Aula_00_-_Geometria_Plana_I_-_Parte_II_-_ESA_2024_enemconcursosgaucheallfree

Prévia do material em texto

ESA 
2024 
AULA 00 
Geometria Plana I – Parte II 
 
 
 
Prof. Ismael Santos 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 2 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
Sumário 
Introdução 3 
1.0. - Congruência De Triângulos 3 
1.0.1. Postulado 𝑳𝑨𝑳 (Lado-Ângulo-Lado) 3 
1.0.2. Teorema 𝑨𝑳𝑨 (Ângulo-Lado-Ângulo) 4 
1.0.3. Teorema 𝑳𝑳𝑳 (Lado-Lado-Lado) 4 
1.0.4. Teorema 𝑳𝑨𝑨𝟎 (Lado-Ângulo Adjacente-Ângulo Oposto) 4 
1.1. Consequência Do Postulado 𝑳𝑨𝑳 5 
1.1.1. Triângulo Isósceles 5 
2.0. Relações Métricas No Triângulo Retângulo 6 
3.0 - Semelhança de triângulos 17 
3.1. Teorema fundamental 17 
3.2 Critérios de semelhança 19 
3.2.1. AA (dois ângulos congruentes) 19 
3.2.2. LAL (lado-ângulo-lado) 20 
3.2.3. LLL (lado-lado-lado) 21 
3.3. Propriedades 22 
3.3.1. Base média 22 
3.3.2. Razão de proporção 24 
4.0. - Triângulo Retângulo 42 
4.1 - Hipotenusa 42 
4.2. Razões trigonométricas no triângulo retângulo 44 
4.2.1. Relação fundamental 46 
4.2.2. Ângulos complementares 47 
4.2.3. Ângulos notáveis 48 
7.0 - Lista de Questões - Nível 1 52 
8.0 - Lista de Questões Comentadas - NÍVEL 1 72 
9.0 - Lista de Questões- Nível 2 123 
10 - Lista de questões comentadas - NÍVEL 2 132 
11 - Referências Bibliográficas 159 
12 - Considerações Finais 159 
 
 
 
 
 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 3 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
Introdução 
Faaaaaaaaaaaaaaaala, Audaz! 
 Vamos continuar no estudo da Geometria Plana. 
Nesse curso, tentei deixar os comentários das questões bem detalhados, então, se você for um 
aluno avançado ou intermediário, apenas confira o gabarito e tente resolver todas as questões dessa aula. 
Lembre-se! O importante é ganhar velocidade na hora da prova, então, tente resolver a maior quantidade 
de exercícios possível e não perca tempo verificando questões que você já sabe! Caso você seja um aluno 
iniciante, você pode conferir o passo a passo das resoluções e aprender com elas. Sem mais delongas, 
vamos começar! 
 
1.0. - Congruência De Triângulos 
 Podemos afirmar que dois ou mais triângulos são congruentes se, e somente se, todos os lados e 
ângulos internos deles forem congruentes na mesma ordem. 
 Um postulado que consegue garantir a congruência de triângulos é o LAL, esse postulado gera 
outros teoremas que também provam a congruência de triângulos. Não veremos a demonstração dos 
teoremas, pois o que nos interessa é saber como aplicá-los. 
1.0.1. Postulado 𝑳𝑨𝑳 (Lado-Ângulo-Lado) 
 Esse postulado diz que se dois triângulos tiverem dois lados e o ângulo entre esses lados 
congruentes, podemos afirmar que esses triângulos são congruentes. 
 
{
 ≡ Â′
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≡ 𝐴′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≡ 𝐴′𝐶′̅̅ ̅̅ ̅
⇒ Δ𝐴𝐵𝐶 ≡ Δ𝐴′𝐵′𝐶′ 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 4 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
1.0.2. Teorema 𝑨𝑳𝑨 (Ângulo-Lado-Ângulo) 
 Se o lado e os ângulos adjacentes de dois triângulos forem congruentes ordenadamente, podemos 
afirmar que os triângulos são congruentes. 
 
{
 ≡ Â′
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≡ 𝐴′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅
�̂� ≡ 𝐵′̂
⇒ Δ𝐴𝐵𝐶 ≡ Δ𝐴′𝐵′𝐶′ 
 
1.0.3. Teorema 𝑳𝑳𝑳 (Lado-Lado-Lado) 
 Se os três lados de dois triângulos são ordenadamente congruentes, esses triângulos são 
congruentes. 
 
{
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≡ 𝐴′𝐶′̅̅ ̅̅ ̅
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≡ 𝐴′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≡ 𝐵′𝐶′̅̅ ̅̅ ̅̅
⇒ Δ𝐴𝐵𝐶 ≡ Δ𝐴′𝐵′𝐶′ 
 
1.0.4. Teorema 𝑳𝑨𝑨𝟎 (Lado-Ângulo Adjacente-Ângulo Oposto) 
 Se dois triângulos tiverem o lado, ângulo adjacente e ângulo oposto desse lado congruentes, então 
esses triângulos são congruentes. 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 5 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
 
{
 ≡ Â′
�̂� ≡ 𝐵′̂
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≡ 𝐵′𝐶′̅̅ ̅̅ ̅̅
⇒ Δ𝐴𝐵𝐶 ≡ Δ𝐴′𝐵′𝐶′ 
 
1.1. Consequência Do Postulado 𝑳𝑨𝑳 
1.1.1. Triângulo Isósceles 
 Sabemos que um triângulo 𝐴𝐵𝐶 é isósceles se, e somente se, possui dois lados iguais. 
 Seja Δ𝐴𝐵𝐶 isósceles com 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶. Traçando-se a bissetriz no vértice 𝐴, temos: 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 6 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
 Como 𝐴𝐷 é a bissetriz do vértice 𝐴, temos 𝐵Â𝐷 = 𝐶Â𝐷. 
 Usando o postulado 𝐿𝐴𝐿, sabemos que Δ𝐴𝐵𝐷 ≡ Δ𝐴𝐶𝐷. Então, os elementos correspondentes são 
congruentes: 
Δ𝐴𝐵𝐷 ≡ Δ𝐴𝐶𝐷 
𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 ⇒ 𝐵𝐷 = 𝐶𝐷 ⇒ 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ é mediana 
⇒ �̂� ≡ �̂� 
𝐴�̂�𝐵 = 𝐴�̂�𝐶 = 𝜃 ⇒ 𝜃 + 𝜃 = 180° ⇒ 𝜃 = 90° ⇒ 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ é altura 
 Como 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ é mediana e altura ao mesmo tempo, temos por definição que 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ é mediatriz do 
triângulo 𝐴𝐵𝐶. Perceba que todos os pontos da mediatriz do segmento 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ são equidistantes das 
extremidades 𝐵 e 𝐶. Então, se não soubéssemos que o triângulo 𝐴𝐵𝐶 era isósceles, pelo fato do segmento 
𝐴𝐷 ser mediatriz, poderíamos afirmar que ele é isósceles. Isso pode ser provado pelo postulado 𝐿𝐴𝐿: 
{
𝐵𝐷 ≡ 𝐷𝐶
𝐵�̂�𝐴 ≡ 𝐶�̂�𝐴
𝐷𝐴 ≡ 𝐷𝐴
⇒ Δ𝐵𝐷𝐴 ≡ Δ𝐶𝐷𝐴 ⇒ 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 
 
 
2.0. Relações Métricas No Triângulo Retângulo 
 
Relações métricas no triângulo 
retângulo 
(𝑰) 𝑏2 = 𝑎𝑛 
(𝑰𝑰) 𝑐2 = 𝑎𝑚 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 7 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
(𝑰𝑰𝑰) ℎ2 = 𝑚𝑛 
(𝑰𝑽) 𝑏𝑐 = 𝑎ℎ 
(𝑽) 𝑏ℎ = 𝑐𝑛 
(𝑽𝑰) 𝑐ℎ = 𝑏𝑚 
(𝑽𝑰𝑰) 
Pitágoras 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 
(𝑽𝑰𝑰𝑰) 1
ℎ2
=
1
𝑏2
+
1
𝑐2
 
 
 Demonstração: 
 
 Podemos ver que os triângulos 𝐴𝐵𝐶,𝐷𝐵𝐴, 𝐷𝐴𝐶 são semelhantes. Assim, temos: 
Δ𝐴𝐵𝐶~Δ𝐷𝐵𝐴 ⇒
{
 
 
 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
ℎ
⇒ 𝑏𝑐 = 𝑎ℎ
𝑎
𝑐
=
𝑐
𝑚
⇒ 𝑐2 = 𝑎𝑚
𝑏
𝑐
=
ℎ
𝑚
⇒ 𝑐ℎ = 𝑏𝑚
 
Δ𝐴𝐵𝐶~Δ𝐷𝐴𝐶 ⇒
{
 
 
 
 
𝑎
𝑏
=
𝑏
𝑛
⇒ 𝑏2 = 𝑎𝑛
𝑎
𝑐
=
𝑏
ℎ
⇒ 𝑏𝑐 = 𝑎ℎ
𝑏
𝑐
=
𝑛
ℎ
⇒ 𝑏ℎ = 𝑐𝑛
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 8 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
Δ𝐷𝐵𝐴~Δ𝐷𝐴𝐶 ⇒
{
 
 
 
 
𝑐
ℎ
=
𝑏
𝑛
⇒ 𝑏ℎ = 𝑐𝑛
𝑐
𝑚
=
𝑏
ℎ
⇒ 𝑐ℎ = 𝑏𝑚
𝑚
ℎ
=
ℎ
𝑛
⇒ ℎ2 = 𝑚𝑛
 
 
 
 Já estudamos o Teorema de Pitágoras, podemos usá-la para provar 
1
ℎ2
=
1
𝑏2
+
1
𝑐2
: 
1
𝑏2
+
1
𝑐2
=
𝑐2 + 𝑏2
𝑏2𝑐2
 
 Usando o Teorema de Pitágoras, temos: 
1
𝑏2
+
1
𝑐2
=
𝑎2
𝑏2𝑐2
 
 
 
 Pela relação (𝐼𝑉): 
𝑏𝑐 = 𝑎ℎ 
𝑏2𝑐2 = 𝑎2ℎ2 
 Substituindo na equação: 
1
𝑏2
+
1
𝑐2
=
𝑎2
𝑎2ℎ2
 
 Portanto: 
1
𝑏2
+
1
𝑐2
=
1
ℎ2
 
 
 
1) Determine 𝒙 e 𝒚: 
a) 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 9 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
 
 
b) 
 
 
Resolução: 
a) 
 
 Usando as relações métricas do triângulo retângulo, temos: 
𝑥𝑦 = 3 ∙ 4 
 Pelo Teorema de Pitágoras: 
𝑥2 = 32 + 42 ⇒ 𝑥 = 5 
 Substituindo 𝑥 na equação: 
5𝑦 = 12 ⇒ 𝑦 = 12/5 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 10 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
b) 
 
Δ𝐴𝐵𝐷 é retângulo 
 Usando o Teorema de Pitágoras no Δ𝐴𝐵𝐷: 
82 = 𝑥2 + 𝑦2 ⇒ 𝑥2 + 𝑦2 = 64 (𝐼) 
Δ𝐴𝐵𝐷~Δ𝐵𝐷𝐶 
𝑥
𝑦
=
𝑦
12
⇒ 𝑦2 = 12𝑥 (𝐼𝐼) 
 
 
 Substituindo (𝐼𝐼) em (𝐼): 
𝑥2 + 12𝑥 − 64 = 0 
𝑥 = (−6 ± √100) = −16 𝑜𝑢 4 
 Como 𝑥 > 0, temos 𝑥 = 4. 
 Substituindo 𝑥 em (𝐼𝐼): 
𝑦2 = 12 ∙ 4 
𝑦 = 4√3 
GABARITO: A) 𝒙 = 𝟓 𝒆 𝒚 = 𝟏𝟐/𝟓 B) 𝒙 = 𝟒 𝒆 𝒚 = 𝟒√𝟑 
2) Determine 𝒙: 
a) 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 11 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
Resolução: 
a) 
 
 Fazendo 𝐴𝐷 = 𝑦 e aplicando o teorema de Pitágoras nos triângulos 𝐴𝐵𝐷 e 𝐴𝐷𝐶: 
32 = 𝑥2 + 𝑦2 (𝐼) 
62 = 𝑦2 + (𝑥 + 4)2 (𝐼𝐼) 
 Subtraindo (𝐼𝐼) − (𝐼): 
36 − 9 = (𝑥 + 4)2 − 𝑥2 
27 = (𝑥 + 4 − 𝑥)(𝑥 + 4 + 𝑥) 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 12 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
27
4
= 2𝑥 + 4 
𝑥 =
27
8
− 2 =
11
8
 
b) 
 
 Fazendo 𝐴𝐷 = 𝑦 e aplicandoo teorema de Pitágoras: 
 Δ𝐴𝐵𝐷: 
(2√5)
2
= 𝑥2 + 𝑦2 (𝐼) 
 
 Δ𝐵𝐷𝐶: 
52 = 𝑥2 + (5 − 𝑦)2 (𝐼𝐼) 
 Subtraindo (𝐼𝐼) − (𝐼): 
25 − 20 = (5 − 𝑦)2 − 𝑦2 
5 = (5 − 𝑦 − 𝑦)(5 − 𝑦 + 𝑦) 
1 = 5 − 2𝑦 
2𝑦 = 4 
𝑦 = 2 
 Substituindo 𝑦 em (𝐼): 
20 = 𝑥2 + 22 
𝑥2 = 16 
𝑥 = 4 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 13 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
Gabarito: a) 𝒙 = 𝟏𝟏/𝟖 b) 𝒙 = 𝟒 
3) O 𝚫𝑨𝑩𝑪 é retângulo em 𝑩 e 𝑪𝑫 = 𝟐 ∙ 𝑩𝑫. Calcule 𝒙. 
 
Resolução: 
 Fazendo 𝐴𝐵 = 𝑏 e 𝐵𝐷 = 𝑎, temos 𝐶𝐷 = 2𝑎. Perceba que os triângulos 𝐴𝐵𝐷 e 𝐴𝐵𝐶 são 
semelhantes, pois possuem todos os ângulos internos congruentes: 
 
 Assim, calculando as razões entre os triângulos: 
Δ𝐴𝐵𝐷~Δ𝐶𝐵𝐴 
𝐵𝐷
𝐴𝐵
=
𝐴𝐵
𝐵𝐶
 
𝑎
𝑏
=
𝑏
3𝑎
 
𝑏2 = 3𝑎2 
𝑏 = √3𝑎 
 O ângulo 𝑥 é dado por: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 14 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
𝑡𝑔𝑥 =
𝑎
𝑏
=
𝑎
√3𝑎
=
√3
3
 
𝑥 = 30° 
Gabarito: 𝒙 = 𝟑𝟎° 
4) Na figura a seguir temos 𝑨𝑴 = 𝑴𝑩. Calcule a medida de 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ . 
 
 
 
Resolução: 
 
 Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, temos: 
𝜃 + 𝛼 = 90° (𝐼) 
𝛽 + 𝛾 = 90° (𝐼𝐼) 
 Sendo �̂� um ângulo raso: 
𝛼 + 𝛽 + 90° = 180° 
𝛼 + 𝛽 = 90° (𝐼𝐼𝐼) 
 Fazendo (𝐼𝐼𝐼) − (𝐼𝐼): 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 15 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
𝛼 − 𝛾 = 0 ⇒ 𝛼 = 𝛾 
 Fazendo (𝐼𝐼𝐼) − (𝐼): 
𝛽 − 𝜃 = 0 ⇒ 𝛽 = 𝜃 
 
 Os triângulos 𝐴𝐶𝑀 e 𝐵𝑀𝐷 são congruentes, logo: 
𝑎
𝐴𝑀
=
𝑀𝐵
𝑏
 
𝑎𝑏 = 𝑀𝐵 ∙ 𝐴𝑀 
 Como 𝐴𝑀 = 𝑀𝐵 = 𝑥, temos: 
𝑥2 = 𝑎𝑏 ⇒ 𝑥 = √𝑎𝑏 
 Assim, a medida de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ é dada por: 
𝐴𝐵 = 2𝑥 = 2√𝑎𝑏 
Gabarito: 𝑨𝑩 = 𝟐√𝒂𝒃 
5) Na figura abaixo temos 𝑴�̂�𝑪 = 𝑩�̂�𝑪, 𝑨𝑩 = 𝟑,𝑩𝑪 = 𝟐 e 𝑨𝑪 = 𝟒. Calcule as medidas dos 
segmentos 𝑴𝑪̅̅ ̅̅ ̅ e 𝑴𝑩̅̅ ̅̅ ̅. 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 16 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 Os triângulos 𝐵𝑀𝐶 e 𝐴𝐵𝐶 são semelhantes, pois todos os ângulos internos são congruentes: 
 
 Fazendo a semelhança dos triângulos: 
Δ𝐴𝐵𝐶~Δ𝐵𝑀𝐶 
𝐴𝐵
𝐴𝐶
=
𝐵𝑀
𝐵𝐶
 
3
4
=
𝑦
2
 
𝑦 =
3
2
 
𝐴𝐶
𝐵𝐶
=
𝐵𝐶
𝑀𝐶
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 17 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
4
2
=
2
𝑥
 
𝑥 = 1 
Gabarito: 𝑴𝑪 = 𝟏 e 𝑴𝑩 = 𝟑/𝟐 
 
3.0 - Semelhança de triângulos 
 Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, os ângulos internos são congruentes e os lados 
opostos a esses ângulos congruentes são proporcionais entre si. Usamos o símbolo ~ para indicar que dois 
triângulos são semelhantes. 
 
𝚫𝑨𝑩𝑪~𝚫𝑨′𝑩′𝑪′ ⇔ {
𝑨 ≡ 𝑨′, 𝑩 ≡ 𝑩′, 𝑪 ≡ 𝑪′
𝒂
𝒂′
=
𝒃
𝒃′
=
𝒄
𝒄′
= 𝒌 ∈ ℝ+
∗ 
 
 Definimos 𝑘 como a razão de semelhança dos triângulos semelhantes. 
 
3.1. Teorema fundamental 
Dado o seguinte triângulo 𝐴𝐵𝐶 e a reta 𝑟 que passa por ele nos pontos 𝐷 e 𝐸, temos: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 18 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
 
𝒓//𝑩𝑪 ⇔ 𝜟𝑨𝑫𝑬~𝜟𝑨𝑩𝑪 
Se a reta 𝑟 for paralela a um dos lados de um triângulo 𝐴𝐵𝐶, o Δ𝐴𝐷𝐸 que ele determina é 
semelhante ao Δ𝐴𝐵𝐶. 
Demonstração: 
Como 𝑟 é paralelo ao lado 𝐵𝐶, temos �̂� ≡ �̂�, �̂� ≡ �̂� e  é um ângulo comum aos Δ𝐴𝐵𝐶 e Δ𝐴𝐷𝐸. 
Vamos construir a reta paralela 𝑠 ao lado 𝐴𝐵: 
 
Aplicando o Teorema de Tales nas retas paralelas 𝑟 e 𝐴𝐵: 
𝐴𝐷
𝐴𝐵
=
𝐴𝐸
𝐴𝐶
 
Aplicando o Teorema de Tales nas retas paralelas 𝑠 e 𝐴𝐵: 
𝐴𝐸
𝐴𝐶
=
𝐵𝐹
𝐵𝐶
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 19 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
Como 𝐵𝐷𝐸𝐹 é um paralelogramo, temos 𝐵𝐹 = 𝐷𝐸, desse modo: 
𝐴𝐷
𝐴𝐵
=
𝐴𝐸
𝐴𝐶
=
𝐷𝐸
𝐵𝐶
 
Portanto, os lados correspondentes dos triângulos são proporcionais e os ângulos internos são 
ordenadamente congruentes. Logo, são semelhantes. 
 
3.2 Critérios de semelhança 
3.2.1. AA (dois ângulos congruentes) 
Se dois triângulos tiverem dois ângulos congruentes, eles serão semelhantes. 
 
{Â ≡ Â
′
𝐵 ≡ 𝐵′
⇒ Δ𝐴𝐵𝐶~Δ𝐴′𝐵′𝐶′ 
 Demonstração: 
 Supondo que 𝐴𝐵 > 𝐴′𝐵′, podemos construir um triângulo 𝐴𝐷𝐸 no triângulo 𝐴𝐵𝐶 tal que �̂� ≡ 𝐵′̂ e 
𝐴𝐷 ≡ 𝐴′𝐵′: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 20 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
 
 Pelo critério de congruência ALA, podemos afirmar que Δ𝐴𝐷𝐸 ≡ Δ𝐴′𝐵′𝐶′. 
 Como 𝐵 ≡ 𝐵′ ≡ 𝐷, temos que 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ //𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , portanto, Δ𝐴𝐵𝐶~Δ𝐴𝐷𝐸. 
 Como Δ𝐴𝐷𝐸 ≡ Δ𝐴′𝐵′𝐶′, temos Δ𝐴𝐵𝐶~Δ𝐴′𝐵′𝐶′. Logo, são semelhantes. 
 
3.2.2. LAL (lado-ângulo-lado) 
Se dois triângulos tiverem dois lados proporcionais e o ângulo compreendido entre eles for 
congruente, então esses triângulos são semelhantes. 
 
{
 ≡ Â′
𝑐
𝑐′
=
𝑏
𝑏′
⇒ Δ𝐴𝐵𝐶~Δ𝐴′𝐵′𝐶′ 
 Demonstração: 
 Supondo 𝐴𝐵 > 𝐴′𝐵′, vamos traçar o segmento de reta 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ no triângulo 𝐴𝐵𝐶 tal que 𝐴𝐷 ≡ 𝐴′𝐵′ e 
𝐴𝐸 ≡ 𝐴′𝐶′: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 21 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
 
 Pelo Teorema de Tales, como 
𝑐
𝑐′
=
𝑏
𝑏′
, temos que 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ //𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . Então, �̂� ≡ �̂� e �̂� ≡ �̂�. 
 Usando o critério de congruência LAL, temos Δ𝐴𝐷𝐸 ≡ Δ𝐴′𝐵′𝐶′. Logo, �̂� ≡ 𝐵′̂ e �̂� ≡ 𝐶′̂. 
 Portanto, pelo critério de semelhança AA, podemos ver que �̂� ≡ 𝐴′̂ e �̂� ≡ 𝐵′̂ implica 
Δ𝐴𝐵𝐶~Δ𝐴′𝐵′𝐶′. 
 
3.2.3. LLL (lado-lado-lado) 
Se dois triângulos tiverem os lados correspondentes proporcionais entre si, então eles são 
semelhantes. 
 
