. Se a superfície de falha não linear exata for convexa ou côncava para a 
origem, esta aproximação será segura ou insegura, respectivamente (CASTRO, 
1997). 
 
3 CRITÉRIO DE CÁLCULO BASEADO EM PROBABILIDADE 
3.1 Critério de cálculo 
 O principal objetivo de projetos e cálculos de engenharia é garantir o 
desempenho do sistema ou produto de cálculo. Como isto só pode ser alcançado sob 
condições de incertezas, a garantia de desempenho é realmente possível somente 
em termos de probabilidade, ou seja pS. Em geral, análises probabilísticas serão 
necessárias para o desenvolvimento de tais cálculos baseados em probabilidade. 
Entretanto, pode-se também desenvolver cálculos satisfazendo tais condições de 
confiabilidade sem uma análise probabilística completa, isto é alcançado através da 
adoção de critérios de cálculos determinísticos apropriados (por exemplo, o uso de 
tradicionais "coeficientes de segurança"). De fato, bases probabilísticas para o cálculo 
serão mais efetivas se implementadas desta forma, isto pode ser conseguido se os 
"coeficientes de segurança” são pré-determinados por condições específicas 
baseadas em probabilidade. Em particular, para o propósito de cálculos mais 
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18 
rotineiros, os métodos de cálculo podem ser especificados em normas de cálculo de 
estruturas, onde tais métodos também deverão ser desenvolvidos para satisfazer 
confiabilidades especificadas. 
 Por razões óbvias, os métodos de cálculo deverão ser tão simples quanto 
possível, além disto, eles deverão ser desenvolvidos de uma forma familiar aos 
usuários ou calculistas. Uma aproximação tradicional e comum para a introdução da 
segurança é através do uso de coeficientes de segurança. Estes coeficientes de 
segurança são utilizados na engenharia estrutural quando os cálculos são feitos em 
tensões admissíveis. Outra forma é a utilização de coeficientes de ponderação das 
ações e coeficientes de resistência, ou seja, as ações nominais são majoradas pelos 
coeficientes de ponderação apropriados e as resistências nominais são minoradas 
pelos correspondentes coeficientes de resistência, e a segurança é assegurada se a 
resistência “minorada” for maior ou igual às solicitações “majoradas”, que é a forma 
mais consistente. 
 
3.1.1 Problema básico de cálculo 
 Com base na premissa de que um projeto de engenharia é destinado a 
garantir a segurança ou o bom desempenho com uma dada confiabilidade pS, o 
problema básico de cálculo, portanto, envolve a determinação da posição da função 
de distribuição de probabilidade da resistência, como mostrado na figura 4.a, tal que 
esta esteja suficientemente separada da função de distribuição de probabilidade das 
solicitações para que a probabilidade de falha pF satisfaça a um valor aceitável ou um 
valor alvo. Novamente, além da separação entre ( )f X x e ( )f Y y , a probabilidade de 
falha, pF, é também uma função do grau de dispersão ( σ X e σ Y ). Uma quantidade 
que representa estas duas influências é o índice de confiabilidade ou índice de 
segurança β . Portanto, especificando um valor de β é equivalente a prescrever uma 
confiabilidade alvo, pS, ou uma probabilidade de falha aceitável, pF. 
 Para o propósito de cálculo normalizado, isto é, estabelecer previsões de 
cálculos em normas, a forma mais geral é a utilização de coeficientes múltiplos de 
ações e coeficientes de resistência, como representado pela seguinte condição; 
φ γR Si i
i
n
≥
=
∑
1
 (21) 
onde: 
φ = coeficiente de resistência 
γ i = coeficiente de ponderação das ações para ser aplicado à ação Qi ou à 
solicitação Si. 
 
3.2 Métodos de segundo momento 
 No espaço das variáveis reduzidas, cálculos em diferentes níveis de 
segurança podem ser vistos como correspondentes para satisfazer a diferentes 
superfícies de falha representadas pelas várias distâncias à origem, β . O 
desenvolvimento de um critério de cálculo é essencialmente equivalente à 
determinação dos coeficientes de cálculo que resultarão em projetos com superfícies 
de falha que cumpram com um índice de segurança exigido, isto é, a distância da 
Análise da segurança no projeto de estruturas: método dos estados limites 
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19 
superfície de falha à origem das variáveis reduzidas deve satisfazer a algum valor 
alvo previamente determinado. Como indicado anteriormente, a forma de cálculo mais 
geral é aplicar um coeficiente de cálculo em cada uma das variáveis básicas de 
cálculo, conhecido também como método dos “coeficientes parciais”. Sem perda de 
generalidade, estes coeficientes podem ser aplicados aos respectivos valores médios 
das variáveis de cálculo, assim: 
( )g X X n Xnγ µ γ µ γ µ1 2 21 0, , ,K = (22) 
 Os valores γ µi Xi da equação 22 deverão estar na superfície de falha, em 
particular, eles devem estar no ponto mais provável de falha. Assim, os coeficientes 
parciais de cálculo procurados são: 
γ
µi
i
X
x
i
=
*
 (23) 
 Portanto, a determinação dos coeficientes de cálculo procurados é também 
um problema de determinar o ponto mais provável de falha, xi
* . 
 No espaço das variáveis reduzidas, o ponto mais provável de falha é: 
x i i'
* *= −α β 
onde: 
α
∂
∂
∂
∂
i
i
ii
g
X
g
X
* *
*
'
'
=











∑
2
 
 As variáveis originais podem ser obtidas de: 
( )
iiii X
*
iXX
*
iX
*
i 1x βδα−µ=βσα−µ= 
 Portanto, os coeficientes de cálculo procurados são: 
iX
*
ii 1 βδα−=γ (24) 
 Na equação 24, os co-senosdiretores, α i
* , devem ser calculados no ponto 
mais provável de falha xi
* . Em geral, a determinação de xi
* requer uma solução 
iterativa. Para este propósito, o algoritmo simples apresentado a seguir pode ser 
usado: 
(1) Assume-se xi
*
 e obtém-se: 
x
x
i
i X
X
i
i
'*
*
=
− µ
σ
 
Leila A. de Castro Motta & Maximiliano Malite 
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20 
(2) Calcula-se ( )∂ ∂g X i' * e α i* . 
(3) Obtém-se xi X i Xi i
* *= −µ α βσ . 
(4) Repete-se os passos de (1) a (3) até atingir a convergência. 
 Os coeficientes de cálculo procurados são então obtidos com a equação 24. 
Para variáveis não normais, µ Xi e σ Xi devem ser substituídos pelas médias e 
desvios padrão normais equivalentes µ X
N
i
 e σ X
N
i
 no algoritmo acima. 
 
 
4 COEFICIENTES DE CÁLCULO PARA AS NORMAS EM ESTADOS 
LIMITES 
4.1 Introdução 
 Quando os critérios utilizados pelas normas de cálculo estrutural para garantir 
o bom desempenho das estruturas são desenvolvidos para diferentes materiais e 
métodos de construção, por grupos profissionais interessados e com diversas 
filosofias de cálculo, isto não garante níveis consistentes de segurança e desempenho 
para diferentes estruturas. 
 Esta diversidade considerável complica o processo de introdução da 
segurança no cálculo. O diferente tratamento dado às ações em cada especificação 
(norma de cálculo) tende a causar confusão e criar a necessidade de realização de 
análises separadas para a mesma estrutura, quando mais de um material estrutural 
for utilizado. Para simplificar estas análises tornou-se desejável o desenvolvimento de 
coeficientes de ponderação e regras de combinações das ações que estivessem 
incluídas em normas governando ações e cálculo geral para todos os materiais 
estruturais. Os grupos individuais de pesquisa e elaboração das normas técnicas do 
material selecionariam então critérios de resistência compatíveis com as condições 
gerais de ações. 
 A tendência contemporânea em desenvolvimento de normas é a utilização de 
conceitos probabilísticos como a base para selecionar critérios de introdução da 
segurança no cálculo. Se o elemento estrutural estiver submetido a somente uma 
ação variável além da ação permanente, a confiabilidade pode ser determinada 
considerando a combinação da ação permanente com a máxima ação variável 
esperada durante algum período de referência “T”, considerado apropriado para o 
projeto. Freqüentemente, entretanto, mais de uma ação variável atua em uma 
estrutura. Quando isto ocorre, é extremamente improvável que cada ação alcance seu 
valor máximo ao mesmo tempo. Conseqüentemente, um elemento estrutural pode ser 
calculado sob uma ação total menor do que a soma das máximas ações individuais, 
isto é correntemente reconhecido e adotado pelas atuais normas de ações e 
segurança. 
 Conceitualmente, estas combinações de ações deveriam ser tratadas com a 
utilização da teoria de processos estocásticos que consideram a natureza estocástica 
e correlação das ações no espaço e no tempo. Para análises práticas de 
confiabilidade, entretanto, é preferível trabalhar com representações de variáveis 
aleatórias do que com representações de processos aleatórios. Talvez a aproximação 
Análise da segurança no projeto de estruturas: método dos estados limites 
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21 
mais simples para tratar combinações de ações é assumir que a máxima combinação 
das ações ocorrerá quando uma das ações estiver com o seu valor máximo, enquanto 
as outras ações assumem seus valores instantâneos ou arbitrados em um certo 
tempo. Em outras palavras, a máxima combinação “S” de uma soma de várias ações, 
Xi, durante o período de referência, T, é: 






+= ∑
≠ij
jiTi
XXmaxmaxS (25) 
 
4.2 Análise dos níveis de confiabilidade do cálculo em tensões 
admissíveis 
4.2.1 Análise de dados estatísticos 
 Para o desenvolvimento dos critérios de cálculo baseados em probabilidade 
são requeridos dados das variáveis ação e resistência estrutural. A informação básica 
requerida é a distribuição de probabilidade de cada variável ação e resistência e 
estimativas de suas médias e desvios padrão ou coeficientes de variação. A média e 
o coeficiente de variação destas variáveis básicas deverão ser representativos dos 
valores esperados para as estruturas reais. Enquanto frequentemente há dados 
suficientes para obter uma estimativa razoável da distribuição de probabilidade, em 
muitos outros casos esta pode ser assumida com base em argumentos físicos ou por 
conveniência (GALAMBOS, 1982). 
 No contexto da aproximação FOSM (método de segundo momento de 
primeira ordem) para confiabilidade, o conceito de incerteza, exemplificado pela 
variabilidade ou dispersão de uma variável, é exprimido através da variância ou do 
coeficiente de variação (cov). As incertezas usadas nas análises de confiabilidade 
poderiam incluir variabilidade estatística dos parâmetros da resistência básica e das 
ações, fontes adicionais de incertezas que surgem devido aos erros de previsão e 
modelamento e informações incompletas. Incluídos nestas incertezas de 
modelamento estariam erros em estimativas dos parâmetros das funções de 
distribuição, idealizações matemáticas da capacidade estrutural e das ações reais, 
incertezas no processo de cálculo e variações nas aplicações das várias ações ou nas 
especificações dos materiais dos casos idealizados em seu desenvolvimento. Embora 
ocasionalmente possa haver alguns dados disponíveis com os quais estima-se estas 
últimas medidas de incertezas, frequentemente elas devem ser estimadas com base 
em juízo e experiência profissional. 
4.2.1.1 Resistência 
 Valores médios, coeficientes de variação e distribuições de probabilidade para 
resistências estruturais têm sido determinadas através de dados de ensaios de 
resistência dos materiais, de testes de laboratório de elementos em escala real sob 
condições de solicitação idealizadas, e em alguns casos, onde um modelo analítico 
definido existe claramente, através da simulação Monte Carlo. 
 Uma amostra representativa destes dados é apresentada na tabela 1 que, 
segundo GALAMBOS (1982), resume resultados de numerosos programas de 
pesquisa conduzidos durante vários anos. Existe uma quantidade substancial de 
dados para elementos estruturais de aço e concreto armado. 
 
Leila A. de Castro Motta & Maximiliano Malite 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 1-32, 2002 
22 
Tabela 1 - Resumo dos dados estatísticos de resistência (GALAMBOS, 1982) 
Descrição 
 
(1) 
R Rn 
 
(2) 
VR 
 
(3) 
Distribuição de 
probabilidade 
(4) 
Concreto armado, flexão 
Grau 60 ( ksi 60fy = ) 1,05 0,11 Normal 
Grau 40 ( ksi 40fy = ) 1,14 0,14 Normal 
Colunas curtas de conc. arm. 0,95 0,14 Normal 
Vigas de conc. arm., cisalhamento 
Estribos mínimos 1,00 0,19 Normal 
Aço estrutural 
Elementos tracionados, 
escoamento 
 
1,05 
 
0,11 
 
Lognormal 
Viga compacta, momento 
uniforme (cálculo plástico) 
 
1,07 
 
0,13 
 
Lognormal 
Viga-coluna (cálculo plástico) 1,07 0,15 Lognormal 
Aço conformado a frio (chapa 
dobrada) 
 
Vigas travadas lateralmente 1,17 0,17 Lognormal 
Alumínio 
Vigas travadas lateralmente 1,10 0,08 Lognormal 
Alvenaria estrutural não armada, 
compressão 
 
Fabricação não inspecionada 5,30 0,18 Lognormal 
Nota: =R resistência média 
=nR resistência nominal 
=RV coeficiente de variação da resistência 
 
4.2.1.2 Ações 
 Estão resumidos na tabela 2 os valores médios, coeficientes de variação e 
distribuições de probabilidade para efeitos das máximas ações em 50 anos e das 
ações reduzidas. De modo geral, estes estudos estatísticos são um resumo de 
valores relatados em vários estudos anteriores de ações e modelos de ações 
estruturais, comportamento de elementos estruturais e cálculo baseado em 
confiabilidade. Tanto quanto possível, as estatísticas das ações são baseadas em 
pesquisas“in loco”, medidas de pressão do vento em edifícios e modelamento 
probabilístico da conversão de uma ação pesquisada em uma máxima ação usada 
para propósitos de análise e cálculo de confiabilidade. 
 Além da variabilidade básica da ação, incertezas surgem do modelo que 
transforma a ação real variável tanto no tempo quanto no espaço, em uma ação 
estática equivalente distribuída uniformemente que será usada no cálculo. Incertezas 
também surgem na análise que transforma a ação uniformemente distribuída em 
efeito desta ação, incluindo idealização bi-dimensional de estruturas tridimensionais, 
idealização de apoios, rigidez de conexões e continuidade (GALAMBOS, 1982). Estas 
incertezas são incluídas nos coeficientes de variação listados na tabela 2. 
 Segundo GALAMBOS, 1982, estatísticas das ações devidas a neve, vento e 
ação variável de ocupação (sobrecarga de utilização) foram determinadas através de 
Análise da segurança no projeto de estruturas: método dos estados limites 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 1-32, 2002 
23 
distribuições de valores extremos usados na análise de confiabilidade usando as 
porcentagens superiores das distribuições obtidas através da simulação Monte Carlo 
ou integração numérica. 
Tabela 2 - Resumo de dados estatísticos das ações (GALAMBOS, 1982) 
Ação 
 
(1) 
X Xn 
 
(2) 
VX 
 
(3) 
Distribuição de 
probabilidade 
(4) 
D (ação permanente) 1,05 0,10 Normal 
L (sobrecarga de utilização) 1,00 0,25 Valor extremo tipo I 
LRED (sobrecarga reduzida) 0,25-0,50 0,60 Gama 
W (ação do vento) 0,78 0,37 Valor extremo tipo I 
S (ação da neve) 0,82 0,26 Valor extremo tipo II 
 
4.2.2 Confiabilidades no cálculo em tensões admissíveis 
 Confiabilidades alvos podem ser estabelecidas através de revisão de níveis 
de confiabilidade pertencentes às normas já existentes que conduziram a resultados 
satisfatórios no passado. Enquanto confiança absoluta nestes valores pode admitir 
inconsistências e certas características indesejáveis da prática de cálculo passada, 
eles são úteis como guias para a seleção de confiabilidades alvos de um critério 
baseado em probabilidade. 
 O que se fez então foi uma análise dos níveis de confiabilidade que se obtinha 
com o cálculo segundo as normas em tensões admissíveis e, baseando-se nestes 
resultados, selecionou-se alguns valores alvos dos índices de confiabilidade para 
situações de projeto mais gerais e comuns. 
 As mais importantes combinações de ações envolvendo ações gravitacionais 
são as combinações de ação permanente com máximas ações variáveis de ocupação 
em pisos. Estes casos de ações gravitacionais governam os projetos em muitas 
situações práticas e eles são casos particularmente importantes, quando são 
acumuladas experiências bem sucedidas no passado. Cada situação de cálculo é 
definida por um conjunto de valores nominais de ações e resistência. Nas 
especificações em tensões admissíveis tinha-se: 
R
FS
D Ln n n= + (26a) 
onde FS é o fator de segurança. No cálculo plástico de estruturas de aço segundo o 
AISC/78 tinha-se (GALAMBOS, 1982): 
( )R D Ln n n= +17, (26b) 
 Os índices de confiabilidade associados ao cálculo de vigas de aço 
submetidas a ações permanentes e variável, são mostrados na figura 7 como funções 
da relação L Dn0 , numa análise feita por GALAMBOS, 1982. Na figura 7 percebe-se 
que β tende a decrescer quando a relação L Dn0 aumenta. Deve ser lembrado que 
vigas de aço têm intervalo prático para L Dn0 de 1 a 2. Como mostrado na figura 7, 
valores representativos para β são em torno de 2,5 para vigas de aço. A sobrecarga 
L0 é a ação variável uniforme sem redução especificada pelo ANSI A58.1-1972 e sua 
Leila A. de Castro Motta & Maximiliano Malite 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 1-32, 2002 
24 
relação com a sobrecarga nominal é dada pela seguinte expressão: 
L L min A
D
Ln T
n= − +




















0
0
1 0 0008 0 23 1 0 6, ; , ; , , em que AT é a área de influência do 
elemento carregado em ft2. 
 
Intervalo típico para
concreto armado
Intervalo típico para aço4
3
2
1
0
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
4
6
5
2
1
3
β
L D S Dn n n0 ou 
Curva Descrição 
nRR Vn 
5 aço (D+L) 1,07 0,13 
6 aço (D+S) 1,07 0,13 
AT = 37m2 (área de influência do elemento) 
 
Figura 7 - Índices de confiabilidade para vigas de aço calculadas em tensões admissíveis 
 Análises semelhantes foram feitas para diferentes combinações (CASTRO, 
1997), chegando-se então a valores de β que serviriam como guias para o cálculo dos 
coeficientes de ponderação das ações a serem utilizados pelas normas de ações e 
segurança. 
 
4.3 Calibração dos coeficientes de cálculo dos estados limites 
4.3.1 Seleção do formato 
 Cálculos em estados limites baseados em probabilidade empregam, 
tradicionalmente, ações ou efeitos de ações multiplicados pelos coeficientes de 
ponderação das ações e resistências multiplicadas pelos coeficientes de resistência, 
em um conjunto de equações que têm a forma geral: 
resistência fatorada > efeitos das ações fatoradas (27) 
 Vários formatos de equações de verificação da segurança são possíveis. 
(CASTRO, 1997) A seleção do formato deverá ser guiada pela necessidade de 
simplicidade e continuidade em relação a formatos existentes, bem como pelas 
considerações teóricas. 
 Com base em análises de alguns formatos propostos e outros já utilizados por 
algumas normas (CASTRO, 1997) , uma forma que combina os melhores aspectos 
Análise da segurança no projeto de estruturas: método dos estados limites 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 1-32, 2002 
25 
destes formatos estudados pode ser analisado. Neste formato o efeito último das 
ações fatoradas ficaria então: 
U D Q QD n Q n j nj= + + ∑γ γ γ (28) 
em que γ Q nQ é a ação variável principal fatorada, e os termos γ j njQ são as ações 
nominais minoradas por um coeficiente γj<1. As ações variáveis individuais 
consideradas devem ser alternadas na equação, cada ação tomando seu valor 
máximo, Qn , para se obter a combinação crítica. 
 A resistência fatorada da expressão (27) também pode ser expressa de 
diferentes formas, mas o método mais familiar é o uso do coeficiente de resistência 
aplicado à resistência característica ou nominal. A resistência fatorada é definida 
como o produto, φRn , de uma resistência nominal calculada, Rn , por um coeficiente 
de resistência φ . As principais vantagens desta forma são que erros do modelo de 
cálculo da resistência nominal e modo e conseqüência de falha do elemento estrutural 
podem ser facilmente refletidos na seleção de φ . A desvantagem é que φ não é 
aplicado diretamente à fonte de incerteza (resistência do material, dimensões e 
modelos analíticos). E como uma conseqüência, é mais difícil manter confiabilidade 
constante sobre todas as situações de cálculo. A situação é análoga ao uso de um 
único coeficiente de ponderação das ações ao invés de um coeficiente para cada 
incerteza da variável ação. 
 Um segundo método para calcular a resistência fatorada é através do uso de 
coeficientes de resistência parciais, onde cada uma das variáveis usadas para 
calcular a resistência é determinada dividindo o seu valor nominal por um coeficiente 
de segurança parcial antes de calcular a capacidade estrutural, por exemplo, 
f fy yn y= γ para a tensão de escoamento. A vantagem deste formato é que os 
coeficientes são aplicados diretamente às fontes de incertezas e assim é 
relativamente fácil manter constante a confiabilidade para muitas situações de cálculo. 
Isto é particularmente importante quando vários materiais contribuem para a 
resistência de um elemento, como em um elemento de concreto armado ou uma viga 
composta. A desvantagem é que a variabilidade devido a erro no modelamento, efeito 
do modo de falha e importância do elemento não são tão facilmente incluídos, porque 
os coeficientes parciais de resistência são tipicamente os mesmos para todosos 
elementos e estados limites. 
 
4.3.2 Critérios de carregamento baseados em probabilidade 
 Confiabilidades alvos “β0 ” para selecionar coeficientes de ponderação das 
ações e de resistência podem ser determinados com base em análises das 
confiabilidades dos cálculos anteriores. GALAMBOS, 1982, estabeleceu 
confiabilidades alvos para determinadas situações de carregamento e para 50 anos 
de vida útil da estrutura. Para combinações de ações envolvendo somente ações 
gravitacionais, β0 3 0= , ; para aquelas combinações envolvendo ações do vento 
aditivas, β0 2 5= , ; para aquelas envolvendo ações do vento atuando em sentido 
contrário aos efeitos das ações gravitacionais, β = 2 0, . Deve ser enfatizado que 
confiabilidades alvos são escolhidas unicamente com o propósito de permitir que os 
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Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 1-32, 2002 
26 
coeficientes de ponderação das ações sejam calculados inteligentemente, isto é, para 
assegurar que com o conjunto de coeficientes de ponderação das ações 
desenvolvidos, será possível desenvolver critérios de resistência para alcançar 
projetos que são semelhantes, em um sentido global, àqueles obtidos usando a 
prática anterior. 
 O critério de cálculo prático é selecionar um conjunto de coeficientes de 
ponderação das ações para serem aplicados em todas as situações de cálculo, no 
entanto é interessante, sempre que possível, examinar como os coeficientes de 
ponderação das ações e de resistência variam para diferentes estados limites e 
combinações de ações. Este exame tornará possível uma melhor apreciação de 
algumas das considerações que guiaram a seleção do critério de cálculo dos 
coeficientes. 
γS
γL
 φ
γD
D+L
D+S
0 1 2 3 4 5
(L/D) ou (S/D)
C
oe
fic
ie
nt
es
 γ
 o
u 
φ
2,0
1,5
1,0
0,5
 
Figura 8 - Coeficientes de ponderação das ações e de resistência para vigas de aço 
 Exemplos de coeficientes de resistência e coeficientes de ponderação de 
ações permanentes, variáveis de ocupação e neve são mostrados na figura 8. Estes 
coeficientes foram calculados de acordo com o que foi exposto no capítulo 3, com 
β 0 3= , para a combinação de ação permanente mais sobrecarga máxima em vigas 
metálicas. Resultados semelhantes têm sido obtidos para outras combinações e para 
outros materiais de construção, segundo ELLINWOOD, 1982. Note que o coeficiente 
de resistência é relativamente indiferente à sobrecarga na combinação. Similarmente, 
os coeficientes de ponderação das ações não se apresentam sensíveis às estatísticas 
da resistência. O coeficiente de ponderação da ação permanente é muito menor do 
que os valores comumente recomendados pelas normas. Isto porque a variabilidade 
de D é muito pequena comparada com as variabilidades das outras ações. A 
magnitude de γ D aparece virtualmente independente da magnitude das sobrecargas, 
exceto para relações L/D muito pequenas. 
 Estas observações indicam que escolher γ D e φ constantes e separar 
especificações de coeficientes de ponderação das ações e de resistência, não causa 
significativos desvios de β0 . Por outro lado, o coeficiente de ponderação da ação 
variável na combinação, aumenta quando a importância desta ação na combinação 
aumenta por causa de sua maior variabilidade. Se os coeficientes de ponderação 
γ γ γL S W, , ,K , para ações variáveis são especificados como constantes, como 
Análise da segurança no projeto de estruturas: método dos estados limites 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 1-32, 2002 
27 
sempre foi feito, haverá algum desvio da confiabilidade alvo (β0 ) para certas 
situações de carregamento. Assim há uma necessidade de selecionar um conjunto de 
coeficientes de ponderação das ações e combinações que minimize a extensão deste 
desvio de β0 sobre todas as situações possíveis de projeto. Fazendo isto, chega-se 
então aos valores dos coeficientes de cálculo procurados (CASTRO, 1997). 
Tabela 3 - Coeficientes de ponderação das ações e de resistência para ações gravitacionais 
atuando com ação do vento 
 Valores ótimos (γD=1,2) φ ótimo quando γw=1,3 
Material 
(1) 
φ 
(2) 
γL 
(3) 
γW 
(4) 
γL1=0,3 
(5) 
γL1=0,4 
(6) 
γL1=0,5 
(7) 
Vigas de aço 1,11 0,61 1,71 0,85 0,87 0,89 
 0,93 1,97 0,08 --- 0,81 --- 
Vigas de concreto 1,06 0,49 1,76 0,82 0,83 0,84 
armado 0,86 1,63 0,14 --- 0,81 --- 
 
4.3.3 coeficientes de resistência 
 Com os coeficientes de ponderação das ações fixados, a confiabilidade β 
pode ser ajustada variando o coeficiente φ e a especificação da resistência nominal 
para diferentes materiais e estados limites. A escolha de β para selecionar o 
coeficiente de resistência φ deverá considerar, entre outros fatores, a ductilidade 
associada a cada modo de resistência, a freqüência relativa da ocorrência de 
diferentes situações de projeto e a conseqüência de falha. Para um determinado 
estado limite e material, o coeficiente φ não deverá depender da combinação das 
ações. 
 Embora referidos às vezes como coeficientes do material, os coeficientes φ 
também devem considerar outras contribuições para a variabilidade da resistência e 
não somente a variação da resistência mecânica do material. Quando aplicados à 
resistência de seções transversais de aço, estes coeficientes devem cobrir as 
variações nas dimensões dentro das tolerâncias de laminação, as diferenças entre os 
valores da resistência medida em um produto padrão e a resistência real dos perfis de 
um lote de laminação, e outros fatores como a possibilidade de correlação entre 
resistência do material e tolerâncias de laminação. 
 Tratando-se de um material e estado limite, por exemplo, em que a 
capacidade é descrita por R Rn = 110, e VR = 015, , os intervalos de β, 
correspondentes ao intervalo para L Dn de 0,25 a 5 e vários valores candidatos φ, 
são dados na tabela 4. Tendo a relação L Dn prevalecente para cada situação ou a 
freqüência relativa de cada L Dn , o valor de φ correspondente ao β0 desejado então 
pode ser calculado. 
Tabela 4 - Variações de β para valores típicos de φ ( R Rn = 110, e VR = 015, ) 
φ 
(1) 
0,70 
(2) 
0,75 
(3) 
0,80 
(4) 
0,85 
(5) 
β 3,3 - 3,8 3,0 - 3,4 2,8 - 3,1 2,6 - 2,8 
 
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28 
5 EXEMPLO 
 A forma mais comum das normas atuais para o cálculo de elementos 
estruturais é a desigualdade linear abaixo: 
φ γ γR D Ln D n L n≥ + 
Onde o subscrito “n” indica os valores nominais da resistência e das ações. As 
relações destes valores nominais para os seus respectivos valores médios podem ser 
consideradas como os correspondentes fatores: 
ν ν νR
n
D
n
L
nR
R
D
D
L
L
= = =; ; 
 Seja por exemplo, determinar o coeficiente de resistência (φ) e os coeficientes 
de ponderação das ações (γD e γL) para alcançar projetos com uma confiabilidade de 
β=2,50. Considera-se uma relação da ação variável para a ação permanente de 
L D = 2 0, e que as variáveis têm distribuição de probabilidade normal e são não 
correlacionadas. Admite-se também: 
δ δ δR D L= = =011 010 0 25, ; , ; , 
e 
ν ν νR D L= = =0 95 0 95 118, ; , ; , 
 A equação de cálculo anterior é uma função de desempenho linear, isto é: 
( )g X = R - D - L 
com derivadas parciais: 
∂
∂
σ
g
R R'
= 
∂
∂
σ
g
D D'
= − 
∂
∂
σ
g
L L'
= − 
Então: 
R D L
R D L
− −
+ +
= =
σ σ σ
β
2 2 2
2 50, 
Onde 
L D= 2 
e 
σD D= 0 1, ; ( )σ δ δL L LL D D= = =2 0 5, e σR R= 011, 
Donde: 
Análise da segurança no projeto de estruturas: método dos estados limites 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 1-32, 2002 
29 
( ) ( ) ( )
R D D
R D D
− −
+ +
=
2
0 11 0 10 0 50
2 50
2 2 2
, , ,
, 
resultando na seguinte equação quadrática: 
R RD2 6 491 7 978 0− + =, , 
A solução de interesse para R é: R D= 4 844, 
logo, σR D D= × =4 844 0 11 0 533, , ,Os co-senos diretores são: 
( ) ( ) ( )
α
σ
σ σ σ
R
R
R D L
D
D D D
=
+ +
=
+ +
=
2 2 2 2 2 2
0 533
0 533 0 100 0 500
0 722
,
, , ,
,
α
σ
σ σ σ
D
D
R D L
D
D
=
−
+ +
=
−
= −
2 2 2
0100
0 738
0136
,
,
,
α
σ
σ σ σ
L
L
R D L
D
D
=
−
+ +
=
−
= −
2 2 2
0 500
0 738
0 678
,
,
, 
Donde, de acordo com a equação 24, os coeficientes médios de resistência e de 
ponderação das ações apropriados são: 
( )φ = − × × =1 0 722 2 5 0 11 0 80, , , , 
( )γ D = + × × =1 0136 2 5 010 103, , , , 
( )γ L = + × × =1 0 678 2 5 0 25 142, , , , 
Estes coeficientes médios deverão ser usados com as correspondentes resistências e 
ações médias, isto é, a exigência de segurança será: 
0 80 103 142, , ,R D L≥ + 
Observe que neste caso (linear), não é necessário processo iterativo para se obter os 
coeficientes de cálculo. 
 Para determinar os correspondentes coeficientes nominais de resistência e de 
ponderação das ações, observa-se que: 
νR
nR
R
= = 0 95, ou R
Rn=
0 95,
 
Similarmente, 
D
Dn=
0 95,
 e L
Ln=
118,
 
Leila A. de Castro Motta & Maximiliano Malite 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 1-32, 2002 
30 
Portanto, em termos dos valores nominais, a segurança exigida anteriormente fica: 
0 80
0 95
103
0 95
142
118
,
,
,
,
,
,
R D Ln n n



≥




+




 
ou 
0 84 108 120, , ,R D Ln n n≥ + 
 
 
6 CONCLUSÕES E COMENTÁRIOS FINAIS 
 A afirmação de que é possível separar coeficientes de segurança afirmando 
que cada coeficiente é dependente somente da incerteza no parâmetro a que ele é 
aplicado e é independente da incerteza em todas as outras variáveis tem alguma 
carência de rigor probabilístico, mas isto não condena o processo como inútil, já que 
praticamente nenhum processo usado em projeto pode ser justificado rigorosamente. 
Algumas aproximações são sempre necessárias até mesmo para assegurar outra 
característica também importante em um processo de cálculo, que é a transparência 
de lógica ou facilidade com que os princípios básicos do modelo podem ser 
entendidos. 
 Um dos principais fatores que atraiu a comunidade acadêmica para a 
aproximação dos coeficientes parciais foi a clareza lógica do sistema: incerteza na 
ação permanente é coberta por um coeficiente aplicado à ação permanente, incerteza 
na sobrecarga por um coeficiente aplicado à sobrecarga e assim por diante. Isto não 
poderia ser sustentado pelo método das tensões admissíveis. Esta aproximação 
também permite ao engenheiro julgar e tomar decisões sobre o que poderia ser feito 
em situações atípicas onde a variabilidade de um parâmetro de cálculo não for 
padrão. 
 Uma outra característica importante de um processo de cálculo é a 
simplicidade com que ele pode ser aplicado. Inicialmente o método dos estados 
limites foi criticado por introduzir uma complexidade adicional no cálculo, argumento 
que foi perdendo força com o passar do tempo, à medida que os calculistas foram se 
familiarizando com o processo. 
 O método dos estados limites tem sido aplicado a uma vasta gama de 
situações, por apresentar também flexibilidade e universalidade de aplicação, ou seja, 
pode ser adaptado com comodidade para a utilização em diferentes áreas. 
 Entretanto, vale comentar que métodos probabilísticos podem ser aplicados 
somente onde a informação estatística existe e, reconhecimento devido tem que ser 
dado à forma real das curvas de densidade de probabilidade. A princípio a idéia é 
simples: as incertezas que afetam o projeto estrutural são identificadas e suas 
variações potenciais quantificadas estatisticamente, admitindo coeficientes de 
segurança parciais apropriados a serem calculados. Isto então é reunido para gerar 
projetos com uma probabilidade de falha aceitável, previamente especificada. 
 Portanto para que esta idéia seja realmente efetivada, os dados utilizados 
para a determinação destes coeficientes de cálculo devem ser resultados de 
pesquisas científicas e não valores arbitrados convenientemente para conduzir a 
Análise da segurança no projeto de estruturas: método dos estados limites 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 1-32, 2002 
31 
projetos sobretudo mais econômicos, promovendo assim o uso das novas normas. O 
objetivo de escapar dos problemas do passado e obter resultados claramente mais 
racionais deve ser sempre mantido. 
 No entanto, ressalta-se que o método dos estados limites é mais racional do 
que o das tensões admissíveis, mesmo em se tratando de arbitrar valores 
 A maioria das normas em estados limites adotam valores menores de γf para 
as ações permanentes do que para as sobrecargas afirmando que o peso próprio da 
estrutura pode ser determinado com maior precisão do que as sobrecargas. 
Entretanto muitos estudiosos do assunto contestam esta posição afirmando que o 
termo ação permanente inclui itens como acabamentos, divisórias, utilidades 
penduradas e forros que podem ocasionar uma variabilidade maior do que a prevista 
pelas atuais normas de cálculo. Nas normas de hoje o menor γf cobre quase todas as 
ações permanentes ou de longa duração, incluindo itens como pressão de terra que 
são as ações com menos precisão dentre as que atuam nas estruturas. HEGER, 
1993, afirma que existe significativamente mais incerteza nas ações permanentes do 
que é assumido na escolha do corrente coeficiente de ponderação da ação 
permanente do LRFD, 1986, γf=1,2. 
 Segundo BEAL, 1994, estudos de falhas reais mostram que, exceto em casos 
evidentes de erros, estas são quase sempre causadas por resistência inadequada ao 
invés de variabilidade das ações normais. Normas correntes recomendam γf da ordem 
de 1,4 a 1,6 para as ações e γm da ordem de 1,0 a 1,15 para o aço. Isto sugere que as 
margens de segurança dos materiais estão insuficientes, o que pode ser corrigido 
pela alteração dos dados estatísticos utilizados na análise (relação resistência média 
pela nominal e/ou coeficiente de variabilidade da resistência). 
 Pode-se concluir disto que o problema de introdução da segurança nas 
estruturas não estará resolvido apenas com boas formulações probabilísticas, mas 
sobretudo, é necessário que se tenha dados confiáveis das variáveis envolvidas no 
cálculo. 
 De certa forma a revolução tem ainda que começar, pois as primeiras normas 
em estados limites não apresentaram diferenças significativas em relação às normas 
em tensões admissíveis, o que foi desejado realmente em um estágio inicial, para não 
introduzir mudanças muito bruscas em relação ao produto final, ou seja, os elementos 
estruturais projetados. Sabe-se que o que foi feito inicialmente foi uma calibração, 
entretanto, espera-se naturalmente que isto mude com a evolução das normas e com 
a obtenção de mais dados experimentais. 
 
 
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Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 33-42, 2002 
CRITÉRIOS DE DIMENSIONAMENTO DE 
TREMONHAS PIRAMIDAIS PARA SILOS 
METÁLICOS ELEVADOS 
Ernani Carlos de Araújo1 & Carlito Calil Junior2 
 
 
R e s u m o 
O comportamento estrutural de tremonhas piramidais de aço é estudado através de 
procedimentos analíticos, numéricos e experimentais. As análises são feitas para 
modelos de tremonhas não-enrijecida e enrijecida. Os protótipos para ensaios foram 
feitos em escala real. As análises fornecem recomendações que possibilitam 
racionalizar as dimensões de placas e enrijecedores com os seus adequados 
espaçamentos. 
 
