Matemática - Livro 1-121-123

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121
Exemplos:
(du) = 10 ⋅ d + u
(cdu) = 100 ⋅ c + 10 ⋅ d + u
(mcdu) = 1000 ⋅ m + 100 ⋅ c + 10 ⋅ d + u
Assim, tem-se, por exemplo, que em n = 2  345 ⇔
m
c
d
u
=
=
=
=





2
3
4
5
.
Exercícios resolvidos
34 Dividindo-se um número natural N, de dois algarismos
distintos, pelo número x, obtemos quociente y e resto 1
Invertendo-se a ordem dos algarismos de N, forma-
mos um número que dividido por y gera quociente x
e resto z.
Nessas condições, pode-se armar que o resto da di-
visão do número z pelo número 9 é igual a:
A 1
 2
C 3
 4
E 5
Resolução:
Sendo a e b os dois algarismos que formam o número
N, temos:
10 1
10
a b x y
b a y x z
+ = ⋅ +
+ = ⋅ +



Subtraindo-se essas relações obtemos:
(10a + b) (10b + a) = (x y + 1) (y x + z) ⇔ 9a 9b =
= 1 z ⇔ z = 1 + 9b 9a ⇔ z = 9(b a) + 1
Logo, dividindo-se o número z por 9 obtemos resto
igual a 1
Alternativa: A.
35 Encontre todos os pares (X, Y) tais que X é o algarismo
das centenas e Y o algarismo das unidades do núme-
ro 5X4Y, sabendo que esse número é múltiplo de 19
Resolução:
Como 5X4Y = 5 040 + 100X + Y, com 0 ≤ X ≤ 9 e 0 ≤ Y
≤ 9, efetuando-se a divisão parcial, temos:
5040 100
5035 95
19
265 5
+ +
- - +
X Y
X X
5 5+ +X Y
Então, para que 5X4Y seja múltiplo de 19 é necessário
que 5 + 5X + Y também seja múltiplo de 19
Como X e Y variam de 0 a 9, temos que 5 ≤ 5 + 5X + Y
≤ 59.
Portanto, 5 + 5X + Y ∈ {19, 38, 57} ⇔
⇔ 5X + Y ∈ {14, ,33, 52}
As soluções (X, Y) de 5X + Y = 14 são (2, 4) e (1, 9).
As soluções (X, Y) de 5X + Y = 33 são (6, 3) e (5, 8).
A única solução (X, Y) de 5X + Y = 52 é (9, 7).
Os pares que são soluções da questão são: (1, 9),
(2, 4), (5, 8), (6, 3) e (9, 7).
Em um sistema de base b = 8, por exemplo, a mesma
cifra representa um número bem diferente:
(2  345)8 = 2 ⋅ 8
3 + 3 ⋅ 82 + 4 ⋅ 81 + 5 ⋅ 80 =
= 2 ⋅ 512 + 3 ⋅ 64 + + 4 ⋅ 8 + 5 ⋅ 1 =
= 1  024 + 192 + 32 + 5 = 1 253
Para representar os naturais, os babilônios usavam um
sistema de cifras sexagesimais. Imagine ter que memori-
zar 59 algarismos diferentes de zero e distintos entre si.
Atualmente, além do sistema decimal, o estudo da com-
putação faz uso do sistema hexadecimal, em que a base
é b = 16, para a representação de valores em linguagem
de máquina.
Com 16 algarismos esse sistema usa as letras A, B, C, D,
E e F como respectivos representantes dos números dez,
onze, doze, treze, quatorze e quinze.
Assim (xyz)16 = x ⋅ 16
2 + y ⋅ 16 + z é uma cifra na qual
x, y e z são algarismos hexadecimais.
Outro sistema muito utilizado na linguagem de com-
putadores é o sistema binário, em que a base b = 2
determina que existem apenas dois algarismos para se
representar todos os números naturais. Esses algarismos
são 0 e 1. Assim:
(10011101)2 = 1 · 2
7 + 0 · 26 + 0 · 25 + 1 · 24 +
+ 1 · 23 + 1 · 22 + + 0 · 21 + 1 · 20 =
= 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 4 + 0 + 1 = 157
Algarismo das unidades
Na sua forma decimal, o algarismo das unidades de
cada inteiro informa diretamente se o número pertence ao
ideal 10ℤ ou a qual dos seus conjuntos laterais.
O número 280, por exemplo, pertence ao ideal 10ℤ
pois termina por zero Já o número 2345, por exemplo,
pertence ao conjunto lateral de 10ℤ, cujos números são
da forma 10 k + 5, com k inteiro, pois termina por 5.
Então, sendo u o algarismo das unidades de um núme
ro inteiro n qualquer, tem-se que:
n ∈ {x ∈ ℤ | x = 10 · k + u, k ∈ ℤ}