𝑎
𝑎′
=
𝑏
𝑏′
=
𝑐
𝑐′
⇒ Δ𝐴𝐵𝐶~Δ𝐴′𝐵′𝐶′ 
 
Demonstração: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 22 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
Supondo que 𝐴𝐵 > 𝐴′𝐵′, podemos traçar o segmento de reta 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ , tal que 𝐴𝐷 ≡ 𝐴′𝐵′ e 𝐴𝐸 ≡ 𝐴′𝐶′: 
 
 Usando o Teorema de Tales: 
𝑐
𝑐′
=
𝑏
𝑏′
⇒ 𝐷𝐸//𝐵𝐶 
 Então: 
�̂� ≡ �̂� e Ê ≡ �̂� ⇒ Δ𝐴𝐷𝐸~Δ𝐴𝐵𝐶 
𝑎
𝑥
=
𝑏
𝑏′
=
𝑐
𝑐′
 
 Da hipótese, temos: 
𝑎
𝑎′
=
𝑏
𝑏′
=
𝑐
𝑐′
 
 Portanto: 
𝑎′ = 𝑥 
Δ𝐴𝐷𝐸 ≡ Δ𝐴′𝐵′𝐶′ 
∴ Δ𝐴𝐵𝐶~Δ𝐴′𝐵′𝐶′ 
 
3.3. Propriedades 
As seguintes propriedades decorrem da semelhança de triângulos. 
3.3.1. Base média 
Seja 𝐴𝐵𝐶, um triângulo qualquer. Se 𝑀 é o ponto médio do lado 𝐴𝐵 e 𝑁 é o ponto médio do lado 
𝐴𝐶, temos: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 23 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
 
Pelo Teorema de Tales, sendo 𝐴𝑀 = 𝑀𝐵 e 𝐴𝑁 = 𝑁𝐶: 
𝐴𝑀
𝑀𝐵
=
𝐴𝑁
𝑁𝐶
⇒ 𝑀𝑁//𝐵𝐶 
Desse modo: 
𝑀 ≡ 𝐵 e 𝑁 ≡ 𝐶 
Pelo critério de semelhança AA, temos: 
Δ𝐴𝑀𝑁~Δ𝐴𝐵𝐶 
A razão de proporção entre eles é 1/2: 
𝐴𝑀
𝐴𝐵
=
𝐴𝑁
𝐴𝐶
=
𝑀𝑁
𝐵𝐶
=
1
2
 
Se 𝐵𝐶 é a base do triângulo 𝐴𝐵𝐶, então 𝑀𝑁 é chamado de base média do triângulo 𝐴𝐵𝐶. 
Tomando-se 𝑃, o ponto médio do lado 𝐵𝐶 e formando o triângulo 𝑀𝑁𝑃, encontramos: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 24 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
 
Vimos que 𝑀𝑁 é paralelo ao lado 𝐵𝐶, analogamente, para os outros lados, podemos provar que 
𝑁𝑃//𝐴𝐵 e 𝑀𝑃//𝐴𝐶. Então, o triângulo 𝑀𝑁𝑃 é semelhante ao triângulo 𝐴𝐵𝐶 e possui razão igual a 1/2. 
 
3.3.2. Razão de proporção 
Se a razão de proporção de dois triângulos é 𝑘, então a razão entre seus elementos lineares 
correspondentes é 𝑘. Assim, a razão entre: 
-suas alturas é 𝑘; 
-suas medianas é 𝑘; 
-seus perímetros é 𝑘; 
-os raios das circunferências inscritas é 𝑘; 
-os raios das circunferências circunscritas é 𝑘; 
-dois elementos lineares e homólogos é 𝑘. 
Chamamos de perímetro a soma de todos os lados de um triângulo, então paraum triângulo 𝐴𝐵𝐶: 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 25 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
2𝑝 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 
𝑝 é o semiperímetro do triângulo 𝐴𝐵𝐶 e 2𝑝 é o seu perímetro. 
Uma circunferência inscrita em um triângulo é uma circunferência que tangencia internamente os 
lados do triângulo: 
 
𝐷, 𝐸, 𝐹 são os pontos de tangência da circunferência inscrita ao triângulo 𝐴𝐵𝐶. 
𝑟 é o raio da circunferência inscrita. 
Perceba que os segmentos de reta que ligam o centro da circunferência aos pontos de tangência 
sempre formam um ângulo reto. 
Uma circunferência circunscrita a um triângulo é uma circunferência que passa por todos os vértices 
do triângulo: 
 
𝑅 é o raio da circunferência circunscrita. 
Dizemos que dois elementos são homólogos quando ambos são correspondentes um ao outro. Por 
exemplo, tomando-se dois triângulos semelhantes, podemos afirmar que os lados opostos aos ângulos 
congruentes são homólogos. 
 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 26 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
6) (Exercícios de Fixação) 
Sendo 𝒓, 𝒔, 𝒕 retas paralelas. Calcule o valor de 𝒙: 
a) 
 
b) 
 
c) 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 27 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
 
Resolução: 
a) 
 
 Pelo teorema de Tales, temos: 
𝑥
3
=
2
4
 
𝑥 =
3
2
 
 
b) 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 28 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
 
3
4
=
𝑥
𝑥 + 3
 
3𝑥 + 9 = 4𝑥 
𝑥 = 9 
c) 
 
𝑥
𝑥 + 6
=
8
𝑥
 
𝑥2 = 8𝑥 + 48 
𝑥2 − 8𝑥 − 48 = 0 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 29 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
𝑥 = (4 ± √64) 
𝑥 = 4 ± 8 
𝑥 = 12 𝑜𝑢 − 4 
∴ 𝑥 = 12 
Gabarito: a) 𝒙 = 𝟑/𝟐 b) 𝒙 = 𝟗 c) 𝒙 = 𝟏𝟐 
7) Sendo 𝑴𝑵//𝑩𝑪, calcule o valor de 𝒙 na figura abaixo: 
 
 
Resolução: 
 Aplicando o teorema de Tales: 
𝐴𝑀
𝑀𝐵
=
𝐴𝑁
𝑁𝐶
 
𝑥
8
=
3
5
 
𝑥 =
24
5
 
Gabarito: 𝒙 = 𝟐𝟒/𝟓 
8) Calcule o valor de 𝒙: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 30 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
 
Resolução: 
20
10
=
𝑥
15
 
𝑥 = 30 
Gabarito: 𝒙 = 𝟑𝟎 
9) Sendo 𝑴𝑵//𝑩𝑪, calcule o valor de 𝒙 na figura abaixo: 
 
Resolução: 
 Como 𝑀𝑁//𝐵𝐶, temos que Δ𝐴𝑀𝑁~Δ𝐴𝐵𝐶: 
𝐴𝑁
𝑀𝑁
=
𝐴𝐶
𝐵𝐶
 
2
𝑥
=
2 + 3
𝑥 + 4
 
2𝑥 + 8 = 5𝑥 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 31 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
𝑥 =
8
3
 
Gabarito: 𝒙 = 𝟖/𝟑 
10) (CGTMG/2015) Na figura a seguir, as retas 𝒓, 𝒔, 𝒕 e 𝒘 são paralelas e, 𝒂, 𝒃 e 𝒄 representam 
medidas dos segmentos tais que 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟏𝟎𝟎. 
 
Conforme esses dados, os valores de 𝒂, 𝒃 e 𝒄 são, respectivamente, iguais a 
a) 24, 32 e 44. 
b) 24, 36 e 40. 
c) 26, 30 e 44. 
d) 26, 34 e 40. 
 
Resolução: 
 Pelo teorema de Tales, temos: 
18
𝑎
=
24
𝑏
=
33
𝑐
=
18 + 24 + 33
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
 
18
𝑎
=
24
𝑏
=
33
𝑐
=
75
100
 
18
𝑎
=
24
𝑏
=
33
𝑐
=
3
4
 
⇒ 𝑎 = 24 
⇒ 𝑏 = 32 
⇒ 𝑐 = 44 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 32 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
Gabarito: “a”. 
 
11) Nas figuras abaixo, as retas 𝑟 e 𝑠 são paralelas. Determine 𝑥 em cada uma delas: 
 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 33 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
c) 
 
d) 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 34 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
e) 
 
f) 
 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 35 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
g) 
 
Comentário: 
a) Veja que 3𝑥 + 20∘ e 𝑥 são alternos internos, ou seja, 
3𝑥 + 20∘ + 𝑥 = 180∘ ⇒ 4𝑥 = 160∘ ⇒ 𝑥 = 40∘ 
 
 
b) Pelo teorema do bico, temos que 
 
𝑥 = 10∘ + 20∘ = 30∘ 
 
c) Pelo teorema do bico, temos que 
𝑥 = (180∘ − 150∘) + (180∘ − 160∘) = 30∘ + 20∘ = 50∘ 
 
d) Pelo teorema do bico, temos que 
40∘ + 𝑥 = 60∘ + 50∘ 
⇒ 𝑥 = 110∘ − 40∘ = 70∘ 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 36 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
e) Veja que podemos traçar uma perpendicular às duas retas paralelas e formar um 
pentágono: 
 
 
A soma dos ângulos internos de um pentágono é 540∘, ou seja, 
180∘ − 5𝑥 + 130∘ + 180∘ − 3𝑥 + 90∘ + 90∘ = 540∘ 
⇒ 130∘ = 8𝑥 ⇒ 𝑥 = 16,25∘ 
 
f) Traçando uma perpendicular às retas paralelas, formamos um pentágono: 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 37 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
Como a soma dos ângulos internos de um pentágono é igual a 540∘, temos que 
𝑥 + 80∘ + 135∘ + 75∘ + 90∘ = 540∘ 
⇒ 𝑥 = 160∘ 
 
g) Veja que 5𝑦 e 120∘ são alternos internos, ou seja, 
5𝑦 = 120∘ ⇒ 𝑦 = 24∘ 
 
Sabemos que 𝑥 é ângulo externo de um triângulo e os ângulos não adjacentes a ele são 2𝑦 e 
120∘, ou seja, 
𝑥 = 2𝑦 + 120∘ = 168∘ 
 
Gabarito: 𝒂) 𝟒𝟎∘, 𝒃) 𝟑𝟎∘, 𝒄) 𝟓𝟎∘, 𝒅) 𝟕𝟎∘, 𝒆) 𝟏𝟔, 𝟐𝟓∘, 𝒇)𝟏𝟔𝟎∘, 𝒈)𝟏𝟔𝟖∘ 
12) Na figura abaixo, calcule ∠𝒙 + ∠𝒚. 
 
 
 
Comentário: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 38 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
Usando que as retas paralelas, prolongamos 𝑡 e, sabendo que assoma dos ângulos internos de 
um triângulo é 180∘: 
 
 
𝑥 + 𝑦 + (180∘ − 135∘) = 180∘ ⇒ 𝑥 + 𝑦 = 135∘ 
Gabarito: 𝟏𝟑𝟓∘ 
 
13) Na figura abaixo, as retas 𝒓 e 𝒔 são paralelas. Calcule 𝟑𝜶 + 𝜷: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 39 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
 
 
Comentário: 
Temos a figura abaixo com algumas conclusões sobre ângulos opostos pelo vértice 
 
 
Veja que 𝛽 é suplementar de 120∘, ou seja, 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 40 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
𝛽 = 180∘ − 120∘ = 60∘ 
Pelo teorema do bico, concluímos que 
𝛼 + 𝛽 = 90∘ + 15∘ = 105∘ ⇒ 𝛼 = 45∘ 
Portanto, 
3𝛼 + 𝛽 = 3 ⋅ 45∘ + 60∘ = 195∘ 
 
Gabarito: 𝟏𝟗𝟓∘ 
14) (IFCE/2016) O triângulo 𝑨𝑩𝑪 tem lados medindo 8 cm, 10 cm e 16 cm, enquanto o triângulo 
𝑫𝑬𝑭, semelhante a 𝑨𝑩𝑪, tem perímetro 204 cm. O maior e o menor dos lados de 𝑫𝑬𝑭 medem, 
respectivamente, 
a) 64 cm e 32 cm. 
b) 60 cm e 48 cm. 
c) 48 cm e 24 cm. 
d) 96 cm e 48 cm. 
e) 96 cm e 64 cm. 
 
 
 
Resolução: 
 O enunciado nos diz que os triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐷𝐸𝐹 são semelhantes, logo, os lados e os seus 
perímetros possuem a mesma razão de proporção. Vamos calcular o perímetro 𝑝𝐴𝐵𝐶 do Δ𝐴𝐵𝐶: 
𝑝𝐴𝐵𝐶 = 8 + 10 + 16 = 34 
 Vamos calcular a razão de proporção entre os triângulos: 
𝑝𝐴𝐵𝐶
𝑝𝐷𝐸𝐹
=
34
204
=
1
6
 
 Logo, a razão de proporção entre os triângulos é 1/6. Os lados do triângulo 𝐷𝐸𝐹 são dados 
por: 
8 𝑐𝑚 ⇒ 48 𝑐𝑚 
10 𝑐𝑚 ⇒ 60 𝑐𝑚 
16 𝑐𝑚 ⇒ 96 𝑐𝑚 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 41 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
 Portanto, o maior lado é 96 cm e o menor é 48 cm. 
Gabarito: “d”. 
15) No triângulo 𝑨𝑩𝑪, 𝑩𝑫 é mediana relativa ao lado 𝑨𝑪 e os ângulos 𝑩Â𝑪 e 𝑫�̂�𝑪 são iguais. Se o 
ângulo 𝑩�̂�𝑨 = 𝟒𝟓°, calcule 𝒙. 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 Perceba que os triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐵𝐷𝐶 são semelhantes, veja: 
 
 Pelo critério de semelhança 𝐴𝐴: 
𝐵Â𝐶 ≡ 𝐷�̂�𝐶 e 𝐴�̂�𝐶 ≡ 𝐵�̂�𝐶 ⇒ Δ𝐴𝐵𝐶~Δ𝐵𝐷𝐶 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 42 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
 
 Fazendo a razão de semelhança: 
𝐴𝐶
𝐵𝐶
=
𝐵𝐶
𝐷𝐶
 
2𝑏
𝑎
=
𝑎
𝑏
⇒ 𝑎 = √2𝑏 
 Aplicando a lei dos senos no triângulo 𝐴𝐵𝐶: 
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝑥
=
2𝑏
𝑠𝑒𝑛(135°)
 
√2𝑏
𝑠𝑒𝑛𝑥=
2𝑏
𝑠𝑒𝑛(135°)
 
𝑠𝑒𝑛𝑥 =
√2
2
∙
√2
2
 
𝑠𝑒𝑛𝑥 =
1
2
 
∴ 𝑥 = 30° 
Gabarito: 𝒙 = 𝟑𝟎° 
 
4.0. - Triângulo Retângulo 
4.1 - Hipotenusa 
A hipotenusa de um triângulo retângulo inscrito em uma circunferência possui medida igual ao 
diâmetro da circunferência. 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 43 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
 
Demonstração: 
Vimos no tópico de arco capaz que  = 𝐵�̂�/2. Desse modo: 
𝐵�̂� = 2Â 
𝐵�̂� = 180° 
Assim, o segmento 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ é a diagonal da circunferência. O centro dessa circunferência é o ponto 
médio da hipotenusa do triângulo retângulo: 
 
⇒ 𝑎 = 2𝑅 
Para uma circunferência inscrita em um triângulo retângulo, temos: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 44 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
 
𝑇1, 𝑇2, 𝑇3 são os pontos de tangência da circunferência inscrita. Vimos no tópico de incentro que 
esses pontos de tangência possuem a seguinte relação: 
𝐵𝑇1 = 𝐵𝑇3 
𝐴𝑇2 = 𝐴𝑇3 
𝐶𝑇1 = 𝐶𝑇2 
Observando a figura, podemos ver que: 
𝑎 = 𝑐 − 𝑟 + 𝑏 − 𝑟 
𝑎 + 2𝑟 = 𝑏 + 𝑐 
Como o triângulo 𝐴𝐵𝐶 é retângulo com hipotenusa 𝐵𝐶, ele é circunscritível e a sua hipotenusa é a 
diagonal da circunferência que a circunscreve. Seja 𝑅, o raio dessa circunferência. Assim, podemos 
escrever: 
𝑎 = 2𝑅 ⇒ 2𝑅 + 2𝑟 = 𝑏 + 𝑐 
4.2. Razões trigonométricas no triângulo retângulo 
 Vamos estudar as razões trigonométricas no triângulo retângulo. Dizemos que um triângulo é 
retângulo quando um de seus ângulos é igual a 90°. Observe o triângulo 𝐴𝐵𝐶 abaixo: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 45 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
 
 No triângulo retângulo, chamamos de hipotenusa o lado 𝐵𝐶 e de catetos os lados 𝐴𝐵 e 𝐴𝐶. Lembre-
se que a hipotenusa sempre será o maior lado! 
 Na trigonometria temos as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente. Elas são dadas por: 
𝑠𝑒𝑛𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝐴𝐶
𝐵𝐶
=
𝑏
𝑎
 
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝐴𝐵
𝐵𝐶
=
𝑐
𝑎
 
𝑡𝑔𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
𝐴𝐶
𝐴𝐵
=
𝑏
𝑐
 
 Note que o cateto oposto ao ângulo 𝜶 é o lado em que ele “enxerga”, ou seja, o lado de medida 𝑏. 
E o cateto adjacente é o lado que é vizinho a ele, ou seja, o lado de medida 𝑐. 
 Uma forma de memorizar essas razões trigonométricas é lembrar do mnemônico: 
𝑺𝑶𝑯 𝑪𝑨𝑯 𝑻𝑶𝑨 
 SOH significa Seno igual ao Oposto sobre a Hipotenusa. 
 CAH significa Cosseno igual ao Adjacente sobre a Hipotenusa. 
 TOA significa Tangente igual ao Oposto sobre o Adjacente. 
 Perceba que também podemos escrever tangente como: 
𝑡𝑔𝛼 =
𝑏
𝑐
=
𝑏
𝑎
𝑐
𝑎
=
𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼
 
𝒕𝒈𝜶 =
𝒔𝒆𝒏𝜶
𝒄𝒐𝒔𝜶
 
 Usando as razões trigonométricas, podemos escrever os catetos em função da hipotenusa e do 
seno e cosseno: 
𝑏 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝛼 e 𝑐 = 𝑎 cos 𝛼 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 46 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
 
 Ainda, das relações do triângulo retângulo, temos o Teorema de Pitágoras: 
𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 
 O Teorema de Pitágoras afirma que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos 
catetos. 
 Usando o Teorema de Pitágoras, encontramos a relação fundamental da trigonometria: 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 
𝑎2 = (𝑎𝑠𝑒𝑛𝛼)2 + (𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼)2 
𝑎2 = 𝑎2𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑎2 cos2 𝛼 
𝒔𝒆𝒏𝟐𝜶 + 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝜶 = 𝟏 
4.2.1. Relação fundamental 
 Dado o seguinte triângulo retângulo, temos: 
 
𝑠𝑒𝑛𝛼 =
𝑏
𝑎
⇒ 𝑏 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝛼 
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑐
𝑎
⇒ 𝑐 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛼 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 47 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
 
 Usando o Teorema de Pitágoras, encontramos a relação fundamental entre seno e cosseno: 
 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 
𝑎2 = (𝑎𝑠𝑒𝑛𝛼)2 + (𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼)2 
𝑎2 = 𝑎2𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑎2 cos2 𝛼 
𝒔𝒆𝒏𝟐𝜶 + 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝜶 = 𝟏 
 
 Podemos, então dizer que a soma dos quadrados do seno e cosseno de um ângulo vale 1. 
 
4.2.2. Ângulos complementares 
 Das relações do triângulo, temos: 
 
�̂� + �̂� + �̂� = 𝜋 
 Na figura, �̂� = 𝜋/2. Substituindo na equação acima: 
𝜋
2
+ �̂� + �̂� = 𝜋 
�̂� + �̂� =
𝜋
2
 
⇒ �̂� 𝐞 �̂� são complementares 
 Dessa relação, temos as seguintes consequências: 
𝑠𝑒𝑛𝛼 =
𝑏
𝑎
 𝑒 𝑐𝑜𝑠𝛽 =
𝑏
𝑎
 
⇒ 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛽 
𝑠𝑒𝑛𝛽 =
𝑐
𝑎
 𝑒 𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑐
𝑎
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 48 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
⇒ 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 
𝑡𝑔𝛼 =
𝑏
𝑐
 𝑒 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛽 =
𝑏
𝑐
 
⇒ 𝑡𝑔𝛼 = 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛽 =
1
𝑡𝑔𝛽
 
𝑡𝑔𝛽 =
𝑐
𝑏
 𝑒 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼 =
𝑐
𝑏
 
⇒ 𝑡𝑔𝛽 = 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼 =
1
𝑡𝑔𝛼
 
 
𝜶 + 𝜷 =
𝝅
𝟐
 
𝒔𝒆𝒏𝜶 = 𝒄𝒐𝒔𝜷 
𝒔𝒆𝒏𝜷 = 𝒄𝒐𝒔𝜶 
𝒕𝒈𝜶 =
𝟏
𝒕𝒈𝜷
 
𝒕𝒈𝜷 =
𝟏
𝒕𝒈𝜶
 
4.2.3. Ângulos notáveis 
 Os ângulos 𝜋/6, 𝜋/4 e 𝜋/3 são considerados ângulos notáveis. Vamos calcular o valor do seno, 
cosseno e tangente desses ângulos. 
 1) 𝝅/𝟒: 
 Considere o seguinte triângulo isósceles: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 49 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
 
 Através do Teorema de Pitágoras, podemos escrever: 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑏2 
𝑎2 = 2𝑏2 
𝑎 = √2𝑏 
 Usando a definição de seno, cosseno e tangente, obtemos: 
𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
4
) =
𝑏
𝑎
=
𝑏
√2𝑏
=
√2
2
 
𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
4
) =
𝑏
𝑎
=
𝑏
√2𝑏
=
√2
2
 
𝑡𝑔 (
𝜋
4
) =
𝑏
𝑏
= 1 
 
2) 𝝅/𝟔 e 𝝅/𝟑: 
Agora, considere o triângulo equilátero: 
 
 Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABD, temos: 
𝑎2 = ℎ2 + (
𝑎
2
)
2
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 50 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
ℎ2 =
3𝑎2
4
 
ℎ =
√3
2
𝑎 
 Calculando o valor do seno, cosseno e tangente dos ângulos 𝜋/6 e 𝜋/3: 
𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
3
) =
ℎ
𝑎
=
√3
2
 
cos (
𝜋
3
) =
𝑎
2
𝑎
=
1
2
 
𝑡𝑔 (
𝜋
3
) =
ℎ
𝑎
2
= √3 
𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
6
) =
𝑎
2
𝑎
=
1
2
 
cos (
𝜋
6
) =
ℎ
𝑎
=
√3
2
 
𝑡𝑔 (
𝜋
6
) =
𝑎
2
ℎ
=
𝑎
2
√3
2 𝑎
=
√3
3
 
 Podemos construir a tabela dos ângulos notáveis: 
 
 𝝅
𝟔
 
𝝅
𝟒
 
𝝅
𝟑
 
Seno 1
2
 √2
2
 
√3
2
 
Cosseno √3
2
 
√2
2
 
1
2
 
Tangente √3
3
 
1 √3 
 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 51 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
 
16) (Exercícios de Fixação) Dados os triângulos abaixo, calcule o valor dos lados que faltam: 
a) 
 
 
 
b) 
 
Resolução: 
a) Conhecemos o valor do 𝑠𝑒𝑛(𝜋/4), podemos calcular o valor dos catetos usando a seguinte 
razão: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 52 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
4
) =
𝐴𝐵
2
⇒ 𝐴𝐵 = 2𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
4
) 
𝐴𝐵 =
2√2
2
= √2 
b) Basta aplicar o Teorema de Pitágoras: 
𝐴𝐶2 = 42 + 32 
𝐴𝐶 = √25 = 5 
Gabarito: a) 𝑨𝑩 = √𝟐 b) 𝑨𝑪 = 𝟓 
 
7.0 - Lista de Questões - Nível 1 
 
 (FN 2003) 
Quais das medidas de lados abaixo podem formar um triângulo? 
a) 12 cm, 10 cm e 8 cm. 
b) 12 cm, 10 cm e 2 cm. 
c) 16 cm, 10 cm e 26 cm. 
d) 16 cm, 10 cm e 5 cm. 
 
