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RESISTÊNCIA DOS MATERIAISRESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
PROJETO DE VIGAS E EIXOS,PROJETO DE VIGAS E EIXOS,
DEFLEXÃO E FLAMBAGEM EMDEFLEXÃO E FLAMBAGEM EM
COLUNASCOLUNAS
Autor: Me. Cristian Padilha Fontoura
Revisor : Luc iano Gald ino
IN IC IAR
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introdução
Introdução
Prezado(a) aluno(a), esta unidade é uma conclusão dos principais tópicos de Resistência dos
Materiais e nela veremos tópicos que culminam em diversos assuntos que você já tem
conhecimento. Aqui, a aplicação no projeto de eixos e vigas retoma diversos conceitos básicos para
que o estudante possa, futuramente, planejar, analisar e projetar elementos estruturais solicitados
por cargas diversas. Também veremos nesta unidade os conceitos de de�exão e �ambagem, que
são de suma importância na mecânica dos sólidos. Com o conteúdo aqui abordado, você vai adquirir
conhecimento o su�ciente para tornar-se autônomo na resolução de problemas, além de revisar
tópicos de forma mais aplicada, e assim �xá-los.
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O projeto de vigas e eixos tem como objetivo fazer vigas que resistam tanto ao cisalhamento quanto
à �exão. Neste capítulo, vamos desenvolver métodos usados no projeto de vigas prismáticas e
determinar a forma de vigas sujeitas à tensão, bem como o projeto de eixos sujeitos aos momentos
�etores e torçores.
Projeto de Vigas e EixosProjeto de Vigas e Eixos
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Vigas Prismáticas
Primeiro, vamos contextualizar e fazer algumas considerações sobre   vigas. O conceito de viga é
bastante simples e compreende elementos estruturais que precisam suportar cargas
perpendiculares ao seu eixo longitudinal (comprimento). Quando carregadas, existem a força
interna de cisalhamento e o momento �etor que variam ao longo do eixo da viga, sendo que a
tensão axial é negligenciada em projeto de vigas, uma vez que ela é muito mais baixa que o
cisalhamento e o momento �etor. Para o projeto de vigas, utilizamos os conceitos de cisalhamento e
�exão já conhecidos, apenas se a viga for homogênea e estiver no regime elástico linear.
A tensão de �exão e a tensão de cisalhamento não podem exceder a tensão admissível que são
especi�cadas para a viga. Assim, vamos determinar o módulo de resistência à �exão da viga ,
dado por S :
Sreq =
Mmáx
σadm
=
I
c (eq. 4.1)
Onde Mm á x é o momento �etor máximo, σadm é a tensão admissível da viga, I é o momento de inércia
da viga e c é a distância do eixo neutro até o ponto mais distante da seção transversal.
Conhecendo Sreq, podemos determinar as dimensões da seção transversal da viga.
Opta-se por vigas de seção simétrica, caso a tensão de �exão admissível seja igual para tração e
compressão. Caso contrário, opta-se por uma seção transversal assimétrica, que irá resistir aos
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diferentes momentos.
Desde que a viga satisfaça a equação de Sreq, considera-se adequada para a aplicação. Busca-se
sempre obter vigas com a menor área transversal possível, desde que não haja restrições de
deformações.
Devemos, então, con�rmar a escolha da viga pela análise do cisalhamento:
τadm ≥
VQ
It (eq. 4.2)
Normalmente, esse passo não apresenta grandes problemas. Exceções incluem vigas feitas de
madeira, uma vez que esta tende a dividir seus grãos devido ao cisalhamento. Caso a viga seja curta
e suporte altas cargas concentradas, a tensão de cisalhamento pode ser crucial na escolha da viga.
Escolhendo a seção da viga : as vigas produzidas geralmente saem de um processo metalúrgico de
laminação à quente. Vigas produzidas por esse processo são padronizadas e tabuladas pelo Instituto
Americano de Construção em Aço (AISC).
As vigas são tabeladas e divididas de acordo com a sua seção transversal. Encontra-se comumente
vigas de abas largas, as quais são descritas pela sua altura e peso por unidade de comprimento. Por
exemplo, W 460 x 68 vai ter uma altura próxima a 460 mm e peso de 68 kgf/m. Veja na Figura 4.1
como essa viga de abas largas é representada.
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Além da altura e do peso por unidade de comprimento, a área da seção, o momento de inércia e
outras propriedades podem ser encontradas em tabelas de vigas.
Há ainda as vigas de aço de seções compostas produzidas por métodos de união, que juntam duas
ou mais partes para formar uma viga única. Normalmente, são unidas por meio de parafusos ou
soldas.
As vigas de madeira são normalmente retangulares, devido ao processo de fabricação, que é
facilitado. Geralmente encontram-se as vigas do tipo caixão e as vigas compostas de lâminas coladas
(madeira laminada).