Palavras-chave: Silos; tremonhas de aço; placas; enrijecedores. 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 Nos processos industriais, principalmente nas áreas de mineração e agro-
indústria, os silos têm um papel de fundamental importância, na armazenagem e 
manipulação nos processos de produção. 
 O fundo de um silo pode ser plano ou ter a forma afunilada, recebendo, então, 
a denominação de TREMONHA (FIG.1). É pelo fundo que o produto ensilado é 
descarregado pela ação da gravidade ou através de equipamentos apropriados. 
 
 
 
(a) (b) 
Figura 1 - (a) tremonha não-enrijecida; (b) Tremonha enrijecida 
 
1 Professor Adjunto, Escola de Minas, UFOP, Ouro Preto, MG, ecar@em.ufop.br 
2 Professor Titular do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, calil@sc.usp.br 
 
Ernani Carlos de Araújo & Carlito Calil Junior 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 33-42, 2002 
34
 
 Nas tremonhas de silos prismáticos a flexão estará sempre combinada com a 
tração. Para o caso de tremonhas de silos de aço, normalmente assume-se que a 
tração seja resistida pelas placas e a flexão seja resistida pelos enrijecedores 
externos. As paredes finas permitem grandes deslocamentos antes de trabalhar pelo 
efeito membrana. No entanto, deslocamentos como estes podem ser evitados 
projetando-se, adequadamente, os enrijecedores e espessuras de placas de paredes. 
 
2 OBJETIVOS 
 O principal objetivo deste trabalho é apresentar uma metodologia de análise 
teórica e experimental que possibilite dimensionamentos mais racionais para os 
elementos de chapas e enrijecedores de tremonhas de aço não-enrijecidas e 
enrijecidas. 
 
3 MATERIAIS E MÉTODOS 
3.1 Materiais 
 Nos ensaios, utilizaram-se dois tipos de materiais: a areia, como produto 
granular de carga, e o aço, como material estrutural, utilizado na estrutura de 
sustentação e nas chapas e enrijecedores do corpo da tremonha. 
 Na tremonha não-enrijecida utilizou-se placa de aço do tipo SAE 1012 com 
espessura de 3.04 mm. 
 Para a tremonha enrijecida utilizou-se aço do tipo SAE 1008 e com espessura 
0.91 mm. 
 Nos enrijecedores utilizou-se aço do tipo SAE 1010 e com seções 
retangulares de dimensões (4.76 x 50.80 mm), (6.35 x 63.5 mm) e (7.94 x 76.2 mm). 
 
 
3.2 Métodos 
3.2.1 Métodos teóricos 
 As chapas das tremonhas foram analisadas, basicamente, segundo três 
modelos estruturais. Os dois primeiros modelos tratam-se de placas isoladas e o 
terceiro modelo trata-se de um sistema em casca trabalhando integradamente. 
 O primeiro modelo consiste de placas retangulares com λ < 3, o que 
normalmente são aplicadas às tremonhas não-enrijecidas e, eventualmente, às 
tremonhas enrijecidas. 
 O segundo modelo consiste de placas retangulares com λ > 3. Estes tipos de 
placas são aplicadas às tremonhas enrijecidas, onde se pode definir, previamente, o 
espaçamento entre enrijecedores. Para estes dois modelos empregou-se, 
simplificadamente, o processo de equivalência de cargas e geometrias das placas. 
Critérios de dimensionamento de tremonhas piramidais para silos metálicos elevados. 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p.33-42, 2002 
35
 O terceiro modelo é o que mais se aproxima da situação real. As tremonhas 
(placas e enrijecedores) são discretizadas em elementos finitos, as ações são 
pressões normais trapezoidais e as vinculações segundo três direções. 
 Para o cálculo das ações sobre as placas das tremonhas utilizou-se o Método 
de WALKER (1966) para produtos no estado estático. A equação que possibilita 
calcular as pressões verticais, a partir da altura de transição “y” entre o corpo do silo e 
a tremonha, levando-se em conta o peso específico “γ” do produto e a pressão vertical 
“ pvt ” calculada por Janssen na transição é: 
 
pVT y pvt= +γ . (1) 
 
 As forças de tração horizontal ou meridional (FIG.2) por unidade de largura de 
parede da tremonha são determinadas por condições de equilíbrio. Estas forças são 
dadas a seguir por: 
 
 
Figura 2 - Forças de tração horizontais e meridionais 
Th ag pNT bg b
bg
( ) ( ) .sen .= α 2
 (2) 
 
Th bg pNT ag a
ag
( ) ( ) .sen .= α 2
 (3) 
 
onde: 
pNT ag( ) e pNT bg( ) = pressões normais médias sobre as paredes nas posições 
genéricas “ag ” e “bg ” = lados de um retângulo genérico transversalmente à tremonha 
αa e αb = ângulos de inclinações das paredes “a” e “b” relativos à horizontal. 
Ernani Carlos de Araújo & Carlito Calil Junior 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 33-42, 2002 
36
 
Tm ag
W Cag pva Aag G Cag
ag a
( )
. . .
. sen
=
+ +
α
 (4) 
 
Tm bg
W Cbg pvb Abg G Cbg
bg b
( )
. . .
.sen
=
+ +
α
 (5) 
 
 
 
onde: 
 
W = peso total do produto contido na tremonha 
Cag e Cbg = coeficientes de distribuição para os lados de um retângulo genérico 
Aag e Abg = áreas de influências dos retângulos genéricos 
G = peso próprio da tremonha 
 
 Os esforços de flexão e deslocamentos de placas foram determinados a partir 
da teoria dos pequenos deslocamentos. 
 Os enrijecedores foram calculados como quadros fechados (FIG.3). 
Utilizando-se da Equação dos Três Momentos e do teorema da Área-momento 
chegou-se aos momentos de engastamentos e deslocamentos nos vãos dados 
respectivamente por: 
 








+
+
=
aIbbIa
aIbNTbpbIaNTapM
..
.3..3.
12
1 (6) 
 








+−=∆
384
4.5
8
2.
.
1 aNTapaM
aIE
a (7) 
 








+−=∆
384
4.5
8
2.
.
1 bNTbpbM
bIE
b (8) 
Critérios de dimensionamento de tremonhas piramidais para silos metálicos elevados. 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p.33-42, 2002 
37
 
 
Figura 3 - Quadro hiperestático (Os diagramas de momentos de flexão estão invertidos na 
figura para facilidade ilustrativa) 
 
 As verificações foram feitas considerando-se os efeitos dos esforços 
combinados em placas e enrijecedores. Assim, calculou-se a tensão equivalente para 
comparação através do critério de resistência de von Mises. 
 As análises numéricas através de elementos finitos foram feitas, inicialmente, 
utilizando-se o Software SAP90. Posteriormente, as análises passaram a ser feitas 
através do Programa ANSYS. Para a definição das malhas optou-se pelo elemento 
finito SHELL63, o qual tem rigidez de membrana e à flexão. 
 
3.2.1 Métodos experimentais 
 A determinaçãodas propriedades físicas do produto granular foi realizada 
através do Aparelho de Jenike ou “JENIKE SHEAR CELL” (TSG 70-140) (Figura 4). 
 
Figura 4 - Aparelho de Jenike 
 
Ernani Carlos de Araújo & Carlito Calil Junior 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 33-42, 2002 
38
 As chapas de aço foram caracterizadas, mecanicamente, através de corpos-
de-prova padrão e submetidas a ensaios de tração uni-axial em máquina universal de 
tração (INSTRON). 
 Protótipos de tremonhas não-enrijecida e enrijecida foram confeccionados em 
escalas reais. Posteriormente, as malhas de elementos finitos foram fisicamente 
definidas nas partes internas e externas das tremonhas (FIG.5). 
 
(a) (b) 
Figura 5 - Definição das malhas de elementos finitos nas tremonhas. (a) não-enrijecida (b) 
enrijecida. 
 Extensômetros foram adaptados aos pares (interno e externamente) com o 
objetivo de se obterem os efeitos independentes dos esforços devido às tensões 
combinadas de flexo-tração em placas e enrijecedores. As deformações específicas 
foram determinadas através de extensômetros do tipo KIOWA (5mm, 120Ω, GF = 2.1) 
e os deslocamentos através LVDT (Linear Variable Differential Transformer) do tipo 
DCDT 500 da Hewlett Packard (HP). As posições de colagem dos extensômetros 
foram definidas em função das análises numéricas obtidas via computador. 
 As leituras dos deslocamentos e das deformações foram feitas, 
automaticamente, por um Sistema de Aquisição de Dados do tipo HP 9825 - T. Para a 
tremonha não-enrijecida utilizaram-se 37 canais para extensômetros e 9 para LVDTs. 
Por outro lado, a tremonha enrijecida utilizou-se de 37 canais para extensômetros e 
23 para LVDTs. 
 
4 RESULTADOS 
 Para a tremonha não-enrijecida verificou-se boa compatibilidade entre os 
resultados numéricos e experimentais. O modelo numérico desenvolvido proporcionou 
valores para as tensões (FIG.6 e 7) e deslocamentos próximos daqueles obtidos 
através dos ensaios do protótipo. 
 
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 Analítico
D
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(m
m
)
Pressões (kPa) 
Figura 6 - Tensões e deslocamentos em função das pressões (Face maior) 
 
0 20 40 60 80
0
100
200
300
400
500
600
700
 Experimental
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 Analítico
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m
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to
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(m
m
)
Pressões (kPa)
 
Figura 7 - Tensões e deslocamentos em função das pressões (Face menor) 
 
 Para a tremonha enrijecida, as comparações das tensões e deslocamentos 
atuantes nas placas da face maior e da face de menor área são mostradas nas figuras 
8 e 9. 
 O comportamento da tremonha ficou afetado, substancialmente, devido à 
introdução de enrijecedores e consequente diminuição da espessura das chapas das 
paredes. Observando-se as Figuras que 8 a 9 notam-se as aproximações existentes 
entre os resultados numéricos e analíticos. Por outro lado, os resultados 
experimentais se mantêm com valores relativamente pequenos e abaixo dos 
resultados numéricos e analíticos. 
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 Numérico
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Pressões (kPa)
 
 
Figura 8 - Tensões e deslocamentos em função das pressões para placa 1 da face 1. 
0 20 40 60 80 100
0
500
1000
1500
2000
2500
3000 Experimental
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0 20 40 60 80 100
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120
140 Experimental
 Numérico
 Analítico
D
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(m
m
)
Pressões (kPa)
 
Figura 9 - Tensões e deslocamentos em função das pressões para placa 1 da face 2. 
 
 A figura 10 mostra os resultados das tensões máximas nos engastamentos do 
quadro hiperestático formado por um dos enrijecedores. Os valores das tensões de 
flexo-tração obtidas para este enrijecedor demonstram que, por via analítica, pode-se 
chegar a dimensionamentos satisfatórios para a seção transversal. Por outro lado, 
numericamente, verificou-se que os valores das tensões são mais conservadoras. 
0 20 40 60 80 100
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(M
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Pressões (kPa)
0 20 40 60 80 100
0
2
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16
18 Experimental
 Numérico
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D
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lo
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m
en
to
s 
(m
m
)
Pressões (kPa)
 
Figura 10 - Tensões e deslocamentos em função das pressões em enrijecedor com vão na face 
1. 
 
Critérios de dimensionamento de tremonhas piramidais para silos metálicos elevados. 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p.33-42, 2002 
41
5 CONCLUSÕES 
 Para as ações estáticas, o Método de Walker mostrou-se estar compatível 
com os resultados teóricos e com os valores obtidos através de ensaios. Este método 
apresenta vantagem frente a outras teorias e critérios de normas por apresentar 
funções de cargas perfeitamente definidas e de fácil geração pelos softwares 
modernos. 
 Com relação às tremonhas não-enrijecidas, as placas equivalentes de 
paredes, normalmente, recaem na análise dos casos em que λ < 3. Este tipo de 
tremonha é viável apenas para silos baixos em que a relação altura lado é pequena, 
pois os efeitos da flexão em placas de aço podem levar a espessuras anti-
econômicas. Os métodos analíticos utilizados na prática para o dimensionamento de 
chapas de aço são muito conservadores, levando-se a espessuras de placas 
exageradas. Para dimensionamentos rápidos das placas deste tipo de tremonha 
propõe-se a utilização de tabelas elaboradas pela Teoria dos Grandes Deslocamentos 
(TGD), como as propostas por AALAMI & WILLIANS (1975). 
 Com relação às tremonhas enrijecidas, pode-se chegar a uma boa economia 
em peso de aço utilizando-se enrijecedores. As teorias dos pequenos deslocamentos 
(TPD) aplicada às vigas ou a elementos finitos levam ao super-dimensionamento das 
placas. Este fato é atribuído à baixa rigidez à flexão das placas finas. Os resultados 
experimentais mostraram que os deslocamentos e as tensões para as placas em 
questão são pequenos quando comparados com aquelas teorias. Portanto, a 
princípio, supõe-se que as placas trabalhem, primordialmente, pelo efeito membrana. 
Para dimensionamentos mais racionais para placas com λ > 3, propõe-se a utilização 
da Teoria dos Grandes Deslocamentos (TGD), desenvolvida por TIMOSHENKO 
(1940). 
 A teoria analítica para o dimensionamento dos enrijecedores demonstrou ser 
simples e proporcionou valores satisfatórios para a seção transversal. Para os níveis 
de cargas aplicadas durante os ensaios verificaram-se rotações desprezíveis nos 
enrijecedores. Conclui-se, a princípio, que enrijecedores com maior rigidez à torção 
tornam-se desnecessários. 
 
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Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p.43-74, 2002 
 
CONTRIBUIÇÃO AO ESTUDO DAS ESTRUTURAS 
METÁLICAS ESPACIAIS 
 Alex Sander Clemente de Souza1 & Roberto Martins Gonçalves2 
 
R e s u m o 
Este trabalho apresenta um estudo sobre as estruturas metálicas espaciais abordando 
os seguintes aspectos: histórico, desenvolvimento, tipos, vantagens do sistema 
tridimensional e comportamento estrutural. Atenção especial é dispensada às tipologias 
de treliças espaciais mais comuns no Brasil, formadas por tubos circulares com 
variações de inércia nas extremidades. A influência da variação de inércia nas 
extremidades das barras no comportamento destes elementos isoladamente (resistência 
à compressão) e comportamento global da estrutura, foi estudada via elementos finitos. 
Descrevem-se vários sistemas de ligações patenteados utilizados em outros países e os 
comumente usados no Brasil. Apresentam-se resultados experimentais e teóricos de 
uma treliça espacial com dimensões em planta de 7,5 x 7,5m. Na análise teórica foram 
consideradas variação de inércia nas barras e os efeitos não lineares físicos e 
geométricos. 
 
Palavras-chave: Treliças espaciais, estruturas espaciais. 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 Os registros mais antigos de estruturas espaciais datam dos séculos XVIII e XIX 
na França e Alemanha, respectivamente. Em 1906 Alexander Graham Bell desenvolveu 
um sistema de estrutura espacial pré-fabricado para construção de torres, trabalho este 
que pode ser considerado pioneiro como projeto racional de estruturas espaciais. 
 Nos dias atuais o uso de estruturas espaciais está consagrado e vem crescendo 
em todo o mundo. O fator mais importante do desenvolvimento das estruturas espaciais 
foi o grande número de pesquisas, abordando diversos aspectos do seu comportamento e 
projeto. 
 O Committee on Spacial Structures - ASCE (1972, 1976) reúne uma vasta 
bibliografia contendo os principais trabalhos sobre estruturas espaciais até então 
publicados. 
 O termo estrutura espacial é muito genérico, MAKOWSKI (1987) faz uma 
subdivisão em três grupos: estruturas em cabos, estruturas laminares e estruturas 
reticuladas, que são as mais utilizadas e nas quais estão incluídas as treliças espaciais, 
objeto de estudo deste trabalho. 
 
1 Prof. Adjunto do Centro Universitário de Lins, Aluno de Doutorado na EESC-USP, alexsander@fpte.br 
2 Professor Associado do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, goncalve@sc.usp.br 
Alex Sander Clemente de Souza & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 43-74, 2002 
 
44
 Outras razões para o desenvolvimento das estruturas espaciais são as vantagens 
que o sistema oferece. MAKOWSKI (1984), um dos principais pesquisadores sobre 
estruturas espaciais, aponta alguns aspectos dessas estruturas que as tornam um sistema 
estrutural vantajoso: 
 - as estruturas espaciais possuem peso próprio reduzido e grande rigidez, sendo uma 
solução viável para cobrir grandes áreas livres, tais como: ginásios esportivos, hangares, 
pavilhões de exposição, etc; 
- devido ao seu comportamento tridimensional e alto grau de hiperasticidade, apresenta 
boa redistribuição de esforços; 
- por serem constituídas de elementos com peso próprio reduzido são facilmente 
transportadas, a fabricação é simples apresentando grande repetitividade de elementos, 
o que resulta na redução de custos; 
- as estruturas espaciais propiciam grande liberdade aos arquitetos, permitindo que esses 
projetem grandes vãos, atendendo à necessidade de espaço e ainda tirem partido 
arquitetônico da estrutura conferindo-lhes estética e funcionalidade às edificações. 
 Treliça espacial é um sistema estrutural com aplicações das mais diversas. 
Exemplo de treliça espacial funcionando em conjunto com laje de concreto para suportar 
carregamento de piso é apresentado por GIULIANI & GIULIANI (1996). Um estudo mais 
detalhado deste tipo de utilização das treliças espaciais como sistema misto de piso é 
apresentado por EL-SHEIKH (1993). 
 As treliças espaciais podem ser utilizadas também em pontes. Estudos que 
indicam esta possibilidade foram realizados por SEBASTIAN et. al. (1993) e ASHRAF et 
al. (1993). 
 No entanto, a utilização predominante das treliças espaciais é, sem dúvida, em 
grandes coberturas onde se exige grandes espaços livres acarretando vãos bastante 
elevados. 
 
1.1 Tipos de treliças espaciais 
 No que diz respeito ao projeto de estruturas espaciais MAKOWSKI (1981) e 
IFFLAND (1982) discutem critérios para elaboração de um projeto preliminar. São 
apresentadas várias possibilidades de arranjo dos elementos que, em elevação, podem 
ser de uma, duas ou três camadas paralelas. Quanto ao arranjo em planta tem-se: 
quadrado sobre quadrado (com ou sem aberturas internas), quadrado diagonal sobre 
quadrado diagonal, entre outras (Figura 1). 
Contribuição ao estudo de estruturas metálicas espaciais 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 43-74, 2002 
45
b
d
a
c
 
Figura 1- Arranjo geométrico de estruturas espaciais: a) quadrado sobre quadrado; b) quadrado 
sobre quadrado em diagonal, c) quadrado diagonal sobre quadrado diagonal; d) quadrado 
sobre quadrado sem diagonais esconsas 
 Quanto à forma e tipo de apoio, são várias as possibilidades, os mais comuns são 
apresentados na Figura 2. 
 
Figura 2 - a) apoio direto no banzo inferior; b)pé de galinha; c) viga de transição; d)pé de 
galinha com travejamento interno; e)apoio direto no banzo superior 
 Para a altura das treliças espaciais, encontram-se as seguintes recomendações 
apresentadas na Tabela 1. 
Tabela 1 - Recomendações para altura de treliças espaciais 
Altura da Treliça Recomendação 
l l
30 40
a 
MORONI (1976) 
l l
20 40
a 
MAKOWSKI (1981) 
l l
20 60
a IFFLAND (1982) 
l l
15 20
a 
AGERSKOV (1986) 
a) c)b) d)
e) 
Alex Sander Clemente de Souza & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 43-74, 2002 
 
46
1.2 Comportamento não linear 
 Segundo HILL et al. (1989) o comportamento de sistemas estruturais espaciais, 
em sua grande maioria, só pode ser adequadamente avaliado quando ambas, não 
linearidades geométrica e física são consideradas. 
 A não linearidade geométrica estáassociada ao equilíbrio de um sistema 
estrutural na posição deslocada. É necessária a consideração da não linearidade 
geométrica quando a configuração deformada da estrutura é significativamente diferente 
da configuração inicial (grandes deslocamentos). 
 A não linearidade física diz respeito ao comportamento não linear da relação 
tensão x deformação do material. Para realizar uma análise não linear física, é necessário 
idealizar um modelo constitutivo (tensão x deformação) para o material. Para os 
elementos tracionados um diagrama tensão x deformação elasto-plástico perfeito é uma 
boa aproximação para o seu comportamento. Entretanto, para elementos comprimidos é 
um pouco mais complicado equacionar o comportamento tensão x deformação, pois deve-
se considerar o efeito da flambagem. A flambagem destes elementos depende, além das 
características do material, da esbeltez e das condições de vinculação. 
 Segundo MADI (1984) o diagrama tensão x deformação para elementos 
comprimidos pode ser dividido em três fases: fase estável, inicia-se com o carregamento e 
se estende até a carga crítica; fase de “amolecimento”, que corresponde a perda da 
capacidade de carga com aumento de deformações; e a fase plástica onde se mantém 
uma capacidade resistente residual constante. A figura 3c ilustra um diagrama tensão x 
deformação com as três fases descritas acima. 
 SUPPLA & COLLINS (1981) e MADI (1984) apresentaram e discutiram alguns 
modelos constitutivos de material utilizados em análise não linear de estruturas espaciais 
de aço. Alguns desses são reproduzidos na Figura 3, nos gráficos desta figura as curvas 
do primeiro quadrante correspondem a tensões de compressão, enquanto as curvas do 
terceiro quadrante a tensões de tração. 
 
Figura 3 - Modelos constitutivos para elementos de aço utilizados em treliças espaciais 
 Para o caso a) é admitido comportamento elasto-plástico perfeito na tração e 
compressão, o que não é uma boa aproximação para elementos comprimidos. 
Contribuição ao estudo de estruturas metálicas espaciais 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 43-74, 2002 
47
 Em b) são adicionadas faixas de ruína, ou seja, se a tensão crítica obtida se 
encontrar nesta faixa indicará a falha do elemento. 
 No gráfico c) existe um patamar com aumento de deformações para cargas 
constantes e em seguida uma brusca queda na capacidade resistente do elemento, 
conservando ainda uma capacidade resistente residual. 
 Em d) o comportamento é semelhante, porém, o patamar referido acima não 
existe. No comportamento representado pelos gráficos e) e f), após atingida a carga 
crítica, a capacidade resistente do elemento decresce linearmente. Em f) é admitida uma 
capacidade resistente residual. 
 Nos gráficos g) e h) são introduzidas características não lineares para o regime 
pós-crítico e curvas de descarregamento. 
 
1.3 Mecanismos de colapso 
 O colapso das estruturas espaciais é governado, predominantemente, pela 
flambagem sucessiva de elementos comprimidos. 
 Para esbeltez de projeto, a flambagem dos elementos comprimidos acarreta em 
perda de estabilidade repentina, e por essa razão apresentam ruptura súbita sem grandes 
deformações. Este comportamento das treliças espaciais já havia sido confirmado 
experimentalmente por SCHMIDT et al. (1976). 
 Outro mecanismo de colapso possível é a instabilidade, elástica ou inelástica dos 
elementos de conexão (juntas ou nós). Algumas tipologias de nós utilizadas no Brasil são 
bastante suscetíveis a este problema. 
 LAN (1991) descreveu vários casos típicos de ruína em treliças espaciais. Tais 
catástrofes, caracterizadas por colapso repentino, mostram claramente a necessidade de 
modelos de análise que representem verdadeiramente o comportamento das estruturas 
espaciais. Muitas estruturas requerem apenas a consideração da não linearidade do 
material associada com o modelo de flambagem dos elementos. No entanto, algumas 
estruturas mais complexas e peculiares requerem ainda a consideração da não 
linearidade geométrica. 
 MURTHA-SMITH (1988) desenvolveu um método alternativo para analisar a ruína 
progressiva, (ou seja, propagação de falha nos elementos da estrutura que a leva ao 
colapso) de estruturas espaciais devido a perda da capacidade resistente de um dos 
elementos nestas estruturas. O método avalia o efeito da perda de um dos elementos 
sobre a segurança da estrutura. O fator de segurança dos elementos remanescentes, e 
da estrutura, foram avaliados usando a análise linear e não linear respectivamente. 
 O autor analisa um modelo de treliça espacial removendo diferentes elementos. 
Constatou-se que a retirada de um elemento compromete a segurança de uma grande 
quantidade dos elementos remanescentes, principalmente se o elemento retirado for uma 
das diagonais de apoio ou banzos da região central. 
 A análise não linear demonstrou que, para o caso mais crítico de elementos 
removidos, a estrutura apresenta um baixo fator de segurança de apenas 6%. É sugerido, 
pelo autor, que o prosseguimento dos estudos sobre ruína progressiva considere o efeito 
de alguns parâmetros, tais como: quantidade e localização dos apoios, tipos de elementos 
e razão vão/altura. 
 Seguindo a sugestão de MURTHA-SMITH (1988), MURTHA-SMITH & LEARY 
(1993) analisaram o comportamento de treliças espaciais sob a influência dos seguintes 
parâmetros: 
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Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 43-74, 2002 
 
48
 - quantidade e localização dos apoios; 
 - relação vão/tamanho do módulo; 
 - relação altura/vão, 
 - relação maior vão/menor vão. 
 Dos parâmetros analisados, a localização dos apoios tem maior influência no 
comportamento das treliças espaciais, e sobretudo na propagação da ruína. A pior 
situação é aquela com apoios somente nos cantos. Os demais parâmetros não têm 
influência significativa na propagação da ruína das treliças espaciais. 
 
2 ELEMENTOS COMPRIMIDOS UTILIZADOS NAS ESTRUTURAS 
METÁLICAS ESPACIAIS 
 As estruturas espaciais projetadas e construídas no Brasil utilizam, 
predominantemente, barras de seção tubular circular com extremidades estampadas ou 
com chapas de extremidades (ponteiras). Os tipos mais comuns de estampagem são 
apresentados na Figura 4. 
 
 Reta Tradicional Nova Ponteira 
Figura 4 - Tipos de extremidades de barras utilizadas em estruturas espaciais 
 A denominação das estampagens apresentadas na Figura 4 é a utilizada no 
âmbito do LE-EESC3, podendo haver outras nomenclaturas para as mesmas 
estampagens em lugares diferentes. 
 Na prática corrente, de projeto de estruturas espaciais, os efeitos da variação de 
inércia não são considerados na determinação da força normal resistente desses 
elementos. Os motivos pelos quais esses efeitos são negligenciados serão comentados 
posteriormente. 
 No entanto, percebe-se facilmente que a capacidade resistente dos elementos 
comprimidos é reduzida quando este apresenta variação de inércia. Essa redução é mais 
significativa para elementos com baixos valores de índice de esbeltez. 
 
 
3 LE-EESC: Laboratório de Estruturas da Escola de Engenharia de São Carlos 
Contribuição ao estudo de estruturas metálicas espaciais 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 43-74, 2002 
49
2.1 Critérios de projeto para elementos comprimidos 
2.1.1 Elementos sem variação de inércia 
 Apresentam-se, a seguir, resumo e comentários sobre os procedimentos para 
dimensionamento de elementos comprimidos presentes em algumas normas de outros 
países e na norma brasileira NBR-8800(1986). 
 
EUROCODE (1992) 
 O EUROCODE 3 (1992) adota a filosofia de curvas múltiplas de flambagem e 
apresenta um conjunto de 4 curvas que são representadas por uma formulação analítica, 
sendo cada curva, diferenciada em funçãoda forma da seção e do eixo de flambagem 
pelo parâmetro α, que também considera os efeitos das imperfeições iniciais e tensões 
residuais. 
 Estas curvas são as mesmas desenvolvidas pelo ECCS4, entretanto, apresenta 
equacionamento um pouco diferente para o parâmetro de imperfeições iniciais. 
 A força normal resistente à flambagem por flexão é dada por: 
N
Af
b Rd
A y
M
. =
χβ
γ 1
 
χ
φ φ λ
=
+ −



≤
1 1
2 2
0 5. 
( )φ α λ λ= + − + 0 5 1 0 2
2
. . 
( )λ
β λ
λ
β= =A y
cr
A
Af
N 1
1 2
 
λ
π
1
2
=
E
fy
 
 
γM1: coeficiente de minoração do 
material. 
βA: fator que considera a flambagem 
local dos elementos da seção. 
χ: fator que considera o efeito da 
flambagem do elemento 
λ : esbeltez reduzida 
λ1 : esbeltez limite entre flambagem 
elástica e inelástica 
Ncr: Força normal crítica elástica (Euler) 
 
 Os valores de α para cada curva são: 
 
curva a b c d 
α 0,210 0,340 0,490 0,760 
 
NBR-8800 (1986) 
 A norma brasileira para estruturas metálicas, no item elementos comprimidos, é 
baseada nas recomendações do EUROCODE e também adota as múltiplas curvas de 
flambagem provenientes do ECCS, com a seguinte formulação: 
 N QA fc g y= φρ 
ρ = 1 0 0 2≤ ≤λ , 
ρ β β
λ
= − −2 2
1
 λ > 0 2, 
φ: coeficiente de resistência do material. 
 
Q: fator que considera a flambagem 
local dos elementos da seção. 
 
ρ: fator que considera o efeito da 
flambagem do elemento 
 
4 ECCS – European Convention for Constructional Steelwork 
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Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 43-74, 2002 
 
50
[ ]β λ α λ λ= + − +
1
2
1 0 042
2 2, 
λ
π
= =
kL
r
f
E
f
f
y y
e
2 
λ : esbeltez reduzida 
 
fe= Tensão crítica elástica (Euler) 
 Os valores de α para cada curva são: 
 
curva a b c d 
α 0,158 0,281 0,384 0,572 
 
Ressalta-se que, para o caso de seções tubulares a NBR-8800, ao contrário do 
Eurocode, não faz diferenciação entre tubos com e sem solda de costura. A curva a, 
desta norma, seria aplicada corretamente somente para seções tubulares sem 
costura. 
 
 AISC-LRFD (1994) 
 O AISC-LRFD adota uma única curva de flambagem independente da seção 
transversal e eixo de flambagem. A equação desta curva foi estabelecida tomando 
como base a curva 2 do SSRC5 e admitindo uma imperfeição inicial com valor máximo 
de 1/1500 no meio do elemento. A expressão matemática da curva 2 do SSRC foi 
modificada a fim de se obter uma forma mais simples. 
 
 f Qf Qa y=



 ≤0 658 15
2
, ,λ λ 
 f Qf Qa y=





 >
0 877 152
. ,
λ
λ 
 λ
π
= =
kL
r
f
E
f
f
y y
e
2 
 
 Q: fator que considera a flambagem local dos elementos da seção 
 
2.1.2 Elementos comprimidos com variação de inércia 
 Com exceção do EUROCODE(1992) todas as normas citadas anteriormente são 
omissas em relação à determinação da força normal resistente para elementos 
comprimidos sujeitos a variação de inércia. Este fato, aliado a outras dificuldades do 
problema justifica, em parte, a não consideração da variação de inércia pelos projetistas. 
 Segundo o EUROCODE(1992) a força normal resistente para elementos que 
apresentem variações de inércia pode ser calculada utilizando as mesmas curvas de 
flambagem para elementos de inércia constante. No entanto, a esbeltez reduzida (λ ) 
deve ser corrigida para levar em conta a variação de inércia. Fazendo uma analogia do 
EUROCODE (1992) com a NBR-8800(1986) temos: 
 
 
 
5 SSRC – Structural Stability Research Council 
Contribuição ao estudo de estruturas metálicas espaciais 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 43-74, 2002 
51
Barras com inércia constante Barras com inércia variável 
λ
π
= =
kL
r
f
E
f
f
y y
e
2 
λ
*
*=
f
f
y
e
 
fe = tensão de flambagem elástica 
(EULER) 
fe* = tensão de flambagem elástica com 
variação de inércia (LUSAS) 
 
 O procedimento sugerido pelo EUROCODE(1992), e que será utilizado 
incorporando o conceito λ * à NBR-8800(1986), torna-se uma possível solução para o 
problema. No entanto, não é um procedimento prático para ser utilizado em escritórios de 
projeto. 
 A determinação da tensão de flambagem elástica fe* é muito trabalhosa, pois 
envolve equações bastante complexas e/ou simulações numéricas via MEF. As 
dificuldades agravam-se para o caso de elementos tubulares de seção circular com 
extremidades estampadas, uma vez que a variação de inércia não segue um padrão bem 
definido, de maneira que possibilite sua medição e equacionamento. 
 Nos itens subseqüentes será aplicado o procedimento exposto anteriormente 
para se avaliar o comportamento de elementos comprimidos de seção tubular circular com 
extremidades estampadas, comparando os resultados teóricos com os resultados 
experimentais disponíveis 
 
2.2 Análise de tubos circulares com variação de inércia 
 Utilizando as recomendações do EUROCODE(1992) para elementos 
comprimidos com variação de inércia e aplicando-as às curvas de flambagem da NBR-
8800(1986), far-se-á um estudo dos elementos tubulares tipicamente utilizados nas 
estruturas espaciais no Brasil. 
 Este estudo consiste em determinar, para barras de seção tubular de vários 
diâmetros, a força normal resistente considerando a variação de inércia nas extremidades, 
analisando seu comportamento e comparando com barras de seção constante. 
 Neste estudo considerou-se as barras analisadas livres de flambagem local. Para 
o material foi utilizado aço tipo USI-SAC 41 com tensão de escoamento fy = 245MPa e 
módulo de elasticidade E=205000MPa. 
 As condições de extremidades das barras são assumidas bi-rotuladas. Sabe-se 
que essa hipótese é uma simplificação, pois não reflete as condições reais de barras 
pertencentes a uma treliça espacial. Na estrutura existe uma situação intermediária entre 
rótula e engastamento. 
 A tensão de flambagem elástica (fe* ) para elementos com variação de inércia 
será determinada pelo método dos elementos finitos utilizando o programa LUSAS. O 
elemento finito utilizado foi o BM3, constante na biblioteca do programa. O elemento 
possui três graus de liberdade por nó; duas translações ao longo dos eixos X e Y e 
rotação em torno do eixo Z. 
 As estampagens estudadas podem ser divididas em três grupos: estampagem 
reta utilizada em barras unidas por nó típico (parafuso único), barras com aparelho de 
apoio nas estampagens retas, tradicional e nova e barras com chapas de ponteiras. 
Alex Sander Clemente de Souza & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 43-74, 2002 
 
52
 Os resultados da análise teórica, para alguns tubos serão apresentados, de forma 
gráfica, comparando os “coeficientes de flambagem’ ρ (sem variação de inércia) e ρ* (com 
variação de inércia). 
Tubo φ 76x2,0 (estampagem reta nó típico) 
40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
ρ
λ
 inércia constante
 inércia variável
C
oe
fic
ie
nt
e 
de
 fl
am
ba
ge
m
Índice de esbeltez 
Figura 5 - Gráfico (λ x ρ) com e sem variação de inércia, barra φ 76x2,0 
Tubos φ 88x2,65 (barra com aparelho de apoio estampagem reta) 
 
40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
ρ
λ
 inércia constante
 inércia variável
C
oe
fic
ie
nt
e 
de
 fl
am
ba
ge
m
Índice de esbeltez 
Figura 6 - Gráfico (λ x ρ) com e sem variação de inércia, barra φ 88x2,65 (estampagem reta) 
 Tubos φ 88x2,65 (barra com aparelho de apoio estampagem tradicional). 
 
40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
ρ
λ
 inércia constante
 inércia variável
C
oe
fic
ie
nt
e 
de
 fl
am
ba
ge
m
Índice de esbeltez 
Figura 7 - Gráfico (λ x ρ) com e sem variação de inércia, barra φ 88x2,65 (estampagem 
tradicional) 
Contribuição ao estudo de estruturas metálicas espaciais 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, SãoCarlos, n. 20, p. 43-74, 2002 
53
 Tubos φ 88x2,65 (barra com aparelho de apoio estampagem nova) 
40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
ρ
λ
 inércia constante
 inércia variável
C
oe
fic
ie
nt
e 
de
 fl
am
ba
ge
m
Índice de esbeltez 
Figura 8 - Gráfico (λ x ρ) com e sem variação de inércia, barra φ 88x2,65 (estampagem nova) 
 Tubos φ 101x3,0 (barra com chapa de ponteira) 
40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
ρ
λ
 inércia constante
 inércia variável
C
oe
fic
ie
nt
e 
de
 fl
am
ba
ge
m
Índice de esbeltez 
Figura 9 - Gráfico (λ x ρ) com e sem variação de inércia barra φ 101x3,0 
Tubos φ 114x4,25 (barra com chapa de ponteira) 
40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
ρ
λ
 inércia constante
 inércia variável
C
oe
fic
ie
nt
e 
de
 fl
am
ba
ge
m
Índice de esbeltez 
 
Figura 10 - Gráfico (λ x ρ) com e sem variação de inércia, barra φ 114x4,25 
 A análise teórica de tubos circulares com extremidades estampadas e com chapa 
de ponteira mostra que a variação de inércia tem grande influência na determinação da 
força normal resistente de um elemento comprimido. 
Alex Sander Clemente de Souza & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 43-74, 2002 
 
54
 Para as extremidades estampadas diferentes padrões de estampagem levam a 
resultados diferentes, mas o comportamento é semelhante. Dentro do intervalo de 
esbeltez usual, que situa-se entre λ=70 e λ=120, tem-se reduções na capacidade 
resistente variando entre 5% e 10%. 
 Para as extremidades com chapa de ponteira a redução na capacidade resistente 
ficou abaixo dos 5% para os índices de esbeltez usuais. No entanto, a espessura e o 
comprimento não enrijecido da ponteira alteram sensivelmente esses resultados. 
 Quando a flambagem ocorre em regime inelástico (baixo valores de índice de 
esbeltez) a redução na força normal resistente é bastante elevada, aproximando-se dos 
20% em relação a calculada com inércia constante. 
 Pode-se afirmar que o dimensionamento de barras circulares com variação de 
inércia merece atenção especial por parte dos projetistas. Apesar dos resultados teóricos 
apresentados aqui não refletirem com total fidelidade o comportamento destes elementos 
quando inseridos na estrutura, é fácil perceber que uma barra dimensionada no limite de 
sua capacidade resistente, sem considerar a variação de inércia, pode conduzir a 
resultados contrários a segurança. 
 O procedimento para se considerar o efeito da variação de inércia, apesar de 
simples, é muito trabalhoso inviabilizando seu uso prático. Para os casos gerais, aqui 
estudados, recomenda-se reduzir a capacidade resistente das barras em 20% para λ <70; 
10% para esbeltez entre λ=70 e λ =120 e acima destes valores de esbeltez a redução é 
desnecessária. 
 