 (FN 2008) 
O perímetro de um quadrado inscrito numa circunferência é 40 cm. Então, o raio da circunferência 
mede: 
a) 5 cm 
b) 5 √𝟐 cm 
c) 5√𝟑 cm 
d) 10√𝟐 cm 
e) 10√𝟑 cm 
 
 (FN 2005) 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 53 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
Um triângulo possui as seguintes medidas de seus lados: 3, 12 e 14. Este triângulo possui: 
a) três ângulos obtusos. 
b) três ângulos agudos. 
c) um ângulo obtuso. 
d) um ângulo agudo. 
e) um ângulo reto. 
 
 (FN 2006) 
 
Na figura acima, os dois triângulos são equiláteros. Qual é o valor do ângulo x? 
a) 70° 
b) 𝟔𝟎° 
c) 𝟓0° 
d) 𝟒𝟎° 
e) 𝟑𝟎°(FN 2003) 
Um avião decola formando um ângulo de 30° grau com o solo. Após 90 Km e mantendo ainda a mesma 
inclinação, que altura o avião terá atingido? 
a) 𝟒𝟓 𝐤𝐦 
b) 𝟓𝟎 𝐤𝐦 
c) 𝟕𝟓 𝐤𝐦 
d) 𝟗𝟎 𝐤𝐦 
 
 (FN 2003) 
Considere um triângulo isósceles com lados: 12 cm, 14 cm, 14 cm. A medida da altura perpendicular ao 
lado de 12 cm vale: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 54 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
a) 15 cm 
b) √𝟏𝟗𝟎 cm 
c) 5 √𝟏𝟗 cm 
d) 4√𝟏𝟗 cm 
 
 (FN 2003) 
Sabendo-se que ( )
3
30
3
tg  = , o valor de x no triângulo da figura é: 
 
a) 24√𝟑 m 
b) 12√𝟑 m 
c) 8√𝟑 m 
d) 6 √𝟑 m 
 
 (FN 2005) 
Um triângulo tem as seguintes medidas de seus lados, em ordem crescente: 15, 20 e x. Sabendo que 
um dos ângulos deste triângulo mede meio ângulo raso, qual o valor de x? 
a) 50 
b) 45 
c) 35 
d) 30 
e) 25 
 
 (FN 2005) 
Um dos ângulos da base de um triângulo isósceles mede 40°. Quanto mede o ângulo do vértice? 
a) 108° 
b) 100° 
c) 99° 
d) 95° 
e) 90° 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 55 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
 (FN 2005) 
Em um triângulo retângulo, o seno de um de seus ângulos agudos é: 
a) o inverso do cosseno desse ângulo. 
b) o quadrado do cosseno desse ângulo. 
c) a razão entre as medidas dos catetos do triângulo. 
d) a razão entre a medida da hipotenusa e a medida do lado adjacente a esse ângulo. 
e) a razão entre a medida do lado oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa. 
 
 (FN 2006) 
 
Para manter seu preparo físico, um atleta caminha, conforme mostra a figura acima, 6 km em direção 
ao sul, partindo de um ponto A. Depois, 3 km em direção ao leste e, finalmente, 2km em direção ao 
norte, parando em um ponto B. A distância, em linha reta, do ponto B ao ponto A, em Km, é: 
a) 15 
b) 13 
c) 10 
d) 8 
e) 5 
 
 
 (FN 2008) 
Para firmar no solo uma torre de 30 m de altura, devemos fixar alguns cabos de aço do topo da torre 
até o solo. Cada cabo forma com o solo um ângulo de 60°. O comprimento de cada cabo será de 
aproximadamente: 
a) 5√𝟑 m 
b) 10√𝟑 m 
c) 15√𝟑 m 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 56 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
d) 20√𝟑 m 
e) 25√𝟑 m 
 
 
 (FN 2008) 
 
Na figura acima, as retas AB e CD são paralelas. AB = 3 cm, CE = 2 cm e CD = 1 cm. O segmento AE 
mede: 
a) 2 cm 
b) 3 cm 
c) 4 cm 
d) 5 cm 
e) 6 cm 
 
 
 (FN 2011) 
Uma pessoa está na margem de um rio, onde existem duas árvores (B e C, na figura). Na outra margem, 
em frente a B, existe outra árvore, A, vista de C segundo um ângulo de 30°, com relação a B. Se a 
distância de B a C é 150 m, qual é a largura do rio, aproximadamente, sendo √𝟐 = 1,41 e √𝟑 = 𝟏, 𝟕𝟑? 
 30° 45° 60° 
sen 1 2 2 2 3 2 
cos 3 2 2 2 1 2 
tg 3 3 1 3 
 
 
a) 129,75 
b) 105,75 
c) 100,25 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 57 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
d) 95,50 
e) 86,50 
 
 
 (FN 2013) 
Observe o trapézio retângulo da figura abaixo. 
 
Determine, em cm, a medida x da base maior AB e a medida y da diagonal maior BD, respectivamente. 
a) 6√𝟐 ,18 
b) 3√𝟑 , 3 
c) 5√𝟐 , 9 
d) 3√𝟐 , 𝟗 
e) 9√𝟑 , 18 
 
 (FN 2014) 
Um foguete é lançado de uma rampa situada no solo, sob um ângulo de 30°. A que altura encontra-se 
esse foguete após percorrer 8 km? 
Dados: tg 30° = 0,577; cos 30° = 0,866 e sen 30° = 0,500. 
a) 2,50 km 
b) 3,15 km 
c) 4,60 km 
d) 5,00 km 
e) 5,45 km 
 
 (FN 2015) 
Na busca de um paraquedista que se perdeu após um salto, foi feito o desenho abaixo por uma equipe 
de resgate. A que distância do ponto B deve ter caído o paraquedista? 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 58 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
 
a) 5.750 m 
b) 3.255 m 
c) 2.900 m 
d) 2.300 m 
e) 2.000 m 
 
 (FN 2015) 
Um dos catetos de um triângulo retângulo mede 20 cm, e o outro é igual a
3
4
 do primeiro. Determine 
a medida da hipotenusa desse triângulo. 
a) 25 
b) 24 
c) 23 
d) 15 
e) 12 
 
 (FN 2017) 
Um ciclista partindo do ponto A, percorre 15 Km para norte; a seguir, fazendo um ângulo de 90°, 
percorre 20 Km para leste, chegando ao ponto B. Qual a distância, em linha reta, do ponto B ao ponto 
A? 
 
a) 25 Km 
b) 17 Km 
c) 15 km 
d) 13 Km 
e) 10 km 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 59 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
 
 (FN 2017) 
Em um triângulo retângulo, as medidas dos catetos são expressas, em centímetros, pelas raízes da 
equação 2 10 16 0x x− + = . 
Nessas condições, determine a medida da hipotenusa. 
a) 2 cm 
b) 8 cm 
c) 8√𝟏𝟕 cm 
d) 6√𝟖 cm 
e) 2√𝟏𝟕 cm 
 
 (FN 2017) 
De acordo com a figura abaixo, determine os valores das incógnitas x e y respectivamente. 
 
a) 4 e 
4
3
 
b) 2√𝟑 e 2 
c) 3√𝟐 e 
4
3
 
d) 4√𝟑 e 2 
e) 4 e 2√𝟑 
 
 (FN 2018) 
Na figura abaixo, determine as medidas de x, y e z, respectivamente. 
 
a) 2√𝟓 , 2√𝟐𝟗 e 6√𝟑 
b) 8, 11 e 16 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 60 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
c) 2√𝟓 , √𝟐𝟗 e 3√𝟔 
d) 2√𝟏𝟎, 7 e √𝟔 
e) 2√𝟓, √𝟐𝟗 e √𝟕 
 
 (FN 2018) 
Em um triângulo retângulo, as medidas dos catetos são expressas, em centímetros, pelas raízes da 
equação 2 8 12 0x x− + = . Nessas condições, determine a medida da hipotenusa. 
a) 20 cm 
b) 40 cm 
c) 2√𝟏𝟎 cm 
d) 5√𝟒 cm 
e) 2√𝟏𝟕 cm 
 
 (FN 2018) 
De acordo com a figura abaixo, determine os valores das incógnitas x e y respectivamente. 
 
a) 50√𝟑 e 50√𝟐 
b) 50√𝟐 e 50 
c) 50√𝟐 e 50√𝟑 
d) 50√𝟑 e 50 
e) 50 e 50 
 
 (FN 2018) 
Qual a medida do lado de um triângulo equilátero, inscrito num círculo de diâmetro igual a 8 m? 
a) 2√𝟑 
b) 4√𝟑 
c) 8 
d) 4√𝟐 
e) 4 
 
 (FN 2019) 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 61 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
Uma aeronave decolou sob um ângulo de 30° em relação à pista. Após percorrer 100 metros de 
distância, no ar, nessa mesma angulação, qual a sua altura em relação à pista? 
a) 50 metros 
b) 100 metros 
c) 150 metros 
d) 200 metros 
e) 250 metros 
 
 (EAM 2010) 
Em um triângulo ABC, o ângulo interno em A é o dobro do ângulo interno em B. Sabendo que o ângulo 
interno em C é o triplo do ângulo interno em A, o menor ângulo interno deste triângulo é 
a) 30 
b) 25 
c) 20 
d) 15 
e) 10 
 
 (EAM 2011) 
Observe a figura abaixo. 
 
Na figura apresentada, ABCD é um quadrado e ABE é um triângulo equilátero. Nestas é correto afirmar 
que o triângulo AED é: 
a) retângulo em E 
b) escaleno e com ângulo 60AED =  
c) isósceles e com ângulo 75AED =  
d) acutângulo e com ângulo 65AED =  
e) obtusângulo e com ângulo 105AED =  
 
 (EAM 2011) 
Analise a figura abaixo. 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 62 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
 
Na figura apresentada, quantos são os triângulos distintos, com vértices em A, B, C, D ou E, e que estão 
com todos os seus lados representados na figura? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
 (EAM 2012) 
Os ângulos internos de um triângulo são diretamente proporcionais a 2, 7 e 9. Então o menor ângulo 
interno desse triângulo mede: 
a) 90° 
b) 80° 
c) 70° 
d) 40° 
e) 20° 
 
 (EAM 2015) 
A altura de um triângulo equilátero mede 12 cm. O lado deste triângulo, em cm, é: 
a) 8 
b) 12 
c) 8 3 
d) 12 3 
e) 16 3 
 
 (EAM 2018) 
A partir de um dos vértices de um polígono convexo pode-se traçar tantas diagonais quantas são o total 
de diagonais de um pentágono. É correto afirmar que esse polígono é um: 
a) Hexágono. 
b) Heptágono. 
c) Octógono. 
t.me/CursosDesignTelegramhub63 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
d) Decágono. 
e) Dodecágono. 
 
 (EAM 2018) 
Analise a figura a seguir. 
 
Na figura acima, AB = AC, BX = BY e CZ = CY. Se o ângulo A mede 40°, então o ângulo XYZ mede: 
a) 40° 
b) 50° 
c) 60° 
d) 70° 
e) 90° 
 
 (EAM 2019) 
Considere o triângulo ABC, isósceles, de lados AB = AC. Seja o ponto D, sobre o lado BC, de forma que 
o ângulo BAD é 30°. Seja E o ponto sobre o lado AC, tal que o ângulo EDC vale x graus. Tendo em vista 
que o segmento AD e AE têm as mesmas medidas, é correto afirmar que o valor da quarta parte de x 
é: 
a) 3° 
b) 3° 20’ 
c) 3° 30’ 
d) 3° 35’ 
e) 3° 45' 
 
 (EAM 2004) 
Para sustentação do letreiro é feito um suporte de ferro na forma de um triângulo retângulo ABC . 
Calcule o comprimento da barra de ferro representada pelo segmento AD sabendo que é bissetriz do 
ângulo BAC . 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 64 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
 
a) 0,56 m 
b) 0,84 m 
c) 0,92 m 
d) 1 m 
e) 1,2 m 
 
 (EAM 2005) 
 
Uma escada de 10 metros de comprimento forma ângulo de 60° com a horizontal quando encostada 
ao edifício de um dos lados da rua, e ângulo de 45° se for encostada ao edifício do outro lado, apoiada 
no mesmo ponto do chão. A largura da rua, em metros, vale aproximadamente: 
a) 15 
b) 14 
c) 13 
d) 12 
e) 11 
 
 (EAM 2005) 
Em um triângulo, os lados medem 9 cm, 12 cm e 15 cm. Quanto mede, em centímetros, a altura relativa 
ao maior lado desse triângulo? 
a) 8,0 
b) 7,2 
c) 6,0 
d) 5,6 
e) 4,3 
 
 (EAM 2007) 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 65 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
Um robô de brinquedo dá passos de 2 centímetros. A partir de ponto A, ele caminha 8 passos para 
frente, gira 90° para a esquerda, dá mais 6 passos em frente e para em um ponto B. Qual a medida, em 
centímetros, do segmento AB? 
a) 10 
b) 14 
c) 20 
d) 25 
e) 28 
 
 (EAM 2008) 
Observe a figura abaixo. 
 
O triângulo ABC é retângulo em A e o triângulo ABD é equilátero. Se a medida de BC é 12, o 
comprimento de AB é: 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
 (EAM 2008) 
Em um triângulo retângulo isósceles, a hipotenusa tem por medida 5 2 cm. A soma das medidas dos 
catetos, em centímetros, é 
a) 6 
b) 8 
c) 9 
d) 10 
e) 12 
 
 (EAM 2009) 
Observe a figura abaixo. 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 66 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
 
O pé de uma escada de 10 m de comprimento está afastado 6 m de um muro. A que altura do chão, 
em metros, encontra-se o topo da escada? 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
 (EAM 2010) 
Seja x, y e z os lados de um triângulo retângulo. Sabendo que y é a medida do maior lado então: 
a) 
2 2 22y x z= + 
b) 
2 2 22 2y x z= + 
c) 
2 2 22y x z= + 
d) 
2 2 2y x z= + 
e) 
2 2 22y x z= + 
 
 (EAM 2012) 
Uma aeronave decola fazendo, com a pista plana e horizontal, um ângulo de elevação de 30°. Após 
percorrer 1,2 km, a aeronave se encontra em relação ao solo, a uma altura igual a: 
a) 900 m 
b) 600 m 
c) 500 m 
d) 400 m 
e) 300 m 
 
 (EAM 2012) 
A área do triângulo retângulo de lados 1,3 dm, 0,05 m e 0,012 dam é: 
a) 28 cm² 
b) 30 cm² 
c) 32 cm² 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 67 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
d) 33 cm² 
e) 34 cm² 
 
 (EAM 2013) 
Considere que o triângulo ABC é retângulo. Sabendo que 90A =  , 12AB = cm e 5AC = cm, qual é o 
perímetro, em centímetros, desse triângulo? 
a) 20 
b) 30 
c) 40 
d) 50 
e) 140 
 
 (EAM 2014) 
Uma pipa ficou presa em um galho de uma árvore e seu fio ficou esticado formando um ângulo de 60° 
com o solo. Sabendo que o comprimento do fio é 50 m, a que altura, aproximadamente, do solo 
encontrava-se a pipa? 
Dado: considere 3 1,7= 
a) 15,7 m 
b) 25 m 
c) 42,5 m 
d) 50,5 m 
e) 85 m 
 
 (EAM 2015) 
Um avião decola de um aeroporto e sobe segundo um ângulo constante de 15° com a horizontal. Na 
direção do percurso do avião, a 2 km do aeroporto, um garoto observa o avião sobre ele. Qual a altura 
do avião neste momento? 
Dados: sen 15 0,26 = , cos 15 0,96 = , tan 15 0,27 = . 
a) 960 m 
b) 540 m 
c) 260 m 
d) 96 m 
e) 26 m 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 68 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
 (EAM 2016) 
Analise a figura: 
 
Uma escada com 10 degraus, construída sobre uma rampa, conforme a figura. Deve ligar dois 
pavimentos de uma casa. Sabendo que o comprimento de cada degrau é igual a 30 cm e a inclinação 
da rampa com a horizontal é igual a 53°, determine a altura de cada degrau, considerando que o seno 
de 53° é igual a 0,8 e o cosseno de 53° é igual a 0,6, assinalado a seguir, a opção correta. 
a) 10 cm 
b) 20 cm 
c) 40 cm 
d) 50 cm 
e) 60 cm 
 
 (EAM 2017) 
Apoiado em dois pilares construídos sobre um terreno plano e distantes 3m um do outro, constrói-se 
um telhado, cuja inclinação é de 30° em relação ao piso. Se o pilar de menor altura mede 4 metros, 
qual é a altura do outro pilar? 
Dado: 3 1,7= 
a) 5,5 m 
b) 5,7 m 
c) 6,0 m 
d) 6,5 m 
e) 6,9 m 
 
 (EAM 2017) 
Observe a figura a seguir. 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 69 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
 
Na figura acima, tem-se um triângulo isósceles ACD, no qual o segmento AB mede 3cm, o lado 
desigual AD mede 10 2 cm e os segmentos AC e CD são perpendiculares. Sendo assim, é correto 
afirmar que o segmento BD mede: 
a) 53 cm 
b) 97 cm 
c) 111 cm 
d) 149 cm 
e) 161 cm 
 
 (EAM 2019) 
Os lados de um triângulo medem 30 cm, 70 cm e 80 cm. Ao traçarmos a altura desse triângulo em 
relação ao maior lado, dividiremos esse lado em dois segmentos. Sendo assim, calcule o valor do menor 
segmento em centímetros e assinale a opção correta. 
a) 15 
b) 14 
c) 13 
d) 12 
e) 11 
 
 (EAM 2019) 
Observe a figura abaixo. 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 70 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
Considerando que os triângulos BDA e BCA apresentados acima são, respectivamente, retângulos em 
D e C, calcule o valor de x em função do lado c e assinale a opção correta. 
a) 
3 2c − 
b) 
2 1c − 
c) 
2 5c + 
d) 3c − 
e) 
2 3c − 
 
 (ESA/2015) 
Em um triângulo retângulo de lados 𝟗 𝒎, 𝟏𝟐 𝒎 e 𝟏𝟓 𝒎, a altura relativa ao maior lado será: 
a) 𝟕, 𝟐 𝒎 
b) 𝟕, 𝟖 𝒎 
c) 𝟖, 𝟔 𝒎 
d) 𝟗, 𝟐 𝒎 
e) 𝟗, 𝟔 𝒎 
 
 (ESA/2015) 
Num triângulo retângulo cujos catetos medem √𝟖 e √𝟗, a hipotenusa mede 
a) √𝟏𝟎 
b) √𝟏𝟏 
c) √𝟏𝟑 
d) √𝟏𝟕 
e) √𝟏𝟗 
 
 (EEAR/2016) 
Sabe-se que a hipotenusa de um triângulo retângulo tem 𝟓√𝟓 cm de comprimento e a soma dos 
catetos é igual a 15 cm. As medidas, em cm, dos catetos são 
a) 6 e 9 
b) 2 e 13 
c) 3 e 12 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 71 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I - Parte II 
 
d) 5 e 10 
 
 (EEAR/2016) 
Uma escada é apoiada em uma parede perpendicular ao solo, que por sua vez é plano. A base da 
escada, ou seja, seu contato com o chão, dista 10m da parede. O apoio dessa escada com a parede está 
a uma altura de 𝟏𝟎√𝟑m do solo. Isto posto, o ângulo entre a escada e o solo é de 
a) 𝟔𝟎° 
b) 𝟒𝟓° 
c) 𝟑𝟎° 
d) 𝟏𝟓° 
 
 (EEAR/2015) 
Em um triângulo ABC, retângulo em C, a razão 
𝒔𝒆𝒏 �̂�
𝐜𝐨𝐬 �̂�
 é igual a 
a) 
𝑨𝑪
𝑩𝑪
 
b) 
𝑨𝑩
𝑨𝑪
 
c) 𝟏 
d) 𝟐 
 
 (EEAR/2013) 
Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o dobro de um cateto. O ângulo oposto a esse cateto mede 
a) 𝟐𝟎° 
b) 𝟑𝟎° 
c) 𝟒𝟓° 
d) 𝟔𝟎° 
 
 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub72 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
8.0 - Lista de Questões Comentadas - NÍVEL 1 
 
1. (FN 2003) 
Quais das medidas de lados abaixo podem formar um triângulo? 
a) 12 cm, 10 cm e 8 cm. 
b) 12 cm, 10 cm e 2 cm. 
c) 16 cm, 10 cm e 26 cm. 
d) 16 cm, 10 cm e 5 cm. 
 
