2 11 ET Fundamentos de projeto de estruturas de concreto armado

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ESTRUTURAS DE CONCRETO 
Marcus Vinícius Paula de Lima e Paloma 
Morais de Souza 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
2 
 
 
 
2 FUNDAMENTOS DE PROJETO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 
 
Apresentação 
O conteúdo deste bloco abrange diversos fundamentos necessários ao 
dimensionamento de estruturas de concreto armado. Serão mostradas algumas 
teorias, formulações e simplificações empregadas no projeto estrutural, tendo como 
base sobretudo as recomendações normativas da ABNT NBR 6118/2014. Ao final, o 
estudante poderá desenvolver cálculos manuais, ou até mesmo, criar ferramentas que 
o auxiliem na automatização dos procedimentos de cálculo. Como objetivo geral, 
pretende-se demonstrar as rotinas de dimensionamento das barras de aço (armadura 
transversal e longitudinal), em quantidade suficiente para resistir aos diversos esforços 
que solicitam os elementos. A abordagem aqui presente será relacionada aos esforços, 
porém antecipa-se que os elementos de vigas e lajes são preponderantemente 
solicitados por flexão normal simples, enquanto os pilares são submetidos à flexão 
composta. 
 
2.1 Flexão normal simples 
A flexão de um elemento estrutural ocorre quando ele é submetido a um momento 
fletor. Tal esforço gera um deslocamento perpendicular ao eixo de atuação do 
momento. Quando a flexão acontece de maneira única, ou seja, sem esforço normal 
atuante, ela é chamada de flexão simples. Define-se como flexão normal o esforço de 
flexão provocado por um carregamento perpendicular à Linha Neutra (LN) da seção 
transversal. Esse carregamento também é responsável pelo surgimento de tensões 
normais na direção do eixo longitudinal do elemento. A LN, por sua vez, representa a 
união de pontos da seção transversal onde a tensão normal é nula. 
, 
 
 
3 
 
Considerando as definições anteriores, a flexão normal simples atua de forma bastante 
presente em elementos de vigas e lajes de concreto armado. Para que seja realizado o 
correto dimensionamento desses elementos, o projetista deve previamente 
compreender como ocorre o processo de falha (domínios de deformação) e só então 
definir quais serão os mecanismos resistentes. 
Conforme a ABNT NBR 6118/2014, as vigas de concreto armado que estiverem 
submetidas à flexão normal simples encontram-se nos domínios 2, 3 ou 4. No entanto, 
o domínio 4 representa uma situação de superdimensionamento, na qual o concreto 
sofre ruptura por esmagamento, enquanto a armadura não escoa (não dá sinais de 
alerta) e, por conta disso, o dimensionamento deve ser realizado apenas nos domínios 
2 ou 3. 
• Dimensionamento à flexão normal simples (elementos lineares) 
Caracterizam-se como sendo elementos lineares aqueles em que sua dimensão 
longitudinal supera em pelo menos três vezes a maior dimensão da seção transversal 
(ex.: vigas, pilares, tirantes). De acordo com a ABNT NBR 6118/2014, o 
dimensionamento desses elementos sujeitos à flexão normal simples deve obedecer a 
algumas hipóteses básicas, dentre as quais têm-se: 
a) as seções transversais se mantêm planas após deformação; 
b) considera-se aderência perfeita entre o aço e o concreto; 
c) no Estado-Limite Último (ELU) despreza-se a contribuição do concreto na 
tração; 
d) o ELU é caracterizado segundo os domínios de deformação; 
e) a tensão nas armaduras deve ser obtida conforme o diagrama tensão-
deformação de cálculo do aço (ver Figura 2.1a) e a deformação de escoamento 
máxima do aço deve ser limitada a 10‰ de modo a evitar deformações 
plásticas excessivas; 
f) as tensões no concreto podem ser consideradas conforme o diagrama tensão-
deformação apresentado na Figura 2.1b, onde fcd representa a resistência à 
compressão máxima de cálculo do concreto, definida pela Equação 1. Pode-se 
, 
 
 
4 
 
ainda substituir o diagrama por um retângulo de profundidade y, como mostra 
a Figura 2.2. 
 
Fonte: ABNT NBR 6118/2014. 
Figura 2.1 ̶ Diagramas tensão x deformação para (a) o aço; (b) o concreto. 
 