Figura 4.1 - Exemplo de uma viga de abas largas
Fonte: Hibbeler (2010, p. 402).
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Procedimento de Análise
Na análise de vigas, duas ferramentas que serão muito utilizadas são os diagramas de momento e
de cisalhamento, a �m de encontrar os valores máximos de cisalhamento e momento. Para vigas
compostas, esses diagramas servem para identi�car pontos acumuladores de tensão que exigem
reforços.
Caso a viga seja longa, encontramos o módulo de resistência à �exão utilizando a fórmula da �exão
pela equação 4.1 e, com a mesma, computamos a seção transversal, uma vez que a equação nos diz
que Sreq = I /c. Se vigas de per�s laminados forem usadas, vários valores de S podem ser
selecionados, a partir de tabelas. Escolhe-se a viga com a menor área da seção transversal, uma vez
que isso implica no menor peso e em uma maior economia.
Se estamos falando de uma viga curta, com altas cargas e, principalmente, vigas feitas de madeira ,
analisa-se primeiro a resistência ao cisalhamento, para depois checar os requerimentos quanto à
tensão de �exão admissível. Para isso, utiliza-se a equação 4.2, a �m de veri�car se a tensão
admissível não foi excedida.
Caso a viga tenha uma seção retangular maciça , a fórmula é alterada, como vemos na equação
4.3:
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τadm ≥ 1, 5(VmáxA) (eq. 4.3)
Já no caso de uma viga com seção de abas largas , podemos assumir que o cisalhamento é
constante na área da seção transversal da alma da viga, que é determinada pelo produto da altura
da viga pela espessura da alma. Temos, portanto, um cisalhamento admissível dado pela equação
4.4:
τadm ≥
Vmáx
Aalma
 (eq. 4.4)
A adequação de elementos de �xação (como parafusos e pregos) depende da tensão de
cisalhamento que os elementos podem resistir. O espaçamento entre esses elementos é
determinado pelo �uxo de cisalhamento permitido, que é dado na equação 4.5, que deve ser
calculada em pontos da seção onde há elementos de �xação:qadm =
VQ
I (eq. 4.5)
Exemplo 1:
Considere a viga feita de madeira laminada, conforme a Figura 4.2. Ela está sujeita a uma carga de
12 kN/m. É necessário que ela possua uma razão altura/largura de 1,5. Determine, com base nisso, a
menor largura.
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Considerando que para a viga, a tensão de �exão admissível é σadm = 9 MPa e a tensão de
cisalhamento admissível é τadm = 0, 6 MPa, sendo seu peso desprezível.
Figura 4.2 - Viga de madeira sob carregamento
Fonte: Hibbeler (2010, p. 406).
1º passo : construir diagramas de força cortante e momento �etor, conforme vemos na Figura 4.3.
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Figura 4.3 - Diagramas de corpo livre, força cortante e momento �etor, de cima para baixo
Fonte: Hibbeler (2010, p. 406).
2º passo : Calcular o módulo de resistência à �exão e a largura:
Sreq =
Mmáx
σadm
=
10, 67 × 106
9
= 1, 19 × 106mm3
Sreq =
I
c = 1, 19 × 10
6 =
1
12(a)(1, 5a)
3
(0, 75a)
a3 = 3, 16 × 106mm3
a = 147 mm
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3º passo : Devemos lembrar que vigas de madeira precisam ser avaliadas em relação ao seu
cisalhamento, portanto, calculamos o cisalhamento para seções retangulares, neste caso:
τadm ≥ 1, 5(VmáxA) = (1, 5) 20.000(147)(1, 5)(147) = 0, 93 > 0, 6 MPa
Podemos ver que com a largura projetada para �exão, ocorre falha por cisalhamento. Neste caso,
devemos reprojetar a viga, de acordo com o critério de tensão de cisalhamento admissível.
τadm = 1, 5(VmáxA)
0, 6 = 1, 5
20.000
a(1, 5a)
a = 183 mm
Deste modo, a largura mínima para essa viga retangular de madeira laminada é de 183 mm.
O exemplo acima evidencia bem como vigas de madeira e, nesse caso, sujeita a uma carga
distribuída ao longo de seu comprimento, pode falhar por cisalhamento e necessitar de reprojeto,
para atender às propriedades do material.
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Vigas Totalmente Solicitadas
Durante um projeto de viga, o engenheiro poderá optar por uma viga que economize peso. Para tal,
utiliza-se vigas que possuem uma seção transversal variável, fazendo com que, em cada seção
diferente, tensões de �exão atinjam seu valor máximo permitido. Essas vigas são chamadas de não
prismáticas. A Figura 4.4 mostra dois exemplos de vigas não prismáticas.
De forma geral, o tamanho da seção transversal de tais vigas se dá pela fórmula. Vigas com esse
design são chamadas de vigas totalmente solicitadas.