Comentários 
Para sabermos se é possível formar um triângulo, temos de somar a medida dos dois menores lados e 
comparar essa soma com a medida do maior lado: se for menor, não é possível formar; se for igual, não 
é possível formar; se for maior, é possível formar. Sabendo disso, vamos analisar cada alternativa: 
 
a) 12 cm, 10 cm e 8 cm → 𝟏𝟎 + 𝟖 = 𝟏𝟖 > 𝟏𝟐 (é possível formar). 
b) 12 cm, 10 cm e 2 cm → 𝟏𝟎 + 𝟐 = 𝟏𝟐 = 𝟏𝟐 (não é possível formar). 
c) 16 cm, 10 cm e 26 cm → 𝟏𝟔 + 𝟏𝟎 = 𝟐𝟔 = 𝟐𝟔 (não é possível formar). 
d) 16 cm, 10 cm e 5 cm → 𝟏𝟎 + 𝟓 = 𝟏𝟓 < 𝟏𝟔 (não é possível formar). 
 
Gabarito “a”. 
2. (FN 2008) 
O perímetro de um quadrado inscrito numa circunferência é 40 cm. Então, o raio da circunferência 
mede: 
a) 5 cm 
b) 5 √𝟐 cm 
c) 5√𝟑 cm 
d) 10√𝟐 cm 
e) 10√𝟑 cm 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
73 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
Comentários 
Sabemos que um quadrado tem 4 lados. Logo, seu perímetro (𝑷𝒒) será a soma desses 4 lados. Ou seja: 
𝑷𝒒 = 𝟒𝒍 
 
Utilizando a informação do enunciado: 
𝟒𝒍 = 𝟒𝟎 
𝒍 =
𝟒𝟎
𝟒
 
𝒍 = 𝟏𝟎 
 
Como o quadrado está inscrito na circunferência, significa que a diagonal do quadrado (𝑫𝒒) representa 
o diâmetro da circunferência (𝒅𝒄). Então, vamos calcular qual a medida da diagonal desse quadrado e do 
diâmetro: 
𝑫𝒒 = 𝒍√𝟐 
𝑫𝒒 = 𝟏𝟎√𝟐 
𝑫𝒒 = 𝒅𝒄 
𝒅𝒄 = 𝟏𝟎√𝟐 
 
O raio, como sabemos, é metade do diâmetro. Logo, sua medida é: 
𝒓 =
𝒅𝒄
𝟐
 
𝒓 =
𝟏𝟎√𝟐
𝟐
 
𝒓 = 𝟓√𝟐 
 
Gabarito “b”. 
3. (FN 2005) 
Um triângulo possui as seguintes medidas de seus lados: 3, 12 e 14. Este triângulo possui: 
a) três ângulos obtusos. 
b) três ângulos agudos. 
c) um ângulo obtuso. 
d) um ângulo agudo. 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
74 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
e) um ângulo reto. 
 
Comentários 
Vamos chamar o maior lado de 𝒂, o segundo maior de 𝒃 e o menor de 𝒄. Lembrando que: 
𝒂𝟐 < 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 → triângulo é acutângulo 
𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 → triângulo é retângulo 
𝒂𝟐 > 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 → triângulo é obtusângulo 
 
Calculando: 
𝒂𝟐 = 𝟏𝟒𝟐 = 𝟏𝟗𝟔 
𝒃𝟐 = 𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟒𝟒 
𝒄𝟐 = 𝟑𝟐 = 𝟗 
𝟏𝟗𝟔 > 𝟏𝟒𝟒 + 𝟗 → obtusângulo 
 
Sabemos que um triângulo obtusângulo é um triângulo com um ângulo obtuso e dois agudos. Logo, c) é a 
resposta certa. 
 
Gabarito “c”. 
4. (FN 2006) 
 
Na figura acima, os dois triângulos são equiláteros. Qual é o valor do ângulo x? 
a) 70° 
b) 𝟔𝟎° 
c) 𝟓0° 
d) 𝟒𝟎° 
e) 𝟑𝟎° 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
75 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
Comentários 
Vamos resolver fazer essa questão passo a passo para um melhor entendimento. 
 
1) É informado que os dois triângulos do desenho anexado são equiláteros. Logo, se eles dois são 
equiláteros, então cada um dos seus 3 ângulos mede 60º. 
 
2) Vamos nomear os vértices e triângulos para resolvermos mais facilmente: 
- O primeiro triângulo nomearemos de ABC, sendo "A" o vértice de cima, "B" o vértice de baixo e "C" o 
vértice do lado direito. 
- O segundo triângulo nomearemos de DEF, sendo "D" o vértice de cima, "E" o vértice de baixo e "F" o 
vértice do lado direito. 
- E o triângulo formado pela intersecção entre os dois triângulos (que é aquele em que há o ângulo "x"), 
vamos nomear de GHC, sendo "G" o vértice de cima, "H" o vértice de baixo e "C" o vértice do lado direito 
(que é o mesmo vértice do lado direito do triângulo ABC). 
- Com isso formou-se, automaticamente, o triângulo HBE, que é o triângulo de baixo, formado pela 
intersecção entre os dois triângulos e a reta-base dos dois triângulos principais (ABC e DEF). 
 
3) Bem, agora, com todos os vértices e triângulos já nomeados conforme vimos aí acima, veja que: 
- 𝟕𝟓° (medida do ângulo formado pelo segmento AB e a reta-base, somado com 𝟔𝟎° (medida de cada 
ângulo de um triângulo equilátero) dará: 𝟕𝟓° + 𝟔𝟎° = 𝟏𝟑𝟓°. Então o ângulo formado do lado direito de 
B será: 𝟏𝟖𝟎° − 𝟏𝟑𝟓° = 𝟒𝟓°. 
- 𝟔𝟓° (medida do ângulo formado pelo segmento EF e a reta-base) somado com 𝟔𝟎° (medida de cada 
ângulo de um triângulo equilátero) dará: 𝟔𝟓° + 𝟔𝟎° = 𝟏𝟐𝟓°. Então o ângulo formado do lado esquerdo 
de "E" será: 𝟏𝟖𝟎° − 𝟏𝟐𝟓° = 𝟓𝟓°. 
- Agora veja que o triângulo que se formou automaticamente como vimos antes (que foi o triângulo HBE) 
já tem dois ângulos sendo um deles de 𝟒𝟓° (que é o do lado direito de B), o outro de 𝟓𝟓° (que é o do lado 
esquerdo de "E"). E, como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 𝟏𝟖𝟎°, então a medida do ângulo 
"H" do triângulo GHC será: 
𝟏𝟖𝟎° − 𝟒𝟓° − 𝟓𝟓° = 𝟖𝟎° → medida do ângulo "H", do triângulo HBE. 
- Finalmente, como o ângulo "H" do triângulo HBE é oposto pelo vértice no triângulo GHC, então eles têm 
a mesma medida. 
 
Assim, para encontrar o valor de "x" vamos somar os três ângulos internos do triângulo GHC, que medem: 
𝒙°, 𝟖𝟎° (porque é oposto pelo vértice com outro ângulo de 𝟖𝟎°) e 𝟔𝟎°, que é a medida de cada ângulo 
interno de um triângulo equilátero. Assim: 
𝒙 + 𝟖𝟎° + 𝟔𝟎° = 𝟏𝟖𝟎° 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
76 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
𝒙° + 𝟏𝟒𝟎° = 𝟏𝟖𝟎° 
𝒙° = 𝟏𝟖𝟎° − 𝟏𝟒𝟎° 
𝒙° = 𝟒𝟎° 
 
Gabarito “d”. 
 
5. (FN 2003) 
Um avião decola formando um ângulo de 30° grau com o solo. Após 90 Km e mantendo ainda a mesma 
inclinação, que altura o avião terá atingido? 
a) 𝟒𝟓 𝐤𝐦 
b) 𝟓𝟎 𝐤𝐦 
c) 𝟕𝟓 𝐤𝐦 
d) 𝟗𝟎 𝐤𝐦 
 
Comentários 
 
Interpretando o enunciado, temos um triângulo retângulo. 
90 km é a hipotenusa, e a altura é o cateto oposto de 𝟑𝟎°. Então, vamos calcular, usando o 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎°: 
𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎° =
𝒄𝒐
𝒉𝒊𝒑
 
𝟎, 𝟓 =
𝒉
𝟗𝟎
 
𝟗𝟎 ∙ 𝟎, 𝟓 = 𝒉 
𝒉 = 𝟒𝟓 𝒌𝒎 
 
Gabarito “a”. 
6. (FN 2003) 
Considere um triângulo isósceles com lados: 12 cm, 14 cm, 14 cm. A medida da altura perpendicular ao 
lado de 12 cm vale: 
a) 15 cm 
b) √𝟏𝟗𝟎 cm 
c) 5 √𝟏𝟗 cm 
d) 4√𝟏𝟗 cm 
 
Comentários 
 
Traçando uma altura a partir do vértice que é perpendicular ao lado de 𝟏𝟐 cm, teremos o triângulo isósceles 
dividido em dois triângulos retângulos. 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
77 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
E assim temos que lembrar que num triângulo isósceles a altura coincide com a mediatriz, que passa pelo 
ponto médio de um dos lados do triângulo. Portanto, a altura dividirá a base em duas medidas de 6 cm. 
Logo, temos dois triângulos retângulos de medidas 𝒉, 𝟏𝟒 cm e 𝟔 cm. Vamos aplicar o teorema de Pitágoras: 
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄𝟐 
𝒉𝟐 + 𝟔𝟐 = 𝟏𝟒𝟐 
𝒉𝟐 + 𝟑𝟔 = 𝟏𝟗𝟔 
𝒉𝟐 = 𝟏𝟗𝟔 − 𝟑𝟔 
𝒉𝟐 = 𝟏𝟔𝟎 
√𝒉𝟐 = √𝟏𝟔𝟎 
𝒉 = √𝟒𝟐 ∙ 𝟏𝟎 
𝒉 = 𝟒√𝟏𝟎 
 
Assim, vemos que não há resposta correta. 
 
Gabarito “*”. 
7. (FN 2003) 
Sabendo-se que ( )
3
30
3
tg  = , o valor de x no triângulo da figura é: 
 
a) 24√𝟑 m 
b) 12√𝟑 m 
c) 8√𝟑 m 
d) 6 √𝟑 m 
 
Comentários 
 
Vamos calcular: 
𝐭𝐚𝐧𝟑𝟎° =
𝒄𝒐
𝒄𝒂
 
√𝟑
𝟑
=
𝒙
𝟐𝟒
 
𝟑𝒙 = 𝟐𝟒√𝟑 
𝒙 =
𝟐𝟒√𝟑
𝟑
 
𝒙 = 𝟖√𝟑 
 
Gabarito “c”. 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
78 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
8. (FN 2005) 
Um triângulo tem as seguintes medidas de seus lados, em ordem crescente: 15, 20 e x. Sabendo que 
um dos ângulos deste triângulo mede meio ângulo raso, qual o valor de x? 
a) 50 
b) 45 
c) 35 
d) 30 
e) 25 
 
Comentários 
 
Sabemos que um ângulo raso é 𝟏𝟖𝟎°. Logo, meio ângulo raso seria 𝟗𝟎°. Portanto,esse é um triângulo 
retângulo. Vamos usar Pitágoras para calcular (sabemos que 𝒙 é a maior medida, logo ele é a hipotenusa): 
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄𝟐 
𝟏𝟓𝟐 + 𝟐𝟎𝟐 = 𝒙𝟐 
𝟐𝟐𝟓 + 𝟒𝟎𝟎 = 𝒙𝟐 
𝒙𝟐 = 𝟔𝟐𝟓 
√𝒙𝟐 = √𝟔𝟐𝟓 
𝒙 = ±𝟐𝟓 
 
Como estamos falando de uma medida geométrica, o −𝟐𝟓 não faz sentido. Logo, ficamos somente com 
𝟐𝟓. 
 
Gabarito “e”. 
9. (FN 2005) 
Um dos ângulos da base de um triângulo isósceles mede 40°. Quanto mede o ângulo do vértice? 
a) 108° 
b) 100° 
c) 99° 
d) 95° 
e) 90° 
 
Comentários 
 
Como sabemos, os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais. 
Logo, se um ângulo é 𝟒𝟎°, o outro também será. 
Sabemos também que a soma dos ângulos de um triângulo é 𝟏𝟖𝟎°. 
Chamando o ângulo do vértice de 𝒙, vamos calcular: 
 𝟒𝟎° + 𝟒𝟎° + 𝒙 = 𝟏𝟖𝟎° 
𝟖𝟎° + 𝒙 = 𝟏𝟖𝟎° 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
79 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
𝒙 = 𝟏𝟖𝟎° − 𝟖𝟎° 
𝒙 = 𝟏𝟎𝟎° 
 
Gabarito “b”. 
10. (FN 2005) 
Em um triângulo retângulo, o seno de um de seus ângulos agudos é: 
a) o inverso do cosseno desse ângulo. 
b) o quadrado do cosseno desse ângulo. 
c) a razão entre as medidas dos catetos do triângulo. 
d) a razão entre a medida da hipotenusa e a medida do lado adjacente a esse ângulo. 
e) a razão entre a medida do lado oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa. 
 
Comentários 
 
Sabemos que: 
𝒔𝒆𝒏𝒐 =
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
 
 
Como sabemos, cateto oposto é o lado oposto ao ângulo que estamos calculando o seno. Logo, e) é a 
resposta correta. 
 
Gabarito “e”. 
11. (FN 2006) 
 
Para manter seu preparo físico, um atleta caminha, conforme mostra a figura acima, 6 km em direção 
ao sul, partindo de um ponto A. Depois, 3 km em direção ao leste e, finalmente, 2km em direção ao 
norte, parando em um ponto B. A distância, em linha reta, do ponto B ao ponto A, em Km, é: 
a) 15 
b) 13 
c) 10 
d) 8 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
80 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
e) 5 
 
Comentários 
 
Vamos imaginar uma linha de 𝟑 km a oeste, partindo do ponto B, perpendicular a trajetória de 𝟔 km do 
atleta. 
Assim, temos um triângulo retângulo, com um cateto medindo 𝟑 km e outro 𝟒 km (𝟔 − 𝟐) e a hipotenusa 
sendo a distância em linha reta de A e B. 
Usando Pitágoras, vamos calcular: 
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄𝟐 
𝟑𝟐 + 𝟒𝟐 = 𝒄𝟐 
𝟗 + 𝟏𝟔 = 𝒄𝟐 
𝒄𝟐 = 𝟐𝟓 
√𝒄𝟐 = √𝟐𝟓 
𝒄 = ±𝟓 
 
Como estamos falando de uma medida em uma figura geométrica, o −𝟓 não faz sentido. Portanto, ficamos 
com o resultado 𝟓 km. 
 
Gabarito “e”. 
12. (FN 2008) 
Para firmar no solo uma torre de 30 m de altura, devemos fixar alguns cabos de aço do topo da torre 
até o solo. Cada cabo forma com o solo um ângulo de 60°. O comprimento de cada cabo será de 
aproximadamente: 
a) 5√𝟑 m 
b) 10√𝟑 m 
c) 15√𝟑 m 
d) 20√𝟑 m 
e) 25√𝟑 m 
 
Comentários 
 
Podemos imaginar um triângulo formado pela torre e o cabo. A torre representa o cateto oposto ao ângulo 
medindo 𝟑𝟎 m e a hipotenusa representa o cabo, que é exatamente a medida que queremos encontrar. 
Então vamos calcular, usando 𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎° e chamando a medida do cabo de 𝒙: 
𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎° =
𝒄𝒐
𝒉𝒊𝒑
 
√𝟑
𝟐
=
𝟑𝟎
𝒙
 
√𝟑𝒙 = 𝟔𝟎 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
81 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
𝒙 =
𝟔𝟎
√𝟑
 
 
Vamos racionalizar o denominador: 
𝟔𝟎
√𝟑
→
𝟔𝟎
√𝟑
∙
√𝟑
√𝟑
=
𝟔𝟎√𝟑
(√𝟑)
𝟐
=
𝟔𝟎√𝟑
𝟑
= 𝟐𝟎√𝟑 
 
Voltando: 
𝒙 = 𝟐𝟎√𝟑 
 
Gabarito “d”. 
13. (FN 2008) 
 
Na figura acima, as retas AB e CD são paralelas. AB = 3 cm, CE = 2 cm e CD = 1 cm. O segmento AE 
mede: 
a) 2 cm 
b) 3 cm 
c) 4 cm 
d) 5 cm 
e) 6 cm 
 
Comentários 
 
Sabemos que se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e encontra os outros dois lados em 
pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro. 
Como AB é paralelo a CD, então pelo teorema acima podemos afirmar que os triângulos ABE e CDE são 
semelhantes. 
Sendo assim, é válido que: 
𝑨𝑩
𝑪𝑫
 =
𝑨𝑬
𝑪𝑬
 =
𝑩𝑬
𝑫𝑬
 
 
De acordo com o enunciado, 𝑨𝑩 = 𝟑, 𝑪𝑬 = 𝟐 e 𝑪𝑫 = 𝟏. Substituindo esses valores na igualdade e 
resolvendo, temos: 
𝑨𝑩
𝑪𝑫
=
𝑨𝑬
𝑪𝑬
 
𝟑
𝟏
=
𝑨𝑬
𝟐
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
82 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
𝟑
𝟏
=
𝑨𝑬
𝟐
 
𝑨𝑬 = 𝟔 cm 
 
Gabarito “e”. 
14. (FN 2011) 
Uma pessoa está na margem de um rio, onde existem duas árvores (B e C, na figura). Na outra margem, 
em frente a B, existe outra árvore, A, vista de C segundo um ângulo de 30°, com relação a B. Se a 
distância de B a C é 150 m, qual é a largura do rio, aproximadamente, sendo √𝟐 = 1,41 e √𝟑 = 𝟏, 𝟕𝟑? 
 30° 45° 60° 
sen 1 2 2 2 3 2 
cos 3 2 2 2 1 2 
tg 3 3 1 3 
 
 
a) 129,75 
b) 105,75 
c) 100,25 
d) 95,50 
e) 86,50 
 
Comentários 
 
Como vemos na figura, temos um triângulo retângulo. 
Queremos descobrir a medida do cateto oposto a 𝟑𝟎°. 
Como só temos o valor do cateto adjacente, vamos usar a tangente de 𝟑𝟎° para calcular. 
Vamos chamar o cateto oposto de 𝒙: 
𝐭𝐚𝐧𝟑𝟎° =
𝒄𝒐
𝒄𝒂
 
√𝟑
𝟑
=
𝒙
𝟏𝟓𝟎
 
𝟑𝒙 = 𝟏𝟓𝟎√𝟑 
𝒙 =
𝟏𝟓𝟎√𝟑
𝟑
 
𝒙 = 𝟓𝟎√𝟑 
𝒙 = 𝟓𝟎 ∙ 𝟏, 𝟕𝟑 
𝒙 = 𝟖𝟔, 𝟓𝟎 
 
Gabarito “e”. 
15. (FN 2013) 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
83 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
Observe o trapézio retângulo da figura abaixo. 
 
Determine, em cm, a medida x da base maior AB e a medida y da diagonal maior BD, respectivamente. 
a) 6√𝟐 ,18 
b) 3√𝟑 , 3 
c) 5√𝟐 , 9 
d) 3√𝟐 , 𝟗 
e) 9√𝟑 , 18 
 
Comentários 
 
Vamos primeiro calcular a medida de 𝒙. 
𝒙 é o cateto adjacente do ângulo 𝟑𝟎°. Como sabemos somente a medida do cateto oposto, vamos usar 
𝐭𝐚𝐧𝟑𝟎°: 
𝐭𝐚𝐧𝟑𝟎° =
𝒄𝒐
𝒄𝒂
 
√𝟑
𝟑
=
𝟗
𝒙
 
√𝟑𝒙 = 𝟐𝟕 
𝒙 =
𝟐𝟕
√𝟑
 
 
Vamos racionalizar o denominador: 
𝟐𝟕
√𝟑
→
𝟐𝟕
√𝟑
∙
√𝟑
√𝟑
=
𝟐𝟕√𝟑
(√𝟑)
𝟐
=
𝟐𝟕√𝟑
𝟑
= 𝟗√𝟑 
 
Logo: 
𝒙 = 𝟗√𝟑 
 
Agora vamos calcular a medida 𝒚. 
𝒚 é a hipotenusa. Vamos calcular usando teorema de Pitágoras: 
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄𝟐 
𝟗𝟐 + (𝟗√𝟑)
𝟐
= 𝒚𝟐 
𝟖𝟏 + (𝟖𝟏 ∙ 𝟑) = 𝒚𝟐 
𝟖𝟏 + 𝟐𝟒𝟑 = 𝒚𝟐 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
84 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
𝒚𝟐 = 𝟑𝟐𝟒 
√𝒚𝟐 = √𝟑𝟐𝟒 
𝒚 = ±𝟏𝟖 
 
Como estamos falando de uma medida em uma figura geométrica, −𝟏𝟖 não faz sentido, logo 𝒙 = 𝟏𝟖. 
 
Gabarito “e”. 
16. (FN 2014) 
Um foguete é lançado de uma rampa situada no solo, sob um ângulo de 30°. A que altura encontra-se 
esse foguete após percorrer 8 km? 
Dados: tg 30° = 0,577; cos 30° = 0,866 e sen 30° = 0,500. 
a) 2,50 km 
b) 3,15 km 
c) 4,60 km 
d) 5,00 km 
e) 5,45 km 
 
Comentários 
Interpretando a questão, temos que a altura do cateto oposto ao ângulo de 𝟑𝟎° é a altura do foguete e o 
cateto adjacente ao ângulo 𝟑𝟎° é o que o foguete já percorreu. Então, vamos calcular com 𝐭𝐚𝐧 𝟑𝟎°, 
chamando o cateto oposto de 𝒙: 
𝐭𝐚𝐧𝟑𝟎° =
𝒄𝒐
𝒉𝒊𝒑
 
𝟎, 𝟓𝟕𝟕 =
𝒙
𝟖
 
𝒙 = 𝟖 ∙ 𝟎, 𝟓𝟕𝟕 
𝒙 = 𝟒, 𝟔𝟏𝟔 
 
Arredondando: 
𝟒, 𝟔𝟏𝟔 → 𝟒, 𝟔𝟎 
 
Gabarito “c”. 
17. (FN 2015) 
Na busca de um paraquedista que se perdeu após um salto, foi feito o desenho abaixo por uma equipe 
de resgate. A que distância do ponto B deve ter caído o paraquedista? 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
85 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
 
a) 5.750 m 
b) 3.255 m 
c) 2.900 m 
d) 2.300 m 
e) 2.000 m 
 
Comentários 
 
Analisando a figura, vemos que estamos procurando a medida do cateto oposto ao ângulo de 𝟒𝟓°, que 
chamaremos de 𝒙. Como temos a medida do cateto adjacente a esse ângulo, vamos calcular usando o 
𝐭𝐚𝐧𝟒𝟓°: 
𝐭𝐚𝐧𝟒𝟓° =
𝒄𝒐
𝒄𝒂
 
𝟏 =
𝒙
𝟐. 𝟎𝟎𝟎
 
𝒙= 𝟐. 𝟎𝟎𝟎 𝒎 
 
Gabarito “e”. 
18. (FN 2015) 
Um dos catetos de um triângulo retângulo mede 20 cm, e o outro é igual a
3
4
 do primeiro. Determine 
a medida da hipotenusa desse triângulo. 
a) 25 
b) 24 
c) 23 
d) 15 
e) 12 
 
Comentários 
 
Segundo o enunciado, o outro mede 𝟑/𝟒 de 𝟐𝟎 cm, ou seja: 
𝟑/𝟒 de 20 
𝟑
𝟒
∙ 𝟐𝟎 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
86 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
𝟔𝟎
𝟒
 
𝟏𝟓 
 
Agora, sabemos que um cateto mede 𝟐𝟎 cm e outro 𝟏𝟓 cm. Usando o teorema de Pitágoras, vamos calcular 
a hipotenusa: 
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄𝟐 
𝟏𝟓𝟐 + 𝟐𝟎𝟐 = 𝒄𝟐 
𝟐𝟐𝟓 + 𝟒𝟎𝟎 = 𝒄𝟐 
𝒄𝟐 = 𝟔𝟐𝟓 
√𝒄𝟐 = √𝟔𝟐𝟓 
𝒄 = ±𝟐𝟓 
 
Como estamos falando de uma medida geométrica, o −𝟐𝟓 não faz sentido. Logo, ficamos somente com 
𝟐𝟓. 
 