 
 
Onde representa a resistência à compressão característica do concreto e é o 
coeficiente de ponderação da resistência do concreto no ELU. Para combinações 
normais, = 1,4. Vale ressaltar que a resistência do aço ao escoamento também 
deve ser ponderada, nesse caso pelo coeficiente , de valor igual 1,15 para 
combinações normais. 
As vigas de seção retangular são amplamente utilizadas em construções cotidianas, 
principalmente aquelas produzidas com concretos do Grupo I ( 50 MPa). Por isso, 
a seguir, são apresentadas as equações relativas para essas seções. Há duas 
configurações possíveis para a distribuição da armadura longitudinal: armadura 
simples (as barras são requeridas apenas numa região) e armadura dupla (além das 
barras tracionadas, há a necessidade de se distribuir armadura resistente na região 
comprimida) (BASTOS, 2020). 
, 
 
 
5 
 
As formulações são baseadas nas equações de equilíbrio a seguir, onde a configuração 
isostática da viga é evidenciada na Figura 2.2. 
 
 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
Figura 2.2 ̶ Equilíbrio de forças na seção transversal de uma viga. 
 
 
Onde h representa a altura da viga; d é a altura útil (distância entre a fibra mais 
comprimida do concreto e o centro de gravidade da armadura de tração); é a 
largura da seção; x é a profundidade da LN; e são as forças resistentes do 
concreto e do aço, respectivamente; é o momento resistente, enquanto é o 
momento solicitante. Desenvolvendo as equações acima, obtém-se: 
 
 
 
A posição relativa da LN ( ) pode ser obtida por semelhança de triângulos (ver Figura 
2.2). 
 
, 
 
 
6 
 
 
 
A ABNT NBR 6118/2014 recomenda um valor limite de 0,45 para para concretos do 
Grupo I, de modo a proporcionar um adequado comportamento dúctil aos elementos. 
Caso esse limite seja ultrapassado, deve-se reduzir o momento solicitante, aumentar a 
resistência do concreto ou a seção transversal, ou ainda, fazer uso de armadura dupla. 
A seguir, um roteiro de cálculo: 
 
 
 
Prossegue-se, então, com o cálculo da deformação na armadura superior ( ): 
 
 
 
, 
 
 
7 
 
Onde d’ é a distância da fibra mais comprimida do concreto ao centro de gravidade da 
armadura superior e Es é o módulo de elasticidade do aço. Calcula-se, então, a 
armadura superior (A’s) e a armadura inferior (As). 
 
 
 
2.2 Flexão composta normal 
Na flexão composta normal, os elementos de concreto são submetidos à solicitação 
conjunta do momento fletor e da força normal (Nd), possibilitando a ocorrência de 
flexo-tração ou flexo-compressão. No caso de seções transversais simétricas, o 
momento é introduzido pela aplicação de uma carga excêntrica e atua em apenas um 
dos eixos principais de inércia, como mostra a Figura 2.3. É ideal que o carregamento 
seja aplicado no centro de gravidade dos elementos, no entanto, por conta de 
dificuldades construtivas e/ou imperfeições geométricas surgem excentricidades que 
devem ser consideradas na confecção dos projetos. 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
Figura 2.3 ̶ Seção transversal de um pilar submetido à flexão composta normal. 
 
Tratando-se de seções retangulares com armadura distribuída em duas faces opostas 
(A’s e As), o dimensionamento de elementos submetidos à flexão composta normal dá-
se pela consideração de três casos distintos (BASTOS 2020): 
, 
 
 
8 
 
a) Flexo-tração com pequena excentricidade: predomina a força normal de 
tração, em que as duas armaduras se encontram tracionadas e não há 
contribuição do concreto. Essa configuração está presente em elementos de 
tirantes e o seu dimensionamento é realizado conforme os domínios 1 e 2a’ 
(quando 0 < x < d’). 
b) Flexo-tração e flexo-compressão com grande excentricidade: nesse caso, 
predomina-se o momento fletor, resultando numa armadura tracionada (As) e 
outra comprimida (A’s). Essa configuração abrange os domínios 2, 3 e 4 e está 
presente em elementos de viga, lajes e pilares. 
c) Flexo-compressãocom pequena excentricidade: o esforço predominante é a 
força normal de compressão e, portanto, as armaduras A e A’ tornam-se 
comprimidas. Como elemento principal, têm-se os pilares e os domínios de 
dimensionamento são o 4a e o 5. 
 