Figura 4.4 - Vigas não prismáticas
Fonte: Hibbeler (2010, p. 411).
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Projeto de Eixos
Eixos de seção transversal circular são amplamente utilizados em máquinas e demais equipamentos
mecânicos. Esses elementos estão sujeitos a tensões cíclicas, que provêm de combinações de �exão
e torção que eles devem transmitir, além de conterem concentradores de tensão como
acoplamentos, polias, engrenagens, mudanças bruscas na área da seção etc.
Carregamentos em eixos podem ser resolvidos transformando-os em componentes estaticamente
equivalentes e decompondo-os em dois planos perpendiculares. Isso implica no fato de que
diagramas de momento podem ser desenhados para as cargas de cada plano e o resultante interno
de momento em cada seção do eixo é determinado pela adição de vetores, como:
M =√Mx2 + Mz2 (eq. 4.6)
Além do momento, os eixos estão sujeitos a torques internos diferentes. Faz-se necessária também
a construção do diagrama de torque. Com os diagramas, é possível analisar as condições críticas nas
seções do eixo, onde a combinação de um momento M e um torque T cria a pior situação de tensão.
Com isso, aplica-se a fórmula de �exão usando a resultante do momento no eixo principal de
inércia.
Geralmente o elemento crítico está sujeito ao estado plano de tensões, assim sendo:
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σ =
Mc
I (eq. 4.7) e τ =
Tc
J (eq. 4.8)
Fazendo uso das equações de transformação de tensão, temos que:
τadm =√(σ2)2 + τ2 =√(Mc2I)2 +(TcJ)2 (eq. 4.9)
E uma vez que I = πc4 /2 e J = πc4 /2, �camos com:
τadm =
2
πc3√M2 + T2 (eq. 4.10)
Resolvendo para o raio do eixo, temos:
c =( 2πτadm√M2 + T2)1 / 3 (eq 4.11)
Assim sendo, conhecendo a pior condição de tensão, a partir dos diagramas de momento �etor e
torque, podemos obter o raio mínimo do eixo, para que ele possa suportar as cargas que são
impostas.
Exemplo 2
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Considere o eixo suportado por mancais radiais em A e B. Devido à transmissão de potência do e
para o eixo, as correias e polias estão sujeitas a tensões, conforme a Figura 4.5(a). Determine o
menor diâmetro para o eixo, utilizando a teoria de máxima tensão de cisalhamento, com
τadm = 50 MPa
Por inspeção, os pontos críticos no diagrama de momento �etor ocorrem em B ou C. Também, à
direita de C e no ponto B, o momento de torção é 7,5 N.m O momento resultante deve ser calculado
para os dois pontos, portanto:
Figura 4.5 - Eixo sob carregamentos nos pontos B e C (a), diagrama de corpo livre do eixo com as
reações de suporte (b), diagrama de momento Mx (c), diagrama de momento Mz (d) e diagrama de
torque (e)
Fonte: Hibbeler (2010, p. 415).
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MC = √(118, 75 N. m)2 + (37, 5 N. m)2 = 124, 5 N. m
MB = √(75 N. m)2 = 75 N. m
Assim, o ponto C contém os valores críticos para o projeto do eixo. Dessa forma, aplicamos a
equação do raio do eixo para o caso.
c =( 2πτadm√M2 + T2)1 / 3 =( 2π(50)(106 ) √(124, 5)2 + (7, 5)2)
1 / 3
c = 0, 0117 m
Como o exercício pede que se encontre o menor diâmetro, multiplicamos por 2 o raio do eixo.
Assim, d = 2c =23,3 mm .
praticar
V P ti
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p
Vamos Praticar
Dentro do contexto de vigas, devemos ter cuidado ao fazer as considerações sobre as solicitações e
parâmetros de análise. Essas tarefas são imprescindíveis para um projetista e para tal, vamos exercitar
alguns conceitos vistos neste capítulo da unidade, a �m de retomar alguns dos principais conceitos.
Vejamos as seguintes a�rmações sobre o projeto de vigas. Leia-as atentamente e a seguir responda,
baseado no conhecimento adquirido neste capítulo, quais a�rmações são verdadeiras.
I - A  falha da viga ocorre quando o cisalhamento interno ou o momento �etor na viga é máximo.
II - Para que a viga resista, a tensão máxima de cisalhamento e a tensão de �exão devem exceder valores de
tensão admissível.
III - Deve-se primeiro veri�car a tensão de cisalhamento da viga, para auxiliar na escolha da seção
transversal.
IV - Um eixo mecânico deveresistir à torção e à �exão.
V - Para resolver o momento �etor de um eixo precisamos de dois diagramas, um para cada plano onde a
carga é decomposta.
a) I, II, III e IV.
b) I, III e IV.
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c) II, III e IV.
d) I, IV e V.
e) Nenhuma das a�rmativas são verdadeiras.