2.3 Análise experimental de tubos circulares com variação de inércia 
 GONÇALVES (1996) realizou estudos experimentais em tubos de aço retirados 
da cobertura espacial colapsada do centro de convenções de Manaus. O objetivo do 
estudo era comparar a capacidade resistente das barras com aquelas para as quais foram 
dimensionadas. Foram ensaiados 12 protótipos, divididos em três grupos (Tabela 3.12). 
Tabela 2 - Grupos de protótipos ensaiados por GONÇALVES (1996) 
Grupo Seção Comp. (mm) Extremidades 
A φ 76x2,26 4162 Estampagem reta 
B φ 101x3,0 4354 Ponteira 
C φ 114x4,25 4354 Ponteira 
 Os comprimentos constantes na Tabela 2 correspondem ao comprimento entre 
faces extremas dos aparelhos de apoio que procuraram representar as condições de 
ligação da estrutura. Os enrijecimentos obtidos com as cantoneiras soldadas ao aparelho 
de apoio (figura 11) procuram reproduzir as condições de rigidez devido às barras que 
concorrem no nó. A Figura 11 apresenta esquematicamente os grupos de protótipos 
ensaiados. Nota-se a variação de inércia nas extremidades das barras. 
 Os tubos utilizados para realização dos ensaios são conformados a frio com solda 
de costura em aço USI-SAC41 (fy=245MPa) e as chapas de apoio em aço ASTM-A36. Os 
parafusos são do tipo ASTM-A325. 
 
Contribuição ao estudo de estruturas metálicas espaciais 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 43-74, 2002 
55
 
 
 
 
 
GRUPO A GRUPO B GRUPO C 
Figura 11 - Protótipos ensaiados GONÇALVES (1996) 
 Os protótipos foram ensaiados a compressão axial na posição vertical. A 
extremidade superior foi simplesmente apoiada na estrutura de reação e a extremidade 
inferior apoiada em uma superfície esférica junto à célula de carga. Pretendia-se simular 
um modelo bi-rotulado, no entanto, a extremidade superior junto à estrutura de reação 
oferece certa restrição ao giro. A Tabela 3 apresenta os resultados experimentais de força 
normal para as barras. 
Tabela 3 - Resultados experimentais. GONÇALVES (1996) 
Força normal critica experimental NU (KN) 
Protótipos Grupo A Grupo B Grupo C 
1 18,2 165,1 258,3 
2 17,1 124,7 307,4 
3 23,8 164,9 240,1 
4 24,2 185,5 300,4 
Média 20,8 160,0 276,5 
 
 A tabela 4 apresenta um resumo comparativo entre os valores experimentais e 
teóricos para as barras ensaiadas. Os valores teóricos da força normal resistente foram 
calculados utilizando a norma NBR-8800 (1986). Considerou-se também a variação de 
inércia nas extremidades das barras. Admitiram-se extremidades rotuladas e as 
propriedades do material as nominais. 
 Tabela 4 - Comparação resultados teóricos x experimentais (barra bi-rotulada) 
Nrot. λ Ncr(teor.) N*cr(teor.) Nu(exp.) Ncr/N*cr Nu/N*cr Nu/Ncr 
A 159 33,39 19,72 25,34 1,31 1,05 0,63 
B 119 96,77 88,84 160,0 1,09 1,79 1,34 
C 112 168,22 163,50 276,5 1,03 1,70 1,64 
 
Ncr* Normal crítica teórica considerando variação de inércia ao longo da barra. 
As extremidades das barras junto à estrutura de reação não são exatamente rótulas uma 
vez que devido a sua configuração, podem oferecer restrições ao giro. Para efeito de 
comparação realizou-se uma análise teórica considerando a barra engastada na 
extremidade da estrutura de reação e rotulada na outra. 
 Percebe-se que os valores são mais próximos dos teóricos quando estes são 
determinados admitindo o modelo rotulado - engastado. Esse comportamento, no entanto, 
não se verifica para as barras do Grupo A, o que pode ser atribuído a grande sensibilidade 
que o tipo de extremidade apresenta em relação às excentricidades, imperfeições iniciais 
e imperfeições relacionadas ao ensaio, bem como a grande possibilidade de formação de 
rótulas plásticas na região da estampagem. 
Alex Sander Clemente de Souza & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 43-74, 2002 
 
56
 Os gráficos das Figuras 12 a 14 apresentam as curvas de flambagem teóricas da 
NBR-8800(1986), “curva a” juntamente com os resultados experimentais (valores médios) 
obtidos para as barras ensaiadas. Nestes gráficos é plotado o lugar geométrico dos 
valores experimentais, ou seja, um segmento de reta horizontal entre as esbeltezes 
correspondentes ao modelo bi-rotulado e engastatado-rotulado. 
 Adotou-se esse procedimento pois, como foi comentado anteriormente, não se 
pode precisar o índice de esbeltez efetivo da barra ensaiada. 
40 60 80 100 120 140 160 180 200
20
40
60
80
100
120
λ
 inércia cont.
 inércia var.
 experimental
N
or
m
al
 re
si
st
en
te
 (k
N
)
Índice de esbeltez 
Figura 12 - Resultados teóricos x experimentais φ 76x2,25 
 No gráfico da Figura 12 é grande a diferença entre os valores teóricos de força 
normal resistente com e sem variação de inércia. Analisando o detalhe da extremidade 
desta barra nota-se um trecho com rigidez muito baixa (chapa do aparelho de apoio), o 
que pode causar diferenças significativas como as apresentadas na Figura 12. O que 
ocorre é que este trecho plastifica, transformando-se em um ponto de inflexão e alterando 
as condições de vinculação do elemento. 
40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
2040
60
80
100
120
140
160
180
200
λ
 inércia cont.
 inércia var.
 experimental
N
or
m
al
 re
si
st
en
te
 (k
N
)
Índice de esbeltez 
Figura 13 - Resultados teóricos x experimentais φ 101x3,0 
40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
λ
 inércia cont.
 inércia var.
 experimental
N
or
m
al
 re
si
st
en
te
 (k
N
)
Índice de esbeltez 
Figura 14 - Resultados teóricos x experimentais φ 141x4,25 
Contribuição ao estudo de estruturas metálicas espaciais 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 43-74, 2002 
57
 Nos ensaios dos tubos φ 101x3,0 e φ 141x4,25, a forma de ruína predominante 
caracterizou-se pela plastificação das seções da chapa de ponteira na região da ligação 
entre a barra e as chapas de nó, devido a rotações na direção de menor inércia. 
 Para as barras do Grupo A, ao contrário dos outros grupos, os valores de força 
crítica experimentais resultaram menores que os teóricos. Isso pode ser explicado devido 
a grande influência da variação de inércia nas extremidades dessas barras que é mais 
sensível que as extremidades com chapas de ponteiras (grupos B e C). Este fato pode ser 
comprovado analisando a Tabela 4 onde se percebe que a força crítica experimental 
aproxima-se bastante da teórica com variação de inércia. 
 Comparando-se os resultados teóricos com e sem variação de inércia percebe-se 
uma grande redução na capacidade resistente das barras. Para a estampagem do grupo 
A chega-se a reduções da ordem de 50% na força normal resistente, para as esbeltezes 
usuais. Para as extremidades dos grupos B e C as reduções na força normal resistente 
situam-se em torno de 5% para as esbeltezes usuais. A redução na força normal 
resistente, sob influência da variação de inércia, é mais significativa quando ocorre 
flambagem inelástica. 
 É necessário salientar que os ensaios de barras isoladas dificilmente representam 
seu comportamento na estrutura, pois pouco se sabe sobre o comportamento dos nós de 
tubos amassados e de chapa de ponteira, que exercem grande influência no 
comportamento da barra e da estrutura como um todo. 
 MALITE et al.(1997) realizaram ensaios de compressão axial em tubos de aço, de 
seção circular, com extremidades estampadas. O objetivo dos ensaios era comparar o 
comportamento estrutural na compressão axial de três diferentes tipos de estampagens 
de extremidades. 
 Foram ensaiados 27 barras (φ 88x2,65), sendo três tipos de estampagens 
diferentes e para cada uma, três diferentes valores de esbeltez (λ=60, 100, 140) que 
correspondem a comprimentos, entre placas de apoios, de 1.800mm, 3.000mm e 
4.200mm respectivamente. 
 Os protótipos utilizados para realização dos ensaios foram conformados a frio em 
aço USI-SAC41. A Figura 15 apresenta os modelos de barras e as estampagens (reta, 
tradicional, nova) ensaiados. 
 
 
 
 
Aparelho de 
 Reta Tradicional Nova apoio 
Figura 15 - Modelos de estampagens ensaiados e aparelho de apoio 
Alex Sander Clemente de Souza & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 43-74, 2002 
 
58
 Os protótipos foram ensaiados em posição horizontal. Uma extremidade foi 
simplesmente apoiada na laje de reação e a outra extremidade apoiada em uma 
superfície esférica junto à célula de carga. Na posição horizontal a montagem do ensaio é 
facilitada e também representa uma das posições nas quais a barra se encontra dentro de 
uma treliça espacial, banzos horizontais ou diagonais inclinadas. 
 Realizou-se caracterização do material mediante ensaio de tração segundo 
recomendações da ASTM A370-92. Do ensaio determinou-se um valor de fy=421MPa 
para tensão de escoamento e fu=465MPa para limite de resistência a tração. 
 As tabelas 5 a 7 apresentam um resumo comparativo entre os valores 
experimentais e teóricos para cada estampagem das barras ensaiadas. Os valores 
teóricos da força normal resistente foram calculados utilizando a norma NBR-8800 (1986), 
considerou-se também a variação de inércia nas extremidades das barras. Admitiram-se 
extremidades rotuladas e as propriedades do material as nominais. 
Tabela 5 - Estampagem reta 
λ Ncr(teor.) N*cr(teor.) Pu(exp.) Ncr/N*cr Pu/N*cr Pu/Ncr 
60 134.64 117,40 109,67 1,15 0,93 0,81 
100 95,50 86,10 108,0 1,11 1,25 1,13 
140 56,36 54,80 74,33 1,03 1,36 1,32 
 
Tabela 6 - Estampagem tradicional 
λ Ncr(teor.) N*cr(teor.) Nu(exp.) Ncr/N*cr Nu/N*cr Nu/Ncr 
60 134.64 127,80 151,7 1,06 1,19 1,13 
100 95,50 92,37 121,0 1,03 1,31 1,27 
140 56,36 56,36 74,33 1,0 1,32 1,32 
 
Tabela 7 - Estampagem nova 
λ Ncr(teor.) N*cr(teor.) Nu(exp.) Ncr/N*cr Nu/N*cr Nu/Ncr 
60 134.64 128,38 146,33 1,05 1,14 1,09 
100 95,50 92,37 130,6 1,04 1,41 1,38 
140 56,36 56,36 69,67 1,0 1,24 1,24 
 
 Da mesma forma do ensaio apresentado anteriormente, fez-se uma análise 
comparativa de valores teóricos e experimentais, sendo que a barra, neste caso, foi 
considerada rotulada em uma das extremidades (superfície esférica) e engastada na outra 
(extremidade junto à estrutura de reação). Para essas condições de vinculação os índices 
de esbeltez passam a λ=42, 70, 98. 
 Os gráficos das Figuras 16 a 18 apresentam as curvas de flambagem teóricas da 
NBR-8800(1986), “curva a”, utilizando a tensão de escoamento nominal e experimental, 
juntamente com os resultados experimentais (valores médios) obtidos para as barras 
ensaiadas. Nestes gráficos está plotado o lugar geométrico dos valores experimentais, ou 
seja, um segmento de reta horizontal entre as esbeltezes correspondentes ao modelo bi-
rotulado e engastatado-rotulado. 
Contribuição ao estudo de estruturas metálicas espaciais 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 43-74, 2002 
59
40 60 80 100 120 140 160 180 200
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
 inércia const. f
y
=245MPa
 inércia const. f
y
=421MPa
 inércia var. f
y
=245MPa 
 inércia var. f
y
=421MPa 
 experimental 
N
or
m
al
 re
si
st
en
te
 (k
N
)
Índice de esbeltez 
40 60 80 100 120 140 160 180 200
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
 inércia const. f
y
=245MPa
 inércia const. f
y
=421MPa
 inércia var. f
y
=245MPa 
 inércia var. f
y
=421MPa 
 experimental 
N
or
m
al
 re
si
st
en
te
 (k
N
)
Índice de esbeltez 
Figura 16 - Comparação resultados teóricos x 
experimentais (estampagem reta) 
Figura 17 - Comparação resultados teóricos x 
experimentais (estampagem tradicional) 
 
40 60 80 100 120 140 160 180 200
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
 inércia const. f
y
=245MPa
 inércia const. f
y
=421MPa 
 inércia varf
y
=245MPa 
 inércia var. f
y
=421MPa 
 experimental 
N
or
m
al
 re
si
st
en
te
 (k
N
)
Índice de esbeltez
 
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
ρ
λ
 tubo seção const.
 tubo estampagem reta
 tubo estampagem trad.
 tubo estampagem nova
co
ef
ic
ie
nt
e 
de
 fl
am
ba
ge
m
índice de esbeltez
Figura 18 - Comparação resultados teóricos x 
experimentais (estampagem nova) 
Figura 19 - Resultados comparativos entre 
estampagens (reta, tradicional e nova) tubos φ 
88x2,65 
 
 O gráfico da Figura 19 apresenta uma análise teórica comparativa entre as três 
estampagens estudadas, com barras de mesmas dimensões e inércia constante ao longo 
do comprimento. As curvas representam a capacidade resistente, considerando a 
variação de inércia, para as barras com os três modelos de estampagens. 
 Analisando os resultados experimentais percebe-se, como era esperado, grande 
dispersão para baixos índices de esbeltez. Este fato comprova a influência das 
estampagens de extremidade, bem como as imperfeições iniciais e de ensaio sob o 
comportamento das barras isoladas. 
 Ressalta-se que a análise de barras isoladas, tanto teórica quanto experimental, é 
uma aproximação que não reflete o real comportamentodestes elementos em uma 
estrutura espacial. 
3 LIGAÇÕES EM ESTRUTURAS ESPACIAIS 
 O tipo de ligação a ser utilizada em estruturas espaciais é resultado da 
combinação dos seguintes fatores: forma da estrutura, disposição dos elementos e tipos 
de seção transversal. 
 Normalmente os esforços solicitantes em treliças espaciais são determinados 
considerando nós rotulados, porém, um detalhe de ligação que garanta esse 
comportamento é muito difícil e, sendo assim, a rigidez da ligação influencia 
sensivelmente o comportamento da estrutura. 
Alex Sander Clemente de Souza & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 43-74, 2002 
 
60
 Em estruturas metálicas, de modo geral, as ligações entre elementos costumam 
ser um item oneroso em termos de custo, principalmente quando não são adequadamente 
detalhadas. 
 Pelas razões acima citadas o estudo de ligações em estruturas espaciais assume 
um papel importante para o desenvolvimento desse sistema estrutural. 
 
3.1 Dispositivos de ligação 
 Existe uma infinidade de sistemas de ligações utilizáveis em estruturas espaciais. 
Alguns destes são sistemas patenteados, bem caracterizados experimentalmente. Outros, 
no entanto, são detalhes de ligações geralmente empíricos, projetados na base da 
intuição e experiência, sem quaisquer estudos que confirmem seu comportamento, ou 
baseado em hipóteses simplistas. 
 Não é comum o uso de ligação completamente soldada, já que esta apresenta 
custo elevado e dificuldades construtivas quando comparada a ligações parafusadas. Um 
dos poucos exemplos de ligações soldadas pode ser visto na Figura 20. 
 
 Figura 20 - Sistema de nó OKTAPLATTE (Alemanha) 
 A maioria dos sistemas de nós patenteados são desenvolvidos para estruturas 
formadas por elementos de seção tubular. Neste caso, o sistema pode ser divido em: 
elemento estrutural (tubo), nó esférico (ou de formato aproximadamente esférico) e um 
dispositivo conector. As figuras subseqüentes apresentam sistemas de ligações que 
seguem este padrão. 
 
Figura 21 - Sistema MERO (Alemanha) Figura 22 - VESTRUT (Itália) 
 O sistema MERO foi um dos primeiros sistemas de ligação patenteados para 
estruturas espaciais. Foi desenvolvido na Alemanha em 1942-43 pelos Engenheiros 
MENGERINGHAUSEN e ROHBAUWWISE. O MERO é formado por uma esfera de aço 
com dimensões padronizadas, função dos diâmetros das barras a serem ligadas. Podem 
ser conectadas com este sistema até dezoito barras em planos diferentes, sem gerar 
excentricidades na ligação. O nó MERO é de uso mais difundido em todo mundo, inclusive 
no Brasil onde temos várias estruturas que utilizam o sistema alemão. 
 Em alguns sistemas de ligações, bastante comuns, o nó é formado por 
associação de chapas planas que são conectadas às barras através de parafusos. As 
figuras abaixo mostram alguns desses sistemas. 
Contribuição ao estudo de estruturas metálicas espaciais 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 43-74, 2002 
61
 
Figura 23 - Sistema de ligação Italiano Figura 24 - Sistema ECO (Itália) 
 As ligações em estruturas espaciais podem ser realizadas sem qualquer tipo de 
dispositivo especial, neste caso as barras são conectadas juntas através de parafusos. 
Neste tipo de detalhe de nó, muitas vezes é necessário variar a seção nas extremidades 
dos elementos, para facilitar a ligação entre eles. A Figura 25 exemplifica este tipo de 
ligação. 
 
Figura 25 - Sistema de ligação CATRUS 
3.2 Dispositivos de ligação utilizados no Brasil 
 No Brasil, com exceção de algumas obras que utilizam o sistema MERO, as 
ligações em treliças espaciais são realizadas por amassamento das extremidades das 
barras que são justapostas, para formar um nó conectado por um único parafuso. 
 Utilizam-se também ligações através de chapas de aço isoladas (ponteiras) ou 
associações de chapas formando um nó capaz de receber barras em várias direções. 
 Os principais sistemas de ligações utilizados no Brasil serão descritos a seguir, 
ressalta-se que as denominações dos detalhes de nós apresentados aqui não são 
padronizadas o que não impede que se encontre, em textos ou catálogos técnicos, o 
mesmo nó com outras denominações. 
 
3.2.1 Nó típico 
 É o mais comum e também o que merece mais atenção quanto ao seu 
desempenho dentre os sistemas de ligações brasileiros. A Figura 26 apresenta um 
exemplo desta conexão em que oito barras com extremidades amassadas são unidas por 
um único parafuso. 
 
Figura 26 - Nó típico 
Alex Sander Clemente de Souza & Roberto Martins Gonçalves 
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62
 Esse sistema de nó apresenta alguns problemas. Em primeiro lugar o fato das 
barras serem ligadas por apenas um parafuso, contrariando as recomendações correntes 
de utilizar no mínimo dois parafusos por ligação. 
 Em segundo lugar, é fácil perceber excentricidades na ligação, o que provoca o 
surgimento de momentos fletores nas barras, que pode acarretar em plastificação precoce 
nas extremidades amassadas, sobretudo nas diagonais que também tem as extremidades 
dobradas. A plastificação precoce, oriunda da flexão devido a forças normais excêntricas 
e à variação de inércia das extremidades reduz a capacidade resistente das barras. 
 Outro problema é o escorregamento entre as barras que são conectadas por um 
único parafuso. O escorregamento relativo entre as barras que formam o nó produz 
aumento significativo nos deslocamentos verticais na estrutura. 
 
3.2.2 Nó típico com chapa complementar 
 O nó típico com chapa complementar é bastante semelhante ao detalhe típico 
apresentado na Figura 26, a diferença é que são utilizadas chapas horizontais para ligar 
as barras do banzo (Figura 27). Essas chapas são empregadas quando os esforços nos 
banzos são elevados e de tal ordem que o uso de apenas um parafuso torna-se inviável. 
 
Figura 27 - Nó típico com chapa complementar 
 Esta ligação apresenta, além dos aspectos relatados para o nó típico, um 
problema adicional que é o fato das chapas que fazem a ligação dos banzos possuírem 
pequena rigidez. Para os banzos comprimidos a menor excentricidade, perpendicular ao 
plano da chapa, pode comprometer o desempenho da ligação. 
 
3.2.3 Nó com chapa de extremidade (ponteiras) 
 O nó é formado por duas chapas paralelas soldadas em um rasgo na extremidade 
do tubo e conectadas a chapas de apoio por meio de parafusos. A Figura 28a apresenta 
uma foto, na estrutura, de um nó com ponteira. 
 Exceto devido a problemas construtivos, este detalhe de nó não introduz 
excentricidades nas ligações. No entanto, as chapas de extremidades apresentam baixa 
rigidez perpendicular a seu plano. Barras com extremidades em ponteiras com chapas 
muito esbeltas podem apresentar reduções na capacidade de força normal resistente. 
Uma alternativa para minimizar este problema é a adoção de chapas (aletas) soldadas 
perpendicularmente às ponteiras, que funcionam como enrijecedores melhorando o 
desempenho da ligação. (Figura 28b). 
Contribuição ao estudo de estruturas metálicas espaciais 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 43-74, 2002 
63
 
Figura 28a - Nó com chapa de ponteira Figura 28b - Ponteiras c/ aletas 
perpendiculares enrijecedoras 
 
3.2.4 Nó de aço 
 Dentre os sistemas de ligação apresentados, o nó de aço é o que tem melhor 
desempenho, produzindo efetivamente um nó de melhor comportamento estrutural. A foto 
da Figura 29 apresenta um nó de aço na estrutura. 
 
Figura 29 - Nó de aço 
 As chapas de composição utilizadas para formar o nó podem ser 
convenientemente escolhidas de modo que confiram boa rigidez ao conjunto. 
 Não existem problemas com excentricidade, uma vez que as barras concorrem 
para um único ponto. Resta somente o problema da variação de inércia nas extremidades 
das barras. 
 É importante ressaltar que, na prática corrente de projetos, os esforços 
solicitantes nos elementos de treliças espaciaissão determinados supondo-se o modelo 
de treliça ideal, ou seja, nós rotulados e barras com inércia constante ao longo do seu 
comprimento. 
 Os detalhes de ligações de uso comum, aqui apresentados, não reproduzem bem 
as hipóteses de cálculo assumidas. Por outro lado, não existem estudos que expliquem 
detalhadamente o comportamento destas ligações como também não existem programas 
práticos que considerem a rigidez da ligação no comportamento da estrutura. 
 Fica então o alerta para o uso cauteloso desses detalhes de ligação e a sugestão 
para pesquisas mais específicas sobre o comportamento e análise das ligações em 
estruturas espaciais empregadas no Brasil. Esses estudos devem ter embasamento 
experimental aliado a análises numéricas. 
 
4 ANÁLISE TEÓRICA E EXPERIMENTAL DE TRELIÇAS ESPACIAIS 
 A utilização de estruturas espaciais tem crescido bastante nos últimos anos, em 
contrapartida tem crescido também os problemas com este tipo de estrutura acarretando 
colapso parcial e total de algumas obras. 
Alex Sander Clemente de Souza & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 43-74, 2002 
 
64
 A grande maioria dos problemas deve-se ao escasso conhecimento sobre o 
comportamento das estruturas espaciais, principalmente nas tipologias empregadas no 
Brasil. 
 Com o intuito de suprir a deficiência sobre o comportamento das estruturas 
espaciais em seus diversos aspectos, o Depto. de Estruturas da Escola de Engenharia de 
São Carlos vem desenvolvendo há alguns anos pesquisas sobre o comportamento, 
projeto e construção de estruturas metálicas espaciais. 
 A análise experimental é imprescindível na busca do conhecimento do 
funcionamento estrutural das estruturas espaciais, devido às suas características 
especiais e, em particular, à dificuldade de simulação e análise dos nós que as compõem. 
 A primeira fase dos estudos experimentais consistiu em ensaios de barras 
isoladas com extremidades estampadas. Inicia-se agora um programa experimental em 
que serão ensaiados protótipos de treliças espaciais. Estão previstos inicialmente ensaios 
em quatro protótipos, com elementos tubulares e ligações em nós típicos e nós de aço, 
com dimensões em planta de 7,5x7,5m. 
 Pretende-se, com esses estudos, detectar os principais problemas inerentes às 
estruturas espaciais comumente utilizadas no Brasil e buscar soluções para os mesmos. 
Possibilitando uma utilização segura do sistema estrutural em treliças espaciais, 
explorando todas as suas vantagens. A análise experimental do primeiro desse conjunto 
de protótipos será apresentada neste trabalho. 
 
4.1 Descrição da estrutura ensaiada 
 A estrutura ensaiada é uma treliça espacial formada por elementos tubulares de 
seção circular. Os tubos são conformados a frio com solda de costura em aço USI-SAC-
41 (fy=245MPa). A geometria e dimensões da estrutura ensaiada são apresentadas na 
Figura 30. 
 
Figura 30 - Detalhe da estrutura ensaiada 
 As seções dos elementos utilizados na treliça espacial e suas respectivas 
resistências à compressão são apresentadas na Tabela 8. A resistência à compressão 
Contribuição ao estudo de estruturas metálicas espaciais 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 43-74, 2002 
65
das barras foi calculada segundo a NBR-8800(1986). Determinou-se, também, a 
resistência à compressão considerando a variação de inércia nas extremidades das 
barras. 
Tabela 8 - Seções dos elementos da treliça e resistência a compressão 
Tubo Utilização Comp. (mm) Esbeltez Nck (kN) Ncr* (kN) 
φ 60x2,0 diagonal 2318 113,0 41,0 35,3 
φ 76x2,0 banzo 2500 95,4 70,7 66,6 
 diagonal 2318 88,5 65,6 61,5 
φ 88x2,65 diagonal 2318 77,0 120,5 112,7 
Ncr* Força normal resistente considerando variação de inércia na barra. 
 
 O sistema de ligação utilizado é o denominado nó típico, formado pela 
superposição de barras com extremidades estampadas e conectadas por um único 
parafuso. 
 Nos pontos de aplicação de força foram utilizados nós de aço para facilitar a 
montagem do atuador hidráulico. Os parafusos utilizados em todas as ligações são do tipo 
ASTM-A325. 
 
4.2 Instrumentação e metodologia do ensaio 
 Os deslocamentos verticais e horizontais da estrutura foram medidos por meio de 
transdutores de deslocamentos da marca KYOWA, com sensibilidade de 0,02 e 0,04 e 
fundo de escala de 50,0mm e 100,0mm respectivamente. O posicionamento dos 
transdutores na estrutura é apresentado na Figura 31 
 Para a medição das deformações nas barras utilizou-se extensômetros elétricos 
de resistência da marca KYOWA, modelo KFG-5-120C1-11, com base de 5,0mm, 
resistência de 120Ω e ‘gage factor’ de 2,15. 
 Foram instrumentadas 16 barras da estrutura, sendo algumas barras com dois e 
outras com quatro extensômetros na seção transversal a meio comprimento. 
 A instrumentação completa da estrutura pode ser vista na Figura 31 com as 
respectivas numerações das barras e nós em que foram feitas medições de deformações 
e deslocamentos. 
Alex Sander Clemente de Souza & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 43-74, 2002 
 
66
 
 
Figura 31 - Instrumentação da estrutura 
 As forças foram aplicadas nos nós do banzo inferior (4 nós ver Figura 31) por 
meio de atuadores hidráulicos com pistão vazado da marca ENERPAC, modelo RCH com 
capacidade de 300,0kN, para a medição das forças aplicadas utilizou-se células de carga 
com capacidade de 300,0kN, fabricadas no LE-EESC. 
 Toda a instrumentação foi conectada a um sistema de aquisição automática de 
dados, o SYSTEM 4000. A Figura 32 exibe uma visão geral do ensaio. 
 
Figura 32 - Visão geral do ensaio 
Contribuição ao estudo de estruturas metálicas espaciais 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 43-74, 2002 
67
 A primeira fase do ensaio correspondeu ao escorvamento da estrutura, a fim de 
detectar possíveis falhas nos equipamentos e garantir a perfeita acomodação da 
estrutura. Para isso aplicou-se à estrutura uma força total de 12,5kN por nó dividida em 
três etapas de carregamento. Após esta fase, a estrutura foi descarregada e iniciado o 
ensaio propriamente dito com incrementos de carga de 5,0kN por nó. 
 
4.3 Análise experimental 
4.3.1 Ensaio de caracterização mecânica do aço 
 A caracterização mecânica do aço foi feita mediante ensaio de tração axial, 
conforme especificação ASTM-A370-92 (Standard test methods and definitions for 
mechanical testing of steel products). Para cada diâmetro de tubo utilizado na estrutura 
foram retirados quatro corpos de prova. Os corpos de prova foram ensaiados em máquina 
universal da marca INSTRON instrumentados com extensômetro removível (clip gage). Os 
resultados da caracterização são apresentados na Tabela 9. 
Tabela 9 - Resultados da caracterização mecânica do aço 
Tubo C.P. A (%) fy(med) 
(MPa) 
fu(med) 
(MPa) 
 1* 17,6 542,7 575,2 
φ 60x2,0 3 24,9 420,5 477,9 
 1* 15,6 504,0 544,0 
φ 76x2,0 3 26,7 374,0 457,1 
 1* 19,4 473,8 520,3 
φ 88x2,65 3 32,0 358,8 448,1 
fy = limite de escoamento convencional (offset 0,2%) 
fu = limite de resistência à tração 
A = alongamento máximo na ruptura (base de medida 50mm) 
1* = corpo de prova retirado na região da costura 
 
4.3.2 Ensaio da estrutura 
 Havia sido prevista a necessidade da aplicação de uma força de 60,0kN (análise 
linear e barras com inércia constante) por nó para a estrutura ensaiada, neste nível de 
carregamento ocorreria falha dos banzos comprimidos (carga crítica de flambagem). 
 No entanto, o ensaio foi interrompido quando o nível de carga atingiu 40,0kN por 
nó, sendo a ruína da estrutura caracterizada pelo colapso da ligação. Todos os nós da 
estrutura sofreram rotação, evidenciando o aparecimento de momentos fletores devido a 
forças excêntricas, isso ocasionou plastificação nas seções dos banzos e diagonais 
comprimidas na região da estampagem. A Figura 33 apresenta a configuração de alguns 
nós da estrutura após a ruína.Figura 33 - Configuração dos nós da estrutura após a ruína 
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Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 43-74, 2002 
 
68
4.4 Análise teórica 
 Os protótipos foram analisados, via elementos finitos, utilizando-se o programa 
LUSAS. O elemento finito utilizado na análise é o BS3, com seis graus de liberdade por 
nó (três translações e três rotações), constante na biblioteca de elementos do programa. 
Utilizou-se elemento finito de viga com a intenção de avaliar os momentos fletores que 
surgem nas ligações devido a excentricidades e também para considerar a variação de 
inércia nas extremidades das barras. 
 Serão consideradas nas análises as variações de inércia nas extremidades das 
barras, conseqüência do tipo de ligação utilizado no protótipo ensaiado. Para isso as 
barras da estrutura foram discretizadas considerando a variação de inércia nas 
extremidades devido à estampagem. Realizou-se um levantamento das propriedades das 
seções transversais dessas extremidades que são apresentadas na Figura 34. 
 
φ 76x2,0 φ 60x2,0 φ 88x2,65 
 Figura 34 - Variação de inércia ao longo do comprimento das barras - nó típico 
 
 Para o caso de nós típicos não se pode determinar , com precisão , a rigidez do 
trecho correspondente ao nó. Portanto, idealizou-se duas situações extremas: 
- na primeira hipótese, o nó foi formada por uma barra equivalente com largura igual ao 
tubo estampado e espessura igual a altura dos tubos superpostos na região da ligação. 
Esta barra possui comprimento de 6,0cm a partir do PT ( eixo do parafuso) até o início do 
trecho de seção variável. 
- na segunda hipótese foi considerado o trecho nodal com a inércia correspondente 
somente a um tubo com a extremidade estampada. 
 Entre esses dois extremos foram feitas análises intermediárias com inércia do 
trecho nodal equivalendo a 5% e 10% da inércia do nó formado por superposição dos 
tubos. 
 
4.5 Comparação de relutados teóricos x experimentais 
 O gráfico da Figura 35 apresenta os resultados de deslocamentos verticais para 
vários valores de rigidez do nó em comparação com deslocamentos obtidos 
experimentalmente. 
Contribuição ao estudo de estruturas metálicas espaciais 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 43-74, 2002 
69
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
0
40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
440
 Linear
 NLG - I=100% 
 NLG - I=10%
 NLG - I=5%
 NLG - I=tubo
 Experimental
Fo
rç
a 
ap
lic
ad
a 
(k
N
)
Deslocamentos verticais (cm)
NOTAS 
1 I =100% - inércia do trecho nodal 
correspondente a inércia da seção 
formada pela superposição de todas 
as barras estampadas concorrentes 
no nó. 
2 I = 10% e I=5%- porcentagens 
relativas à inércia da seção definida 
em 1. 
3 I = tubo - inércia do trecho nodal 
correspondente à inércia da seção 
formada pelo tubo com extremidade 
estampada. 
 Figura 35 - Deslocamentos verticais máximos 
 Pelo gráfico da Figura 35 percebe-se que o modelo teórico comumente utilizado, 
ou seja, treliça ideal e análise linear, não representa o modelo físico fornecendo 
resultados muito discrepantes dos resultados experimentais. 
 Quando são inseridas no modelo teórico as variações de inércia nas 
extremidades das barras e realizada a análise não linear os resultados teóricos tornam-se 
mais próximos dos experimentais. Neste modelo os resultados são significativamente 
afetados pela rigidez dos trechos de barras que formam os nós. 
 Analisando as várias possibilidades de simulação do trecho de variação de 
inércia, percebe-se que considerando o trecho nodal como uma barra de inércia 
equivalente à sobreposição das barras nesta região, não produz bons resultados quando 
comparado aos resultados experimentais. A melhor correlação entre resultados teóricos e 
experimentais foi obtida quando se utiliza, para inércia do trecho nodal, apenas a inércia 
da extremidade estampada do tubo ou uma inércia equivalente a 5% da inércia do nó 
formado pela superposição das barras concorrentes neste ponto. 
 Para deformações axiais, os valores teóricos adotados para comparação com os 
resultados experimentais são os correspondentes ao modelo cuja inércia da seção do 
trecho nodal corresponde a inércia do tubo com extremidade estampada. Esse 
procedimento foi adotado por duas razões: primeiro, este é o modelo que mais se 
aproxima do modelo físico e segundo, não existiram grandes variações nas deformações 
entre os modelos teóricos analisados anteriormente, esse resultados são apresentados 
nos gráficos das figuras seguintes. 
0 -50 -100 -150 -200 -250 -300 -350 -400 -450 -500
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
 barra 11 - exp.
 barra 13 - exp.
 teórico - NLG
 téorico - ideal
Fo
rç
a 
ap
lic
ad
a 
(k
N
)
ε(µε)
0 -50 -100 -150 -200 -250 -300 -350 -400 -450 -500 -550
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
 barra 15 - exp.
 barra 16 - exp.
 teórico - NLG
 teórico - idealFo
rç
a 
ap
lic
ad
a 
(k
N
)
ε(µε) 
Figura 36 - Deformações axiais teóricas e 
experimentais diagonais de apoio - barras 
11 e 13 
Figura 37 - Deformações axiais teóricas e 
experimentais diagonais de apoio - barras 
15 e 16 
 
Alex Sander Clemente de Souza & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 43-74, 2002 
 
70
0 -50 -100 -150 -200 -250 -300 -350 -400 -450 -500 -550 -600 -650
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
 barra 3 - exp.
 barra 4 - exp.
 teórico - NLG
 teórico - idealF
or
ça
 a
pl
ic
ad
a 
(k
N
)
ε(µε) 
0 -50 -100 -150 -200 -250 -300 -350 -400 -450 -500 -550 -600 -650
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
 barra 5 - exp.
 barra 6 - exp.
 teórico - NLG
 teórico - idealFo
rç
a 
ap
lic
ad
a 
(k
N
)
ε(µε) 
Figura 38 - Deformações axiais teóricas e 
experimentais banzos superiores - barras 
3/4 
Figura 39 - Deformações axiais teóricas e 
experimentais banzos superiores - barras 
5/6 
 Como era esperado o efeito não linear não afeta, de maneira significativa, as 
deformações nas barras (nas seções onde foram medidas). No entanto, os deslocamentos 
são sensivelmente afetados pelos efeitos da não linearidade geométrica quando a 
estrutura é modelada considerando a variação de inércia nas extremidades das barras. 
0 50 100 150 200
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
ε(µε)
 barra 12 - exp.
 barra 14 - exp.
 teórico - NLG
 teórico - ideal
Fo
rç
a 
ap
lic
ad
a 
(k
N
)
 
0 50 100 150 200 250 300 350
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
 barra 1 - exp.
 barra 2 - exp.
 teórico - NLG
 téorico - ideal
Fo
rç
a 
ap
lic
ad
a 
(k
N
)
ε(µε) 
Figura 40 - Deformações axiais teóricas e 
experimentais diagonais tracionadas 
Figura 41 - Deformações axiais teóricas e 
experimentais banzos inferiores tracionados 
 Ao contrário do que ocorre para os deslocamentos, o modelo de treliça ideal 
representa bem o modelo físico para o caso de esforços axiais em barras. Os gráficos das 
Figuras 36 a 40 mostram que os resultados experimentais para deformações em barras, 
salvo perturbações devido a escorregamento relativo entre barras nos nós, são 
praticamente lineares e apresentam boa correlação com os resultados experimentais, 
tanto para o modelo de treliça ideal como para o modelo com variação de inércia nas 
barras e análise não linear geométrica. 
 