De modo a facilitar o dimensionamento dos elementos de concreto armado 
(principalmente os pilares), Venturini (1987) definiu alguns ábacos que permitem a 
determinação da taxa de armadura sem a necessidade de recorrer-se às formulações 
do ELU relativas aos domínios de deformação. Tais ábacos empregam os esforços 
adimensionais μ e ν, definidos a partir das equações: 
 
 
Onde Nd é a força normal de cálculo, Ac é a área da seção transversal do elemento e h 
é a dimensão do pilar na direção considerada. 
Os ábacos de Venturini (1987) permitem a definição de diversas configurações, 
devendo-se atentar àquela que proporcionar o arranjo mais econômico. Após definida 
a configuração a ser empregada, recorre-se ao ábaco em função do tipo de aço e da 
relação d’/h. A Figura 2.4 mostra um exemplo com armadura bilateral simétrica para o 
emprego de aço CA-50 e da relação d’/h = 0,15. 
, 
 
 
9 
 
 
Fonte: Venturini (1987). 
Figura 2.4 ̶ Exemplo de ábaco de Venturini (1987) com armadura bilateral simétrica. 
 
A partir da Figura 2.4, obtém-se a taxa mecânica (ω) e, em seguida, a área de 
armadura necessária, utilizando a expressão: 
 
 
2.3 Flexão composta oblíqua 
Na flexão composta oblíqua, os elementos são submetidos à solicitação conjunta do 
esforço normal e de dois momentos fletores (Mx e My), os quais atuam nos dois eixos 
principais de inércia (Figura 2.5). Para o dimensionamento dos elementos submetidos 
à flexão composta oblíqua, emprega-se uma abordagem similar ao dimensionamento à 
flexão composta normal. Visando à simplicidade dos cálculos, recomenda-se a 
utilização dos ábacos propostos por Pinheiro et al. (2009). Para uso dessa metodologia, 
define-se inicialmente a configuração construtiva desejada e calculam-se as relações 
, 
 
 
10 
 
d’x/hx e dy’/hy. Em seguida, calculam-se os esforços adimensionais μx, μy e ν, conforme 
as expressões: 
 
 
 
 
Fonte: Pinheiro et al. (2009). 
Figura 2.5 ̶ Exemplo de ábaco de Pinheiro et al. (2009) para a configuração do pilar em 
destaque. 
 
O ábaco anterior refere-se à configuração da seção transversal evidenciada na Figura 
para o caso da utilização de aço CA-50, d’x/hx = 0,250 e dy’/hy = 0,050. A partir dele, 
obtém-se a taxa mecânica (ω) e, em seguida, a área de armadura necessária, utilizando 
a Equação 10. Vale ressaltar que os ábacos foram desenvolvidos apenas para concretos 
do Grupo I. 
 
, 
 
 
11 
 
2.4 Cisalhamento 
A armadura transversal das vigas é formada pela distribuição de estribos ao longo do 
comprimento. Essas barras são dimensionadas para resistir às tensões de cisalhamento 
provocadas pelo esforço cortante. De modo mais específico, a ruptura dos elementos 
por cisalhamento ocorre devido ao surgimento de tração na direção das tensões 
principais, ou seja, inclinada em relação ao eixo da peça. A Figura 2.6 mostra como 
ocorre a abertura de fissuras e também as trajetórias das tensões principais de uma 
viga submetida a um carregamento de 4 pontos. 
Dentre os diversos métodos desenvolvidos para o dimensionamento da armadura de 
cisalhamento, a ABNT NBR 6118/2014 destaca dois modelos: o Modelo de Cálculo I 
(treliça clássica de Ritter-Mörsch) e o Modelo de Cálculo II (treliça generalizada). 
Inicialmente, deve-se verificar de forma simultânea as condições expressas a seguir. 
 
Fonte: Bastos (2020). 
Figura 2.6 ̶ a) armação da viga; b) trajetórias das tensões principais de tração e 
compressão; (c) estado de fissuração pré-ruptura. 
 
 
, 
 
 
12 
 
 
 
Onde = força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais 
comprimidas de concreto; = força cortante resistente de cálculo, 
relativa à ruína por tração diagonal, onde é a parcela de força cortante absorvida 
por mecanismos complementares ao da treliça e a parcela resistida pela armadura 
transversal. 
• Modelo de Cálculo I 
Esse modelo considera que as diagonais comprimidas estão inclinadas em θ = 45° em 
relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural. Além disso, admite-se que tem 
valor constante, independentemente de . 
a) Verificação da compressão diagonal do concreto: 
 
 
 
Onde é a resistência de cálculo à compressão do concreto e = 1 – (fck/250) 
 
b) Cálculo da armadura transversal: 
 
 
Onde: 
 
 é a resistência de cálculo ao escoamento das armaduras transversais, limitada a 
435 MPa; é a taxa de armadura transversal (área/espaçamento) e α é o ângulo de 
inclinação da armadura transversal em relação ao eixo longitudinal, podendo-se 
admitir 45° α 90°, embora o estribo reto seja geralmente adotado por razões 
construtivas. 
, 
 
 
13 
 
Em relação à parcela , tem-se: 
 
 
 
Em que é momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da 
seção; representa o momento fletor de cálculo máximo no trecho em análise e 
Vc0 = 0,6fctdbwd, onde fctd = fctk,inf/ = 0,21 / e fctk,inf é a resistência característica 
inferior à tração do concreto. 
 