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Em engenharia, de�exão é o grau de deslocamento de um elemento estrutural sob um
carregamento, seja em ângulo ou em distância. A de�exão deve ser limitada, para prover
estabilidade e evitar a propagação de trincas. Neste capítulo abordaremos métodos para computar
de�exão em pontos especí�cos ao longo da viga ou a forma de de�exão de uma viga toda.
Discutiremos o método de integração, que baseia-se na integração de equações diferenciais da linha
elástica, o método da superposição e o método das áreas.
De�exão de Vigas e EixosDe�exão de Vigas e Eixos
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A linha elástica representa a linha de de�exão de um eixo ou viga. A linha elástica obrigatoriamente
passa pelo centroide da seção transversal da viga. É relativamente fácil obter sua forma, porém
alguns conceitos de estática precisam estar em mente, como, por exemplo, um suporte que resiste à
força, tal como um pino, restringe deslocamento, e um suporte que resiste à momento, como um
engaste, restringe rotação ou inclinação.
Para determinar sua forma, usa-se o diagrama de momento. Momentos positivos tornam-na
côncava para cima e momentos negativos tornam-na côncava para baixo. O raio de curvatura (ρ),
que é o raio de curvatura em um ponto especí�co sobre a linha elástica, é dado por:
1
ρ =
M
EI (eq. 4.12)
Figura 4.6 -  Exemplo de linha elástica e a convenção de sinais adotadas
Fonte: Hibbeler (2010, p. 423)
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M é o momento interno no ponto onde quer se saber o raio, E o módulo elástico do material e I o
momento de inércia em torno do eixo neutro. O deslocamento é representado por v .
Inclinação e Deslocamento por Integração
As seguintes equações diferenciais são válidas no cálculo de deslocamento da linha elástica em uma
viga.
EI
d2v
dx2
= M(x)
(eq. 4.13)
d
dx(EId2vdx2) = V(x)
(eq. 4.14)
d2
dx2(EId2vdx2) = − w(x)
(eq. 4.15)
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Essas equações nos dizem que uma função do momento M(x) , vista em 4.13, pode ser integrada
para obter a equação da inclinação da linha elástica (4.14) e uma segunda integração nos retorna à
equação da de�exão (4.15).
Para resolver um problema de linha elástica pelo método de integração, seguimos o seguinte
roteiro:
cálculo das reações;
determinação das funções de momento �etor para cada parte;
cálculo da linha elástica, deslocamento e inclinação
cálculo das constantes de integração;
�nalização das equações;
cálculo de inclinação e deslocamento no ponto solicitado.
Exemplo 3
Determine a de�exão máxima no eixo circular maciço. O eixo é feito de um aço com E = 200 GPa e I =
4,91 x 106 mm4 (em metros, I = 4,91 x 10 − 6 m4).
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Figura 4.7 - Eixo carregado
Fonte: Hibbeler (2015, p. 597).
Inicialmente, encontramos as reações e traçamos um esboço da linha elástica, conforme vemos na
Figura 4.8.
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Figura 4.8 - Diagramas de corpo livre do eixo todo e de uma seção do eixo
Fonte: Hibbeler (2014, p. 1159).
Com base no diagrama de corpo livre do segmento, encontramos as funções de momento. Devido a
sua simetria, vamos analisar apenas as coordenadas x.
∑MO = 0
M(x) − 4x − 6 = 0
M(x) = (4x + 6) kN. m
Com a função do momento, podemos encontrar as equações de inclinação e a linha elástica,
integrando-a duas vezes:
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EI
d2v
dx2
= M(x) = 4x + 6
EI
dv
dx = 2x
2 + 6x + C1
EIv =
2
3
x3 + 3x2 + C1x + C2
Devido à simetria, 
dv
dx = 0 no ponto x=1,5 m. Assim, temos:
EI(0) = 2(1, 5)2 + 6(1, 5) + C1
C1 = − 13, 5 kN. m
2
Além disso, em x=0, v=0. Assim:
EI(0) =
2
3
(0)3 + 3(0)2 + C1(0) + C2
C2 = 0
Substituindo os valores das constantes de integração, teremos:
v =
1
EI(23x3 + 3x2 − 13, 5x)
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Como sabemos que a de�exão máxima ocorre em x = 1,5 m , onde a inclinação da linha elástica é
nula , vamos ter que:
vmáx =
1
(200 × 109)(4, 91 × 10 − 6)(
2
3
(1, 5)3 + 3(1, 5)2 − 13, 5(1, 5)) × 103
vmáx = − 0, 001146 m = 11, 5 mm ↓
O método da superposição pode ser usado para resolver deslocamentos ou rotações em vigas ou
carregamentos mais complicados; a viga estudada deve ser dividida em partes, as quais são casos
mais simples e são disponibilizados em tabelas.