Gabarito “a”. 
19. (FN 2017) 
Um ciclista partindo do ponto A, percorre 15 Km para norte; a seguir, fazendo um ângulo de 90°, 
percorre 20 Km para leste, chegando ao ponto B. Qual a distância, em linha reta, do ponto B ao ponto 
A? 
 
a) 25 Km 
b) 17 Km 
c) 15 km 
d) 13 Km 
e) 10 km 
 
Comentários 
 
Vemos na figura que as distâncias percorridas pelo ciclista formam os catetos de um triângulo retângulo e 
o que estamos procurando é a hipotenusa. Usando o teorema de Pitágoras, vamos calcular: 
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄𝟐 
𝟏𝟓𝟐 + 𝟐𝟎𝟐 = 𝒙𝟐 
𝟐𝟐𝟓 + 𝟒𝟎𝟎 = 𝒙𝟐 
𝒙𝟐 = 𝟔𝟐𝟓 
√𝒙𝟐 = √𝟔𝟐𝟓 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
87 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
𝒙 = ±𝟐𝟓 
 
Como estamos falando de uma medida geométrica, o −𝟐𝟓 não faz sentido. Logo, ficamos somente com 
𝟐𝟓 km. 
 
Gabarito “a”. 
20. (FN 2017) 
Em um triângulo retângulo, as medidas dos catetos são expressas, em centímetros, pelas raízes da 
equação 2 10 16 0x x− + = . 
Nessas condições, determine a medida da hipotenusa. 
a) 2 cm 
b) 8 cm 
c) 8√𝟏𝟕 cm 
d) 6√𝟖 cm 
e) 2√𝟏𝟕 cm 
 
Comentários 
 
Vamos primeiro resolver a equação: 
𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟔 = 𝟎 
 
Para resolvermos equações do segundo grau, usamos: 
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
 
 
Onde, nesse caso: 
𝒂 = 𝟏, 
𝒃 = −𝟏𝟎 e 
𝒄 = 𝟏𝟔. 
 
Calculando: 
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
 
𝒙 =
−(−𝟏𝟎) ± √(−𝟏𝟎)𝟐 − 𝟒 ∙ 𝟏 ∙ 𝟏𝟔
𝟐 ∙ 𝟏
 
𝒙 =
𝟏𝟎 ± √𝟏𝟎𝟎 − 𝟔𝟒
𝟐
 
𝒙 =
𝟏𝟎 ± √𝟑𝟔
𝟐
 
𝒙 =
𝟏𝟎 ± 𝟔
𝟐
 
𝒙 = 𝟓 ± 𝟑 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
88 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
 
Como é uma equação do segundo grau, temos duas respostas: 
𝒙𝟏 = 𝟓 + 𝟑 
𝒙𝟏 = 𝟖 
𝒙𝟐 = 𝟓 − 𝟑 
𝒙𝟐 = 𝟐 
 
Assim descobrimos o valor dos catetos. Assim, vamos calcular a hipotenusa usando Pitágoras: 
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄𝟐 
𝟖𝟐 + 𝟐𝟐 = 𝒄𝟐 
𝟔𝟒 + 𝟒 = 𝒄𝟐 
𝒄𝟐 = 𝟔𝟖 
√𝒄𝟐 = √𝟔𝟖 
𝒄 = √𝟐𝟐 ∙ 𝟏𝟕 
𝒄 = ±𝟐√𝟏𝟕 
 
Como estamos falando de uma medida geométrica, −𝟐√𝟏𝟕 não faz sentido. Logo, ficamos somente com 
𝟐√𝟏𝟕 cm. 
 
Gabarito “e”. 
21. (FN 2017) 
De acordo com a figura abaixo, determine os valores das incógnitas x e y respectivamente. 
 
a) 4 e 
4
3
 
b) 2√𝟑 e 2 
c) 3√𝟐 e 
4
3
 
d) 4√𝟑 e 2 
e) 4 e 2√𝟑 
 
Comentários 
Vamos primeiro calcular a medida de 𝒚. 
𝒚 é o cateto adjacente do ângulo 𝟑𝟎°. Como sabemos somente a medida do cateto oposto, vamos usar 
𝐭𝐚𝐧𝟑𝟎°: 
𝐭𝐚𝐧𝟑𝟎° =
𝒄𝒐
𝒄𝒂
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
89 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
√𝟑
𝟑
=
𝟐
𝒚
 
√𝟑𝒚 = 𝟔 
𝒚 =
𝟔
√𝟑
 
 
Vamos racionalizar o denominador: 
𝟔
√𝟑
→
𝟔
√𝟑
∙
√𝟑
√𝟑
=
𝟔√𝟑
(√𝟑)
𝟐
=
𝟔√𝟑
𝟑
= 𝟐√𝟑 
 
Logo: 
𝒚 = 𝟐√𝟑 
 
Agora vamos calcular a medida 𝒙. 
𝒙 é a hipotenusa. Vamos calcular usando teorema de Pitágoras: 
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄𝟐 
𝟐𝟐 + (𝟐√𝟑)
𝟐
= 𝒙𝟐 
𝟒 + (𝟒 ∙ 𝟑) = 𝒙𝟐 
𝟒 + 𝟏𝟐 = 𝒙𝟐 
𝒙𝟐 = 𝟏𝟔 
√𝒙𝟐 = √𝟏𝟔 
𝒙 = ±𝟒 
 
Como estamos falando de uma medida em uma figura geométrica, −𝟒 não faz sentido, logo 𝒙 = 𝟒. 
Na ordem do enunciado, 𝒙 = 𝟒 e 𝒚 = 𝟐√𝟑. 
 
Gabarito “e”. 
22. (FN 2018) 
Na figura abaixo, determine as medidas de x, y e z, respectivamente. 
 
a) 2√𝟓 , 2√𝟐𝟗 e 6√𝟑 
b) 8, 11 e 16 
c) 2√𝟓 , √𝟐𝟗 e 3√𝟔 
d) 2√𝟏𝟎, 7 e √𝟔 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
90 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
e) 2√𝟓, √𝟐𝟗 e √𝟕 
 
Comentários 
 
Vamos primeiro calcular a medida de 𝒙. 
Vemos que 𝒙 é a hipotenusa do triângulo escuro de cima. Então, vamos calcular usando Pitágoras: 
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒙𝟐 
𝟐𝟐 + 𝟒𝟐 = 𝒙𝟐 
𝟒 + 𝟏𝟔 = 𝒙𝟐 
𝒙𝟐 = 𝟐𝟎 
√𝒙𝟐 = √𝟐𝟎 
𝒙 = √𝟐𝟐 ∙ 𝟓 
𝒙 = 𝟐√𝟓 
 
Agora vamos calcular a medida 𝒚. 
𝒚 é a hipotenusa do triângulo claro. Vamos calcular usando teorema de Pitágoras: 
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄𝟐 
𝟑𝟐 + (𝟐√𝟓)
𝟐
= 𝒚𝟐 
𝟗 + (𝟒 ∙ 𝟓) = 𝒚𝟐 
𝟗 + 𝟐𝟎 = 𝒚𝟐 
𝒚𝟐 = 𝟐𝟗 
√𝒚𝟐 = √𝟐𝟗 
𝒚 = √𝟐𝟗 
 
Agora vamos calcular a medida de 𝒛. 
𝒚 é a hipotenusa do triângulo escuro de baixo. Vamos calcular usando teorema de Pitágoras: 
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄𝟐 
𝟓𝟐 + √𝟐𝟗
𝟐
= 𝒛𝟐 
𝟐𝟓 + 𝟐𝟗 = 𝒛𝟐 
𝒛𝟐 = 𝟓𝟒 
√𝒛𝟐 = √𝟓𝟒 
𝒛 = √𝟑𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑 
𝒛 = 𝟑√𝟔 
 
Gabarito “c”. 
23. (FN 2018) 
Em um triângulo retângulo, as medidas dos catetos são expressas, em centímetros, pelas raízes da 
equação 2 8 12 0x x− + = . Nessas condições, determine a medida da hipotenusa. 
a) 20 cm 
b) 40 cm 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
91 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
c) 2√𝟏𝟎 cm 
d) 5√𝟒 cm 
e) 2√𝟏𝟕 cm 
 
Comentários 
 
Vamos primeiro resolver a equação: 
𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟐 = 𝟎 
 
Para resolvermos equações do segundo grau, usamos: 
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
 
 
Onde, nesse caso: 
𝒂 = 𝟏, 
𝒃 = −𝟖 e 
𝒄 = 𝟏𝟐. 
 
Calculando: 
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
 
𝒙 =
−(−𝟖) ± √(−𝟖)𝟐 − 𝟒 ∙ 𝟏 ∙ 𝟏𝟐
𝟐 ∙ 𝟏
 
𝒙 =
𝟖 ± √𝟔𝟒 − 𝟒𝟖
𝟐
 
𝒙 =
𝟖 ± √𝟏𝟔
𝟐
 
𝒙 =
𝟖 ± 𝟒
𝟐
 
𝒙 = 𝟒 ± 𝟐 
 
Como é uma equação do segundo grau, temos duas respostas: 
𝒙𝟏 = 𝟒 + 𝟐 
𝒙𝟏 = 𝟔 
𝒙𝟐 = 𝟒 − 𝟐 
𝒙𝟐 = 𝟐 
 
Assim descobrimos o valor dos catetos. Assim, vamos calcular a hipotenusa usando Pitágoras: 
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄𝟐 
𝟔𝟐 + 𝟐𝟐 = 𝒄𝟐 
𝟑𝟔 + 𝟒 = 𝒄𝟐 
𝒄𝟐 = 𝟒𝟎 
√𝒄𝟐 = √𝟒𝟎 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
92 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
𝒄 = √𝟐𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟓 
𝒄 = ±𝟐√𝟏𝟎 
 
Como estamos falando de uma medida geométrica, −𝟐√𝟏𝟎 não faz sentido. Logo, ficamos somente com 
𝟐√𝟏𝟎 cm. 
 
Gabarito “c”. 
24. (FN 2018) 
De acordo com a figura abaixo, determine os valores das incógnitas x e y respectivamente. 
 
a) 50√𝟑 e 50√𝟐 
b) 50√𝟐 e 50 
c) 50√𝟐 e 50√𝟑 
d) 50√𝟑 e 50 
e) 50 e 50 
 
Comentários 
 
Vamos primeiro calcular a medida de 𝒚. 
𝒚 é o cateto adjacente do ângulo 𝟔𝟎°. Como sabemos somente a medida da hipotenusa, vamos usar 
𝐜𝐨𝐬 𝟔𝟎°: 
𝐜𝐨𝐬 𝟔𝟎° =
𝒄𝒂
𝒉𝒊𝒑
 
𝟎, 𝟓 =
𝒚
𝟏𝟎𝟎
 
𝒚 = 𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝟎, 𝟓 
𝒚 = 𝟓𝟎 
 
Agora vamos calcular a medida 𝒙. 
𝒙 é o cateto oposto ao ângulo de 𝟔𝟎°. Vamos calcular usando 𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎°: 
𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎° =
𝒄𝒐
𝒉𝒊𝒑
 
√𝟑
𝟐
=
𝒙
𝟏𝟎𝟎
 
𝟐𝒙 = 𝟏𝟎𝟎√𝟑 
𝒙 =
𝟏𝟎𝟎√𝟑
𝟐
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
93 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
𝒙 = 𝟓𝟎√𝟑 
 
Colocando na ordem pedida do enunciado, 𝒙 = 𝟓𝟎√𝟑 e 𝒚 = 𝟓𝟎. 
 
Gabarito “d”. 
25. (FN 2018) 
Qual a medida do lado de um triângulo equilátero, inscrito num círculo de diâmetro igual a 8 m? 
a) 2√𝟑 
b) 4√𝟑 
c) 8 
d) 4√𝟐 
e) 4 
 
Comentários 
 
Se o diâmetro é 𝟖 m, logo o raio é 𝟒 m, visto que o raio é metade do diâmetro. Sabemos a fórmula para o 
lado de um triângulo equilátero inscrito é 𝒍 = 𝒓√𝟑. Vamos calcular: 
𝒍 = 𝒓√𝟑 
𝒍 = 𝟒√𝟑 
 
Gabarito “b”. 
26. (FN 2019) 
Uma aeronave decolou sob um ângulo de 30° em relação à pista. Após percorrer 100metros de 
distância, no ar, nessa mesma angulação, qual a sua altura em relação à pista? 
a) 50 metros 
b) 100 metros 
c) 150 metros 
d) 200 metros 
e) 250 metros 
 
Comentários 
 
Interpretando a questão, percebemos que o que o avião forma um triângulo retângulo, onde o que ele 
percorreu é a hipotenusa e a altura é o cateto oposto ao ângulo de 𝟑𝟎°. Então, vamos calcular usando o 
𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎°: 
𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎° =
𝒄𝒐
𝒉𝒊𝒑
 
𝟎, 𝟓 =
𝒉
𝟏𝟎𝟎
 
𝒉 = 𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝟎, 𝟓 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
94 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
𝒉 = 𝟓𝟎 𝒎 
 
Gabarito “a”. 
 
 
27. (EAM 2010) 
Em um triângulo ABC, o ângulo interno em A é o dobro do ângulo interno em B. Sabendo que o ângulo 
interno em C é o triplo do ângulo interno em A, o menor ângulo interno deste triângulo é 
a) 30 
b) 25 
c) 20 
d) 15 
e) 10 
 
Comentário: 
 
Temos: 
𝐴 = 2𝐵 
𝐶 = 3𝐴 → 𝐶 = 6𝐵 
Mas a soma de 3 ângulos internos de um triângulo vale 180o: 
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180 
2𝐵 + 𝐵 + 6𝐵 = 180 
9𝐵 = 180 
𝐵 = 20𝑜 
Assim: 
𝐴 = 2𝐵 = 40𝑜 
𝐵 = 20𝑜 
𝐶 = 6𝐵 = 6.20𝑜 = 120𝑜 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
95 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
Assim, o menor ângulo é 20o. 
GABARITO: C 
28. (EAM 2011) 
Observe a figura abaixo. 
 
Na figura apresentada, ABCD é um quadrado e ABE é um triângulo equilátero. Nestas é correto afirmar 
que o triângulo AED é: 
a) retângulo em E 
b) escaleno e com ângulo 60AED =  
c) isósceles e com ângulo 75AED =  
d) acutângulo e com ângulo 65AED =  
e) obtusângulo e com ângulo 105AED =  
 
Comentário: 
Seja x o lado do quadrado. Se o triângulo ABE é equilátero, então: 
𝐴𝐸 = 𝑥 
Ainda, por ABCD ser um quadrado: 
𝐴𝐷 = 𝑥 
Disso, temos que o triângulo AED é um triângulo isósceles, pois AD=AE. Ainda, temos que o ângulo 
DAE vale: 
𝐷𝐴𝐸 = 90𝑜 − 60𝑜 = 30𝑜 
Pois o ângulo EAB vale 60o (equilátero) e o ângulo DAB vale 90o (quadrado). Assim, o ângulo AED 
vale: 
𝐴𝐸𝐷 =
180 − 30
2
=
150
2
= 75𝑜 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
96 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
GABARITO: C 
29. (EAM 2011) 
Analise a figura abaixo. 
 
Na figura apresentada, quantos são os triângulos distintos, com vértices em A, B, C, D ou E, e que estão 
com todos os seus lados representados na figura? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
Comentário: 
Contando os triângulos: 
𝐴𝐷𝐸, 𝐴𝐸𝐵, 𝐵𝐸𝐶, 𝐷𝐴𝐵, 𝐶𝐴𝐵 
Contudo, os triângulos ADE e BEC são congruentes, bem como DAB e CAB. Assim, temos um total 
de 3 triângulos distintos. 
 
GABARITO: C 
30. (EAM 2012) 
Os ângulos internos de um triângulo são diretamente proporcionais a 2, 7 e 9. Então o menor ângulo 
interno desse triângulo mede: 
a) 90° 
b) 80° 
c) 70° 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
97 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
d) 40° 
e) 20° 
 
Comentário: 
Se os ângulos são diretamente proporcionais a 2, 7 e 9, então podemos chamar os ângulos de 2k, 
7k e 9k. A soma de 3 ângulos internos de um triângulo vale 180o: 
2𝑘 + 7𝑘 + 9𝑘 = 180 → 18𝑘 = 180 
𝑘 = 10 
Assim, o menor ângulo vale: 
2𝑘 = 2𝑥10 = 20𝑜 
GABARITO: E 
31. (EAM 2015) 
A altura de um triângulo equilátero mede 12 cm. O lado deste triângulo, em cm, é: 
a) 8 
b) 12 
c) 8 3 
d) 12 3 
e) 16 3 
 
Comentário: 
Sabemos que a altura h de um triângulo equilátero de lado 𝑥 vale: 
ℎ =
𝑥√3
2
 
Substituindo: 
12 =
𝑥√3
2
→ 𝑥 =
24
√3
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
98 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
𝑥 =
24√3
3
= 8√3 
 
GABARITO: C 
32. (EAM 2018) 
A partir de um dos vértices de um polígono convexo pode-se traçar tantas diagonais quantas são o total 
de diagonais de um pentágono. É correto afirmar que esse polígono é um: 
a) Hexágono. 
b) Heptágono. 
c) Octógono. 
d) Decágono. 
e) Dodecágono. 
 
Comentário: 
O número de diagonais de um polígono de 𝑛 lados é dado por: 
𝐷 =
𝑛(𝑛 − 3)
2
 
Assim, pro pentágono: 
𝐷 =
5(5 − 3)
2
=
5.2
2
= 5 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠 
Assim, de um vértice de um polígono saem 10 diagonais. Mas de cada vértice de um polígono de 
n lados saem 𝑛 − 3 diagonais: 
𝑛 − 3 = 5 → 𝑛 = 8 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 
Assim, temos um pentágono. 
 
GABARITO: C 
33. (EAM 2018) 
Analise a figura a seguir. 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
99 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
 
Na figura acima, AB = AC, BX = BY e CZ = CY. Se o ângulo A mede 40°, então o ângulo XYZ mede: 
a) 40° 
b) 50° 
c) 60° 
d) 70° 
e) 90° 
 
Comentário: 
Se ABC é isósceles com AB=AC, então: 
Â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐵𝐶 = Â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐶𝐵 =
180 − 40
2
= 70𝑜 
Se CZY é isósceles com CZ=CY, então: 
Â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐶𝑌𝑍 =
180 − 70
2
= 55𝑜 
Se BXY é isósceles com BX=BY, então: 
Â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐵𝑌𝑋 =
180 − 70
2
= 55𝑜 
Assim: 
Â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐵𝑌𝑋 + Â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑋𝑌𝑍 + Â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐶𝑌𝑍 = 180𝑜 
55𝑜 + 𝑋𝑌𝑍 + 55𝑜 = 180 
𝑋𝑌𝑍 = 70𝑜 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
100 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
 
 
GABARITO: D 
34. (EAM 2019) 
Considere o triângulo ABC, isósceles, de lados AB = AC. Seja o ponto D, sobre o lado BC, de forma que 
o ângulo BAD é 30°. Seja E o ponto sobre o lado AC, tal que o ângulo EDC vale x graus. Tendo em vista 
que o segmento AD e AE têm as mesmas medidas, é correto afirmar que o valor da quarta parte de x 
é: 
a) 3° 
b) 3° 20’ 
c) 3° 30’ 
d) 3° 35’ 
e) 3° 45' 
 
Comentário: 
Perceba: 
 
Se o triângulo ABC é isósceles, então o ângulo A vale: 
𝐵Â𝐶 = 180 − 2𝑦 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
101 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
Se o triângulo ADE é isósceles, então o ângulo DAE vale: 
𝐷Â𝐸 = 180 − 2𝑥 − 2𝑦 
Assim: 
𝐷𝐴𝐸 + 30𝑜 = 𝐵𝐴𝐶 
180 − 2𝑥 − 2𝑦 + 30 = 180 − 2𝑦 
𝑥 = 15𝑜 
Assim: 
𝑥
4
= 3,75𝑜 = 3𝑜45′ 
 
GABARITO: E 
 
35. (EAM 2004) 
Para sustentação do letreiro é feito um suporte de ferro na forma de um triângulo retângulo ABC . 
Calcule o comprimento da barra de ferro representada pelo segmento AD sabendo que é bissetriz do 
ângulo BAC . 
 
a) 0,56 m 
b) 0,84 m 
c) 0,92 m 
d) 1 m 
e) 1,2 m 
 
Comentário 
 
Seja x o comprimento de AD, a bissetriz dada. Se AD é bissetriz, então o ângulo BAD = CAD = 45o, 
pois CAB = 90o. Sabemos que a área de um triângulo de lados 𝑎 𝑒 𝑏, com ângulo y entre eles é 
dado por: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
102 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
𝑆 =
1
2
𝑎𝑏𝑠𝑒𝑛(𝑦) 
Assim, podemos equacionar: 
𝑆𝛥𝐴𝐵𝐶 = 𝑆𝛥𝐶𝐴𝐷 + 𝑆𝛥𝐴𝐷𝐵 
(140√2)(60√2)
2
=
1
2
140√2𝑥𝑠𝑒𝑛(45𝑜) +
1
2
60√2𝑥𝑠𝑒𝑛(45𝑜) 
Cortando 
1
2
, 10 𝑒 √2: 
14.60√2 =
(14𝑥 + 6𝑥)√2
2
 
14.60 = 10𝑥 
𝑥 = 84𝑐𝑚 = 0,84𝑚 
 
GABARITO: B 
36. (EAM 2005) 
 
Uma escada de 10 metros de comprimento forma ângulo de 60° com a horizontal quando encostada 
ao edifício de um dos lados da rua, e ângulo de 45° se for encostada ao edifício do outro lado, apoiada 
no mesmo ponto do chão. A largura da rua, em metros, vale aproximadamente: 
a) 15 
b) 14 
c) 13 
d) 12 
e) 11 
 
Comentário 
 
Perceba: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
103 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
 
As projeções das escadas são os catetos adjacentes aos ângulos dados, ou seja, 10 multiplicado 
pelo cosseno do ângulo. Assim: 
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑑𝑎 = 10 cos(45𝑜) + 10cos (60𝑜) 
= 10(
√2
2
+
1
2
) 
= 5(√2 + 1) 
~ 5(1,4 + 1) 
~ 5(2,4) 
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑑𝑎 = 12 
 
GABARITO: D 
37. (EAM 2005) 
Em um triângulo, os lados medem 9 cm, 12 cm e 15 cm. Quanto mede, em centímetros,a altura relativa 
ao maior lado desse triângulo? 
a) 8,0 
b) 7,2 
c) 6,0 
d) 5,6 
e) 4,3 
 
Comentário 
Perceba que o triângulo formado pelos lados 9, 12 e 15 é retângulo. Pois: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
104 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
92 + 122 = 81 + 144 = 225 = 152 
Assim, busca-se a altura H: 
 
Das relações métricas do triângulo retângulo: 
15𝑥𝐻 = 12𝑋9 → 𝐻 =
108
15
 
𝐻 = 7,2𝑐𝑚 
 
GABARITO: B 
38. (EAM 2007) 
Um robô de brinquedo dá passos de 2 centímetros. A partir de ponto A, ele caminha 8 passos para 
frente, gira 90° para a esquerda, dá mais 6 passos em frente e para em um ponto B. Qual a medida, em 
centímetros, do segmento AB? 
a) 10 
b) 14 
c) 20 
d) 25 
e) 28 
 
Comentário 
Dando 8 passos para a frente, o robô caminho um total de 8𝑥2 = 16𝑐𝑚 
Girando 90o e andando 6 passos a frente, o robô caminha mais um total de 6𝑥2 = 12𝑐𝑚 
Assim, AB será a hipotenusa do triângulo retângulo formado pelos catetos de 16cm e 12cm: 
𝐴𝐵2 = 162 + 122 = 256 + 144 = 400 = 202 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
105 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
𝐴𝐵 = 20𝑐𝑚 
 
GABARITO: C 
39. (EAM 2008) 
Observe a figura abaixo. 
 