• Modelo de Cálculo II 
O modelo II considera diagonais comprimidas inclinadas entre 30° e 45° em relação ao 
eixo longitudinal do elemento estrutural. Além disso, admite-se que a parcela sofre 
redução com o aumento de . 
a) Verificação da compressão diagonal do concreto: 
 
 
 
b) Cálculo da armadura transversal: 
 
Onde: 
 
, 
 
 
14 
 
 
Para valores intermediários, realiza-se a interpolação linear. 
 
2.5 Ancoragem por aderência das barras de aço 
Fernandes (2000) afirma que a aderência é um mecanismo de transferência de tensões 
que existe na interface entre a barra de aço da armadura e o concreto que a envolve, 
sendo esse um elemento fundamental para a própria existência do concreto armado. 
Portanto, a aderência é tida como o fenômeno que permite que as armaduras 
absorvam os efeitos da tração existentes em uma peça de concreto. Desse modo, 
torna-se imprescindível a consideração de um comprimento de ancoragem em todas 
as armaduras. Para isso, de acordo com a ABNT NBR 6118/2014, determina-se 
inicialmente a resistência de aderência entre o concreto e a armadura (fbd), conforme a 
Equação a seguir: 
 
 
Onde é um parâmetro que considera a rugosidade das barras de aço; é um 
parâmetro que considera a posição da barra na peça e é um parâmetro que 
considera o diâmetro da barra. 
 
A ABNT NBR 6118/2014 define em seu tópico 9.4.2.4 o comprimento básico de 
ancoragem como o “comprimento reto de uma barra de armadura passiva necessário 
para ancorar a força-limite nessa barra, admitindo-se, ao longo desse 
comprimento, resistência de aderência uniforme e igual a ”. O comprimento de 
ancoragem básico ( ) é visto na Figura 2.7 e pode ser calculado por: 
, 
 
 
15 
 
 
 
 
 
Fonte: ABNT NBR 6118/2014. 
Figura 2.7 ̶ Comprimento básico de ancoragem. 
 
O comprimento de ancoragem necessário deve então ser calculado conforme a 
expressão: 
 
 
 
Onde = 1,0 para barras sem gancho; = 0,7 para barras tracionadas com gancho, 
com cobrimento no plano normal ao do gancho ; = 0,7 quando houver barras 
transversais soldadas conforme 9.4.2.2; = 0,5 quando houver barras transversais 
soldadas conforme 9.4.2.2 e gancho com cobrimento no plano normal ao do gancho 
; = área da armadura calculada; = área da armadura efetiva e é 
o comprimento de ancoragem mínimo (maior valor entre 0,3 , 10 e 100 mm). 
 
2.6 Ancoragem nos apoios e fora deles (decalagem) 
Na definição da quantidade de barras necessária para o esforço de flexão normal 
simples, realiza-se o dimensionamento considerando apenas uma seção crítica. No 
entanto, o momento fletor é variável e, por conta disso, deve-se realizar um 
, 
 
 
16 
 
procedimento para determinar a quantidade de armadura longitudinalao longo do 
elemento. Esse procedimento, conhecido por decalagem, é essencial por conta de 
razões econômicas, de modo que armaduras desnecessárias sejam dispensadas do 
projeto. A decalagem, além de considerar o comprimento necessário de ancoragem 
das barras ( ), deve introduzir uma estimativa dos efeitos do esforço cortante, 
deslocando o diagrama de forças. Esse deslocamento é realizado aplicando-se aos 
pontos uma translação paralela ao eixo da peça, de valor , conforme mostra a Figura 
2.8. Pode-se ainda deslocar o diagrama do momento fletor. 
Para determinação do comprimento , a ABNT NBR 6118/2014 define os dois 
modelos de cálculo da armadura transversal. Ambos os modelos são referentes a 
estribos verticais ( . 
a) Modelo I: 
 
 
Onde é a força cortante de cálculo na seção mais solicitada e é a altura útil. 
b) Modelo II 
 