A equação diferencial EId4v /dx4 = − w(x) satisfaz os dois requisitos necessários para a aplicação do
princípio da superposição: a carga w(x) está relacionada linearmente com a de�exão v(x) e w(x) não
altera de forma signi�cativa a geometria original da viga.
Veja o exemplo a seguir para melhor compreensão.
Exemplo 4
Determine o deslocamento em C e a inclinação do suporte A na viga vista na Figura 4.9. Considere EI
constante.
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Figura 4.9 - Viga com carregamentos divididos em partes mais simples
Fonte: Hibbeler (2010, p. 453).
Como a �gura anterior nos mostra, a viga é dividida em dois segmentos mais simples de se resolver.
Esses são tabelados, podendo ser encontrados em apêndices de livros de Resistência dos Materiais.
A �gura a seguir traz os segmentos necessários para a resolução no nosso problema.
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Figura 4.10 - Inclinações e deslocamentos de vigas simplesmente apoiadas
Fonte: Hibbeler (2010, p. 586).
Com base nesses dados tabelados, podemos então calcular a inclinação e o deslocamento para a
viga nos pontos A e C, respectivamente.
θA = (θA)1 +(θA)1 =
3wL3
128EI +
PL2
16EI =
3(2)(8)3
128EI +
8(8)2
16EI =
56 kN. m2
EI ↻
vc = (vc)1 +(vc)2 =
5wL4
768EI
+
PL3
48EI
=
53, 33
EI
+
85, 33
EI
=
139 kN. m3
EI
↓
Só podemos aplicar esse método em vigas com pequenos deslocamentos, dentro do regime elástico.
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Método das Áreas do Momento
O método da área do momento é uma abordagem alternativa para descobrir os deslocamentos de
uma viga ou eixo. É baseado em dois teoremas que estão relacionados à área do diagrama de
momento.
1º teorema : o ângulo, em radianos, entre as tangentes de quaisquer dois pontos na linha elástica é
igual à área abaixo da curva M/EI entre esses dois pontos.
2º teorema : A distância vertical entre a tangente de um ponto na linha elástica e a tangente
estendida de outro ponto é igual ao momento da área abaixo do diagrama M/EI entre esses dois
pontos. Esse momento é calculado sobre o ponto onde a distância vertical deve ser determinada.
O procedimento de análise deve ser feito, seguindo a ordem:
Determinar as reações e desenhar o diagrama M/EI da viga.
Desenhar uma versão exagerada da linha elástica, indicando deslocamentos e inclinações
desconhecidas.
Aplicar o 1º teorema para encontrar o ângulo entre as tangentes na linha e o 2º teorema
para determinar a distância vertical.
Um valor de θB /A positivo representa uma rotação anti-horária da tangente em B, em
relação à tangente em A, e um valor positivo de τB /A indica que B �ca acima da tangente
estendida de A na curva elástica.
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praticar
Vamos Praticar
A resolução de um problema nem sempre considera apenas números. Muitas vezes a solução analítica
considera apenas variáveis e é então utilizada diversas vezes, alterando-se as incógnitas. A �m de
exempli�car isso, considere a viga mostrada em (a). Com o diagrama M/EI em (b) e a linha elástica em (c).
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Figura 4.11 - Viga em parede �xa com uma carga P (a), o diagrama M/EI para a situação (b) e a linha
elástica (c)
Fonte: Hibbeler (2010, p. 444).
Determine sua inclinação pelo método da área.
a) θB = 
PL2
2EI
b) θB = 
PL
EI
c) θB = − 
M
2EI
d) θB = − 
PL2
2EI
e) θB = 0
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Vigas e Eixos Estaticamente Indeterminados
Vigas e eixos estaticamente indeterminados possuem mais reações desconhecidas do que equações
de equilíbrio. Para resolvê-los, devem-se identi�car as reações redundantes. Os métodos de
integração ou método dos teoremas de área do momento podem ser utilizados para resolver as
incógnitas redundantes. Também se utiliza o método da superposição para determinar quais
reações são redundantes.
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Neste capítulo estudaremos a �ambagem, que é um evento ativado por cargas axiais compressivas
em colunas , que são elementos estruturais longos e esbeltos. Quando as colunas estão sendo
comprimidas por essa força axial, elas podem sofrer uma de�exão lateral , que é denominada
�ambagem . Essa de�exão lateral pode ocasionar, em muitos casos, uma falha repentina na
estrutura, sendo então de grande importância sua consideração durante o projeto de colunas.
Flambagem de ColunasFlambagem de Colunas
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Carga Crítica
Denomina-se carga crítica (Pcr) a carga axial máxima que uma coluna pode suportar, na iminência
de sofrer �ambagem.
Figura 4.12 - Exemplo de coluna longa e esbelta sofrendo �ambagem
Fonte: Hibbeler (2010, p. 477).