6 CONCLUSÕES 
 Inicialmente é interessante ressaltar a grande carência de pesquisas específicas 
sobre as tipologias de estruturas espaciais construídas no Brasil, são poucos os trabalhos 
desenvolvidos neste campo da engenharia estrutural em nosso país. 
 Os elementos tubulares são os mais utilizados nas estruturas espaciais no Brasil 
e em virtude dos sistemas de ligação empregados, apresentam grandes variações de 
inércia nas regiões das extremidades, 
 Os elementos tubulares comprimidos com variação de inércia apresentam 
reduções na força normal resistente; este fato foi comprovado por resultados teóricos e 
experimentais apresentadosneste trabalho e em trabalhos anteriores desenvolvidos no 
Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC. 
Contribuição ao estudo de estruturas metálicas espaciais 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 43-74, 2002 
71
 A metodologia utilizada no cálculo corrente não considera a redução na força 
normal resistente advinda da variação de inércia; este fato poderia ser explicado pela 
ausência de recomendações explícitas em códigos de projeto sobre a consideração da 
variação de inércia no dimensionamento de barras comprimidas, exceção feita ao 
Eurocode 3. 
 Para os elementos tubulares com extremidades estampadas e extremidades com 
ponteiras a redução na força normal resistente é, em geral, superior a 20% quando estes 
elementos apresentam flambagem em regime inelástico, principalmente para índices de 
esbeltez inferiores a 60. 
 Para as barras com extremidades estampadas com esbeltez entre 70 e 120 tem-
se reduções na força normal resistente variando entre 5% e 10%. 
 Em barras com chapas de ponteiras e extremidades estampadas utilizando 
aparelhos de apoio, constituído de chapas de aço soldadas, a redução na capacidade 
resistente para esbeltezes usuais é da ordem de 10%, no entanto, a sensibilidade destas 
ligações está associada às espessuras e comprimentos não enrijecidos das chapas e 
regiões amassadas, que geralmente controlam a falha do elemento. 
 Ressalta-se, portanto, a necessidade de continuidade das pesquisas no sentido 
de se criar rotinas práticas para se considerar a variação de inércia no dimensionamento 
de barras ou coeficientes de redução adequados. 
 Resultados teóricos e experimentais, além da análise de estruturas que 
apresentaram colapso, revelam deficiências nas ligações utilizadas no Brasil, 
principalmente o nó típico, no entanto, esses sistemas apresentam baixo custo e 
facilidade de execução sendo, portanto, importante o desenvolvimento de estudos mais 
detalhados que permitam sua utilização com segurança. 
 Neste trabalho foi apresentado o ensaio de um protótipo, que é o primeiro de uma 
série de ensaios de um programa experimental em treliças espacial que se inicia no 
Departamento de Estruturas da EESC-USP. Acredita-se ser a análise experimental o 
caminho natural para o estudo do comportamento das treliças espaciais, associado ao 
desenvolvimento de programas de computador, que melhor representem essas estruturas. 
 A estrutura ensaiada apresentou comportamento força aplicada x deslocamento 
fortemente não linear, comportamento este que não pode ser previsto com os modelos 
teóricos normalmente utilizados. 
 A capacidade resistente da estrutura resultou em cerca de 60% da prevista com 
análise linear e barras com inércia constante, a falha foi caracterizada pela ruína das 
ligações, com rotações excessivas, escorregamento relativo entre barras e plastificação 
na região do nó. A rotação dos nós aconteceu, principalmente, devido a forças excêntricas 
que concorrem no nó. 
 O escorregamento relativo entre barras conduziu a aumento significativo nos 
deslocamentos verticais da estrutura e constitui-se em um aspecto deste sistema de 
ligação que deve ser considerado. 
 Dentre os modelos teóricos adotados na análise numérica da estrutura espacial 
ensaiada, o que mais aproxima aos resultados experimentais é o modelo de pórtico 
espacial considerando a variação de inércia nas barras e utilizando análise não linear. 
 Um aprofundamento na análise experimental de protótipos de grandes dimensões 
e dos nós utilizados nestas estruturas poderá conduzir a um maior entendimento do 
comportamento global das treliças espaciais e principalmente dos sistemas de ligação, 
cujo comportamento estrutural poderia ser considerado de forma limitada e estabelecendo 
critérios adequados, que permitam a sua utilização com segurança. 
Alex Sander Clemente de Souza & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 43-74, 2002 
 
72
 Aliando a análises experimentais, estudos utilizando técnicas numéricas deverão 
ser realizados para conduzir a modelos mais próximos do comportamento das estruturas 
espaciais. Um dos trabalhos poderia desenvolver, por exemplo, um elemento finito 
específico para treliças espaciais com barras de seções variáveis que incorporasse esses 
efeitos, mesmo que de forma simplificada, facilitando e agilizando o trabalho dos 
projetistas de estruturas espaciais. 
 A continuidade nas pesquisas em torno do comportamento das estruturas 
espaciais com os sistemas de ligações utilizados no Brasil, bem como de novos sistemas 
alternativos e de modelos teóricos representativos que melhor os representassem, iriam 
contribuir para melhorar a capacidade de projetar e construir estruturas espaciais com 
mais qualidade e segurança. 
 
 
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space truss bridge. In: INTERNATIONAL CONFERENCE ON SPACE STRUCTURES, 
4, Guildford, UK, Sept. 1993, Proceedings. London, Thomas Telford. v.2, p.1640-
1649. 
SOUZA, A.S.C. (1998). Contribuição ao estudo das estruturas metálicas 
espaciais. São Carlos. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São 
Carlos, Universidade de São Paulo. 
 
 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 75-103, 2002 
 
 
ANÁLISE NUMÉRICA E EXPERIMENTAL DE 
ESTRUTURAS ESPACIAIS CONSTITUÍDAS DE BARRAS 
DE EXTREMIDADES ESTAMPADAS: ESTUDO DOS NÓS 
Adriano Márcio Vendrame1 & Roberto Martins Gonçalves2 
 
R e s u m o 
A proposição deste trabalho está relacionada com a crescente utilização, no Brasil, de 
estruturas espaciais planas e também cúpulas constituídas por elementos tubulares de 
seção transversal circular em aço e alumínio, utilizando o sistema de ligação 
denominado nó típico. Este estudo tem como objetivo simular o comportamento deste 
sistema de ligação, mesmo que simplificadamente, quando o mesmo se encontra 
inserido na estrutura. Para isto, todas as extremidades das barras que se sobrepõem 
para formação do sistema de ligação foram modeladas com elemento de casca para 
melhor conhecer a distribuição de tensões nesta região. Sendo uma análise 
experimental imprescindível para avaliar se as hipóteses adotadas nos modelos 
matemáticos são convenientes, o nó típico, discretizado com elemento de casca, foi 
inserido em uma estrutura espacial plana, uma vez que podíamos dispor dos resultados 
experimentais de protótipos deste tipo de estrutura, ensaiados no Laboratório de 
Engenharia de Estruturas da EESC-USP. O protótipo é constituído por elementos 
tubulares de seção circular em aço USI-SAC-41 conformados a frio e com solda de 
costura. Os parafusos utilizados em todas as ligações são do tipo ASTM-A325. Os 
resultados comparados limitam-se a deslocamentos , deformações em diagonais de 
apoio e carga crítica da estrutura. 
 
Palavras-chave: estruturas metálicas; estruturas espaciais; cúpulas treliçadas; 
elementos tubulares; ligações; variação de inércia; análise numérica. 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
No Brasil, com exceção de algumas obras que utilizam o sistema patenteado 
MERO, as ligações em treliças espaciais planas e cúpulas, constituídas por elementos 
de seção transversal circular, são sobrepostas e conectadas por um único parafuso, 
formando um nó. Sistema de ligação este denominado na EESC-USP como nó típico, 
projetado com poucos estudos e baseados em hipóteses simplistas. 
Este sistema de ligação apresenta uma série de problemas. Em primeiro lugar 
o fato das barras serem ligadas por apenas um único parafuso, contrariando as 
recomendações de norma de utilizar no mínimo dois parafusos por ligação. 
 
1 Mestre em Engenharia de Estruturas 
2 Professor Associado do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, goncalve@sc.usp.br 
Adriano Márcio Vendrame & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 75-103, 2002 
76 
Em segundo lugar, existe excentricidades nas ligações, provocando o 
surgimento de momentos fletores nas barras acarretando em plastificação precoce 
nas extremidades estampadas, sobretudo nas diagonais que também têm suas 
extremidades dobradas. 
Outro problema, digno de nota, deste tipo de ligação é o escorregamento 
relativo entre as extremidades das barras, pelo fato de serem conectadas por um 
único parafuso, produzindo aumento significativo nos deslocamento verticais. 
Devido a todos esses problemas, as hipóteses adotadas nos modelos 
matemáticos para análise deste tipo de estrutura não são satisfeitas, o que pode 
acarretar em resultados não condizentes com a realidade da estrutura. 
Ensaios realizados no Laboratório do Departamento de Engenharia de 
Estruturas da EESC-USP de protótipos de estruturas espaciais planas utilizando este 
sistema de ligação, mostram que os resultados de carga última da estrutura são 
inferiores aos valores obtidos teoricamente devido aos problemas já apresentados. 
Outro aspecto observado nos ensaios é a rotação excessiva da região nodal 
que pode conduzir a duas situações: a primeira, indução a plastificação da região 
estampada das barras e a segunda, conduzir a uma flambagem precoce das barras 
que compõe a estrutura. 
A necessidade de melhor conhecer o comportamento estrutural, distribuição 
de tensões e deslocabilidade dos nós típicos, deve-se ao elevado número de 
acidentes ocorridos nos últimos anos com este sistema de ligação, sendo que por 
desconhecimento ou relapso, engenheiros têm projetado estruturas, muitas com 
grandes vãos, sem os devidos cuidados e modelos numéricos simplistas. 
 
 
2 ANÁLISE EXPERIMENTAL 
O protótipo ensaiado é uma treliça espacial formada por elementos tubulares 
de seção circular em aço USI-SAC-41 conformados a frio e com solda de costura. Os 
parafusos utilizados em todas as ligações são do tipo ASTM-A325. 
A estrutura é constituída de duas camadas ou banzos, dispostas de forma 
paralela e plana com configuração de malha quadrada sobre quadrada, unidas por 
elementos diagonais formando um reticulado de forma piramidal. 
Os elementos possuem suas extremidades estampadas, que se sobrepõe 
formando o nó típico. As seções dos elementosutilizados na treliça espacial e suas 
respectivas forças nominais resistentes à compressão são apresentadas na tabela 1. 
A força nominal resistente à compressão das barras foi calculada segundo a NBR 
8800/86, admitindo o seu comprimento de flambagem como de ponto de trabalho a 
ponto de trabalho. 
Foram retirados corpos de prova para a caracterização do aço, sendo obtido o 
valor médio de MPa350 para tensão de escoamento, que será utilizada para as 
análises teóricas de tal forma a permitir comparar com os resultados experimentais. 
 
Análise numérica e experimental de estruturas espaciais constituídas de barras de extremidades... 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 75-103, 2002 
77 
Tabela 1 – Elementos utilizados no protótipo ensaiado 
Tubo Utilização Área (mm2) Compr. (mm) Esbeltez Nck (kN) 
Φ60x2.0 Diagonal 364 2318 113 49,0 
Banzo 465 2500 95,4 83,0 
Φ76x2.0 
Diagonal apoio 465 2318 88,5 92,0 
Observação: *ygck fAN ρ= )ensaio(MPa350f *y = 
A estrutura foi apoiada nos seus quatro nós extremos inferiores, em colunas 
de aço, as quais por sua vez foram engastadas à laje de reação. 
A aplicação de força se deu nos quatro nós centrais, no sentido gravitacional. 
A figura 1 apresenta as características e dimensões do protótipos ensaiado. 
 
 
Figura 1 – Características e dimensões do protótipo ensaiado 
A figura 2 apresenta a estrutura montada no Laboratório de Estruturas da 
EESC-USP. 
Adriano Márcio Vendrame & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 75-103, 2002 
78 
 
Figura 2 – Protótipo montado no laboratório 
 A estrutura ensaiada foi instrumentada para obter deslocamentos e 
deformações, ambas necessárias para avaliação do comportamento da estrutura. 
 Para medição dos deslocamentos verticais e horizontais da estrutura, utilizou-
se transdutores de deslocamentos da marca KYOWA, com sensibilidade, de escala 
de 0,02 mm e 0,04 mm e fundo de escala de 50mm e 100 mm, respectivamente. 
 Na medição das deformações nas barras, utilizaram-se extensômetros 
elétricos de resistência, marca KYOWA, modelo KFG-5-120C1-11, com base de 5,0 
mm, resistência de 120 Ω e “gage factor” de 2,15. 
 As forças foram aplicadas no nós do banzo inferior, por meio de atuadores 
hidráulicos com pistão vazado da marca ENERPAC, modelo RCH com capacidade de 
300 kN e para medição das forças aplicadas utilizaram-se células de carga com 
capacidade de 300 kN. Toda a instrumentação foi conectada a um sistema de 
aquisição automática de dados SYSTEM 4000. 
 A figura 3 apresenta a instrumentação completa da estrutura com as 
respectivas indicações das barras e nós em que foram efetuadas medições de 
deformações e deslocamentos. 
 
Análise numérica e experimental de estruturas espaciais constituídas de barras de extremidades... 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 75-103, 2002 
79 
 
Figura 3 – Esquema da instrumentação da estrutura 
 A figura 4 apresenta a ruína do protótipo provocado pela plastificação da 
extremidade da barra associada a deformação excessiva da chapa que constitui a 
arruela, enfatizando o giro excessivo do parafuso. 
 
Figura 4 – Plastificação da extremidade da barra 
Apresenta-se, a seguir, alguns dos resultados obtidos experimentalmente e os 
obtidos através de simulação numérica admitida a treliça ideal e comportamento 
linear, hipóteses utilizadas no cálculo corrente dos escritórios de projetos. 
Adriano Márcio Vendrame & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 75-103, 2002 
80 
Os gráficos das figuras 5 e 6 ilustram os resultados teóricos (treliça ideal) e 
experimentais para o deslocamento do nó central da treliça e deformação da 
diagonal de apoio em função da força aplicada em cada atuador hidráulico, 
respectivamente. 
0 10 20 30 40 50 60 70 80
0
10
20
30
40
50
60
Força crítica experimental
 Experimental
 Teórico (treliça ideal)
Fo
rç
a 
ap
lic
ad
a 
/ a
tu
ad
or
 h
id
rá
ul
ic
o 
(k
N
)
Deslocamento do nó central (mm) 
Figura 5 – Deslocamento teórico e experimental do nó central 
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Força crítica experimental
 Experimental
 Teórica (treliça ideal)
Fo
rç
a 
ap
lic
ad
a 
/ a
tu
ad
or
 h
id
rá
ul
ic
o 
(k
N
)
Deformação (µε) 
Figura 6 – Deformações de compressão média na seção transversal da diagonal de apoio 
 A título de ilustração a força de compressão atuando na diagonal de apoio, 
medida no ensaio, foi de 57.4 kN )A**EF( gε= enquanto que a força normal 
resistente, admitindo as hipóteses de nós rotulados e sem variação de inércia, é 92.0 
kN, como indicado na tabela 1. 
Pode-se concluir, pela análise dos resultados apresentados na figura 5, que as 
hipóteses admitidas no modelo teórico (treliça ideal e comportamento linear) não 
representam o modelo físico. 
 Enquanto os resultados teóricos do deslocamento são lineares, os resultados 
experimentais indicam um comportamento não-linear em função, principalmente, dos 
escorregamentos e rotações excessivas na região do nós típicos. 
 Pela figura 6, observa-se que as deformações e, portanto, os esforços nas 
seções centrais da barra permanecem em regime elástico linear enquanto que, nas 
seções da região nodal, ocorre plastificação, caracterizando o módulo de falha deste 
nó. Plastificação esta decorrente dos momentos provenientes das excentricidades 
existentes na região da barra com inércia reduzida. 
Análise numérica e experimental de estruturas espaciais constituídas de barras de extremidades... 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 75-103, 2002 
81 
Associa-se a isto a elevada rotação nodal, observada em todos os ensaios, o 
que contribui para uma redução na carga crítica se comparada com os resultados 
obtidos numericamente, não considerando a variação de inércia das extremidade das 
barras e a influência do comportamento do nó. 
Em função destes problemas constata-se a necessidade de conhecer melhor o 
comportamento deste sistema de ligação, modelando-o com elemento finito de casca 
para melhor simular os efeitos que ocorre nesta região, devido ao amassamento das 
extremidades das barras e excentricidades. 
 
 
3 ANÁLISE NUMÉRICA 
 Com o intuito de simular o comportamento da extremidade da barra, onde 
ocorre a plastificação, a mesma foi modelada com auxílio do programa de análise com 
elementos finitos, ANSYS. 
 Para modelar esta região, a geometria de várias seções transversais 
espaçadas de 3 cm foram medidas com auxílio de uma mesa de coordenadas 
pertencente ao Departamento de Engenharia Elétrica da EESC-USP. 
 Para cada seção transversal, obtiveram-se as coordenadas de vários pontos 
e, com auxílio do programa ANSYS, construiu-se, por meio de linhas, o contorno da 
respectiva seção transversal como pode ser observado na figura 7a. 
Definida a geometria, foi possível gerar uma área contornando a região 
externa das várias seções transversais formadas pelas linhas, construindo assim, a 
extremidade do tubo, como pode ser visto na figura 7b. Essa extremidade foi toda 
discretizada com elemento finitos de casca em todo seu domínio como apresenta a 
figura 7c. 
 
 
 
 (a) (b) (c) 
Figura 7 – Modelagem da extremidade da barra 
Adriano Márcio Vendrame & Roberto Martins Gonçalves 
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82 
 O elemento de casca utilizado na discretização do modelo é o SHELL43 da 
biblioteca de elementos do ANSYS. Este elemento é adequado para análise não-
linear de estruturas planas ou curvas, com espessura moderada permitindo grandes 
descolamentos e grandes deformações. O elemento possui seis graus de liberdade 
em cada nó sendo três translações nas direções x, y e z e três rotações em torno dos 
eixos x, y e z. 
O elemento é definido por quatro nós, quatroespessuras e a propriedade do 
material. A geometria, localização dos nós e o sistema de coordenadas para este 
elemento estão apresentados na figura 8. 
 Pressão e temperatura podem ser aplicadas ao elemento. A primeira como 
carregamento de superfície sobre a face do elemento como indicado nos círculos de 1 
a 6 e a segunda fornecida ao elemento nos cantos indicados pelos números de 1 a 8, 
como pode ser visto na figura 8. 
 
 Figura 83 - Elemento SHELL 43 
 Outro elemento utilizado nos modelos estudados foi o BEAM24 também 
pertencente à biblioteca de elementos do ANSYS. Este elemento permite seção 
transversal arbitrária e seis graus de liberdade em cada nó sendo três translações nas 
direções x, y e z e três rotações sobre os eixos x, y e z. 
 A seção transversal é formada por uma série de segmentos retos no plano y-z 
do elemento e a localização do nó pode ser no centroide ou no centro de 
cisalhamento da seção, dependendo da opção feita pelo usuário. 
 A orientação da viga sobre o eixo longitudinal é especificada por um terceiro 
nó K, sempre requerido para definir o sistema de eixos do elemento, que não deve 
ser colinear com os nós I e J. A geometria, localização dos nós e o sistema de 
coordenada para este elemento estão apresentados na figura 9. 
 As forças são aplicadas nos nós, e as pressões podem ser aplicadas sobre a 
face do elemento como mostra os círculos de 1 a 5 na figura 9. 
 
3 Ansys Elements Reference - Release 5.4 (1997) 
Análise numérica e experimental de estruturas espaciais constituídas de barras de extremidades... 
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83 
 
Figura 94 - Elemento BEAM 24 
A utilização do elemento de casca (SHELL43) em conjunto com elemento e 
barra (BEAM24) pode ser visto na figura 10 . 
 
 
Figura 10 – Utilização do SHELL43 com BEAM24 
Para a utilização de elementos de barra conjuntamente com elemento de 
casca, foi necessário fazer um acoplamento entre estes elementos. Neste 
acoplamento, os nós pertencentes à borda circular das extremidades dos tubos, 
formado por elementos de casca, foram “escravizados” a um nó mestre, no centro da 
seção transversal , onde está vinculado o elemento de barra. A figura 11 apresenta o 
detalhe deste acoplamento. 
 
4 Ansys Elements Reference - Release 5.4 (1997) 
Adriano Márcio Vendrame & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 75-103, 2002 
84 
 
Figura 11 – Detalhe da “escravização” dos nós 
 Para verificação do acoplamento entre elementos, fez-se uma análise da 
extremidade do tubo com e sem acoplamento com elemento de barra para uma ação 
de 50 kN. Os resultados das tensões axiais estão ilustrados na figura 12. 
 
Figura 12 – Tensões axiais na extremidade da barra (kN/mm2 ) 
 
Percebe-se pela figura 12 a quase coincidência das tensões axiais entre os 
dois modelos analisados permitindo assim, a utilização do acoplamento. 
 
3.1 Critérios para análise não linear 
Neste trabalho os modelos são analisados através do programa ANSYS 
incluindo os efeitos de não-linearidade geométrica. A formulação adotada pelo 
programa é a Langrangeana Total e o processo iterativo que o programa utiliza para a 
solução do sistema de equações de equilíbrio é o Newton-Raphson, onde cada 
iteração gerada no processo é conhecida como uma iteração de Newton-Raphson, ou 
uma iteração de equilíbrio. 
Salienta-se que para o protótipo em estudo, não há influência desta análise, 
porém para estruturas de grandes dimensões é recomendável o cálculo considerando 
a não-linearidade geométrica. 
 Em se tratando de não-linearidade física adotou-se um modelo bi-linear para 
representar a curva tensão-deformação do material, tanto na tração quanto na 
Análise numérica e experimental de estruturas espaciais constituídas de barras de extremidades... 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 75-103, 2002 
85 
compressão. Este modelo, existente no programa ANSYS, é denominado Classical 
Bilinear Kinematic Hardening (BKIN) e definido por dois segmentos de retas, onde o 
primeiro, de inclinação maior, representa o comportamento elástico e o segundo, com 
inclinação menor, representa o comportamento plástico. 
 As constantes requeridas são a tensão de escoamento )f( y , o módulo de 
elasticidade )E( definido para material isotrópico, e o módulo elastoplástico tangente 
)E( T que não pode ser negativo e nem maior do que o módulo elástico )E( . 
 A figura 13 apresenta um exemplo da curva bi-linear utilizada para representar 
o material utilizado em nossa análise. 
 
 
Figura 13 – Curva tensão-deformação do material 
 
Os valores apresentados na figura 13 referem-se ao ensaio de caracterização 
do aço realizado segundo a ASTM – A370/92. 
 
 
4 APRESENTAÇÃO DOS MODELOS ANALISADOS E RESULTADOS 
Tendo-se a extremidade da barra modelada com elemento de casca, foi 
possível modelar o nó como um todo, ou seja, várias extremidades de barras 
sobrepostas formando o nó típico como ilustra a figura 14. 
 
 Figura 14 – Modelagem do nó típico completo 
Adriano Márcio Vendrame & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 75-103, 2002 
86 
A região de sobreposição das extremidades das barras foi transformada em 
um “pacote rígido”5, para representar o sistema de ligação formado pelo parafuso e 
chapa de pressão. Um detalhe desta região esta ilustrado na figura 15. 
 
Figura 15 – Região transformada em “pacote rígido” 
Esta consideração tem como objetivo simplificar a análise nesta região, uma 
vez que o modelo não considera o deslizamento relativo entre as extremidades e, 
consequentemente, o atrito entre as superfícies em contato. 
Outra simplificação adotada nos modelos, refere-se a pressão causada pelo 
parafuso, também desprezada nas análises6. 
Para simular o comportamento deste nó, o mesmo foi inserido em um modelo 
que representa o protótipo ensaiado no laboratório de Engenharia de Estruturas da 
EESC-USP, já descrito anteriormente. 
Devido as limitações da versão do programa ANSYS existente no 
Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, introduziu-se apenas um 
nó completo, modelado com elemento de casca, de cada vez na estrutura, sendo o 
restante da estrutura modelada com o elemento de barra (BEAM24). 
A figura 16 apresenta o modelo completo analisado através do programa 
ANSYS sendo que as barras são compostas do BEAM24 e os nós, simulado com 
elemento de casca, foram introduzidos no nó central (1), nó lateral (2) e nó de 
extremidade (3), individualmente para cada modelo analisado. 
 
Figura 16 – Posições dos nós com elementos de casca 
 
5 Pacote rígido : Todos os nós nesta região estão acoplados uns aos outros para desenvolverem o 
mesmo descolamento. 
6 As considerações de deslizamentos relativo, contato e protensão do parafuso será objeto de estudo na 
continuidade deste trabalho, possivelmente objeto de Tese de Doutorado. 
Análise numérica e experimental de estruturas espaciais constituídas de barras de extremidades... 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 75-103, 2002 
87 
4.1 Modelos analisados 
a) Primeiro modelo – Nó central (1) 
 Neste modelo, o nó completo foi inserido na região central do banzo superior 
da treliça, onde temos o encontro dos eixos de simetria da estrutura. A figura 17 
apresenta o detalhe deste modelo. 
 
 
 Figura 17 – Detalhe da posição do nó típico inserido na estrutura 
 
 O gráfico da figura 18 apresenta os resultados dos deslocamentos verticais 
do nó central da treliça com e sem utilização do nó típico modelado com elemento de 
casca. 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Força crítica experimental
 Treliça com nó típico
 Treliça ideal
Fo
rç
a 
ap
lic
ad
a 
/ a
tu
ad
or
 h
id
rá
ulic
o 
(k
N
)
Deslocamento do nó central (mm) 
Figura 18 – Deslocamento vertical do nó central da treliça 
Adriano Márcio Vendrame & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 75-103, 2002 
88 
 Observa-se que há uma concordância entre os resultados da análise com o 
nó típico inserido na estrutura e como treliça ideal, ambos mantendo um 
comportamento linear. 
 Este fato pode ser compreendido já que apenas um nó típico, modelado com 
elemento de casca, foi inserido no modelo, sendo o restante da estrutura considerada 
como treliça ideal. Sendo assim, a carga crítica da estrutura é alcançada devido a 
problemas localizados no nó modelado com elemento de casca inserido na estrutura, 
não alterando, portanto, o comportamento global da mesma. Salienta-se que no 
modelo ensaiado no Laboratório de Estruturas o nó que conduziu a estrutura ao 
colapso foi o de extremidade (Terceiro modelo – nó extremidade). 
 Ressalta-se também que o modo de colapso do nó é influenciado pela 
presença da força cortante nas diagonais que, para este nó específico é nula. 
 Os resultados da simulação numérica são apresentados pela distribuição das 
tensões na direção axial das barras cuja força correspondente encontra-se indicada 
sobre a mesma, para várias etapas de carregamento. As figuras 19a a 19f 
apresentam as tensões axiais )mm/kN( 2 para os tubos analisados. 
 
 
a) Força total aplicada = 40 kN (Tensões em kN/mm2) 7 
 
 
b) Força total aplicada = 120 kN (Tensões em kN/mm2) 
 
7 A tensão σ representa simplesmente um indicativo da tensão média (Força sobre Área) na barra 
indicada. 
7.7 kN
7.7 kN 
23.3 kN 
23.3 kN 
21 01660
465
77
mm/kN.
.
A
F
g
−=
−
==σ
205010
465
323 mm/kN..
A
F
g
−=
−
==σ
Análise numérica e experimental de estruturas espaciais constituídas de barras de extremidades... 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 75-103, 2002 
89 
 
 
c) Força total aplicada = 160 kN (Tensões em kN/mm2) 
 
 
d) Força total aplicada = 200 kN (Tensões em kN/mm2) 
 
 
e) Força total aplicada = 240 kN (Tensões em kN/mm2) 
 
31.0 kN
31.0 kN 
38.8 kN
38.8 kN 
46.5 kN
46.5 kN 
206670
465
031 mm/kN..
A
F
g
−=
−
==σ
208340
465
838 mm/kN..
A
F
g
−=
−
==σ
210000
465
546 mm/kN..
A
F
g
−=
−
==σ
Adriano Márcio Vendrame & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 75-103, 2002 
90 
 
f) Força total aplicada = 262 kN (Tensões em kN/mm2) 
Figura 19 – Tensões para várias etapas de carregamento (kN/mm2) 
 
 O valor elevado da carga crítica obtido numericamente, deve-se as condições 
particulares deste nó, posição de dupla simetria na estrutura, o que não implica em 
grandes rotações nesta região não ocasionando a ruptura precoce do modelo pela 
plastificação da extremidade da barra. 
As tensões na direção axial das duas barras do banzo analisadas 
)mm/kN.( 21090−=σ , indicam que não ocorre a plastificação da seção central da barra 
)mm/kN.f( y
2350−= porém, a força total aplicada de 262.0 kN correspondeu a carga 
crítica da estrutura na simulação numérica. 
Este fato corrobora com as afirmações anteriores de que a ruína da estrutura, 
que no caso da análise numérica corresponde à carga crítica, é dependente do 
comportamento do nó. 
A figura 20 apresenta as tensões axiais da barra do banzo superior para a 
carga última encontrada na análise numérica (65.5 kN / atuador hidráulico). 
 
 
Figura 20 – Tensões axiais (kN/mm2) da extremidade da barra para carga última obtida 
numericamente. 
 
 Percebe-se pela figura 20 a concentração de tensões de compressão na 
região próxima a borda do parafuso. Tensões essas superiores a do limite de 
escoamento do aço )mm/kN.f( y 2350−= e que conduziram à determinação da máxima 
força aplicada na estrutura. 
50.7 kN 
50.7 kN
210900
465
750 mm/kN..
A
F
g
−=
−
==σ
Banzo superior 
Análise numérica e experimental de estruturas espaciais constituídas de barras de extremidades... 
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91 
b) Segundo modelo – Nó lateral (2) 
 Neste modelo, o nó completo foi inserido na região de extremidade do banzo 
superior da treliça, como apresenta a figura 21. 
 Diferentemente do nó central, neste caso não há a dupla simetria e é possível 
avaliar a influência da força cortante atuando nas diagonais. 
 
 
Figura 21 - Detalhe da posição do nó inserido na estrutura 
 O gráfico da figura 22 apresenta os resultados dos deslocamentos verticais do 
nó com elemento de casca, do nó central e do nó simétrico ao nó com elemento de 
casca. 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
10
20
30
40
50
60
Força crítica experimental
 Nó simétrico ao nó com elemento de casca
 Nó central
 Nó com elemento de casca
Fo
rç
a 
ap
lic
ad
a 
/ a
tu
ad
or
 h
id
rá
ul
ic
o 
(k
N
)
Deslocamento (mm) 
Figura 22 – Deslocamento vertical de alguns nós da estrutura 
Adriano Márcio Vendrame & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 75-103, 2002 
92 
 Percebe-se, pela análise dos resultados dos deslocamentos apresentados no 
gráfico da figura 22, que o nó com elemento de casca possui deslocamentos maiores 
que o nó da posição simétrica na estrutura. Este fato pode ser compreendido já que a 
região da treliça onde temos o nó com elemento de casca torna-se menos rígida se 
comparada com a região simétrica na estrutura, uma vez que esta possui 
características de uma treliça ideal sendo, portanto, mais rígida. 
 Em vista disto, pode-se afirmar também que, se a região na qual foi inserido o 
nó típico torna-se menos rígida se comparada com a região simétrica de 
características iguais a de uma treliça ideal, as análises utilizando as hipóteses de 
treliça ideal em estruturas que utilizam o sistema de ligação típico, fornecerão 
resultados não condizentes com o modelo físico. Motivo este que pode ser relevante e 
conduzir a ruína de várias estruturas, utilizando este sistema de ligação, em nosso 
país. 
 Quanto ao deslocamento do nó central, este apresenta valores superiores aos 
outros dois nós, como deveria ser. 
 As figuras 23a a 23f , apresentam o comportamento em níveis de tensões 
para várias etapas de carregamento de maneira análoga ao do primeiro modelo - Nó 
central (1). 
 
 
a) Força total aplicada = 40 kN (Tensões em kN/mm2) 
 
 
b) Força total aplicada 80 kN (Tensões em kN/mm2) 
 
11.8 kN 
11.8 kN
24.6 kN 
24.6 kN
202530
465
811 mm/kN..
A
F
g
−=
−
==σ
205290
465
624 mm/kN..
A
F
g
−=
−
==σ
Análise numérica e experimental de estruturas espaciais constituídas de barras de extremidades... 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 75-103, 2002 
93 
 
c) Força total aplicada = 120 kN (Tensões em kN/mm2) 
 
 
d) Força total aplicada = 160 kN (Tensões em kN/mm2) 
 
 
e) Força total aplicada = 200 kN (Tensões em kN/mm2) 
 
35.5 kN 
35.5 kN
47.0 kN 
47.0 kN
61.5 kN
61.5 kN 
207630
465
535
mm/kN.
.
A
F
g
−=
−
==σ
213230
465
561 mm/kN..
A
F
g
−=
−
==σ
210100
465
047 mm/kN..
A
F
g
−=
−
==σ
Adriano Márcio Vendrame & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 75-103, 2002 
94 
 
f) Força total aplicada = 210 kN (Tensões em kN/mm2) 
Figura 23 – Tensões para várias etapas de carregamento (kN/mm2) 
 Neste modelo, pelo fato do nó não estar em uma posição de dupla simetria da 
estrutura, como no primeiro modelo – nó central, temos uma diminuição da carga 
crítica da estrutura. 
 Esta diminuição decorre do fato que não temos uma simetria dos esforços nas 
barras concorrentes ao nó e também devido a influência do esforço cortante nas 
diagonais causando uma maior rotação do nó, acabando por plastificar a região da 
extremidade da barra. Na região central da barra o valor da tensão axial 
)mm/kN.( 21380-=σ fica abaixo do valor de plastificação )mm/kN.f(y 2350−= . 
 Novamente temos a confirmação das afirmações anteriores que a ruína da 
estrutura, que na análise numérica corresponde à carga crítica, é dependente do 
comportamento do nó. 
A figura 24 apresenta as tensões na diagonal e banzo superior obtida para a 
carga última encontrada na análise numérica (52.5 kN / atuador hidráulico). 
 
Figura 24 – Tensões axiais (kN/mm2) da extremidade da barra para carga última obtida 
numericamente 
64.5 kN 
64.5 kN 
213870
465
564 mm/kN..
A
F
g
−=
−
==σ
Análise numérica e experimental de estruturas espaciais constituídas de barras de extremidades... 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 75-103, 2002 
95 
 Percebe-se, pela figura 24, a elevada concentração de tensões de tração e 
compressão, acima da tensão de escoamento )mm/kN35.0f( 2y ±= , na região estampada 
das barras. 
 
c) Terceiro modelo – Nó de extremidade (3) 
 Neste modelo, o nó completo foi inserido no canto do banzo superior da treliça 
onde temos uma maior concentração de esforços axiais, principalmente na diagonal 
de apoio, e também grande rotação do nó, pois a força cortante é transmitida pela 
diagonal até o apoio. A figura 25 mostra o detalhe deste modelo. 
 
 
Figura 25 - Detalhe da posição do nó inserido na estrutura 
 
 O gráfico da figura 26 apresenta os resultados dos deslocamentos verticais do 
nó com elemento de casca, do nó central e do nó simétrico ao nó com elemento de 
casca. 
Adriano Márcio Vendrame & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 75-103, 2002 
96 
0 2 4 6 8 10 12 14
0
4
8
12
16
20
 Nó simétrico ao nó com elemento de casca
 Nó central
 Nó com elemento de casca
Fo
rç
a 
ap
lic
ad
a 
/ a
tu
ad
or
 h
id
rá
ul
ic
o 
(k
N
)
Deslocamento (mm) 
Figura 26 – Deslocamento vertical de alguns nós da estrutura 
 
 Os resultados dos deslocamentos apresentados no gráfico da figura 26 
ilustram que o nó de extremidade (nó com elemento de casca) apresenta 
deslocamentos superiores ao nó simétrico na estrutura e também, ao nó central. 
 O motivo dos deslocamentos do nó de extremidade serem maiores que do nó 
central, é a rápida plastificação da diagonal de apoio e dos banzos que concorrem 
neste nó, devido a transferência de esforços pela diagonal de apoio à coluna, 
associado à perda de rigidez nesta região devido a inserção do nó típico modelado 
com elemento de casca. 
 Comprova-se novamente que, devido a esta perda de rigidez na região com 
nó típico, as hipóteses de treliça ideal em estruturas que utilizam o sistema de ligação 
típico, fornecerão resultados não condizentes com o comportamento da estrutura, pois 
este modelo não é capaz de reproduzir o modo de ruína da estrutura. 
 As figuras 27a e 27b , apresentam o comportamento em níveis de tensões 
para duas etapas de carregamento de maneira análoga aos modelos anteriores. 
 