 
O procedimento de decalagem inicia-se dividindo o diagrama do momento (ou força) 
em n barras ou n grupos de barras. No esquema da Figura 2.8, tanto para o momento 
positivo quanto para o momento negativo, o diagrama foi dividido em 4 barras. 
Realiza-se, então, o deslocamento do diagrama e aplica-se a ancoragem necessária nas 
barras. Para a barra i, existem dois pontos importantes: o ponto A (em que os 
momentos fletores resistidos pelas barras começam a diminuir) e o ponto B (onde os 
momentos fletores resistidos pelas barras do grupo tornam-se nulos). Se for 
maior ou igual que a distância do ponto B, finaliza-se a decalagem da barra, caso 
contrário, a barra deve estender-se por uma distância maior ou igual a 10 . 
, 
 
 
17 
 
 
Fonte: Bastos (2018). 
Figura 2.8 ̶ Cobertura do diagrama de forças de tração solicitantes pelo diagrama de 
forças resistentes. 
 
De acordo com a ABNT NBR 6118/2014, “os esforços de tração junto aos apoios de 
vigas simples ou contínuas devem ser resistidos por armaduras longitudinais que 
satisfaçam a mais severa das seguintes condições”: 
a) no caso de ocorrência de momentos positivos, as armaduras obtidas através do 
dimensionamento da seção; 
b) em apoios extremos, para garantir a ancoragem da diagonal de compressão, 
armaduras capazes de resistir a uma força de tração , onde é 
a força cortante no apoio e é a força de tração eventualmente existente; 
c) em apoios extremos e intermediários, por prolongamento de uma parte da 
armadura de tração do vão ( ), correspondente ao máximo momento positivo do 
tramo ( ), de modo que: 
— ≥ 1/3 ( ), se for nulo ou negativo e de valor absoluto | | 
≤ 0,5 ; 
, 
 
 
18 
 
— ≥ 1/4 ( ), se for negativo e de valor absoluto | | > 0,5 
. 
 
2.7 Estados limites de serviço: verificação de flechas 
De acordo com a ABNT NBR 6118/2014, o Estado Limite de deformações excessivas 
(ELS-DEF) deve sempre ser considerado em projetos de elementos estruturais. Esse 
estado verifica se as deformações atingem os limites estabelecidos para a utilização 
normal da construção, diferente do que acontece no processo de dimensionamento 
(ELU = próximo ao colapso). O ELS-DEF é verificado a partir de uma combinação quase-
permanente, ou seja, que atua em grande parte da vida da estrutura (metade da vida 
útil). 
No caso dos elementos de vigas e lajes, faz-se uma verificação de flechas excessivas 
(deformações perpendiculares ao eixo longitudinal da viga). Tais flechas podem ter 
uma contribuição imediata (tempo 0) e uma contribuição de fluência (tempo muito 
longo). 
As flechas imediatas são provocadas pelo carregamento aplicado e são facilmente 
determinadas pelas equações da mecânica das estruturas. Como exemplo, tem-se a 
equação a seguir para determinação da flecha máxima (no meio do vão) para o caso de 
uma viga simplesmente apoiada sujeita a um carregamento uniformemente 
distribuído. 
 
Onde P é o carregamento, L é o comprimento da viga e E∙I representa a rigidez do 
elemento (E = módulo de elasticidade do material e I é a inércia da seção transversal). 
O processo de fissuração dos elementos reduz a rigidez das peças, e portanto, torna-se 
necessário considerar uma estimativa para a rigidez equivalente (EIeq,t0), dada por: 
 
, 
 
 
19 
 
 
 
Onde é o momento de inércia da seção bruta de concreto; é o momento de 
inércia no estado II (calculado pela equação X); é o momento fletor na seção 
crítica; é o momento de fissuração e é o módulo de elasticidade secante do 
concreto. 
Para o cálculo do momento de fissuração no ELS-DEF, emprega-se a Equação: 
 
Onde é a distância do centro de gravidade até a fibra mais tracionada; e assume 
os valores de 1,2 para seções T ou duplo T, 1,3 para seções I ou T invertido e 1,5 para 
seções retangulares. 
A Tabela 13.3 da NBR 6118/2014 define diversos limites para os deslocamentos, os 
quais variam de acordo com o tipo de efeito que se deseja analisar e em razão de 
limitação. Por exemplo, para uma aceitabilidade sensorial, em que o objetivo é reduzir 
os deslocamentos visíveis de uma viga, o deslocamento-limite é de L/250. 
A contribuição de flechas a longo prazo é conduzida por um fenômeno gerado após a 
aplicação de um carregamento constante: a fluência. Tal fenômeno é caracterizado por 
deformações rápidas (que ocorrem nas primeiras 24h após a aplicação do 
carregamento) e por deformações lentas. A primeira é reversível, porém a segunda 
possui uma parcela reversível e outra irreversível (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 
2017). 
Para o cálculo dos deslocamentos ao longo do tempo, a NBR 6118/2014 traz a equação 
a seguir: 
 
, 
 
 
20 
 
Onde é um fator a ser multiplicado pela flecha imediata; é a taxa de armadura de 
compressão; é o tempo do instante em que se pretende calcular a flecha; é a 
idade, em meses relativa à data de aplicação do carregamento; é a 
variação de um coeficiente em função do tempo, em que: 
 
O valor da flecha total no tempo infinito será igual à: 
 
Onde é a flecha imediata. 
 