Duas propriedades importantes podem ser enunciadas
para o algarismo das unidades da soma e do produto de
números naturais:
I. A unidade da soma depende apenas da soma das
unidades das parcelas.
n1 + n2 = (10 · k1 + u1) + (10 · k2 + u2) = 10 · (k1 + k2) + (u1 + u2)
II A unidade do produto depende apenas do produto
das unidades dos fatores
n1 · n2 = (10 · k1 + u1) · (10 · k2 + u2) =
= 100 · (k1 · k2) + 10 · (k1 · u2 + k2 · u1) + (u1 · u2)
MATEMÁTICA Capítulo 1 Conjuntos numéricos122
Revisando
1 Obter a forma irredutível dos seguintes números racionais:
a) 1,7
b) 0,32
c) 75%
d) 8,6666...
e) 0 54,
f)
364
56
g) 0 04
1 2
,
,
h)
2
3
5
18
i)
17
153
j) p
p
- 2
2
2 O número irracional p é uma das mais importantes constantes matemáticas conhecidas. Seu valor é estipulado pelo
quociente entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro.
Hoje é sabido que o valor exato desse número não pode ser escrito na forma decimal, pois suas innitas casas deci
mais não apresentam nenhum padrão de repetição. O que podemos fazer é aproximá lo da melhor forma possível de
acordo com a necessidade. Uma aproximação desse número com cinco casas decimais é 3,14159.
Os primeiros vestígios das estimativas do valor de p encontram-se no Papiro de Rhind escrito em torno de 1700 a.C.
no antigo Egito. Os gregos usavam algumas frações para aproximar o valor de p e particularmente Arquimedes
tinha preferência pela fração
22
7
. Os chineses também tinham verdadeira fascinação pelo número p e, em uma obra
de Tsu Chúng-Chisch (430 501), o autor descreve o valor “arquimediano”
22
7
 para o número p como “inexato”.
Obtenha a forma periódica do número racional
22
7
e responda às seguintes perguntas:
a) De quantos algarismos é composto o período da dízima?
b) Qual é o valor do 2014o algarismo após a vírgula dessa dízima?
c) Considerando-se apenas o número formado pelos quatro primeiros algarismos desse número, qual é a diferença
aproximada entre o número irracional p e a razão 22
7
?
d) Qual é o valor aproximado do comprimento de uma circunferência com 280 metros de diâmetro, que se obtém
adotando se o valor “arquimediano” inexato do número p?
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3 Um professor do Ensino Fundamental propôs aos seus alunos a seguinte atividade: cada aluno deveria escolher
um número x pertencente a um determinado intervalo de números reais determinado pelos números 1, 0 e 1, de-
pois calcular suas cinco primeiras potências, e escrever os resultados obtidos em ordem crescente.
Os intervalos dados foram:
A = ]+1, +∞ [ C = ]- ∞, 1[ B = ]0, +1[ D = ]-1, 0[
André escolheu um número x pertencente ao intervalo A, fez os cálculos, comparou seus resultados e respondeu correta-
mente que: x x x x x1 2 3 4 5< < < < .
Se Bruno escolheu um número do intervalo B, Claudia um número do intervalo C e Denise um número do intervalo D, e
todos fizeram corretamente seus cálculos e comparações, então, sendo x o número escolhido em cada caso, quais foram,
em função de x, as respostas de:
a) Bruno b) Cláudia c) Denise
4 Efetue as operações aritméticas indicadas nos seguintes itens, sem usar aproximações:
a) 2 3 45+ ⋅
b) 2 56 6⋅
c) 25 25 25 251 0
1
2
1
2-
-
+ + +
d) 18 8+
e) 12 18⋅
f) 2 23⋅
g) 4 2 24 3+
5 Fuvest (Adapt.) Qual é o menor número natural positivo que multiplicado por 3 888 resulta num
a) múltiplo de 7?
b) múltiplo de 10?
c) quadrado perfeito?
d) cubo perfeito?