 
 
a) Força total aplicada = 40 kN (Tensões em kN/mm2) 
 
10.8 kN 
202320
465
810 mm/kN..
A
F
g
−=
−
==σ
Análise numérica e experimental de estruturas espaciais constituídas de barras de extremidades... 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 75-103, 2002 
97 
 
b) Força total aplicada = 60 kN (Tensões em kN/mm2) 
Figura 27 – Tensões para várias etapas de carregamento (kN/mm2) 
 
 Neste modelo, o nó com elemento de casca foi inserido na região de maior 
solicitação da estrutura, uma vez que os esforços são transferidos para as colunas 
pela diagonal de apoio que concorre a este nó. 
 Percebe-se, pela análise das tensões, uma considerável plastificação na 
diagonal de apoio. Isto ocorre devido à variação de inércia da barra, dobramento da 
extremidade para confecção do nó típico e a rotação excessiva desta região. As 
figuras 28 e 29 ilustram o resultado obtido no ensaio e o observado numericamente, 
para a barra da diagonal de apoio, respectivamente. 
 
 
Figura 28 – Rotação excessiva e plastificação da região nodal 
 
 
15.4 kN 
203310
465
415 mm/kN..
A
F
g
−=
−
==σ
Adriano Márcio Vendrame & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 75-103, 2002 
98 
 
Figura 29 –Tensões axiais (kN/mm 2) nas extremidade das barras que compõem o nó típico 
para a carga última obtida numericamente 
 Os fatores apresentados tornam esta região bastante crítica, fazendo com que 
o modo de falha da estrutura, na simulação numérica, ocorra para um carregamento 
bastante inferior (15.0kN/atuador hidráulico) ao obtido experimentalmente 
(40.0kN/atuador hidráulico) no ensaio do protótipo. 
 Justifica-se este fato, pela descrição do comportamento desta região na 
realização do ensaio. Por ser uma região bastante solicitada da estrutura (diagonal de 
apoio) e devido aos problemas apresentados (dobramento da extremidade da barra 
para confecção do sistema de ligação) com baixos valores de carga aplicada, ocorre a 
plastificação desta região sem, no entanto, conduzir a estrutura à ruína. Na 
continuidade do ensaio, em função do aumento da carga aplicada, ocorre uma 
rotação excessiva desta região comprometendo o conjunto, parafuso e chapa de 
pressão, o que leva a estrutura ao colapso localizado do nó (fig. 28). 
 Para o modelo numérico utilizando o nó típico discretizado com elemento de 
casca, ainda não foi possível simular o comportamento observado no ensaio. Isto 
ocorre devido a grande concentração de tensões nesta região, não absorvida pelo 
modelo numérico, terminando por interromper o processo iterativo da solução não-
linear para um nível de carregamento bastante baixo na estrutura (15.0 kN/atuador 
hidráulico) se comparado com experimental. 
 Estudos futuros, com a melhoria deste modelo (contato, atrito, parafuso, etc.) 
permitirão uma melhor modelagem desta região para que melhor represente o modelo 
físico de ruína. 
 
4.2 Comparação entre resultados teóricos e experimentais 
 A figura 30 apresenta os nós e barras que foram medido os deslocamentos e 
deformações, experimentalmente e numericamente, cujos valores se encontram nos 
gráficos das figuras 31 a 33. 
 
Análise numérica e experimental de estruturas espaciais constituídas de barras de extremidades... 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 75-103, 2002 
99 
 
Figura 30 – Posição dos nós e barras analisados 
 
0 10 20 30 40 50 60 70 80
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Força crítica experimental
 Experimental
 Teórico (modelo 1-nó central)
 Teórico (modelo 2-nó lateral)
 Teórico (modelo 3-nó de extremidade)
 Teórico (treliça ideal)
Fo
rç
a 
ap
lic
ad
a 
/ a
tu
ad
or
 h
id
rá
ul
ic
a 
(k
N
)
Deslocamento do nó central (mm) 
Figura 31 – Deslocamento teórico e experimental – nó central 
 
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Força crítica experimental
 Experimental
 Teórico (modelo 1-nó central)
 Teórico (modelo 2-nó lateral)
 Teórico (modelo 3-nó de extremidade)
 Teórico (treliça ideal)
Fo
rç
a 
ap
lic
ad
a 
/ a
tu
ad
or
 h
id
rá
ul
ic
o 
(k
N
)
Deslocamento do nó de extremidade (mm) 
Figura 32 – Deslocamento teórico e experimental – nó extremidade 
Adriano Márcio Vendrame & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 75-103, 2002 
100 
 Observando os gráficos das figuras 31 e 32 percebe-se um comportamento 
fortemente não linear entre força aplicada e deslocamento para os valores 
experimentais e um comportamento linear para os resultados das análises numéricas. 
 Conclui-se, pela análise dos resultados experimentais, que as hipóteses 
assumidas em projetos, ou seja, treliça ideal com comportamento elástico linear não 
representam o comportamento da estrutura que utiliza o sistema de ligação 
denominada nó típico. 
 Este fato justifica-se pelo deslizamento dos elementos na região nodal e a 
rotação dos nós devido, principalmente, a presença de um único parafuso e o 
imperfeito contato pela impossibilidade de que todo o torque do parafuso resulteem 
contato efetivo das partes que compõem as extremidades das barras. 
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Força crítica experimental
 Experimental
 Teórico (modelo 1-nó central)
 Teórico (modelo 2-nó lateral)
 Teórico (modelo 3-nó de extremidade)
 Teórica (treliça ideal)
Fo
rç
a 
ap
lic
ad
a 
/ a
tu
ad
or
 h
id
rá
ul
ic
o 
(k
N
)
Deformação (µε) 
Figura 33 – Deformações de compressão média na seção transversal central da diagonal de 
apoio 
 No gráfico da figura 33 pode-se observar que os resultados experimentais 
para deformações na diagonal de apoio são praticamente lineares e apresentam boa 
correlação com os resultados teóricos, tanto do modelo de treliça ideal como para os 
modelos 1 e 2, que incluem o nó com elemento de casca. 
 Esta concordância deve-se ao fato que, para estes modelos, a diagonal de 
apoio analisada possui características iguais à de uma treliça ideal, uma vez que, a 
inserção do nó típico com elemento de casca, não influencia o comportamento deste 
elemento. 
 Para o modelo 3 (nó extremidade) os valores das deformações indicam, 
apesar dos poucos resultados, um comportamento não coincidentes com os outros 
modelos (fig. 33). Isto ocorre uma vez que, neste modelo, o nó com elemento de 
casca pertence a extremidade da diagonal de apoio governando o comportamento 
desta região devido a sua baixa rigidez, e influenciando no comportamento desse 
elemento fazendo com que a mesmo não apresente um comportamento semelhante 
aos dos modelos anteriores. 
 Em vista do exposto, conclui-se que a rigidez do nó têm influência 
fundamental na distribuição dos esforços nos elementos e que os modelos teóricos 
convencionais não são capazes de reproduzir o modo de colapso observado, 
caracterizado pela rotação excessiva dos nós e plastificação na região estampada dos 
tubos. 
Análise numérica e experimental de estruturas espaciais constituídas de barras de extremidades... 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 75-103, 2002 
101 
Uma melhoria no modelo do nó típico com elemento de casca, prevista para 
trabalhos futuros, permitirá um melhor entendimento desse sistema de ligação que, 
pelos estudos já realizados neste Departamento, apresenta desempenho limitado. 
 
 
5 CONCLUSÕES 
 A presença deste sistema de ligação tem originado um grande número de 
acidentes em estruturas de cobertura; o mais recente foi o ocorrido em Belém – PA , 
causando o colapso global de uma estrutura espacial plana constituída por elementos 
estruturais de alumínio e sistema de ligação típico, parte da cobertura do Aeroporto 
Internacional de Belém. 
 Salienta-se que o modelo utilizado para simular o nó típico do protótipo 
ensaiado no Laboratório de Estruturas da EESC-USP, apresenta limitações que não 
podem ser negligenciadas: não consideração da protensão do parafuso, atrito, 
deslizamento e o modelo reológico simplificado para o aço (σ xε bi-linear). 
 Mesmo com este modelo ainda simplificado, pode-se concluir pela análise dos 
resultados dos modelos estudados, que o modo de ruína de estruturas que utilizam o 
sistema de ligação típico esta diretamente relacionado com problemas localizados 
nestes nós. Isto se comprova uma vez que, valores diferentes para carga crítica da 
estrutura foram obtidos em função da posição em que o nó foi inserido sendo estes, 
superiores ou inferiores ao encontrado experimentalmente. 
Pode-se então comentar a frase acima descrita: 
 No modelo 1 – Nó central, pelas particularidades deste nó, ou seja, posição 
de encontro dos eixos de simetria da estrutura, associado ao fato de que os esforços 
nas diagonais que concorrem a este nó são nulas, eliminando assim, o esforço 
cortante, obteve-se um valor elevado para carga crítica da estrutura se comparado 
com o valor experimental (da ordem de 60% superior). 
 Já no modelo 2 – Nó lateral, o valor da carga crítica apresentou-se menor que 
do modelo anterior (Nó central). Esta diminuição decorre do fato de não continuidade 
de um dos banzos, associado a influência do esforço cortante nas diagonais, 
causando uma maior rotação na região nodal. Apesar da diminuição, o valor da carga 
crítica se manteve superior ao obtido experimentalmente (da ordem de 30% superior). 
 No modelo 3 – Nó extremidade, encontrou-se um valor bastante inferior ao 
obtido experimentalmente (da ordem de 60% inferior). Justifica-se este fato pela 
grande concentrações de tensões na região amassada da extremidade da diagonal, 
tornando-a bastante crítica do ponto de vista numérico, terminando por interromper o 
processo iterativo da solução não- linear devido a plastificação precoce desta região . 
Os resultados indicam que na análise numérica somente a plastificação da diagonal 
foi a responsável pela carga crítica obtida (da ordem de ≅15kN de força aplicada por 
nó contra ≅40kN observado experimentalmente), porém observa-se no modelo 
experimental que os banzos também plastificaram, indicando assim a necessidade de 
considerar a influência da arruela e pressão de contato devido à protensão do 
parafuso no modelo numérico. 
Adriano Márcio Vendrame & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 75-103, 2002 
102 
 Quanto ao deslocamentos obtidos nos modelos estudados, percebe-se um 
aumento de deslocamento na região que se insere o nó típico modelado com 
elemento de casca, comprovando a perda de rigidez nesta região. 
 Em vista do exposto, conclui-se que rigidez do nó têm influência fundamental 
da distribuição dos esforços nos elementos e que os modelos teóricos convencionais 
não são capazes de reproduzir o modo de colapso observado, caracterizado pela 
rotação excessiva dos nós e plastificação na região estampada dos tubos. 
 
 
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Análise numérica e experimental de estruturas espaciais constituídas de barrasde extremidades... 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 75-103, 2002 
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Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 105-125, 2002 
 
 
ANÁLISE TEÓRICA E EXPERIMENTAL DE 
TRELIÇAS METÁLICAS ESPACIAIS CONSTITUÍDAS 
POR BARRAS COM EXTREMIDADES ESTAMPADAS 
Carlos Henrique Maiola1 & Maximiliano Malite2 
 
R e s u m o 
Neste trabalho são apresentadas análises teóricas e experimentais de treliças metálicas 
espaciais, constituídas por barras de seção tubular com extremidades estampadas, 
onde foram analisadas as situações construtivas usuais: treliça com nós típicos 
(extremidade das barras estampadas, sobrepostas e unidas por um único parafuso), 
com nós de aço (sistema de conexão formado por uma peça com aletas de aço 
soldadas), e com sistema misto de conexão (emprego de nós típicos nas regiões menos 
solicitadas e nós de aço nas restantes, respeitando imposições construtivas). Os 
resultados experimentais foram obtidos em ensaios de quatro protótipos que simulavam 
um trecho de treliça espacial, constituídos por uma malha quadrada sobre quadrada, 
com 7,5x7,5x1,5 (m). A análise teórica dos protótipos foi feita admitindo-se os casos de 
linearidade e também de não linearidade física e geométrica, levando-se em 
consideração a variação de inércia das barras junto aos nós. Os resultados 
encontrados permitiram avaliar e comparar o comportamento global e os estados 
limites últimos dos diferentes sistemas de treliça espacial analisados. 
 
Palavras-chave: estruturas metálicas; estruturas espaciais; treliças espaciais; 
elementos tubulares. 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 O termo ‘treliça espacial’, embora não adequado tecnicamente, é usualmente 
aplicado para as estruturas tridimensionais constituídas por barras não coplanares, 
conectadas umas as outras por dispositivos que são chamados de nós. Em geral tais 
estruturas são empregadas principalmente em coberturas de grandes áreas quando 
se dispõe de um número reduzido de apoios, como por exemplo edificações 
esportivas, centros de exposição, centros comerciais, hangares, edificações 
industriais, etc. 
 A utilização das treliças espaciais está em contínuo crescimento no Brasil, 
pois apresentam uma série de vantagens quando comparadas a outros sistemas de 
coberturas, dos quais destaca-se a grande similaridade das dimensões das barras e 
dos detalhes de nós, facilitando deste modo a industrialização e a montagem, e 
 
1 Mestre em Engenharia de Estruturas, Aluno de Doutorado na EESC-USP, maiola@sc.usp.br 
2 Professor Doutor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, mamalite@sc.usp.br 
Carlos Henrique Maiola & Maximiliano Malite 
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106 
conferindo intrínseca leveza e aparência agradável, dispensando muitas vezes a 
colocação de forros. 
 
 Nas últimas décadas, dezenas de sistemas de treliças espaciais foram 
desenvolvidos e patenteados, sendo que muitos não tiveram sucesso comercial, uma 
vez que o ponto ‘chave’ destas estruturas é o nó, ou seja, a conexão entre as diversas 
barras que concorrem num único ponto, assim, torna-se necessário desenvolver um 
sistema ‘barra-nó’ com eficiência estrutural, que seja relativamente barato, e cuja 
montagem seja simples. Dos sistemas mais conhecidos hoje em dia, cita-se o alemão 
MERO (fig. 1a), desenvolvido durante os anos de 1942-1943, constituído por barras 
tubulares conectadas a um nó especial de aço, permitindo a união de até 18 barras 
sem causar excentricidades na ligação. Destacam-se também os sistemas 
TRIODETIC e UNISTRUT (fig. 1b e 1c) dos anos 50, e o mais recente o britânico 
NODUS (fig. 1d) (CODD et al. 1984). 
 
 
 
a) MERO 
 
b) TRIODETIC 
 
c) UNISTRUT d) NODUS 
Figura 1 - Sistemas de nós patenteados mais conhecidos 
 
 No Brasil, a utilização de sistemas patenteados se reduz a algumas poucas 
obras, uma vez que apresentam custo relativamente elevado quando comparados a 
soluções mais simples, como por exemplo as barras de seção tubular circular com 
extremidades estampadas (amassadas) e conectadas por um único parafuso, 
denominado usualmente por nó típico (fig. 2). Tal sistema tem sido amplamente 
empregado, e infelizmente, muito pouco pesquisado sob o ponto de vista do 
comportamento estrutural. Outro sistema empregado refere-se também à utilização de 
Análise teórica e experimental de treliças metálicas espaciais constituídas por barras.... 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 105-125, 2002 
107 
barras tubulares com extremidades estampadas, entretanto conectadas a um nó 
constituído por chapas de aço soldadas, denominado por nó de aço (fig. 3). 
 Estruturas de grandes vãos têm sido construídas empregando os nós típicos, 
e muitas delas têm apresentado falhas estruturais ainda na fase de montagem, como 
por exemplo a ocorrida na cobertura do Aeroporto Internacional de Belém (1999). Em 
outras foram observados casos de colapso parcial ou até mesmo total com poucos 
anos de vida, e sem ocorrência de ações que excederam as previstas no projeto, 
neste caso pode-se citar o colapso global ocorrido na estrutura do Centro de 
Convenções de Manaus(1995), com 110m de vão, o qual foi observado alguns dias 
após a colocação das telhas e na ausência da ação do vento. 
 Diante destes fatos, as respostas das prováveis causas destes acidentes 
eram dadas com base na experiência e intuição de muitos engenheiros, uma vez que 
não se dispunha de resultados de pesquisa sobre o comportamento de tais estruturas. 
É intuitivo que o nó típico é limitado do ponto de vista estrutural, pois apresenta 
elevadas excentricidades e não corresponde a um nó efetivamente constituído. 
Entretanto, haviam poucos subsídios para se avaliar quantitativamente a rigidez e a 
capacidade da estrutura, surgindo muitas controvérsias quanto à sua eficiência 
estrutural, envolvendo projetistas, fabricantes e clientes. 
 É importante ressaltar também que as hipóteses de cálculo assumidas para 
os detalhes das ligações nestas estruturas, não reproduzem de maneira satisfatória o 
comportamento real, não existindo estudos que expliquem detalhadamente o 
comportamento dessas ligações, apesar de ser um dos fatores que influenciam no 
comportamento global da estrutura além de contribuir significativamente no seu custo 
total. 
 Portanto, tendo em vista a carência de estudos sobre o comportamento 
estrutural e a ocorrência de problemas com as estruturas em treliça espacial, foi que a 
partir de 1995, a Área de Estruturas Metálicas do Departamento de Engenharia de 
Estruturas da EESC-USP, deu início a uma série de pesquisas sobre o tema ‘Treliças 
Metálicas Espaciais’. 
 Os estudos desenvolvidos inicialmente consistiram simplesmente em ensaios 
de compressão axial de barras isoladas de aço e alumínio com variação de inércia 
nas extremidades, barras estas utilizadas na confecção das treliças, visando 
comparar o desempenho dos diversos detalhes de extremidade (estampagem) 
[GONÇALVES et al. (1996), MALITE et al.(1997), SÁLES et al.(1996a) e SÁLES et 
al.(1996b)]. Vale salientar que estes ensaios não permitem fazer extrapolações para 
barras componentes de uma treliça espacial, tendo em vista que o comportamento de 
uma barra isolada é conseqüência de condições de contorno que são diferentes das 
apresentadas pela mesma barra inserida na estrutura. 
 Portanto, para uma análise mais profunda e representativa e um melhor 
entendimento deste tipo de estrutura, foram realizadas análises teóricas e 
experimentais de protótipos de treliça metálica espacial, tendo como objetivo principal 
analisar o comportamento e a capacidade destas estruturas com ênfase nos dois 
sistemas mais utilizados no Brasil (nó típico e nó de aço), e avaliar a adequabilidade 
de diversos modelos teóricos. 
Carlos Henrique Maiola & Maximiliano Malite 
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108 
 
Figura 2 - Nó típico 
 
 
Figura 3 - Nó de aço 
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109 
2 ENSAIOS DE BARRAS ISOLADAS 
 A primeira fase das pesquisas com treliças metálicas espaciais realizadas no 
Departamento de Estruturas da EESC - USP consistiu na análise teórica e 
experimental de barras de seção tubular com extremidades estampadas (amassadas), 
barras estas amplamente utilizadas nestas estruturas, uma vez que representam uma 
significativa economia global devido a simplicidade dos nós. 
 Inicialmente, vale salientar que a estampagem da extremidade destas barras 
leva a uma redução significativa da rigidez à flexão nesta região, o que implica numa 
redução da sua resistência à compressão. Nos projetos de treliças espaciais, este 
efeito não é geralmente considerado, o que pode conduzir a uma situação muito 
desfavorável e portanto contrária à segurança. 
 Assim o objetivo principal desta análise experimental foi comparar o 
desempenho estrutural de 3 detalhes de estampagem conforme pode ser visto na 
figura 4, mediante o ensaio de compressão axial de barras isoladas. 
 Portanto foram ensaiadas 27 barras de seção transversal φ 88 x 2,65 (mm) - 
tubo formado a frio com costura, em aço USI-SAC 41. O comprimento das barras foi 
determinado de maneira a reproduzir a esbeltez usual nas treliças espaciais: 
4.200mm, 3.000mm e 1.800mm, correspondendo à esbeltez de 140, 100 e 60, 
respectivamente. 
 
Figura 4 - Detalhe das extremidades das barras ensaiadas 
 
 As barras foram parafusadas nas extremidades a aparelhos de apoio de aço 
(fig.4), simulando o nó de aço usualmente empregado nestas estruturas, e os ensaios 
à compressão axial foram realizados na posição horizontal, onde numa extremidade o 
aparelho de apoio foi simplesmente apoiado na estrutura de reação (superfície plana - 
restrito parcialmente à rotação), e na outra extremidade, apoiado junto a uma 
superfície esférica (rotulada) acoplada à célula de carga. 
 Durante os ensaios foram medidas deformações específicas na seção central 
das barras, assim como deslocamentos transversais. O modo de colapso para todas 
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110 
as barras ensaiadas correspondeu à formação de rótulas plásticas na extremidade 
junto à célula de carga, em relação ao eixo de menor inércia. 
 A força última experimental foi comparada aos valores teóricos da resistência 
à compressão segundo as normas AISI/91 e EUROCODE 3, admitindo-se barras bi-
rotuladas e dois valores da resistência ao escoamento: fy = 24,5kN/cm2 (aço 
virgem) e fy = 41,2kN/cm2 (aço formado a frio, obtido em ensaios de corpo-de-prova à 
tração). As curvas de resistência à compressão e os resultados dos 27 ensaios são 
apresentados na figura 5, onde pode-se concluir que: 
• a dispersão dos resultados aumenta a medida que a esbeltez diminui, uma vez 
que as imprecisões de ensaio aliadas ao efeito de redução de inércia nas 
extremidades tornam-se mais significativos; 
• os detalhes de extremidade B e C são mais favoráveis que o detalhe A 
(estampagem reta), conduzindo a valores mais elevados da capacidade da 
barra, pois implicam numa redução de inércia mais gradual se comparada com 
a região totalmente estampada do detalhe A; 
• admitindo-se a resistência ao escoamento do aço virgem fy = 24,5kN/cm2 as 
barras de menor esbeltez (λ = 60) apresentaram, na maioria dos ensaios, força 
última experimental inferior à teórica, atingindo-se reduções da ordem de 35%. 
Ao se adotar a resistência ao escoamento do aço trabalhado a frio (fy = 
41,2kN/cm2), o que é permitido pela norma AISI, as reduções ultrapassam 
50%. 
 
0 50 100 150 200
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
EUROC/93
f
y
 = 24,5
AISI (f
y
 = 24,5)
AISI (f
y
 = 41,2)
EUROC/93 (f
y
 = 41,2)
λ 
= 
14
0
λ 
= 
10
0
λ 
= 
60
 EXTREM. TIPO A
 EXTREM. TIPO B
 EXTREM. TIPO C
 te
ns
ão
 c
rít
ic
a 
 
f c
r 
(k
N/
cm
 2
)
índice de esbeltez (λ) 
Figura 5 - Curvas de resistência à compressão e resultados experimentais 
 
Análise teórica e experimental de treliças metálicas espaciais constituídas por barras.... 
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111 
3 ANÁLISE EXPERIMENTAL 
 Os resultados experimentais foram obtidos em ensaios de quatro protótipos 
que simulavam um trecho de treliça espacial (PROT 1 a PROT 4), constituídos por 
nós típicos e/ou nós de aço. Os protótipos eram constituídos por nove módulos 
piramidais com 2,5x2,5x1,5(m), formando uma malha quadrada sobre quadrada de 
7,5x7,5x1,5(m), apoiados nos quatro vértices por colunas tubulares de aço com seção 
φ168 x 7,11(mm) e carregados nos quatro nós centrais do banzo inferior, conforme 
ilustra a figura 6. 
 
A poios
Pontos de aplicação de força
E L E V A Ç Ã O
PL A N T A
 
Figura 6 – Esquema geral dos protótipos ensaiados 
 
 
1
B
D C 
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112 
 Os protótipos, descritos na tabela 1, eram constituídos por barrasde seção 
tubular circular com as extremidades estampadas, diferenciando-se apenas nas 
dimensões transversais de suas diagonais de apoio e nos sistemas de conexões (nós) 
utilizados. O material empregado foi o aço USI-SAC 41, e as propriedades do aço 
trabalhado a frio foram obtidas mediante ensaios de tração em corpos-de-prova 
extraídos de amostras das barras, conforme a especificação norte-americana ASTM 
A370-96. 
Tabela 1 - Descrição dos protótipos ensaiados 
Protótipo Detalhe dos 
nós 
Banzos Diagonais Diagonais de 
apoio 
Falha 
prevista 
PROT 1(1) nós típicos φ76x2,0(mm) φ60x2,0(mm) φ88x2,65(mm) banzo 
superior 
PROT 2(2) nós típicos φ76x2,0(mm) φ60x2,0(mm) φ76x2,0(mm) diag. de 
apoio 
PROT 3 nós de aço φ76x2,0(mm) φ60x2,0(mm) φ88x2,65(mm) banzo 
superior 
PROT 4 sistema 
misto(3) 
φ76x2,0(mm) φ60x2,0(mm) φ88x2,65(mm) banzo 
superior 
1 Montados sem controle de torque nos parafusos 
2 Montados com controle de torque nos parafusos 
3 Emprego de nós típicos e de aço no mesmo protótipo. 
 
 
 A execução dos protótipos ficou a cargo da empresa ALUSUD - Eng. e Ind. de 
Construções Espaciais Ltda., empresa com larga experiência na fabricação e 
montagem de treliças espaciais. 
 Os ensaios foram realizados no Laboratório de Estruturas da EESC-USP, e a 
montagem foi feita mediante a técnica de ‘lift slab’, ou seja, montou-se o protótipo no 
piso, com posterior içamento. Na figura 7 é apresentada uma vista geral de um 
protótipo montado. Após o posicionamento, foi efetuado o aperto final nos parafusos, 
com aplicação de torque controlado por torquímetro de estalo, aplicando-se 70% da 
força de protensão mínima recomendada pela NBR 8800/86. 
 
 
Figura 7 - Vista geral de um protótipo montado 
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113 
 Sob os protótipos foram montadas quatro estruturas de reação para aplicação 
do carregamento, fixadas na laje de reação. O carregamento foi aplicado por quatro 
atuadores hidráulicos do tipo haste vazada com acionamento simultâneo, de modo a 
garantir a uniformidade da força nos quatros nós centrais do banzo inferior da 
estrutura, no sentido de cima para baixo, sendo a intensidade da força medida por 
células de carga acopladas na face inferior dos atuadores (fig. 8). 
 Os deslocamentos horizontais e verticais dos apoios, bem como os verticais 
do nó central (flechas) e dos nós periféricos junto aos apoios (banzo superior) foram 
medidos por transdutores de deslocamento. 
 Para a medição das deformações específicas nas barras, devido a dupla 
simetria dos protótipos, foi implementada uma instrumentação mais detalhada na 
região do vértice A, sendo que para os outros vértices foi instalada apenas uma 
instrumentação de controle. 
 As deformações foram medidas por extensômetros elétricos posicionados na 
seção transversal central das barras, com objetivo de avaliar a compressão e a 
evolução da flexão na seção central destas, e também nas extremidade de diversas 
barras, para avaliar as deformações junto ao nó (concentração de tensões). 
 
 
Figura 8 – Vista geral e detalhe da estrutura para aplicação de força 
Carlos Henrique Maiola & Maximiliano Malite 
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114 
4 ANÁLISE TEÓRICA 
 As estruturas em geral são projetadas sem a consideração do 
comportamento não linear (físico e geométrico), ou seja, admite-se que a relação 
tensão x deformação se mantenha no regime elástico linear e a posição deformada da 
estrutura se confunda com a posição original. Para as treliças espaciais isto não é 
diferente, e percebe-se que na prática o modelo teórico utilizado para estas estruturas 
é o de treliça ideal, não se levando em consideração as características da conexão e 
a variação de inércia das barras junto aos nós. Entretanto, vários pesquisadores 
chamam a atenção para a necessidade de se analisar tais estruturas considerando 
seu comportamento não linear, principalmente a não linearidade geométrica. 
 Neste trabalho, o modelo teórico tomado como referência foi o usualmente 
empregado na prática de projetos, ou seja, o modelo de treliça ideal, correspondendo 
a uma análise linear admitindo-se todas as barras com seção constante e os nós 
perfeitamente articulados. Foi realizada também uma análise teórica não linear 
levando em consideração as não linearidades física e geométrica, simulando a 
influência da região nodal, empregando-se o software ANSYS (versão 5.4) 
 Para a não linearidade física o modelo constitutivo adotado foi o bilinear, tanto 
para tração (hipótese satisfatória), quanto para compressão (hipótese pobre). Na 
modelação dos protótipos para hipótese de análise não linear foi considerada as 
variações de inércia das extremidades das barras junto aos nós; para tanto, tomou-se 
partido das características do elemento de viga utilizado (BEAM 24), o qual permite a 
discretização da seção transversal do elemento em segmentos retos (fig. 9a), 
modelando deste modo as barras com suas dimensões reais, avaliadas em mesa 
tridimensional de alinhamento. 
 Deste modo todas as barras foram modeladas apenas com elementos de 
barra (BEAM 24), considerando-se um trecho central de inércia constante e trechos 
extremos com inércia variável (extremidades estampadas), como pode ser visto na 
figura 9a. 
 A análise não-linear pretendida procurou representar de maneira simples e 
viável de ser empregada na prática de projetos o detalhe das extremidades das barras 
e suas conexões, desta forma, foram desenvolvidas as seguintes modelações: 
 
• para os nós típicos foram admitidas duas hipóteses: na primeira, as 
extremidades das barras foram simplesmente unidas no nó (fig. 9b); e na 
segunda, a região do nó foi composta por elementos de casca com inércia 
equivalente à soma das inércias das extremidades das barras que concorrem 
no referido nó (fig. 10); 
 
• os nós de aço foram modelados com elementos de casca (fig. 11), com a 
espessura das chapas na região da união barra-chapa avaliadas de maneira a 
reproduzir a inércia correspondente à soma das inércias dos elementos 
componentes, ou seja, chapa de nó mais extremidade estampada da barra. 
 
 
 
 
Análise teórica e experimental de treliças metálicas espaciais constituídas por barras.... 
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115 
 
 
a) Modelação das barras b) Extremidades unidas no nó 
Figura 9 - Detalhe da barra e do nó típico modelados com elemento de barra 
 
 
Figura 10 - Modelação do nó típico com elemento de casca 
 
 
Figura 11 - Modelação do nó de aço com elemento de casca 
 
Carlos Henrique Maiola & Maximiliano Malite 
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116 
5 RESULTADOS 
 A força última teórica dos protótipos foi estimada pela resistência das barras 
comprimidas, admitindo-se uma análise linear sem a consideração da variação de 
inércia das extremidades das barras. Na tabela 3 são apresentadas a máxima força 
aplicada para os quatro protótipos ensaiados bem como as estimadas teoricamente. 
 A resistência à compressão destas barras foi determinada com base nas 
normas NBR - 8800 (1986) “curva a”, AISI-LRFD (1991) e EUROCODE (1992) “curva 
c”. O EUROCODE recomenda a curva c, quando da utilização nos cálculos do valor 
da resistência ao escoamento da aço trabalhado a frio. 
 Para vinculação das barras, foram supostos apoios simples em ambas as 
extremidades (K=1,0). 
 Na determinação da resistência à compressão foram adotados os valores de 
resistência ao escoamento do aço obtidos nos ensaios de tração (tab. 2). Para o 
módulo de elasticidade longitudinal adotou-se E=20500 kN/cm2. 
 
Tabela 2 - Propriedades geométricas, esbeltez e resistência ao escoamento das barras 
analisadas 
Barra Ag r L λ fy (kN/cm2) 
(mm) (cm2) (cm) (cm) PROT 1/2 PROT 3/4 
φ60 x 2,0 3,6 2,06 231,8 112,5 42,1 39,9 
φ76x 2,0 4,7 2,62 250,0 95,4 37,4 39,4 
φ76 x 2,0 4,7 2,62 231,8 88,5 37,4 39,4 
φ88 x 2,65 7,1 3,02 231,8 76,8 35,9 37,5 
 
 
Tabela 3 - Forças últimas teóricas e experimentais 
 Forças totais últimas 
 (2) 
EUROCODE 
(1992) 
“curva c” 
(3) 
AISI/LRFD 
(1991) 
(4) 
NBR 8800 
(1986) 
“curva a” 
(5) 
Resultado
s 
dos 
ensaios 
(6) (7) (8) 
Protótipo Fu (kN) 
teórico 
Fu (kN) 
teórico 
Fu (kN) 
teórico 
Fu (kN) 
experim. 
(5)/(2) (5)/(3) (5)/(4)
PROT 1 210,2 310,8 259,7 161,3 0,77 0,52 0,62 
PROT 2 197,0 289,5 245,9 160,2 0,81 0,55 0,65 
PROT 3 210,2 310,8 259,7 259,9 1,24 0,84 1,0 
PROT4 210,2 310,8 259,7 179,0 0,85 0,58 0,69 
Obs.: Forças totais últimas teóricas (Fu teórico) foram calculadas admitindo-se barras sem 
variação de inércia. 
 
 Quanto a capacidade, pode-se observar na tabela 3 que os protótipos 
constituídos por nós típicos (PROT 1 e PROT 2) apresentaram capacidade da ordem 
de 65% em relação à prevista teoricamente, enquanto o protótipo constituído por 
nós de aço (PROT 3) apresentou capacidade próxima a avaliada teoricamente, 
tendo como base a NBR 8800/86. 
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117 
 Quanto aos resultados da análise teórica não linear dos protótipos observou-
se que estes foram próximos dos obtidos pela análise linear, como pode ser visto nos 
gráficos da figura 12. Nestes gráficos destaca-se também a significativa diferença 
apresentada nos deslocamentos verticais avaliados teoricamente com os acorridos 
experimentalmente. 
 a) PROT 1 b) PROT 2 
 c) PROT 3 d) PROT 4 
Figura 12 - Deslocamentos verticais (flechas) para os quatro protótipos ensaiados 
Obs.: para as figuras 12a e 12b a legenda ‘teórico H1’ e ‘teórico H2’ referem-se à análise não 
linear com a sobreposição das extremidades das barras e a composição desta região por um 
elemento de casca, respectivamente. 
 
 Destaca-se que pelo fato da análise teórica não linear desenvolvida ter 
procurado representar de maneira simples e viável de ser empregada na prática de 
projetos o detalhe das extremidades das barras e suas conexões, efeitos importantes 
como deslizamento das barras junto aos nós (perda de atrito) e a própria abertura do 
nó (perda de contato), que são fatores de difícil simulação teórica não foram 
considerados nesta análise. Outro fator colaborante para a proximidade dos 
resultados da análise teórica linear e não linear foi o de terem sido analisados 
pequenos protótipos, com elevada relação altura/vão (1:5), portanto tratando-se de 
casos com grande influência da força cortante não levando a efeitos significativos da 
não linearidade geométrica, entretanto, para casos freqüentes das treliças espaciais, 
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
0 10 20 30 40 50 60 70 80
 experimental
 teórico H1*
 teórico H2*
 teórico linear
δ(mm)
Fo
rç
a 
to
ta
l (
kN
)
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
0 10 20 30 40 50 60 70 80
 experimental
 teórico H1
 teórico H2
 teórico linear
δ (mm)
Fo
rç
a 
to
ta
l (
kN
)
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
0 10 20 30 40 50 60 70 80
 experimental
 teórico não linear
 teórico linear
δ (mm)
Fo
rç
a 
to
ta
l (
kN
)
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
0 10 20 30 40 50 60 70 80
 experimental
 teórico não-linear
 teórico linear
δ (mm)
Fo
rç
a 
to
ta
l (
kN
)
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118 
onde os vãos são relativamente elevados diante da altura, os efeitos desta não 
linearidade podem ser significativos e devem ser analisados. 
 Da análise experimental dos quatro protótipos de treliça espacial observou-se 
dois modos de ruína: 
 
• o primeiro associado à falha do nó típico (PROT 1 e PROT 2), 
caracterizada pela rotação excessiva, abertura do nó e flexão da 
extremidade da barra, ocasionando a plastificação das barras na região 
da estampagem (fig.13); 
• o segundo correspondente à flambagem de barras do banzo superior 
(comprimido), conforme ilustrado na figura 14, referente ao protótipo 
com nós de aço (PROT 3) e sistema misto (PROT 4). 
 