2.8 Estados limites de serviço: verificação de abertura de fissuras 
Um dos fatores que comprometem a durabilidade dos elementos de vigas é a 
fissuração excessiva. Essas aberturas tornam o concreto superficial e as armaduras 
sujeitos ao ataque de agentes agressivos, reduzindo a vida útil dos elementos. Os 
projetistas devem então atentar-se a esse aspecto por meio de uma verificação do ELS. 
Existem dois estados limites referentes à fissuração: 
a) ELS-F: indica a situação em que se inicia a formação de fissuras, ou seja, a 
tensão de tração supera a resistência à tração máxima do concreto (fct,f); 
b) ELS-W: indica a situação em que as fissuras se apresentam com aberturas iguais 
ao máximo especificado. 
Ambos os estados descritos anteriormente devem ser verificados por uma combinação 
frequente, a qual repete-se muitas vezes durante o período de vida da estrutura 
(100000 em 50 anos) e é calculada por: 
 
A abertura máxima de fissuras características do concreto armado (wk) depende da 
classe de agressividade ambiental, conforme dispõe a Tabela a seguir: 
 
, 
 
 
21 
 
Classe de agressividade ambiental 
I II III IV 
wk 0,4 mm wk 0,3 mm wk 0,3 mm wk 0,2 mm 
 
A verificação dos valores de abertura de fissuras é feita de modo individual para cada 
elemento ou grupos de elementos de armadura passiva e ativa aderente (que não 
esteja dento da bainha) que controlam a fissuração da peça. Inicialmente, considera-se 
uma área Acr do concreto que envolve as barras, constituída por um retângulo cujos 
lados não distam mais de 7,5 do eixo da barra da armadura (ver Figura 2.9). 
Permite-se que todas as armaduras (de flexão ou de “pele”) que estejam na zona 
tracionada façam parte da verificação. 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
Figura 2.9 ̶ Áreas de contribuição de cada barra para o controle da fissuração. 
O valor característico da abertura de fissuras é, então, calculado como sendo o menor 
valor entre as expressões a seguir: 
 
 
Onde , , e são definidos para cada área de envolvimento; é áreada 
região de envolvimento da barra ; é o módulo de elasticidade do aço da barra ; 
 representa o diâmetro da barra que protege a região considerada; é a taxa de 
armadura passiva ou ativa aderente em relação à área da região de envolvimento 
, 
 
 
22 
 
( ); é a resistência média à tração do concreto; é o coeficiente de 
conformação superficial da armadura passiva considerada, sendo tomado conforme o 
parâmetro empregado na ancoragem; é a tensão de tração no centro de 
gravidade da armadura considerada, calculada no estádio II, conforme a equação a 
seguir: 
 
 
Em que é o momento da combinação frequente; é a distância entre o centro 
de gravidade da barra considerada e a fibra mais comprimida da viga; é a relação 
entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto e conforme a ABNT NBR 
6118/2014 pode ser tomado igual 15; e representam a profundidade da linha 
neutra e o momento de inércia do estádio II, respectivamente, calculados conforme: 
 
2.9 Torção 
Conforme a ABNT NBR 6118/2014, quando a torção não for necessária ao equilíbrio, 
caso da torção de compatibilidade, é possível desprezá-la, desde que o elemento 
estrutural tenha a capacidade adequada de adaptação plástica e que todos os outros 
esforços sejam calculados sem considerar os efeitos por ela provocados. Em regiões 
onde o comprimento do elemento sujeito à torção seja menor ou igual a 2h, para 
garantir um nível razoável de capacidade de adaptação plástica, deve-se respeitar a 
armadura mínima de torção e limitar a força cortante, tal que . 
Admite-se satisfeita a resistência do elemento estrutural à torção, em uma dada seção, 
quando se verificarem simultaneamente as seguintes condições: 
a) Verificação da biela comprimida: 
, 
 