A carga crítica não é a maior carga que uma coluna pode suportar, pois mesmo depois de �ambada
ela poderá aguentar cargas maiores que Pcr , porém, como consequência apresentará uma grande
de�exão. Em geral, não se toleram grandes de�exões em projetos de estruturas, sendo assim, Pcr
passa a ser a carga limite para a coluna.
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saiba mais
Saiba mais
O artigo Análise da fase de montagem de lajes treliçadas traz
uma avaliação de lajes treliçadas, comumente utilizadas no
Brasil. Entre os principais mecanismos de falha que são
observados, um é a �ambagem. A leitura recomendada
aborda diversos tópicos da resistência dos materiais e os
traz para a realidade da engenharia civil, mostrando ensaios
e cálculos utilizados no dia a dia de tais avaliações.
ACESSAR
Coluna Ideal com Apoio de Pinos
Será considerada como coluna ideal a coluna que apresenta as características a seguir:
é perfeitamente reta, antes da aplicação da carga;
http://www.scielo.br/pdf/riem/v6n4/pt_08.pdf
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é feita de material homogêneo;
a carga é aplicada no centroide da seção transversal;
o material se comporta de uma maneira linear elástica, obedecendo à Lei de Hooke;
a �ambagem é sofrida em um único plano.
Figura 4.13 - Exemplo de coluna ideal com apoio de pinos
Fonte: Hibbeler (2010, p. 479)
Na �gura anterior, é apresentada uma coluna apoiada sobre pinos. Se aumentarmos a carga axial P ,
antes de a coluna falhar por escoamento ou ruptura, ela se encontrará na iminência de se tornar
instável e sofrer �ambagem ao se atingir a carga Pcr. Nesse momento, quando se aplica uma força F
na lateral da coluna, a viga irá de�etir e permanecerá de�etida mesmo removendo a força F .
Qualquer redução na carga axial P em relação a Pcr fará com que a coluna volte à posição inicial.
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Qualquer aumento na carga axial P em relação a Pcr provocará aumento da de�exão lateral da
coluna.
Para se calcular a carga crítica Pcr de uma coluna, leva-se em conta a sua rigidez à �exão, dada pela
relação abaixo, entre o momento interno da coluna com sua forma de�etida:
EI
d2v
dx2
= M (eq. 4.16)
O momento interno M é determinado pelo método das seções, com o auxílio do diagrama de corpo
livre:
Figura 4.14 - Diagrama de corpo livre da coluna
Fonte: Hibbeler (2010, p. 479).
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Sendo assim, igualando a zero a equação e reorganizando os termos:
d2v
dx2
+(PEI)v = 0 (eq. 4.17)
A equação acima é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, com coe�cientes
C1 e C2 constantes. A solução geral é dada por:
v = C1sen(√PEIx) + C2cos(√PEIx) (eq. 4.18)
Aplicando as condições de contorno na extremidade da coluna para se descobrir C1 e C2:
Em x=0 temos v=0, logo: C2 = 0 ;
Em x=L considera-se v=0, logo:
C1sen(√PEIx) = 0 (eq. 4.19)
Essa igualdade é satisfeita se:
P =
n2π2EI
L2
 (eq. 4.20)
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O menor valor de P é obtido com n=1 e essa carga crítica é conhecida como carga de Euler e será a
fórmula utilizada para a �ambagem de uma coluna apoiada porpinos:
Pcr =
π2EI
L2
 (eq. 4.21)
Onde:
● Pcr 🡪 carga crítica da coluna, dada em N;
● E 🡪 módulo de elasticidade do material, dado em Pa(N /m²);
● I 🡪 momento de inércia de área da seção transversal, dado em m4;
● L 🡪 comprimento da coluna, presa por pinos, dado em m.
O n , tratado como 1 na equação 4.21, representa o número de ondas na forma de�etida da coluna:
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Figura 4.15 - De�exão da coluna com n=1 e n=2
Fonte: Hibbeler (2010, p. 479).
Importante observar que a carga crítica (Pcr) da coluna depende somente das suas dimensões, ou
seja, do momento de inércia da área da seção transversal (I) e de seu comprimento (L). O módulo de
elasticidade do material (E) também é aplicado, porém, dentro de uma mesma categoria de
materiais, aço por exemplo, quando se trata de �ambagem elástica, não há vantagem em se usar
um aço de alta resistência em relação a um aço de baixa resistência. Pode-se melhorar a resistência
da coluna aumentando-se o momento de inércia da seção.
Outro ponto importante é o fato de que uma coluna sempre sofrerá �ambagem em torno do eixo
principal correspondente ao menor momento de inércia (I), ou seja, o eixo menos resistente. Por
exemplo, na imagem a seguir, a coluna retangular sofrerá �ambagem em torno do eixo a-a . Na
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prática, busca-se sempre deixar os momentos de inércia em relação aos eixos principais (Ixe Iy) o
mais próximo possível um do outro.
Figura 4.16 - Exemplo de coluna retangular sofrendo �ambagem
Fonte: Hibbeler (2010, p. 481).
O momento de inércia da área da seção transversal da coluna também pode ser escrito como:
I = Ar2 (eq. 4.22)
Onde:
A 🡪 Área da seção transversal da coluna, dada em m²;
r 🡪  Raio de giração da área da seção transversal em m;
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Substituindo a relação na fórmula da carga crítica e reorganizando os termos, obtém-se a fórmula
para a tensão crítica de �ambagem da coluna apoiada sobre pinos:
σcr =
π2E
(L / r ) 2
 (eq. 4.23)
Onde:
σcr 🡪 tensão crítica média na coluna, na iminência da �ambagem – é uma tensão elástica,
logo é igual ou inferior à tensão de escoamento do material, dada em Pa(N /m²);
E 🡪 módulo de elasticidade do material, dado em Pa(N /m²);
L 🡪 comprimento da coluna, presa por pinos, dado em m;
r 🡪 menor raio de giração da área da seção da coluna, ou seja, utilizando o menor
momento de inércia (I), dado por:
r = √I /A (eq. 4.24)
A relação L/r é conhecida como índice de esbeltez da coluna e é muito utilizada na classi�cação das
colunas em longas, intermediárias ou curtas.
Exemplo 4:
Considere um tubo redondo de aço ASTM A36 (σe = 250 MPa), com diâmetro externo de 152,4 mm,
diâmetro interno de 139,8 mm e comprimento 7,31 m sendo utilizado como coluna, presa por pinos
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nas extremidades. Determine a carga crítica, ou seja, a carga axial máxima que a coluna suportará
sem sofrer �ambagem. Utilize como módulo de elasticidade do aço E = 207.000 MPa.
Figura 4.17 - Exemplo de coluna de tubo redondo
Fonte: Hibbeler (2010, p. 482).
Solução:
Como é uma coluna apoiada sobre pinos, podemos aplicar a fórmula da carga de Euler vista:
Pcr =
π2EI
L2
Inicialmente calcula-se o momento de inércia da área da seção transversal da coluna, neste caso,
para um tubo redondo:
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I = 
π(D4 − d4)
64
=
π(152, 44 − 139, 84)
64
= 7.729.615, 2 mm4 
Utilizando então a fórmula da carga de Euler, descobre-se a carga crítica para a coluna:
Pcr =
π2EI
L2
=
π2 × 207000 × 7729615, 2
73102
= 295, 5 kN
Pode-se descobrir também a tensão crítica para a coluna e comprovar que, conforme teoria, esta é
menor que a tensão de escoamento do material (σe = 250 MPa):
σcr =
π2E
(L /r)2
=
π2E
(L /√I /A)2
=
π2207000
[7310/(√ 7729615 , 2π76 , 22 −π69 , 92)]2
= 102, 2 MPa
Colunas com Vários Tipos de Apoio
A fórmula da carga crítica mostrada anteriormente considerava a coluna apoiada por pinos, com as
extremidades livres para girar. O procedimento de se obter a fórmula da carga crítica para uma
coluna apoiada sobre diferentes tipos de apoio é o mesmo utilizado para a coluna apoiada sobre
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pinos. Frequentemente encontramos aplicações onde as colunas podem estar engastadas em uma
extremidade e pinadas em outra, ou então com uma extremidade livre, por exemplo.
O que muda quando se trata de outros tipos de apoio é o comprimento da coluna (L) a ser
considerado. Anteriormente o L considerado correspondia ao comprimento da coluna, ou também à
distância na coluna sem os apoios, ou seja, à distância entre os pontos de momento nulo.
Dependendo do tipo de apoio da coluna teremos um tipo diferente de distância L entre os pontos de
momento nulo. Essa distância entre os pontos de momento nulo é chamada de comprimento
efetivo (Le) da coluna. Para uma coluna presa por pinos Le = L.
Na aplicação das fórmulas da carga crítica (Pcr) para cada tipo de apoio, ao invés de se trabalhar com
o comprimento efetivo (Le), utiliza-se de um coe�ciente adimensional K   denominado fator de
comprimento efetivo. A relação de K com Le é dada por Le = KL.
O fator de comprimento efetivo (K) é tabelado e depende de cada tipo de apoio da coluna. Na
sequência são mostrados casos com alguns fatores K comumente utilizados:
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Figura 4.18 - Casos de colunas com diferentes tipos de apoio e seus respectivos fatores K
Fonte: Hibbeler (2010, p. 484).
As fórmulas da carga crítica (Pcr) e da tensão crítica (σcr) para todos os casos são apresentadas
abaixo, onde o fator K deve ser utilizado conforme o caso analisado:
Pcr =
π2EI
(KL)2
 (eq. 4.25) σcr =
π2E
(KL / r ) 2
 (eq. 4.26)
Nessas novas fórmulas, o índice de esbeltez da coluna passa a ser representado pelo termo (KL/r) .