 
 
 
 
 PROT 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROT 2 
 
 
 
 
 
Figura 13 - Rotação do nó típico (PROT 1 e PROT 2) 
 
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PROT 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 PROT 4 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 14 - Flambagem das barras do banzo comprimido (PROT 3 e PROT 4) 
 
 Da simples observação dos modos de falha, pode-se concluir que a baixa 
eficiência estrutural do nó típico não permitiu que as barras comprimidas mais 
solicitadas atingissem sua capacidade, enquanto o nó de aço conduziu à flambagem 
das barras comprimidas, evidenciando maior eficiência estrutural. 
 Esta eficiência pode ser visualizada nos gráficos das figuras 15 e 16 
referentes aos deslocamentos verticais do nó central, sendo que o primeiro compara o 
PROT 1 com PROT 2 os quais apresentam o mesmo sistema de conexão (nós 
típicos) mas se diferenciam pela dimensão das diagonais de apoio e o segundo 
apresenta a comparação para os protótipos PROT 1, PROT 3 e PROT 4 com as 
mesmas dimensões das seções transversais de suas barras, diferenciando-se apenas 
pelo sistema de conexão; nós típicos, nós de aço e configuração mista, 
respectivamente. 
 No gráfico da figura 15 observa-se que os protótipos com nós típicos 
apresentaram uma significativa acomodação durante o ensaio, que associada à 
rotação excessiva dos nós, induziu a deslocamentos muito superiores aos previstos 
teoricamente já nas primeiras etapas de carregamento. A maior rigidez do PROT 2 em 
relação ao PROT 1, demonstrada neste gráfico, deve-se ao controle de torque 
aplicado aos parafusos no PROT 2. 
 No gráfico da figura 16 observa-se que o protótipo com nós de aço (PROT 3) 
apresentou deslocamentos, em serviço, próximos aos previsto teoricamente. A tabela 
4 resume os valores teóricos e experimentais de deslocamento de serviço dos quatro 
protótipos. O PROT 4 (sistema misto de conexão) apresentou valores intermediários 
de deslocamentos (fig 16). 
Carlos Henrique Maiola & Maximiliano Malite 
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120 
 
0
30
60
90
120
150
180
0 20 40 60 80 100
 PROT 1
 PROT 2
 teórico linear (PROT 1)
 teórico linear (PROT 2)
δ (mm)
Fo
rç
a 
to
ta
l (
kN
)
 
Figura 15 - Deslocamento vertical do nó central (PROT 1 x PROT 2) 
 
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
0 20 40 60 80 100
 PROT 1
 PROT 3
 PROT 4
 teórico linear
δ (mm)
Fo
rç
a 
to
ta
l (
kN
)
 
Figura 16 - Deslocamento vertical do nó central(PROT 1, PROT 3 e PROT 4) 
 
Tabela 4- Deslocamentos verticais (flechas) de serviço dos protótipos 
 Força total (kN) Deslocamento vertical do nó central (mm) 
Protótipo Estimativa do 
valor de serviço1
Teórico Experimental Relação 
Exp./Teórico 
PROT 1 105 6,8 24,0 3,5 
PROT 2 98,5 6,9 24,4 3,5 
PROT 3 105 6,8 7,9 1,2 
PROT 4 105 6,8 11,1 1,6 
1 Carregamento de serviço na estrutura assumido como aquele correspondente à metade da 
capacidade nominal da barra mais solicitada. 
 
 A medição de deformações específicas nas barras comprimidas mais 
solicitadas indicou a significativa concentração de tensões nas extremidades destas, 
Análise teórica e experimental de treliças metálicas espaciais constituídas por barras.... 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 105-125, 2002 
121 
fato este proveniente principalmente das estampagens. A figura 17 apresenta os 
valores experimentais médios de deformação de uma barra do banzo superior do 
protótipo PROT 4, onde perceber-se que, enquanto no centro da barra o 
comportamento foi próximo ao linear, na extremidade ocorreram elevadas 
deformações(e portanto tensões) e comportamento não-linear. A figura 18 apresenta 
as deformações da seção transversal na extremidade da diagonal de apoio deste 
mesmo protótipo (barra comprimida), avaliadas por quatro extensômetros 
posicionados simetricamente, onde pode-se observar a ocorrência de tensões de 
tração nas laterais da região estampada (extensômetros 35 e 36), o que evidencia o 
acentuado efeito das concentrações de tensões nesta região. 
 Na simulação numérica mais detalhada realizada por VENDRAME (1999) são 
apresentadas curvas de isotensões para a diagonal de apoio e o banzo superior 
componentes de um nó típico, onde pode-se observar para uma barra totalmente 
comprimida o aparecimento de uma região com tensões de tração na extremidade 
das barras, tal como observado nos ensaios. 
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
-3500 -3000 -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0
 meio da barra
 extremidade da barra
 teórico linear
ε (µε)
Fo
rç
a 
to
ta
l (
kN
)
 
Figura 17 - Deformações médias do banzo superior do PROT 4 
 
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
-1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200
 s.g. 33
 s.g. 34
 s.g. 35
 s.g. 36
 teórico linear
ε (µε)
Fo
rç
a 
to
ta
l (
kN
)
 
Figura 18 - Deformações da extremidade da diagonal de apoio do PROT 4 
 
 
Carlos Henrique Maiola & Maximiliano Malite 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 105-125, 2002 
122 
6 CONCLUSÕES 
 As treliças metálicas espaciais têm sido cada vez mais empregadas nas 
coberturas de grandes áreas, apresentando características que fazem desta opção 
uma solução viável economicamente e esteticamente satisfatória. São leves, 
geometricamente harmônicas, apresentam grande uniformidade de barras e nós, e 
necessitam de um número reduzido de apoios nas duas direções (comportamento 
global de placa). 
 Construtivamente existem no mercado vários sistemas, em aço e alumínio. 
Em geral empregam-se barras de seção tubular circular, conectadas entre si a 
dispositivos denominados "nós". Do ponto de vista econômico, os nós representam 
uma parcela significativa do custo destas estruturas, podendo inviabilizar o emprego 
de um determinado sistema. Várias empresas e pesquisadores de vários países vêm 
procurando desenvolver novos sistemas que sejam bem sucedidos em relação a 
custo e eficiência estrutural. 
 No Brasil são adotados sistemas simples, abordados neste trabalho, onde 
empregam-se barras de seção tubular circular com extremidades estampadas e 
conectadas entre si por um único parafuso (denominado usualmente por "nó típico"), 
ou conectadas a dispositivos constituídos por aletas de aço soldadas, onde cada aleta 
conecta uma barra (denominado "nó de aço"). O primeiro sistema apresenta 
excentricidades significativas, enquanto o segundo, teoricamente, não apresenta 
excentricidades. 
 Na prática de projetos, tem-se observado que o modelo teórico empregado é 
o de treliça ideal, ou seja, barras sem variação de inércia e nós perfeitamente 
articulados sem excentricidades, procedendo-se à análise linear. Em seguida, o 
dimensionamento é feito admitindo-se também as barras sem variação de inércia e 
perfeitamente articuladas nas extremidades. Entretanto, vários pesquisadores 
chamam a atenção para a necessidade de se analisar tais estruturas considerando 
seu comportamento não linear, principalmente a não linearidade geométrica. 
 Ensaios em barras isoladas, realizados no Laboratório de Estruturas da 
EESC-USP, mostraram que a variação de inércia nas extremidades pode conduzir à 
uma redução significativa da resistência à compressão da barra, tomando como 
referência o cálculo admitindo-se barras com inércia constante. Tal efeito é mais 
pronunciado nas barras com pequena esbeltez, o que na prática é usual nas 
diagonais de apoio e nas barras mais solicitadas do banzo comprimido, portanto, 
recomenda-se nesses casos não desprezar os efeitos da variação da inércia. 
 Além da variação de inércia, outros fatores podem influenciar de maneira 
significativa a resistência das treliças espaciais, como por exemplo: imperfeições 
geométricas iniciais, excentricidades nos nós, flexibilidade dos sistemas de conexão, 
e para o caso dos nós típicos, o deslizamento das barras proveniente da perda do 
atrito nas conexões. 
 A análise teórica não linear desenvolvida neste trabalho procurou representar 
de maneira simples e viável de ser empregada na prática de projetos, o detalhe das 
extremidades das barras e suas conexões. Como foram analisados pequenos 
protótipos, os resultados desta análise não foram significativamente diferentes dos 
obtidos pela análise linear, tendo em vista que as deformações e os deslocamentos 
teóricos foram relativamente pequenos. Entretanto, é extremamente difícil considerar 
numa análise teórica fatores relevantes como os deslizamentos e a abertura dos nós 
Análise teórica e experimental de treliças metálicas espaciais constituídas por barras.... 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 105-125, 2002 
123 
típicos e as imperfeições geométricas iniciais, que alteram de maneira significativa a 
resposta estrutural. Análises preliminares desenvolvidas para estruturas maiores 
refletem a necessidade de uma análise não linear para melhor avaliar a resposta 
estrutural. 
 A análise experimental foi realizada em quatro protótipos com elevada relação 
altura/vão (1:5), cujo objetivo principal foi comparar o desempenho estrutural de dois 
sistemas usualmente empregados no Brasil: nó típico e nó de aço. 
 Os protótipos constituídos por nós típicos (PROT 1 e PROT 2) apresentaram a 
falha do nó como estado limite último, caracterizada pela rotação excessiva e flexão 
da extremidade da barra, conduzindo à rigidez e capacidade muito inferiores às 
previstas pela análise teórica linear de treliça ideal e também pela análise não-linear. 
Durante os ensaios, foi notória a significativa acomodação da estrutura, comprovando 
a limitação estrutural do nó típico. 
 O protótipo constituído por nós de aço (PROT 3) apresentou como estado 
limite último a flambagem de barras do banzo superior (comprimido), ou seja, o nó 
permitiu que a resistência à compressão da barra fosse atingida, o que refletiu num 
carregamento último próximo ao previsto teoricamente. Quanto à rigidez, os valores 
de deslocamento vertical (flecha) em serviço foram próximos aos calculados 
teoricamente, o que significa concluir que a análise teórica linear de treliça ideal foi 
satisfatória neste caso. 
 O protótipo com sistema misto (nós de aço associados a nós típicos em 
regiões de pequenos esforços - PROT 4) apresentou também como estado limite 
último a flambagem de barras do banzo superior, entretanto tal fenômeno foi induzido 
e precipitado pelas rotações e aberturas dos nós típicos, refletindo um carregamento 
último da estrutura próximo ao atingido pelos protótipos constituídos exclusivamente 
por nós típicos. 
 O nó típico, com custo de fabricação e montagem relativamente baixo, 
constitui-se num detalhe limitado do ponto de vista estrutural, não explorando a 
capacidade das barras e induzindo à uma baixa rigidez da estrutura, tomando-se 
como parâmetro de comparação a treliça ideal. A falha deste nó é caracterizada por 
rotação excessiva, abertura e a conseqüente plastificação da extremidade de barras. 
Desta forma, tais estruturas devem ser empregadas com restrições. Quanto aos nós 
de aço, o ensaio comprovou sua eficiência estrutural, conduzindo à uma maior rigidez 
e capacidade da estrutura, estas compatíveis com as obtidas pela análise linear. 
 Conforme esperado, o protótipo PROT 4 constituído pelo sistema misto 
apresentou valores de rigidez e resistência intermediários aos outros dois sistemas 
analisados, podendo representar uma solução interessante em alguns casos, embora 
necessite de mais estudos tendo em vista a limitação estrutural observada pelo nó 
típico. 
 
 
7 BIBLIOGRAFIA 
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Carlos Henrique Maiola & Maximiliano Malite 
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Agradecimentos 
 
À FAPESP - Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo. 
 
À ALUSUD - Engenharia e Indústria de Construção Espacial Ltda. 
 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 127-148, 2002 
ANÁLISE DA ESTRUTURA DE CABOS DA COBERTURA 
DO PAVILHÃO DA FEIRA INTERNACIONAL DE 
INDÚSTRIA E COMÉRCIO - RIO DE JANEIRO 
Elizabeth Oshima de Aguiar1 & Roberto Luiz de Arruda Barbato2 
 
R e s u m o 
A cobertura do pavilhão da Feira Internacional de Indústria e Comércio, localizado na 
cidade do Rio de Janeiro, no bairro de São Cristóvão, foi considerada a maior 
cobertura pênsil do mundo, sem apoios intermediários, até ser recentemente 
desativada. Neste trabalho pretende-se resgatar a importância da obra pioneira no 
Brasil, ressaltando a sua concepção arquitetônica e o seu projeto estrutural. Através de 
ensaios realizados no laboratório de Estruturas da EESC-USP foram obtidos dados 
sobre as características mecânicas do material empregado na estrutura de cabos. Um 
estudo numérico do comportamento da estrutura da cobertura foi executada, 
utilizando-se o programa de elementos finitos MEF-cabos. Este programa foi 
implementado em AGUIAR [1999] para a análise não linear física e geométrica de 
estruturas de cabos tridimensionais. 
 
Palavras-chave: Cobertura pênsil, estruturas de cabos; análise não linear; grandes 
deslocamentos. 
 
 
1 DESCRIÇÃO DA OBRA 
 O pavilhão, destinado a exposições, compreendia 32.000 metros quadrados 
de área livre aproximadamente, e localizava-se no campo de São Cristóvão, na 
cidade do Rio de Janeiro. A obra, inaugurada em dezembro de 1960, foi projetada 
pelo arquiteto Sérgio W. Bernardes e calculada pelo Prof. Eng. Paulo R. Fragoso. 
 Na época o pavilhão ostentava a maior cobertura pênsil do mundo, com os 
apoios dispostos unicamente no seu perímetro. A cobertura de forma elíptica em 
planta apresentava dois eixos de simetria (o eixo menor com 165 metros e o maior 
com 250 metros) que dividia o edifício em quatro setores, como mostra a figura 1.1. A 
mesma figura apresenta, respectivamente, um corte no meio do pavilhão e uma vista 
lateral do mesmo. 
 A concepção arquitetônica da cobertura do pavilhão, considerada pioneira no 
país, consistia de uma imensa superfície em forma de sela. A vedação composta de 
placas de ligas de alumínio era suspensa por uma cesta de cabos de aço, que por sua 
vez era ancorada na estruturaperiférica em arco de concreto. As águas pluviais eram 
recolhidas em dois lagos localizados nas extremidades do eixo maior do pavilhão. 
 
1 Profa. Doutora da PUC-Minas, campus de Poços de Caldas, elizabeth@pucpcaldas.br 
2 Prof. Associado do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, barbato@sc.usp.br 
Elizabeth Oshima de Aguiar & Roberto Luiz de Arruda Barbato 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 127-148, 2002 
128
BA
B
A
PLANTA
105 CABOS PORTANTES
14
8 
C
AB
O
S 
TE
N
SO
R
ES
16
5,
00
 m
250,00 m
210,00 m
 
1/2 CORTE AA
CABOS TENSORES
CABOS PORTANTES
ESPIAS 0 3/8"
VIGA CAIXÃO
= 22~
3,
80
 m
11
,1
0 
m
14
,9
0 
m
29
,2
0 
m
 
 
Figura 1.1 - Planta, corte e vista lateral do Pavilhão de São Cristóvão 
 
Análise da estrutura de cabos da cobertura do pavilhão da Feira Internacional de ... 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 127-148, 2002 
129
2 ASPECTOS ESTRUTURAIS 
 A super-estrutura de concreto compunha-se basicamente de dois grandes 
arcos parabólicos inclinados, apoiados em 52 pilares (distanciados de eixo a eixo de 
8,33 m a 8,50 m), que eram contraventados entre si por lajes de 12 cm de espessura 
a cada 4,00 m de altura, em média. Externamente, nas junções dos arcos, foram 
construídos dois encontros estruturais de concreto, preenchidos parcialmente com 
pedra britada e areia, com a função de resistir aos empuxos ocasionados pela 
cobertura. A altura dos arcos variava de 19,20 metros na parte central, e diminuía 
para 14,43 metros. Nesta altura, situavam-se duas articulações tipo “Freyssinet” e os 
respectivos encontros. Os pilares tinham altura e seções transversais variáveis, 
acompanhando a altura e largura dos arcos, que eram mais largos na sua parte 
central. Cada vão entre pilares (com exceção dos vãos centrais e extremidades dos 
arcos) era preenchido com paredes vazadas de alvenaria, tendo pilaretes de concreto 
para amarração (figura 2.1). 
 
Figura 2.1 - (a) Vista externa, (b) vista interna, (c) entrada do Pavilhão de São Cristóvão 
 A infra-estrutura de concreto compunha-se de blocos de fundação sob os 
pilares e sob um dos encontros, que se apoiavam sobre um conjunto de estacas 
“Franki”. O outro encontro possuía fundação direta em função de características 
locais. 
 A estrutura de cabos, com dupla curvatura reversa, era composta de um 
conjunto de 105 cabos portantes (transversais) espaçados de 2,0 m, que eram 
suspensos dos arcos de concreto, e 148 cabos tensores (longitudinais) espaçados de 
Elizabeth Oshima de Aguiar & Roberto Luiz de Arruda Barbato 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 127-148, 2002 
130
1,0 m, que se ancoravam nos encontros de concreto. Existiam ainda os cabos espias 
verticais junto aos lagos (ancorados no solo) e os tirantes diagonais na região de 
pequena curvatura mais ao centro (ancorados nos pilares), que colaboravam no 
combate às oscilações da estrutura de cabos devido à ação do vento. 
 
 
3 PROBLEMAS DE EXECUÇÃO 
 O projeto original previa a colocação de chapas de plástico poliéster 
(reforçadas com lã de vidro), que deveriam ser refrigeradas pela água recalcada dos 
lagos. Mas alguns problemas técnicos ocorreram durante a fase de colocação da 
vedação, inutilizando as chapas plásticas, o que resultou na troca pelas placas de 
alumínio. 
 Segundo FRAGOSO [1963] os problemas com as chapas de poliéster, 
empregadas com sucesso em outras obras no exterior, ocorreram devido a diversos 
fatores, entre eles a falta de estudos sobre as juntas utilizadas. As juntas rígidas 
primeiramente escolhidas rachavam com facilidade, e a substituição por juntas 
elásticas superpostas também não funcionou convenientemente. Além disso, a resina 
usada na cola das juntas atingiu os cabos, soldando-os de modo que qualquer 
movimento do cabo era transmitido às chapas, que devido a sua rigidez se rompiam. 
Outro problema foi o tipo de fixação escolhida, bastante inadequado, ocasionando 
concentração de tensões junto aos furos de fixação. E finalmente a qualidade do 
material das chapas adquiridas, que se modificava completamente sob a ação do sol, 
mudava de cor e endurecia, e que não resistia ao efeito abrasivo das águas da chuva, 
contribuiu para o fracasso de sua utilização. 
 Um outro fator, que ocasionou um grande atraso no andamento da obra foi o 
processo de esticamento dos cabos, que apresentou dificuldades não previstas e 
durou cerca de 10 meses. Após a colocação preliminar dos cabos, constatou-se que 
estes não apresentavam a força de tração projetada (tanto que sob a ação de sucção 
do vento chegou a danificar a vedação plástica), e que os esticadores não tinham um 
comprimento suficiente para permitir os ajustes necessários. Tornou-se necessário 
um acompanhamento da operação de re-estiramento dos cabos tensores, nos quais 
deveriam ser criadas as tensões pré-fixadas de tração. Estes cabos, por outro lado, já 
haviam sofrido um tracionamento prévio, por ocasião da montagem. 
 
 
Figura 3.1 - Detalhe dos esticadores e “protensômetro” 
Análise da estrutura de cabos da cobertura do pavilhão da Feira Internacional de ... 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 127-148, 2002 
131
 O Laboratório de Estruturas da EESC foi contratado para realizar todas as 
medidas de tensões, desde a fase de protensão até a fase das solicitações 
permanentes. Utilizando um dispositivo especial (denominado “protensômetro”, figura 
3.1), desenvolvido pelo próprio Laboratório de Estruturas da EESC, foi possível a 
verificação imediata das forças atuantes nos cabos, sem a necessidade de 
afrouxamento dos cabos, e os devidos ajustes foram realizados. As informações do 
levantamento das tensões realizadas entre 30 de janeiro e 4 de fevereiro de 1960 e os 
dados da operação de verificação efetuados entre 26 e 30 de abril de 1960 constam 
em publicação da época, de autoria do Prof. MARTINELLI [1961]. Observou-se que, 
de maneira geral, os cabos tensores não sofreram considerável perda de tensão, e ao 
contrário do que se esperava, alguns cabos apresentaram pequeno acréscimo no 
valor medido. MARTINELLI [1961] atribui o fato, especialmente na faixa central, às 
diferentes condições de temperatura durante a realização das medições (diferenças 
da ordem de 10°C). 
 Os deslocamentos sofridos pela estrutura sob mudanças de temperatura e 
ação de vento foram observados, e medidos através de aparelhos chamados 
“oscilômetro”, que marcavam as amplitudes máximas e mínimas das oscilações da 
cobertura. Estes registros compreendidos entre 5 de novembro de 1959 e 26 de abril 
de 1960 encontram-se em gráfico em MARTINELLI [1961]. 
 Na época da construção não se fabricava no Brasil cabos de aço com alma de 
aço, e as dificuldades de importação levaram à adoção de cabos com alma de fibra. 
No caso foram utilizados cabos com alma de cânhamo, que é um material muito mais 
deformável que o aço e que pode se deteriorar com o tempo. Outro fator desfavorável, 
para os cabos com alma de fibra, em geral, é a falta de pré-estiramento durante o 
processo de fabricação, providência que reduz apreciavelmente as perdas de tensão 
posteriores nos cabos com alma de aço. O tipo de cabo especificado não é indicado 
para obras estruturais permanentes, necessitando inspeção e ajustes periódicos. 
 MARTINELLI [1961] comenta que os resultados obtidos de deslocamentos da 
estrutura eram bastante satisfatórios na ocasião da execução da obra, com variações 
de apenas 2 a 3 cm sob a ação de vento. Nas verificações posteriores, realizadas 
anos depois, devido ao afrouxamento dos cabos e ruína de algumas espias, os 
deslocamentos tornaram-se significativos, provocando danos à vedação. Foram 
realizados três trabalhos de verificação de tensões e deslocamentos pelo Laboratório 
de Estruturas da EESC, cujo relatório final alertava para a necessidade de execução 
de um re-esticamento dos cabos e recuperação das espias.Os dados obtidos por 
ocasião desses levantamentos (janeiro de 1963, outubro de 1973 e junho de 1980) 
encontram-se anexos ao referido relatório em TAKEYA et alii [1981]. 
 A obra, que foi iniciada no final de 1957, nunca chegou a ser totalmente 
concluída como previa os detalhes construtivos descritos no projeto original (por 
exemplo, a impermeabilização da super-estrutura de concreto foi executada apenas 
parcialmente) segundo informações contidas em laudo pericial em 1974. O pavilhão 
sofreu ao longo do tempo diversas alterações para se adequar a diferentes usos. 
Além disso, nenhum trabalho de manutenção adequado foi efetuado, contribuindo 
para a deterioração precoce da obra. 
 
 
Elizabeth Oshima de Aguiar & Roberto Luiz de Arruda Barbato 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 127-148, 2002 
132
4 OS CABOS DE AÇO DA COBERTURA 
 
 
Figura 4.1 - Cabo de 1” de diâmetro (6x19 – filler), alma de fibra natural, empregado nos cabos 
tensores principais 
 
 A estrutura da cobertura era formada por uma rede de cabos de aço polido, 
categoria 6x19, com diâmetros variáveis (1”, 7/8”, ¾”, 5/8”,1/2” e 3/8”), e distribuídos 
dependendo da região ser mais ou menos solicitada. A distribuição dos cabos é 
mostrada na figura 4.2. 
 A composição dos cabos tensores principais era do tipo filler, com diâmetro de 
1”, sendo as pernas compostas de arames de diâmetros aproximadamente iguais, 
como mostra a figura 4.1. 
 
Figura 4.2 - Distribuição dos cabos, de acordo com o diâmetro 
 
4.1 Propriedades mecânicas do cabo 
 Uma amostra de cabo de 1”, do lote fornecido para o pavilhão de São 
Cristóvão, foi durante muitos anos usada para calibrar o “protensômetro” (figura 1.3) 
nas diversas ocasiões em que se mediu in loco a força nos cabos. Recentemente, 
Análise da estrutura de cabos da cobertura do pavilhão da Feira Internacional de ... 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 127-148, 2002 
133
esta amostra foi ensaiada pelo Laboratório de Estruturas da EESC com a finalidade 
de se obter algumas informações a respeito de suas propriedades mecânicas. 
 
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007
(mm/mm)
(k
N
/m
m
2 )
 
Figura 4.3 - Curva de tensão-deformação do cabo de 1” 
 
 Os ensaios do cabo foram realizados no equipamento INSTRON do 
Laboratório de Estruturas da EESC-USP (figura 4.4a), sendo o alongamento 
monitorado através de um extensômetro de comprimento inicial de 50 mm (figura 
4.4b). 
 Num primeiro ensaio, o cabo de 1,25 m foi submetido a 6 ciclos de carga e 
descarga. Cada ciclo consistiu da aplicação de uma força axial de 150 kN, seguida da 
retirada da mesma, com um controle da velocidade de deslocamento igual a 0,01 
mm/s. Antes do ensaio uma pré-carga de 5 kN foi aplicada para a retificação do cabo 
e acomodação das pernas do cabo. 
 As curvas obtidas, com a região inicial linear, indicam que praticamente todo o 
alongamento construtivo já havia sido removido, como mostra a figura (4.3). O módulo 
de elasticidade obtido foi de aproximadamente 90 kN/mm2, valor que se encontra 
dentro do intervalo esperado para cabos com alma de fibra (85 a 95 kN/mm2). 
 A carga de ruptura mínima nominal especificada para este cabo de 1” era de 
405 kN (40,5 tf). A mesma amostra foi submetida a um ensaio de tração até uma 
carga de aproximadamente 80% da carga de ruptura nominal. Neste ponto ocorreu 
uma variação nas medidas do extensômetro, e acreditou-se ter ocorrido um 
deslizamento dos cabos nos soquetes. 
 
Elizabeth Oshima de Aguiar & Roberto Luiz de Arruda Barbato 
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134
 (a) (b) (c) 
 
Figura 4.4 - (a) Montagem do ensaio, (b) extensômetro de garra, 
(c) detalhe do soquete do cabo 
 
 O gráfico da figura 4.5 apresenta a variação de deslocamento, medido entre 
os soquetes, com o aumento da força de tração aplicada no cabo. A região final desta 
curva mostra uma mudança de inclinação, indicando uma diminuição do módulo de 
deformação do cabo. 
 Um terceiro ensaio com o mesmo cabo de aço de 1” foi realizado, com o 
objetivo de medir a resistência efetiva de tração. Um tratamento com fluido lubrificante 
micro-texturizado foi executado para a remoção de possíveis pontos de ferrugem 
interna. 
 A ruptura ocorreu sob um carregamento de 320 kN, com um alongamento 
menor que o esperado (cerca de 1,7%). O fenômeno poderia ser caracterizado como 
uma ruptura frágil do cabo de aço, devido a mudanças nas suas propriedades 
mecânicas. No entanto, o material ensaiado esteve guardado em ambiente protegido, 
e apresentava boas condições visuais. Provavelmente havia uma sobretensão inicial 
de algumas pernas, causada por defeito na confecção dos soquetes terminais. Pode 
ser observada na figura 4.7 a ruptura de duas pernas do cabo nas proximidades dos 
soquetes. 
Análise da estrutura de cabos da cobertura do pavilhão da Feira Internacional de ... 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 127-148, 2002 
135
0.0
50.0
100.0
150.0
200.0
250.0
300.0
350.0
0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5 20.0
(mm)
(k
N
)
 
Figura 4.5 - Curva de carga-deslocamento (medido entre os soquetes) do cabo 1” de diâmetro 
nominal e comprimento de 1,25m 
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
0.0E+00 5.0E-03 1.0E-02 1.5E-02 2.0E-02 2.5E-02
(mm/mm)
(k
N
/m
m
2 )
 
Figura 4.6 - Curva de tensão-deformação do cabo de 1” de diâmetro nominal e comprimento 
de 1,25 m (carregamento e descarregamento) 
 
 
Figura 4.7 - Ruptura do cabo de 1” de diâmetro 
Elizabeth Oshima de Aguiar & Roberto Luiz de Arruda Barbato 
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136
4.2 Propriedades mecânicas dos fios de aço 
 Um ensaio de tração também foi realizado nos arames que compõem o cabo 
de aço original, utilizando-se um equipamento DARTEC do Laboratório de Estruturas 
de Madeiras do Departamento de Estruturas da EESC-USP. O alongamento foi 
monitorado através de um extensômetro apropriado de comprimento inicial de 25 mm. 
Foi imposto, durante todo o ensaio, um controle da velocidade de deslocamento igual 
a 0,01 mm/s. 
 Os fios de aço de diâmetro aproximado de 1,7 mm apresentaram a curva de 
tensão-deformação da figura 4.8. O módulo de elasticidade inicial, medido a 0,2% de 
deformação chegou a 20.000 kgf/mm2 (200 kN/mm2). O coeficiente estrutural do cabo 
é igual a 45,0
200
90
E
Ek
wire
cable
cable === . 
0
20
40
60
80
100
120
140
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01
(mm/mm)
(k
gf
/m
m
2 )
ensaio 3
ensaio 4
ensaio 5
ensaio 6
 
Figura 4.8 - Curvas de tensão-deformação dos fios de 1,7 mm de diâmetro 
 A curva aproximada de carregamento contra o alongamento total dos fios é 
mostrada na figura 4.9. Este alongamento foi medido através do deslocamento entre 
as garras do equipamento, sofrendo o efeito da sua rigidez. Foram ensaiados 6 fios, 
sendo cada amostra retirada de uma perna do cabo. Dois dos ensaios foram 
descartados, devido ao rompimento dos fios nas proximidades das garras. 
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0 1 2 3 4 5
(mm)
(k
N
)
f io 3
fio 4
fio 5
fio 6
 
Figura 4.9 - Curvas de carga-deslocamento dos fios de 1,7 mm de diâmetro, até a ruptura 
Análise da estrutura de cabos da cobertura do pavilhão da Feira Internacional de ... 
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137
 Para os outros 4 ensaios a tensão de ruptura dos fios individuais, entre 140 a 
160 kgf/mm2 (tabela 4.1), indica tratar-se de fios de aço de média resistência. 
Segundo gráfico da figura 4.10, retirado do catálogo C-11 da CIMAFE (Companhia 
Industrial e Mercantil de Artefatos de Ferro), os fios estão dentro da faixa de 
classificação Plow Steel. 
 
Figura 4.10 - Variação da resistência dos arames em função do seu diâmetro 
 
Tabela 4.1 
fio 3 4 5 6 
Tensão de ruptura (kgf/mm2) 163 157 147 145 
força de ruptura do fio (kgf) 370 356 334 329força de ruptura do cabo (kN) 420 405 380 375 
 
 A tensão média de 153 Kgf/mm2 corresponde a uma carga de ruptura média 
de 3,473 kN (347,3 Kgf para uma área do fio de 2,2698 mm2). Este valor resulta em 
força de ruptura Trup=396 kN para um cabo 6x19, no caso de fios paralelos e máxima 
eficiência. Para o caso de cabo de alma de fibra a força de ruptura estimada é igual a 
0,86.Trup=340 kN. Portanto, conclui-se que não se poderia alcançar a força de 420 kN 
para o cabo, que corresponde à força de ruptura nominal. 
 A eficiência do cabo, que é quantificada através da relação entre a resistência 
de ruptura do cabo e a soma das resistências individuais dos fios que compõem o 
cabo em estudo, foi no caso igual a 80%. 
 
 
Elizabeth Oshima de Aguiar & Roberto Luiz de Arruda Barbato 
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138
5 ANÁLISE NUMÉRICA 
 Inicialmente foi obtida a configuração inicial da cesta em forma de parabolóide 
hiperbólico e contorno elíptico pelas expressões: 
 
22
5,74
9,14
5,122
9 




+




−=
YXZ (5.1) 
 
22
5,745,122





+




=
YX1 (5.2) 
 
 
Figura 5.1 - Numeração dos nós dos setores B e C da cesta (cabos tensores paralelos ao eixo 
Y e cabos portantes paralelos ao eixo X) 
 
 A malha tem espaçamento de 2m segundo a direção X e de 1m na direção Y. 
Da geração automática dos nós da cesta, resultou um total de 13.906 nós. Problemas 
de mau condicionamento foram detectados, devido a alguns elementos de 
comprimento muito pequeno no contorno da cesta. Estes foram posteriormente 
incorporados aos elementos adjacentes. Além disso, melhorou-se o modelo através 
da retirada do cabo tensor mais abatido (em ambos os lados). Com estas 
modificações obteve-se uma malha de 13.863 nós (sendo 480 nós de contorno, com 
deslocamentos prescritos nulos) e 27.018 elementos. A numeração dos nós resultou 
numa diferença máxima de 149 entre o nó inicial e final de um elemento, conforme 
mostra a figura 5.1. 
80 
160 
3069
3205
7006
6858
40 X6932
1402
1518
Y
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139
5.1 Aplicação da protensão 
 Para a primeira análise numérica considerou-se a cesta uniforme, com todos 
os cabos de diâmetro igual a 1 in (2,58 cm2 de área metálica) e com um módulo de 
elasticidade do cabo igual a 90 kN/mm2. 
 Foram aplicados 10 incrementos de 1 kN a todos os cabos tensores. Duas 
situações de carregamento foram consideradas: no primeiro caso desprezou-se o 
peso próprio dos cabos e no segundo caso o efeito conjunto do peso próprio e 
protensão foi levado em conta. O peso próprio foi totalmente aplicado junto com a 
primeira parcela de protensão. Para a resolução empregou-se o método do Gradiente 
Conjugado, e adotou-se um resíduo máximo de 1 N como critério de convergência. 
 
Tabela 5.1 
Número de iterações Parcela de 
protensão Carreg. protensão Carreg. prot. + pp 
1 13606 6018 
2 11500 2870 
3 10850 2740 
4 9591 2275 
5 12012 2514 
6 9041 2207 
7 9731 1972 
8 9167 2056 
9 8130 2265 
10 8241 1941 
total de iterações 101.869 26.858 
 
 A análise da estrutura foi inicialmente realizada utilizando-se um computador 
PENTIUM II, de 450 MHz de freqüência e 512 Mbytes de memória RAM. Os 
resultados em termos de número de iterações encontram-se na tabela 5.1. 
 O método de Newton-Raphson também foi testado, não se obtendo 
convergência, no primeiro incremento de protensão e peso próprio, com menos de 3 
horas de processamento. A matriz gerada é da ordem de 41.589 linhas e 450 colunas. 
 