 
23 
 
Para garantir o não esmagamento da biela comprimida na torção pura, a seguinte 
condição deve ser atendida: 
 
Sendo: 
 
 
 
Onde representa o limite dado pela resistência das diagonais comprimidas de 
concreto; é o ângulo de inclinação das diagonais de concreto, arbitrado no intervalo 
30° ≤ ≤ 45°; é a área limitada pela linha média da parede da seção vazada, real ou 
equivalente, incluindo a parte vazada e é a espessura equivalente da parede da 
seção vazada, real ou equivalente, no ponto considerado. 
A seção vazada equivalente é definida a partir da seção cheia com espessura da parede 
equivalente dada por , em que é a área da seção cheia; é o 
perímetro da seção cheia e é a distância entre o eixo da barra longitudinal do canto 
e a face do elemento estrutural. 
Caso resulte menor que 2 , pode-se adotar e a superfície 
média da seção celular equivalente definida pelos eixos das armaduras do canto 
(respeitando o cobrimento exigido nos estribos). 
 
Onde é o diâmetro da armadura longitudinal; é o diâmetro da armadura vertical 
e é o cobrimento da armadura. 
Na combinação de torção com força cortante, o projeto deve prever ângulos de 
inclinação das bielas de concreto coincidentes para os dois esforços. Quando for 
, 
 
 
24 
 
utilizado o modelo I para a força cortante, que subentende = 45°, esse deve ser o 
valor considerado também para a torção. 
 
b) Cálculo das armaduras – estribos 
A resistência decorrente dos estribos normais ao eixo do elemento estrutural é dada 
pela expressão: 
 
 
Sendo o limite definido pela parcela resistida pelos estribos normais ao eixo do 
elemento estrutural. Para estribos arranjados a 90o do eixo do elemento, esse limite 
pode ser calculado por: 
 
 
Onde é o valor de cálculo da resistência ao escoamento do aço da armadura 
passiva, limitada a 435 Mpa. 
c) Cálculo das armaduras – armaduras longitudinais 
A resistência decorrente das armaduras longitudinais é dada pela expressão: 
 
 
Sendo o limite definido pela parcela resistida pelas barras longitudinais, paralelas 
ao eixo do elemento estrutural. Esse limite pode ser calculado por: 
 
Onde é a soma das áreas das seções das barras longitudinais e é o perímetro de 
. 
, 
 
 
25 
 
A armadura longitudinal de torção, de área total , pode ter arranjo distribuído ou 
concentrado, mantendo-se obrigatoriamente constante a relação , onde é 
o trecho de perímetro, da seção efetiva, correspondente a cada barra ou feixe de 
barras de área . Nas seções poligonais, em cada vértice dos estribos de torção, 
deve ser colocada pelo menos uma barra longitudinal. 
d) Verificação da taxa geométrica mínima de armadura 
A taxa geométrica mínima de armadura surge da necessidade de se garantir a 
ductilidade da peça e melhorar a distribuição das fissuras. Para as armaduras 
longitudinais e transversais, têm-se: 
 
 
2.10 Etapas da construção de edifícios: elementos estruturais, sistemas estruturais 
Quando imaginamos uma estrutura de concreto armado, intuitivamente concebemos 
um esqueleto de elementos justapostos formando um edifício residencial ou 
comercial. De fato, o concreto armado é o método construtivo mais empregado no 
Brasil para execução de edificações. Além da tradição, existem diversos fatores para tal 
popularidade, dentre os quais pode-se apontar: maleabilidade, facilidade de execução, 
material incombustível, disponibilidade de mão de obra qualificada e principalmente o 
custo de fabricação. 
Uma estrutura de concreto pode ser dividida em duas regiões principais: 
a) Infraestrutura: parte inicial de qualquer construção, composta pelas fundações, 
ou seja, pelos elementos responsáveis por conduzirem os carregamentos dos 
pavimentos diretamente ao solo. Tais fundações podem ainda ser diretas, em 
que o carregamento é transmitido principalmente pela base (bloco, sapata, 
tubulão), ou indiretas, em que o carregamento é transmitido por atrito lateral 
(estaca hélice contínua, Strauss, raiz). 
, 
 
 
26 
 
b) Superestrutura: é composta pelos pavimentos da edificação, os quais são 
formados pelos pilares, vigas e lajes. As lajes são elementos planos e 
horizontais que recebem diretamente o carregamento. As cargas recebidas 
podem ser transmitidas para os elementos de viga ou para os pilares. Existe 
uma diversidade de lajes de concreto armado. Pode-se citar: 
• Lajes pré-moldadas: formadas por “minivigas” chamadas de vigotas 
treliçadas + bloco (lajotas cerâmicas, EPS) e cobertas por uma capa de 
concreto lançado in loco; 
• Lajes maciças: lajes preenchidas integralmente por concreto + 
armaduras + instalações embutidas; 
• Lajes nervuradas: compostas por vigas “T” em uma ou duas direções. 
Diferente da laje maciça, as lajes nervuradas possuem em sua superfície 
inferior volumes salientes, formando prismas delimitados pelas vigas ou 
nervuras. 
 