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reflita
Re�ita
A �ambagem é um problema visto em diversas
situações, inclusive em materiais de pavimentação,
especialmente o concreto, uma vez que o asfalto
tende a ser mais �exível. A radiação solar é
absorvida por esse material, que causa uma
tendência de expansão. Caso a tensão seja o
su�ciente, pode acontecer um empilhamento do
material asfáltico e sua subsequente trinca.
Também se observa o efeito da �ambagem em
trilhos de ferrovias. Com base nisso, re�ita a
respeito de que propriedades um material para
trilhos deve possuir, para que não falhe por
�ambagem dessa natureza.
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praticar
Vamos Praticar
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et
dolore magna aliqua, assinale a alternativa correta :
a) A carga crítica de uma coluna depende das suas dimensões, ou seja, do momento de inércia da
área da seção transversal e de seu comprimento, bem como depende da tensão de escoamento do
material utilizado.
b) Ao se projetar uma coluna de aço, analisando-se a �ambagem, é mais vantajoso se utilizar um aço
mais resistente, de custo mais elevado e fazer a área da seção transversal da coluna pequena, do
que se utilizar um aço menos resistente, mais barato, que deixará a coluna com uma grande área de
seção transversal.
c) Visando melhorar a resistência de uma coluna à �ambagem, pode-se aumentar o momento de
inércia da seção transversal da viga e aproximar o máximo possível os momentos de inércia de área
em relação aos eixos principais.
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d) Quando se calcula a carga crítica de uma viga apoiada com diferentes tipos de apoio em suas
extremidades, utiliza-se o fator K, dado em metros, que serve como um fator de segurança de
projeto prevenindo falhas por �ambagem.
e) A fórmula da tensão crítica da coluna para a �ambagem depende do módulo de elasticidade do
material utilizado (E), do comprimento da coluna (L), do raio de giração (r) que utiliza o maior
momento de inércia de área da seção transversal em relação aos eixos principais (Ixou Iy). A tensão
crítica é igual ou inferior à tensão de escoamento do material.
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indicações
Material
Complementar
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LIVRO
Resistência dos Materiais
Russell Hibbeler
Editora: Pearson
Capítulos: 11, 12 e 13
Comentário: Para um maior entendimento de alguns conceitos,
recomenda-se a leitura dos capítulos 11,12 e 13 do livro mencionado,
especialmente na parte de de�exão de vigas, onde o equacionamento
pode ser um pouco mais complexo, trazendo abordagens mais
analíticas, como o conceito de superposição e o método das áreas.
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WEB
VIGA engastada ou apoiada?
Ano: 2018
Comentário: Neste vídeo, uma comparação entre os tipos de víncula
(engaste ou apoio) para vigas de concreto armado é feita. Aqui, o
comentarista fala sobre as principais diferenças que o projetista deve
considerar, com apoio de um kit mola para visualização dos esforços e
como os vínculos reagem. Interessante vídeo dentro do contexto de
projeto de vigas e eixos.
ACESSAR
https://www.youtube.com/watch?v=YFh22UQhnNE
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conclusão
Conclusão
Prezado(a) aluno(a), inicialmente, esta unidade parece muito condensada, com muito conteúdo
novo, porém, vale lembrar que muito do conteúdo aqui abordado é a aplicação de conhecimentos
prévios da mecânica dos sólidos e da estática. Esse conteúdo serve como base para o projeto de
vigas e eixos, que é um dos principais componentes da resistência dos materiais e, em vista de sua
importância, esperamos que os tópicos aqui trazidos sirvam para que esses conhecimentos possam
ser aplicados por você, de forma autônoma. Além do conteúdo supracitado, a falha por �ambagem,
importante mecanismo em colunas, foi aqui explicitado. Assim sendo, a abordagem analítica da
resolução de problemas torna-se fundamental em problemas de projeto e é essa mentalidade que
esperamos que você absorva e utilize no seu dia a dia como futuro projetista de estruturas e
elementos estruturais.
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referências
Referências
Bibliográ�cas
GERE, James B. Mechanics of Materials : brief edition. Stamford: Cengage Learning, 2012.
HIBBELER, Russell. Resistência dos Materiais . 7. ed. São Paulo: Pearson, 2009.
HIBBELER, Russell. Mechanics of Materials . Hoboken, NJ: Pearson, 2015.
SARTORTI, A. L.; FONTES, A. C.; PINHEIRO; L. M. Análise da fase de montagem de lajes treliçadas. In:
Revista Ibracon de Estruturas e Materiais , v. 6, n. 4, agosto 2013. p. 623-660. Disponível em:
http://www.scielo.br/pdf/riem/v6n4/pt_08.pdf . Acesso em: 18 fev. 2020.
http://www.scielo.br/pdf/riem/v6n4/pt_08.pdf
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