Elizabeth Oshima de Aguiar & Roberto Luiz de Arruda Barbato 
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140
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
80 85 90 95 10
0
10
5
11
0
11
5
12
0
12
5
13
0
13
5
14
0
14
5
15
0
15
5
16
0
nó
co
or
d.
 Z
 (m
)
configuração inicial
1a. Etapa protensão
2a. Etapa protensão
 
Figura 5.2 - Coordenadas verticais do cabo portante mais afastado do centro (x=-104m) 
 Para o segundo estudo considerou-se a estrutura com a distribuição real de 
cabos, isto é, tomou-se as seções transversais dos cabos como descrito na figura 4.2. 
 Procedeu-se a aplicação da força de protensão em duas etapas, procurando 
simular o procedimento de execução relatado em documentos da época (citados no 
item 3). Primeiramente foram esticados apenas os cabos tensores centrais 
(denominados de cabos 54 - 93 da figura 4.2) de maneira simétrica, com força de 
protensão igual a 100 kN. Em seguida os cabos restantes foram esticados com 10 kN, 
também de ambos os lados. 
 Os resultados obtidos com o programa MEF-cabos, com a resolução pelo 
método do Gradiente Conjugado encontram-se nas figuras 5.2 a 5.10. A análise foi 
realizada em uma estação de trabalho Sylicom modelo Origin 200. 
-104.8
-104.7
-104.6
-104.5
-104.4
-104.3
-104.2
-104.1
-104
-103.9
80 85 90 95 10
0
10
5
11
0
11
5
12
0
12
5
13
0
13
5
14
0
14
5
15
0
15
5
16
0
nó
co
or
d.
 X
 (m
)
configuração inicial
1a. Etapa protensão
2a. Etapa protensão
 
Figura 5.3 - Coordenadas X do cabo portante mais afastado do centro (x=-104m) 
 
 A observação global dos resultados numéricos mostram maiores efeitos sobre 
os deslocamentos verticais e horizontais na região próxima à aplicação da protensão, 
diminuindo na região central da cesta. A análise local do cabo portante das figuras 
5.2.e 5.3 indica que os deslocamentos maiores ocorrem nas laterais da região de 
protensão, na primeira etapa. 
Análise da estrutura de cabos da cobertura do pavilhão da Feira Internacional de ... 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 127-148, 2002 
141
 A segunda etapa de protensão providencia uma superfície mais regular e 
próxima da superfície inicial. 
-6
-4
-2
0
2
4
6
14
02
14
09
14
16
14
23
14
30
14
37
14
44
14
51
14
58
14
65
14
72
14
79
14
86
14
93
15
00
15
07
15
14
nó
co
or
d.
 Z
 (m
)
configuração inicial
1a. Etapa protensão
2a. Etapa protensão
 
Figura 5.4 - Coordenadas Y do cabo portante (x=-78m) 
 
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
30
69
30
77
30
85
30
93
31
01
31
09
31
17
31
25
31
33
31
41
31
49
31
57
31
65
31
73
31
81
31
89
31
97
32
05
nó
co
or
d.
 Z
 (m
)
configuração inicial
1a etapa protensão
2a etata protensão
 
Figura 5.5 - Coordenadas Y do cabo portante (x=-52m) 
 
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
68
58
68
67
68
76
68
85
68
94
69
03
69
12
69
21
69
30
69
39
69
48
69
57
69
66
69
75
69
84
69
93
70
02
nó
co
or
d.
 Z
configuração inicial
1a. Etapa protensão
2a. Etapa protensão
 
Figura 5.6 - Coordenadas verticais do cabo portante central (x=0) 
Elizabeth Oshima de Aguiar & Roberto Luiz de Arruda Barbato 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 127-148, 2002 
142
0.0E+00
5.0E+04
1.0E+05
1.5E+05
2.0E+05
2.5E+05
3.0E+05
3.5E+05
1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79
elemento
fo
rç
a 
(N
)
1a. Etapa protensão
2a. Etapa protensão
 
Figura 5.7 - Força nos elementos do cabo portante entre os nós 80 a 160 (x=-104m) 
 A primeira etapa de protensão providencia um estado de tração em todos os 
elementos, com menores valores (entre 300 N a 600 N) nos elementos tensores 
próximos ao contorno, na área central da cesta (região mais abatida). No entanto, 
nesta configuração de equilíbrio, as forças nos cabos portantes próximos ao contorno 
(na região de aplicação da força) são excessivamente altas (figura 5.7) para os cabos 
dimensionados. 
 A segunda etapa proporciona uma drástica redução da força de tração nestes 
elementos, chegando-se a valores seguros. Portanto, sugere-se outro esquema de 
protensão por etapas alternadas de menores valores, entre a região central e os 
cabos tensores restantes. 
2.0E+04
2.5E+04
3.0E+04
3.5E+04
4.0E+04
4.5E+04
12
79
12
88
12
97
13
06
13
15
13
24
13
33
13
42
13
51
13
60
13
69
13
7813
87
elemento
fo
rç
a 
(N
)
2a. Etapa protensão
1a. Etapa protensão
 
Figura 5.8 - Força nos elementos do cabo portante entre os nós 1402 a 1518 (x=-78m) 
3.3E+04
3.4E+04
3.5E+04
3.6E+04
3.7E+04
3.8E+04
29
15
29
25
29
35
29
45
29
55
29
65
29
75
29
85
29
95
30
05
30
15
30
25
30
35
30
45
elemento
fo
rç
a 
(N
)
2a. Etapa protensão
1a. Etapa protensão
 
Figura 5.9 - Força nos elementos do cabo portante entre os nós 3069 a 3205 (x=-52m) 
Análise da estrutura de cabos da cobertura do pavilhão da Feira Internacional de ... 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 127-148, 2002 
143
3.5E+04
4.0E+04
4.5E+04
5.0E+04
66
71
66
82
66
93
67
04
67
15
67
26
67
37
67
48
67
59
67
70
67
81
67
92
68
03
68
14
elemento
fo
rç
a 
(N
)
1a. Etapa protensão
2a. Etapa protensão
 
Figura 5.10 - Força nos elementos do cabo portante central - nós 6858 a 7006 (x=0) 
 
5.2 Aplicação dos carregamentos 
 A partir da configuração protendida foram aplicados 1.000 N/m2 de ação de 
vento (velocidade de 40 m/s) e 100 N/m2 de peso próprio correspondente à vedação. 
Deste modo resultam forças de 1.100 N/m2 para baixo e 900 N/m2 para cima. 
Considerando que a rede de cabos é regular de 1 m por 2 m, aplicou-se, em cada nó, 
uma força de 2.200 N para baixo e 1.800 N para cima. 
 As figuras seguintes mostram os esforços e as configurações deslocadas de 
alguns cabos portantes, para os carregamentos aplicados. As figuras 5.12 a 5.14 
apresentam a força nos elementos de apenas metade do cabo portante, já que os 
valores são simétricos para a outra metade. 
 
0.0E+00
5.0E+04
1.0E+05
1.5E+05
2.0E+05
2.5E+05
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76
elemento
fo
rç
a 
(N
)
configuração de referência
vedação + pressão de vento
vedação + sucção de vento
 
Figura 5.11 - Força nos elementos do cabo portante entre os nós 80 a 160 (x=-104m) 
Elizabeth Oshima de Aguiar & Roberto Luiz de Arruda Barbato 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 127-148, 2002 
144
0.0E+00
5.0E+04
1.0E+05
1.5E+05
2.0E+05
2.5E+05
3.0E+05
3.5E+05
12
79
12
8 2
12
8 5
12
8 8
12
9 1
12
9 4
12
9 7
13
0 0
13
0 3
13
0 6
1 3
09
1 3
12
1 3
15
1 3
18
1 3
21
1 3
24
1 3
27
1 3
30
1 3
33
1 3
36
elemento
fo
rç
a 
(N
)
configuração de referência
vedação + pressão de vento
 
Figura 5.12 - Força nos elementos do cabo portante entre os nós 1402 a 1460 (x=-78m) 
 
 Para o carregamento simulando a sucção de vento os elementos do cabo 
portante para x=-78 m ficaram com reduzida força de tração (menos que 400 N). 
 O resultado para o primeiro carregamento (vedação + pressão de vento) 
indicou 688 elementos de cabo destracionados e um grande número de elementos 
com baixa força de tração (2560 elementos com T<1kN). Por outro lado os cabos 
portantes atingiram níveis de tensão muito elevados, o que poderia causar a ruptura 
de vários elementos. 
 Para o carregamento simulando a sucção de vento ocorreu um 
destracionamento dos cabos portantes na região das extremidades do eixo maior da 
cesta. Para o interior da cesta as variações de força diminuíram. E na região central, 
resultaram pequenas variações (para mais e para menos) em torno dos valores de 
força do estado de referência. Os cabos tensores, por sua vez, chegaram a níveis de 
tensão muito elevados, bem próximos ao de ruptura. 
 
0.0E+00
5.0E+04
1.0E+05
1.5E+05
2.0E+05
2.5E+05
3.0E+05
3.5E+05
4.0E+05
29
15
29
19
29
23
29
27
29
31
29
35
29
39
29
43
29
47
29
51
29
55
29
59
29
63
29
67
29
71
29
75
29
79
elemento
fo
rç
a 
(N
)
configuração de referência
vedação = pressão de vento
vedação + sucção de vento
 
Figura 5.13 - Força nos elementos do cabo portante entre os nós 3069 a 3137 (x=-52m) 
 
Análise da estrutura de cabos da cobertura do pavilhão da Feira Internacional de ... 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 127-148, 2002 
145
0.0E+00
5.0E+04
1.0E+05
1.5E+05
2.0E+05
2.5E+05
3.0E+05
3.5E+05
4.0E+05
4.5E+05
66
71
66
76
66
81
66
86
66
91
66
96
67
01
67
06
67
11
67
16
67
21
67
26
67
31
67
36
67
41
elemento
fo
rç
a 
(N
)
configuração de referência
vedação + pressão de vento
vedação + sucção de vento
 
Figura 5.14 - Força nos elementos do cabo portante central - nós 6858 a 6932 (x=0) 
 Quanto aos deslocamentos horizontais, observam-se os maiores valores na 
região das extremidades do eixo maior da cesta, enquanto que os deslocamentos 
verticais crescem na região central. 
-104.8
-104.7
-104.6
-104.5
-104.4
-104.3
-104.2
-104.1
-104
-103.9
80 86 92 98 10
4
11
0
11
6
12
2
12
8
13
4
14
0
14
6
15
2
15
8
nó
co
or
d.
 X
 (m
)
configuração de referência
vedação +pressão de vento
vedação + sucção de vento
 
Figura 5.15 - Coordenadas X do cabo portante mais afastado do centro (x=-104m) 
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
80 85 90 95 10
0
10
5
11
0
11
5
12
0
12
5
13
0
13
5
14
0
14
5
15
0
15
5
16
0
nó
co
or
d.
 Z
 (m
)
configuração de referência
vedação + pressão de vento
vedação + sucção de vento
 
Figura 5.16: Coordenadas verticais do cabo portante mais afastado do centro (x=-104m). 
Elizabeth Oshima de Aguiar & Roberto Luiz de Arruda Barbato 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 127-148, 2002 
146
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
14
02
14
09
14
16
14
23
14
30
14
37
14
44
14
51
14
58
14
65
14
72
14
79
14
86
14
93
15
00
15
07
15
14
nó
co
or
d.
 Z
 (m
)
configuração de referência
vedação + pressão de vento
vedação + sucção de vento
 
Figura 5.17 - Coordenadas verticais do cabo portante (x=-78m) 
-7
-3.5
0
3.5
7
10.5
14
30
69
30
78
30
87
30
96
31
05
31
14
31
23
31
32
31
41
31
50
31
59
31
68
31
77
31
86
31
95
32
04
nó
co
or
d.
 z
 (m
)
configuração de referência
vedação + pressão de vento
vedação + sucção de vento
 
Figura 5.18 - Coordenadas verticais do cabo portante (x=-52m) 
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
68
58
68
68
68
78
68
88
68
98
69
08
69
18
69
28
69
38
69
48
69
58
69
68
69
78
69
88
69
98
nó
co
or
d.
 Z
 (m
)
configuração de referência
vedação + pressão de vento
vedação + sucção de vento
 
Figura 5.19 - Coordenadas verticais do cabo portante central (x=0) 
 
5.3 Comentários sobre o pavilhão de São Cristóvão 
 Para os casos de carregamento de vento considerados mostrou-se que a 
protensão aplicada é ineficiente. A ruptura da vedação ocorreria, já que não poderia 
absorver os deslocamentos excessivos resultantes. Por outro lado, a partir de um 
determinado deslocamento o sistema vedante passa a trabalhar junto com o sistema 
de cabos. Utilizando-se elementos de membrana poderia ser simulado essa 
contribuição das chapas metálicas na rigidez global da estrutura. 
Análise da estrutura de cabos da cobertura do pavilhão da Feira Internacional de ... 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 127-148, 2002 
147
 Além dos problemas com a vedação, devido às pequenas seções metálicas 
de cabo adotadas, ocorreria a ruptura de um grande número de cabos, o que levaria a 
estrutura ao colapso. 
 Cabe lembrar que o projeto original especificava cabos com alma de aço, que 
são menos deformáveis, e cabos espias foram colocados na região de pequena 
curvatura, como descrito no item 2, para reduzir os deslocamentos devidos à sucção 
de vento. Na época de sua realização o cálculo da estrutura do pavilhão foi realizada 
a partir de métodos simplificados, e considerou-se um valor para a ação de vento bem 
menor que os carregamentos deste estudo. 
 Um sensível aumento da rigidez da estrutura pode ser obtido com o aumento 
da flecha dos cabos tensores e diminuição da flecha dos cabos portantes, 
obedecendo as características geométricas do contorno. Com essa providência, 
certamente a aplicação da protensão seria também mais efetiva. 
 
 
6 BIBLIOGRAFIA 
AGUIAR, E.O. (1999). Contribuição ao estudo de estruturas de cabos para 
coberturas de grandes áreas livres, considerando as não linearidadesfísica e 
geométrica. São Carlos. 213p. Tese (Doutorado) - Escola de Engenharia de São 
Carlos, USP. 
BARBATO, R.L.A. (1972). Sobre o comportamento estático de cabos de 
coberturas pênseis. São Carlos. 90p. Dissertação (Mestrado) - Escola de Engenharia 
de São Carlos, USP. 
DAVID, R.A. (1995). Estudo de cestas protendidas pela técnica do meio 
contínuo. São Carlos. 102p. Dissertação (Mestrado) - Escola de Engenharia de São 
Carlos, USP. 
BUCHHOLDT, H.A. (1985). An introduction to cable roof structures. Cambridge, 
Cambridge University Press. 257p. 
FRAGOSO, P.R. (1963) Considerações sobre as coberturas suspensas. Estrutura, 
n.56, p.13-17, n.57, p.33-60. 
OTTO, F. (1958). Cubiertas colgantes. tradução de Francisco Folguera, Barcelona, 
Labor. 170p. 
KADLCÁK, J. (1995). Statics of suspension cable roofs. Brookfield, USA, A.A. 
Balkema. 295 p. 
LEONARD, J.W. (1988). Tension structures: behavior and analysis of cable 
structures. New York, Mc. Graw Hill. 391p. 
MAJOWIECKI, M. (1985). Tensostrutture: projetto e verifica. Milano, Cisia, 165p. 
MARTINELLI, D.A.O. (1961) A observação da cobertura pênsil da exposição 
internacional da indústria e comércio. Engenharia, n.217, p.219-228. 
Elizabeth Oshima de Aguiar & Roberto Luiz de Arruda Barbato 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 127-148, 2002 
148
TAKEYA, T.; BARBATO, R.L.A.; MONTANARI, I. (1980) Verificação da cobertura 
pênsil do pavilhão de São Cristóvão. São Carlos, EESC-USP, 23p. (Relatório LE-
EXT 80/2). 
 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 149-178, 2002 
 
 
PERFIS DE AÇO FORMADOS A FRIO SUBMETIDOS 
À FLEXÃO: ANÁLISE TEÓRICO-EXPERIMENTAL 
Carlos Eduardo Javaroni1 & Roberto Martins Gonçalves2 
 
R e s u m o 
Este artigo apresenta os resultados obtidos nos ensaios realizados em perfis de chapa 
dobrada submetidos à flexão. Esses ensaios foram realizados em duas situações 
distintas, sendo que, a primeira compreende ensaios em perfis isolados sob três 
diferentes tipos de carregamento. Na segunda situação fez-se ensaios em perfis 
conectados a telhas de aço, onde simulou-se o efeito de sucção devida a ação do vento. 
Os testes em ensaios isolados foram executados sobre perfis tipo U e Z, com forças 
transversais concentradas. Esses perfis foram travados lateralmente nos pontos de 
aplicação das forças e nos apoios. Os testes nos perfis conectados às telhas de aço 
foram realizados em uma “caixa de sucção” desenvolvida especificamente para este 
projeto. Foram ensaiados perfis tipo U e tipo Z, conectados às telhas pela mesa 
tracionada através de parafusos auto-brocantes. As telhas de aço têm seção trapezoidal 
com espessura de 0,65 mm . 
 
Palavras-chave: Estruturas de aço; perfis de aço formados a frio; flexão; instabilidade; 
terças. 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 Os perfis de aço formados a frio, os perfis de chapa dobrada, dada a grande 
variedade das formas de seções transversais que podem ser obtidas e da boa relação 
massa/resistência, alcançaram lugar de destaque entre as estruturas metálicas, 
principalmente em obras de menor porte que possuem, em geral, pequenos vãos e 
carregamentos de pequena intensidade. 
 Como estrutura principal, o uso dos perfis de chapa dobrada dá-se em 
edifícios de pequena altura, residências e galpões em geral. Fôrmas para 
concretagem, andaimes e escoramentos, terças, longarinas e armações para forros 
são outros exemplos que ilustram a versatilidade desses perfis na construção civil. 
 Pode-se citar diversas características que diferenciam o comportamento 
estrutural desses perfis em relação aos perfis laminados e soldados. 
 A conformação a frio das chapas finas altera as características mecânicas do 
aço virgem, ocorrendo acréscimo na tensão limite de escoamento e na tensão limite 
de resistência à tração, como consequências tem-se a redução na ductilidade do 
 
1 Prof. Doutor do Departamento de Engenharia Civil da UNESP, campus de Bauru, javaroni@feb.unesp.br 
2 Prof. Associado do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, goncalve@sc.usp.br 
 
Carlos Eduardo Javaroni & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n.20, p.149-178, 2002 
150 
material e o surgimento de tensões residuais. Esses efeitos são mais pronunciados na 
região dos cantos dobrados. 
 A pequena espessura das chapas utilizadas resulta em elevada relação 
largura/espessura dos elementos planos que compõe a seção transversal. Os perfis 
assim obtidos estão sujeitos à flambagem local dos elementos que compõem a sua 
seção transversal como ilustra-se na figura 1. Isto não representa, em geral, o 
esgotamento da capacidade resistente da barra. A teoria da instabilidade de chapas 
permite prever a carga crítica e a análise do comportamento pós-crítico pode ser feita 
através do conceito da largura efetiva. 
A
Corte A
M
M
 
Figura 1 - Flambagem local para a mesa comprimida do perfil fletido 
 Os estudos sobre o comportamento dos perfis de aço formados a frio como 
elementos estruturais tiveram início nos trabalhos pioneiros do professor George 
Winter, desenvolvidos a partir de 1939, na Universidade Cornell.3 
 A instabilidade global de uma barra formada por chapas esbeltas, pode 
ocorrer ou por flexão, ou por torção, ou por uma combinação de flexão e torção. 
 A flambagem lateral em vigas, esquematizada na figura 2, tem sido muito 
pesquisada. A teoria de Vlassov (1962) considera a não validade da hipótese de 
Bernoulli, surgindo tensões normais oriundas do empenamento das seções 
transversais das vigas. As normas apresentam expressões aproximadas e 
coeficientes de correção em função do tipo de vinculação, da forma do diagrama de 
momentos fletores, da posição do carregamento e da forma da seção transversal. 
 
3YU, W. W. (1985) Cold formed steel design. New York: Wiley-Interscience. 545p. 
Perfis de aço formados a frio submetidos à flexão: análise teórico-experimental 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 149-178, 2002 
151 
A
M
M
Corte A 
Figura 2 - Flambagem lateral com torção de vigas 
 A determinação da resistência de vigas em perfis de aço formados a frio, 
resultante dos trabalhos de Winter (1943, 1944 e 1959), é ainda adotada nas mais 
recentes versões das especificações do American Iron and Steel Institute (AISI), 
edição de 1996, e do Canadian Standarts Association (CSA), edição de 1995, normas 
específicas sobre o dimensionamento desses elementos estruturais. 
 No caso particular da flexão, a solução teórica de Timoshenko, Gere (1961) 
para uma viga tipo I sob momento de flexão uniforme, simplesmente apoiada, tem 
sido usada como uma solução de referência. Para outras situações, um fator de 
modificação de momentos (Cb), é utilizado para avaliar a resistência à flambagem 
lateral com torção de vigas sob momento gradiente e com diferentes tipos de seções 
transversais e condições de apoio. 
 Um outro modo de instabilidade, diferente dos anteriores, pode tamém 
caracterizar a falha do perfil. Este modo é chamado de flambagem distorcional e nele 
ocorre, como o próprio nome sugere, a distorção da seção transversal em seu próprio 
plano. É mais comum para seções com enrijecedores de borda e envolve a rotação da 
mesa e enrijecedor de borda em torno da junção alma e mesa. A figura 3 apresenta a 
ocorrência do modo distorcional para um perfil sujeito à flexão. 
 O modo de instabilidade por distorção tem sido estudado sistematicamente 
por Hancock, entre outros pesquisadores sob sua orientação, cujo estudos 
conduziram a expressões analíticas para o cálculo da carga crítica para barras 
comprimidas, Hancock (1985); Lau, Hancock (1987); Kwon, Hancock (1992); e para 
barras fletidas, Hancock (1997); Bambach et al. (1998). 
 O modelo representativo desses estudos idealiza a mesa e enrijecedor 
comprimidos do perfil como uma barra comprimida sujeita à instabilidade porflexo-
torção, apoiada elasticamente na alma. Este apoio é representado por uma mola 
lateral e outra mola rotacional. A seção formada pela parte comprimida é considerada 
indeformável no seu plano. 
Carlos Eduardo Javaroni & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n.20, p.149-178, 2002 
152 
Corte A
M
M
A
 
Figura 3 - Flambagem por distorção para a mesa comprimida do perfil fletido 
 A expressão analítica é obtida inicialmente para uma barra comprimida, e 
posteriormente alterada para barras fletidas. Esta alteração corresponde à uma 
modificação no coeficiente da mola rotacional. Estas expressões estão sendo 
incorporadas ao texto-base para a norma brasileira sobre dimensionamento dos perfis 
de aço formados a frio. 
 Cabe ressaltar que no país as pesquisas na área de estruturas de aço tem 
crescido sistematicamente nos últimos anos e, embora desenvolvida pôr alguns 
centros de pesquisa, em muito tem contribuído para o crescimento do uso do aço na 
construção civil e para uma melhor formação e qualificação dos profissionais que 
desenvolvem suas atividades no projeto e fabricação dessas estruturas. 
 Sob estes aspectos e com o objetivo de incrementar as pesquisas em 
estruturas de aço, a área de estruturas metálicas do Departamento de Engenharia de 
Estruturas da Escola de Engenharia de São Carlos vem desenvolvendo seu trabalhos 
nesses últimos anos. Como resultado desses trabalhos de pesquisa, a área de 
estruturas metálicas vêem coordenando os trabalhos de revisão e atualização da NB 
143, os quais devem conduzir à nova edição da norma brasileira sobre o 
dimensionamento de elementos estruturais de aço formados a frio. 
 Neste trabalho, inserido em uma série de pesquisas sobre o uso e aplicação 
do aço na construção metálica brasileira, apresentam-se os resultados dos ensaios 
desenvolvidos em perfis de aço conformados a frio com seção transversal do tipo U e 
Z, e os resultados dos ensaios desses perfis em sistemas de cobertura, ensaiados em 
caixa de sucção, simulando-se o efeito de sucção do vento em coberturas de águas 
planas. Esses ensaios foram desenvolvidos no Laboratório de Estruturas do 
Departamento de Engenharia de Estruturas da Escola de Engenharia de São Carlos 
da Universidade de São Paulo. 
 
Perfis de aço formados a frio submetidos à flexão: análise teórico-experimental 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 149-178, 2002 
153 
2 OBJETIVOS 
 Este trabalho tem como objetivo o estudo de perfis de aço formados a frio, 
perfis tipo U, U e Z enrijecidos, quando submetidos à flexão. 
 O projeto de pesquisa foi desenvolvido em duas situações distintas. A primeira 
refere-se à utilização dos perfis tipo U e tipo U enrijecido enquanto perfis fletidos, 
isoladamente, com travamentos laterais em pontos discretos. Os perfis foram 
submetidos à ação de forças concentradas, variando-se a distância entre os pontos 
travados lateralmente e os pontos de aplicação das forças. 
 A segunda situação refere-se ao uso dos perfis U, U e Z enrijecidos como 
terças, conectados por parafusos auto-brocantes às telhas de aço, sujeitos a ações de 
sucção devidas ao efeito do vento em coberturas. Os ensaios foram realizados em 
uma “caixa de sucção” especialmente desenvolvida para estes ensaios. A simulação 
do carregamento foi realizada através da retirada do ar contido no interior dessa caixa 
por meio de um aspirador. 
 Os resultados obtidos experimentalmente são confrontados com os 
procedimentos utilizados no dimensionamento de elementos estruturais de aço 
formados a frio. 
 
 
3 MATERIAL 
 Para a determinação das propriedades mecânicas de interesse do aço 
empregado na confecção dos perfis, denominado comercialmente como USI-SAC 41, 
foram realizados ensaios à tração em 12 (doze) corpos de prova. Nesses ensaios 
foram obtidas a tensão limite de escoamento (fy) e a tensão limite de ruptura à tração 
(fu). 
 Os corpos de prova foram retirados de quatro chapas de aço antes da 
operação de dobramento (aço virgem), sendo duas chapas de espessura de 2,25 mm 
e as outras duas com espessura de 3,00 mm. Para cada chapa retirou-se três corpos 
de prova, em um total de 12. As dimensões nominais para esses corpos de prova 
estão indicadas na figura 1. 
 Os ensaios à tração foram realizados em máquina universal de ensaio, junto 
ao Departamento de Materiais da Escola de Engenharia de São Carlos, da 
Universidade de São Paulo. 
 
Carlos Eduardo Javaroni & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n.20, p.149-178, 2002 
154 
80
200
1050 10 50
R=13
20 12
.5
 
Figura 4 - Dimensões nominais do corpo de prova para ensaio à tração 
 Na tabela 1 estão apresentados os resultados obtidos na realização dos 
ensaios, cujos procedimentos utilizados foram aqueles preconizados pela norma 
ASTM 370-95 da American Society for Testing and Materials (ASTM). As chapas 
estão numeradas de 1 a 4 e os três corpos de prova correspondentes a mesma chapa 
são identificados pelas letras A, B e C. 
 
Tabela 1 - Características mecânicas do aço utilizado 
C.P. A 
(mm2) 
Along 
(mm) 
Ny 
(kN) 
Nu 
(kN) 
Along. 
(%) 
fy 
(Mpa) 
fu 
(Mpa) 
1A 38,130 68,42 13,40 17,45 36,84 351,43 457,64 
1B 37,324 67,15 13,00 17,00 34,30 348,30 455,47 
1C 38,440 66,75 13,10 17,30 33,50 340,79 450,05 
2A 28,125 66,56 9,80 13,35 33,12 348,44 474,67 
2B 27,630 64,95 9,85 13,00 29,90 356,50 470,50 
2C 27,540 64,45 9,85 13,10 28,90 357,66 475,67 
3A 28,409 66,85 9,45 13,10 33,70 332,64 461,12 
3B 27,725 65,96 9,30 12,85 31,92 335,44 463,48 
3C 28,181 65,91 9,55 13,10 31,82 338,88 464,86 
4A 39,122 68,43 13,40 17,80 36,86 342,52 454,99 
4B 38,626 66,08 42,70 17,40 32,16 328,79 450,47 
4C 38,440 65,12 13,00 17,60 30,24 338,19 457,86 
Média 32,77 343,30 461,40 
Desvio Padrão 2,50 9,23 8,69 
 
 O alongamento foi medido sobre a base de medida de 50 mm e todos os 
corpos de prova apresentaram patamar de escoamento definido, sendo o valor do 
módulo de elasticidade (E) admitido igual a 205.000 MPa, valor este normalizado para 
o aço. 
 Para fins de utilização futura na determinação dos valores de resistência 
nominal da barra, serão utilizados os valores médios obtidos dos ensaios. 
 As telhas utilizadas para os ensaios desenvolvidos na caixa de sucção têm 
seção trapezoidal com altura de 40 mm, espessura de 0,65 mm, largura de 1.035 mm 
e comprimento de 3.750 mm. Na figura 5 apresenta-se a seção transversal da telha 
utilizada. 
Perfis de aço formados a frio submetidos à flexão: análise teórico-experimental 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 149-178, 2002 
155 
1035
40
t=
0 ,
6595105
25
 
Figura 5 - Seção transversal da telha de aço na posição de montagem 
 
 
4 ASPECTOS TEÓRICOS 
 Os aspectos teóricos envolvidos no dimensionamento dos elementos 
estruturais de aço formados a frio estão fundamentados na teoria da instabilidade por 
flexo-torção de barras de seção aberta e parede delgada. 
 Aqui são apresentadas as equações normalmente empregadas na 
determinação da resistência ao momento fletor, como apresentadas na norma do AISI 
(1996) e no texto-base para a norma brasileira sobre o dimensionamento dos perfis de 
aço formados a frio. 
 Javaroni (1993, 1999) apresenta e discute os vários aspectos da formulação 
teórica para o dimensionamento de perfis formados a frio às solicitações frequentes. 
 
4.1 Resistência ao momento fletor – flambagem lateral com torção 
 A solução teórica de Timoshenko, Gere (1961), para uma viga “I” sob 
momento de flexão uniforme, simplesmente apoiada, equação (1), tem sido usada 
como uma solução de referência. 






+= 2
t
2
tycr LGI
EC1GIEI
L
M ωππ (1) 
 Já os efeitos do momento gradiente e as diversas condições de apoio são 
ajustadas através de um fator de modificação de momentos aplicado aos resultados 
obtidos através da equação (1). Esta aproximação tem sido utilizada há mais de 40 
anos. 
 Fórmulas aproximadas para o fator de modificaçãode momento, Cb, foram 
apresentadas por vários pesquisadores. 
 Salvadori (1955) resolveu o problema de uma viga tipo “I”, sob momento fletor 
constante, também através do método de Raileigh-Ritz, considerando vários termos 
nas expressões dos deslocamento lateral e giro. Os valores de Cb foram 
recomendados para 2467.0
GIL
EC
t
2
2
≤= ω
πγ e vigas simplesmente apoiadas. 
Carlos Eduardo Javaroni & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n.20, p.149-178, 2002 
156 
Posteriormente, o SSRC (Stability Steel Research Column) aproximou aqueles 
resultados pela seguinte expressão: 
3.2r3.0r05.175.11C 2b ≤++== ω
 (2) 
 Ao longo dos últimos anos, várias formulações assumindo diferentes 
hipóteses e condições de apoio têm sido publicadas e discutidas. Segundo Pandey, 
Sherbourne (1989) e Sherbourne, Pandey (1989), os resultados desses estudos têm 
sido similares por não incluírem, ou simplesmente aproximarem, a rigidez ao 
empenamento para simplicidade na análise. Sob este enfoque, o trabalho apresenta 
uma solução teórica para a flambagem lateral com torção de vigas “I”, em regime 
elástico, considerando o problema como uma superposição de dois casos hipotéticos: 
um correspondendo ao empenamento igual a zero e o outro, a rigidez torcional igual a 
zero. 
 Em sua mais recente edição, a edição do AISI de 1996 sugere a utilização de 
uma nova expressão para Cb, devida a Kirby e Nethercot: 
cBAmax
max
b M3M4M3M5,2
M5,12C
+++
= (3) 
onde: 
 maxM = momento fletor máximo. 
 AM = momento fletor a um quarto do vão. 
 BM = momento fletor no meio do vão. 
 CM = momento fletor a três quartos do vão. 
 
 Essa mesma expressão é utilizada no texto-base da norma brasileira. 
 Quando as forças transversais são aplicadas excentricamentes em relação ao 
centro de cisalhamento, as equações de Mcr e Cb diferem das anteriormente 
mencionadas. 
 A influência da variação das condições de contorno e de carregamentos na 
instabilidade dos perfis de simetria única é, comparativamente aos perfis de dupla 
simetria, de menor conhecimento. 
 Kavanagh e Ellifritt (1994), através de resultados de ensaios em vigas de 
perfis U de chapa dobrada, concluíram que as equações do AISI podem super estimar 
a resistência à flambagem lateral, especialmente nos casos em que se tem dois ou 
mais travamentos laterais intermediários. Segundo os autores, os ensaios 
demonstraram a ocorrência de falhas por distorção na interseção da mesa com o 
enrijecedor nos pontos travados. Este modo de falha não é previsto nas 
especificações do AISI e CSA. 
 Para os perfis isolados, sujeitos à flambagem lateral com torção, a resistência 
à flexão, de acordo com o AISI/96, é obtida através da seguinte expressão: 
 
ef,c
c
cn W
MWM = (4) 
Perfis de aço formados a frio submetidos à flexão: análise teórico-experimental 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 149-178, 2002 
157 
onde: 
Wc = Módulo elástico da seção bruta para a fibra extrema comprimida. 
Wc,ef = Módulo elástico de seção efetiva calculada com a tensão Mc/Wc na 
fibra comprimida. 
Mc = Momento crítico calculado de acordo com a equação (5) ou equação (6). 
 
Para Mc > 0.56My 
 





−=
e
y
yc M36
M
1M
9
10M (5) 
Para Me ≤ 0.5My 
ec MM = (6) 
 My é o momento que provoca o escoamento inicial da fibra extrema 
comprimida seção transversal bruta e Me é o momento crítico elástico calculado pela 
equação (4) para flexão em torno do eixo de simetria (x é o eixo de simetria). 
 Quando tem-se Mc ≥ 2,78My a flambagem lateral com torção não mais ocorre, 
tendo-se como momento resistente o próprio momento de escoamento My. 
 Rescrevendo-se a equação (4) pode-se obter: 
tey0be ArCM σσ= (7) 
onde: 
 
Cb = Coeficiente de flexão. 
r0 = Raio polar de giração da seção transversal em torno do centro de 
cisalhamento. 
A = Área da seção transversal bruta. 
( )2yyy
2
ey r/LK
Eπσ = e 
( ) 






+= 2
tt
w
2
t
0
et LK
ECGI
Ar
1 πσ . 
Ky,Kt= Coeficientes de flambagem em relação ao eixo y e à torção, 
respectivamente. 
Ly,Lt= Comprimento lateralmente destravado para flexão em torno do eixo y e 
para a torção, respectivamente. 
 Esta expressão tem como vantagem permitir a consideração dos diferentes 
comprimentos de flambagem, à flexão e à torção, para os perfis com travamentos 
laterais intermediários. 
 O texto-base para a norma brasileira determina a resistência à flambagem 
lateral com torção através da expressão: 
yef,cFLTc fWM ρ= (8) 
Carlos Eduardo Javaroni & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n.20, p.149-178, 2002 
158 
onde FLTρ é o fator de redução da resistência ao momento fletor da barra devido à 
flambagem lateral com torção. Este fator é dado por: 
 
 0,1FLT =ρ para 6,00 ≤λ 
( )20FLT 278,0111,1 λρ −= para 336,16,0 0 << λ 
2
0
FLT
1
λρ = para 336,10 ≥λ 
 
0λ é o índice de esbeltez reduzido da barra obtido através da equação (9). 
e
yef,c
0 M
fW
=λ (9) 
 No texto-base para a norma brasileira o momento fletor crítico de flambagem 
lateral com torção eM é dado por: 
 
• para seções I duplamente simétricas e seções U monossimétricas: 
2
ycb
2
e L
dIEC
M
π
= (10) 
• para seções Z ponto-simétricas com carregamento no plano da alma: 
2
ycb
2
e L2
dIEC
M
π
= (11) 
onde: 
d é a altura da seção; 
L é o comprimento livre (distância entre pontos travados lateralmente) da barra; 
Iyc é o momento de inércia da parte comprimida da seção em relação ao eixo 
baricêntrico paralelo à alma, tomando-se a seção bruta; 
Cb é o coeficiente de equivalência de momento na flexão, que a favor da 
segurança pode ser tomado igual a 1,0 ou calculado pela expressão (3). 
 
 Como pode ser observado, o procedimento adotado na norma brasileira é 
exatamente o mesmo do AISI (1996), a menos da determinação do momento crítico 
eM , onde a equação (10) representa uma simplificação obtida a partir da equação (1). 
 
4.2 Resistência ao momento fletor – flambagem por distorção 
 O modo de instabilidade por distorção tem sido estudado sistematicamente 
por Hancock, entre outros pesquisadores sob sua orientação, cujo estudos 
conduziram a expressões analíticas para o cálculo da carga crítica para barras 
comprimidas, Hancock (1985); Lau, Hancock (1987); Kwon, Hancock (1992); e para 
barras fletidas, Hancock (1997); Bambach et al. (1998). 
Perfis de aço formados a frio submetidos à flexão: análise teórico-experimental 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 149-178, 2002 
159 
 O modelo representativo desses estudos idealiza a mesa e enrijecedor 
comprimido do perfil como uma barra comprimida sujeita à instabilidade por flexo-
torção, apoiada elasticamente na alma. Este apoio é representado por uma mola 
lateral e outra mola rotacional. A seção formada pela parte comprimida é considerada 
indeformável no seu plano. 
 A expressão analítica é obtida inicialmente para uma barra comprimida, e 
posteriormente alterada para barras fletidas. Esta alteração corresponde à uma 
modificação no coeficiente da mola rotacional. 
 Tem-se como base para a obtenção da expressão analítica para o cálculo da 
carga crítica as equações obtidas por Vlasov (1962) e por Timoshenko, Gere (1961) 
para a instabilidade de uma barra comprimida com apoio elásticos contínuos. 
 Seja a seção transversal indicada na Figura 6.a. 
k kx
C.G.
x0
D
x
y
h
0
h y
a) Seção transversal b) Modelo idealizado
 
Figura 6 - Modelo de cálculo para instabilidade por distorção 
 Isolando-se a mesa e o enrijecedor da seção, figura 6.b, tem-se as 
coordenadas do centro de torção D (x0, y0) referidas a um sistema de eixos (xOy), 
onde o eixo x é paralelo à mesa, com origem no centro de gravidade da seção 
idealizada (hx,hy). 
 A força de compressão de flambagem elástica pode ser obtida resolvendo-se 
o sistema de equações diferenciais que governam o equilíbrio da barra, encontrando-
se:( ) ( )
( )[ ]
( )[ ] 0202
2
22
0
0
2
02
2
2
2
2
2
2
002
2
02
2
=



+−+




 +−−



+−+





−+−






−−+−
φ
ω
π
λ
λ
π
π
λ
λ
π
π
λ
λ
π
khykNhx
A
I
GIhxEIECNkEI
NyhykhxEI
yxtx
txxxy
yxxxy
 (12) 
 Pode-se, então, determinar um valor mínimo para a força de compressão N, 
correspondente a um determinado valor de λ, o qual representa o comprimento de 
uma semi-onda de flambagem. 
Carlos Eduardo Javaroni & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n.20, p.149-178, 2002 
160 
 A influência do coeficiente de mola kx é significativa. Embora a carga crítica 
tenha grande variação para diferentes valores de kx, os valores correspondente de λ 
permanecem próximos. 
 A rigidez rotacional kφ ao longo da borda longitudinal de uma placa retangular 
de largura b, sujeita à tensão de compressão σ e momento fletor distribuído ao longo 
dessa borda pode ser determinada de acordo com as expressões 13.a a 13.d, Lau, 
Hancock, (1987). 
( ) 122
22
−





 +
+
=
ββααβαφ tantanhb
Dk (13.a) 





 +




= kbb
λλ
πα (13.b) 





 +−




= kbb
λλ
πβ (13.c) 
σ
π D
tbk 2
2
= (13.d) 
 Nestas expressões, b é a largura da placa, t é a sua espessura e D é a rigidez 
unitária à flexão da placa. 
 Com o intuito de se promover o cálculo da carga crítica de flambagem por 
distorção , Ncr, manualmente, Lau, Hancock (1987), observando que o valor crítico de 
λ para kx=0 é próximo do valor crítico quando kx→∞, enquanto o valor real permanece 
entre esses dois, adotaram o valor de kx→∞ como uma primeira aproximação para a 
determinação do valor crítico para a força de compressão, obtendo-se: 
22
2
2
2
2
yx
yx
tc
cr
hh
A
II
kGIEI
N
++
+
++
=
φω π
λ
λ
π
 (14) 
( ) ( ) ( )( )yxxyyyxxc hyhxIhyIhxICI −−−−+−+= 002020 2ωω (15) 
 Fazendo-se: 
wb
Dk 2=φ (16) 
onde bw é a altura da alma do perfil e derivando-se e igualando-se a zero a expressão 
de Ncr obtém-se para λ: 
250
2
,
wc
cr D
bEI





= ωπλ (17) 
Perfis de aço formados a frio submetidos à flexão: análise teórico-experimental 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 149-178, 2002 
161 
 Lau, Hancock (1987), a partir dos estudos dos coeficientes de restrição 
elástica à rotação devidos a Bleich (1952) e estudos desenvolvidos para seções 
transversais tipo U enrijecidos aproximaram a expressão de kφ como sendo: 












−
+
=
ww
A
'P
.b
Dk
σλφ
1
060
2
 (18) 
 Utilizando-se dessas expressões e com kx=0 na equação (14) a carga crítica 
para a flambagem por distorção será: 
( ) ( ) 


 −+±+= 3
2
2121 42
αααααENcr (19) 
onde: 
( )
E
k
I, t ηβ
λβ
β
ηα φ
1
2
2
1
1 0390 ++= (20.a) 






−=
1
3
02 2 β
βηα yIy (20.b) 






−=
1
2
3
13 β
ηβαηα yI (20.c) 
A
II
h yxx
+
+= 21β (20.d) 
( )202 xx hxIC −+= ωβ (20.e) 
( )xxy hxI −= 03β (20.f) 
( ) ( )[ ]30024 2βββ −−−+= yyy hyIhy (20.g) 
250
3
4804
,
w
t
b, 




=
β
λ (20.h) 
2





=
λ
πη (20.i) 
( ) 













+
−
+
=
2
22
2
2
3 1111
060465 λ
λ
λφ w
w
w b
b
EAt
'P,
,b,
Etk (20.j) 
Carlos Eduardo Javaroni & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n.20, p.149-178, 2002 
162 
 P’ é obtido a partir de (19) fazendo-se kφ=0 em (20.a) e wσ é a tensão de 
flambagem local para a alma do perfil, equação (21). 






+=
w
w
w
w b
b
tb
D λ
λ
πσ 2
2
 (21) 
 Para utilização das equações anteriores para o cálculo da carga crítica em 
perfis fletidos, Hancock (1997) alterou o coeficiente de rigidez à torção da mola. 
 Para um perfil comprimido, a distorção das mesas ocorre em direções opostas 
podendo-se idealizar a alma como um elemento restrito nas extremidades, com 
momentos fletores iguais e contrários ali aplicados, figura 7.a. Já para um perfil fletido, 
a distorção dá-se apenas na mesa comprimida, idealizando-se a alma do perfil como 
um elemento restrito nas extremidades, com momento fletor aplicado à apenas uma 
extremidade, figura 7.b. 
M
M
M/ =2EI/L M/ =4EI/L
M
b) Flexãoa) Compressão
 
Figura 7 - Distorção da alma de perfis: a) comprimido, b) fletido 
 
 Como sugere a própria figura 7, Hancock (1997) adota como coeficiente de 
rigidez à rotação o dobro daquele dado pela equação (20.j). 
 Dessa forma, para perfis fletidos, o cálculo da carga crítica de flambagem por 
distorção é feito como acima, substituindo-se a equação (20.j) pela equação (22). 
 ( ) 













+
−
+
=
2
22
2
2
3 1111
060465
2
λ
λ
λφ w
w
w b
b
EAt
'P,
,b,
Etk (22) 
 Deve-se observar que o termo (0,06λ) foi determinado especificamente para 
perfis com enrijecedores perpendiculares à mesa, necessitando de maiores estudos 
para outros tipos de enrijecedores. 
 
4.3 Perfis conectados a painéis através da mesa tracionada 
 Para os perfis fletidos com a mesa tracionada conectado a um painel, a 
flambagem lateral não mais ocorre na seção transversal como um todo. A resistência 
Perfis de aço formados a frio submetidos à flexão: análise teórico-experimental 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 149-178, 2002 
163 
à flexão é menor que a de um elemento lateralmente contido, porém maior que a de 
um elemento lateralmente destravado. Neste caso, esta restrição parcial conferida 
pelo painel pode ser representada pôr um fator de redução obtido pela razão entre o 
momento fletor que causa o início de escoamento da fibra extrema comprimida (My) e 
o momento fletor último (Mu) observado nos testes, equação (23), Jonhston e 
Hancock (1994), LaBoube (1992), LaBoube (1992), Murray e Elhouar (1994). 
 
y
u
M
MR = (23) 
 Os valores de R, de acordo com o AISI (1996), são: 
 
• R=0,40 for simple span C sections; 
• R=0,50 for simple span Z sections; 
• R=0,60 for continuous span C sections; 
• R=0,70 for continuous span Z sections. 
 
 
5 ENSAIOS DESENVOLVIDOS 
5.1 Perfis isolados 
 As seções transversais dos perfis analisados são do tipo U, U enrijecido e Z 
enrijecido. Para as seções tipo Z enrijecido foram realizados 4 ensaios com o objetivo 
de verificar o seu comportamento em caráter exploratório. 
 Na figura 8 está indicada a nomenclatura utilizada para as dimensões 
geométricas das seções transversais dos perfis. A altura h permaneceu constante em 
todas as seções e igual a 127 mm. Da mesma forma, a largura da mesa b foi mantida 
constante e igual a 50 mm. 
yy
xC.G.
y
r=t r=t
xC.G.
r=t
xC.G.
d
d
hhh
bbb
t
 
Figura 8 - Seções transversais e nomenclatura 
 Os enrijecedores de borda são formados por virada simples de borda a 90o 
para os perfis tipo U enrijecido e por virada de borda a 45o para os perfis tipo Z 
enrijecido. Para estes últimos, o ângulo de 45o facilita o seu transporte e 
armazenamento. 
Carlos Eduardo Javaroni & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n.20, p.149-178, 2002 
164 
 Para os perfis utilizados no programa experimental, as chapas de aço foram 
obtidas através de doação da USIMINAS para serem dobradas a frio na Indústria 
Comércio Ferro Soufer, em São João da Boa Vista (SP). 
 O dobramento deu-se por prensagem, em perfis com 6 metros de 
comprimento. O processo de prensagem foi escolhido dado o seu grande emprego na 
conformação de perfis em nossa região. 
 As propriedades geométricas das seções transversais para os vários perfis 
utilizados estão apresentadas na tabela 2. Estas propriedades estão referidas às 
dimensões nominais da seção transversal. 
 Os vãos, carregamentos e travamentos laterais foram escolhidos prevendo-se 
os modos de falha de flambagem local e flambagem global para os perfis de aço 
formados a frio sujeitos à flexão. 
 Os perfis foram submetidos a dois diferentes vãos sob três diferentes tipos de 
aplicaçãode forças, conforme ilustra-se na figura 9. Os travamentos laterais 
intermediários estão indicados através de um x. 
Tabela 2 - Propriedades geométricas das seções transversais estudadas 
Perfil A 
(cm2)
Ix 
(cm4) 
Wx 
(cm3) 
rx 
(cm) 
Iy 
(cm4)
ry 
(cm) 
It 
(cm4)
r0 
(cm)
Cw 
(cm6) 
x 
(cm) 
x0 
(cm) 
U127x50x2,25 4,94 118,8 18,7 4,90 11,7 1,54 0,083 5,88 322,8 1,20 2,85 
U127x50x3,00 6,51 153,6 24,2 4,86 15,1 1,53 0,195 5,83 415,8 1,24 2,85 
U127x50x17x2,25 5,54 135,2 21,3 4,94 18,9 1,85 0,093 6,57 672,9 1,48 3,92 
U127x50x17x3,00 7,24 171,9 27,1 4,87 23,6 1,80 0,217 6,49 839,3 1,44 3,88 
Z127x50x17x2,25 5,72 152,4 24,0 5,16 38,5 2,59 0,096 5,77 1032,8 0 0 
Z127x50x17x3,00 7,56 188,2 29,6 4,99 49,5 2,56 0,227 5,61 1316,0 0 0 
 
P
P
P
P
P
PPP
6000
1500 3000 1500 1500
4500
1500 1500
30003000 2250 2250
15001500 3000 15001500 1500
C a rregam en to 2
C a rregam en to 1
C a rregam en to 3
 
Figura 9 - Esquemas de carregamentos para os ensaios à flexão 
Perfis de aço formados a frio submetidos à flexão: análise teórico-experimental 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 149-178, 2002 
165 
 As deformações ocorridas foram medidas através de extensômetros elétricos 
de resistência posicionados nas mesas superior e inferior do perfil, na seção 
transversal no meio do vão, como ilustrado na figura 10. 
1 2 3
45
6 7
9 8 6 5
2 43
10 9
7 8
1
Perfil A Perfil B Perfil A Perfil B 
Figura 10 - Posição dos extensômetros nas seções transversais dos perfis 
 Os transdutores de deslocamento linear foram posicionados como ilustrado na 
figura 11, correspondentes aos números de 3 até 13. As células de carga 
correspondem aos números 1 e 2, enquanto que, os extensômetros elétricos de 
resistência receberam os números a partir do 21, crescendo conforme sequência 
indicada. Essa numeração é correspondente aos números dos canais utilizados no 
sistema para aquisição de dados. 
 Os deslocamentos horizontais indicados na figura 11.b, foram medidos com o 
auxílio de fios de aço longos presos em uma extremidade à alma do perfil e ligados 
aos transdutores em sua outra extremidade. Assim, a influência do deslocamento 
vertical do conjunto pode ser minimizada. Esses deslocamentos horizontais 
permitiram o cálculo da rotação da seção transversal em torno do seu centro de 
torção. A diferença entre os deslocamentos dividida pela distância entre os pontos de 
medidas fornece o valor da rotação desejada. 
 A aplicação de forças fez-se através do incremento de carga de valor 
aproximadamente igual a 10% da força última prevista. A cada acréscimo era feita a 
leitura dos deslocamentos e deformações ocorridas. Previamente, era feita a escorva, 
de valor igual a 10% da força última prevista, para posterior início do ensaio 
propriamente dito. 
6 7 8
543
13
1500 1500
L/2 L/2
9
12
11
(a)
(b)
10
 
Figura 11 - Transdutores de deslocamento. a) Verticais. b) Horizontais no meio do vão 
Carlos Eduardo Javaroni & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n.20, p.149-178, 2002 
166 
 Em todos os ensaios o colapso das vigas foi caracterizado pelo modo de 
instabilidade local da mesa ou pelo modo de instabilidade global, a flambagem lateral 
com torção. 
 Da execução dos ensaios pode-se observar que o modo de instabilidade local 
da mesa não apresentou prévio aviso de ruína, praticamente sem nenhuma reserva 
de resistência, induzindo o perfil a sair de sua posição original, cessando o 
carregamento. 
 Quando a falha dos perfis deveu-se à flambagem lateral com torção, esta foi 
acompanhada de grandes deslocamentos, permitindo-se inclusive o descarregamento 
dos perfis de forma gradual. 
 Na tabela 3 estão apresentados os resultados da força última obtida nos 
ensaios, bem como aqueles previstos pelo AISI (1996), correspondentes ao esquema 
de carregamento 1. 
 Pode-se observar que para o conjunto U2 verificou-se a ocorrência da 
flambagem lateral com torção sendo que, previu-se como estado limite último a 
flambagem local da mesa. 
 O giro da seção transversal e os deslocamentos horizontais modificam a 
distribuição de tensões na mesa deixando de ser uniforme e passa a apresentar uma 
distribuição com variação linear. 
 Através dos extensômetros elétricos posicionados na seção transversal do 
meio do vão pode-se avaliar a distribuição de tensão na mesa comprimida, obtendo-
se uma distribuição conforme indicado na figura 12 para o perfil A do conjunto U2. 
 
Tabela 3 - Valores comparativos da força P para o esquema de carregamento 1 
Ensaio Perfil Vão (m) Púltimo (kN) Pcr(AISI) 
(kN) 
U1 6 3,77 (FLM) 2,90 
U2 
U127x50x2,25 
 4,18 (FLT) (FLM) 
U3 6 6,53 (FLT) 4,52 
U4 
U127x50x3,00 
 6,04 (FLT) (FLM) 
U5 6 6,59 (FLM) 4,12 
U6 
U127x50x17x2,25 
 6,96 (FLM) (FLT) 
U7 6 6,16 (FLT) 3,46 
U8 6,80 (FLT) (FLT) 
U9 
U127x50x3,00 
 6,03 (FLM) 
U10 6 4,52 (FLM) 2,30 
U11 
U127x50x2,25 
 4,31 (FLM) (FLM) 
U19 4,5 9,95 (FLM) 7,48 
U20 10,89 (FLM) (FLM) 
U21 
U127x50x3,00 
 10,88 (FLM) 
Z1 6 5,51 5,30 
Z2 
Z127x50x17x2,25 
 6,22 (FLT) 
Perfis de aço formados a frio submetidos à flexão: análise teórico-experimental 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 149-178, 2002 
167 
6 ,
19
23
,0
6
 
Figura 12 - Tensões normais na mesa comprimida – perfil U2A 
 Sob esta distribuição de tensões pode-se avaliar a largura efetiva da mesa 
comprimida sendo o coeficiente de flambagem de placa obtido através da seguinte 
expressão: 
 
950
340
5780
1
2
,
,
,k =
+
=
σ
σ 
onde 1σ é a menor e 2σ é a maior tensão normal no elemento não enrijecido. 
 Analisando-se as deformações ocorridas ao longo de todo o processo de 
carregamento verifica-se que a distribuição de tensões deixa de ser uniforme para 
valores correspondente a aproximadamente 25% da força última, obtendo-se nessa 
situação a relação 670
2
1 ,=σ
σ . 
 Em função dessa variação de tensões de compressão, o cálculo da largura 
efetiva para o elemento passa a ser efetuado com 950,k = , contra o valor de 0,43 
para elemento não enrijecido sobre compressão uniforme. Dessa forma pode-se obter 
732,0=λ e, embora maior que 0,673, deve-se observar que λ foi obtido para a 
tensão indicada na figura 12 cujo valor não reproduz a relação linear entre tensão e 
deformação, o que deve proporcionar um valor de λ menor que o calculado 
anteriormente. 
 Em contrapartida, da mesma forma que o giro alterou a distribuição de 
tensões ao longo da mesa na seção transversal do meio do vão, o giro nos trechos de 
extremidades dá-se em sentido contrário, neste caso, aumentando a tensão de 
compressão na borda livre. Então, para seções contidas nesse trecho, o coeficiente 
de flambagem de K pode ser admitido próximo ao valor de 0,45, justificando-se a 
ocorrência da flambagem local da mesa nesse trecho, onde o momento fletor, 
consequentemente a tensão normal correspondente, é menor. 
 O fato da flambagem local da mesa ocorrer a uma distância de 1,5 metros do 
apoio justifica-se pelos dispositivos de travamento utilizado. Estes dispositivos não 
permitem a rotação da seção transversal, podendo-se atribuir a eles uma determinada 
restrição à rotação da seção transversal, indicando um coeficiente de flambagem por 
torção (Kt) inferior a 1. 
 Como a ocorrência da flambagem local da mesa deu-se a aproximadamente 
0,5 metro do ponto contraventado, obtém-se como comprimento efetivo de flambagem 
por torção 1 metro resultando, portanto, em um valor de Kt≅0,5. Isto justifica-se pelo 
Carlos Eduardo Javaroni & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n.20, p.149-178, 2002 
168 
próprio detalhe do dispositivo de travamento, o qual sugere um engastamento ao giro 
no ponto travado lateralmente. 
 Com referência aos ensaios correspondentes aos conjuntos U5 e U6 previa-
se a ocorrência da flambagem lateral com torção, observando-se no ensaio o colapso 
por flambagem local da mesa. Ao analisar-se o comportamentoda seção transversal 
no meio do vão pode-se notar que o início da flambagem lateral com torção, 
indicando-se uma interação entre os dois estados limites. 
 Na tabela 4 estão indicados os resultados da força última obtida nos ensaios, 
bem como aqueles previstos pelo AISI (1996), correspondentes ao esquema de 
carregamento 2. 
 Da análise da tabela 4 observa-se que o modo de falha previsto (FLT) foi o 
modo de falha ocorrido, exceto para o conjunto U22 e U24. A justificativa para tal 
ocorrência é a mesma já discutida anteriormente, ou seja, a superposição de tensões 
normais advindas do giro e dos deslocamentos horizontais nas proximidades dos 
pontos travados lateralmente. 
 Novamente, a ocorrência da flambagem local da mesa não deu-se na seção 
no meio do vão (ponto travado lateralmente), mas na suas proximidades, 
aproximadamente a 1,5 metros do apoio, indicando valores de Kt≅0,5. 
Tabela 4 - Valores comparativos da força P para o esquema de carregamento 2 
Ensaio Perfil Vão (m) Púltimo (kN) Pcr(AISI) 
(kN) 
U12 6 7,91 (FLT) 5,86 
U13 7,81 (FLT) (FLT) 
U14 
U127x50x3,00 
 7,86 (FLT) 
U15 6 5,23 (FLT) 3,54 
U16 
U127x50x2,25 
 5,18 (FLT) (FLT) 
U17 6 10,81 (FLT) 8,62 
U18 
U127x50x17x3,00 
 10,94 (FLT) 
U22 4,5 13,51 (FLM) 9,64 
U23 13,33 (FLT) (FLT) 
U24 
U127x50x3,00 
 13,51 (FLM) 
 
 Quanto ao esquema de carregamento 3, os modos de falha ocorridos e 
previstos foram os mesmos. 
 Na tabela 5 estão indicados os valores previstos bem como aqueles obtidos 
nos ensaios. 
Tabela 5 - Valores comparativos da força P para o esquema de carregamento 3 
Ensaio Perfil Vão (m) Púltimo (kN) Pcr(AISI) 
(kN) 
U25 4,5 13,90 ( FLM) 9,97 
U26 15,55 (FLM) (FLM) 
U27 
U127x50x3,00 
 15,50 (FLM) 
U28 6 8,58 (FLT) 3,47 
U29 8,53 (FLT) (FLT) 
U30 
U127x50x3,00 
 9,04 (FLT) 
Perfis de aço formados a frio submetidos à flexão: análise teórico-experimental 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 149-178, 2002 
169 
 Em vista dos coeficientes de flambagem sugeridos pelos próprios resultados 
dos ensaios, na tabela 6 apresentam-se as forças previstas calculadas de acordo com 
o procedimento do AISI (1996) para os valores de Kt=0,5 e Ky=1,0. 
 Com os novos valores calculados pode-se observar que a razão entre os 
resultados teóricos e os experimentais apresentam melhor correlação aproximando-se 
do valor unitário. A expressão adotada pelo texto-base da norma brasileira não 
permite uma melhor avaliação do coeficiente de flambagem. 
Tabela 6 - Comparação entre os resultados obtidos (Kt=0,5 ; Ky=1,0) 
Perfil Vão 
(m) 
Esquema 
Carregamento 
Púltimo 
(kN) 
PAISI 
(kN) 
Púltimo/PAISI 
(kN) 
 1 6,32 5,73 1,103 
U127x50x3,00 6,0 2 7,86 7,84 1,003 
 3 7,99 6,05 1,321 
 1 10,57 9,44 1,120 
U127x50x3,00 4,5 2 13,45 11,11 1,211 
 3 15,17 12,83 1,182 
U127x50x2,25 6,0 1 4,39 3,60 1,219 
 2 5,20 5,37 0,968 
U127x50x17x2,25 6,0 1 6,78 7,18 0,944 
U127x50x17x3,00 6,0 2 10,87 10,28 1,057 
U127x50x3,00 6,0 1** 6,28 5,85 1,073 
U127x50x2,25 6,0 1** 4,12 3,84 1,073 
Z127x50x17x2,25 6,0 1** 5,86 5,30 1,106 
*Média dos valores obtidos para os conjuntos ensaiados. 
**Forças aplicadas a cada 1/3 do vão. 
 
 
5.2 Perfis com a mesa tracionada conectada às telhas de aço 
 Como nos ensaios à flexão, esta etapa do trabalho teve como objetivo a 
obtenção de resultados experimentais referentes às terças submetidas ao efeito de 
sucção devido ao vento, bem como a verificação dos modos de falha possíveis e a 
verificação dos resultados teóricos em comparação com os obtidos nesses ensaios. 
 Para a execução desses ensaios foi projetada e construída uma, assim 
denominada, caixa de sucção, executada em módulos de 1 m x 6 m, permitindo-se a 
variação das suas dimensões em planta para ensaios de painéis de 3 m x 6 m até 
painéis de 6 m x 12 m. 
 A simulação do efeito de sucção fez-se através da diferença entre a pressão 
externa e a pressão interna. Para tanto, o ar contido no interior da caixa de sucção foi 
retirado de maneira gradual por meio de um aspirador. Essa retirada do ar interno à 
caixa implica em uma diminuição da pressão interna em relação à pressão externa, a 
pressão atmosférica, proporcionando a diferença de pressão desejada. 
 Os ensaios foram realizados em perfil tipo U, U enrijecido e Z enrijecido com 
comprimento total de 5.740 mm. Desses ensaios, uma primeira série foi realizada sem 
linhas de correntes e, em uma segunda série, as terças foram executadas com 2 
linhas de correntes a cada terço de vão. As telhas de aço utilizadas têm seção 
trapezoidal com altura de 40 mm e espessura de chapa de 0,65 mm, conectadas aos 
perfis de chapa dobrada por meio de parafusos auto-brocantes. 
Carlos Eduardo Javaroni & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n.20, p.149-178, 2002 
170 
 A parte superior da caixa é composta pelo conjunto telha-terça que se deseja 
ensaiar, disposto em posição invertida à aquela dos telhados convencionais, de tal 
modo que, ao ser retirado o ar contido dentro da caixa, a diferença entre as pressões 
interna e externa forneça uma sobrepressão no conjunto, simulando o efeito de 
sucção devido à ação do vento. 
 Na figura 13 pode-se observar a caixa de sucção durante a execução de um 
ensaio. 
 
Figura 13 - Caixa de sucção em ensaio 
 Foram realizados 15 ensaios com três tipos de seções transversais para os 
perfis, sendo 7 desses ensaios executados sem linhas de correntes e 8 realizados 
com duas linhas de correntes, uma a cada 1/3 de vão. 
 Essas linhas de correntes foram executadas com cantoneiras entre os perfis e 
com barras de seção circular com rosca nas extremidades. Essas barras foram 
dispostas na diagonal para a fixação aos apoios, como se faz normalmente em 
coberturas. A figura 14 ilustra a disposição das linhas de correntes junto às terças. 
 Os perfis das extremidades da caixa de sucção foram mantidos constantes, 
sendo perfil tipo U127x50x17x3,00. Os quinhões de carga correspondente à cada 
perfil foi determinado proporcionalmente à sua rigidez à flexão. 
Perfis de aço formados a frio submetidos à flexão: análise teórico-experimental 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 149-178, 2002 
171 
 
Figura 14 - Linhas de correntes para as terças 
 Na tabela 7 apresentam-se os resultados da pressão aplicada nos ensaios 
realizados. Para efeito de comparação dos valores obtidos, essa pressão está referida 
a dois valores relativos da flecha: o primeiro para uma flecha igual a 1/180 do vão 
(31,22 mm) e o segundo, para uma flecha igual a 1/100 do vão (56,2 mm). 
Tabela 7 - Pressão de referência para as terças 
p (kN/m2) Ensaio Perfil Corrente 
L/180 L/100 
Mref (kN.m) 
1 U127x50x3,00 Não 0,65 0,85 4,30 
2 U127x50x17x3,00 Não 0,60 0,93 5,65 
3 Z127x50x17x3,00 Não 0,50 0,80 3,60 
4 U127x50x3,00 Não 0,40 0,61 3,09 
5 U127x50x3,00 Não 0,30 0,50 2,53 
6 U127x50x17x3,00 Não 0,33 0,55 2,78 
7 U127x50x17x3,00 Não 0,31 0,52 2,15 
8 U127x50x2,25 Sim 0,50 0,75 4,74 
9 U127x50x2,25 Sim 0,20 0,65 4,41 
10 U127x50x2,25 Sim 0,50 0,75 4,62 
11 U127x50x3,00 Sim 0,55 1,00 6,87 
12 Z127x50x17x2,25 Sim 0,45 0,80 5,81 
13 Z127x50x17x2,25 Sim 0,45 0,80 5,81 
14 Z127x50x17x3,00 Sim 0,54 0,96 8,03 
15 Z127x50x17x3,00 Sim 0,54 0,98 8,20 
Mref corresponde ao valor de p para L/100. 
 
 A utilização desses dois valores justifica-se tendo-se em vista que o primeiro é 
utilizado como limite de deslocamento máximo para terças enquanto o segundo 
admite-se como sendo aquele para o qual tem-se o prejuízo do uso da estrutura, 
caracterizando-se a sua falha. 
Carlos Eduardo Javaroni & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n.20, p.149-178, 2002 
172 
 O valor do momento fletor na seção do meio do vão, Mref, corresponde ao 
valor da pressão para 1/100 do vão. Este momento é o de um carregamento 
uniformemente distribuída ao longo do comprimento do perfil cujo valor é obtida pelo 
produto entre o valor da pressão de referência e a largura de influênciapara o perfil. 
 Na figura 15 pode-se notar a grandeza dos deslocamentos ocorridos e o giro 
da seção ao longo do vão. Na figura 16 encontra-se a fotografia do ensaio 
correspondente. 
 
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0
Giro (o)
p (kN/m2)
 
Ø
 
(Z127x50x17x3,00) 
Figura 15 - Giro para a seção central (Ensaio 3) 
 
Figura 16 - Deslocamentos horizontais e verticais observados (Ensaio 3) 
 A tabela 8 traz o modo de falha ocorrido para cada um dos ensaios realizados 
observando-se também os deslocamentos relativos medidos. 
Perfis de aço formados a frio submetidos à flexão: análise teórico-experimental 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 149-178, 2002 
173 
Tabela 8 - Modos de falhas para os perfis conectados às telhas 
Ensaio Perfil Modo de Falha v/L u/L 
Ensaios sem linhas de corrente 
1 U127x50x3,00 Deslocamento excessivo 1/104 1/201 
2 U127x50x17x3,00 Deslocamento excessivo 1/75 1/173 
3 Z127x50x17x3,00 Deslocamento excessivo 1/64 1/222 
4 U127x50x3,00 Deslocamento excessivo 1/88 1/165 
5 U127x50x3,00 Deslocamento excessivo 1/58 1/120 
6 U127x50x17x3,00 Deslocamento excessivo 1/60 1/112 
7 U127x50x17x3,00 Deslocamento excessivo 1/60 1/110 
Ensaios com linhas de correntes 
8 U127x50x2,25 Flambagem local da mesa 1/67 1/745 
9 U127x50x2,25 Flambagem local da mesa 1/67 1/256* 
10 U127x50x2,25 Flambagem local da mesa 1/77 1/258* 
11 U127x50x3,00 Flambagem local da mesa 1/91 1/430* 
12 Z127x50x17x2,25 Deslocamento excessivo 1/67 1/5980 
13 Z127x50x17x2,25 Deslocamento excessivo 1/66 1/2400 
14 Z127x50x17x3,00 Deslocamento excessivo 1/64 1/2475 
15 Z127x50x17x3,00 Deslocamento excessivo 1/65 1/2275 
Notas: * Valores medidos após a ocorrência da FLM, sendo que, os deslocamentos 
horizontais na mesa comprimida permaneceram nulos até a ocorrência da FLM. 
 
 Nessa tabela pode-se observar os valores das relações entre os 
deslocamentos verticais para o vão (v/L) e entre os deslocamentos horizontais para o 
vão (u/L). Nota-se que os valores dos deslocamentos horizontais da mesa destravada 
são da ordem de metade da flecha para os perfis sem correntes. Os valores da 
relação entre os deslocamentos horizontais para o vão (u/L), para os perfis tipo U com 
linhas de corrente, foram considerados como os correspondentes ao fim do 
carregamento, o qual deu-se após a ocorrência da FLM. Esses deslocamentos 
permanecem praticamente nulos até a ocorrência deste estado limite. 
 A análise das deformações para a seção transversal do meio do vão permite 
fazer algumas considerações importantes. 
 Na figura 17 apresenta-se o gráfico das deformações ocorridas nos pontos 
instrumentados para o ensaio 6, perfil tipo U127x50x17x3,00. 
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
-1200 -900 -600 -300 0 300 600 900 1200
 Ponto 2
 Ponto 3
 Ponto 4
 Ponto 5
 Ponto 6
 Ponto 7
 Ponto 8
Deformação (ue)
p (kN/m2)
 
2 3 4
7 6 5
8
 
Figura 17 - Gráfico pressão x deformação – Ensaio 6 
Carlos Eduardo Javaroni & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n.20, p.149-178, 2002 
174 
 Nesse gráfico pode-se verificar a diminuição das deformações, em valores 
absolutos, para o ponto 2, para o ponto 3 e de forma menos pronunciada, para o 
ponto 5. 
 Tal diminuição ocorre devido a rotação elevada da seção transversal nas 
proximidades da junção da alma com a mesa tracionada, induzindo o aparecimento 
de tensões de tração nas proximidades dos enrijecedores e de tensões de 
compressão na região da alma, provocando, desta forma a variação na distribuição de 
tensões na seção transversal do perfil. 
 Esta constatação está em consonância com as hipóteses adotadas no modelo 
de Peköz, Soroushian (1982). Neste modelo, as tensões na seção transversal são 
calculadas admitindo-se a superposição de dois estágios distintos: o primeiro devido 
ao deslocamento vertical e o segundo devido ao deslocamento horizontal e giro da 
seção transversal. 
 Essa evidência foi maior para os perfis tipo U enrijecido, embora também 
pronuncia-se de forma menos intensa para todos as outras seções transversais 
ensaiadas sem linha de corrente. 
 Na tabela 9 apresentam-se os momentos fletores correspondentes à pressão 
aplicada cuja flecha obtida é de 1/100 do vão e o momento fletor de início de 
escoamento da seção transversal. O momento fletor correspondente ao início de 
escoamento da seção transversal (My) foi calculado de acordo com as propriedades 
efetivas da seção transversal para uma tensão de escoamento (fy) igual a 343 MPa, 
com base nas dimensões nominais da seção transversal do perfil. 
 Como um método de cálculo empírico para a determinação da resistência 
nominal do perfil, o valor de FR, tabela 9, expressa a razão entre o momento último de 
ensaio e o momento fletor de início de escoamento, baseado no módulo de 
resistência elástico da seção efetiva. 
Tabela 9 – Momentos fletores último e de escoamento 
Ensaio Perfil p (kN/m2) Mref (kN.m) My (kN.m) FR=Mu/My 
Ensaios sem linhas de corrente 
1 U127x50x3,00 0,85 4,30 7,52 0,57 
2 U127x50x17x3,00 0,93 6,54 9,28 0,70 
3 Z127x50x17x3,00 0,80 3,60 10,16 0,35 
4 U127x50x3,00 0,61 3,09 7,42 0,42 
5 U127x50x3,00 0,50 2,53 7,42 0,34 
6 U127x50x17x3,00 0,55 3,86 9,28 0,42 
7 U127x50x17x3,00 0,52 3,65 9,28 0,39 
Ensaios com linhas de corrente 
8 U127x50x2,25 0,75 4,74 5,21 0,91 
9 U127x50x2,25 0,65 4,41 5,21 0,85 
10 U127x50x2,25 0,75 4,62 5,21 0,89 
11 U127x50x3,00 1,00 6,87 7,42 0,92 
12 Z127x50x17x2,25 0,80 5,81 7,46 0,78 
13 Z127x50x17x2,25 0,80 5,81 7,46 0,78 
14 Z127x50x17x3,00 0,96 8,03 9,77 0,82 
15 Z127x50x17x3,00 0,98 8,20 9,77 0,84 
Nota: p(kN/cm2) indica o valor da pressão aplicada correspondente ao deslocamento igual a 1/100 do 
vão (56,2 mm). Para este valor de pressão foi determinado o valor do momento fletor Mref. 
Perfis de aço formados a frio submetidos à flexão: análise teórico-experimental 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n. 20, p. 149-178, 2002 
175 
 Como valores médios dos resultado obtidos tem-se: 
 
Perfil tipo U sem linha de corrente: FR = 0,50
Perfil tipo U enrijecido sem linha de corrente: FR = 0,50
Perfil tipo U com 2 linhas de corrente: FR = 0,89
Perfil tipo Z enrijecido com 2 linhas de corrente: FR = 0,80
 
 Ressalta-se que esses valores devem ser restritos às condições utilizadas nos 
ensaios aqui desenvolvidos e a sua extrapolação a outras situações está sujeira a 
possíveis erros na avaliação da resistência ao momento fletor. 
 Para o perfil tipo Z sem linha de corrente foi realizado apenas um ensaio, 
portanto, o valor obtido (FR=0,35) não pode ser considerado como representativo para 
o tipo de perfil. 
 Para efeitos de comparação os valores aqui obtidos podem ser confrontados 
com os resultados obtidos por LaBoube (1992) e incorporados ao AISI a partir de 
1991. Em seu trabalho e aproveitando-se de resultados de outros estudos, LaBoube 
determina um coeficiente R como sendo uma quantidade empírica que corresponde a 
razão entre o momento fletor obtido em ensaio e o momento fletor de início de 
escoamento. Esse coeficiente R foi obtido para perfis tipo U e Z enrijecidos, 
considerando-se vigas biapoiadas e vigas contínuas, obtendo-se como resultados os 
seguintes valores médios: 
Perfil tipo U enrijecido (biapoiado, sem linha de corrente): R=0,40
Perfil tipo Z enrijecido (biapoiado, sem linha de corrente): R=0,50
Perfil tipo U enrijecido (contínuo, sem linha de corrente): R=0,60
Perfil tipo Z enrijecido (contínuo, sem linha de corrente): R=0,70
 
 
6 CONCLUSÃO 
Perfis fletidos: 
 As falhas para as quais o modo previsto não correspondeu ao observado 
deveu-se a superposição dos efeitos de deslocamento lateral e rotação da seção 
transversal, alterando a distribuição uniforme de tensões de compressão na mesa 
superior. Dessa forma, a flambagem local da mesa comprimida não ocorreu na 
posição de máximo momento fletor. Para os valores do coeficiente de flambagem 
lembra-se que os mesmos irão depender do detalhe dado ao travamento.Como 
realizado aqui, proporcionou-se uma restrição ao giro na seção travada lateralmente, 
podendo-se adotar valores de K menores que 1. Por outro lado, imaginando-se esse 
travamento realizado através de barra redonda certamente não poderia ser adotado 
Kt=0,5. Cabe ao engenheiro a avaliação desses parâmetros, observando-se que a sua 
influência na determinação da resistência do perfil é significativa. As expressões 
utilizadas pela norma brasileira para a determinação do momento crítico não permitem 
a consideração dos diferentes valores daqueles coeficientes de flambagem. 
Carlos Eduardo Javaroni & Roberto Martins Gonçalves 
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, n.20, p.149-178, 2002 
176 
 Quanto ao modelo de flambagem por distorção devido a Hancock, os modos 
de falha ocorridos não permitiram a sua avaliação. Entretanto, observa-se que os 
valores obtidos para os conjuntos U5 e U6 estão próximos aos dos ensaios, podendo 
justificar a diferença entre os modos de falha observado e o ocorrido. Ressalta-se 
também que o efeito distorcional é mais relevante quando a relação largura e 
espessura dos elementos do perfil (mesa e alma) é superior aos utilizados nos 
ensaios aqui desenvolvidos. 
 
Perfis conectados às telhas de aço: 
 As variáveis envolvidas no equacionamento do problema são em grande 
número, tornando o método empírico (fator de redução) uma alternativa interessante 
para fins de projeto, onde não tenha-se a utilização de linhas de correntes. 
Adicionalmente, para os perfis tipo U o valor de FR=0,40 demonstra ser um valor 
apropriado tanto para perfis com mesas enrijecidas como para os perfis com mesas 
não enrijecidas. Esse mesmo procedimento para a determinação da resistência 
nominal ao momento fletor está incorporado ao texto-base para a norma brasileira 
para o dimensionamento de estrutura de aço constituída por perfis formado a frio, 
onde utiliza-se os coeficientes obtidos por LaBoube. 
 Para o conjunto dos 8 ensaios realizados com linhas de correntes, pode-se 
dividi-lo em dois grupos. O primeiro corresponde aos ensaios dos perfis tipo U, os 
quais tiveram como modo de falha a flambagem local da mesa. Nos ensaios dos 
perfis tipo Z, como já observado, a falha ocorreu pelos deslocamentos verticais 
excessivos. Em ambos os casos, pode-se admitir a hipótese de flexão simples para o 
seu dimensionamento, observando-se que, através das deformações medidas ao 
longo da alma dos perfis ensaiados, a linha neutra permanece próxima da meia altura 
da seção transversal. 
 
 
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