As vigas são elementos lineares em que o esforço de flexão é preponderante. Já os 
pilares são elementos de eixo necessariamente retos que conduzem os carregamentos 
para as fundações, onde o esforço normal é preponderante. 
As construções das estruturas de concreto iniciam-se a partir da locação. Nessa etapa, 
são marcadas com precisão todas as fundações e, para guiar essa marcação, deve-se 
dispor da planta de locação (com detalhamento adequado). De acordo com a ABNT 
NBR 14931/2004, quando os elementos de concreto forem moldados in loco, é 
necessária a utilização de um sistema de formas, que compreende as formas, o 
escoramento, o cimbramento e os andaimes. Esse sistema deve suportar as cargas das 
estruturas e outros eventuais carregamentos até que os elementos estabeleçam a 
resistência prevista pelo projetista. 
É na montagem do sistema de formas que se obtém as corretas dimensões das seções 
transversais dos elementos especificadas em projeto, por conta disso a planta de 
forma deve apontar todas as informações relativas à disposição, nomenclatura e 
, 
 
 
27 
 
dimensões de todos os elementos do pavimento, trazendo quaisquer outras 
informações relevantes. 
A montagem das armaduras deve seguir rigorosos critérios, desde o perfeito 
detalhamento dos elementos até a corretadisposição das barras na obra. Apesar da 
facilidade de execução, uma equipe preparada é crucial para uma montagem 
adequada. Por fim, deve-se destacar a importância de compatibilizar o projeto 
estrutural com os demais projetos da edificação ainda na fase de planejamento, de 
modo a evitar contratempos e falhas de execução. 
Conclusão 
Este bloco reuniu diversas metodologias para o dimensionamento de elementos 
lineares de concreto armado. A partir dele, é possível dimensionar no ELU elementos 
submetidos à flexão normal simples, à flexão composta normal e oblíqua, estimando a 
quantidade de armadura longitudinal necessária para vigas e pilares. Consegue-se 
ainda determinar a distribuição adequada de armadura transversal, para que os 
estribos, juntamente com o concreto, consigam resistir aos esforços de cisalhamento e 
torção oriundos dos carregamentos. Além do dimensionamento sob situação de 
esgotamento, demonstrou-se a necessidade de se considerar outras situações relativas 
ao uso em serviço, controlando eventos indesejados, tais como aberturas de fissuras e 
flechas excessivas. 
Apesar da hipótese de aderência perfeita, concluiu-se que as armaduras a serem 
utilizadas devem apresentar uma ancoragem suficiente para que haja colaboração 
entre os materiais. Desse modo, as tensões podem ser corretamente distribuídas. Por 
fim, dissertou-se sobre as estruturas de concreto armado como sistema construtivo, 
apresentando os tipos de elementos e as principais etapas de execução. 
Referências Bibliográficas 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de estruturas de 
concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, Brasil, 2014. 238 p. 
, 
 
 
28 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 14931: Execução de estruturas 
de concreto armado – Procedimento. Rio de Janeiro, Brasil, 2004. 14 p. 
BASTOS, P. S. Notas de aula das disciplinas de Concreto Armado I e II da Universidade 
Estadual Paulista. Bauru, 2018. 
BASTOS, P. S. Notas de aula das disciplinas de Concreto Armado I e II da Universidade 
Estadual Paulista. Bauru, 2020. 
CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO FILHO, J. R. Cálculo e detalhamento de estruturas 
usuais de concreto armado: segundo a NBR 6118/2014. 4. ed. São Carlos: EdUFSCar, 
2017. 
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Dissertação de Mestrado em Estruturas. Universidade de São Paulo, São Paulo, 2000. 
PINHEIRO, L. M.; BARALDI, L. T.; POREM, M. E. Estruturas de concreto: ábacos para 
flexão oblíqua. 2009. 108 p. Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São 
Paulo, São Carlos, 2009. 
VENTURINI, W. S.; RODRIGUES, R. de O. Dimensionamento de peças retangulares de 
concreto armado solicitadas à flexão reta. 1987. 133 p. Escola de Engenharia de São 
Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 1987.