O triângulo ABC é retângulo em A e o triângulo ABD é equilátero. Se a medida de BC é 12, o 
comprimento de AB é: 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
Comentário 
Se o triângulo ABC é equilátero, então o ângulo ABC vale 60o. Assim: 
cos(ABC) = cos(60𝑜) =
𝐴𝐵
𝐵𝐶
 
1
2
=
𝐴𝐵
12
→ 𝐴𝐵 = 6 
 
GABARITO: B 
40. (EAM 2008) 
Em um triângulo retângulo isósceles, a hipotenusa tem por medida 5 2 cm. A soma das medidas dos 
catetos, em centímetros, é 
a) 6 
b) 8 
c) 9 
d) 10 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
106 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
e) 12 
 
Comentário 
Se o triângulo retângulo é isósceles, então ambos catetos são iguais e valem x. Aplicando 
Pitágoras: 
𝑥2 + 𝑥2 = (5√2)
2
 
2𝑥2 = 25.2 
𝑥2 = 25 → 𝑥 = 5 
Assim, a soma dos catetos vales: 
𝑠 = 𝑥 + 𝑥 = 2𝑥 = 2.5 = 10𝑐𝑚 
 
GABARITO: D 
41. (EAM 2009) 
Observe a figura abaixo. 
 
O pé de uma escada de 10 m de comprimento está afastado 6 m de um muro. A que altura do chão, 
em metros, encontra-se o topo da escada? 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
Comentário: 
Temos a escada formando uma hipotenusa de 10m e a distância dela ao chão formando um 
cateto de 6m. Assim, aplicando Pitágoras, achamos o outro cateto (altura) H: 
102 = 62 + 𝐻2 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
107 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
100 − 36 = 𝐻2 = 64 
𝐻 = 8𝑚 
 
GABARITO: D 
42. (EAM 2010) 
Seja x, y e z os lados de um triângulo retângulo. Sabendo que y é a medida do maior lado então: 
a) 
2 2 22y x z= + 
b) 
2 2 22 2y x z= + 
c) 
2 2 22y x z= + 
d) 
2 2 2y x z= + 
e) 
2 2 22y x z= + 
 
Comentário: 
A hipotenusa de um triângulo retângulo sempre o maior lado deste triângulo. Assim, y é a 
hipotenusa. Utilizando Pitágoras: 
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎2 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜2 + 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜2 
𝑦2 = 𝑥2 + 𝑧2 
 
GABARITO: D 
43. (EAM 2012) 
Uma aeronave decola fazendo, com a pista plana e horizontal, um ângulo de elevação de 30°. Após 
percorrer 1,2 km, a aeronave se encontra em relação ao solo, a uma altura igual a: 
a) 900 m 
b) 600 m 
c) 500 m 
d) 400 m 
e) 300 m 
 
Comentário: 
Perceba: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
108 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
 
O avião percorre a hipotenusa de 1,2km. Sua altura será o cateto oposto ao ângulo de 300: 
ℎ = 1,2. 𝑠𝑒𝑛(30𝑜) = 1,2.
1
2
 
ℎ = 0,6𝑘𝑚 = 600𝑚 
 
GABARITO: B 
44. (EAM 2012) 
A área do triângulo retângulo de lados 1,3 dm, 0,05 m e 0,012 dam é: 
a) 28 cm² 
b) 30 cm² 
c) 32 cm² 
d) 33 cm² 
e) 34 cm² 
 
Comentário: 
Os lados do triângulo retângulo são 1,3𝑑𝑚 = 13𝑐𝑚, 0,05𝑚 = 5𝑐𝑚 e 0,012𝑑𝑎𝑚 = 12𝑐𝑚. Os 2 
menores lados são os catetos e o maior é a hipotenusa. Assim: 
𝑆 =
(𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜1)(𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜2)
2
=
12𝑥5
2
= 30𝑐𝑚2 
 
GABARITO: B 
45. (EAM 2013) 
Considere que o triângulo ABC é retângulo. Sabendo que 90A =  , 12AB = cm e 5AC = cm, qual é o 
perímetro, em centímetros, desse triângulo? 
a) 20 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
109 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
b) 30 
c) 40 
d) 50 
e) 140 
 
Comentário 
Se A = 90o, AB=12cm e AC=5cm, então temos catetos de 12cm e 5cm. Para achar a hipotenusa, 
usamos Pitágoras: 
ℎ2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169 
ℎ = 13𝑐𝑚 
Assim, o perímetro será de: 
𝑝 = 13 + 12 + 5 = 30𝑐𝑚 
 
GABARITO: B 
46. (EAM 2014) 
Uma pipa ficou presa em um galho de uma árvore e seu fio ficou esticado formando um ângulo de 60° 
com o solo. Sabendo que o comprimento do fio é 50 m, a que altura, aproximadamente, do solo 
encontrava-se a pipa? 
Dado: considere 3 1,7= 
a) 15,7 m 
b) 25 m 
c) 42,5 m 
d) 50,5 m 
e) 85 m 
 
Comentário: 
O fio da pipa forma a hipotenusa do triângulo retângulo com ângulo de 600, pois a árvore faz 90o 
com o solo. Assim, a altura é o cateto oposto ao ângulo de 60o: 
ℎ = 50. 𝑠𝑒𝑛(60𝑜) = 50
√3
2
= 25√3 = 25.1,7 = 42,5𝑚 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
110 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
GABARITO: C 
47. (EAM 2015) 
Um avião decola de um aeroporto e sobe segundo um ângulo constante de 15° com a horizontal. Na 
direção do percurso do avião, a 2 km do aeroporto, um garoto observa o avião sobre ele. Qual a altura 
do avião neste momento? 
Dados: sen 15 0,26 = , cos 15 0,96 = , tan 15 0,27 = . 
a) 960 m 
b) 540 m 
c) 260 m 
d) 96 m 
e) 26 m 
 
Comentário: 
A distância de 2km representa o cateto adjacente a 15o e a altura o cateto adjacente em um 
triângulo retângulo: 
 
Assim: 
𝑡𝑔15𝑜 =
ℎ
2
 
ℎ = 2𝑡𝑔15𝑜 = 2.0,27 
𝑡𝑔15𝑜 = 0,54𝑘𝑚 = 540𝑚 
 
 
GABARITO: B 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
111 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
48. (EAM 2016) 
Analise a figura: 
 
Uma escada com 10 degraus, construída sobre uma rampa, conforme a figura. Deve ligar dois 
pavimentos de uma casa. Sabendo que o comprimento de cada degrau é igual a 30 cm e a inclinação 
da rampa com a horizontal é igual a 53°, determine a altura de cada degrau, considerando que o seno 
de 53° é igual a 0,8 e o cosseno de 53° é igual a 0,6, assinalado a seguir, a opção correta. 
a) 10 cm 
b) 20 cm 
c) 40 cm 
d) 50 cm 
e) 60 cm 
 
Comentário: 
Se o comprimento de cada degrau é 30cm, então: 
tan(53𝑜) =
𝑠𝑒𝑛(53𝑜)
cos(53𝑜)
=
ℎ
30
→
0,8
0,6
=
ℎ
30
→ ℎ =
4
3
. 30 
ℎ = 40𝑐𝑚 
 
GABARITO: C 
49. (EAM 2017) 
Apoiado em dois pilares construídos sobre um terreno plano e distantes 3m um do outro, constrói-se 
um telhado, cuja inclinação é de 30° em relação ao piso. Se o pilar de menor altura mede 4 metros, 
qual é a altura do outro pilar? 
Dado: 3 1,7= 
a) 5,5 m 
b) 5,7 m 
c) 6,0 m 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
112 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
d) 6,5 m 
e) 6,9 m 
 
Comentário: 
Perceba: 
 
Para encontrar x: 
𝑡𝑔(30𝑜) =
𝑥
3
 
√3 = 𝑥 = 1,7 
Assim, a altura do segundo pilar será de: 
ℎ = 4 + 𝑥 = 4 + 1,7 = 5,7𝑚 
 
GABARITO: B 
50. (EAM 2017) 
Observe a figura a seguir. 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
113 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
 
Na figura acima, tem-se um triângulo isósceles ACD, no qual o segmento AB mede 3cm, o lado 
desigual AD mede 10 2 cm e os segmentos AC e CD são perpendiculares. Sendo assim, é correto 
afirmar que o segmento BD mede: 
a) 53 cm 
b) 97 cm 
c) 111 cm 
d) 149 cm 
e) 161cm 
 
Comentário: 
Perceba: 
 
Se ACD é retângulo isósceles, então DC=AC. Pitágoras: 
(10√2)
2
= 𝐷𝐶2 + 𝐴𝐶2 → 𝐷𝐶 = 𝐴𝐶 = 10𝑐𝑚 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
114 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
Se AC=DC=10cm, então BC = 10-3=7cm. Assim, aplica-se Pitágoras no triângulo BDC: 
𝐵𝐷2 = 72 + 102 → 𝐵𝐷2 = 149 
𝐵𝐷 = √149 
 
GABARITO: D 
51. (EAM 2019) 
Os lados de um triângulo medem 30 cm, 70 cm e 80 cm. Ao traçarmos a altura desse triângulo em 
relação ao maior lado, dividiremos esse lado em dois segmentos. Sendo assim, calcule o valor do menor 
segmento em centímetros e assinale a opção correta. 
a) 15 
b) 14 
c) 13 
d) 12 
e) 11 
 
Comentário: 
 
Perceba: 
 
Aplicando Pitágoras em ambos triângulos retângulos: 
ℎ2 + 𝑥2 = 9 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
115 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
ℎ2 + (8 − 𝑥)2 = 49 
Subtraindo uma equação da outra: 
(8 − 𝑥)2 − 𝑥2 = 40 
64 − 16𝑥 + 𝑥2 − 𝑥2 = 40 
16𝑥 = 24 
𝑥 =
24
16
=
3
2
= 1,5 
Assim, temos os segmentos: 
𝑥 = 1,5𝑚 = 15𝑐𝑚 
8 − 𝑥 = 8 − 1,5 = 6,5𝑚 = 65𝑐𝑚 
O menor segmento é de 15cm. 
 
GABARITO: A 
52. (EAM 2019) 
Observe a figura abaixo. 
 
Considerando que os triângulos BDA e BCA apresentados acima são, respectivamente, retângulos em 
D e C, calcule o valor de x em função do lado c e assinale a opção correta. 
a) 
3 2c − 
b) 
2 1c − 
c) 
2 5c + 
d) 3c − 
e) 
2 3c − 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
116 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
Comentário: 
 
Aplicando Pitágoras nos triângulos ADB e ACB: 
𝐴𝐵2 = 22 + 𝑥2 
𝐴𝐵2 = 𝑐2 + 12 
Igualando: 
𝐴𝐵2 = 𝐴𝐵2 
4 + 𝑥2 = 𝑐2 + 1 → 𝑥2 = 𝑐2 − 3 
𝑥 = √𝑥2 − 3 
 
GABARITO: E 
 
 
53. (EEAR/2021.2) 
No triângulo ABC da figura, 𝒙 é a medida de um ângulo interno e 𝒛 e 𝒘 são medidas de ângulos externos. 
Se 𝒛 + 𝒘 = 𝟐𝟐𝟎° e 𝒛 − 𝟐𝟎° = 𝒘, então 𝒙 é 
 
a) complemento de 𝟏𝟐𝟎° 
b) complemento de 𝟔𝟎° 
c) suplemento de 𝟏𝟒𝟎° 
d) suplemento de 𝟓𝟎° 
Comentários 
 Das equações, temos: 
{
𝑧 + 𝑤 = 220°
𝑧 − 𝑤 = 20°
⇒ 2𝑧 = 240° ⇒ 𝑧 = 120° ⇒ 𝑤 = 100° 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
117 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
 Analisando os ângulos internos do triângulo: 
𝐴�̂�𝐶 = 180° − 𝑧 = 180° − 120° = 60° 
𝐴�̂�𝐵 = 180° − 𝑤 = 180° − 100° = 80° 
 Somando-se os ângulos internos do triângulo: 
𝑥 + 60° + 80° = 180° ⇒ 𝑥 = 180° − 140° = 40° 
 Logo, 𝑥 é suplemento de 140°. 
Gabarito: C 
54. (ESA/2015) 
Em um triângulo retângulo de lados 𝟗 𝒎, 𝟏𝟐 𝒎 e 𝟏𝟓 𝒎, a altura relativa ao maior lado será: 
a) 𝟕, 𝟐 𝒎 
b) 𝟕, 𝟖 𝒎 
c) 𝟖, 𝟔 𝒎 
d) 𝟗, 𝟐 𝒎 
e) 𝟗, 𝟔 𝒎 
 
Comentário: 
 
 Observe que ∆𝐻𝐵𝐴 e ∆𝐴𝐵𝐶 são triângulos retângulos e que, além disso, 𝐻�̂�𝐴 = 𝐴�̂�𝐶. 
Portanto, temos que ∆𝐻𝐵𝐴 ~ ∆𝐴𝐵𝐶. Logo, valem as relações: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
118 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
𝐻𝐵
𝐴𝐵
=
𝐵𝐴
𝐵𝐶
⇒
𝑥
9
=
9
15
∴ 𝑥 =
27
5
. 
 Usando o teorema de Pitágoras no ∆𝐻𝐵𝐴, temos: 
ℎ2 = 92 − 𝑥2 = 92 − (
27
5
)
2
= 92 ⋅ [1 − (
3
5
)
2
] = 92 ⋅ (
4
5
)
2
⇒ ℎ = 9 ⋅
4
5
=
36
5
∴ ℎ = 7,2 𝑚. 
Gabarito: “a”. 
55. (ESA/2015) 
Num triângulo retângulo cujos catetos medem √𝟖 e √𝟗, a hipotenusa mede 
a) √𝟏𝟎 
b) √𝟏𝟏 
c) √𝟏𝟑 
d) √𝟏𝟕 
e) √𝟏𝟗 
Comentário: 
 Teorema de Pitágoras. 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 = √8
2
+ √9
2
= 8 + 9 = 17 ∴ 𝑎 = √17. 
Gabarito: “d”. 
56. (EEAR/2016) 
Sabe-se que a hipotenusa de um triângulo retângulo tem 𝟓√𝟓 cm de comprimento e a soma dos 
catetos é igual a 15 cm. As medidas, em cm, dos catetos são 
a) 6 e 9 
b) 2 e 13 
c) 3 e 12 
d) 5 e 10 
Comentários 
 De acordo com o enunciado, temos a seguinte figura: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
119 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
 
 Pelo enunciado temos: 
𝑚 + 𝑛 = 15 
 𝑚 = 15 − 𝑛 𝑒𝑞. 1 
 Utilizando o Teorema de Pitágoras: 
 𝑚2 + 𝑛2 = (5√5)
2
= 125 𝑒𝑞. 2 
 Substituindo a eq. 1 em eq. 2, obtemos: 
(15 − 𝑛)2 + 𝑛2 = 125 
(225 − 30𝑛 + 𝑛2) + 𝑛2 = 125 
2 ⋅ 𝑛2 − 30 ⋅ 𝑛 + 100 = 0 
 Simplificando: 
𝑛2 − 15𝑛 + 50 = 0 
 Aplicando o método de Bhaskara para resolver a equação de segundo grau em função de n: 
𝑛 =
−(−15) ± √(−15)2 − 4 ⋅ (1) ⋅ (50)
2 ⋅ (1)
 
⇒ 𝑛 = 10 𝑜𝑢 𝑛 = 5 
 Substituindo os valores de n em eq. 1, obtemos: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
120 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
 Se n = 10: 
𝑚 = 15 − (10) = 5 𝑚 = 5 
 Se n = 5: 
𝑚 = 15 − (5) = 10 
𝑚 = 10 
 Conclusão, os valores dos catetos são 5 e 10 
Gabarito: “d”. 
57. (EEAR/2016) 
Uma escada é apoiada em uma parede perpendicular ao solo, que por sua vez é plano. A base da 
escada, ou seja, seu contato com o chão, dista 10m da parede. O apoio dessa escada com a parede está 
a uma altura de 𝟏𝟎√𝟑m do solo. Isto posto, o ângulo entre a escada e o solo é de 
a) 𝟔𝟎° 
b) 𝟒𝟓° 
c) 𝟑𝟎° 
d) 𝟏𝟓° 
Comentários 
 De acordo com o enunciado, temos a seguinte figura: 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
121 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
 Observemos o valor de 𝑡𝑔(𝛼) 
𝑡𝑔(𝛼) =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 
⇒ 𝑡𝑔(𝛼) =
10√3
10
= √3 
 Temos que 𝑡𝑔(𝛼) = √3 e, segundo a tabela de ângulos, o ângulo cuja tangente vale √3 vale 
60° 
⇒ 𝛼 = 60° 
Gabarito: “a”. 
58. (EEAR/2015) 
Em um triângulo ABC, retângulo em C, a razão 
𝒔𝒆𝒏 �̂�
𝐜𝐨𝐬 �̂�
 é igual a 
a) 
𝑨𝑪
𝑩𝑪
 
b) 
𝑨𝑩
𝑨𝑪
 
c) 𝟏 
d) 𝟐 
Comentários 
 De acordo com o enunciado, temos a seguinte figura: 
 
 Aplicando diretamente a definição de seno e cosseno em um triângulo retângulo, obtemos: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
122 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
𝑠𝑒𝑛 �̂�
cos �̂�
=
𝑏
𝑐⁄
𝑏
𝑐⁄
=
𝑏
𝑐
⋅
𝑐
𝑏
= 1 
Gabarito: “c”. 
59. (EEAR/2013) 
Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o dobro de um cateto. O ângulo oposto a esse cateto mede 
a) 𝟐𝟎° 
b) 𝟑𝟎° 
c) 𝟒𝟓° 
d) 𝟔𝟎° 
Comentários 
 De acordo com o enunciado, temos a seguinte figura: 
 
 Calculemos o 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 
𝑠𝑒𝑛(𝜃) =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑚
2𝑚
=
1
2
 
 𝑠𝑒𝑛(𝜃) =
1
2
, sabemos que o ângulo cujo seno vale 
1
2
 é o ângulo de 30° 
Gabarito: “b”. 
 
 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
123 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
9.0 - Lista de Questões- Nível 2 
 
 (EEAR/2009) 
Na figura, 𝑴𝑵̅̅ ̅̅ ̅//𝑩𝑪̅̅ ̅̅ . 
 
Se 𝑨𝑩 = 𝟑𝟎𝒄𝒎, então 𝑴𝑩̅̅ ̅̅ ̅ mede, em cm, 
a) 𝟓 
b) 𝟏𝟎 
c) 𝟏𝟓 
d) 𝟐𝟎 
 
2. (EEAR/2009) 
Dois lados de um triângulo medem 6 cm e 8 cm, e formam um ângulo de 𝟔𝟎°. A medida do terceiro 
lado desse triângulo, em cm, é 
a) 𝟐√𝟏𝟑 
b) 𝟑√𝟏𝟕 
c) √𝟐𝟑 
d) √𝟐𝟗 
 
3. (EEAR/2008) 
No triângulo, cujos lados medem 5 cm, 10 cm e 6 cm, o maior ângulo tem cosseno igual a 
a) 
𝟕
𝟏𝟎
 
b) 
𝟗
𝟐𝟎
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
124 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
c) −
𝟏𝟑
𝟐𝟎
 
d) −
𝟖
𝟏𝟎
 
 
4. (EEAR/2007) 
Dois triângulos são semelhantes, e uma altura do primeiro é igual aos 
𝟐
𝟓
 de sua homóloga no segundo. 
Se o perímetro do primeiro triângulo é 𝟏𝟒𝟎𝒄𝒎, então o perímetro do segundo, em 𝒄𝒎, é: 
a) 250. 
b) 280. 
c) 300. 
d) 350. 
 
5. (EEAR/2007) 
Considereo triângulo ABC. Assinale a alternativa FALSA. 
 
 
 
a) 𝒔𝒆𝒏 �̂� =
𝒃
𝒂
 𝒆 𝒄𝒐𝒔 �̂� =
𝒄
𝒂
 
b) 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐 ⋅ 𝒃 ⋅ 𝒄 ⋅ 𝒄𝒐𝒔 �̂� 
c) 
𝒂
𝒔𝒆𝒏(�̂�)
=
𝒃
𝒔𝒆𝒏(�̂�)
=
𝒄
𝒔𝒆𝒏(�̂�)
 
d) 𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐 ⋅ 𝒂 ⋅ 𝒄 ⋅ 𝒄𝒐𝒔 �̂� 
 
6. (EEAR/2007) 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
125 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
Um triângulo, inscrito numa circunferência de 𝟏𝟎 𝒄𝒎 de raio, determina nesta três arcos, cujas 
medidas são 𝟗𝟎°, 𝟏𝟐𝟎° e 𝟏𝟓𝟎°. A soma das medidas dos menores lados desse triângulo, em 𝒄𝒎, é 
a) 𝟏𝟎(√𝟐 + √𝟑) 
b) 𝟏𝟎(𝟏 + √𝟑) 
c) 𝟓(√𝟐 + √𝟑) 
d) 𝟓(𝟏 + √𝟑) 
 
7. (EEAR/2006) 
Num triângulo 𝑨𝑩𝑪, o ângulo 𝑩�̂�𝑪 mede 𝟏𝟏𝟒°. Se E é o incentro de 𝑨𝑩𝑪, então o ângulo  mede: 
a) 44. 
b) 48. 
c) 56. 
d) 58. 
 
8. (EEAR/2006) 
Num triângulo 𝑨𝑩𝑪, 𝑨𝑩 = 𝑩𝑪 = 𝟓√𝟐𝒄𝒎. Se R é o ponto médio de 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ , e S é o ponto médio de 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , 
então a medida de 𝑹𝑺̅̅ ̅̅ , em cm, é igual a: 
a) 
𝟓
𝟐
 
b) 
𝟓√𝟐
𝟒
 
c) 
𝟓√𝟐
𝟑
 
d) 
𝟓√𝟐
𝟐
 
 
9. (EEAR/2006) 
Num triângulo ABC, a razão entre as medidas dos lados 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ e 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ é 2. Se �̂� = 𝟏𝟐𝟎° e 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ = 𝟏 𝒄𝒎, então 
o lado 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ mede, em cm, 
a) √𝟕 
b) √𝟕 + 𝟏 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
126 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
c) √𝟏𝟑 
d) √𝟏𝟑 − 𝟏 
 
10. (EEAR/2005) 
 
Na figura, 𝑨𝑺 e 𝑨𝑷 são, respectivamente, bissetrizes internas e externa do triângulo 𝜟𝑨𝑩𝑪. Se 𝑩𝑺 =
 𝟖𝒎 e 𝑺𝑪 = 𝟔𝒎, então 𝑺𝑷 mede, em m: 
a) 48 
b) 𝟒𝟐 
c) 𝟑𝟖 
d) 𝟑𝟐 
 
11. (EEAR/2005) 
Na figura, 𝑫𝑬//𝑨𝑩. O valor de 𝒙 + 𝒚 é: 
 
a) 𝟏𝟐, 𝟓 
b) 𝟏𝟕, 𝟓 
c) 𝟐𝟎 
d) 𝟐𝟐 
 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
127 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
12. (EEAR/2005) 
Seja o triângulo ABC retângulo em B 
 
Se 𝑨𝑫̅̅ ̅̅ é bissetriz de �̂�, 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 𝟔 𝒄𝒎, e 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ = 𝟏𝟎 𝒄𝒎, então a medida de 𝑫𝑪̅̅ ̅̅ , em cm, é 
a) 6 
b) 5 
c) 4 
d) 3 
 
13. (EEAR/2004) 
Na figura, o lado 𝑩𝑪 do triângulo 𝑨𝑩𝑪 mede 𝟏𝟐𝒄𝒎, e a altura relativa ao lado 𝑩𝑪 mede 𝟖𝒄𝒎. Se 
𝑭𝑮 = 𝟑𝑬𝑭, então o perímetro do retângulo 𝑫𝑬𝑭𝑮, em cm, é: 
 
a) 𝟑𝟎 
b) 𝟐𝟖 
c) 
𝟖𝟓
𝟑
 
d) 
𝟔𝟒
𝟑
 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
128 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
14. (EEAR/2004) 
Se os dados no triângulo ABC, retângulo em C, estão em cm, então o triângulo BCD é 
 
a) 𝐨𝐛𝐭𝐮𝐬â𝐧𝐠𝐮𝐥𝐨. 
b) 𝐫𝐞𝐭â𝐧𝐠𝐮𝐥𝐨. 
c) 𝐢𝐬ó𝐬𝐜𝐞𝐥𝐞𝐬. 
d) 𝐞𝐪𝐮𝐢𝐥á𝐭𝐞𝐫𝐨. 
 
15. (EEAR/2004) 
Na figura, os ângulos assinalados são retos. Assim, necessariamente, teremos 
 
a) 
𝒙
𝒚
=
𝒑
𝒎
 
b) 
𝒙
𝒚
=
𝒎
𝒑
 
c) 
𝟏
𝒙
+
𝟏
𝒚
=
𝟏
𝒎
+
𝟏
𝒑
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
129 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
d) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒑𝟐 +𝒎𝟐 
 
16. (EEAR/2003) 
Na figura, as medidas dos lados 𝑨𝑩,𝑨𝑪 𝒆 𝑩𝑪 são, respectivamente, 𝟒𝟎𝒄𝒎, 𝟐𝟎𝒄𝒎 𝒆 𝟑𝟎𝒄𝒎. 
 
A bissetriz interna desse triângulo, relativa ao vértice A, encontra o lado oposto no ponto 𝑷, e a bissetriz 
externa, relativa ao mesmo vértice, encontra o prolongamento do lado 𝑩𝑪 no ponto 𝑺. A medida do 
segmento 𝑷𝑺, em cm, é igual a: 
a) 𝟑𝟎 
b) 𝟑𝟓 
c) 𝟒𝟎 
d) 𝟒𝟓 
 
17. (EEAR/2003) 
Na figura os triângulos ABC e EDC são semelhantes. 
 
Sabendo que 𝑨𝑪 = 𝒙 − 𝟓 e 𝑫𝑬 = 𝟐𝒙 + 𝟒, a soma 𝒎𝒆𝒅(𝑨𝑪) +𝒎𝒆𝒅(𝑪𝑬), em cm, vale 
a) 𝟏𝟎, 𝟑 
b) 𝟏𝟖 
c) 𝟏𝟑 
d) 𝟐𝟑, 𝟑 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
130 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
 
 
18. (EEAR/2003) 
Se forem indicados por m, n, e p os três lados de um triângulo e por �̂�, �̂� 𝒆 �̂�, respectivamente, os 
ângulos opostos a esses lados, então sendo conhecidos os lados m e n e o ângulo �̂�, qual das fórmulas 
abaixo poderá ser utilizada para calcular o valor do lado p? 
a) 𝒎𝟐 = 𝒏𝟐 + 𝒑𝟐 − 𝟐 ⋅ 𝒏 ⋅ 𝒑 ⋅ 𝐜𝐨𝐬(�̂�) 
b) 𝒏𝟐 = 𝒎𝟐 + 𝒑𝟐 + 𝟐 ⋅ 𝒎 ⋅ 𝒑 ⋅ 𝐜𝐨𝐬(�̂� + �̂�) 
c) 𝒑𝟐 = 𝒎𝟐 + 𝒏𝟐 − 𝟐 ⋅ 𝒎 ⋅ 𝒏 ⋅ 𝐜𝐨𝐬(�̂�) 
d) 𝒑𝟐 = 𝒎𝟐 + 𝒏𝟐 − 𝟐 ⋅ 𝒎 ⋅ 𝒏 ⋅ 𝐜𝐨𝐬(�̂� + �̂�) 
 
19. (EEAR/2003) 
Seja o triângulo ABC e D um ponto do lado 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ . Se 𝑨𝑫̅̅ ̅̅ = 𝟐 𝒄𝒎, 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = √𝟑 𝒄𝒎, 𝑩𝑫̅̅̅̅̅ = 𝑫𝑪̅̅ ̅̅ e 𝑩�̂�𝑪 =
𝟑𝟎°, a medida, em cm, do lado 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ é igual a 
a) √𝟑 
b) √𝟓 
c) √𝟔 
d) √𝟕 
 
20. (EEAR/2003) 
As medidas dos lados de um triângulo são iguais a 4 cm, 5 cm e 6 cm. O cosseno do menor ângulo desse 
triângulo é igual a 
a) 
𝟏
𝟖
 
b) 
𝟗
𝟏𝟔
 
c) 
𝟑
𝟒
 
d) 
𝟐
𝟓
 
 
21. (EEAR/2002) 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
131 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
Dada a figura abaixo, se 𝑨𝑩 ̅̅ ̅̅ ̅ = 𝟖 𝐜𝐦, 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ = 𝟒 𝐜𝐦 e 𝑨𝑫̅̅ ̅̅ = 𝟐𝟎 𝐜𝐦, a medida, em cm, de 𝒙 é 
 
a) 
√𝟔
𝟔
 
b) 
√𝟔
𝟐
 
c) 
𝟐√𝟔
𝟑
 
d) 
𝟑√𝟔
𝟐
 
 
22. (ESA/2021) 
A água utilizada em uma residência é captada e bombeada do rio para uma caixa d`água localizada a 
60 m de distância da bomba. Os ângulos formados pelas direções bomba – caixa d`água – residência é 
de 𝟔𝟎° e residência – bomba – caixa d`água é de 𝟕𝟓°, conforme a figura abaixo. Para bombear água do 
mesmo ponto de captação, diretamente para a residência, quantos metros de tubulação são 
necessários? Use √𝟔 = 𝟐, 𝟒 
 
a) 12,5 metros 
b) 72 metros 
c) 35,29 metros 
d) 21,25 metros 
e) 28 metros 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
132 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
 
23. (ESA/2019) 
Uma pequena praça tem o formato triangular, as medidas dos lados desse triângulo são √𝟑𝟕m, 𝟒m e 
𝟑m. Qual a medida do ângulo oposto ao maior lado? 
a) 120° 
b) 60° 
c) 90° 
d) 45° 
e) 150° 
 
 
10 - Lista de questões comentadas - NÍVEL 2 
 
 (EEAR/2009) 
Na figura, 𝑴𝑵̅̅ ̅̅ ̅//𝑩𝑪̅̅ ̅̅ . 
 
Se 𝑨𝑩 = 𝟑𝟎𝒄𝒎, então 𝑴𝑩̅̅ ̅̅ ̅ mede, em cm, 
a) 𝟓 
b) 𝟏𝟎 
c) 𝟏𝟓 
d) 𝟐𝟎 
 
Comentários 
 De acordo com figura do enunciado a seguir: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
133 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
 
 Pela semelhança 𝛥𝐴𝐵𝐶 ~ 𝛥𝐴𝑀𝑁 
𝑥
12
=
30
18
 
𝑥 = 20 𝑐𝑚 
 Sabendo que 𝐴𝐵 = 30 = 𝑥 + 𝑦 , 𝑐omo 𝑥 = 20 𝑐𝑚, temos 𝑦 = 10 𝑐𝑚. 
𝑦 = 𝑀𝐵̅̅ ̅̅̅ = 10 𝑐𝑚 
Gabarito: “b”. 
2. (EEAR/2009) 
Dois lados de um triângulo medem 6 cm e 8 cm, e formam um ângulo de 𝟔𝟎°. A medida do terceiro 
lado desse triângulo, em cm, é 
a) 𝟐√𝟏𝟑 
b) 𝟑√𝟏𝟕 
c) √𝟐𝟑 
d) √𝟐𝟗 
 
Comentários 
 De acordo com o enunciado, temos a seguinte figura: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
134 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
 
 Aplicando a Lei dos Cossenos, obtemos: 
𝑥2 = (6)2 + (8)2 − 2 ⋅ (6) ⋅ (8) ⋅ cos(60°) 
⇒ 𝑥2 = 36 + 64 − 2 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅
1
2
 
⇒ 𝑥2 = 100 − 48 = 52 
⇒ 𝑥 = √52 = 2√13 
Gabarito: “a” 
3. (EEAR/2008) 
No triângulo, cujos lados medem 5 cm, 10 cm e 6 cm, o maior ângulo tem cosseno igual a 
a) 
𝟕
𝟏𝟎
 
b) 
𝟗
𝟐𝟎
 
c) −
𝟏𝟑
𝟐𝟎
 
d) −
𝟖
𝟏𝟎
 
 
Comentários 
 De acordo com o enunciado, temos a seguinte figura: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
135 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
 
 Em triângulos, o maior ângulo é oposto ao maior lado. Logo, aplicaremos a Lei Dos Cossenos 
relativa ao lado de 10 cm: 
(10)2 = (5)2 + (6)2 − 2 ⋅ (5) ⋅ (6) ⋅ cos (𝜃) 
100 = 25 + 36 − 60 ⋅ cos (𝜃) 
60 ⋅ cos(𝜃) = −39 
cos(𝜃) = −
13
20
 
Gabarito: “c” 
4. (EEAR/2007) 
Dois triângulos são semelhantes, e uma altura do primeiro é igual aos 
𝟐
𝟓
 de sua homóloga no segundo. 
Se o perímetro do primeiro triângulo é 𝟏𝟒𝟎𝒄𝒎, então operímetro do segundo, em 𝒄𝒎, é: 
a) 250. 
b) 280. 
c) 300. 
d) 350. 
 
Comentários 
 De acordo com o enunciado temos a seguinte figura: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
136 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
 
 Como os triângulos são semelhantes, sabemos que há uma proporcionalidade direta entre os 
seus lados, determinado pelo coeficiente de proporcionalidade. Temos que a razão de proporção 
entre os dois triângulos é: 
𝑘 =
𝑙2
𝑙1
=
ℎ
2ℎ
5
=
5
2
 
 Como o perímetro é a soma dos lados, esse também segue a proporcionalidade, portanto 
𝑘 =
𝑃2
𝑃1
=
5
2
 
𝑃2 =
5
2
𝑃1 =
5
2
140 = 350 
𝑃2 = 350 
Gabarito: “d”. 
5. (EEAR/2007) 
Considere o triângulo ABC. Assinale a alternativa FALSA. 
 
 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
137 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
a) 𝒔𝒆𝒏 �̂� =
𝒃
𝒂
 𝒆 𝒄𝒐𝒔 �̂� =
𝒄
𝒂
 
b) 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐 ⋅ 𝒃 ⋅ 𝒄 ⋅ 𝒄𝒐𝒔 �̂� 
c) 
𝒂
𝒔𝒆𝒏(�̂�)
=
𝒃
𝒔𝒆𝒏(�̂�)
=
𝒄
𝒔𝒆𝒏(�̂�)
 
d) 𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐 ⋅ 𝒂 ⋅ 𝒄 ⋅ 𝒄𝒐𝒔 �̂� 
 
Comentários 
 a) O triângulo não é retângulo de hipotenusa 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 𝑎. FALSA 
 b) Aplicação da lei dos cossenos relativa ao lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . VERDADEIRA 
 c) Aplicação da lei dos senos. VERDADEIRA 
 d) Aplicação da lei dos cossenos relativa ao lado 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ . VERDADEIRA 
Gabarito: “a” 
 
6. (EEAR/2007) 
Um triângulo, inscrito numa circunferência de 𝟏𝟎 𝒄𝒎 de raio, determina nesta três arcos, cujas 
medidas são 𝟗𝟎°, 𝟏𝟐𝟎° e 𝟏𝟓𝟎°. A soma das medidas dos menores lados desse triângulo, em 𝒄𝒎, é 
a) 𝟏𝟎(√𝟐 + √𝟑) 
b) 𝟏𝟎(𝟏 + √𝟑) 
c) 𝟓(√𝟐 + √𝟑) 
d) 𝟓(𝟏 + √𝟑) 
 
Comentário: 
 Sejam ∆𝐴𝐵𝐶 o triângulo, 𝑎, 𝑏, 𝑐 as medidas dos lados de ∆𝐴𝐵𝐶 opostos respectivamente a 
𝐴, 𝐵, 𝐶. Temos que as medidas dos ângulos internos valem a metade das medidas dos arcos que 
eles enxergam. Sem perda de generalidade, Â = 45°, �̂� = 60°, �̂� = 75°. Pela lei dos senos, 
𝑎
sen Â
=
𝑏
sen �̂�
=
𝑐
sen �̂�
= 2𝑅 
 Logo, como ao menor ângulo está associado o menor lado, a soma pedida é 𝑎 + 𝑏: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
138 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
𝑎 + 𝑏 = 2𝑅 ⋅ (sen 45° + sen 60°) = 2 ⋅ 10 ⋅ (
√2
2
+
√3
2
) = 10(√2 + √3). 
Gabarito: “a”. 
7. (EEAR/2006) 
Num triângulo 𝑨𝑩𝑪, o ângulo 𝑩�̂�𝑪 mede 𝟏𝟏𝟒°. Se E é o incentro de 𝑨𝑩𝑪, então o ângulo  mede: 
a) 44. 
b) 48. 
c) 56. 
d) 58. 
 
Comentários 
 De acordo com o enunciado, obtemos a seguinte imagem: 
 
 Temos no 𝛥𝐵𝐸𝐶 a relação 1: 
𝛼
2
+
𝛽
2
+ 𝐵Ê𝐶 = 180° 
 Temos no 𝛥𝐴𝐵𝐶 a relação 2: 
𝛼 + 𝛽 + Â = 180° 
 Multiplicando a relação 1 e subtraindo a relação 2, tem-se: 
𝛼 + 𝛽 + 2𝐵Ê𝐶 − 𝛼 − 𝛽 − Â = 360° − 180° 
2𝐵Ê𝐶 − Â = 180° 
 = 2𝐵Ê𝐶 − 180° 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
139 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
 = 228° − 180° = 48° 
Gabarito: “b”. 
8. (EEAR/2006) 
Num triângulo 𝑨𝑩𝑪, 𝑨𝑩 = 𝑩𝑪 = 𝟓√𝟐𝒄𝒎. Se R é o ponto médio de 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ , e S é o ponto médio de 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , 
então a medida de 𝑹𝑺̅̅ ̅̅ , em cm, é igual a: 
a) 
𝟓
𝟐
 
b) 
𝟓√𝟐
𝟒
 
c) 
𝟓√𝟐
𝟑
 
d) 
𝟓√𝟐
𝟐
 
 
Comentários 
 De acordo com o enunciado, temos a seguinte figura: 
 
 Perceba que o triângulo 𝛥𝐴𝑆𝑅 é semelhante ao triângulo 𝛥𝐴𝐵𝐶. 
 Dessa maneira descobrindo a constante de proporcionalidade entre 𝛥𝐴𝑆𝑅 e 𝛥𝐴𝐵𝐶: 
𝑘 =
𝐴𝑅
𝐴𝐶
=
𝐴𝑆
𝐴𝐵
=
𝑆𝑅
𝐵𝐶
 
 Entretanto sabemos que 𝑅 e 𝑆 são pontos médios, logo 𝐴𝑅 = 𝑅𝐶, 𝐴𝑆 = 𝑆𝐵, portanto temos 
que: 
𝑘 =
𝐴𝑅
𝐴𝑅 + 𝑅𝐶
=
𝐴𝑅
2𝐴𝑅
=
1
2
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
140 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
 Portanto temos que o comprimento de 𝑅𝑆 é a metade da base 𝐵𝐶 
𝑘 =
𝑆𝑅
𝐵𝐶
=
1
2
 
⟹ 𝑅𝑆 =
1
2
· 𝐵𝐶 =
5√2
2
 
𝑅𝑆 =
5√2
2
 
Gabarito: “d”. 
9. (EEAR/2006) 
Num triângulo ABC, a razão entre as medidas dos lados 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ e 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ é 2. Se �̂� = 𝟏𝟐𝟎° e 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ = 𝟏 𝒄𝒎, então 
o lado 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ mede, em cm, 
a) √𝟕 
b) √𝟕 + 𝟏 
c) √𝟏𝟑 
d) √𝟏𝟑 − 𝟏 
 
Comentários 
 De acordo com o enunciado, temos a seguinte figura: 
 
 Do enunciado sabemos que: 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
= 2 ⇒ 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
1
= 2 ⇒ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 2 
 Aplicando a Lei dos Cossenos 
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 2 = (1)2 + (2)2 − 2 ⋅ (1) ⋅ (2) ⋅ cos(120°) 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
141 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
⇒ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 1 + 4 − 2 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ (−
1
2
) 
⇒ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 5 + 2 = 7 
⇒ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = √7 
Gabarito: “a” 
10. (EEAR/2005) 
 
Na figura, 𝑨𝑺 e 𝑨𝑷 são, respectivamente, bissetrizes internas e externa do triângulo 𝜟𝑨𝑩𝑪. Se 𝑩𝑺 =
 𝟖𝒎 e 𝑺𝑪 = 𝟔𝒎, então 𝑺𝑷 mede, em m: 
a) 48 
b) 𝟒𝟐 
c) 𝟑𝟖 
d) 𝟑𝟐 
 
Comentários 
 De acordo com o enunciado, temos a seguinte figura: 
 
 No triângulo 𝛥𝐴𝐵𝐶 temos pelo teorema da bissetriz interna: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
142 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
 
𝐴𝐵
𝐵𝑆
=
𝐴𝐶
𝑆𝐶
⟹
𝐴𝐵
8
=
𝐴𝐶
6
 
⟹
𝐴𝐵
𝐴𝐶
=
8
6
 
 No triângulo 𝛥𝐴𝐵𝑃 temos pelo teorema da bissetriz externas: 
 
𝐴𝐵
𝐵𝑃
=
𝐴𝐶
𝐶𝑃
 
⟹
𝐴𝐵
𝐴𝐶
=
𝐵𝑃
𝐶𝑃
 
 Com as duas relações encontradas pelos teoremas da bissetriz interna e externa, temos: 
⟹
𝐴𝐵
𝐴𝐶
=
8
6
=
𝐵𝑃
𝐶𝑃
 
𝐶𝑃 =
6
8
· 𝐵𝐶 =
6
8
· (6 + 8 + 𝐶𝑃) 
𝐶𝑃 =
6
8
· (6 + 8 + 𝐶𝑃) 
 Resolvendo a equação: 
8𝐶𝑃 = 6 · 14 + 6𝐶𝑃 
2𝐶𝑃 = 6 · 14 
𝐶𝑃 = 42 
 Assim obtemos 𝑆𝑃 = 𝑆𝐶 + 𝐶𝑃 = 42 + 6 = 48. 
Gabarito: “a”. 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
143 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
11. (EEAR/2005) 
Na figura, 𝑫𝑬//𝑨𝑩. O valor de 𝒙 + 𝒚 é: 
 
a) 𝟏𝟐, 𝟓 
b) 𝟏𝟕, 𝟓 
c) 𝟐𝟎 
d) 𝟐𝟐 
 
Comentários 
 De acordo com o enunciado, temos a seguinte figura: 
 
 Temos que os triângulos 𝛥𝐴𝐵𝐶 e 𝛥𝐶𝐷𝐸 são semelhantes, portanto, temos a constante de 
proporcionalidade: 
𝑘 =
𝐸𝐶
𝐶𝐴
=
𝐷𝐶
𝐶𝐵
=
𝐷𝐸
𝐴𝐵
 
⟹ 𝑘 =
𝐷𝐸
𝐴𝐵
=
7
5
 
𝑘 =
7
5
 
 Aplicando a relação de proporção para os outros dois lados, temos: 
𝑘 =
𝐸𝐶
𝐶𝐴
 𝑘 =
𝐷𝐶
𝐶𝐵
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
144 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
7
5
=
10,5
𝑦
 
7
5
=
17,5
𝑥
 
𝑦 = 7,5 𝑥 = 12,5 
 Portanto, 𝑥 + 𝑦 = 7,5 + 12,5 = 20. 
Gabarito: “c”. 
12. (EEAR/2005) 
Seja o triângulo ABC retângulo em B 
 
Se 𝑨𝑫̅̅ ̅̅ é bissetriz de �̂�, 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 𝟔 𝒄𝒎, e 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ = 𝟏𝟎 𝒄𝒎, então a medida de 𝑫𝑪̅̅ ̅̅ , em cm, é 
a) 6 
b) 5 
c) 4 
d) 3 
 
Comentários 
 Por Pitágoras, descobrimos que o lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 8 𝑐𝑚. Aplicaremos agora o Teorema da Bissetriz 
Interna. 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
145 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
 O teorema da bissetriz interna diz que uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado 
oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes. Ou seja: 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐵𝐷̅̅ ̅̅
=
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐷𝐶̅̅ ̅̅
 
⇒ 
6
8 − 𝑥
=
10
𝑥
 
⇒ 6𝑥 = 10(8 − 𝑥) 
⇒ 6𝑥 = 80 − 10𝑥 
⇒ 16𝑥 = 80 
⇒ 𝑥 =
80
16
= 5 
∴ 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ = 5 𝑐𝑚 
Gabarito: “b” 
13. (EEAR/2004) 
Na figura, o lado 𝑩𝑪 do triângulo 𝑨𝑩𝑪 mede 𝟏𝟐𝒄𝒎, e a altura relativa ao lado 𝑩𝑪 mede 𝟖𝒄𝒎. Se 
𝑭𝑮 = 𝟑𝑬𝑭, então o perímetro do retângulo 𝑫𝑬𝑭𝑮, em cm, é: 
 
a) 𝟑𝟎 
b) 𝟐𝟖 
c) 
𝟖𝟓
𝟑
 
d) 
𝟔𝟒
𝟑
 
 
Comentários 
 Perceba que o triângulo 𝛥𝐴𝐵𝐶 é semelhante ao triângulo 𝛥𝐴𝐷𝐸, destacado na figura seguinte: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
146 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
 
 Pela relaçãode semelhança entre a base e a altura temos: 
𝐷𝐸
8 − 𝐸𝐹
=
12
8
 
 Porem temos 𝐹𝐺 = 𝐷𝐸 = 3𝐸𝐹 
 Logo: 
3𝐸𝐹
8 − 𝐸𝐹
=
3
2
 
6𝐸𝐹 = 24 − 3𝐸𝐹 
9𝐸𝐹 = 24 
𝐸𝐹 =
8
3
 
 Como perímetro do retângulo 𝐷𝐸𝐹𝐺 
𝑃𝐷𝐸𝐹𝐺 = 2𝐸𝐹 + 2𝐷𝐸 = 2𝐸𝐹 + 6𝐸𝐹 = 8𝐸𝐹 
𝑃𝐷𝐸𝐹𝐺 = 8𝐸𝐹 =
64
3
 
Gabarito: “d” 
14. (EEAR/2004) 
Se os dados no triângulo ABC, retângulo em C, estão em cm, então o triângulo BCD é 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
147 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
a) 𝐨𝐛𝐭𝐮𝐬â𝐧𝐠𝐮𝐥𝐨. 
b) 𝐫𝐞𝐭â𝐧𝐠𝐮𝐥𝐨. 
c) 𝐢𝐬ó𝐬𝐜𝐞𝐥𝐞𝐬. 
d) 𝐞𝐪𝐮𝐢𝐥á𝐭𝐞𝐫𝐨. 
 
Comentários 
 Devemos ficar sempre atentos para as proporções dos valores das medidas, pois muitas 
conclusões podem ser tiradas apenas observando os valores dados. 
𝒔𝒆𝒏(𝑩�̂�𝑪) =
𝑩𝑪̅̅ ̅̅
𝑨𝑩̅̅ ̅̅
=
𝟏𝟐
𝟐𝟒
=
𝟏
𝟐
= 𝐬𝐞𝐧(𝟑𝟎°) 
∴ 𝑩�̂�𝑪 = 𝟑𝟎° ⇒ 𝑨�̂�𝑪 = 𝟔𝟎° 
 Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo BCD, obtemos: 
𝑪𝑫̅̅ ̅̅ 𝟐 = (𝟏𝟐)𝟐 + (𝟔)𝟐 − 𝟐 ⋅ (𝟏𝟐) ⋅ (𝟔) ⋅ 𝐜𝐨𝐬(𝟔𝟎°) 
⇒ 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ 𝟐 = 𝟏𝟒𝟒 + 𝟑𝟔 − 𝟐 ⋅ 𝟕𝟐 ⋅ (
𝟏
𝟐
) 
⇒ 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ 𝟐 = 𝟏𝟖𝟎 − 𝟕𝟐 = 𝟏𝟎𝟖 
⇒ 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ = 𝟔√𝟑 
 d) FALSO. Pela definição de triângulo equilátero. 
 c) FALSO. Pela definição de triângulo isósceles. 
 b) VERDADEIRO. 
(𝟏𝟐)𝟐 = (𝟔√𝟑)
𝟐
+ (𝟔)𝟐 
𝟏𝟒𝟒 = 𝟏𝟎𝟖 + 𝟑𝟔 
 Verdadeiro. 
 FALSO. Pois não se pode ser retângulo – ângulo de 𝟗𝟎° – e obtusângulo – ângulo maior que 
𝟗𝟎° - ao mesmo tempo, pois a soma dos ângulos internos seria maior do que 𝟏𝟖𝟎°. Logo, se b) é 
verdadeiro, a) é automaticamente falso. 
Gabarito: “b” 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
148 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
 
15. (EEAR/2004) 
Na figura, os ângulos assinalados são retos. Assim, necessariamente, teremos 
 
a) 
𝒙
𝒚
=
𝒑
𝒎
 
b) 
𝒙
𝒚
=
𝒎
𝒑
 
c) 
𝟏
𝒙
+
𝟏
𝒚
=
𝟏
𝒎
+
𝟏
𝒑
 
d) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒑𝟐 +𝒎𝟐 
 
Comentários 
 
 Analisando os ângulos, obtemos que: 
𝑨�̂�𝑪 + 𝑪�̂�𝑫 + 𝑫�̂�𝑬 = 𝟏𝟖𝟎° 
𝑨�̂�𝑪 + 𝟗𝟎° + 𝑫�̂�𝑬 = 𝟏𝟖𝟎° 
𝑨�̂�𝑪 + 𝑫�̂�𝑬 = 𝟗𝟎° 
 Mas, como 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
149 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
𝑨�̂�𝑪 + 𝑨�̂�𝑩 = 𝟗𝟎° 
 Então: 
𝑨�̂�𝑩 = 𝑫�̂�𝑬 
 Analogamente, 
𝑨�̂�𝑪 = 𝑩�̂�𝑬 
 Redesenhando a figura: 
 
 Perceba que os triângulos ABC e EDB são semelhantes, logo, 
𝒙
𝒚
=
𝒎
𝒑
 
Gabarito: “b” 
 
16. (EEAR/2003) 
Na figura, as medidas dos lados 𝑨𝑩,𝑨𝑪 𝒆 𝑩𝑪 são, respectivamente, 𝟒𝟎𝒄𝒎, 𝟐𝟎𝒄𝒎 𝒆 𝟑𝟎𝒄𝒎. 
 
A bissetriz interna desse triângulo, relativa ao vértice A, encontra o lado oposto no ponto 𝑷, e a bissetriz 
externa, relativa ao mesmo vértice, encontra o prolongamento do lado 𝑩𝑪 no ponto 𝑺. A medida do 
segmento 𝑷𝑺, em cm, é igual a: 
a) 𝟑𝟎 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
150 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
b) 𝟑𝟓 
c) 𝟒𝟎 
d) 𝟒𝟓 
 
Comentários 
 De acordo com o enunciado, temos a seguinte figura: 
 
 No triângulo 𝛥𝐴𝐵𝐶 temos pelo teorema da bissetriz interna: 
𝐴𝐵
𝐵𝑃
=
𝐴𝐶
𝑃𝐶
⟹
40
𝐵𝑃
=
20
𝑃𝐶
 
⟹
𝐵𝑃
𝑃𝐶
=
40
20
=
2
1
 
 Como 𝐵𝐶 = 𝐵𝑃 + 𝑃𝐶: 
𝐵𝐶 = 𝐵𝑃 + 𝑃𝐶 
30 = 𝐵𝑃 + 𝑃𝐶 
30 = 2𝑃𝐶 + 𝑃𝐶 
10 = 𝑃𝐶 
 No triângulo 𝛥𝐴𝐵𝑃 temos pelo teorema da bissetriz externas: 
𝐴𝐵
𝐵𝑆
=
𝐴𝐶
𝐶𝑆
 
⟹
𝐵𝑆
𝐶𝑆
=
40
20
=
2
1
 
 Como 𝐵𝑆 = 𝐵𝐶 + 𝐶𝑆 
2𝐶𝑆 = 𝐵𝑆 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
151 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
2𝐶𝑆 = 𝐵𝐶 + 𝐶𝑆 
𝐶𝑆 = 𝐵𝐶 
𝐶𝑆 = 30 
 Assim obtemos 
𝑆𝑃 = 𝑆𝐶 + 𝐶𝑃 = 30 + 10 = 40 
Gabarito: “c”. 
17. (EEAR/2003) 
Na figura os triângulos ABC e EDC são semelhantes. 
 
Sabendo que 𝑨𝑪 = 𝒙 − 𝟓 e 𝑫𝑬 = 𝟐𝒙 + 𝟒, a soma 𝒎𝒆𝒅(𝑨𝑪) +𝒎𝒆𝒅(𝑪𝑬), em cm, vale 
a) 𝟏𝟎, 𝟑 
b) 𝟏𝟖 
c) 𝟏𝟑 
d) 𝟐𝟑, 𝟑 
 
Comentários 
 De acordo com o enunciado, temos a seguinte figura: 
 
𝑥 − 5 
2𝑥 + 4 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
152 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
 Temos que os triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐶𝐷𝐸 são semelhantes, e, portanto, vale a seguinte relação: 
𝐴𝐶
𝐶𝐸
=
𝐴𝐵
𝐷𝐸
 
 Dessa relação obtemos a equação: 
𝑥 − 5
10
=
6
2𝑥 + 4
 
(𝑥 − 5) · (𝑥 + 2) = 30 
𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 30 
𝑥2 − 3𝑥 − 40 = 0 
(𝑥 − 8) · (𝑥 + 5) = 0 
 Na qual obtemos que 𝑥 = 8, portanto, 
{
𝐴𝐶 = 8 − 5 = 3
𝐴𝐶 + 𝐶𝐸 = 3 + 10
 
𝐴𝐶 + 𝐶𝐸 = 13 
Gabarito: “c”. 
 
18. (EEAR/2003) 
Se forem indicados por m, n, e p os três lados de um triângulo e por �̂�, �̂� 𝒆 �̂�, respectivamente, os 
ângulos opostos a esses lados, então sendo conhecidos os lados m e n e o ângulo �̂�, qual das fórmulas 
abaixo poderá ser utilizada para calcular o valor do lado p? 
a) 𝒎𝟐 = 𝒏𝟐 + 𝒑𝟐 − 𝟐 ⋅ 𝒏 ⋅ 𝒑 ⋅ 𝐜𝐨𝐬(�̂�) 
b) 𝒏𝟐 = 𝒎𝟐 + 𝒑𝟐 + 𝟐 ⋅ 𝒎 ⋅ 𝒑 ⋅ 𝐜𝐨𝐬(�̂� + �̂�) 
c) 𝒑𝟐 = 𝒎𝟐 + 𝒏𝟐 − 𝟐 ⋅ 𝒎 ⋅ 𝒏 ⋅ 𝐜𝐨𝐬(�̂�) 
d) 𝒑𝟐 = 𝒎𝟐 + 𝒏𝟐 − 𝟐 ⋅ 𝒎 ⋅ 𝒏 ⋅ 𝐜𝐨𝐬(�̂� + �̂�) 
 
Comentários 
 De acordo com o enunciado, temos a seguinte figura: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
153 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
 
 Aplicando a Lei Dos Cossenos relativo ao lado 𝑴𝑷̅̅ ̅̅ ̅, temos: 
𝒏𝟐 = 𝒎𝟐 + 𝒑𝟐 − 𝟐 ⋅ 𝒎 ⋅ 𝒑 ⋅ 𝐜𝐨𝐬 (𝑵)̂ 
 Mas, pelas relações no ciclo trigonométrico e a propriedade da soma dos ângulos internos de 
um triângulo, temos que: 𝐜𝐨𝐬(�̂�) = − 𝐜𝐨𝐬(𝟏𝟖𝟎° − �̂�) = −𝐜𝐨𝐬 (�̂� + �̂�) 
 
Logo, 
𝒏𝟐 = 𝒎𝟐 + 𝒑𝟐 − 𝟐 ⋅ 𝒎 ⋅ 𝒑 ⋅ (−𝐜𝐨𝐬 (�̂� + �̂�)) 
𝒏𝟐 = 𝒎𝟐 + 𝒑𝟐 + 𝟐 ⋅ 𝒎 ⋅ 𝒑 ⋅ 𝐜𝐨𝐬 (�̂� + �̂�) 
 Obs: O que torna as outras alternativas falsas, é que, mesmo em posse do valor de �̂�, não 
poderíamos chegar diretamente no valor de 𝐜𝐨𝐬(�̂�), 𝐜𝐨𝐬(�̂�) e nem 𝐜𝐨𝐬(�̂� + �̂�), sem antes 
obter o valor de p. Então usá-las de primeira mão seria inadequado. 
Gabarito: “b” 
19. (EEAR/2003) 
Seja o triângulo ABC e D um ponto do lado 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ . Se 𝑨𝑫̅̅ ̅̅ = 𝟐 𝒄𝒎, 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = √𝟑 𝒄𝒎, 𝑩𝑫̅̅̅̅̅ = 𝑫𝑪̅̅ ̅̅ e 𝑩�̂�𝑪 =
𝟑𝟎°, a medida, em cm, do lado 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ é igual a 
a) √𝟑 
b) √𝟓 
c) √𝟔 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
154 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
d) √𝟕 
 
Comentários 
 De acordo com o enunciado, temos a seguinte figura: 
 
 Aplicando a definição de seno no triângulo ABD é possível obter o valor de 𝑩𝑫̅̅̅̅̅ e descobrir que 
𝑩𝑫̅̅̅̅̅ = 𝟏 𝐜𝐦. Perceba também que 𝑨�̂�𝑩 = 𝟔𝟎° ⇒ 𝑩�̂�𝑪 = 𝟏𝟐𝟎° . E, segundo o enunciado, 
𝑩𝑫̅̅̅̅̅ = 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ = 𝟏 𝒄𝒎. Logo, ficamos com o triângulo BCD representado logo abaixo: 
 
 Aplicando a Lei dos Cossenos, obtemos: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
155 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
𝒙𝟐 = (𝟏)𝟐 + (𝟏)𝟐 − 𝟐 ⋅ (𝟏) ⋅ (𝟏) ⋅ 𝐜𝐨𝐬(𝟏𝟐𝟎°) 
⇒ 𝒙 = √𝟑 
∴ 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ = √𝟑 
Gabarito: “a” 
20. (EEAR/2003) 
As medidas dos lados de um triângulo são iguais a 4 cm, 5 cm e 6 cm. O cosseno do menor ângulo desse 
triângulo é igual a 
a) 
𝟏
𝟖
 
b) 
𝟗
𝟏𝟔
 
c) 
𝟑
𝟒
 
d) 
𝟐
𝟓
 
 
 
Comentários 
 De acordo com o enunciado, temos a seguinte figura: 
 
 O menor ângulo é oposto ao menor lado. 
 Aplicando a Lei dos cossenos, obtemos 
(𝟒)𝟐 = (𝟔)𝟐 + (𝟓)𝟐 − 𝟐 ⋅ (𝟔) ⋅ (𝟓) ⋅ 𝐜𝐨𝐬 (𝜶) 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
156 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
𝟏𝟔 = 𝟑𝟔 + 𝟐𝟓 − 𝟔𝟎 ⋅ 𝐜𝐨𝐬 (𝜶) 
𝟔𝟎 ⋅ 𝐜𝐨𝐬(𝜶) = 𝟓𝟓 
𝐜𝐨𝐬(𝜶) =
𝟒𝟓
𝟔𝟎
=
𝟑
𝟒
 
Gabarito: “c” 
24. (EEAR/2002) 
Dada a figura abaixo, se 𝑨𝑩 ̅̅ ̅̅ ̅ = 𝟖 𝐜𝐦, 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ = 𝟒 𝐜𝐦 e 𝑨𝑫̅̅ ̅̅ = 𝟐𝟎 𝐜𝐦, a medida, em cm, de 𝒙 é 
 
a) 
√𝟔
𝟔
 
b) 
√𝟔
𝟐
 
c) 
𝟐√𝟔
𝟑
 
d) 
𝟑√𝟔
𝟐
 
 
Comentários 
 Por Pitágoras, descobrimosque 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ = √𝟐𝟎𝟐 − 𝟒𝟐 = 𝟖√𝟔. 
 Devido à semelhança de triângulos entre ACD e ABE: 
𝑨𝑩̅̅ ̅̅
𝑩𝑬̅̅ ̅̅
=
𝑨𝑪̅̅ ̅̅
𝑪𝑫̅̅ ̅̅
 
𝟖
𝒙
=
𝟖√𝟔
𝟒
 
𝒙 =
𝟐√𝟔
𝟑
 
Gabarito: “c” 
25. (ESA/2021) 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
157 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
A água utilizada em uma residência é captada e bombeada do rio para uma caixa d`água localizada a 
60 m de distância da bomba. Os ângulos formados pelas direções bomba – caixa d`água – residência é 
de 𝟔𝟎° e residência – bomba – caixa d`água é de 𝟕𝟓°, conforme a figura abaixo. Para bombear água do 
mesmo ponto de captação, diretamente para a residência, quantos metros de tubulação são 
necessários? Use √𝟔 = 𝟐, 𝟒 
 
a) 12,5 metros 
b) 72 metros 
c) 35,29 metros 
d) 21,25 metros 
e) 28 metros 
 
Comentários 
 Para resolver essa questão, precisamos aplicar a lei dos senos. Mas antes, perceba que o ângulo 
formado pelas direções caixa d`água – residência – bomba é 45°, devido à soma dos ângulos 
internos do triângulo. Assim, temos: 
 
 Aplicando a lei dos senos: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
158 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
𝑥
𝑠𝑒𝑛(60°)
=
60
𝑠𝑒𝑛(45°)
 
𝑥 = 60 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(60°) ⋅
1
𝑠𝑒𝑛(45°)
= 60 ⋅
√3
2
⋅
1
√2
2
=
60√3
√2
 
⇒ 𝑥 = 30√6 = 30 ⋅ 2,4 = 72 𝑚 
Gabarito: B 
26. (ESA/2019) 
Uma pequena praça tem o formato triangular, as medidas dos lados desse triângulo são √𝟑𝟕m, 𝟒m e 
𝟑m. Qual a medida do ângulo oposto ao maior lado? 
a) 120° 
b) 60° 
c) 90° 
d) 45° 
e) 150° 
 
Comentários 
 Basta aplicar Lei dos cossenos usando o ângulo 𝜃 oposto ao lado maior √37: 
(√37)
2
= 42 + 32 − 2 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ cos 𝜃 
37 = 16 + 9 − 24 cos 𝜃 ⇒ 12 = −24 cos 𝜃 
⇒ −
1
2
= cos 𝜃 
 Como 𝜃 está entre 0 e 180° pois é um ângulo de triângulo, então: 
𝜃 = 120° 
Gabarito: “a”. 
 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
 
 
 
 
 
 
 
 
159 
Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
11 - Referências Bibliográficas 
[1] Dolce, Osvaldo. Pompeo, José Nicolau. Fundamentos de matemática elementar, 9: geometria 
plana. 9. ed. Atual, 2013. 456p. 
[2] Morgado, Augusto César. Wagner, Eduardo. Jorge, Miguel. Geometria I. 5 ed. Livraria Francisco 
Alves Editora, 1990. 151p. 
[3] Morgado, Augusto César. Wagner, Eduardo. Jorge, Miguel. Geometria II. 1 ed. FC & Z Livros, 
2002. 296p. 
[4] Areas - Geometria Plana 
12 - Considerações Finais 
 
É isso, meu querido! Finalizamos a nossa aula. Espero que tenham gostado! 
Restando qualquer dúvida, estou à disposição no fórum de dúvidas. Pode usar sem moderação!! 
Mantenham a pegada, a sua aprovação está mais perto que imagina! 
Qualquer crítica, sugestão ou elogio, só mandar mensagem no fórum! 
 
Siga minhas redes sociais! 
 
 Ismael Santos @IsmaelSantos @professor_ismaelsantos 
 
Vamos que vamos! Fé na missão! 
 
 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub